Souza, J. C. Equações Diferenciais Ordinárias.-1

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Equações Diferenciais Ordinárias
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2
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a prévia autorização, por escrito, do autor.
Diante de Deus, somos todos igualmente sábios
e igualmente tolos.
Albert Einstein
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Prefácio
Este livro de Equações Diferenciais Ordinárias é destinado, principalmente, a
alunos de cursos de gradução que sejam familiarizados com cálculo (de uma ou várias
variáveis) e álgebra linear. Os conceitos e resultados apresentados são ilustrados com
uma grande quantidade de exemplos. Praticamente todos os teoremas são acompa-
nhados de suas demonstrações, onde poucos teoremas utilizam-se de resultados não
demonstrados. O texto é composto por sete caṕıtulos contendo a ementa de um
primeiro curso de equações diferenciais ordinárias, onde, em um deles é apresentado
um apêndice com resultados de cálculo. No final de cada caṕıtulo são enumerados
alguns exerćıcios que ilustram e complementam a teoria vista.
No primeiro caṕıtulo é apresentado um pouco da história das equações diferenciais,
suas defições básicas, classificações quanto ao tipo, ordem, grau etc. Definimos
solução de uma equação diferencial e problemas de valor inicial.
No caṕıtulo dois estudamos as equações diferenciais de primeira ordem. Apre-
sentamos métodos para determinar, explicitamente, a solução de alguns tipos de
equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, tais como: equações lineares,
separáveis, homogêneas e exata. Também mostramos um método para encontrar a
solução geral das equações de Bernoulli e Riccati. No final do caṕıtulo é discutido
algumas aplicações dessas equações em outras ciências, como problemas de cresci-
mento e decrescimento, dinâmicas de populações, resfriamento de um corpo e diluição
de soluções.
No terceiro caṕıtulo estudamos o teorema de existência e unicidade para problemas
de valor inicial, bem como sua demonstração usando o método de Picard ou método
das aproximações sucessivas. Também estudamos o lema de Gronwall e o teorema
da dependência cont́ınua, ambos de grande utilidade nas aplicações das equações
diferenciais.
No caṕıtulo quatro são abordadas as equações diferenciais lineares de ordem su-
perior. Inicialmente, estudamos as equações lineares de segunda ordem. Em seguida,
veremos como determinar a solução de equações lineares de ordem superior usando
método da equação caracteŕıstica e método de redução de ordem para equações dife-
5
renciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para as equações lineares
não homogêneas com coeficientes constantes, estudamos os métodos de variação
dos parâmetros e coeficientes a determinar. Nas equações lineares com coeficientes
variáveis estudamos os métodos de Cauchy - Euler e das séries de potências. Fi-
nalizamos o caṕıtulo com algumas aplicações das equações diferenciais de segunda
ordem, com problemas de molas, flutuação e circuitos elétricos.
No quinto caṕıtulo são estudados os sistemas de equações diferenciais lineares.
São definidos sistema canônico e sistema normal e apresentado um método para se
resolver esses sistemas. Em seguida, temos os sistemas na forma simétrica, bem como
um método para determinar sua solução geral.
No caṕıtulo seis apresentamos um resumo da teoria de cálculo de uma variável,
principalmente, sobre técnicas de derivação e primitivação, que são indispensáveis no
estudo das equações diferenciais.
Finalmente, no último caṕıtulo, encontramos as soluções de praticamente todos
os exerćıcios enunciados no livro.
6
Sumário
1 Equação Diferencial 9
1.1 Contexto Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Solução de uma Equação Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Equações Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 27
2.1 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Equações Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Equação de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Equação de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8 Aplicações das Equações Diferenciais de Primeira Ordem . . . . . . . 54
3 Existência e Unicidade 65
4 Equações Diferenciais de Ordem Superior 85
4.1 Equações Lineares de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Equações Lineares de Ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 Equações Lineares Homogêneas com os Coeficientes Constantes . . . 97
4.3.1 Equação caracteŕıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.2 Método de redução de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7
Sumário 8
4.4 Equações Lineares Não Homogêneas com Coeficientes Constantes . . 105
4.4.1 Método de variação dos parâmetros . . . . . . . . . . . . . 106
4.4.2 Método dos coeficientes a determinar . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Equações Lineares com Coeficientes Variáveis . . . . . . . . . . . . . 117
4.5.1 Equação de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.2 Método das séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6 Aplicação das Equações Diferenciais de Segunda Ordem . . . . . . . 122
4.6.1 Problemas de mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6.2 Problemas de flutuação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6.3 Problemas de circuitos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 Sistema de Equações Diferenciais Lineares 129
5.1 Sistema Canônico e Sistema Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 Sistema na Forma Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6 Apêndice 141
6.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Solução dos Exerćıcios 147
Referências Bibliográficas 155
Caṕıtulo 1
Equação Diferencial
1.1 Contexto Histórico
De várias maneiras, equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois
dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Equações dife-
renciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação
de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências f́ısicas, a
equação diferencial não tem igual.Assim, é amplamente aceito que equações dife-
renciais são importantes em ambas matemática pura e aplicada. A história sobre este
assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que estaremos olhando aqui.
Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de
um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a história deste assunto começa
e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desen-
volvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de
Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise necessários
para desenvolver muitas das ideias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler
refinaram seu trabalho e produziram ideias inteiramente novas, inacesśıveis à pers-
pectiva do século XVIII de Euler e sofisticadas, além do entendimento de apenas uma
pessoa.
Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. Daremos uma
pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas técnicas, na teoria e nas aplicações.
A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton e Leibniz. A
9
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 10
partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente
e notação para a derivada, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu.
Contudo, logo descobriram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis.
As manipulações simbólicas e simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco.
A integral (antiderivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo
ofereceu ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias
muito especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob
Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim, estes pesquisadores iniciais do século
XVII focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das
teorias e técnicas para aqueles que os seguiram.
Ao redor do ińıcio do século XVIII, a próxima onda de pesquisadores de equações
diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas em astronomia
e ciências f́ısicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações di-
ferenciais para o movimento planetário, usando os prinćıpios de gravidade e mo-
mento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento
da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferen-
ciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver
problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos prinćıpios para analisar
a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann
Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz
e os prinćıpios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos f́ısicos usando
equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti começou um estudo sério
de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para
casos especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann e
Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor
usou séries para ”resolver”equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram es-
tas séries para vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças
finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desen-
volvimento das equações diferenciais. No ińıcio do século XVIII, este e muitos outros
matemáticos tinham acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e
resolver muitas variedades de equações diferenciais. Contudo, muitas equações ainda
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 11
eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Cinquenta
anos de equações diferenciais trouxeram progresso considerável, mas não uma teoria
geral.
O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para con-
solidar e generalizar os métodos existentes e criar novas e mais poderosas técnicas
para atacar grandes faḿılias de equações. Muitas equações pareciam amigáveis, mas
tornaram-se decepcionantemente dif́ıceis. Em muitos casos, técnicas de soluções iludi-
ram perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das
equações diferenciais. Euler teve o benef́ıcio dos trabalhos anteriores, mas a chave
para seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. Euler en-
tendeu o papel e a estrutura de funções, estudou suas propriedades e definições.
Rapidamente, achou que funções eram a chave para entender equações diferen-
ciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Usando seu conhecimento de
funções, desenvolveu procedimentos para soluções de muitos tipos de equações.
Foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais,
logaŕıtmicas, trigonométricas e muitas outras funções elementares. Euler também
desenvolveu várias funções novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais
de equações diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes
indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. Em 1739,
desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho também incluiu o
uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais
proveram ”soluções”aproximadas para quase todas as equações. Euler então contin-
uou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de equações diferenciais
e soluções. Ele era um mestre que este assunto necessitava para se desenvolver além
de seu ińıcio primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento
da matemática aplicada moderna.
Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas
das suas ideias. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os métodos de Euler para ajudá-lo a
estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O
trabalho de D’Alembert em F́ısica Matemática envolveu equações diferenciais parciais
e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações. Lagrange
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 12
seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados
em mecânica, especialmente equações de movimento (problema dos três corpos) e
energia potencial. As maiores contribuições de Lagrange foram provavelmente na
definição de função e propriedades, o que manteve o interesse em generalizar métodos
e analisar novas faḿılias de equações diferenciais. Lagrange foi provavelmente o
primeiro matemático com conhecimento teórico e ferramentas suficientes para ser um
verdadeiro analista de equações diferenciais. Em 1788, ele introduziu equações gerais
de movimento para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de Lagrange.
O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanços,
incluindo técnicas numéricas melhores e um maior entendimento de integração. Em
1799, introduziu as ideias de um laplaciano de uma função. Laplace, claramente
reconheceu as ráızes de seu trabalho quando escreveu ”Leia Euler, leia Euler, ele é
nosso mestre”. O trabalho de Legendre sobre equações diferenciais foi motivado pelo
movimento de projéteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como
resistência do ar e velocidades iniciais. Lacroix foi o próximo a deixar sua marca.
Trabalhou em avanços nas equações diferenciais parciais e incorporou muitos dos
avanços desde os tempos de Euler ao seu livro. A contribuição principal de Lacroix foi
resumir muitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O próximo na
ordem foi Fourier. Sua pesquisa matemática fez contribuiçõesao estudo e cálculos da
difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Muito deste trabalho aparece em
The Analytical Theory of Heat (A Teoria Anaĺıtica do Calor, 1822) de Fourier, no qual
ele fez uso extensivo da série que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta
importante para o estudo de oscilações. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a
teoria matemática desta série, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler,
Daniel Bernoulli, e Lagrange. As contribuições de Charles Babbage vieram por uma
rota diferente. Ele desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de
Diferença que usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações.
O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no ińıcio do século 19, quando
as teorias e conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram. Os dois
contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Gauss usou
equações diferenciais para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação.
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 13
Gauss estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da matemática.
Também reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave
para entender muitos dos resultados necessários em equações diferenciais aplicadas.
Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a
superf́ıcie de um ĺıquido. Os resultados são agora clássicos em hidrodinâmica. Inven-
tou o método das caracteŕısticas, o qual é importante na análise e solução de várias
equações diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as ideias
de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise ri-
gorosa de cálculo e equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver uma
teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourier
para prover soluções algébricas para equações diferenciais.
Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar
estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da ciência. Os trabalhos iniciais
de Poisson em mecânica apareceram em Traité de mécanique em 1811. Aplicou seu
conhecimento de equações diferenciais a aplicações em f́ısica e mecânica, incluindo
elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise
de equações diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho
de Green em fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e magnetismo foi
publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to
Electricity and Magnetism. A matemática de Green proveu a base na qual Thom-
son, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros constrúıram a teoria atual do magnetismo.
Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações diferen-
ciais à Astronomia. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar per-
turbações planetárias. Posteriormente, estas construções foram usadas para resolver
equações diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Pois-
son e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para desenvolver teorias sobre
a condução do calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de con-
torno resolvendo equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm
e Hilbert no ińıcio da década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de
integrais de funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de
equações diferenciais. As investigações teóricas e experimentais de Stokes cobriram
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 14
hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e f́ısica solar.
Ele usou modelos de equações diferenciais em todos os campos de estudo.
Na metade do século XIX, uma nova estrutura era necessária para atacar sis-
temas de mais de uma equação diferencial. Vários matemáticos vieram em socorro.
Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma ferramenta
poderosa para avaliar integrais múltiplas e resolver equações diferenciais. A estrutura
do jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito
hábil e um perito numa variedade de campos aplicados. Cayley também trabalhou
com determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Cay-
ley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos para lecionar na
Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos
cobrindo muitas áreas da matemática, dinâmica teórica e astronomia. Cayley criou a
noção de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas décadas
posteriores. Josiah Gibbs fez contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e
à mecânica. Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é
conhecido como o pai da análise vetorial.
À medida que o final do século XIX se aproximava, os principais esforços em
equações diferenciais se moveram para um plano teórico. Em 1876, Lipschitz de-
senvolveu teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de primeira
ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funções e soluções de
equações. Ao tempo que a teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas
básicas foram provadas transcendentais, assim como as suas inversas e as funções ex-
ponenciais e logaŕıtmicas. Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia
ser resolvida por funções eĺıpticas. Enquanto seu trabalho era teórico, os polinômios
de Hermite e as funções de Hermite se mostraram posteriormente muito úteis para
resolver a equação de onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. O próximo
a construir fundamento teórico foi Bernhard Riemann. Seu doutorado foi obtido,
sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. Riemann também
teve o benef́ıcio de trabalhar com o f́ısico Wilhelm Weber. O trabalho de Riemann
em equações diferenciais contribuiu para resultados em dinâmica e f́ısica. No final
da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergência e o
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 15
”fenômeno de Gibbs”da série de Fourier. O próximo contribuinte teórico importante
foi Kovalevsky, a maior matemática antes do século XX. Depois de vencer dificul-
dades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero, ela teve oportunidade
de estudar com Weierstrass. No ińıcio de sua pesquisa, completou três artigos so-
bre equações diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno,
ela se apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente,
o trabalho de Kovalevsky era sobre a teoria de equações diferenciais parciais e um
resultado central sobre a existência de soluções ainda leva seu nome. Ela publicou
vários artigos sobre equações diferenciais parciais. Posteriormente, no século XX, tra-
balhos teóricos de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram
novas classificações para o entendimento posterior de algumas das mais complicadas
faḿılias de equações diferenciais.
O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais robustos e
eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações di-
ferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Estes métodos numéricos
ainda são usados hoje. Ele usou tanta matemática em sua pesquisa que f́ısicos pen-
saram que fosse matemático, e fez tanta f́ısica que os matemáticos pensaram que fosse
f́ısico. Hoje seu nome está associado com os métodos de Runge-Kutta para resolver
equações diferenciais. Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é lem-
brado por sua contribuiçãoà teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios
em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na última metade do século XX,
muitos matemáticos e cientistas da computação implementaram métodos numéricos
para equações diferenciais em computadores para dar soluções rápidas e eficientes
para sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard
Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforço.
Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, o maior
matemático de sua geração, produziu mais de 30 livros técnicos sobre f́ısica matemática
e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações
diferenciais. Em mecânica celeste, trabalhando com os resultados do astrônomo
americano George Hill, conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria quali-
tativa de equações diferenciais não lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 16
as sementes de novas maneiras de pensar, as quais floresceram, tais como análise de
séries divergentes e equações diferenciais não lineares. Poincaré entendeu e contribuiu
em quatro áreas principais da matemática - análise, álgebra, geometria e teoria de
números. Ele tinha um doḿınio criativo de toda a matemática de seu tempo e foi,
provavelmente, a última pessoa a estar nesta posição. No século XX, George Birkhoff
usou as ideias de Poincaré para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer
uma teoria para a análise das propriedades das soluções destas equações. Na década
de 1980, a teoria emergente do caos usou os prinćıpios desenvolvidos por Poincaré e
seus seguidores. (DINIZ, G.L., 2006, veja [13]).
1.2 Definições Básicas
Entende-se por equação diferencial toda equação cujas incógnitas são funções e que
contenha pelo menos uma derivada ou diferencial destas funções. Numa equação
diferencial, considere a função incógnita y. Quando y = y(x), ou seja, y depende
apenas de uma variável independente, temos uma Equação Diferencial Ordinária.
Definição 1. Uma equação diferencial ordinária é toda equação da forma
F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0, (1.1)
que exprime uma relação entre x, a função y e suas derivadas y′, y′′, até a derivada
de ordem n.
Quando a função y = y(x1, x2, . . . , xn), n ≥ 2, dizemos que a equação diferencial
é parcial, isto é, a função y depende de mais de uma variável. Nos restrigiremos ao
estudo da primeira destas equações. Também usaremos a notação
dy
dx
para designar
a derivada de y com relação a variável x.
Exemplo 1. (y′′)3 + y′(y′′)− 6y′ + 8x = 0
Exemplo 2. x
d2y
dx2
− dy
dx
= 0
Exemplo 3. xy′ − 2y = 0
Exemplo 4. y′′′ + y′′ + y′ + y = 0
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 17
Exemplo 5.
∂2z
∂x2
− ∂2z
∂y2
= 0
As equações podem ser classificadas por ordem e grau. A seguir, daremos as
definições de ordem e grau de uma equação diferencial. Estas definições se aplicam
tanto a equações diferenciais ordinárias quando a equações diferenciais parciais.
Definição 2. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior
ordem em (1.1).
Exemplo 6. A equação y′′ + exy′ + (x + 1)y = 0, tem y′′ como derivada de maior
ordem. Logo, essa EDO é de ordem 2.
Dessa forma, temos que as equações diferenciais nos exemplos anteriores são,
respectivamente, de 2a ordem, 2a ordem, 1a ordem, 3a ordem e 2a ordem.
Definição 3. O grau de uma equação diferencial na forma (1.1) é o maior expoente
a que está elevada a derivada de maior ordem na equação.
Exemplo 7. Na equação (y′′)2 + y′ + y3 = 0 a derivada de maior ordem é y′′ cujo
expoente é 2. Logo, a equação é de grau 2. Ou seja, 2a ordem e 2o grau.
Assim, nos exemplos 1 a 6 temos o primeiro deles do 3o grau e os demais do 1o
grau.
Observação 1. A equação deve estar na forma racional inteira para aplicarmos a
definição 3. Veja exemplo abaixo.
Exemplo 8. Na equação diferencial x
d3y
dx3
− y
d3y
dx3
= 1 temos, x
(
d3y
dx3
)2
− y =
d3y
dx3
é de 3a ordem e 2o grau.
Após sermos apresentados às equações diferenciais estudaremos alguns conceitos
importantes relacionadas as equações diferenciais ordinárias. Nas próximas seções
deste caṕıtulo estudaremos sobre solução de uma EDO, tipos de soluções, linearidade
ou não linearidade de uma EDO e problemas de valor inicial.
1.3 Solução de uma Equação Diferencial
Quando uma função y = y(x) é substituida em (1.1), juntamente com suas derivadas,
e observa-se a igualdade dizemos que essa função é solução da equação diferencial.
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 18
Vejamos o seguinte exemplo.
Exemplo 9. Na equação diferencial
xy′′ − y′ = 0, (1.2)
se tomarmos a função y(x) = ax2 + b, onde a, b ∈ R são constantes arbitrárias,
temos a derivada da função y é y′ = 2ax e a segunda derivada é y′′ = 2a. Assim,
substituindo essas derivadas em (1.2), obtemos a igualdade. Logo, y(x) = ax2 + b é
solução de (1.2).
Observe que para cada valor de a, b ∈ R a função y(x) = ax2 + b continua sendo
solução de (1.2). Assim, a equação possui uma faḿılia de curvas que são soluções.
Essas curvas serão denominadas curvas integrais. Atribuindo alguns valores para
a, b ∈ R vemos que as curvas integrais de (1.2) são parábolas que podem ser vistas
na figura abaixo.
A seguir, veremos mais alguns exemplos de soluções de equações diferenciais
ordinárias e algumas de suas curvas integrais.
Exemplo 10. Encontraremos a faḿılia de curvas integrais da equação diferencial
y′ − y = 0. (1.3)
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 19
Derivando a função y(x) = aex, onde a ∈ R é uma constante qualquer, temos
y′(x) = aex. Assim, y′ − y = 0, ou seja, y(x) = aex é solução de (1.3). Algumas de
suas curvas integrais são representadas na figura abaixo.
Exemplo 11. Veremos que as curvas integrais da equação diferencial
xy′ − y = 0 (1.4)
são retas que passam pela origem. Com efeito, derivando a função y(x) = cx,
c ∈ R constante, temos y′(x) = c. Logo, y(x) = cx satisfaz (1.4).
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 20
As soluções de uma equação diferencial ordinária são classificadas em solução
geral e particular, conforme definições abaixo.
Definição 4. Dizemos que uma função é solução geral da equação diferencial or-
dinária quando esta for solução e possuir tantas constantes arbitrárias quantas forem
as unidades da ordem da equação.
Assim, nos exemplos 9, 10 e 11, as equações dadas são as soluções gerais das
respectivas equações diferenciais.
Definição 5. Uma solução particular de uma equação diferencial é uma função de-
duzida da equação geral atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias.
Dessa forma, y = x2+1, y = 2ex e y = 3x são soluções particulares das equações
diferenciais ordinárias dos exemplos 9, 10 e 11 respectivamente.
1.4 Equações Diferenciais Lineares
Definição 6. Uma equação diferencial linear de ordem n num intervalo I é uma
equação da forma
an(x)
dny
dxn
+ . . .+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = h(x), (1.5)
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 21
onde os coeficientes a0(x), . . . , an(x) e h(x) são funções cont́ınuas no intervalo I.
Observe que em (1.5) a equação é diferencial ordinária de grau 1 e as funções que
multiplicam as derivadas de y dependem apenas da variável x.
Em (1.5) quando h(x) é identicamente nula, dizemos que a equação diferencial
linear é homogênea. Caso contrário, dizemos que é não homogênea. Quando a
função an(x) não se anula em nenhum ponto de I temos uma equação diferencial
linear normal. Caso a equação diferencial não satisfaça a definição anterior, dizemos
que a equação é não linear.
A seguir, veremos alguns exemplos de classificação de equações diferenciais.
Exemplo12.
dy
dx
= 2xy = 9x é uma equação diferencial linear, não homogênea,
normal, de ordem 1 e grau 1 em (−∞,+∞).
Exemplo 13.
dy
dx
= xy
1
2 é não linear, de ordem 1 e grau 1.
Exemplo 14.
d2y
dx2
+ y = 0 é uma equação diferencial linear homogênea, normal, de
ordem 2 e grau 1 em (−∞,+∞).
Exemplo 15. x3
d3y
dx3
+x
dy
dx
= 3 é linear, não homogênea, normal, de grau 3 e ordem
1 em (−∞, 0) e (0,+∞), mas não é normal em qualquer intervalo que contenha a
origem.
1.5 Problemas de Valor Inicial
Com uma simples substituição, verificamos que a equação diferencial xyy′− x2y = 0
tem como solução a faḿılia de funções y =
x2
2
+ c. Se adicionarmos a condição de
que além de satisfazer a EDO a função também deve satisfazer a condição y(0) = 1,
então somente a função y(x) =
x2
2
+ 1 fatisfaz ambas as condições. A condição
y(0) = 1 é chamada condição inicial. De uma forma geral, o problema
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 22

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0
y(x0) = y0
y′(x0) = y1
...
yn−1(x0) = yn−1
é chamado problema de valor inicial (PVI). Conforme vimos acima, y = x2 +
2x+ 1 é solução do PVI
 (y′′)3 + y′(y′′)− 6y′ + 8x = 0
y(0) = 1
Exemplo 16. A função y = c1x
2 + c2 é solução geral da equação x
d2y
dx2
− dy
dx
= 0
no exemplo 2 da seção 1.2, conforme podemos verificar substituindo suas derivadas
na equação. Assim, para determinarmos a solução do PVI

x
d2y
dx2
− dy
dx
= 0
y(1) = 3
y′(1) = 2
devemos encontrar as constantes c1 e c2 usando as condições y(1) = 3, y′(1) = 2.
Sendo,
y(x) = c1x
2 + c2
implica que
y′(x) = 2c1x.
Logo,
2 = y′(1) = 2c1,
donde c1 = 1. Substituindo o valor de c1 na em y(x) obtemos y(x) = x2+c2. Como,
3 = y(1) = 1 + c2,
obtemos c2 = 2. Portanto y = x2 + 2 é solução do PVI.
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 23
Exemplo 17. Na equação diferencial y′′−5y′+6y = 0, vemos que y = c1e
2x+c2e
3x
é solução da EDO (verifique!). Dessa forma, para determinar a solução do PVI
y′′ − 5y′ + 6y = 0
y(0) = −2
y′(0) = 0
devemos determinar as constantes c1 e c2. Sendo y(0) = c1 + c2 e y′(x) = 2c1e
2x +
3c2e
3x, ou seja, y′(0) = 2c1 + 3c2, temos que c1 e c2 satisfazem c1 + c2 = −2
2c1 + 3c2 = 0
Resolvendo o sistema, obtemos c1 = −6 e c2 = 4. Portanto, y = −6e2x + 4e3x é
solução do PVI acima.
EXERCÍCIOS
1. Classifique quanto ao tipo (EDO ou EDP) e determine a ordem e o grau de
cada uma das seguintes equações diferenciais:
(a) y′′ + y′ = 0
(b)
∂y
∂x
+
∂z
∂x
= 0
(c) (cosx)
d2y
dx2
+ (x3 − 1)
dy
dx
+ 7y = 2
(d) (x2 + y2)dx− 3xydy = 0
(e)
(
d2y
dx2
)3
+ x
dy
dx
− y5 = 1
(f)
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
= 0
(g)
∂z
∂x
− 4
∂z
∂x
− 2xy
(
∂z
∂x
)2
= 0
(h) y′′′ + 2xy′′ + (1− x)(y′)6 = x
2. Determine a ordem e o grau das seguintes equações diferenciais:
(a)
dy
dx
− 3x = 1
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 24
(b) y
dy
dx
+ 2y = 1− 2x4
(c)
d2y
dx2
+ y = 0
(d) x
d2y
dx2
− dy
dx
= 0
(e)
d2y
dx2
+ y = 0
(f)
d2y
dx2
− dy
dx
− 6y = 0
(g) xdx+ ydy = 0
(h) dy
dx
− y = 0
(i) 3y2 − x2 = 2xy dy
dx
(j)
d2y
dx2
+ 4y = 0
(k)
d3y
dx3
− 2
d2y
dx2
+
dy
dx
= 0
(l)
d2y
dx2
− dy
dx
− 2y = 0
3. Determine quais das seguintes equações diferenciais ordinárias são lineares:
(a) y′′′ − 2y′ + 3y = x
(b) (x− 1)
dy
dx
− 3y = 6x
(c)
dy
dx
= xy
3
2
(d)
d4y
dx4
+ 3
d3y
dx3
+ 2
d2y
dx2
+
dy
dx
= 0
(e) y′′ + x(y′)2 = 0
(f)
dy
dx
− 4x = 3
(g)
d2y
dx2
+ 3y = 1
(h)
d2y
dx2
+ 7
dy
dx
− 2y2 = 0
4. Verifique que as funções dadas são soluções das equações diferenciais ordinárias:
(a)
dy
dx
− 3x = 1, y(x) =
3
2
x2 − x+ c
(b)
d2y
dx2
+ y = 0, y(x) = c1senx+ c2cosx
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 25
(c) x
d2y
dx2
− dy
dx
= 0, y(x) = c1x
2 + c2
(d)
d2y
dx2
+ y = 0, y(x) = c1cos(x+ c2)
(e) ty′ − y = t2, y(t) = t2 + 3t
(f)
d2y
dx2
− dy
dx
− 6y = 0, y(x) = c1e
3x + c2e
−2x
(g) dy
dx
− y = 0, y(x) = cex
(h)
d2y
dx2
+ 4y = 0, y(x) = c1cos(2x) + c2sen(2x)
(i)
d3y
dx3
− 2
d2y
dx2
+
dy
dx
= 0, y(x) = (c1 + c2x)ex + c3
(j)
d2y
dx2
− dy
dx
− 2y = 0, y(x) = c1e
2x + c2e
−x
(k) dy = 2x(y2 + 9)dx, y(x) = 3tg(3x2)
(l) x2y′′ − xy′ + y = 0, y(x) = c1cos(ln x) + c2sen(ln x)
5. Dada a equação diferencial x2 − 4xy′ + 6y = 0, verifique que y1(x) = x2 e
y2(x) = x3 são ambas soluções da EDO. Verifique também que y1(x) + y2(x)
também é solução. De um modo geral, podemos afirmar que se y1(x) e y2(x)
são soluções de uma equação diferencial, então y1(x)+y2(x) também é solução?
6. Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial (veja questão 4):
(a)

dy
dx
− 3x = 1
y(0) = 1
(b)

d2y
dx2
+ y = 0
y(π) = −2
y′(π) = −1
(c)

x d
2y
dx2
− dy
dx
= 0
y(1) = 1
y′(1) = 3
(d)

d2y
dx2
− dy
dx
− 6y = 0
y(0) = 4
y′(0) = −3
Caṕıtulo 1. Equação Diferencial 26
(e)

d2y
dx2
− dy
dx
− 6y = 0
y(0) = 7
(f)

d2y
dx2
− dy
dx
− 2y = 0
y(0) = 2
y′(0) = −5
Caṕıtulo 2
Equações Diferenciais de Primeira
Ordem
Neste caṕıtulo trataremos das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem,
dy
dx
= f(x, y),
onde a função f dada possui duas variáveis. Qualquer função y = y(x) que satisfaça
a equação acima, para todo x ∈ I, onde I é um intervalo, é denominada solução
da equação em questão e nosso objetivo será determinar se tais funções existem e,
caso existam, desenvolver métodos para encontrá-las. Infelizmente, não existe um
método geral para resolver uma equação diferencial qualquer em termos de funções
elementares, mas apresentaremos métodos de resolver equações diferenciais que são
aplicáveis a determinadas classes de funções.
2.1 Equações Lineares
Uma equação linear de primeira ordem deve satisfazer
a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = h(x), (2.1)
onde as funções a0(x), a1(x) e h(x) são cont́ınuas num intervalo I, com a1(x) não
identicamente nula em I. Consideraremos, nesta seção, (2.1) normal em I. Sendo
assim, a1(x) 6= 0 em I e podemos escrever a equação (2.1) da forma
27
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 28
dy
dx
+ p(x)y = q(x), (2.2)
onde p(x) = a0(x)/a1(x) e q(x) = h(x)/a1(x). Antes de encontrarmos a solução
de (2.1), observe o seguinte fato. Seja yp solução particular de (2.2) e yh solução da
homogênea associa a (2.2), isto é, solução de
dy
dx
+ p(x)y = 0. (2.3)
Dessa forma,
dyp
dx
= q(x)− p(x)yp e
dyh
dx
= −p(x)yh. Então
d(yp + yh)
dx
=
dyp
dx
+
dyh
dx
= q(x)− p(x)yp − p(x)yh = q(x)− p(x)(yp + yh).
Ou seja,
d(yp + yh)
dx
+ p(x)(yp + yh) = q(x).
Logo, a função yp + yh é solução de (2.2). Além disso, dada qualquer outra função
y0(x) solução de (2.2) temos que
d(y0 − yp)
dx
=
dy0
dx
− dyp
dx
= q(x)− p(x)y0 − (q(x)− p(x)yp) = −p(x)(y0 − yp).
Logo, y0 − yp é solução de (2.3), donde y0 − yp = yh, que implica em y0 = yp + yh.
Isso significa que para encontrar soluções de (2.2) devemos somar a solução geral
de (2.3) com uma solução particular de (2.2). O espaço de soluções de (2.2) tem
dimensão 1, ou seja, se y é solução, então cy é solução geral, onde c é uma constante
real arbitrária.
Determinar a solução da homogênea não é, em geral, uma tarefa dif́ıcil. De ińıcio
a grande dificuldade é determinar a solução particular da equação diferencial. O
teorema seguinte fornecerá uma fórmula para as soluções de (2.2).
Teorema 1. (Método de Lagrange1) Seja
dy
dx
+ p(x)y = q(x)
1Joseph Louis Lagrange foi um grande matemático italiano que viveu no século XVIII. Foi profes-
sor de matemática na Escola Real de Artilharia de Turim aos 16 anos. Dentre inúmeras contribuições
a diferentes ciências, é dele a primeira versão do teorema do valor médio.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 29
definida num intervalo I. Então, a solução geral dessa equação é
y =
(
c+
∫
q(x)e
∫
p(x)dxdx
)
e−
∫
p(x)dx,onde c é uma constante real arbitrária.
Demonstração. Para determinar a solução da equação, inicialmente encontraremos a
solução geral da homogênea, que pode ser escrita da seguinte forma
1
y
dy
dx
= −p(x), y 6= 0
que é equivalente a
d ln|y|
dx
= −p(x)
que integrando, obtemos
ln|y| = −
∫
p(x)dx.
Assim, y = e−
∫
p(x)dx é solução da equação homogênea e
y = ce−
∫
p(x)dx
é solução geral, com c ∈ R. A seguir, encontraremos uma solução particular da
equação. Suponhamos que se possa achar uma função cont́ınua µ = µ(x), com
µ(x) 6= 0 em I, tal que
d(µ(x)y)
dx
= µ(x)
dy
dx
+ µ(x)p(x)y. (2.4)
Então teŕıamos
d(µ(x)y)
dx
= µ(x)
[
dy
dx
+ p(x)y
]
,
donde a equação
dy
dx
+ p(x)y = q(x)
poderia ser escrita da forma
d(µ(x)y)
dx
= µ(x)q(x). (2.5)
Integrando a igualdade temos
µ(x)y =
∫
µ(x)q(x)dx,
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 30
concluindo que
y =
1
µ(x)
∫
µ(x)q(x)dx (2.6)
é solução de
dy
dx
+ p(x)y = q(x). Assim, nosso problema agora está restrito a
encontrar uma função µ satisfazendo (2.4).
Pela regra de derivação
d(µ(x)y)
dx
=
dµ
dx
y + µ(x)
dy
dx
. (2.7)
De (2.4) e (2.7) temos
dµ
dx
y = µ(x)p(x)y, donde concluimos que
dµ
dx
= µ(x)p(x).
Assim,
1
µ
dµ
dx
= p(x),
e com um racioćınio análago ao que foi feito anteriormente, temos µ(x) = e
∫
p(x)dx.
Substituindo essa função em (2.6), temos que
y = e−
∫
p(x)dx
∫
q(x)e
∫
p(x)dxdx
é solução particular da equação. Portanto, a solução procurada é a soma da solução
da homogênea com a solução particular, ou seja, a solução geral é
y = ce−
∫
p(x)dx + e−
∫
p(x)dx
∫
q(x)e
∫
p(x)dxdx = e−
∫
p(x)dx
(∫
q(x)e
∫
p(x)dxdx+ c
)
.
A função µ(x) usada na demonstração acima é chamada de fator integrante para
a equação
dy
dx
+ p(x)y = q(x). É aconselhado ao leitor não memorizar a fórmula
do teorema acima. Os exemplos abaixo ilustram como resolver estas equações sem
memorizar a fórmula.
Exemplo 18. Determinaremos a solução geral da seguinte equação 2y′ + 3y = e−x
no intervalo I = (−∞,+∞). Inicialmente, devemos colocar a equação na forma
y′ + p(x)y = q(x), ou seja, y′ + 3
2
y = 1
2
e−x. Dessa forma, o fator integrante
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 31
µ(x) = e
∫
p(x)dx é tal que µ(x) = e
3
2
x. Agora, multiplicando o fator integrante na
equação, obtemos (
y′ +
3
2
y
)
e
3
2
x =
1
2
e−xe
3
2
x =
1
2
e
x
2 .
Observe que
d(ye
3
2
x)
dx
= y′e
3
2
x + y
3
2
e
3
2
x =
(
y′ +
3
2
y
)
e
3
2
x.
Logo,
d(ye
3
2
x)
dx
=
1
2
e
x
2 .
Integrando a igualdade, obtemos
ye
3
2
x = e
x
2 + c
que implica em
y = e−x + ce−
3
2
x
solução da equação diferencial, com c ∈ R uma constante qualquer.
Exemplo 19. Encontrar a solução geral da equação diferencial
dy
dx
+ 2xy = x. Com
efeito, sendo p(x) = 2x, temos que o fator integrante µ(x) = e
∫
p(x)dx é µ(x) = ex
2
.
Assim, (
dy
dx
+ 2xy
)
ex
2
= xex
2
,
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 32
ou
d(yex
2
)
dx
= xex
2
.
Assim,
yex
2
=
∫
xex
2
dx+ c,
donde segue que
y =
1
2
+ ce−x
2
.
Exemplo 20. Resolver a equação
x
dy
dx
+ y = x.
A equação acima é equivalente a
dy
dx
+
y
x
= 1.
Sendo p(x) = 1
x
e µ(x) = e
∫
p(x)dx, temos µ(x) = e
∫
1
x
dx. Como
∫
1
x
dx = ln x, segue
que µ(x) = x. Multiplicando a equação pelo fator integrante temos
d(xy)
dx
= x,
donde segue que
xy =
∫
xdx,
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 33
ou seja,
xy = x2 + c.
Portanto, y = x+ c
x
é solução da EDO.
2.2 Equações Separáveis
Uma equação diferencial de primeira ordem é da forma
dy
dx
= f(x, y).
Na seção anterior, consideramos o caso onde esta era dita linear, mas se esta equação
for não linear existe um método que soluciona uma ampla classe dessas equações. Para
identificar essas equações utilizamos a forma diferencial da equação acima, que é
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0,
onde M,N são funções nas variáveis x e y. Quando M e N dependem apenas de
uma variável, por exemplo
M(x)dx+N(y)dy = 0,
dizemos que a equação é separável, pois conseguimos separar por uma igualdade as
variáveis x e y. Com um processo de integração simples obtemos∫
M(x)dx+
∫
N(y)dy = c,
onde c ∈ R é uma constante arbitrária, encontramos a solução geral da equação.
Exemplo 21. Encontrar a solução de (3x+ 1)dx− dy = 0.
Separando as variáveis, temos (3x + 1)dx = dy, onde integrando a igualdade
temos que y = 3/2x2 + x+ c é solução, onde c ∈ R é constante.
Exemplo 22. Resolver a equação
dy
dx
=
x2 + 2x+ 3
2y + 1
.
Essa equação pode ser escrita da forma (x2 + 2x+ 3)dx+ (2y+ 1)dy = 0. Assim
x3
3
+ x2 + 3x+ y2 + y = c,
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 34
onde c é uma constante. Logo
y2 + y = −x
3
3
− x2 − 3x+ c
é solução da equação dada.
De um modo geral, toda equação da forma
M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y) = 0
pode ser transformada numa equação cujas variáveis estão separadas multiplicando
seus coeficientes por
1
M2N1
. Observe, no entanto, que em geral esta operação
suprimirá as soluções da equação que satisfazem M2(x) = 0.
Exemplo 23. Determinar as soluções de x2ydx − xydy = 0. Dividindo a equação
por xy, supondo xy 6= 0 temos, xdx − dy = 0, donde obtemos y = x2
2
+ c como
solução. Obviamente, para xy = 0 a equação é satisfeita.
2.3 Equações Homogêneas
Algumas equações que suas variáveis não são separáveis podem ser transformadas
em equações de variáveis separáveis. Um caso em que esse processo sempre funciona
é quando na equação os coeficientes são funções homogêneas segundo a definição
abaixo.
Definição 7. Uma função cont́ınua f(x, y) é dita homogênea de grau λ quando
f(tx, ty) = tλf(x, y).
Exemplo 24. Assim as funções f(x, y) = x2 +y2 e g(x, y) = xy são homogêneas de
grau 2. Com efeito, f(tx, ty) = (tx)2+(ty)2 = t2x2+t2y2 = t2(x2+y2) = t2f(x, y)
e g(tx, ty) = txty = t2xy = t2g(x, y).
O teorema abaixo garante que equações com coeficientes homogêneos podem ter
suas variáveis separáveis, portanto podem ser resolvidas pelo método da seção anteior.
Teorema 2. Suponha que M(x, y) e N(x, y) sejam homogêneas de grau λ. Então a
equação M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 pode ser transformada em outra cujas variáveis
são separáveis.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 35
Demonstração. Considere a seguinte substituição y = vx. Logo dy = vdx+ xdv e
M(x, y)dx+N(x, y)dy = M(x, vx)dx+N(x, vx)(vdx+ xdv).
Usando a homogeneidade de M e N , temos
xλM(1, v)dx+ xλN(1, v)(vdx+ xdv) = 0,
ou
xλM1(v)dx+ xλN1(v)(vdx+ xdv) = 0,
onde M1 e N1 depende somente de v. Desenvolvendo a equação acima temos
xλM1(v)dx+ xλN1(v)(vdx+ xdv) = xλM1(v)dx+ xλN1(v)vdx+ xλN1(v)xdv,
donde
xλ [M1(v)dx+ vN1(v)dx+ xN1(v)dv] = 0,
implicando
M1(v)dx+ vN1(v)dx+ xN1(v)dv = 0,
ou seja
[M1(v) + vN1(v)]dx+ xN1(v)dv = 0.
Logo,
dx
x
+
N1(v)
vN1(v) +M1(v)
dv = 0.
Assim, obtemos a separação das variáveis, provando o teorema.
A seguir, veremos na prática como essa substituição funciona.
Exemplo 25. Considere (x + y)dx + (x − y)dy = 0. Sendo M(x, y) = x + y e
N(x, y) = x− y homogêneas de grau 1, fazendo a substituição y = vx obteremos a
separação das variáveis. Com efeito, y = vx temos dy = vdx+ xdv e
(x+ vx)dx+ (x− vx)(vdx+ xdv).
Logo,
xdx+ vxdx+ xvdx− v2xdx+ x2dv − vx2dv = 0.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 36
Dividindo por x obtemos
(1 + 2v − v2)dx+ x(1− v)dv = 0
que implica em
dx
x
+
1− v
1 + 2v − v2
dv = 0.
Dessa forma, separamos as variáveis e obtemos uma nova equação que tem a mesma
solução da equação inicial. Integrando a igualdade teremos∫
dx
x
+
∫
1− v
1 + 2v − v2
dv = k.
Resolvendo as integrais, obtemos
ln x+
1
2
ln (1 + 2v − v2) = k,
donde temos
x
[
1 + 2
y
x
−
(y
x
)2]1/2
= c,
onde c = ek, como solução da equação.
Exemplo 26. Resolveremosagora a equação diferencial (x2 + y2)dx + xydy = 0.
Sendo M(x, y) = x2 + y2 e N(x, y) = xy homogêneas de grau 2, faremos as
substituições y = ux e dy = udx+ xdu. Assim, obtemos
(x2 + (ux)2)dx+ x(ux)(udx+ xdu) = 0.
Desenvolvendo a equação e dividindo-a por x2 temos
(1 + u2)dx+ xudu = 0.
Separando as variáveis temos
dx
x
+
u
1 + 2u2
du = 0.
Integrando em ambos os lados, concluimos que
ln x+
1
4
ln (1 + 2u2) = k.
Portanto, a solução da equação diferencial é
x
(
1 + 2
(y
x
)2) 1
4
= c,
onde c = ek.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 37
2.4 Equações Exatas
Nesta seção estudaremos as equações diferenciais exatas, uma ampla classe de equações
a qual existe um método para encontrar suas soluções.
Definição 8. Dizemos que uma equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é diferencial
exata quando existe uma função F (x, y) tal que
dF = M(x, y)dx+N(x, y)dy,
onde dF =
∂F
∂x
dx+
∂F
∂y
dy.
Exemplo 27. A equação ydx+xdy = 0 é diferencial exata, pois tomando F (x, y) =
xy temos dF = ydx + xdy. Como ydx + xdy = 0 implica que dF = 0, ou seja,
F = c, onde c é uma constante. Logo, xy = c é solução da equação diferencial
exata.
Exemplo 28. A equação (2x + ey)dx + xeydy = 0 é exata. Com efeito, tomando
F (x, y) = x(x+ ey) temos que
∂F
∂x
= 2x+ ey
e
∂F
∂y
= xey.
Logo, dF = M(x, y)dx + N(x, y)dy, que implica dF = 0, ou seja, F (x, y) = c é
solução da equação, onde obtemos
y = ln
∣∣∣∣c− x2x
∣∣∣∣ , x 6= 0
solução da equação diferencial exata.
O teorema abaixo garante que se uma equação diferencial for exata, a equação
F (x, y) = c é solução geral da equação.
Teorema 3. Seja
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
definida numa região R e suponhamos que existe uma função diferencial F tal que
M(x, y) =
∂F
∂x
, N(x, y) =
∂F
∂y
em R. Então a expressão F (x, y) = c, onde c é uma
constante arbitrária, define a solução geral da equação.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 38
Demonstração. Esse resultado é consequência direta do teorema da função impĺıcita.
De fato, por hipótese,
∂F
∂x
,
∂F
∂y
são cont́ınuas em R. Além disso, como
∂F
∂y
6= 0
em todo o doḿınio da equação diferencial e como N(x, y) =
∂F
∂y
segue que
∂F
∂y
não se anula em nenhum ponto de R. Portanto, se (x0, y0) é qualquer ponto de R
e F (x0, y0) = c, o teorema da função impĺıcita garante que a expressão F (x, y) =
c determina uma única solução continuamente derivável y num intervalo aberto I
contendo x0 tal que
y′ =
−∂F
∂x
∂F
∂y
= −M(x, y)
N(x, y)
em I. Logo, y é solução da equação diferencial exata, provando o teorema.
Tudo isso é muito bom, mas é quase inútil para resolver equações diferenciais a
menos que descubramos um método para reconhecer uma equação diferencial exata
quando a vemos, e para exibir uma função F cuja diferencial é a equação dada. O
teorema a seguir nos ajudará bastante nesta tarefa.
Teorema 4. Sejam M(x, y) e N(x, y) continuamente deriváveis numa região R
(simplesmente conexa). Dessa forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é uma equação
diferencial exata se, e somente se,
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
Demonstração. Devemos construir uma função F = F (x, y) tal que dF = Mdx +
Ndy, isto é, ∂F/∂x = M(x, y) e ∂F/∂y = N(x, y). Para isso, seja (x0, y0) um
ponto fixado em R (plano) e seja (x, y) variável. Ponhamos
F (x, y) =
∫ x
x0
M(x, y0)dx+
∫ y
y0
N(x, y)dy,
onde x é fixado na segunda integral e o integrando considerado como função de uma
só variável que é y. Então
∂F
∂x
= M(x, y0) +
∫ y
y0
∂N
∂x
dy
= M(x, y0) +
∫ y
y0
∂M
∂y
dy,
pois ∂N
∂x
= ∂M
∂y
. Assim,
F (x, y) = M(x, y0) +M(x, y)−M(x, y0) = M(x, y).
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 39
Analogamente, ∂F
∂y
= N(x, y). A rećıproca deste fato é consequência do teorema de
Schwarzt2, pois
∂M
∂y
=
∂2F
∂y∂x
,
∂N
∂x
=
∂2F
∂x∂y
.
Logo,
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
A seguir apresentamos alguns exemplos de equações diferenciais exatas.
Exemplo 29. 2xydx+ (x2 − y2)dy = 0, onde
∂M
∂y
= 2x =
∂N
∂x
.
Exemplo 30. xy2dx+ x2ydy = 0, onde
∂M
∂y
= 2xy =
∂N
∂x
.
Exemplo 31. (x+ y2)dx+ (2xy + ey)dy = 0, onde
∂M
∂y
= 2y =
∂N
∂x
.
Exemplo 32.
(
1− 2
x
+ y
)
dx+
(
1− 2
y
+ x
)
dy = 0, onde
∂M
∂y
= 1 =
∂N
∂x
.
Sabemos identificar uma equação diferencial exata e temos que se existe uma
função F tal que dF = Mdx+Ndy, isto é, ∂F/∂x = M(x, y) e ∂F/∂y = N(x, y),
então F (x, y) = c é solução da equação diferencial, onde c é uma constante arbitrária.
Mas, ainda não temos um método expĺıcito para encontrar F . O teorema a seguir
resolverá esta questão.
Teorema 5. Seja M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 uma equação diferencial exata, com
M e N continuamente deriváveis numa região R. Então
F (x, y) = c
é solução da equação, com c ∈ R é uma constante arbitrária e
F (x, y) = P (x, y) +
∫ (
N(x, y)− ∂P
∂y
)
dy,
onde P (x, y) =
∫
M(x, y)dx .
2O enunciado e demonstração deste fato pode ser encontrado em [7].
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 40
Demonstração. Pelo teorema 3, existe F (x, y) solução da equação diferencial exata
tal que ∂F/∂x = M(x, y) e ∂F/∂y = N(x, y). Na primeira igualdade, integrando
com relação a x, temos
F (x, y) =
∫
M(x, y)dx+ k(y), (2.8)
onde k(y) é a constante de integração que depende de y. Derivando (3.1) com
relação a y temos
∂F
∂y
=
∂
∂y
∫
M(x, y)dx+ k′(y).
Como ∂F
∂y
= N(x, y), isolando k′ temos
k′(y) = N(x, y)− ∂
∂y
∫
M(x, y)dx.
Denotando por P (x, y) =
∫
M(x, y)dx, temos
k′(y) = N(x, y)− ∂P
∂y
.
Integrando com relação y a equação acima, temos
k(y) =
∫ (
N(x, y)− ∂P
∂y
)
dy.
Substituindo o valor de k(y) em (3.1), temos
F (x, y) =
∫
M(x, y)dx+ k(y) = P (x, y) +
∫ (
N(x, y)− ∂P
∂y
)
dy,
que é solução da equação diferencial exata.
A seguir, veremos alguns exemplos práticos de como resolver equações diferenciais
exatas usando o teorema acima.
Exemplo 33. Considere 2xydx + (x2 − y2)dy = 0. Inicialmente devemos calcular
P (x, y)
P (x, y) =
∫
M(x, y)dx =
∫
2xydx = x2y.
Agora devemos determinar
∂P
∂y
∂P
∂y
= x2.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 41
Finalmente, devemos calcular
∫ (
N(x, y)− ∂P
∂y
)
dy
∫ (
N(x, y)− ∂P
∂y
)
dy =
∫ [
(x2 − y2)− x2
]
dy = −y
3
3
+ k.
Portanto,
F (x, y) = x2y − y3
3
+ k = c,
ou seja,
x2y − y3
3
+ p = 0
é solução da equação diferencial, onde p = k − c é constante.
Exemplo 34. Considere xy2dx+ x2ydy = 0. Assim,
P (x, y) =
∫
M(x, y)dx =
∫
xy2dx =
x2
2
y2.
Por outro lado, ∫ (
N(x, y)− ∂P
∂y
)
dy =
∫
(x2y − x2y)dy = k.
Logo, F (x, y) =
x2
2
y2+k = c, ou seja,
x2
2
y2+p = 0 é solução da equação diferencial,
onde p = k − c é constante.
Exemplo 35. Na equação diferencial exata (x + y2)dx + (2xy + ey)dy = 0, temos
P (x, y) =
∫
(x+ y2)dx = x2
2
+ y2. Então, ∂P
∂y
= x2
2
+ 2y. Assim,∫ (
N(x, y)− ∂P
∂y
)
dy =
∫ [
(2xy + ey) + (
x2
2
+ 2y)
]
dy = xy2+ey+
x2
2
y+y+k.
Logo,
xy2 + ey +
x2
2
y + y + p = 0
é solução da equação diferencial, onde p = k − c é constante.
Exemplo 36. Para a equação
(
1− 2
x
+ y
)
dx+
(
1− 2
y
+ x
)
dy = 0, temos
P (x, y) =
∫ (
1− 2
x
+ y
)
dx = x− 2ln x+ xy
e ∫ (
N(x, y)− ∂P
∂y
)
dy =
∫ (
1− 2
y
+ x− x
)
= y − 2ln y.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 42
Portanto, x+ y + xy + ln
(
1
xy
)2
= c é solução da equação, com c constante.
Algumas equações diferenciais não são exatas, mas podem ser transformadas em
exatas. Vejamos os exemplos abaixo.
Exemplo 37. A equação xdy − ydx = 0 não é exata, pois
∂M
∂y
= −1 6= 1 =
∂N
∂x
.
Porém, quando multiplicada por
1
x2
a equação se torna
1
x
dy − y
x2
dx = 0,
com
∂M
∂y
= − 1
x2
e
∂N
∂x
= − 1
x2
,
pois M(x, y) = − y
x2
e N(x, y) =
1
x
. Assim, transformamos uma equação não exata
em uma equação exata cujo método de resolver já sabemos.
Aindano exemplo acima, obeserve que se multiplicarmos a equação por
1
y2
ou
1
x2 + y2
ainda obtemos equações diferenciais exatas (verifique!). Dessa forma, se
conhecermos tal função que transforma uma equação diferencial não exata em exata
aumentamos a classe de equações’ diferenciais ordinárias que podemos encontrar suas
soluções através do método visto nesta seção. A dificuldade até agora é determinar
tal função.
A seguir, apresentamos um método para escolha de tal função, conhecida como
fator integrante.
Com efeito, considere λ o fator integrante da equação diferencial não exata
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0.
Sendo λ fator integrante da equação, temos que λ a transforma em uma equação
diferencial exata, ou seja,
∂(λM)
∂y
=
∂(λN)
∂x
.
Desenvolvendo a equação obtemos
∂λ
∂y
M +
∂M
∂y
λ =
∂λ
∂x
N +
∂N
∂x
λ,
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 43
isto é,
∂λ
∂y
M − ∂λ
∂x
N =
∂N
∂x
λ− ∂M
∂y
λ = λ
(
∂N
∂x
− ∂M
∂y
)
. (2.9)
Para simplificar a escolha, faremos λ uma função de apenas uma variável, ou seja,
dependendo apenas de x ou de y. Inicialmente, tomamos λ = λ(x), ou seja,
∂λ
∂y
= 0.
Assim, em (2.9), temos
−∂λ
∂x
N = λ
(
∂N
∂x
− ∂M
∂y
)
.
Dividindo a equação por λN , temos
1
λ
∂λ
∂x
=
1
N
(
∂M
∂y
− ∂N
∂x
)
.
Integrando a igualdade com relação a x temos
lnλ =
∫
1
N
(
∂M
∂y
− ∂N
∂x
)
dx.
Lembramos que para isso ocorrer, devemos ter o integrando acima dependendo apenas
da variável x. Portanto, o fator integrante
λ = e
∫
1
N ( ∂M
∂y
− ∂N
∂x )dx.
Analogamente, tomando λ em função apenas da variável y teremos
λ = e
∫
1
M ( ∂N
∂x
− ∂M
∂y )dy.
Vejamos na prática como determinar tal fator integrante.
Exemplo 38. Na equação diferencial ydx+ (y2 − x)dy = 0, temos
∂M
∂y
= 1
e
∂N
∂x
= −1.
Logo, temos uma equação diferencial não exata. Faremos a escolha do fator integrante
dependendo da variável y, pois a função M é mais simples que a função N . Então
λ = e
∫
1
M ( ∂N
∂x
− ∂M
∂y )dy
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 44
ou seja,
λ = e
∫
1
y
(−1−1)dy = e
∫ −2
y
dy = e−2ln y = eln y
−2
= y−2.
Assim, a equação diferencial se transforma em
1
y
dx
(
1− x
y2
)
dy = 0,
a qual é diferencial exata, pois
∂(λM)
∂y
= − 1
y2
=
∂(λN)
∂x
.
Exemplo 39. A equação diferencial ydx+ (1− x)dy = 0 não é exata, pois
∂M
∂y
= 1
e
∂N
∂x
= −1.
Para λ dependendo da variável x temos
λ = e
∫
1
N ( ∂M
∂y
− ∂N
∂x )dx,
ou seja,
λ = e
∫
1
(1−x)
[1−(−1)]dx = e
∫
2
1−x
dx = e−2ln(1−x) = eln(1−x)
−2
=
1
(1− x)2
.
Assim, transformamos a equação em
y
(1− x)2
dx+
1
(1− x)
dy = 0
que é diferencial exata, pois
∂(λM)
∂y
=
1
(1− x)2
=
∂(λN)
∂x
.
Agora, se tomassemos λ dependendo da variável y teŕıamos
λ = e
∫
1
M ( ∂N
∂x
− ∂M
∂y )dy,
ou seja
λ = e
∫
1
y
(−1−1)dy = e
∫ −2
y
dy = e−2ln y = eln y
−2
=
1
y2
.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 45
O que transformaria a equação em
1
y
dx+
(
1− x
y2
)
dy = 0
que é diferencial exata, pois
∂(λM)
∂y
= − 1
y2
=
∂(λN)
∂x
.
Na seção 2.1 vimos o método de Lagrange para resolver equações diferenciais
lineares. Agora, veremos como o fator integrante também pode nos ajudar a resolver
uma equação diferencial linear.
Exemplo 40. Considere a seguinte equação diferencial linear
dy
dx
− y
x
= x+ 1.
Observe que a equação linear não é exata, pois é equivalente a
dy + (−y
x
− x− 1)dx = 0,
onde
∂M
∂y
= −1
x
e
∂N
∂x
= 0.
Porém, multiplicando a equação pelo fator integrante λ(x) = 1
x
, temos uma nova
equação
1
x
dy + (− y
x2
− 1
x
− 1)dx = 0
cuja
∂M
∂y
= − 1
x2
e
∂N
∂x
= − 1
x2
,
ou seja, é uma equação diferencial exata, a qual conhemos um método de resolver.
Portanto, a inclusão de um fator integrante em uma equação diferencial linear a
transforma em uma equação diferencial exata. Vejamos a seguir a prova deste fato e
a expressão que nos dirá quem deve ser o fator integrante.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 46
A equação diferencial linear
dy
dx
+ P (x)y = Q(x)
pode ser reescrita da seguinte forma
(P (x)y −Q(x))dx+ dy = 0.
Se multiplicarmos na equação o fator integrante λ(x) = e
∫
P (x)dx, teremos
e
∫
P (x)dx[P (x)y −Q(x)]dx+ e
∫
P (x)dxdy = 0,
onde M(x, y) = e
∫
P (x)dx[P (x)y −Q(x)] e N(x, y) = e
∫
P (x)dx. Assim,
∂M
∂y
= Pe
∫
P (x)dx
e
∂N
∂x
= Pe
∫
P (x)dx
que mostra que a equação diferencial é exata.
Exemplo 41. Na equação diferencial
dy
dx
− ytg x = sen x
usando fator integrante, temos∫
P (x)dx =
∫
tg xdx = ln(cos x).
Portanto, a equação diferencial linear se transforma na equação diferencial exata
cos xdy − (ysen x+ sen x cos x)dx = 0
que tem como solução a equação
ycos x+
sen2x
2
= c,
(verifique!) onde é uma constate real.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 47
2.5 Equação de Bernoulli
Uma equação da forma
dy
dx
+ Py = Qyn,
onde P e Q são constantes ou dependem apenas de x, n 6= 0 e n 6= 1 é chamada
equação de Bernoulli 3. Esta equação se resolve através de uma mudança de variável
que a transforma numa equação linear. Vejamos como procede tal substituição.
Dada a equação
dy
dx
+ Py = Qyn, (2.10)
onde n 6= 0 e n 6= 1, dividindo em ambos os membros por yn temos
y−n
dy
dx
+ Py1−n = Q. (2.11)
Faremos a substituição
y1−n = t,
onde t = t(x). Derivando com relação a x a igualdade acima temos
(1− n)y−n
dy
dx
=
dt
dx
,
donde
y−n
dy
dx
=
1
(1− n)
dt
dx
.
Substituindo este resultado em (2.11) obtemos
1
(1− n)
dt
dx
+ Pt = Q,
ou seja
dt
dx
+ (1− n)Pt = (1− n)Q
que é uma equação linear, cujo método de encontrar solução já vimos neste caṕıtulo.
Exemplo 42. Determine as soluções da equação diferencial
dy
dx
+ xy = x3y3.
3Nicolau Bernoulli foi um matemático súıço que viveu no século XVII. Estudou com os tios
Johann e Jacob Bernoulli. Os Bernoulli são famosos por ter na faḿılia vários grandes matemáticos
que compartilham do mesmo nome em seus trabalhos.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 48
Dividindo ambos os membros da equação por y3, temos
y−3
dy
dx
+ xy−2 = x3.
Fazendo a mudança de variável y−2 = t temos que
−2y−3
dy
dx
=
dt
dx
.
Assim, a equação se transforma em
−1
2
dt
dx
+ xt = x3,
ou seja,
dt
dx
− 2xt = −2x3
que é uma equação linear, cuja solução (verifique!) é
t = x2 + 1 + cex
2
,
com c constante. Como y−2 = t, temos que
y =
1√
x2 + 1 + cex2
é solução da equação em questão, onde c é uma constante arbitrária.
Exemplo 43. Encontre as soluções da equação diferencial
x
dy
dx
+ y = y2ln x.
A equação é equivalente a
dy
dx
+
y
x
=
y2ln x
x
.
Dividindo ambos os membros da equação por y2, temos
y−2
dy
dx
+
y−1
x
=
ln x
x
.
Fazendo a mudança de variável y−1 = t temos que
−y−2 dy
dx
=
dt
dx
.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 49
Assim, a equação se transforma em
− dt
dx
+
t
x
=
ln x
x
,
ou seja,
dt
dx
− t
x
= − ln x
x
que é uma equação linear, cuja solução (verifique!) é
t = ln x+ cx+ 1,
com c constante. Como y−1 = t, temos que
y =
1
ln x+ cx+ 1
é solução da equação em questão, onde c é uma constante arbitrária.
Exemplo 44. Resolva a seguinte equação diferencial
dy
dx
− y
x
= 2xy2.
Dividindo a equação por y2 obtemos
1
y2
dy
dx
− 1
xy
= 2x.
Fazendo
1
y
= t, temos
− 1
y2
dy
dx
=
dt
dx
,
ou seja,
1
y2
dy
dx
= − dt
dx
.
Logo, a equação que t́ınhamos inicialmente se transforma na equação linear
− dt
dx
− 1
x
t = 2x
dt
dx
+
1
x
t = −2x,
que pode ser resolvida usando a técnica vista na seção 2.1 (encontre a solução!).
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 50
2.6 Equação de Riccati
Uma equação da forma
dy
dx
= Py2 +Qy +R,
onde P , Q e R são funções na variável x é denominada equação de Riccati 4.
Observe que se tomarmosP (x) = 0 uma equação linear torna-se um caso parti-
cular da equação de Riccati. Analogamente, a equação de Bernoulli torna-se um caso
particular se tomarmos R(x) = 0.
Liouville 5 demonstrou que resolução dessa equação por meio de quadraturas só
é posśıvel quando se conhece uma solução particular, caso contrário ela só se integra
por meio de uma função transcendente.
Nos concentremos em resolver a equação de Riccati. Inicialmente, admita que y0
é solução particular da equação em questão
dy
dx
= Py2 +Qy +R. (2.12)
Façamos
y = y0 + z, (2.13)
onde z é uma função a ser determinada. Sendo y0 solução particular, temos que
dy0
dx
= Py20 +Qy0 +R. (2.14)
Derivando (2.13), obtemos
dy
dx
=
dy0
dx
+
dz
dx
. (2.15)
Substituindo (2.15) e (2.13) em (2.12), temos que
4Jacopo Francesco Riccati foi um matemático italiano que viveu no século XVII. A resolução
de sua equação foi proposta em sua época e matemáticos como Goldbach e o próprio Bernoulli se
ocuparam dela.
5Joseph Liouville foi um notório matemático francês que viveu no século XIX. Dentre suas
principais contribuições estão a primeira demonstração da existência de números transcendentes e
a não existência de primitivas de determinadas funções.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 51
dy0
dx
+
dz
dx
= P (y0 + z)2 +Q(y0 + z) +R
dy0
dx
+
dz
dx
= P (y20 + 2y0z + z2) +Q(y0 + z) +R
dy0
dx
+
dz
dx
= Py20 + P2y0z + Pz2 +Qy0 +Qz +R
dy0
dx
+
dz
dx
= Pz2 + (2Py0 +Q)z + Py20 +Qy0 +R. (2.16)
De (2.14) e (2.16) segue que
dz
dx
= Pz2 + (2Py0 +Q)z,
ou seja,
dz
dx
− (2Py0 +Q)z = Pz2,
que é uma equação de Bernoulli, cujo método de resolver já vimos na seção anterior.
Exemplo 45. Verifique que y = x é solução particular da equação
dy
dx
+
y
x
+
y2
x2
= 3
e determine sua solução geral.
Sendo
dy
dx
= 1, temos que
dy
dx
+
y
x
+
y2
x2
= 1 + 1 + 1 = 3,
ou seja, y = x é solução particular da equação. Fazendo y = x+ z, temos que
dy
dx
= 1 +
dz
dx
.
Substituindo na equação, temos
1 +
dz
dx
+
x+ z
x
+
x2 + 2xz + z2
x2
= 3
1 +
dz
dx
+ 1 +
z
x
+ 1 +
2z
x
+
z2
x2
= 3
dz
dx
+
3
x
z = − 1
x2
z2,
que é uma equação de Bernoulli na variável z cuja solução é
y =
Kx5 + 3x
Kx4 − 1
,
com K constante (verifique!).
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 52
Exemplo 46. Mostre que y = −x é solução particular da equação
(1 + x3)
dy
dx
+ 2xy2 + x2y + 1 = 0
e calcule sua solução geral.
Sabemos que
dy
dx
= −1. Substituindo na equação temos
−(1 + x3) + 2x3 − x3 + 1 = −1− x3 + x3 + 1 = 0.
Logo, y = −x satisfaz a equação.
Fazendo y = −x+ z, obtemos
dy
dx
= −1 +
dz
dx
.
Assim,
−1 +
dz
dx
+
2x(−x+ z)2
1 + x3
+
x2(−x+ z)
1 + x3
+
1
1 + x3
= 0
dz
dx
+
−1− x3 + 2x3 + 2xz2 − 4x2z − x3 + x2z + 1
1 + x3
= 0
dz
dx
+
2xz2 − 3x2z
1 + x3
= 0
dz
dx
− 3x2
1 + x3
z =
2x
1 + x3
z2,
que é uma equação de Bernoulli na variável z cuja solução é
y =
Cx+ 1
x2 − C
,
com C constante (verifique!).
Exemplo 47. Sabendo que y = 1 é solução particular da equação
dy
dx
+ (2x− 1)y − xy2 = x− 1,
calcule sua solução geral.
Como
dy
dx
= 0 e 2x − 1 − x = x − 1, temos que y = 1 é solução particular da
equação. Fazendo y = 1 + z, temos
dy
dx
=
dz
dx
.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 53
Substituindo na equação temos
dz
dx
+ (2x− 1)(1 + z)− x(1 + z)2 = x− 1
dz
dx
+ 2x+ 2xz − 1− z − x− 2xz − xz2 = x− 1
dz
dx
− z − xz2 = 0
dz
dx
− z = xz2,
que é uma equação de Bernoulli na variável z cuja solução é
y =
ex(2− x) + C
ex(1− x) + C
,
com C constante (verifique!).
2.7 Equação de Clairaut
É toda equação da forma
y = x
dy
dx
+ φ
(
dy
dx
)
.
Para determinar a solução geral da equação de Clairaut, faça a mudança de
variável
dy
dx
= p. Assim, temos que
y = xp+ φ(p). (2.17)
Derivando a expressão com relação a x e substituindo a mudança de variável,
temos
p = p+ x
dp
dx
+ φ′(p)
dp
dx
dp
dx
(x+ φ′(p)) = 0, (2.18)
donde
dp
dx
= 0, ou seja, p = C. Substituindo em (2.17), temos que y = Cx+ φ(C)
é solução geral da equação de Clairaut.
De (2.18), vem que x + φ′(p) = 0 que nos fornece uma solução particular da
equação de Clairaut.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 54
Exemplo 48. Resolver a equação
y = xy′ − ln(y′).
Fazendo y′ = p e procedendo como na demonstração acima, temos que
y = Cx− ln C
é solução geral da equação e ainda que
y = 1 + ln x
é solução particular da equação dada.
2.8 Aplicações das Equações Diferenciais de Primeira
Ordem
Nesta seção veremos alguns exemplos de como as equações diferenciais de primeira
ordem são aplicadas na solução de diferentes problemas em diversas ciências. Esta
seção não é de leitura obrigatória servindo apenas de motivação para o estudo das
equações diferenciais.
Exemplo 49. (Problemas de crescimento ou decrescimento)
Neste problema consideraremos X(t) uma determinada quantidade sujeita a cresci-
mento ou decrescimento. O seguinte problema de valor inicial
dX
dt
= kX, X(t0) = X0
surge naturalmente em diferentes áreas de diversas ciências. Por exemplo, se con-
siderarmos X(t) o número de átomos radioativos de uma determnada amostra no
instante t, definimos a atividade de uma amostra radioativa como sendo o número
de desintegrações por unidade de tempo. Observou-se, ao longo do estudo da ra-
dioatividade (1896) que a atividade é proporcional ao número de átomos radioativos
presentes, ou seja,
dX
dt
= λX,
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 55
onde λ é chamada constante de desintegração radioativa. Se consideramos X0 o
número de átomos no instante t0, temos o seguinte problema de valor inicial (PVI)
dX
dt
= λX, X(0) = X0,
cuja solução
X(t) = X0e
−λt.
Se considerarmos m(t) a quantidade de massa de uma substância radioativa,
temos
dm
dt
= −λm, m(0) = m0.
A meia-vida de uma substância é o tempo necessário para a metade dos átomos
de uma quantidade inicial m0 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro
elemento. Vejamos um problemas prático deste tipo:
Problema 1: Uma determinada substância radioativa tem inicialmente a quanti-
dade de m0 gramas e decompõe-se a uma razão proporcional à quantidade presente.
Se a meia-vida da quantidade inicial é 2.000 anos, encontre a quantidade de substância
após passados 3.000 anos.
Como vimos a solução geral deste problema é
m(t) = m0e
−λt.
Como m2000 = m0
2
, temos
m0
2
= m0e
−2000λ
que implica em
λ =
ln 2
2000
.
Assim, m(t) = m0e
− ln 2
2000
t e
m(3000) = m0e
− 3
2
ln 2,
e portanto
m(3000) = m0
1
2
√
2
.
A proporção de carbono 14 (radioativo) em relação ao carbono 12 presente nos
seres vivos é constante. Quando um organismo morre a absorção de carbono 14 cessa
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 56
e a partir dáı o carbono 14 vai se transformando em carbono 12 a uma taxa propor-
cional à quantidade presente. O problema de encontrar a quantidade de carbono 14
em função do tempo pode ser descrito pelo seguinte problema de valor inicial (PVI):
dA
dt
= −λA, A(0) = A0,
cuja solução já conhecemos
A(t) = A0e
−λt,
onde A0 é a quantidade no instante t = 0.
A seguir, vejamos um problema deste tipo.
Problema 2: Um determinado material foi encontrado na natureza e tem 1
500
da
quantidade original de carbono 14. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de
5.600 anos, isto é, em 5.600 anos metade do carbono 14 presente no material se
transformou em carbono 12. Determine a idade do material.
Com efeito, sabemos que a solução geal deste problema é
A(t) = A0e
−λt.
Como A5600 = A0
2
, temos
A0
2
= A0e
−5600λ
que implica em
λ =
ln 2
5600
.
No momento que o material foi encontrado temos A(t) = 1
500
A0, logo
1
500
A0 = A0e
−λt
, ou seja,
500 = eλt,
donde
ln 500 = λt,
portanto
t =
ln 500λ
=
5600ln 500
ln 2
,
o qual corresponde a aproximadamente 50.200 anos.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 57
Exemplo 50. (Dinâmica de populações)
Dinâmica de populações é um ramo da ciência que estudam e criam, dentre
outras coisas, modelos matemáticos para descrever a variação de uma população
com o tempo. Os modelos que vamos analisar são bastantes simples e tem como
objetivo motivar e exemplificar os conceitos, e não de serem representativos do caso
real, onde fenômenos biológicos e sociológicos, que regem o crescimento de uma
população são numerosos e complexos. Os modelos que estudaremos fornecem uma
taxa de crescimento de uma população p(t), num instante t, dada por
p′(t)
p(t)
.
Modelo 1: (O modelo malthusiano) Um dos modelos mais simples é aquele em
que se supõe que a taxa de crescimento é constante igual a λ. Assim temos a seguinte
equação que rege o crescimento populacional neste caso:
p′ = λp.
Um modelo dessa natureza parece razoável para descrever a população de micro-
organismos que se reproduzem por mitose, e para a aplicabilidade em intervalos de-
limitados de tempo, pois sua solução
p(t) = p(t0)e
λ(t−t0),
apresenta um crescimento exponencial se λ > 0, imposśıvel de ser mantido para sem-
pre. A aplicação deste modelo a populações humanas, dada por T.R. Malthus em
1798, gerou uma acirrada controvérsia no começo do século XIX. Malthus afirmava
que a população mundial crescia em razão geométrica, enquanto os meios de sobre-
vivência cresciam apenas em razão aritmética. Com isso, a população tenderia a ser
controlada por fome, miséria, epidemias, v́ıcios, etc.
Modelo 2: (O modelo de Verhulst) A constante λ na equação de T.R. Malthus é
a diferença entre as taxas de natalidade λn e a taxa de mortalidade λm, ou seja,
λ = λn − λm.
Uma análise cŕıtica do modelo malthusiano focaliza imediatamente a hipótese de λ
ser constante. Essa hipótese não parece razoável pois ela não leva em conta que o
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 58
crescimento da população aciona automaticamente certos mecanismos de controle
visando reduzir a taxa de crescimento. Essa situação tem sido observada entre vários
tipos de população, ou seja, as super populações alteram o funcionamento fisiológico
de certas espécies mudando seus hábitos sexuais e seu comportamento coletivo. O
modelo proposto por Verhulst consiste em supor que a taxa de crescimento decresce
linearmente com a população, isto é, λ = a− bp, onde a e b são constantes positivas.
Observe que esse ainda não é um modelo ideal pois não leva em conta que a taxa
de produção de novos membros da espécie depende da idade dos pais, isto é, que os
novosmembros não contribuem de imediato para o aumento da espécie. Esse modelo
pode ser traduzido pela equação diferencial separável
p′ = (a− bp)p,
conhecida na literatura como a equação de Verhulst-Pearl. Essa equação foi consider-
ada por Verhulst em 1834 para estudar as populações da França e da Bélgica, e mais
recentemente, 1920, por Pearl e Reed no estudo da população dos Estados Unidos.
A equação dada por
p(t) =
ap0
bp0 + (a− bp0)e−a(t−t0)
é uma solução expĺıcita do modelo.
Exemplo 51. (Resfriamento de um corpo)
Considere um modelo simplificado para o fenômeno da variação de temperatura
num corpo por perda de calor para o meio ambiente, fazendo as seguintes hipóteses:
i) a temperatura T é a mesma em todo o corpo e depende apenas do tempo t;
ii) a temperatura Ta do meio ambiente é constante com o tempo e é a mesma
em todo o meio ambiente;
iii) o fluxo de calor através das paredes do corpo, dado por dT
dt
é proporcional à
diferença entre as temperaturas do corpo e do meio ambiente:
dT
dt
= −k(T − Ta)
onde k é uma constante positiva que depende de propriedades f́ısicas do corpo. O
sinal de − na equação acima se explica pelo fato de que o calor flui da fonte quente
para a fonte fria, e assim se T > Ta, então T decresce. Se T < Ta, então dT
dt
cresce
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 59
e o corpo está aquecendo, ao invés de se resfriar. Este modelo foi considerado por
Newton, estudando o caso de uma bola de metal aquecida, e é por isso que iii) acima é
chamado de lei do resfriamento de Newton. Um modelo mais correto seria obtido
usando a lei de Newton para ”elementos próximos” dentro do corpo e escrever uma
equação diferencial parcial para a temperatura T (t, x) que agora dependeria também
do ponto x no corpo. A equação obtida seria
∂T
∂t
= k
∂2T
∂x2
que é conhecida como equação do calor.
Conhecendo-se a temperatura T (0) = T0 obtemos
T (t) = (T0 − Ta)e−kt + Ta
como solução do problema que t́ınhamos inicialmente.
Exemplo 52. (Diluição de soluções)
Um reservatório, contendo V litros de água pura, começa a receber uma solução
de água salgada (c kg de sal por litro de solução) a uma razão de a litros/segundo.
Um mecanismo de agitação no reservatório mantém homogênea a solução que vai
sendo formada. Simultaneamente ao processo de injeção de água salgada, começa-se
a retirar do reservatório a solução formada, na razão de a litros/segundo. Deter-
minaremos a quantidade de sal no reservatório num instante futuro.
Seja x(t) a quantidade de sal em kg presente no reservatório num tempo t.
Portanto a concentração de sal na solução é x/V kg/l. Pode-se portanto escrever
dx
dt
= ac− a x
V
que é uma equação diferencial do tipo esudada neste caṕıtulo. Como x(0) = 0,
podemos escrever explicitamente a solução do nosso problema como sendo
x(t) = cV (1− e−at/V ),
o que mostra que a concentração x(t)/V de sal no reservatório tende a c quando
t → ∞. Isso mostra que há uma marcha para o equiĺıbrio entre a solução salina
injetada e a solução no reservatório.
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 60
EXERCÍCIOS
1. Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações
diferenciais:
(a) xydx− dy = 0
(b) xdx− 1
y
dy = 0
(c) dy = (xy + 1)dx
(d) 2xydx+ x2dy = 0
(e)
dy
dx
=
xy2
x2y + y3
(f)
dy
dx
=
−xy2
x2y + y2
2. Resolver as seguintes equações lineares:
(a)
dy
dx
− y
x
= x− 2
(b)
dy
dx
− ytg x = sen x
(c)
dy
dx
+
y
x
− cotg x
x
= 0
(d)
dy
dx
= ytg x+ cos x
(e)
dy
dx
− y
x
= x
(f)
dy
dx
+
2y
x
= x3
(g) y2dx = (2xy + 3)dy
3. Resolver as seguintes equações separáveis:
(a) xdx+ ydy = 0
(b)
1
x
dx− 1
y
dy = 0
(c) xydx− 3(y − 2)dy = 0
(d)
1
x
dx+ dy = 0
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 61
(e) xdx+ ye−x
2
dy = 0
(f) (x2 + 1)dx+ (y2 + y)dy = 0
(g) (1− x)dy − y2dx = 0
(h)
dy
dx
=
y
x2
(i)
dy
dx
=
xex
2y
4. Determine a solução dos seguintes PVI:
(a)
 exdx− ydy = 0
y(0) = 1
(b)
 y′ =
2y + x
x
y(1) = 0
(c)
 sen xdx+ ydy = 0
y(0) = −2
(d)

(x2 + 1)dx+
1
y
dy = 0
y(−1) = 1
(e)

y′ =
2xy
y2 − x2
y(0) = 0
(f)
 xex
2
dx+ (y5 − 1)dy = 0
y(0) = 0
(g)
 y′ =
−2xy
1 + x2
y(2) = −5
(h)

dy
dx
=
x2y − y
y + 1
y(3) = −1
Caṕıtulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 62
5. Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso
afirmativo, determine sua solução:
(a) y′ =
y − x
x
(b) 2x(x+ y)dx+ (x2 + y2)dy = 0
(c) y′ =
x2 + 2y2
xy
(d) y′ =
2x+ y2
xy
(e)
dy
dx
= e
y
x +
y
x
(f)
dy
dx
=
y2
xy + (xy2)
1
3
(g) ydx+ (2
√
xy − x)dy = 0
6. Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a
solução nos casos afirmativos:
(a) (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y + 4y3)dy = 0
(b) (xy + x2)dx− dy = 0
(c) (2xy + x)dx+ (x2 + y)dy = 0
(d) (x− y)dx+ (x+ y)dy = 0
(e) yexydx+ xexydy = 0
(f) (2xy3 + y)dx+ (x+ 1 + 3x2y2)dy = 0
(g) xexydx+ yexydy = 0
(h) 3x2y2dx+ (2x3y + 4y3)dy = 0
(i) (ysen x+ xycos x)dx+ (xsen x+ 1)dy = 0
7. Determine o fator integrante e resolva as seguintes