CALCULO 2A TOSCANO (1)

Prévia do material em texto

GABARITO da P2 de Cálculo 2-A (2016-2, turmas B1 e F1, Prof. Toscano) 
 
1) 1,3 ponto = 13 × 0,1 
2 3 2 2 3 2(4 1/ ) 2 0 (4 1/ ) 2xy x dx x ydy xy x x y
y x
λ λ λ λ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = ⇒ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂ . 
Se ( )xλ : 2
2
4 2
2 4 8 ) 0 ) 0
2
xy
x y xy xy x x
xx y
λ λ λ λ λ λ λ−′ ′ ′+ = ⇒ + ( = ⇒ − ( = . 
2
2 ln 2 2/
dx
xxf e e x c f cxλ− − −= = = ⇒ = =∫ . 
3 2 4(4 1/ ) 2 0dU x y x dx x ydy= + + = . 
4 4 2
13 2 3
2 ( , ) ( ) 1
( ) ( ) ln
4 1/ 4 ( )
y
x
U x y U x y x y B x
B x B x x c
xU x y x x B x
= ⇒ = + ′⇒ = ⇒ = +′= + = +∴ . 
 Resposta: 4 2 ln .x y x const+ = 
 
2) 0,9 ponto = 9 × 0,1 
3
3 2
2
( 3) 0 0 (tripla) ou 3
( 2 2)( 3) 0 2 4 8 2 2
2 2 1
2 2
r r r
r r r r
r r r
⎧⎪ − = ⇒ =⎪⎪⎪+ + − = ⇒ ⎨ − ± − − ±⎪ + + ⇒ = = = − ±⎪⎪⎪⎩
i i
 
 Resposta: 
2 3
1 2 3 4 5 6( ) ( cos sen )
x xy x c c x c x c e e c x c x−= + + + + + . 
 
3) 1,0 ponto = 10 × 0,1 
22
�����	����
 ������	�����
2
3 2
3 2
{ sen , cos }{ , }
{ ,1} { } {sen , cos } { , } {sen , cos } { , , sen , cos }
x x
x x x x x
xx
x x x xx e x e
x e x x xe e x x x e x e x x x x
− −
− − − − −
⋅⋅
× ∪ = ∪ = . 
 Resposta: 3 2( ) sen cosx xPy x Ax e Bx e Cx x Dx x
− −= + + + . 
 
4) 1,3 ponto = 13 × 0,1 
ln ( ) ( ) ( ) 3 4t tt x x e y y y y t y y t e′′ ′ ′ ′′= ⇔ = ⇒ − + + = + = − . 
2
1 2 1 21 0 ( ) cos sen ( ) cos ln sen lnH Hr r y t c t c t y x c x c x+ = ⇒ = ± ⇒ = + ⇒ = +i . 
( ) 2 3 4 3 e 2t t tPy t A Be Be A e A B= + ⇒ + = − ⇒ = = − . 
( ) 3 2 ( ) 3 2tP Py t e y x x= − ⇒ = − . 
 Resposta: ( ) ( ) ( )H Py x y x y x= + . 
 
 
5) 1,3 ponto = 13 × 0,1 
ln
2 2 5 /2( ) 2 ( ) ( ) 2
t x
tx y xy y x x x y y y y t y y t e
=′′ ′′′ ′ ′ ′′+ − = ⇒ − + − = − = . 
2 1
1 2 1 21 0 1 ( ) ( )
t t
H Hr r y t c e c e y x c x c x
− −− = ⇒ = ± ⇒ = + ⇒ = + . 
1( ) ( ) ( )Py x A x x B x x
−= + . 
1
3/2
2
0 2
( )
32
A x B x
A x A x x
A B x x
−
−
⎧⎪ ′ ′+ =⎪⎪ ′⇒ = ⇒ =⎨⎪ ′ ′− =⎪⎪⎩
 . ( )∗∗ 
2 5/2 7/22( )
7
B A x x B x x′ ′= − = − ⇒ = − . 
 Resposta: 1 5/21 2
8
( ) ( ) ( )
21H P
y x y x y x c x c x x−= + = + + . 
( )∗∗ Ou equivalentemente: 
1( ) ( ) ( ) ( )t tPy A t e B t e A x x B x x
− −= + = + . 
5 /2 3 /2 3 /2 3/2
5 /2
0 2 2
3 32
t t
t t t t
t t t
A e B e
A e e A e A e x
A e B e e
−
−
⎧⎪ ′ ′+ =⎪⎪ ′ ′⇒ = ⇒ = ⇒ = =⎨⎪ ′ ′− =⎪⎪⎩
 . 
2 7 /2 7 /2 7/22 2( )
7 7
t t tB A e e B x e x′ ′= − = − ⇒ = − = − . 
 
 
6) 1,4 ponto = 14 × 0,1 
( 2 ) (1 2 )( ) ( 1) 2xy ve x v v v x v v x v x′′ ′ ′= ⇒ + + + − + + − = . 
�����	����
 ���������	��������
1 0
(2 1 2 ) (2 1 2 1) 2x v x x v x x v x′′ ′+ + − + + − + − = . 
1
ln1( ) ( ) 2
dx
xxv v f e e x
x
′ ′ ′+ = ⇒ = = =∫ . 
( ) 22 11 1 22 ( ) ln2
c x
v x x v x x c v x v x c x c
x
′′ ′ ′= ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + + . 
 Resposta: ( ) ( ) xy x v x e= . 
 
 
7) 0,8 ponto = 8 × 0,1 
 
3
0 e 12 4
4
4
2 ln(1 ) 1 0
1
x yxydy dx y x c c
x
= =−= ⇒ = + + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = ++∫ ∫ . 
 Resposta: 4( ) 1 ln(1 )y x x= − + + .