Aula 05 Análise do Volume de Controle Utilizando Energia

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Fenômenos de Transporte
Professor: Felipe Chagas Storti
5. Análise do Volume de Controle 
Utilizando Energia
E-mail: storti@unb.br
Introdução
 Aplicar os princípios da conservação de massa e conservação de
energia nos volumes de controle.
 Analisar volumes de controle em estado estacionário:
 Volume de controle (VC): A transferência de energia através da
fronteira pode ocorrer por meio de trabalho, calor e fluxo de massa.
• Bocais e difusores;
• Turbinas;
• Compressores e bombas;
• Trocadores de calor;
• Dispositivos de estrangulamento;
Conservação de Massa para um VC
𝒅𝒎𝑽𝑪
𝒅𝒕
= 𝒎𝒊 − 𝒎𝒆
onde: 𝒎𝑽𝑪 𝒕 é a massa contida no volume de controle no instante 𝒕.
 O princípio da conservação de massa enuncia que:
Taxa de variação da 
massa contida no 
interior do volume de 
controle no instante t
Taxa de escoamento de 
massa através da 
entrada i no instante t
Taxa de escoamento de 
massa através da saída
e no instante t
 Representando por símbolo temos:
 𝒎𝒊 e 𝒎𝒆 são as taxas do fluxo de massa instantâneas na entrada
e na saída respectivamente.
Conservação de Massa para um VC
 Na prática, podem haver vários locais na fronteiro de um VC em
que a massa entre e sai.
 Isso pode ser levado em conta através do somatório dado por:

e
e
i
i mm
dt
dm
cv
Balanço da taxa de massa para volume de controle
com diversas entradas e saídas.
 Unidades:
• SI: 𝒌𝒈/𝒔
• Outras: 𝐥𝐛/𝒔 e 𝒔𝒍𝒖𝒈/𝒔
 Quando uma corrente de fluxo de matéria entrando ou saindo de
um VC se enquadra nas seguintes idealizações:
Conservação de Massa para um VC
Escoamento Unidimensional
(1) O fluxo é normal à fronteira em locais onde a massa entra ou sai do
volume de controle;
(2) Todas as propriedades intensivas, incluindo a velocidade e o
volume específico, são uniformes com a posição (valores médios
globais) sobre cada área de entrada ou saída através da qual a matéria
escoa;
 Quando o escoamento é unidimensional, a taxa de massa pode ser
calculada:
Conservação de Massa para um VC
Escoamento Unidimensional v
AV
m
onde
V é a velocidade
v é o volume específico
 Sabendo que 𝒗 = 𝟏 𝝆 temos que:
AVm 
 Unidades:
• SI: 𝑨 = 𝒎𝟐, 𝑽 = 𝒎/𝒔, 𝒗 = 𝒎𝟑/𝒌𝒈,
então 𝒎 = 𝒌𝒈/𝒔
Taxa Volumétrica
Conservação de Massa para um VC
Formulação em Estado Estacionário (Regime Permanente)
Estado estacionário ou regime permanente: onde todas as
propriedades permanecem inalteradas com o tempo.

e
e
i
i mm
dt
dm
cv
 Então:

e
e
i
i mm 
 As taxas totais de entrada e saída de massa são iguais.
Conservação de Energia para um VC
 O princípio da conservação de energia aplicado a um VC estabelece:
Taxa temporal de 
variação da energia
contida no interior 
do volume de 
controle no instante t
Taxa líquida na
qual a energia está
sendo transferida
para dentro por
transferência de 
calor no instante t
Taxa líquida na
qual a energia
está sendo
transferida para 
fora por trabalho
no instante t
Taxa líquida da 
energia transferida
para o volume de 
controle
juntamente com o 
fluxo de massa
+
 O balanço da taxa de energia para volume de controle pode ser
obtido modificando-se o balanço da taxa de energia para sistema
fechado de forma a levar em conta as transferências de energia
para o VC juntamente com o fluxo de massa.
Balanço da Taxa de Energia para um Volume de Controle
Balanço da Taxa de Energia para um Volume de Controle
Conservação de Energia para um VC
𝒅𝑬𝑽𝑪
𝒅𝒕
= 𝑸 − 𝑾 + 𝒎𝒊 𝒖𝒊 +
𝑽𝒊
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒊 − 𝒎𝒆 𝒖𝒆 +
𝑽𝒆
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒆
• 𝑬𝑽𝑪 representa a energia contida no interior do volume de controle
no instante 𝒕.
• 𝑸 taxa líquida de transferência de energia por calor através da
fronteira do volume de controle no instante 𝒕.
• 𝑾 taxa líquida de transferência de
energia por trabalho através da
fronteira do volume de controle no
instante 𝒕.
• 𝒎𝒆 𝒖𝒆 +
𝑽𝒆
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒆 taxas de energia
interna, cinética e potencial dos fluxos
de entrada.
Avaliando o Trabalho para um Volume de Controle
Conservação de Energia para um VC
Trabalho 𝑾
realizado sobre 
ou por um VC
(1) Trabalho associado à pressão do fluido à
medida que a massa é introduzida nas entradas e
removida nas saídas.
(2) Designinada por 𝑾𝑽𝑪 , que inclui todos os
outros efeitos devidos ao trabalho, como aqueles
associados a eixos que giram, a deslocamentos de
fronteira e a efeitos elétricos.
 Consideranto o trabalho associado à pressão da matéria
escoando através de uma saída 𝒆:
 A taxa de transferência de energia por meio de trabalho é dada por:
 𝑾 = 𝑭 ∙ 𝑽
 𝑾𝒆 = 𝑭𝒆𝑽𝒆
𝑭𝒆 = 𝒑𝒆𝑨𝒆 𝑾𝒆 = 𝒑𝒆𝑨𝒆 𝑽𝒆 =
Taxa temporal de transferência
de energia por trabalho saindo
do volume de controle na saída e
Avaliando o Trabalho para um Volume de Controle
Conservação de Energia para um VC
 Portanto o termo do trabalho 𝑾 da equação
𝒅𝑬𝑽𝑪
𝒅𝒕
= 𝑸 − 𝑾 +
 𝒎𝒆 𝒖𝒆 +
𝑽𝒔
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒆 − 𝒎𝒔 𝒖𝒔 +
𝑽𝒔
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒔 pode ser escrito como:
 𝑾 = 𝑾𝑽𝑪 + 𝒑𝒆𝑨𝒆 𝑽𝒆 − 𝒑𝒊𝑨𝒊 𝑽𝒊
 Sendo 𝒎 = 𝑨𝑽 𝒗 ⇒ 𝑨𝑽 = 𝒎𝒗, onde 𝒗 é o volume específico, temos:
 𝑾 = 𝑾𝑽𝑪 + 𝒎𝒆 𝒑𝒆𝒗𝒆 − 𝒎𝒊 𝒑𝒊𝒗𝒊
Trabalho de EscoamentoTodas as outras transferência de
energia por trabalho através da
fronteira do volume de controle.
Formulação de Escoamento Unidimensional do Balanço 
da Taxa de Energia para um Volume de Controle
Conservação de Energia para um VC
 Substituindo a equação 𝑾 = 𝑾𝑽𝑪 + 𝒎𝒆 𝒑𝒆𝒗𝒆 − 𝒎𝒊 𝒑𝒊𝒗𝒊 na
equação do balanço da taxa de energia para um volume de
controle, tem-se:
𝒅𝑬𝑽𝑪
𝒅𝒕
= 𝑸𝑽𝑪 − 𝑾𝑽𝑪 + 𝒎𝒊 𝒖𝒊 + 𝒑𝒊𝒗𝒊 +
𝑽𝒊
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒊 − 𝒎𝒆 𝒖𝒆 + 𝒑𝒆𝒗𝒆 +
𝑽𝒆
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒆
 Sabendo que a entalpia específica é dada por: 𝒉 = 𝒖 + 𝒑𝒗
𝒅𝑬𝑽𝑪
𝒅𝒕
= 𝑸𝑽𝑪 − 𝑾𝑽𝑪 + 𝒎𝒊 𝒉𝒊 +
𝑽𝒊
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒊 − 𝒎𝒆 𝒉𝒆 +
𝑽𝒆
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒆
 Então o balanço da taxa de energia é:
𝒅𝑬𝑽𝑪
𝒅𝒕
= 𝑸𝑽𝑪 − 𝑾𝑽𝑪 + 
𝒊
 𝒎𝒊 𝒉𝒊 +
𝑽𝒊
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒊 − 
𝒆
 𝒎𝒆 𝒉𝒆 +
𝑽𝒆
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒆
Formulação em Regime Permanente do Balanço da Taxa 
de Energia
Conservação de Energia para um VC
 Em regime permanente 𝒅𝑬𝑽𝑪 𝒅𝒕 = 𝟎, assim a equação do balanço
da taxa de energia pode ser escrita como:
𝟎 = 𝑸𝑽𝑪 − 𝑾𝑽𝑪 + 
𝒊
 𝒎𝒊 𝒉𝒊 +
𝑽𝒊
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒊 − 
𝒆
 𝒎𝒆 𝒉𝒆 +
𝑽𝒆
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒆
 Alternativamente:
 𝑸𝑽𝑪 + 
𝒊
 𝒎𝒊 𝒉𝒊 +
𝑽𝒊
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒊 = 𝑾𝑽𝑪 + 
𝒆
 𝒎𝒆 𝒉𝒆 +
𝑽𝒆
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝒆
 Também em regime permanente para um VC com uma entrada e
uma saída de massa, 𝒎𝒊 = 𝒎𝒆 = 𝒎, então:
𝟎 = 𝑸𝑽𝑪 − 𝑾𝑽𝑪 + 𝒎 𝒉𝒊 − 𝒉𝒆 +
𝑽𝒊
𝟐 − 𝑽𝒆
𝟐
𝟐
+ 𝒈 𝒛𝒊 − 𝒛𝒆
Modelando VC em Estado Estacionário
 Quando o termo da transferência de calor 𝑸𝑽𝑪 é zero no balanço de
energia:
(1) A superfície externa do VC é bem isolada;
(2) A área da superfície externa é muito pequena para que haja
transferência efetiva de calor;
(3) A diferença de temperatura entre o VC e sua vizinhança é tão
pequena que a transferência de calor pode ser desprezada;
(4) O gás ou líquido passa pelo VC tão rápido que não há tempo
suficiente para ocorrer uma transferência de calor significativa.
 Quando o termo da transferência de calor 𝑾𝑽𝑪 é zero no balanço de
energia:
(1) Quando não há eixos rotativos;
(2) Deslocamento da fronteira;
(3) Efeitos elétricos;
 A energia cinética e potencial da matéria entrando e saindo do VC
são desprezadas quandosão pequenas em relação a outras
transferências de energia.
Modelando VC em Estado Estacionário
Bocais e Difusores
Bocal: é um duto com área de seção reta variável na qual a
velocidade de um gás ou um líquido aumenta na direção do
escoamento.
Difusor: o gás ou líquido desacelera na direção do
escoamento.
Modelando VC em Estado Estacionário
Turbinas
Turbinas: é um dispositivo no qual o trabalho é desenvolvido
como resultado de um gás ou um líquido passando através
de um conjunto de lâminas fixadas a um eixo livre para
sofrer rotação.
São utilizadas:
• Instalações motoras a vapor;
• Instalações motoras a gás;
• Motores de aeronaves;
• Turbina hidráulica.
Modelando VC em Estado Estacionário
Turbinas
Turbina hidráulica 
instalada em um dique
Modelando VC em Estado Estacionário
Turbinas










 )(
2
)V(V
)(0 21
2
2
2
1
21cvcv zzghhmWQ 
 Considerações para turbinas a VAPOR e a GÁS:
• Energia cinética líquida da matéria escoando através da fronteira
é usualmente pequena o suficiente para ser desprezada;
• A energia potencial líquida da matéria em escoamento
normalmente é desprezível;
• Regime permanente (ou estado estacionário).
• Transferência de calor seria a transferência de calor inevitável
(ou perdida), quantidade usualmente muito pequena.
)( 21cv hhmW  
Modelando VC em Estado Estacionário
Compressores e Bombas
Compressores e Bombas: são dispositivos nos quais o
trabalho é realizado sobre a substância em escoamento ao
longo dos mesmos, de forma a mudar o estado da
substância (aumentar a pressão e/ou a elevação).
 Compressor: quando a substância é um gás.
 Bomba: quando a substância é um líquido.
Compressor
Modelando VC em Estado Estacionário
Compressores
Modelando VC em Estado Estacionário
Turbo Compressores
Modelando VC em Estado Estacionário
Compressores
Modelando VC em Estado Estacionário
Compressores e Bombas










 )(
2
)V(V
)(0 21
2
2
2
1
21cvcv zzghhmWQ 
• Para compressores: geralmente as variações da energia cinética
e potencial entre a entrada e a saída são geralmente pequenas
em relação ao trabalho realizado por unidade de massa
passando através do equipamento.
• Regime permanente (ou estado estacionário).
• Transferência de calor é um efeito secundário nos compressores
e bombas.
)( 21cv hhmW  
Modelando VC em Estado Estacionário
Trocadores de Calor
Trocadores de Calor: equipamentos que transferem calor
entre fluidos a diferentes temperaturas pelos modos de
transferência de calor.
 Contato direto: reservatório no qual duas
correntes quente e fria se misturam diretamente
 Duplo tubo contracorrente: aquele no qual
um gás ou líquido é separado de um outro
gás ou líquido por uma parede através da
qual a energia é conduzida.
Modelando VC em Estado Estacionário
Trocadores de Calor
 Fluxo cruzado: trocador de calor com
escoamentos cruzados.
Modelando VC em Estado Estacionário
Trocadores de Calor

A energia cinética das correntes de escoamento
(Vi
2/2) e (Ve
2/2) podem ser ignoradas.
A enegia potencial das correntes de escoamento
gzi e gze podem ser ignoradas.
A tranferencia de calor com a vizinhança é 
usualmente pequena e pode ser ignorada.
  
e
e
e
ee
i
i
i
ii gzhmgzhmWQ )
2
V
()
2
V
(0
22
cvcv 
cvQ

.0cv W

e
e
ei
i
i hmhm  0
im em
im em
Modelando VC em Estado Estacionário
Dispositivos de Estrangulamento
Dispositivos de estrangulamento: dispositivos na qual
consegue uma redução significativa na pressão através da
introdução de uma restrição na linha pela qual um gás ou
líquido escoa.
Modelando VC em Estado Estacionário
Dispositivos de Estrangulamento










 )(
2
)V(V
)(0 21
2
2
2
1
21cvcv zzghhmWQ 

A energia cinética da corrente de escoamento a 
montante e ajusante da área de redução
½(V1
2 – V2
2) pode ser ignorada.
A enegia potencial das correntes de escoamento
pode ser ignorada.
A tranferência de calor com a vizinhança é 
usualmente pequena e pode ser ignorada.
.0cv W

12 hh 