Cáculo I - Integral - lista9

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – UNESP – IBILCE
9a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I
1. Calcule, utilizando substituic¸a˜o trigonome´trica, as seguintes integrais:
a)
∫
dx
4 + x2
b)
∫
dx
x2
√
x2 − 1 , x > 1 c)
∫
dx
x2
√
x2 + 1
d)
∫
dx
(4− x2)3/2 e)
∫
6dt
(9t2 + 1)2
f)
∫
v2
(1− v2)5/2dv
g)
∫
1
(x2 + 1)3/2
dx h)
∫
dx√
4x2 + 1
i)
∫
x2√
16− x2dx
2. Calcule as seguintes integrais:
a)
∫
sen 3x cos 2xdx b)
∫
sen 5x sen 4xdx c)
∫
cos 4x cos 3xdx
d)
∫
cos3 xdx e)
∫
sen 5x cos2 xdx f)
∫
sen 4x cos2 xdx
g)
∫
cos3 x sen 2xdx h)
∫
sen 2xdx i)
∫
sen 3xdx
3. Em cada item a seguir, desenhe o conjunto A dado e calcule a a´rea:
a) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo Ox e pelo gra´fico de y = x3.
b) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gra´fico de y =
√
x.
c) A e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0.
d) A={(x, y) ∈ R2| x ≥ 0 e x3 − x ≤ y ≤ −x2 + 5x}.
4. Esboce a regia˜o delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua a´rea:
a) y = ex, y = x2 − 1, x = −1 e x = 1 b) y = senx, y = 2x
pi
e x ≥ 0.
c) 4x+ y2 = 12 e y = x d) x = y4, y =
√
2− x e y = 0.
e) y = 12− x2 e y = x2 − 6 f) y = √x, y = x
2
e x = 9.
g) y =
1
x
, y = x, y =
x
4
e x > 0.
5. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o delimitada pelas curvas dadas em torno
das retas especificadas. Esboce a regia˜o e o so´lido.
a) y = 2− x
2
, y = 0, x = 1 e x = 2, em torno do eixo x;
b) x = 2
√
y, x = 0 e y = 9, em torno do eixo y;
c) y =
x2
4
e y = 5− x2, em torno do eixo x;
d) y = x2 e x = y2, em torno de y = 1;
e) y = x, y =
√
x, em torno de x = 2;
f) y = x, y = 0, x = 2 e x = 4, em torno de x = 1.
6. Calcule as integrais definidas:
a)
∫ 2
−1
(x3 − 2x)dx b)
∫ 4
1
(5− 2t− 3t2)dt c)
∫ 1
0
(1 +
1
2
u4 − 2
5
u9)du d)
∫ 2
1
3
t4
dt
e)
∫ 1
−1
e u+1du f)
∫ 2pi
pi
cos θdθ g)
∫ pi/4
0
sec θ tg θdθ h)
∫ 2
1
(1 + 2y)2dy
i)
∫ √3/2
1/2
6√
1− α2dα j)
∫ 2
1
4 + u2
u3
du k)
∫ pi
0
f(x)dx,f(x) =
 senx, 0 ≤ x ≤ pi/2cosx, pi/2 ≤ x ≤ pi
l)
∫ 2
−2
f(x)dx, f(x) =
 2, −2 ≤ x ≤ 04− x2, 0 < x ≤ 2 m)
∫ 1
0
xe x
2
dx
n)
∫ 0
−1
x2
√
1 + x3dx o)
∫ 2
1
x2(x− 2)10dx p)
∫ pi/6
0
cosx sen 5xdx
2