Apostila Desenho I 2012

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Desenho I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carlos Antonio Vieira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2012 
 
 
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Sumário 
 
Introdução ___________________________________________________________________ 4 
 O Engenheiro ___________________________________________________________ 5 
 Atribuições e Competências do Engenheiro segundo o Sistema CONFEA/CREA ______ 7 
 As Responsabilidades Profissionais do Engenheiro_______________________________ 16 
 
Capítulo 01– Construções geométricas fundamentais. 
 
1.1 - De um ponto A traçar a perpendicular a uma reta r. ____________________________ 19 
1.2 - Traçar a perpendicular à semi-reta AO, no ponto O, sem prolongá-la ______________ 19 
1.3 - De um ponto dado A traçar a reta s, paralela à uma reta dada r.___________________ 20 
1.4 - Traçar paralelas através de perpendiculares.__________________________________ 20 
1.5 - Traçar a mediatriz de um segmento AB._____________________________________ 20 
1.6 - Construir um ângulo igual a um ângulo dado. ________________________________ 21 
1.7 - Traçar a bissetriz de um ângulo. ___________________________________________ 21 
1.8 - Dividir um segmento AB em n partes iguais. _________________________________ 21 
1.9 - Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s, sem usar o vértice _________ 22 
1.10 - Construir ângulos de 15
o
, 30
o
, 45
o
, 60
o
, 75
o
e ângulos quaisquer.________________ 22 
1.11 - Traçar o círculo inscrito a um triângulo dado. _______________________________ 23 
1.12 - Traçar o círculo circunscrito à um triângulo dado . ___________________________ 23 
1.13 - Dados três pontos não colineares traçar uma circunferência. ____________________ 23 
1.14a - De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente a ela. ___________________ 24 
1.14b - De um ponto dado fora da circunferência, traçar as tangentes a ela ______________ 24 
1.15 - Dadas duas circunferências de raios R1 e R2 e centros O1 e O2 traçar suas 
 tangentes externas comuns. ______________________________________________ 24 
1.16 - Dadas duas circunferências de raios R1 e R2 e centros O1 e O2 traçar suas 
 tangentes internas comuns. ______________________________________________ 25 
1.17 - Concordar uma reta dada num ponto A com um arco que deve passar por um 
 ponto B dado. ________________________________________________________ 25 
1.18 - Concordar duas retas r e s com um arco de raio dado R. _______________________ 26 
1.19 - Concordar um arco de circunferência de raio R dado, com um seguimento de 
 reta AB e uma circunferência dada de raio r ________________________________ 26 
1.20 - Concordar duas semi-retas paralelas, em A e B, através de dois arcos. ____________ 27 
1.21 - Concordar duas semi retas com o mesmo sentido, com distância entre extremidades 
 superior a distância entre ambas. __________________________________________ 27 
1.22 - Concordar duas circunferências de raios R1 e R2 externas uma à outra, por meio 
 de um arco de circunferência de raio R._____________________________________ 28 
1.23 - Concordar duas circunferências de raios R1 e R2 internas uma à outra, por meio 
 de um arco de circunferência de raio R. ____________________________________ 28 
1.24 - Divisão de circunferência em 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 10 partes iguais.__________________ 29 
1.25 - Regra de Bion para divisão de circunferência. _______________________________ 30 
1.26 - Dadas as retas paralelas r, s e o vértice A, traçar uma hexágono regular.___________ 31 
1.27 - Processo de Delaistre para construção de polígonos de 5 a 12 lados ______________ 31 
1.28 - Exercícios. ___________________________________________________________ 32 
 
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Capítulo 02 - Ovais, evolvente, cíclicas, cônicas e hélice. 
 
2.1 - Traçado de ovais _______________________________________________________ 34 
2.2 - Traçado de arcos_______________________________________________________ 37 
2.3 - Traçado de evolvente ___________________________________________________ 39 
2.4 - Curvas cíclicas_________________________________________________________ 39 
2.5 - Cônicas_______________________________________________________________ 41 
2.6 - Hélice ________________________________________________________________ 43 
 
Capítulo 03 - Projeções 
3.1 - Projeções axonométricas ortogonais ________________________________________ 44 
3.2 - Projeções axonométricas oblíquas ou cavaleiras ______________________________ 46 
3.3 - Perspectivas cônicas ____________________________________________________ 47 
3.4 – Perspectivas isométricas de círculos. _______________________________________ 49 
3.5 - Exercícios – Perspectivas ________________________________________________ 50 
3.6 - Projeções ortogonais ___________________________________________________ 51 
3.7 - Exemplos das projeções ortogonais ________________________________________ 56 
3.8 - Exercícios 3.2 - Desenhe as vistas em 1º diedro. ______________________________ 58 
3.9 - Exercícios 3.3 – Completar as vistas, identificar o diedro e esboçar as perspectivas. __ 61 
3.10 - Vistas auxiliares ______________________________________________________ 64 
3.11 – Projeções de sólidos geométricos elementares inclinados ______________________ 64 
3.12 – Seções, casos fundamentais _____________________________________________ 65 
3.13 – Rebatimento e projeções em V.G. ________________________________________ 66 
3.14 - Exercícios 3.4 – Completar vistas _________________________________________ 67 
3.15 – Exercícios 3.5 – Rebatimento em V.G. _____________________________________ 70 
 
 
Capítulo 04 - Planificações 
 
4.1- Desenvolvimento da superfície de uma pirâmide reta de base quadrada. __________ 70 
4.2 - Desenvolvimento da superfície de um prisma reto de base hexagonal _____________ 71 
4.3 - Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal ______ 71 
4.4 - Desenvolvimento da superfície de um oblíquo de cilindro reto __________________ 72 
4.5 - Desenvolvimento das superfícies de uma junção de cilindros ___________________ 72 
4.6 - Exercícios – Planificação. _______________________________________________ 73 
 
 
5 - Bibliografia ____________________________________________________________ 73 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
 
A disciplina Desenho I e uma das disciplinas dos cursos de Engenharia que tem como 
objetivos: 
• Desenvolver habilidades para o pensamento e abstração espacial; 
• Conhecer as técnicas do Desenho Geométrico e Descritivo necessárias para a futura 
leitura e interpretação do Desenho II, Desenho Técnico; 
• Utilizar-se dos conhecimentos adquiridos para solução de problemas com um grau de 
complexidade cada vez maior; 
• Desenvolver uma postura de eficiência, precisão, qualidade e senso de normalização; 
• Relacionar a representação espacial do Desenho com as demais disciplinas do curso. 
• Desenvolver a capacidade da aprendizagem dos quatro saberes preconizada pela 
UNESCO. 
 
 Na segunda série dos cursos será visto o Desenho II, desenho técnico, objetivando o 
conhecimento do sistema de normalização necessário: 
• na apresentação técnica do desenho como linguagem universal das engenharias; 
• nos processos de fabricação e de controle da qualidade de produtos e serviços;• nos procedimento de utilização e manutenção de máquinas e de equipamentos. 
• na elaboração de plantas de construção e instalações em engenharia. 
 
 Nos últimos anos, o ensino de Desenho tornou-se um grande desafio, pois foi vendida a idéia 
de que se aprendesse uma linguagem de desenho assistida por computador, já seria suficiente para o 
desenvolvimento das funções de um engenheiro. Esqueceu-se nesse episódio que o computador só 
executa uma atividade mediante o comando do seu operador, o engenheiro, sem a visão espacial, e se 
as competências acima citadas não forem bem desenvolvidas, não será um bom computador que nos 
fará um bom profissional em engenharia. 
 
O contato com o desenho assistido por computador é indispensável e necessário no contexto 
atual, logo na segunda série do curso será visto em Técnicas Computacionais o Desenho assistido 
por computador. 
 
A carência do conhecimento em leitura e interpretação do Desenho Técnico gera 
dependências no profissional em engenharia muito perigosas, inviabilizando inclusive a 
potencialidade de criação. 
 
 O desafio é enorme, no entanto, o professor propiciará um ambiente que permita a você, 
estudante, a atingir todos os objetivos de maneira efetiva e eficiente. 
 
 Em nossa jornada não pode-se negligenciar os quatro pilares da educação preconizado pela 
UNESCO: 
 Aprender a conhecer 
Este pilar objetiva estimular o prazer de compreender, de conhecer e de descobrir. Os estudantes 
devem ser estimulados a encontrar prazer em descobrir e em construir o conhecimento. É preciso 
despertar a curiosidade e a autonomia dos alunos para que se tornem pessoas habilitadas a 
estabelecer relações entre os conteúdos aprendidos e as situações vividas. 
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 Aprender a fazer 
 Os pilares – aprender a conhecer e aprender a fazer – são interdependentes, no entanto, 
aprender a fazer está mais relacionado ao conceito de investimento nas competências pessoais, a fim 
de que todos tenham as habilidades necessárias para acompanhar as novas demandas do mercado de 
trabalho e possam acompanhar a evolução de sociedades marcadas pelo avanço do conhecimento. 
 Aprender a conviver 
A construção cotidiana de uma cultura de paz depende da capacidade de aprender a viver e a 
conviver com pessoas e grupos diversos. E este é um dos maiores desafios da educação atual, já que 
a maior parte da história da humanidade é marcada por guerras e conflitos decorrentes da tradição de 
administrar conflitos por meio da violência. É preciso criar modelos educacionais capazes de 
estimular a convivência entre os diferentes grupos e ensiná-los a resolver suas diferenças de maneira 
pacífica. 
 Aprender a ser 
Este pilar refere-se ao conceito de educação ao longo da vida em seu sentido mais amplo, 
visando ao desenvolvimento humano tanto no aspecto pessoal quanto no profissional. O principal é 
que as pessoas atinjam níveis de autonomia intelectual que lhes permitam formar seu próprio juízo 
de valor diante das mais variadas situações. Aprender a ser envolve realização pessoal e capacidade 
de desenvolver a força criativa e o potencial próprios. 
“Síntese extraída do livro Educação: um tesouro a descobrir; produzida a pedido da UNESCO 
pela Comissão Internacional sobre Educação para o século XXI, coordenado por Jacques Delor” 
 
Deve-se lembrar que somos todos responsáveis pelo nosso sucesso. 
 
 A capacidade de se comunicar eficientemente é uma habilidade essencial e critica para os 
engenheiros. Comunicamo-nos em equipes, por meio de apresentações orais, em documentos 
escritos e através dos Desenhos Técnicos de nossos projetos. Além disso, talvez tão importante 
quanto tudo mais, nos comunicamos quando extraímos idéias de nossa mente e as explicamos para 
os outros. 
 O Desenho Técnico é uma forma essencial e indispensável na comunicação eficaz do projeto, 
pois além da comunicação com o cliente sobre o projeto, uma equipe de projeto também deve se 
comunicar, mesmo que apenas indiretamente ou através do cliente, com o criador ou fabricante do 
artefato projetado, essa comunicação deve ser a mais precisa possível uma vez que o construtor ou o 
fabricante pode nunca encontrar a equipe o criou. Geralmente, as únicas instruções que o fabricante 
vê são aquelas representações ou descrições do objeto projetado incluídas no relatório final do 
projeto. Isso significa que essas representações e descrições devem ser completas, inequívocas, 
claras e prontamente entendidas. 
 
 A visualização da importância da disciplina Desenho I passa pelo reconhecimento da 
profissão de Engenheiro e de suas responsabilidades. 
 
O ENGENHEIRO 
 
“Profissional que aplica as teorias e os princípios da ciência e da matemática para 
pesquisar e desenvolver soluções econômicas a problemas técnicos, ligando as necessidades 
socialmente percebidas às aplicações comerciais, respeitando o meio ambiente e a ética.” 
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A visão profissional do engenheiro pode ser feita segundo uma abordagem baseada em 
projeto. 
Segundo Herb Simon, projetar é imaginar e especificar coisas que não existem, normalmente 
com o objetivo de trazê-los ao mundo. As “coisas” podem ser tangíveis, máquinas, prédios e pontes, 
podem ser procedimentos, um plano de marketing, um novo processo de fabricação ou uma forma de 
resolver um problema de pesquisa cientifica por meio de experimentação, ou podem ser trabalhos 
artísticos, pintura, música ou escultura. Praticamente toda atividade profissional tem um amplo 
componente de projeto, embora normalmente combinado com as tarefas de trazer as coisas 
projetadas para o mundo real. (Dym, C. L.; Little, P. 2010.) 
O Projeto de Engenharia é um processo pensado para gerar estruturas, sistemas ou processos 
que atinjam os objetivos determinados, enquanto respeitam as restrições especificas. 
Um modelo de projeto pode ser descrito conforme fig. 01. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte: (Dym, C. L.; Little, P. 2010.) 
 
 
Figura 01 – Modelo prescritivo de cinco estágios do projeto 
 
Declaração de Problema do cliente 
 
Definição (ou enquadramento) do problema 
1. Esclarecer objetivos 
2. Estabelecer métricas para os objetivos 
3. Identificar restrições 
4. Revisar a declaração de problema do cliente 
Projeto Conceitual 
5. Estabelecer funções 
6. Estabelecer requisitos (especificação de função) 
7. Estabelecer meios para as funções 
8. Gerar alternativas de projeto 
9. Refinar e aplicar métricas nas alternativas de projeto 
10. Escolher um projeto 
Projeto preliminar 
11. Modelar e analisar o projeto escolhido 
12. Testar e avaliar o projeto escolhido 
Projeto detalhado 
13. Refinar e otimizar o projeto escolhido 
14. Designar e corrigir os detalhes do projeto 
Comunicação do projeto 
15. Documentar o projeto final 
Documentação do projeto final 
(relatórios, desenhos, 
especificações de fabricação) 
 
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A profissão de Engenheiro no Brasil é regida pelo Sistema CONFEA/CREA e cada uma das 
categorias têm suas atribuições e competências distintas, conforme se segue: 
 
1. CAMPO DE ATUAÇÃO PROFISSIONAL NO ÂMBITO DA ENGENHARIA CIVIL. 
 
1.1 Construção Civil 
 Topografia, Batimetria e Georreferenciamento; 
 Infraestrutura Territorial e Atividades multidisciplinares referentes à Planejamento Urbano e 
Regional no âmbito da Engenharia Civil; 
 Sistemas, Métodos e Processos da Construção Civil; 
 Tecnologiada Construção Civil; 
 Industrialização da Construção Civil; 
 Edificações; 
 Impermeabilização e Isotermia; 
 Terraplenagem, Compactação e Pavimentação; 
 Estradas, Rodovias, Pistas e Pátios; 
 Terminais Aeroportuários e Heliportos; 
 Tecnologia dos Materiais de Construção Civil; 
 Resistência dos Materiais; 
 Patologia e Recuperação das Construções; 
 Instalações, Equipamentos, Componentes e Dispositivos Hidro-Sanitários, de Gás, de 
Prevenção e Combate a Incêndio; 
 Instalações Elétricas em Baixa Tensão e Tubulações Telefônicas; 
 Lógicas para fins residenciais e comerciais de pequeno porte. 
 
1.2 Sistemas Estruturais. 
 Estabilidade das Estruturas; 
 Estruturas de Concreto, Metálicas, de Madeira e Outros Materiais; 
 Pontes e Grandes Estruturas; 
 Barragens; 
 Estruturas Especiais; 
 Pré-moldados. 
 
1.3 Geotecnia 
 Sistemas, Métodos e Processos da Geotecnia e da Mecânica dos Solos e das Rochas; 
 Sondagem, Fundações, Obras de Terra e Contenções, Túneis, Poços e Taludes. 
 
1.4 Transportes 
 Infra-estrutura Viária; 
 Rodovias, Ferrovias, Metrovias, Aerovias, Hidrovias 
 Terminais Modais e Multimodais; 
 Sistemas e Métodos Viários; 
 Operação, Tráfego e Serviços de Transporte Rodoviário, Ferroviário, Metroviário, 
Aeroviário, Fluvial, Lacustre, Marítimo e Multimodal; 
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 Técnica e Economia dos Transportes; 
 Trânsito, Sinalização e Logística. 
 
1.5 Hidrotecnia 
 Hidráulica e Hidrologia Aplicadas; 
 Sistemas, Métodos e Processos de Aproveitamento Múltiplo de Recursos Hídricos; 
 Regularização de Vazões e Controle de Enchentes; 
 Obras Hidráulicas Fluviais e Marítimas; 
 Captação e Adução de Água para Abastecimento Doméstico e Industrial; 
 Barragens e Diques; 
 Sistemas de Drenagem e Irrigação; 
 Vias Navegáveis, Portos, Rios e Canais. 
 
 
2. CAMPO DE ATUAÇÃO PROFISSIONAL NO ÂMBITO DA ENGENHARIA 
 AMBIENTAL 
 
2.1 Recursos Naturais 
 Sistemas, Métodos e Processos de Aproveitamento, Proteção, Monitoramento, Manejo, 
Gestão, 
 Ordenamento, Desenvolvimento e Preservação de Recursos Naturais; 
 Recuperação de Áreas Degradadas, Remediação e Biorremediação de Solos Degradados e 
Águas 
 Contaminadas e Prevenção e Recuperação de Processos Erosivos. 
 
2.2 Recursos Energéticos 
 Fontes Tradicionais, Alternativas e Renováveis de Energia Relacionadas com a Engenharia 
Ambiental; 
 Sistemas e Métodos de Conversão, Conservação de Energia e Impactos Energéticos 
Ambientais; 
 Eficientização Ambiental de Sistemas Energéticos Vinculados aos Campos de Atuação da 
Engenharia. 
 
2.3 Gestão Ambiental 
 Planejamento Ambiental em Áreas Urbanas e Rurais; 
 Prevenção de Desastres Ambientais; 
 Administração, Gestão e Ordenamento Ambientais; 
 Licenciamento Ambiental; 
 Adequação Ambiental de Empresas; 
 Monitoramento Ambiental; 
 Avaliação de Impactos Ambientais e Ações Mitigadoras; 
 Controle de Poluição Ambiental; 
 Instalações, Equipamentos, Componentes e Dispositivos da Engenharia Ambiental. 
 
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3. CAMPO DE ATUAÇÃO PROFISSIONAL NO ÂMBITO DA ENGENHARIA 
ELÉTRICA 
 
3.1 Eletricidade Aplicada e Equipamentos Eletroeletrônicos 
 Sistemas, Métodos e Processos da Eletrotécnica e da Eletrônica; 
 Eletromagnetismo; 
 Circuitos e Redes; 
 Tecnologia dos Materiais Elétricos, Eletrônicos, Magnéticos e Ópticos; 
 Fontes e Conversão de Energia; 
 Máquinas Elétricas; 
 Instalações, Equipamentos, Componentes, Dispositivos Mecânicos, Elétricos, Eletrônicos, 
Eletroeletrônicos, 
 Magnéticos e Ópticos, da Engenharia e da Indústria Eletroeletrônicas; 
 Sistemas de Medição Elétrica e Eletrônica; 
 Instrumentação e Controle Elétricos e Eletrônicos; 
 Avaliação, Monitoramento e Mitigação de Impactos Ambientais Energéticos e Causados por 
Equipamentos Eletro-Eletrônicos. 
 
3.2 Eletrotécnica 
 Geração, Transmissão, Distribuição e Utilização de Energia Elétrica; 
 Potencial Energético de Bacias Hidrográficas; 
 Sistemas Elétricos em Geral; 
 Instalações Elétricas em Baixa Tensão; 
 Instalações Elétricas em Alta Tensão; 
 Eficientização de Sistemas Energéticos; 
 Conservação de Energia; 
 Fontes Alternativas e Renováveis de Energia; 
 Auditorias, Gestão e Diagnósticos Energéticos; 
 Engenharia de Iluminação; 
 Sistemas, Instalações e Equipamentos Preventivos contra Descargas Atmosféricas. 
 
3.3 Eletrônica e Comunicação 
 Sistemas, Instalações e Equipamentos Eletrônicos em geral e de Eletrônica Analógica, 
Digital e de Potência, em particular; 
 Sistemas, Instalações e Equipamentos de Som e Vídeo; 
 Sistemas, Instalações e Equipamentos Telefônicos, de Redes Lógicas, de Cabeamento 
Estruturado e de Fibras Ópticas; 
 Sistemas, Instalações e Equipamentos de Controle de Acesso e de Segurança Patrimonial em 
geral, e de Detecção e Alarme de Incêndio, em particular; 
 Equipamentos Eletrônicos Embarcados. 
 
 
 
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4. CAMPO DE ATUAÇÃO PROFISSIONAL NO ÂMBITO DA ENGENHARIA DE 
CONTROLE E AUTOMAÇÃO 
 
4.1 Controle e Automação 
 Sistemas Discretos e Contínuos, Métodos e Processos Eletroeletrônicos e Eletromecânicos de 
Controle e Automação; 
 Controle Lógico-Programável, Automação de Equipamentos, Processos, Unidades e Sistemas 
de Produção; 
 Administração, Integração e Avaliação de Sistemas de Fabricação; 
 Instalações, Equipamentos, Componentes e Dispositivos Mecânicos, Elétricos, Eletrônicos, 
Magnéticos e Ópticos nos Campos de Atuação da Engenharia; 
 Robótica. 
 
4.2 Informática Industrial 
 Sistemas de Manufatura; 
 Automação da Manufatura; 
 Projeto e Fabricação Assistidos por Computador; 
 Integração do Processo de Projeto e Manufatura; 
 Redes e Protocolos de Comunicação Industrial; 
 Sistemas de Controle Automático de Equipamentos; 
 Comando Numérico e Máquinas e Produtos de Operação Autônoma; 
 Ferramentas e Métodos Apoiados em Inteligência Artificial. 
 
4.3 Engenharia de Sistemas e de Produtos 
 Sistemas, Métodos e Processos Computacionais para Planejamento, Dimensionamento e 
Verificação para o Desenvolvimento de Produtos de Controle e Automação; 
 Ciclo de Vida de Produtos; 
 Sistemas, Processos e Produtos Complexos; 
 Micro-eletromecânica e Nano-eletro-mecânica. 
 
5. CAMPO DE ATUAÇÃO PROFISSIONAL NO ÂMBITO DA ENGENHARIA 
MECÂNICA 
 
5.1 Mecânica Aplicada 
 Sistemas Mecânicos; 
 Sistemas Estruturais Metálicos e de Outros Materiais; 
 Sistemas, Métodos e Processos de Produção, Transmissão, Distribuição, Utilização e 
Conservação de Energia Mecânica; 
 Máquinas em Geral. 
 
5.2 Termodinâmica Aplicada 
 Sistemas Térmicos; 
 Sistemas, Métodos e Processos de Produção, Armazenamento, Transmissão, Distribuição e 
Utilização de Energia Térmica; 
 Caldeiras; 
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 Motores Térmicos; 
 Refrigeração. 
 Condicionamento de Ar e Conforto Ambiental. 
 
5.3 Fenômenos de Transporte 
 Sistemas Fluidodinâmicos; 
 Sistemas, Métodos e Processos de Armazenamento, Transmissão, Distribuição e Utilização 
de Fluidos em geral; 
 Pneumática e Hidrotécnica; 
 Fontes e Conversão de Energia; 
 Operações Unitárias; 
 Máquinas de Fluxo; 
 Instalações, Equipamentos, Componentes, Dispositivos Mecânicos, Elétricos, Eletrônicos, 
 Magnéticos e Ópticos da Engenharia Mecânica. 
 
5.4 Tecnologia Mecânica 
 Tecnologia dos Materiais de Construção Mecânica. Metrologia; 
 Métodos e Processos de Usinagem e Conformação; 
 Engenharia do Produto; 
 Mecânica Fina e Nanotecnologia; 
 Veículos Automotivos; 
 Material Rodante; Transportadores e Elevadores; 
 Estratégias de Controle e Automação dos Processos Mecânicos em geral; 
 Instalações, Equipamentos, Componentes e Dispositivos Mecânicos, Eletromecânicos, 
Magnéticos e Ópticos da Engenharia Mecânica. 
 
6. CAMPO DE ATUAÇÃO PROFISSIONAL NO ÂMBITO DA ENGENHARIA 
AERONÁUTICA 
 
6.1 Sistemas Aeronáuticos e Espaciais 
 Sistemas Mecânicos, Sistemas Estruturais Metálicos e de Outros Materiais, Sistemas 
Térmicos e Fluidodinâmicos e Sistemas Eletroeletrônicos, referentes a Aeronaves, 
Plataformas, Veículos de Lançamento e Espaçonaves; 
 Tecnologia dos Materiais de Construção Aeronáutica e Espacial. 
 
6.2 Tecnologia Aeroespacial 
 Aerodinâmica das Aeronaves, Veículos de Lançamento e Espaçonaves; 
 Instalações, Equipamentos, Componentes, Dispositivos Mecânicos, Elétricos, Eletrônicos, 
 Magnéticos e Ópticos referentes a Aeronaves, Plataformas e Veículos de Lançamento, e 
 Espaçonaves; 
 Aviônica; 
 Redes referentes a Sistemas a Bordo; 
 Máquinas, Motores e Propulsores. 
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6.3 Infraestrutura Aeroportuária e Industrial 
 Instalações, Equipamentos, Componentes, Dispositivos Mecânicos, Elétricos, Eletrônicos, 
Magnéticos e Ópticos referentes à Infraestrutura Aeronáutica, Espacial e à Indústria 
Aeronáutica e Espacial. 
 
6.4 Aeronavegabilidade 
 Operações de Vôo, Tráfego e Serviços de Transporte Aéreo, Controle de Aeronaves e 
 Comunicação; 
 Inspeção de Instalações da Aviação Civil; 
 Investigação e Prevenção de Acidentes Aeronáuticos; 
 Monitoramento da Dinâmica Atmosférica na Aeronavegabilidade. 
 
7. CAMPO DE ATUAÇÃO PROFISSIONAL NO ÂMBITO DA ENGENHARIA DE 
PRODUÇÃO 
 
7.1 Engenharia dos Processos Físicos de Produção 
 Gestão de Sistemas de Produção; 
 Processos de Fabricação e Construção; 
 Planejamento e Controle da Produção e do Produto Industrial; 
 Logística da Cadeia de Suprimentos; 
 Organização e Disposição de Máquinas e Equipamentos em Instalações Industriais; 
 Procedimentos, Métodos e Seqüências de Fabricação e Construção nas Instalações 
Industriais; Sistemas de Manutenção 
 Sistemas de Gestão de Recursos Naturais. 
 
7.2 Engenharia da Qualidade 
 Controle Estatístico e Metrológico de Produtos e Processos de Fabricação e Construção; 
 Normalização e Certificação da Qualidade; 
 Confiabilidade de Produtos e Processos de Fabricação e Construção. 
 
7.3 Ergonomia 
 Ergonomia do Produto e do Processo; 
 Biomecânica Ocupacional; 
 Psicologia e Organização do Trabalho; 
 Análise e Prevenção de Riscos de Acidentes. 
 
7.4 Pesquisa Operacional 
 Modelagem, Análise e Simulação de Sistemas no âmbito dos Campos de Atuação da 
Engenharia, em geral; 
 Processos Estocásticos; 
 Processos Decisórios; 
 Análise de Demandas por Bens e Serviços. 
 
 
 
13 
 
7.5 Engenharia Organizacional 
 Métodos de Desenvolvimento e Otimização de Produtos; 
 Gestão da Tecnologia, da Inovação Tecnológica, da Informação de Produção e do 
Conhecimento. 
 Planejamento Estratégico e Operacional; 
 Estratégias de Produção; 
 Organização Industrial; 
 Avaliação de Mercado; 
 Estratégia de Mercado; 
 Redes de Empresas e Cadeia Produtiva. 
 Gestão de Projetos. 
 
7.6 Engenharia Econômica 
 Gestão Financeira de Projetos e Empreendimentos; 
 Gestão de Custos; 
 Gestão de Investimentos; 
 Análise de Risco em Projetos e Empreendimentos; 
 Propriedade Industrial. 
 
 
8. Ainda, segundo a Associação Brasileira de Engenharia de Produção, ABEPRO, são 
consideradas subáreas de conhecimento tipicamente afetas à Engenharia de Produção as 
seguintes: 
 
8.1. ENGENHARIA DE OPERAÇÕES E PROCESSOS DA PRODUÇÃO 
 
Refere-se aos projetos, operação e melhorias dos sistemas que criam e entregam os produtos e 
serviços primários da empresa. 
8.1.1. Gestão de Sistemas de Produção e Operações 
8.1.2. Planejamento, Programação e Controle da Produção 
8.1.3. Gestão da Manutenção 
8.1.4. Projeto de Fábrica e de Instalações Industriais: organização industrial, layout/arranjo físico 
8.1.5. Processos Produtivos Discretos e Contínuos: procedimentos, métodos e seqüências 
8.1.6. Engenharia de Métodos 
 
8.2. LOGÍSTICA 
Refere-se às técnicas apropriadas para o tratamento das principais questões envolvendo o transporte, 
a movimentação, o estoque e o armazenamento de insumos e produtos, visando a redução de custos, 
a garantia da disponibilidade do produto, bem como o atendimento dos níveis de exigências dos 
clientes. 
8.2.1. Gestão da Cadeia de Suprimentos 
8.2.2. Gestão de Estoques 
8.2.3. Projeto e Análise de Sistemas Logísticos 
8.2.4. Logística Empresarial 
8.2.5. Transporte e Distribuição Física 
14 
 
8.2.6. Logística Reversa 
 
8.3. PESQUISA OPERACIONAL 
Refere-se à resolução de problemas reais envolvendo situações de tomada de decisão, através de 
modelos matemáticos habitualmente processados computacionalmente. Esta subárea aplica conceitos 
e métodos de outras disciplinas científicas na concepção, no planejamento ou na operação de 
sistemas para atingir seus objetivos. Procura, assim, introduzir elementos de objetividade e 
racionalidade nos processos de tomada de decisão, sem descuidar dos elementos subjetivos e de 
enquadramento organizacional que caracterizam os problemas. 
8.3.1. Modelagem, Simulação e Otimização 
8.3.2. Programação Matemática 
8.3.3. Processos Decisórios 
8.3.4. Processos Estocásticos 
8.3.5. Teoria dos Jogos 
8.3.6. Análise de Demanda 
8.3.7. Inteligência Computacional 
 
8.4. ENGENHARIA DA QUALIDADE 
Área da engenharia de produção responsável pelo planejamento, projeto e controle de sistemas de 
gestão da qualidade que considere o gerenciamento por processos, a abordagem factual para a 
tomada de decisão e a utilização de ferramentas da qualidade. 
8.4.1. Gestão de Sistemas da Qualidade 
8.4.2. Planejamento e Controle da Qualidade 
8.4.3. Normalização, Auditoria e Certificação para a Qualidade 
8.4.4. Organização Metrológica da Qualidade 
8.4.5. Confiabilidade de Processos e Produtos Documento 
 
8.5. ENGENHARIA DO PRODUTO 
Esta área refere-se ao conjunto de ferramentas e processos de projeto, planejamento, organização, 
decisão e execução envolvidas nas atividades estratégicas e operacionais de desenvolvimento de 
novos produtos, compreendendo desde a fase de geração de idéias até o lançamento do produto e sua 
retirada do mercado com a participação das diversas áreas funcionais da empresa. 
8.5.1. Gestão do Desenvolvimento de Produto 
8.5.2. Processo de Desenvolvimento do Produto 
8.5.3. Planejamento e Projeto do Produto 
 
8.6. ENGENHARIA ORGANIZACIONAL 
Refere-se ao conjunto de conhecimentos relacionados com a gestão das organizações, englobando 
em seus tópicos o planejamento estratégico e operacional, as estratégias de produção, a gestão 
empreendedora, a propriedade intelectual, a avaliação de desempenho organizacional, os sistemas de 
informação e sua gestão, e os arranjos produtivos. 
8.6.1. Gestão Estratégica e Organizacional 
8.6.2. Gestão de Projetos 
8.6.3. Gestão do Desempenho Organizacional 
8.6.4. Gestão da Informação 
8.6.5. Redes de Empresas 
15 
 
8.6.6. Gestão da Inovação 
8.6.7. Gestão da Tecnologia 
8.6.8. Gestão do Conhecimento 
 
8.7. ENGENHARIA ECONÔMICA 
Esta área envolve a formulação, estimação e avaliação de resultados econômicos para avaliar 
alternativas para a tomada de decisão, consistindo em um conjunto de técnicas matemáticas que 
simplificam a comparação econômica. 
8.7.1. Gestão Econômica 
8.7.2. Gestão deCustos 
8.7.3. Gestão de Investimentos 
8.7.4. Gestão de Riscos 
 
8.8. ENGENHARIA DO TRABALHO 
É a área da Engenharia de Produção que se ocupa com o projeto, aperfeiçoamento, implantação e 
avaliação de tarefas, sistemas de trabalho, produtos, ambientes e sistemas para fazê-los compatíveis 
com as necessidades, habilidades e capacidades das pessoas visando a melhor qualidade e 
produtividade, preservando a saúde e integridade física. Seus conhecimentos são usados na 
compreensão das interações entre os humanos e outros elementos de um sistema. Pode-se também 
afirmar que esta área trata da tecnologia da interface máquina – ambiente – homem – organização. 
8.8.1. Projeto e Organização do Trabalho 
8.8.2. Ergonomia 
8.8.3. Sistemas de Gestão de Higiene e Segurança do Trabalho 
8.8.4. Gestão de Riscos de Acidentes do Trabalho 
 
8.9. ENGENHARIA DA SUSTESTABILIDADE 
Refere-se ao planejamento da utilização eficiente dos recursos naturais nos sistemas produtivos 
diversos, da destinação e tratamento dos resíduos e efluentes destes sistemas, bem como da 
implantação de sistema de gestão ambiental e responsabilidade social. 
8.9.1. Gestão Ambiental 
8.9.2. Sistemas de Gestão Ambiental e Certificação 
8.9.3. Gestão de Recursos Naturais e Energéticos 
8.9.4. Gestão de Efluentes e Resíduos Industriais 
8.9.5. Produção mais Limpa e Ecoeficiência 
8.9.6. Responsabilidade Social 
8.9.8. Desenvolvimento Sustentável 
 
8.10. EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Refere-se ao universo de inserção da educação superior em engenharia (graduação, pós-graduação, 
pesquisa e extensão) e suas áreas afins, a partir de uma abordagem sistêmica englobando a gestão 
dos sistemas educacionais em todos os seus aspectos: a formação de pessoas (corpo docente e 
técnico administrativo); a organização didática pedagógica, especialmente o projeto pedagógico de 
curso; as metodologias e os meios de ensino/aprendizagem. Pode-se considerar, pelas características 
encerradas nesta especialidade como uma “Engenharia Pedagógica”, que busca consolidar estas 
questões, assim como, visa apresentar como resultados concretos das atividades desenvolvidas, 
alternativas viáveis de organização de cursos para o aprimoramento da atividade docente, campo em 
16 
 
que o professor já se envolve intensamente sem encontrar estrutura adequada para o aprofundamento 
de suas reflexões e investigações. 
8.10.1. Estudo da Formação do Engenheiro de Produção 
8.10.2. Estudo do Desenvolvimento e Aplicação da Pesquisa e da Extensão em Engenharia de 
Produção 
8.10.3. Estudo da Ética e da Prática Profissional em Engenharia de Produção 
8.10.4. Práticas Pedagógicas e Avaliação de Processo de Ensino-Aprendizagem em Engenharia de 
Produção 
8.10.5. Gestão e Avaliação de Sistemas Educacionais de Cursos de Engenharia de Produção 
 
 
9. As Responsabilidades Profissionais do Engenheiro. 
 
O engenheiro em sua atuação profissional terá segundo o CREA as seguintes 
responsabilidades: 
 Administrativa 
Resulta das restrições impostas pelos órgãos públicos, através do Código de Obras, Código 
de Água e Esgoto, Normas Técnicas, Regulamento Profissional, Plano Diretor e outros. Essas 
normas legais impõem condições e criam responsabilidades ao profissional, cabendo a ele, portanto, 
o cumprimento das leis específicas à sua atividade, sob pena inclusive, de suspensão do exercício 
profissional. 
 Civil 
Decorre da obrigação de reparar e/ou indenizar por eventuais danos causados. O profissional 
que, no exercício de sua atividade, lesa alguém tem a obrigação legal de cobrir os prejuízos. A 
responsabilidade civil divide-se em: 
1 - Responsabilidade contratual: pelo contrato firmado entre as partes para a execução de um 
determinado trabalho, sendo fixados os direitos e obrigações de cada uma. 
2 - Responsabilidade pela solidez e segurança da construção: pelo Código Civil Brasileiro, o 
profissional responde pela solidez e segurança da obra durante cinco anos; é importante pois, que a 
data do término da obra seja documentada de forma oficial. Se, entretanto, a obra apresentar 
problemas de solidez e segurança e, através de perícias, ficar constatado erro do profissional, este 
será responsabilizado, independente do prazo transcorrido, conforme jurisprudência existente. 
3 - Responsabilidade pelos materiais: a escolha dos materiais a serem empregados na obra ou serviço 
é da competência exclusiva do profissional. Logo, por medida de precaução, tornou-se habitual fazer 
a especificação desses materiais através do "Memorial Descritivo", determinando tipo, marca e 
peculiaridade outras, dentro dos critérios exigíveis de segurança. Quando o material não estiver de 
acordo, com a especificação, ou dentro dos critérios de segurança, o profissional deve rejeitá-lo, sob 
pena de responder por qualquer dano futuro. 
4 - Responsabilidade por danos a terceiros: é muito comum na construção civil a constatação de 
danos a vizinhos, em virtude da vibração de estaqueamentos, fundações, quedas de matériais e 
outros. Os danos resultantes desses incidentes devem ser reparados, pois cabe ao profissional tomar 
17 
 
todas as providências necessárias para que seja preservada a segurança, a saúde e o sossego de 
terceiros. Cumpre destacar que os prejuízos causados são de responsabilidade do profissional e do 
proprietário, solidariamente, podendo o lesado acionar tanto um como o outro. A responsabilidade 
estende-se, também, solidariamente, ao sub-empreiteiro, naquilo em que for autor ou co-autor da 
lesão. 
 Ética 
Resulta de faltas éticas que contrariam a conduta moral na execução da atividade profissional. 
Em nível do CONFEA/CREAs, essas faltas estão previstas na legislação e no Código de Ética 
Profissional, estabelecido na Resolução nº 1002, de 26/11/02, do CONFEA. Uma infração à ética 
coloca o profissional sob julgamento, sujeitando-o a penalidades. Recomenda-se a todo profissional 
da área tecnológica a observância rigorosa às determinações do Código de Ética. 
 Objetiva 
Estabelecida pelo Código de Defesa do Consumidor - Artigos 12º e 14º 
 
 Resultante das relações de consumo, envolvendo o fornecedor de produtos e de serviços 
(pessoa física e jurídica) e o consumidor, assegura direitos consagrados pela Lei nº 8.078 , que 
dispõe sobre a Proteção ao Consumidor. O Código responde a uma antiga aspiração da sociedade, 
visando a garantia de proteção físico-psíquica ao consumidor, incluindo proteção à vida, ao meio 
ambiente e a proteção no aspecto econômico, detalhando quais são esses direitos e a forma como 
pretende viabilizar essa proteção. A responsabilidade profissional está, mais do que nunca, 
estabelecida através do Código de Defesa e Proteção ao Consumidor, pois coloca em questão a 
efetiva participação preventiva e consciente dos profissionais. 
 
 Portanto, é fundamental que o profissional esteja atento à obrigatoriedade de observância às 
Normas Técnicas e à execução de orçamento prévio de projeto completo, com especificação correta 
de qualidade, garantia contratual (contrato escrito) e legal (ART). Uma infração ao Código de Defesa 
e Proteção ao Consumidor coloca o profissional (pessoa física e jurídica) em julgamento, com 
possibilidade de rito sumaríssimo, inversão do ônus da prova e com assistência jurídica gratuita ao 
consumidor, provocando, assim, a obrigação de sua obediência. 
 Penal ou Criminal 
Decorre de fatos considerados crimes. Neste campo merecem destaque: 
a - desabamento - queda de construção em virtude de fator humano; 
b - desmoronamento - resulta da natureza; 
c - incêndio - quando provocado por sobrecarga elétrica; 
d - intoxicação ou morte por agrotóxico - pelo uso indiscriminadode herbicidas e inseticidas na 
lavoura sem a devida orientação e equipamento; 
e - intoxicação ou morte por produtos industrializados - quando mal manipulados na produção ou 
quando não conste indicação da periculosidade; 
f - contaminação - quando provocada por vazamentos de elementos radioativos e outros. 
 
18 
 
 Todas essas ocorrências são incrimináveis, havendo ou não lesão corporal ou dano material, 
desde que se caracterize perigo à vida ou à propriedade. Por isso, cabe ao profissional, no exercício 
de sua atividade, prever todas as situações que possam ocorrer a curto, médio e longo prazo, para que 
fique isento de qualquer ação penal 
 Técnica 
Os profissionais que executam atividades específicas dentro das várias modalidades das 
categorias da área tecnológica devem assumir a responsabilidade técnica por todo trabalho que 
realizam. Apenas como exemplos: 
- um arquiteto que elabora o projeto de uma casa será o responsável técnico pelo projeto; 
- o engenheiro civil que executa a construção desta mesma casa será o responsável técnico pela 
construção; 
- um engenheiro agrônomo que projeta determinado cultivo especial de feijão será o responsável 
técnico pelo projeto desse cultivo. 
 
 A contratação de profissionais liberais pode ser concretizada verbalmente ou através de 
documentos. O vínculo com pessoa jurídica, entretanto, pode ser empregatício, de acordo com a 
legislação trabalhista em vigor ou por contrato particular de prestação de serviços, registrado em 
cartório. 
 Trabalhista 
 A matéria é regulada pelas Leis Trabalhistas em vigor. Resulta das relações com os 
empregados e trabalhadores que compreendem: direito ao trabalho, remuneração, férias, descanso 
semanal e indenizações, inclusive, aquelas resultantes de acidentes que prejudicam a integridade 
física do trabalhador. O profissional só assume esse tipo de responsabilidade quando contratar 
empregados, pessoalmente ou através de seu representante ou representante de sua empresa. Nas 
obras de serviços contratados por administração o profissional estará isento desta responsabilidade, 
desde que o proprietário assuma o encargo da contratação dos operários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Capítulo 01 - Construções Geométricas Fundamentais 
 
1.1 - Traçar uma perpendicular a uma reta r que passe pelo ponto dado A. 
 
a) O ponto pertence à reta, Figura 1.1.a. 
 
• ponta seca do compasso em A e um raio qualquer marca-se os pontos B e C; 
• ponta seca em B e um raio qualquer traçar os arcos acima e abaixo da reta r; 
• ponta seca em C e com o mesmo raio anterior, obtém-se os pontos D, E é a perpendicular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1.a - Perpendicular 
 
 
b) O ponto é exterior à reta r, a construção é análoga a anterior, Figura 1.1.b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1.b – Perpendicular 
 
1.2 - Traçar a perpendicular à semi-reta OA, no ponto O sem prolongá-la para a esquerda. 
 
• ponta seca em O traça-se um raio qualquer OB; 
• marcam-se BC = CD = OB; 
• com ponta seca em D e um raio qualquer, traçar um arco e com ponta seca em C e o mesmo 
raio determina-se o ponto E, Figura 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 – Perpendicular à semi-reta 
20 
 
1.3 - Traçar uma reta paralela à reta dada r passando pelo ponto A. 
 
• ponta seca em A e um raio qualquer AB traçar um arco; 
• ponta seca em B e mesmo raio anterior traçar o arco AC; 
• toma-se a medida CA, com ponta seca em B obtém-se o ponto D e a paralela. Figura 1.3. 
 
s 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 – Paralela 
 
1.4 - Traçar paralelas através de perpendiculares. 
• traçar em A uma reta perpendicular a r e marca-se sobre essa a medida d obtendo-se B; 
• com a ponta seca em A e uma medida qualquer determina-se o ponto C; 
• com a mesma abertura do compasso e ponta seca em B traçar um arco; 
• toma-se a medida AB e transferindo a ponta seca para C encontra-se D e a paralela. 
 Figura 1.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 – Paralela através de perpendiculares 
 
 
1.5 - Traçar a mediatriz de um segmento AB. 
É o equivalente a dividir o segmento AB em duas partes iguais, Figura1 5. 
• ponta seca em A e um raio qualquer, traçar um arco de um lado e outro de AB: 
• ponta seca em B e mesmo raio anterior obtém C e D; 
• CD é mediatriz de AB, pois C e D distam-se igualmente de A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5 – Mediatriz 
21 
 
1.6 - Construir um ângulo congruente a outro ângulo dado α, Figura 1.6. 
• com a ponta seca em O e um raio qualquer OA traçar o arco AB no ângulo dado α; 
• trace um lado do ângulo β e sobre ele CD com raio igual a OA; 
• tome a abertura AB e transfira para o novo ângulo β com a ponta seca em D encontre E; 
• unindo-se C a E tem-se ângulo DCE congruente AOB, ou seja, com a mesma abertura. 
 
 
 
α 
 
 
 
β 
 
 
 
 
Figura 1.6 – Ângulos congruentes 
 
1.7 - Traçar a bissetriz de um ângulo, Figura 1.7. 
 É o equivalente a dividir o ângulo em duas partes iguais. 
• com a ponta seca em O e raio qualquer OA traçar um arco AB. 
• com a ponta seca em A e depois em B com mesmo raio, trace os arco e encontre o ponto C, 
OC é a bissetriz do ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7 - Bissetriz 
 
1.8 - Dividir um segmento AB em n partes iguais, por exemplo, n = 6, Figura 1.8. 
 
• traçar por A e B retas paralelas, AC paralela a BD, através do procedimento visto em 1.6 
• marca-se o número n desejado de partes iguais e quaisquer sobre o segmento AC a partir de 
 A e em BD a partir de B; 
• unindo-se os pontos A-6, 1-5, 2-4, 3-3, 4-2, 5-1, e 6-B obtêm-se a divisão do segmento AB 
 nas respectivas interseções das paralelas com o mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8 - Divisão de seguimento de reta. 
22 
 
1.9 - Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas ‘r’ e ‘s’, sem usar o vértice desse ângulo. 
 
• traçar uma reta qualquer MN, Figura 1.9; 
• trace as bissetrizes dos ângulos formados por MN com ‘r’ e ‘s’; 
• essas bissetrizes cruzam-se em A e B, que pertencem à bissetriz pedida do ângulo formado por 
r e s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.9 – Bissetriz sem o vértice 
 
1.10 - Construir ângulos de 15º, 30º, 60º, 75º e ângulos quaisquer. 
Dividir um ângulo em três partes iguais, Figura 1.10. 
Construir um ângulo reto, ou seja, traçar a perpendicular conforme o procedimento 1.2. 
 
• com raio qualquer OA, traçar um arco AB; 
• ponta seca em A e raio OA, obtém-se o ponto D; 
• ponta seca em B e mesmo raio AO, determina-se o ponto C, arco AD = 60°, logo o arco 
 BD = 30°; 
• traçando a bissetriz de BD, conforme procedimento 1.7, tem-se o ângulo de 15o, o qual 
somado-se com 60
o
, encontra-se o ângulo de 75
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10 – Ângulos de 30º 
 
Utilizando-se da trigonometria e da construção de triângulos semelhantes, pode-se desenhar um 
ângulo qualquer. A Equação 1 mostra a relação trigonométrica da tangente. 
 
 
tang.α = cateto oposto / cateto adjacente. (1) 
 
 
23 
 
1.11 - Traçar o círculo inscrito a um triângulo dado, círculo que tangencie a todos os lados, 
Figura 1.11. 
• traçam-se as bissetrizes dos ângulos A, B e C do triângulo, pois a interseção destas bissetrizes é 
o centro do círculo procurado, ou seja, o incentro o triângulo; 
• ponta seca no ponto O, determinado pela interseção das bissetrizes,traçar uma perpendicular a 
um dos lados, procedimento 1.1 b, para se obter um ponto T de tangência do círculo com um 
dos lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.11- Círculo inscrito 
 
1.12 - Traçar o círculo circunscrito a um triângulo dado, Figura 1.12. 
• traçam-se as mediatrizes dos lados do triângulo, procedimento 1.5, pois a interseção destas 
determina o ponto O centro do círculo procurado, ou seja, o circuncentro do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.12 – Círculo circunscrito 
 
Nota: No ponto de interseção das medianas (segmento de um vértice ao ponto médio do lado oposto) 
do triângulo tem-se o baricentro. 
 
1.13 - Dados três pontos não colineares traçar uma circunferência, Figura 1.13. 
Sejam A, B e C os pontos dados. 
• traçar a mediatriz do segmento AB e do segmento BC; 
• no ponto de interseção das duas mediatrizes tem-se o centro da circunferência pedida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 – Circunferência 
24 
 
1.14a. - De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente à ela. 
• traçar a perpendicular ao raio no ponto dado A, procedimento 1.1a. 
 Essa perpendicular será a tangente t pedida, Figura 1.14.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.14.a – Tangente 
 
1.14b. - De um ponto dado A, que não pertence a circunferência traçar as tangentes. 
• une-se o ponto dado A ao centro O da circunferência dada, Figura 1.14.b; 
• traçar a mediatriz de AO encontrando-se o ponto médio M; 
• ponta seca no ponto médio M e com raio MO obtém-se os pontos B e C na circunferência; 
• AB e AC serão tangentes por serem perpendiculares aos raios OB e OC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.14.b – Tangentes 
 
1.15 - Dadas duas circunferências de raios R1, R2 e distância entre centros O1O2, traçar suas tangentes 
exteriores comuns, Figura 1.15. 
• ponta seca no centro O1e raio r = R1–R2traça-se uma circunferência auxiliar; 
• utilizando-se da circunferência auxiliar e do ponto O2traça-se as tangentes, conforme o 
procedimento 1.14b, obtendo-se os pontos A e B; 
• une-se O1 a A encontrando-se C e O1 a B para encontrar D; 
• com a ponta seca em O2 e abertura até A, transfere-se esta medida com a ponta seca em D 
encontrando-se o ponto F, com a mesma abertura, ponta seca em C encontra-se E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figuras 1.15 – Tangentes 
25 
 
1.16 - Dadas duas circunferências de raios R1, R2e distância entre centros O1e O2traçar suas tangentes 
interiores comuns, Figura 1.16. 
• a construção é análoga ao item anterior 1.15, lembrando apenas que a circunferência auxiliar 
 tem o valor de r = R1 + R2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figuras 1.16 – Tangentes 
 
 
1.17 - Concordar uma reta r num ponto dado A com um arco que passe por um ponto B dado. 
• traçar por A a perpendicular a reta r; 
• trace a mediatriz de AB, a interseção dessa com a perpendicular determina o centro O do arco 
de concordância, Figura 1.17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.17 – Concordância de uma reta e um arco 
 
Nota: Regras de concordância: 
 
Diz-se que um arco e uma reta estão em concordância num ponto, quando a reta é tangente ao arco 
nesse ponto. Nesse caso, o centro do arco está na perpendicular à reta tirada desse ponto. O conjunto 
reta-arco deve formar uma só linha, Figura 1.17. 
 
 
 
 
 
 
26 
 
1.18 - Concordar duas retas „s’ e ‘r’ com um arco de raio dado R, Figura 1.18. 
• traçar AA’ perpendicular à reta „s’ e BB’ perpendicular à reta r sendo AA’ = BB’ = R; 
• por A’ traça-se uma paralela a „s’ e por B’ a paralela a ‘r’ e obtém-se o centro O do arco de 
concordância. 
• no ponto O traçar as perpendiculares em relação às retas s e r onde se têm os pontos de 
concordâncias do arco com as duas retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.18 – Concordância de duas retas e um arco. 
 
1.19 - Concordar um arco de circunferência de raio R dado, com uma reta r e uma circunferência 
dada de raio R1, Figura 1.19. 
• traçar uma reta s paralela à reta r; 
• ponta seca em O e raio (R1 + R) cruze a reta s encontrando-se o ponto C; 
• em C traçar uma perpendicular a reta r encontrando-se o ponto D; 
• une-se C a O para encontrar o ponto de tangência E; 
• ponta seca em C raio R traçar o arco de concordância do ponto D até E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.19 – Concordância circunferência-arco-reta 
27 
 
1.20 - Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B, com sentido contrário através de 
dois arcos, Figura 1.20. 
• traçar por A e B as perpendiculares às semi-retas; 
• toma-se um ponto qualquer C em AB, quando não forem necessários raios de mesmos valores; 
• traçar as mediatrizes de AC e CB até encontrar as perpendiculares em O e O' que são os 
centros dos arcos pedidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. 20 – Concordância entre retas e arcos 
 
1.21 - Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B sendo que as duas semi-retas têm 
o mesmo sentido e b deve ser maior que d, Figura 1.21. 
• traçar AM perpendicular a „r’, marcando a medida MA = d; 
• por M traçar a reta s paralela a reta r e marcar MB = b; 
• traçar em B uma perpendicular a reta s; 
• sobre as perpendiculares a r e s marque o valor do raio de concordância R1encontrando-se os 
pontos O e O’; 
• traçar a mediatriz de OO’ até encontrar o prolongamento de AM em O”; 
• com centro em O' e raio R1traçar o arco BC e com centro em O” e raio O”A o arcoAC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.21 – Concordâncias de retas e arcos 
28 
 
 
1.22 - Concordar duas circunferências de raios dados R1e R2externas uma a outra, por meio de um 
arco de circunferência de raio dado R, Figura 1.22. 
• com centro em O1 e raio (R1 + R) descreve-se um arco acima e outro abaixo dos centros; 
• com centro em O2 e raio (R2+ R) traçar dois outros arcos que interceptam os arcos 
anteriormente traçados determinando-se os centros O3 e O4; 
• une-se O1a O3, O2a O3, O1O4 e O2a O4determinando-se os pontos de concordâncias entre as 
circunferências e os arcos dados pelos pontos 1-2 e 3-4; 
• ponta seca em O3, abertura R traça-se o arco de 1 a 2 e ponta seca em O4com o mesmo raio R o 
arco de 3 a 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.22 – Concordância externa de circunferências e arcos 
 
1.23 - Concordar duas circunferências de raios dados R1e R2internas a um arco de circunferência de 
raio dado R, Figura 1.23. 
• com centro em O1 e raio (R -R1) descreve-se um arco acima e outro abaixo dos centros; 
• com centro em O2e raio (R – R2) traçar outros dois arcos de circunferência que interceptam os 
arcos anteriores em O3 e O4 respectivamente; 
• une-se O1 a O4 , O2 a O4 , O1 a O3 e O2 a O3 encontrando-se os pontos de tangências 1-2-3-4; 
• ponta seca em O3 e abertura R traça-se o arco 1 a 2, análogo para o O4 o arco 3 a 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1.23 Concordância interna de circunferências e arcos 
29 
 
1.24 - Divisão de circunferência em partes iguais. 
 
Definições: chama-se polígono a parte do plano compreendida entre segmentos consecutivos, cuja 
extremidade do último coincida com a origem do primeiro. Um polígono diz-se convexoquando não 
é cortado pelo prolongamento de qualquer de seus lados, côncavo no caso contrário; regular quando 
todos os lados e todos os ângulos são iguais, irregular no caso contrário. 
 
1.24.1 - Dividir uma circunferência em três partes iguais e construir o triângulo eqüilátero. 
• com a ponta seca em A e com raio R da circunferência traça-se o arco D-O-B; 
• unindo-se os pontos D , B e C obtém-se o triângulo eqüilátero. 
 
 Repedindo-se o procedimento no ponto C obtêm-se seis divisões da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.24.1 – Triângulo eqüilátero. 
 
 
 
1.24.2 - Dividir uma circunferência em quatro partes iguais e construir o quadrado. 
• trace o eixo vertical AB; 
• traçar a perpendicular CD; 
• determina-se as bissetrizes dos quadrantes AD e AC encontrando-se os pontos 1-2-3-4. 
 
 Nota: o quadrado em uma outra posição pode ser obtido unindo os pontos A-C-B-D-A e unindo-se 
A-1-D-2-B-3-C-4-A obtém-se o octógono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.24.2 - Quadrado
30 
 
1.24.3 - Dividir uma circunferência em cinco partes iguais e construir o pentágono. 
• centro em D e raio R, igual ao da circunferência dada, descreve-se o arco F-O-E; 
• ligar E a F para encontrar o ponto M; 
• centro em M e raio M-A, traça-se o arco A-N; 
• centro em A e raio A-N, traça-se o arco cujo valor é o lado do pentágono. 
Nota: 
a) o comprimento ON é o valor do lado do decágono. 
b) o comprimento ME é o valor do lado do heptágono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.24.3 – Pentágono 
 
 
 
1.25 - Regra de Bion para divisão de circunferência, Figura 1.25. 
• divide-se o diâmetro AB em n partes iguais que se deseja dividir a circunferência, por exemplo 
n=11; 
• ponta seca em A e raio AB, depois com a ponta seca B e o mesmo raio, obtêm-se os pontos 
 C e D; 
• unindo-se o ponto C as divisões pares 2, 4, 6, 8 e 10 até cortar a circunferência, onde se têm as 
divisões desejadas; 
• unindo o ponto D aos mesmos pontos pares até cortar a circunferência, completa-se as divisões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.25 – Regra de Bion 
31 
 
1.26 - Dadas as retas paralelas r, s e o vértice A, traçar uma hexágono regular. 
• do vértice A traça-se uma perpendicular a reta r encontrando-se na reta s vértice B; 
• do vértice A traça-se uma reta a 30º em relação a perpendicular AB até s determinando-se C; 
• o seguimento BC é o lado do hexágono procurado; 
• com abertura do compasso BC, encontra-se o vértice D, posteriormente E e F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.26 – Hexágono 
 
1.27 - Processo aproximado de Delaistre para construção de polígonos de 5 a 12 lados. 
 
• tomando-se o seguimento AB como o lado da cada polígono a ser desenhado; 
• ponta seca em A e abertura até B traça-se os arcos para encontrar C, D; 
• por CD trace a perpendicular ao lado AB; 
• com ponta seca em C e abertura até A, traça-se a circunferência do hexágono e determina-se o 
ponto E, centro da circunferência do decágono, 12 lados; 
• divide-se CE em seis (6) partes iguais e faz-se CF igual a uma destas partes; 
• toma-se a partir de F até E os respectivos centros das circunferências a serem divididas em 5, 6, 
7, 8, 9, 10, 11 e 12 parte iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.27 - Processo aproximado de Delaistre 
32 
 
 
1.28 – Exercícios - Desenhe usando todo o desenho geométrico fundamental as figuras dadas em 
escala 1:1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.28.1 Figura 1.28.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.28.3 Figura1.28.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura1.28.5 Figura1.28.6 
 
 
 
Figura 1.28.5 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.28.7 Figura 1.28.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.28.9 Figura 1.28.10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.28.10
34 
 
Capítulo 02 - Ovais, Arcos, Espira evolvente, Cíclicas, Cônicas e Hélice. 
 
2.1-Traçado das ovais 
 
 Oval é uma curva fechada, constituída pela concordância de arcos de circunferências. 
 As ovais classificam-se, como: 
• regular ou falsa elipse, apresenta dois eixos de simetria; 
• irregular ou oval propriamente dita possui um só eixo; 
• quanto à forma, pode ser oval regular arredondada ou alongada. 
 
2.1.1 - Traçar uma oval regular dado os dois eixos, Figura 2.1 
• traçar o eixo maior AB perpendicular ao eixo menor CD; 
• une-se AD encontrando-se DE igual à AO menos OD; 
• traçar a mediatriz de AE encontrando-se o centro 1 sobre o eixo maior e o centro 2 sobre o 
eixo menor, ou em seu prolongamento; 
• ponta seca em O abertura até o centro 1, transfere-se a abertura encontrando o centro 3; 
• ponta seca em O abertura até o centro 2, transfere-se a abertura encontrando o centro 4; 
• ponta seca em 1 traçar o arco HAF, em 3 o IBG, em 2 o FDG e em 4 o HCI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1- Oval regular dado os dois eixos. 
 
 
2.1.2 - Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo menor AB, Figura 2.2 
• traçar a mediatriz de AB para determinar a posição do eixo maior; 
• toma-se O1 = O2 = OA/2; 
• une-se A1 encontrando C, A2 o D, B1 o F e B2 o E; 
• ponta seca em A abertura até o B traça-se o arco CBD, ponta seca em B e mesma abertura o 
arco FAE, centro 1 o arco CF e em 2 o DE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 - Oval regular arredondada dado o eixo menor. 
35 
 
2.1.3 - Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo maior AB, Figura 2.3. 
• divide-se o eixo maior dado em três partes iguais determinando O1 e O2; 
• trace os triângulos eqüiláteros O1O2O3 e O1O2O4; 
• ponta seca em O1 traça-se o arco CAF, em O2 o arco DBE, ponta seca em O3 e abertura até F o 
arco FE e em O4 o arco CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 – Oval regular arredondada dado o eixo maior. 
 
2.1.4 - Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo menor AB, Figura 2.4. 
• traçar a mediatriz de AB; 
• faz-se OO1 = OB = AO = OO2; 
• com a ponta seca em A e raio AB trace o arco EBF e em B o arco GAH; 
• ponta seca em O1 trace arco GF e em O2arco EH. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 – Oval regular alongada dado o eixo menor. 
 
2.1.5 - Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo maior AB, Figura 2.5. 
• traçar a mediatriz de AB; 
• divide-se OA e OB ao meio; 
• trace os triângulos eqüiláteros O1O2O3 O1O2O4; 
• com ponta seca em O1 trace o arco EAD e em O2 o arco FBC; 
• ponta seca em O3, trace o arco DC e em O4 arco EF. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Oval regular alongada dado o eixo maior. 
36 
 
2.1.6 - Traçar uma oval irregular de quatro centros, dado AB, Figura 2.6. 
• traçar a mediatriz de AB; 
• centro em O e raio OA, obtém-se o ponto C; 
• une-se AC e BC; 
• ponta seca em A e abertura AB trace o arco até encontrar o ponto D e com a ponta seca em B 
encontra-se E; 
• componta seca em C e abertura CE trace o arco ED. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 – Oval irregular de quatro centros. 
 
2.1.7 - Traçar uma oval irregular de seis centros, dado o diâmetro AB do semicírculo, Figura 2.7. 
• traça-se a mediatriz de AB encontrando-se o ponto E no eixo maior; 
• faz-se a mediatriz de OB obtendo-se o ponto M; 
• ponta seca em A e abertura até M encontra-se C, AC = AM, com a mesma abertura e ponta 
seca em B determina-se D, BD = AM; 
• une-se C a E e D a E encontrando-se respectivamente os pontos F e G; 
• obtém-se J com EJ = OM; 
• ponta seca em C abertura até B trace o arco para encontrar o ponto I, com mesma abertura e 
ponta seca em D determina-se H; 
• com ponta seca em F e abertura até I trace o arco para encontrar L e com a mesma abertura e a 
ponta seca em G trace o arco para encontrar o ponto K; 
• ponta seca em J e abertura até K trace o arco KL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 – Oval irregular de seis centros. 
37 
 
2.2 - Traçado de arcos. 
 
2.2.1 - Construir o arco ogival sabendo-se o valor do vão AB, visto na Figura 2.8. 
• traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; 
• ponta seca em A e abertura até B trace um arco e com mesma abertura ponta seca em B 
encontrando-se o ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 - Arco ogival. 
 
 
 
2.2.2 - Construir um arco ogival sabendo-se os valores do vão AB e da flecha OC, visto na 
Figura 2.11. 
• traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; 
• encontra-se a mediatriz de AB marcando-se a medida da flecha OC; 
• faz-se as mediatrizes de AC e BC encontrando respectivamente os pontos E e D; 
• ponta seca no ponto E abertura até A trace o arco AC e com mesmo raio, ponta seca em D o 
arco BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 – Arco ogival dado a flecha. 
 
38 
 
2.2.3 - Construir o arco ogival de ferradura sabendo-se o valor do vão AB, mostrada na 
Figura 2.10. 
• traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; 
• trace a mediatriz do seguimento AB encontrando-se o ponto O; 
• ponta seca em O e raio AO encontra-se o ponto C; 
• prolonga-se AC e BC; 
• ponta seca em C e raio CA trace os arcos a partir de A encontrando D e a partir de B 
encontrando o E; 
• ponta seca em A abertura até E trace o arco encontrando F, com a mesma abertura, ponta seca 
em B, trace o arco DF. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 – Arco ogival de ferradura. 
 
2.2.4 - Construir uma ogival gótica sabendo-se o valor do vão AB, mostrada na Figura 2.11. 
• traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; 
• trace a mediatriz do seguimento AB encontrando-se o ponto O; 
• ponta seca em O e raio AO encontra-se o ponto C; 
• prolonga-se AC e BC; 
• ponta seca em C e raio CA trace os arcos a partir de A encontrando D e a partir de B 
encontrando o E; 
• encontram-se os pontos F e G, fazendo AE = EG = BD = DF; 
• ponta seca em F e raio FD trace um arco e com ponta seca em G e mesmo raio trace outro arco 
encontrando H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11- Arco ogival gótico. 
39 
 
2.3 - Espiral Evolvente do círculo. 
 
Evolvente do círculo é a curva descrita por um ponto A fixo numa reta que rola sem deslizar em 
torno de uma circunferência, mantendo-se sempre tangente a ela. Essa curva é importante no estudo 
das engrenagens com perfis de dentes evolventes. 
 
2.2.1 Traçado da espiral evolvente de um círculo de raio dado R, Figura 2.12. 
 
• divide-se a circunferência em número n de partes iguais; 
• traçam-se as tangentes nos pontos das divisões; 
• com a ponta seca na posição 1 e abertura até o ponto P, marca-se P1 na tangente 1. 
• na tangente 2 marcam-se duas divisões de raio P1 e assim sucessivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.12 – Evolvente. 
 
 
2.4 - Curvas cíclicas. 
 
2.4.1 – Ciclóide. 
 
É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre uma reta sem escorregamento, 
conhecendo-se o raio do círculo gerador pode-se traçar uma ciclóide, 
Figura 2.13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 – Ciclóide. 
 
 
40 
 
2.4.2 –Epiciclóide. 
 
É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra exteriormente, sem 
escorregamento, Figura 2.14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.14 – Epiciclóide. 
 
2.4.3 – Hipociclóide 
 
É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra, interiormente, sem 
escorregamento, Figura 2.15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 - Hipociclóide 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
2.5 – Cônicas 
 
As curvas cônicas têm suas origens nas seções feitas em um cone, mostradas na Figura 16. 
• um plano qualquer da seção tem-se a elipse; 
• um plano paralelo a uma geratriz tem-se a parábola; 
• um plano paralelo ao eixo do cone tem-se a hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 16 – Seções em um cone: (a) Elipse; (b) Parábola; (c) Hipérbole 
 
 
 
2.5.1 Elipse. 
 
É uma curva plana fechada cuja soma das distâncias de qualquer um de seus pontos aos focos F1 e F2 
é constante e igual ao eixo maior AB, Figura 17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Elipse.
42 
 
Pode-se traçar uma elipse usando a seqüência executada na Figura 2.18: 
 
• traçar o eixo maior AB e encontre sua mediatriz determinando o ponto O; 
• com centro no ponto O descrevem-se duas circunferências de diâmetro AB e CD; 
• divide-se uma das circunferências em um número qualquer de partes iguais e transfira as 
divisões para a outra circunferência; 
• nas divisões da circunferência AB trace perpendiculares em relação ao eixo maior e na 
circunferência de eixo CD trace as perpendiculares em relação ao eixo menor, na interseção 
dessas perpendiculares encontram-se os pontos da elipse. 
• toma-se abertura do compasso igual a medida AO , com a ponta seca em C ou D encontra-se os 
focos F e F’ sobre o eixo maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.18 – Elipse. 
 
2.5.2 - Parábola. 
 
 É uma curva plana aberta, cujos ramos se prolongam ao infinito, também é o lugar geométrico dos 
pontos do plano que têm igual distância de um ponto fixo chamado foco, F, e de uma reta chamada 
diretriz, D, mostrada na Figura 2.19. 
O ponto de interseção da parábola com o eixo X chama-se vértice, V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.19 - Parábola. 
43 
 
2.5.3 - Hipérbole 
 
É o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias de dois pontos fixos chamados focos têm 
uma diferença constante e igual a VoV1, Figura 2.20. 
É formada por dois ramos simétricos em relação a dois eixos perpendiculares entre si; destes eixos, o 
cortado pelos ramos da hipérbole chama-se eixo transversal e o outro, eixo não transversal. Os ramos 
da hipérbole são tangentes, no infinito, a duas retas chamadas assíntotas. 
Se as assíntotas são perpendicularesentre si, a hipérbole é eqüilátera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.20 – Hipérbole. 
 
 
2.6 - Hélice 
 
É a curva formada sobre a superfície cilíndrica por um lado de um ângulo que gira em torno do 
cilindro, enquanto o outro lado gira sobre o círculo da base, Figura 2.21 
Traçado da hélice sobre um cilindro, conhecidos o passo e o diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.21 – Traçado de uma hélice. 
44 
 
Capítulo 03 – Projeções. 
 
Introdução. 
 
 O problema fundamental que se apresenta ao desenhista é o de representar um objeto 
tridimensional em um plano com somente duas dimensões e que normalmente é uma folha de papel ou a tela de um 
computador. 
 
Os métodos de representação de um objeto num plano são fundamentalmente três: 
 
a) projeção axonométrica, perspectivas: 
 
 projeção axonométrica ortogonal (perspectiva isométrica, dimétrica e trimétrica); 
 projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira; 
 
b) perspectiva cônica (perspectivas exatas); 
 
c) projeções ortogonais (representadas pelas vistas no desenho técnico). 
 
 
3.1 -Projeção axonométrica ortogonal. 
 
 
 Supõe-se que uma superfície do objeto, seja colocada não ortogonalmente a um plano P 
posterior a ele. Imagine-se que o objeto seja iluminado por uma fonte luminosa colocada à distância 
infinita e perpendicular ao plano P e formando com o objeto um ângulo diferente de 90
o
, obtém-se 
desta forma a projeção axonométrica ortogonal. 
As projeções axonométricas são representações de figuras espaciais, sólidos, num plano, nestas 
condições, a figura não se reproduz em verdadeira grandeza, Figura 3.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Representação de uma projeção axonométrica ortogonal 
45 
 
3.1.1 - Projeção axomométrica isométrica , perspectiva isométrica. Os três ângulos α, β e γ são 
iguais entre si e portanto de 120° cada um conforme mostra a Figura 3.2a. 
 
 
3.1.2 – Projeção Axonometria dimétrica, dois ângulos são iguais entre si e o terceiro é diferente; 
consequentemente, duas arestas não sofrem reduções, ao passo que a terceira sofre. 
Entre as várias combinações que se possam ter, as normas prevêem o uso dos seguintes 
ângulos:131,5°; 131,5° e 97°, com estes valores, a aresta segundo o eixo X sofre uma redução de 
50 % , os ângulos são mostrados na Figura 3.2b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
Figura 3.2 – Os eixos de uma perspectiva: (a) Isométrica e (b) Dimétrica. 
 
 
 A Figura 3.3 ilustra os três tipos de perspectivas axonométricas ortogonais, incluindo outra 
possibilidade de ângulos para as perspectivas dimétricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
 
Figura 3.3 – Projeções axonométricas ortogonais: (a) isométrica; (b) dimétrica e (c) trimétrica.
46 
 
3.2 - Projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira. 
 
 Se o objeto mantém-se paralelo ao plano P e se coloca a fonte luminosa de modo que os raios 
incidam na figura e portanto no plano P com um ângulo diferente de 90°, tem-se projeção 
axonométrica oblíqua também chamada projeção axonométrica cavaleira. Neste caso a figura plana 
se reproduz também em verdadeira grandeza; todavia, considerando um sólido, a terceira dimensão 
deste (profundidade) aparece no plano com comprimento modificado e formando um certo ângulo 
com a horizontal, na Figura 3.4 tem-se uma representação dessa projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Representação de uma projeção axonométrica oblíqua 
 
 
 
3.2.1 -Projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira, ocorre quando o objeto tem a superfície que se 
observa paralela ao plano de projeção, como na projeção ortogonal, mas os raios incidentes são 
oblíquos em relação ao plano de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (d) 
 
Figura 3.5 – Perspectiva cavaleira; (a) 30º; (b) 45º e (c) 60º. 
47 
 
3.3 - Perspectiva cônica. 
 
 Se os raios luminosos provêm não do infinito, mas de uma fonte O a uma distância finita, 
centro óptico, o contorno do objeto F, que se obtém num plano P, muda de dimensões conforme a 
posição da fonte O. Este perfil toma o nome de perspectiva cônica ou central, Figura 3.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6 – Representação da projeção cônica 
 
As perspectivas cônicas podem ser representas conforme ilustra a Figura 3.7, com um ponto de 
fuga, dois e três. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.7 – Representação das perspectivas cônicas com um, dois e três pontos de fuga vistas 
 de cima. 
48 
 
A perspectiva exata pode ser desenhada usando o Processo Prático, ilustrado na Figura 3.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.8 - Ilustração do método prático 
 
 
 O MÉTODO 
 
1. Desenha-se a planta em uma escala conveniente e com uma aresta sobre a reta PQ, (Plano de 
Quadro) 
2. Determina-se a distância d, localiza-se PV, tal que o ângulo A-PV-B seja menor que 60
o
 . 
3. Traça-se PV- F2 paralelo a O2-A e PV-F'2 paralelo O2-B. 
4. Traça-se a LH ( Linha do Horizonte) e a LT (Linha de Terra), a uma distância h ( altura do 
observador). 
5. Projeta-se F2 sobre a LH e encontra-se f1 , repete-se o processo para F'2. 
6. Determina-se a altura O1C1 do objeto. 
7. Traça-se f1O1, f1C1, f'1O1 e f'1C1. 
8. Projeta-se A-PV e encontra-se a1, análogo para b1. 
9. Projeta-se a1sobre f1C1e f1O1, repete-se para b1. 
10. Determina-se desta forma a perspectiva exata do objeto, pelo processo prático. 
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3.4 – A perspectiva isométrica de círculos. 
 
Método de construção da axonométrica isométrica de um círculo: 
 
• traçam-se as diagonais maiores e menores de cada face. Elas se cruzam no centro da face, 
Figura 3.11.a; 
• pelo centro das faces traçam-se paralelas aos eixos, as linhas médias; 
• com centro do compasso na extremidade da diagonal menor de uma das faces, abre-se até a 
extremidade mais distante de uma linha média da mesma face, linhas traço-ponto mostram 
esses raios, Figura 3.9.b; 
• traça-se um arco até a extremidade da outra linha média. Assim, são traçados todos os arcos 
maiores da figura; 
• obtêm-se os centros dos arcos menores pelas interseções das diagonais maiores com os raios 
traçados pelas extremidades dos arcos maiores, Figura 3.9.c; 
• com centro do compasso nesses pontos e abertura até a extremidade mais próxima dos arcos 
maiores, traçam-se os arcos menores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 - Representação da perspectiva isométrica de um círculo 
 
A Figura 3.10 mostra o método acima descrito de forma detalhada.