2º Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral I (1)

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2º Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral I
01. Se uma bola for atirada verticalmente para cima com velocidade de 80 m/s, então sua altura depois de 
t segundos é s = -16t2 + 80t.
a) Qual a altura máxima atingida pela bola? (0,25 ponto)
b) Qual a velocidade da bola quando estiver a 96 metros acima do solo na subida? (0,25 ponto)
02. Calcule a derivada das seguintes funções: (2,0 pontos)
a) f(x) = 8x4 – 7x3 – 12x2 – 9x b) f(x) = 532 23  xx
 c) f(x) = 
x
xe
x 12
2
3 
d) h(x) = ( x2 - 4x – 12 ). (x2 – 3 ) e) h(x) = 
8
906


x
x
 f) f(x) = 
xx
xx
2
1

g) f(x) = 1 h) f ( x ) = )sec(
1)(
x
xtg 
 i) f(x) = ex.sen(x) j) f(x) = x.sen(x).cos(x)
03. Prove que: (0,5 ponto)
a) )(cot).sec(cos)sec(cos xgxxx
dx
d
 b)
)(seccos)(cot 2 xgx
dx
d
 
04. Se f(4) = 5, g(4) = -2, f’(4) = 7 e g’(4) = -5, calcule o valor de )4('
2 






 gf
g
 . (0,25 
ponto) 
05. Se f(x) = ex.g(x), onde g(0) = 2 e g’(0) = 5, determine o valor de f’(0). (0,25 ponto)
06. Se a equação de movimento de uma partícula for dada por por s = A.cos(ωt + δ), dizemos que a
partícula está em um movimento harmônico simples.
a) Encontre a velocidade da partícula no instante t. (0,25 ponto)
b) Quando a velocidade é zero? (0,25 ponto)
 
07. Calcule a derivada das seguintes funções: (1,5 ponto)
a) f(x) = (x3 + 4x)7 b) f(x) = xx 72  c) f(x) = 
2
3
1





 
x
x 
 d) f(x) = (2x – 5)4.(8x2 – 5)-3 e) f(x) = 2. xex  f) f(x) = 5-1/x g) f(x) = x.sen 





x
1
h) f(x) = x
x
e
e
1
3
 i) f(x) = esec(3x) j) f(x) = sen(cos(tg(x)))
08. Suponha que F(x) = f(g(x)) e g(3) = 6, g’(3) = 4, f’(3) = 2 e f’(6) = 7. Calcule F’(3). (0,5 ponto)
09. Suponha que f é diferenciável nos reais. Seja F(x) = f(ex) e G(x) = ef(x). Encontre expressões para:
a) F’(x) b) G’(x) (0,5 ponto)
10. O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento (tal como
amortecedor de um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma
função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimento de um ponto sobre essa mola é
s(t) = 2e-1,5t.sen(2πt)
onde s é medida em centímetros e t em segundos. Encontre a velocidade após t segundos. (0,5 ponto)
11. Calcular y’ das seguintes funções definidas implicitamente: (1,5 ponto)
a) x3 + x2y + 4y2 = 6 b) yxxy 21 c) cos(x – y) = x.ex 
d) x.sen(y) + cos(2y) = cos(y) e) sec2(y) + cotg(x – y) = tg2(x) 
12. Se x.[f(x)]3 + x.f(x) = 6 e f(3) = 1, calcule f’(3). (0,25 ponto)
13. Para que valores de r a função y = erx satisfaz a equação y’’ + 5y’ - 6y = 0? (0,25 ponto)
14. Encontre um polinômio de terceiro grau Q tal que q(1) = 1, Q’(1) = 3, Q’’(1) = 6 e Q’’’(1) = 12.
(0,5 ponto)
15. Uma massa atada a uma mola vertical tem função posição dada por y(t) = A.sen(ωt), onde A é a
amplitude de sua oscilação e ω é uma constante.
a) Encontre a velocidade e a aceleração como função do tempo t. (0,25 ponto)
b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento de y. (0,25 ponto)
c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é 0. (0,25 ponto)