2017 1 DINÂMICA II

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1 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
 
Dinâmica II 
 
2 
 
Dinâmica II 
 
Bibliografia Recomendada 
 
Bibliografia Básica: 
HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc 
Graw Hill, 2006. 
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José 
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. 
 
Bibliografia Complementar: 
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003. 
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982. 
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2003. 496p. 
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João 
Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p. 
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. 
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p. 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
3 
Cinemática plana de corpos rígidos 
1. Introdução 
2. Corpos Rígidos 
 2.1 - Movimento de translação 
 2.2 - Movimento de rotação 
 i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular 
 i i - Aceleração Angular 
 i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante 
 iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e 
 Angulares 
3. Atividades Introdutórias 
 Dinâmica II 
 Introdução - Dinâmica 
4 
1 - Introdução 
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é o 
movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como 
origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em 
torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro 
da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão lugar à 
absorção e à emissão da luz e, no interior de um metal, produzem corrente 
elétrica; as moléculas de um gás, em movimento aleatório, dão origem à 
pressão e aos processos de difusão. 
Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é 
influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com eles. 
Num tubo de televisão ou no monitor de um sistema de computação, por 
exemplo, o feixe de elétrons deve mover-se de forma a produzir uma 
imagem na tela. 
 Introdução - Dinâmica 
5 
Introdução 
Um dos objetivos dos físicos e dos engenheiros é descobrir a relação 
existente entre os movimentos e as interações que os produzem e dispor 
as coisas de modo a produzir movimentos úteis. 
 
Para análise e previsão do movimento de partículas (ou de corpos rígidos) 
resultante de diferentes tipos de interações, alguns conceitos primordiais 
como momento, força, e energia foram criados. Estes conceitos são tão 
importantes que raramente podemos analisar um processo sem expressá-
lo em termos destes conceitos. 
 Introdução - Dinâmica 
6 
A mecânica de Newton é uma mecânica voltada para o estudo do 
movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecânica de Newton é 
a mecânica do ponto. Mas os casos de maior interesse são aqueles em que 
estudamos não uma partícula (um ponto), mas um sistema de partículas, 
ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos puntiformes. 
 
As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rígido é um 
sistema constituído de partículas (átomos, por exemplo) agregadas de um 
modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo (ou 
o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as distâncias 
entre as várias partes que compõem o corpo são rigorosamente constantes. 
 Introdução - Dinâmica 
2 - Corpos Rígidos 
Pode-se dizer então que um Corpo Rígido pode ser definido como um 
corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, 
mesmo sob aplicação de um esforço externo. 
Um corpo rígido executa basicamente dois tipos de movimento: 
movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias 
paralelas, como em (A), e movimento de rotação, quando os pontos 
percorrem trajetórias circulares, como em (B). 
Porém o caso mais genérico do movimento de um corpo rígido é dado no 
exemplo (C); uma combinação de translação e rotação. 
 Introdução - Dinâmica 
8 
O movimento de translação pode ser analisado observando-se 
exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento 
de translação se o seu centro de massa se desloca à medida que o tempo 
passa. Assim, o movimento de translação do corpo rígido está associado 
ao movimento do centro de massa. 
O que provoca o movimento de translação são as forças externas 
agindo sobre o corpo rígido. O corpo rígido se desloca de tal forma que 
tudo se passa como se todas as forças estivessem atuando sobre o centro 
de massa. 
“Nos movimentos de translação valem as leis de Newton e a conservação 
da quantidade de movimento”. 
2.1 - Movimento de translação 
 Introdução - Dinâmica 
9 
Seja um corpo rígido em translação e sejam e duas partículas quaisquer 
no interior do corpo. Num sistema de referência fixo, define-se: 
 
Derivando a expressão em relação ao termo, obtém-se: 
 
 
Ou seja, quando um corpo rígido se encontra em translação, todos os 
pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a 
mesma aceleração. 
 Introdução - Dinâmica 
 
 
Para um corpo que se move uma distância Δs durante um intervalo de 
tempo Δt sua velocidade média é definida como: 
 
A velocidade instantânea v é definida como o limite para o qual tende esta 
razão quando Δt se aproxima de zero: 
 
Se a velocidade do corpo variar Δv num intervalo de tempo Δt, ele tem 
uma aceleração média definida como: 
 
e a aceleração instantânea a é definida como limite desta razão quando Δt 
tende a zero: 
t
s
vm



dt
ds
t
s
v
t




 0
lim
t
v
tt
vv
am






12
12
dt
dv
t
v
a
t




 0
lim
 Introdução - Dinâmica 
11 
O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação, que se 
observa sempre que um torque é a ele aplicado, como num pião. Por 
exemplo, em espetáculos de patinação artística no gelo, frequentemente se 
vê uma patinadora girar em torno de si mesma com os braços abertos na 
horizontal. 
2.2 - Movimento de rotação 
Ao encolher os braços sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular 
aumenta consideravelmente. A distribuição de massa do corpo no espaço 
afeta a rotação. 
 Introdução - Dinâmica 
O uso de coordenadas x, y e z é uma forma sofisticada de descrever as 
rotações, e sendo elas confinadas em um único plano facilmente descritas 
por um ângulo. 
xˆ
yˆ
ˆˆ z n
)(tr  )( tt 
)(t
ω
r 
 Introdução - Dinâmica 
Quando um corpo rígido está animado de rotação em torno de um eixo 
fixo, cada ponto do corpo descreve um círculo cujo centro está sobre o 
eixo de rotação e cujo plano é perpendicular ao eixo. Existem algumas 
relações simples e úteis entre a velocidade e a aceleração angulares do 
corpo em rotação e a velocidade e aceleração lineares dos seus pontos. 
 Introdução - Dinâmica 
2.3 – Rotação em torno de um eixo fixo 
Seja “r” a distância do eixo ao um ponto P do corpo que se move sobre 
uma circunferência de raio “r”. Quando o raio faz um ângulo “θ” com o 
eixo de referência, a distância “s” percorrida pelo ponto P é: 
 
Derivando ambos os membros destaequação em relação a t e tendo em 
vista que r é constante, vem: 
 
Diferenciando a equação da velocidade em função do tempo 
temos: , onde r é constante. 
 
A componente radial v2/r da aceleração do ponto P também pode ser 
expressa em termos da velocidade angular: 
rs 
rdds 
dt
d
r
dt
ds 

rv 
 r
dt
d
r
dt
dv
a 
 Introdução - Dinâmica 
Resumindo: 
 Introdução - Dinâmica 
Vetorialmente: 
O conjunto de equações vistas tem uma forma similar ao encontrado no 
caso do movimento retilíneo se substituirmos θ, ω e α por x, v e a. No 
caso em que é constante (rotação uniformemente acelerada) obtemos por 
integração direta que: 
 
 
 
As grandezas θ, ω e α que caracterizam o movimento rotacional também 
podem ser representadas vetorialmente. A direção neste caso é a do eixo 
em torno do qual o corpo roda. O sentido é definido pela regra da mão 
direita, colocando-se os dedos na direção em que θ aumenta. O polegar 
coincide então com o eixo de rotação e indica o sentido do vetor θ. 
 Introdução - Dinâmica 
Também, as equações são válidas mesmo quando ω e v não são 
constantes. 
As equações radial e tangencial da aceleração de um ponto arbitrário de 
um corpo em movimento de rotação são representadas na figura a seguir. 
xˆ
yˆ
zˆ


r

s
ω
v
taNaα
 Introdução - Dinâmica 
 Introdução - Dinâmica 
19 
No movimento de translação, quando a mesma força é aplicada a objetos 
de massas diferentes, observam-se acelerações diferentes. Já no 
movimento de rotação, quando o mesmo torque é aplicado em objetos 
idênticos com distribuição diferente de massa, observam-se 
acelerações angulares diferentes. 
 
Então, não é a massa que afeta a velocidade angular da patinadora mas a 
distribuição da massa do seu corpo. Essa distribuição pode ser expressa 
através de uma quantidade denominada momento de inércia. 
Comentário: 
 Introdução - Dinâmica 
20 
1. Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. É 
possível que a aceleração angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo 
que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o 
equivalente linear desta situação? Ilustre ambas as situações com exemplos. 
 
2. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua 
borda. O ponto tem aceleração radial quando a roda gira com velocidade 
angular constante? Tem aceleração tangencial? 
 
3. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de engrenagens 
acopladas, de raios diferentes? 
3. Atividades Introdutórias 
 Introdução - Dinâmica 
4. Coloque V ou F para as afirmações a seguir a respeito dos corpos rígidos: 
a. ( ) Do ponto de vista cinemático, um Corpo Rígido (C.R.) pode ser 
definido como um corpo material que guarda a propriedade de invariância de 
distância relativa entre quaisquer pontos que o constituam. 
b. ( ) Um sólido admitido indeformável concretiza o conceito de um C.R.. 
c. ( ) A componente do vetor velocidade de qualquer ponto de um mesmo 
corpo rígido, na direção de seu vetor de rotação, independe do ponto 
considerado. 
d. ( ) Um C.R. está realizando um movimento de translação quando todos os 
seus pontos possuem mesma velocidade escalar. 
e. ( ) Um C.R. está realizando um movimento de rotação quando todos os 
seus pontos possuem mesma velocidade angular. 
 
 Introdução - Dinâmica 
5. (ENADE-adaptada) No mecanismo ilustrado, uma placa metálica gira em 
torno de um ponto fixo O devido à aplicação de uma força F constante, que 
provoca o aparecimento de um torque, isto é, faz a placa metálica girar em 
torno do ponto fixo O. 
 
 
 
Com relação ao mecanismo apresentado, julgue os itens seguintes: 
I - Quanto maior for o valor da velocidade angular ω da placa metálica, maior 
será a velocidade linear vA de sua extremidade. 
II - Quanto menor for o valor da distância entre o ponto A e o ponto fixo O, 
maior será a velocidade linear vA da extremidade da placa. 
III - O módulo da velocidade relativa do ponto A em relação ao ponto O pode 
ser calculado pela expressão vA/O = ωd. 
IV - O ponto A na extremidade da placa não possui aceleração se ela gira com 
velocidade angular ω constante. 
 Introdução - Dinâmica 
6. A velocidade angular do disco é definida por ω = 5t2 + 2 rad/s, onde t é 
dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração 
do ponto A do disco quando t = 0,5 s. 
 Introdução - Dinâmica 
7. O disco movimentado pelo motor tem sua posição angular definida por 
θ = (20t + 4t2) rad, onde t é dado em segundos. Determine a velocidade e a 
aceleração angulares do disco quando t = 90 s. 
 
 Introdução - Dinâmica 
8. O disco circular mostrado na figura gira em relação a seu centro O no 
sentido indicado. Em um certo instante, o ponto P, em sua borda, possui 
uma aceleração dada por a = - 3i - 4j m/s2. 
Para esse instante, determine a velocidade angular ω e a aceleração angular 
α do disco. 
 Introdução - Dinâmica 
26 
9. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um eixo fixo e 
gira à razão de 2,5 rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 20 cm de 
comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a 
flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto os 
raios sejam muito finos; veja a figura. 
 
 
 
 
(a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter? 
(b) A localização do ponto que você mira, entre o eixo e a borda da roda, 
tem importância? Em caso afirmativo, qual a melhor localização? 
 Introdução - Dinâmica 
27 
 Cinemática plana de corpos rígidos 
 
Movimento de Corpos Rígidos 
1 - Movimento Absoluto 
2 - Movimento Relativo: Velocidade 
 2.1 - Posição 
 2.2 – Deslocamento 
 2.3 – Velocidade 
3 - Centro Instantâneo de Velocidade Nula 
 3.1 – Definição 
 3.2 - Localização 
4 - Movimento Relativo: Aceleração 
 
 Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
28 
Para estudar a cinemática dos corpos rígidos devemos estabelecer as 
relações que existem entre o tempo, as posições, as velocidades e as 
acelerações dos vários pontos materiais que formam um corpo rígido. 
 
. 
Movimento de Corpos Rígidos 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
1. Translação. Diz-se que um movimento é de translação quando qualquer 
reta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direção durante 
o movimento; e todos os pontos materiais que formam o corpo deslocam-se 
segundo trajetórias paralelas. Sendo estas trajetórias retas ou curvas, 
translação retilínea e translação curvilínea. 
29 
1. Rotação em torno de um Eixo Fixo. Neste movimento, os pontos 
materiais que formam o corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao 
longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma reta fixa, 
como mostrado na figura abaixo. 
 
Se essa reta, chamada de eixo de rotação, intercepta o corpo rígido, os 
pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e aceleração nulas. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
30 
Não se deve confundir o movimento de rotação com certos tipos de 
translação curvilínea. Por exemplo, a placa ilustrada na figura (a) está em 
translação curvilínea, havendo grupos de pontos materiais deslocando-se 
segundo circunferências paralelas. Enquanto a placa ilustrada na figura (b) 
está em rotação, já que todos os pontos materiais descrevem circunferências 
concêntricas. 
 
 
 
 
 
 
No primeiro caso,qualquer reta da placa conserva a mesma orientação, 
enquanto, no segundo, o ponto O permanece fixo. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
31 
3. Movimento Plano Geral. Há outros tipos de movimento plano, isto é, 
movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em 
planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de rotação ao 
redor de um eixo fixo sem translação, considera-se como um movimento 
plano geral. Dois exemplos de movimento plano geral são dados na 
figura abaixo. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
32 
4. Movimento em torno de um Ponto Fixo. Este é movimento 
tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo O. Um exemplo 
típico é o movimento de um pião sobre o solo. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Movimento Geral. Qualquer movimento de um corpo rígido que não 
esteja incluído nos tipos anteriormente mencionados é denominado 
movimento geral. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
33 
Movimento de Corpos Rígidos 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
34 
 Será abordado o movimento de translação, a rotação de um corpo rígido 
em torno de um eixo fixo. 
 
Definiremos a velocidade angular e a aceleração angular do corpo e 
relacionaremos a velocidade e aceleração de um ponto qualquer do corpo 
com seu vetor de posição e as quantidades angulares mencionadas. 
 
Serão estudados mecanismos como engrenagens, barra de conexão e 
articulações; bem como o método de análise das velocidades no 
movimento plano que se baseia no conceito de centro instantâneo de 
rotação. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 O movimento absoluto é completamente definido pelo conhecimento da 
rotação de uma linha fixa do corpo e do movimento de um ponto desse 
corpo. 
 
 
 
O estudo do movimento absoluto de 
um Corpo Rígido irá relacionar o 
movimento de um corpo com o de 
outro a ele conectado, e estudar o 
movimento de um corpo sujeito a uma 
rotação em torno de um eixo fixo. 
 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Deve-se utilizar uma coordenada de posição retilínea s para situar o ponto 
em sua trajetória e uma coordenada de posição angular θ para especificar 
a rotação da linha. 
 
 A velocidade e a aceleração de um ponto P em movimento retilíneo 
podem ser relacionadas com a velocidade e a aceleração angulares de uma 
linha pertencente ao corpo pela aplicação direta das equações diferenciais: 
 
dt
ds
v 
 
dt
dv
a 
 
dt
d
 
dt
d
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
37 
Exemplo 1: 
A barra DC gira uniformemente em torno do eixo em D com uma 
velocidade angular ω constante. Determinar a velocidade e a aceleração 
da barra AB que é obrigada pelas guias a se mover verticalmente. 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
B 
Solução: 
 Analisando o movimento vertical da barra, para sua coordenada y 
podemos escrever: 
 
 
Como vAB = vy , aAB = ay , = ω e = α = 0; 
 
 Temos: 
 
B 
)..(cos.cos 2  senlaylvylseny yy 
 

 cos...cos llvy   senlay ..
2
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
39 
Exemplo 2: 
O bloco B desliza para a direita com a velocidade de 300 mm/s. Calcule 
as velocidades do corpo deslizante A e dos pontos C e D dos cabos. 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Solução: 
Considerando os deslocamentos constantes representado podemos escrever: 
 
Como vB = 300 mm/s → vA = 200 mm/s 
Para encontrar a velocidade do ponto C: 
 
Como vA = 200 mm/s → vC = 600 mm/s 
 
Para o ponto D: 
 
Então → vD = - 200 mm/s 
3
2
2323 BA
BA
BA
v
v
dt
dx
dt
dx
ctexx 
AC
CA
CA vv
dt
dx
dt
dx
ctexx 333 
AD
DA
DA vv
dt
dx
dt
dx
ctexx 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
dt
ds
v 
 
dt
dv
a 
 
dt
d
 
dt
d
 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
42 
Atividades 
1. Uma roda de raio r rola sobre uma superfície plana sem deslizar. 
Determine a aceleração de um ponto na extremidade da roda, quando o 
ponto entra em contato com a superfície sobre a qual a roda rola. 
 R: r.ω2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
43 
2. Considerando que a mola mantém o contato entre o rolete e a superfície 
de acionamento da haste mostrada na figura, determine o módulo da 
aceleração da haste B para θ = 60º. A manivela AO tem uma velocidade 
angular de 2 rad/s e uma aceleração angular de 6 rad/s2 nessa posição. 
 R: 37,1 mm/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
44 
3. No instante em que θ = 50 º, a guia está subindo com aceleração de 
3 m/s2 e velocidade de 2 m/s. Determine a aceleração e a velocidade 
angulares da barra AB no instante considerado. 
 R: 8,7 rad/s; 50,5 rad/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
45 
4. Ao ponto A é fornecida uma aceleração constante a para a direita, 
partindo do repouso com x praticamente nulo. Determine a velocidade 
angular ω da barra de ligação AB em função de x e de a. 
 R: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
46 
5. O braço ranhurado AO mostrado na figura gira com uma velocidade 
angular constante durante um intervalo limitado de seu movimento, e 
move o bloco deslizante pivotado ao longo da ranhura horizontal. Escreva 
as expressões para a velocidade vB e para a aceleração aB do bloco 
deslizante em função de θ. R: vB = bω sec
2 θ, aB = 2bω
2 sec2 θ tg θ 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
47 
6. Usa-se o mecanismo para converter o movimento de rotação com 
velocidade angular constante ω = 4 rad/s da barra AB, de comprimento 
l = 50 cm, em movimento de translação da barra CD. Determine a 
velocidade e a aceleração de CD para um ângulo θ = 45º. 
 R: vx = 1,41 m/s; ax = 5,66 m/s
2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
48 
7. A extremidade R da barra mostrada na figura mantém-se em contato 
com a came por meio de uma mola. Se a came gira em torno de um eixo 
pelo ponto O, com uma aceleração angular α e velocidade angular ω, 
determine a velocidade e a aceleração da barra quando a came tem uma 
posição arbitrária θ. 
 R: vR = 2rωsen θ; aR = 2r(αsen θ + ω
2cos θ) 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
49 
8. A plataforma S pode ser elevada hidraulicamente pelo movimento do 
rolete A que se aproxima do pino B. Se a velocidade de A é de 1,5 m/s 
determine a velocidade com que a plataforma sobe considerando θ = 60º. 
As barras de 4 m estão articuladas por pinos em seus pontos médios. 
R: 0,866 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
50 
9. A carga L é içada pela combinação polia-cabo. Se o sistema parte do 
repouso e o cabo superior adquire uma velocidade igual a v = 4 m/s com 
aceleração constante quando a carga está a 6 m acima da sua posição de 
partida, calcular a aceleração da carga e determinar a sua velocidade neste 
instante. 
 R: a = 0,0208 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
51 
QuestãoDesafio 
O disco A rola sem escorregar sobre a superfície de um cilindro fixo B. 
Determine a velocidade angular de A se o seu centro C tem velocidade 
vC = 5 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
52 
Para visualizar as componentes (translação e rotação) separadamente 
utiliza-se uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos 
de eixos coordenados: 
 
 
 
 
 
 
 
. o sistema x, y, z fixo; mede a posição absoluta entre dois pontos, A e B 
por exemplo. 
. outro sistema x', y', z'; com origem fixada no ponto de referência A (que 
tem um movimento conhecido). Estes eixos não giram com o corpo, eles 
poderão apenas transladar em relação ao sistema fixo. 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
53 
 - Posição 
 
rA: vetor posição que caracteriza a localização do ponto de referência A. 
rB/A: posição relativa que localiza B em relação à A. 
 
A posição de B é escrita: 
 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Deslocamento 
Num pequeno intervalo de tempo dt, os pontos A e B se deslocam de drA e 
drB. Considerando o movimento plano geral por partes, pode-se inicialmente 
transladar o corpo como um todo de uma quantidade drA de modo que o ponto 
da base se move para posição final, e B se move para B'. O corpo então gira 
de um ângulo dθ em torno de A, de modo que B' sofre um deslocamento 
relativo drB/A, movendo para sua posição final B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
O deslocamento se escreve: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Velocidade 
 
Tomando as velocidades como derivadas dos deslocamentos, tem-se: 
 
 
vB: velocidade absoluta do ponto B (medida em relação aos eixos fixos 
x, y, z). 
vA: velocidade absoluta do ponto A (medida em relação aos eixos fixos 
x, y, z). 
vB/A: velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A. 
 
Devido a rotação em torno de A, escreve-se: vB/A = ω.rB/A 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
57 
A rotação em torno de A é um movimento relativo circular, em que o 
módulo da velocidade é vB/A = ωrB/A e sua direção é perpendicular a rB/A. 
Uma vez que a velocidade relativa (vB/A) representa o efeito de um 
movimento circular em relação a A, esse termo pode ser expresso pelo 
produto vetorial: 
 
 Então: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
 
 
 
A figura (a) mostra a contribuição vcm para a velocidade de um ponto 
qualquer da periferia Pi; a figura (b) mostra a contribuição proveniente da 
rotação em torno do centro de massa, ω × ri, para a velocidade desses pontos 
e na figura (c) estão indicadas as velocidades desses pontos, obtidas por meio 
da soma vetorial das contribuições desenhadas nas figuras (a) e (b). 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
60 
Exemplo 1 
 
Uma roda de raio r rola para a esquerda sem deslizar e, no instante 
considerado, o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda. 
Determinar a velocidade dos pontos A e C sobre a roda no instante 
mostrado. 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
61 
Resolução: 
 
A velocidade de A pode ser determinada usando-se O como ponto de 
referência da equação: 
 onde 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Como a roda não desliza, o ponto C apresenta velocidade 
nula no instante do contato com o solo e é chamado de centro instantâneo 
de velocidade nula, que será estudado mais à frente. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
62 
Exemplo 2 
Uma chapa quadrada uniforme, movendo-se no plano xy, possui uma 
velocidade angular no sentido horário. No instante mostrado, o ponto A 
tem uma velocidade de 2 m/s para a direita, e a velocidade do ponto C em 
relação a um observador fixo a B tem módulo de 1,2 m/s. Determine as 
expressões vetoriais para a velocidade angular da chapa e para a 
velocidade de seu centróide G. 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Resolução: 
 
A velocidade angular pode ser determinada usando-se a velocidade do 
ponto C em relação a ponto B: 
 
smjiv
jikiv
rvv
sradk
sradrv
G
G
AGAG
CBCB
/)ˆ6,0ˆ6,2(
)ˆ2,0ˆ2,0(ˆ3ˆ2
/ˆ3
/3
4,0
2,1
;











64 
Atividades 
1. Num dado instante um cilindro de raio r, tem velocidade angular ω e 
aceleração angular α, como indicado na figura. 
Determine a velocidade de seu centro G sabendo que o cilindro rola sem 
escorregar. 
 
 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
65 
2. O cilindro rola sem deslizar sobre a superfície de uma correia 
transportadora que se move a 2 m/s. Determine a velocidade do ponto A. 
O cilindro tem uma velocidade angular no sentido horário ω = 15 rad/s 
no instante mostrado. 
 R: v = 12,1 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
3. Uma roda de raio r = 300 mm rola para a direita sem deslizar, e seu 
centro O possui uma velocidade v0 = 3 m/s. Calcule: 
a) A velocidade angular da roda no instante considerado. 
b) A velocidade do ponto A sobre a roda para o instante representado. 
c) A velocidade de um ponto P em contato com o solo nesse instante. 
 R: 10 rad/s; 4,36 m/s; 0 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
67 
 
4. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira 
inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita 
e sua velocidade angular é igual a 8 rad/s no sentido horário. Determine 
os módulos das velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da 
engrenagem. 
 R: vR = 2 m/s; vD = 1,7 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
5. A manivela AB gira a 500 rad/s em torno de um eixo fixo passando por 
A. Determine a velocidade do pistão P no instante em que ele passa pela 
posição mostrada na figura. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
69 
 
6. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. Se a 
velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine o módulos 
das velocidades dos pontos A e B, mostrados na figura. 
R: vA = 2,84 m/s; vB = 7,37 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
70 
 
7. O elemento de controle de um mecanismo de aplicação específica é 
submetido a um movimento no plano da figura. Se, em um determinado 
instante, a velocidade do pino B em relação ao pino A tem um módulo de 
0,926 m/s, qual é o módulo correspondente da velocidade do pino C 
relativamente ao pino D? 
R: vC/D = 0,579 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
71 
 
8. Num dado instante, um bumerangue tem velocidade angular 
ω = 4 rad/s e seu centro de massa G tem velocidade vG = 6 m/s. 
Determine a velocidade do ponto B nesse instante. 
R: v = 6,47 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
72 
 
9. A bicicleta tem velocidade v = 4 pés/s, enquanto a roda traseira gira no 
sentido horário com velocidade angular ω = 3 rad/s, o que provoca um 
escorregamento de seu ponto de contato A. Determine a velocidade do 
ponto A da roda. R: 2,5 pés/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
73 
 
10. A barra mostrada na figura é guiadapelos blocos A e B, que se movem 
nas ranhuras fixas. Se a velocidade de A é de 2 m/s para baixo, determine 
a velocidade de B no instante em que θ = 45º. 
R: 2 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
11. Num dado instante, o colar C mostrado na figura está descendo com 
uma velocidade de 2 m/s. Se o ponto B possui velocidade de 2 m/s para a 
direita, determine a velocidade angular da barra CB. 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
12. Conforme o carro avança a 80 pés/s numa pista molhada, as rodas 
traseiras, devido a um escorregamento, giram com uma velocidade 
angular ω = 100 rad/s. 
Determine a velocidade escalar do: 
a) Ponto A b) ponto B c) ponto C 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
13. Um disco gira com velocidade angular ω = 4 rad/s, como mostrado na 
figura. Determine: 
a) A velocidade vA do ponto A. Você se lembra como pode ser chamado 
esse ponto no instante considerado? 
b) As velocidades vB e vC dos pontos B e C nesse instante. 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Outra abordagem para solução de problemas envolvendo as velocidades 
dos pontos de uma placa rígida em movimento plano é baseada na 
determinação do centro instantâneo de rotação (CI) da placa. 
 
 
 
 
 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
A expressão da velocidade relativa permite calcular a 
velocidade de um ponto quando conhecemos a velocidade de um ponto 
base. 
Esta determinação se simplifica quando a velocidade do ponto base é 
nula; e o ponto base se torna o C.I.R. 
 
Então: 
 
 
 
 O eixo de velocidade nula é perpendicular ao plano do movimento. 
 Os pontos se movem em trajetória circular em torno do CI. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
A figura mostra uma roda girando com velocidade angular ω. Como os 
pontos em contato têm a mesma velocidade, no contato com o piso v = 0, 
este ponto é o CI e todos os outros pontos têm naquele instante uma 
trajetória circular em relação ao CI. 
 
Em geral, um novo centro instantâneo CI existirá para cada nova posição 
do corpo durante o seu movimento. O lugar geométrico desses centros no 
espaço é conhecido como centrodo espacial, e o lugar geométrico sobre o 
corpo (ou prolongamento do corpo) é conhecido como centrodo de corpo. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Localização 
Em função das grandezas conhecidas, podemos distinguir três casos: 
 
1. A velocidade instantânea vA e a velocidade 
angular ω são conhecidas. Então rA/CI = vA / ω. 
 
 
2. As direções das velocidades de dois pontos 
A e B são conhecidas. Neste caso o CI 
localiza-se no ponto de encontro das 
perpendiculares às direções das velocidades 
nos pontos A e B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 Tem-se: rA/CI + rB/CI = d ou rB/CI – rA/CI = d 
 
O CI só vale para um determinado instante! 
Não significa que a aceleração é nula! 
3. Os módulos e direção de duas velocidades paralelas são conhecidas. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Exemplo 1: 
Para o instante representado, o centro instantâneo de velocidade nula para 
a chapa retangular, sujeita a um movimento plano, é localizado em C. Se 
a chapa possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido anti-horário 
nesse instante, determine o módulo da velocidade do centroide O da 
chapa. 
 
 
 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Resolução: 
É necessário inicialmente encontrar a distância rOC 
Aplicando a expressão escalar da velocidade relativa: 
smsmmv
rv
mmr
O
OCO
OC
/077,1/1077)4.(269
269250100 22




Exemplo 2: 
O eixo do conjunto da roda mostrada na figura rola sem deslizar sobre a 
superfície horizontal fixa, e o ponto O possui uma velocidade de 0,8 m/s 
para a direita. Utilizando o procedimento do CI, determine as velocidades 
dos pontos A, B, C e D. 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
smrv
smrv
smrv
smrv
sradrv
DPD
CPC
BPB
APA
OPO
/92,3)16.(050,0250,0
/08,4)16.(250,0050,0
/2,3)16.(200,0
/8,4)16.(300,0
/16
050,0
8,0
;
22
22










Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
86 
Atividades 
 
1. O disco rola sem deslizamento sobre duas chapas A e B, as quais 
movem-se paralelamente uma a outra, mas em direções opostas. Se 
vA = 2 m/s e vB = 4 m/s, posicionar o centro instantâneo de velocidade nula 
para o disco, e determinar a velocidade do ponto D no instante 
representado. 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
2. A caixa representada na figura move-se mantendo as arestas C e D em 
contato com as paredes lisas contidas respectivamente no plano OX e OY. 
Num determinado instante a velocidade do ponto D é 0,5 m/s. Determine 
nesse instante: 
a) As coordenadas do centro instantâneo de rotação 
b) A velocidade angular da caixa. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
88 
 
3. Na situação mostrada na figura, o disco gira com velocidade angular 
ω = 4 rad/s. Utilizando o conceito de centro instantâneo de rotação (CI), 
determine as velocidades dos pontos B e C. 
 R: 1,2 m/s; 0,849 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
89 
4. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira 
inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita. 
Determine as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da 
engrenagem usando o método do centro instantâneo de rotação. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
90 
 
5. A extremidade A da barra possui uma velocidade vA = 2 m/s para baixo 
durante um certo intervalo de seu movimento. Para a posição em que 
θ = 30º, determine, pelo método do centro instantâneo de rotação, a 
velocidade angular ω da barra AB e a velocidade vG do centróide G da 
barra. R: ω = 11,55 rad/s; vG = 1,155 m/s, 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
91 
 
6. A lâmina de uma ceifadeira mecânica gira no sentido anti-horário a uma 
velocidade angular de 1800 rpm. Se o centrodo de corpo é um círculo com 
0,75 mm de raio, calcule a velocidade vO da ceifadeira. 
R: 0,1414 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
92 
 
7. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. Se a 
velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine utilizando 
o conceito de Centro Instantâneo de Velocidade Nula (C.I.) as velocidades 
dos pontos A e B mostrados na figura. 
R: 7,33m/s; 2,83 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
93 
 
8. O cilindro mostrado na figura rola sem escorregar entre as placas E e D. 
Determine a posição do centro instantâneo de rotação do cilindro e sua 
velocidade angular. 
R: 2,6 rad/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
94 
 
9. A roda motriz dianteirade um veículo possui um diâmetro de 650 mm e 
uma velocidade angular ω de 200 rpm quando em movimento sobre uma 
pista de gelo. Se o centro instantâneo de velocidade nula da roda está 
100 mm acima do ponto de contato do pneu com a pista, determine a 
velocidade v do veículo e a velocidade de deslizamento vd do pneu sobre o 
gelo. 
R: 4,71 m/s, 2,09 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
95 
Uma equação que relaciona a aceleração de dois pontos de um corpo 
rígido sujeito a um movimento plano geral pode ser determinada pela 
derivação da equação de velocidade em relação ao tempo: 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 e são acelerações absolutas medidas no sistema de 
coordenadas fixo. 
 
 é medido por um observador fixo ao sistema móvel em 
translação. 
 
O movimento relativo tem uma trajetória circular com raio rB/A. 
 
 Então: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Voltando à expressão da aceleração relativa: 
 Pode-se escrever: 
 
Em que os módulos são: 
 : com direção perpendicular a rB/A 
 : com direção igual a BA e o sentido de B para A. 
Estas componentes representam um movimento circular observado num 
referencial em translação. 
Utilizando a noção de produto vetorial: 
 
 
 Resultando: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
98 
Pode-se concluir que quando dois corpos são articulados: 
 
- pontos coincidentes na rótula têm a mesma aceleração. Descrevem a 
mesma trajetória; 
- se fazem contatos mas se movem em trajetórias diferentes terão a 
mesma aceleração tangencial (at); porém as acelerações totais não serão 
iguais pois an é diferente para cada trajetória. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
99 
Exemplo 1: 
No primeiro exemplo do cálculo da velocidade relativa, vimos a 
determinação das velocidades dos pontos A e C sobre a roda de raio r que 
rola para a esquerda sem deslizar no instante considerado. Vamos agora 
determinar as acelerações destes mesmos pontos da roda no instante 
considerado, lembrando que o centro O tem uma velocidade v0 para a 
esquerda. 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
Resolução: 
A aceleração de A é dada por: aA = aO + aA/O, 
onde o termo da aceleração relativa tem as componentes:(aA/O)n = r0ω
2, 
dirigida de A para O, e a componente (aA/O)t = r0α dirigida ao longo de t. 
A adição dos vetores dá aA. 
A aceleração do centro instantâneo de velocidade nula C, considerado 
um ponto sobre a roda, é obtida pela expressão: aC = aO + aC/O, 
em que as componentes da aceleração relativa são: 
(aC/O)n = rω
2, dirigida de C para O, e 
(aC/O)t = rα, dirigida para a direita, 
para levar-se em conta a aceleração angular no sentido anti-horário de 
linha CO em torno de O. 
 
Os termos são adicionados conjuntamente, e tem-se que: aC = rω
2. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
102 
Atividades 
 
1. Num dado instante, o cilindro de raio r visto anteriormente tem 
aceleração angular α. Determine a aceleração de seu centro G se o cilindro 
rola sem escorregar. 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
103 
2. O centro da dupla engrenagem já vista em problemas anteriores tem 
uma velocidade de 1,2 m/s para a direita e uma aceleração de 3 m/s2 na 
mesma direção e sentido. Determine: (a) a aceleração angular da 
engrenagem; (b) as acelerações dos pontos B, C e D da engrenagem. 
R: (a) α = -20 rad/s2; (b) aB = 8,1 m/s
2 
aC = 9,6 m/s
2 
aD = 13 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
104 
3. O volante mostrado na figura possui um diâmetro de 600 mm e gira 
aumentando sua velocidade de rotação em torno de seu eixo, que coincide 
com a orientação z. Quando o ponto P sobre sua borda cruza o eixo y com 
θ = 90º, ele possui uma aceleração dada por a = - 1,2 i - 10,8 j (m/s2) 
Para esse instante, determine a velocidade angular ω e a aceleração 
angular α do volante. R: 6 rad/s; 4 rad/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
105 
4. As duas pás de rotor com 800 mm de raio giram no sentido anti-horário 
com uma velocidade angular constante 2 rad/s em torno do eixo O 
montado em um bloco deslizante. A aceleração do bloco é aO = 3 m/s
2. 
Determine o módulo da aceleração da ponta A da pá quando (a) θ = 0º, (b) 
θ = 90º e (c) θ = 180º. A velocidade de O ou o sentido de ω influenciam o 
cálculo? R: (a) 0,2 m/s2, (b) 4,39 m/s2, (c) 6,2 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
106 
5. O centro O da roda é montado em um bloco deslizante que possui uma 
aceleração aO = 8 m/s
2 para a direita. Determine os módulos das 
acelerações dos pontos A e B para o instante em que θ = 45º, ω = 3 rad/s, 
α = - 8 rad/s2. 
R: aA = 12,8 m/s
2, aB = 3,21 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
107 
6. Para o instante representado na figura, o vértice C da chapa retangular 
possui uma aceleração de 5 m/s2 no sentido negativo do eixo y, e a placa 
possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido horário que diminui 
de 12 rad/s a cada segundo. Determine a aceleração do vértice A nesse 
instante. R: aA = 11,18 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
108 
7. O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e 
aceleração angular α = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola 
sem deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da 
aceleração de B para esse instante. 
R: aB = 16,44 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
109 
8. A bola mostrada na figura possui 0,5 m de raio e rola sem escorregar 
para a esquerda com aO = 2 m/s
2. Determine as acelerações vetoriais dos 
pontos B e A. 
 
R: aB = (–20 i + 2 j) m/s2; aA = (–4 i – 18 j) m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
110 
9. Num dado instante, o bloco deslizante A tem a velocidade e a 
aceleração mostradas na figura. Se a barra AB possui velocidade angular 
constante ωAB = 7,07 rad/s, determine a aceleração aB do bloco B nesse 
instante. 
R: 11,9 m/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
111 
10. O centro da roda mostrada na figura está se deslocando para a direita 
com aceleração escalar a = 5,80 m/s2,velocidade angular ω = 2 rad/s e 
aceleração angular α = 4 rad/s2. Sabendo que o ponto A não escorrega e 
que o raio da roda vale r = 1,45 m, determine a aceleração do ponto B. 
R: 13,9 m/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
30º 
Na discussão das equações do movimento relativo para a análise do 
movimento plano de corpos rígidos, foram utilizados eixos de referências 
não-girantes para descrever a velocidade relativa e a aceleração relativa. O 
uso de eixos de referência girantes facilita bastante a solução de muitos 
problemas de cinemática, em que o movimento é gerado no interior de um 
sistema ou observado a partir de um sistema que está girando. 
Inicia-se a descrição do movimento utilizando eixos girantes na análise do 
movimento plano de duas partículas A e B no plano XY. 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Considera-se, inicialmente, que as partículas A e B se movem 
independentemente uma da outra. Observa-se o movimento de A a partir 
de um sistema de referência xy em movimento, que possui sua origem fixa 
a B e que gira com uma velocidade angular ω = dθ/dt. Pode-se escrever 
esta velocidade angular como o vetor ω = ωk = dθ/dk,que é perpendicular 
ao plano do movimento e cujo sentido positivo coincide com a orientação 
positiva da direção z, conforme estabelecido pela regra da mão direita. O 
vetor posição absoluta da partícula A é dado por: rA = rB + r 
 rA = rB + (xi + yj) ou 
onde i e j são vetores unitários fixos ao referencial xy, e r = xi + yj, 
representativo de rA/B, é o vetor posição de A em relação a B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 jyixrr BA ˆˆ

Ao contrário do caso de eixos em translação, os vetores unitários i e j estão 
girando com o sistema de eixos xy e, portanto, suas derivadas em relação ao 
tempo devem ser calculadas. 
Utilizando o conceito de produto vetorial, pode-se perceber, pela figura, que 
ω X i = ωj e ω X j = - ωi. 
 
 
 
 
 
 
Assim, as derivadas em relação ao tempo dos vetores unitários podem ser 
expressas como: di/dt = ω X i = ωj e dj/dt = ω X j = - ωi 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Utilizando as expressões das derivadas dos vetores unitários, e derivando 
em relação ao tempo a equação do vetor posição de A e B, 
 
obtém-se a relação da velocidade relativa: 
 
 
Porém, 
e uma vez que o observador em xy percebe as componentes da velocidade 
vx e vy, tem-se que 
que é a velocidade em relação ao sistema de referência xy. 
 
Assim, a equação da velocidade relativa fica: 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
   jyixjyixrr
jyix
dt
d
dt
rd
dt
rd
BA
BA




 ˆˆ
 jyixrr BA ˆˆ

ryjxiyjxijyix
   )(
relvjyix

 
A figura ilustra o movimento da partícula A em relação ao plano girante xy, 
limitado pela ranhura curva na chapa que representa o sistema de referência 
girante xy. A velocidade de A, medida relativamente à chapa, , é tangente à 
trajetória fixa na chapa xy e possui um módulo ds/dt, onde s é medido ao longo 
da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
Essa velocidade relativa pode também ser vista como a velocidade 
 relativa a um ponto P fixo à chapa e coincidente com A no instante 
considerado. O termo possui um módulo e uma direção perpendicular 
a , e é a velocidade relativa a B no ponto P vista dos eixos não-girantes 
fixos a B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
relv

r


BAv /

r

r
A equação da aceleração relativa pode ser obtida derivando-se a relação da 
velocidade relativa. 
 
Assim: 
 
 
Trabalhando-se os termos do lado direito da equação, com o auxílio das 
equações das derivadas dos vetores unitários, e agrupando os termos 
idênticos, obtém-se a expressão vetorial geral da aceleração absoluta de uma 
partícula A em função de sua aceleração medida relativamente a um 
sistema de coordenadas móvel que gira com uma velocidade angular e 
uma aceleração angular . 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
relBA
relBA
vrraa
vr
dt
d
vv






relrelBA avrraa
   2)(
rela





Os termos e representam, respectivamente, as 
componentes tangencial e normal da aceleração do ponto coincidente P 
em seu movimento circular em relação a B. Esse movimento pode ser 
observado de um conjunto de eixos não-girantes movendo-se com B. O 
módulo de é , e sua direção é tangente ao círculo. O módulo de 
 é rω2 e sua orientação é de P para B ao longo da normal ao 
círculo. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
relrelBA avrraa
   2)(
r
  )( r

 
BPa /

r
  r
)( r

 
A aceleração de A em relação à chapa ao longo da trajetória, , pode ser 
expressa em coordenadas retangulares, normal e tangencial, ou polares, no 
sistema girante. Geralmente são utilizadas as componentes n e t, e essas 
componentes foram ilustradas na figura anterior. 
A componente tangencial possui um módulo , 
onde s é a distância medida ao longo da trajetória até A. 
 
 
A componente normal tem módulo , 
onde ρ é o raio de curvatura da trajetória medida em xy. 
 
O sentido desse vetor é sempre em direção ao centro de curvatura. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
rela

sa trel )(

2
)( relnrel
v
a 
Os resultados expressos pela equação da aceleração relativa podem ser 
visualizados de forma mais simples escrevendo-se a aceleração de A em 
função da aceleração do ponto coincidente P. 
Uma vez que a aceleração de P é 
 
pode-se reescrever a equação da aceleração relativa como: 
 
 
Quando a equação é escrita dessa forma o ponto P não pode ser escolhido 
aleatoriamente, pois ele é um ponto fixo ao sistema de referência girante 
coincidente com A no instante da análise. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
)( rraa BP
  
relrelPA avaa

 2
Exemplo 1: 
A figura mostra uma partícula A que move-se numa ranhura circular de 80 
mm de raio, no mesmo instante em que uma placa gira em torno de sua 
extremidade inferior O, na razão ω = dθ/dt. Determinar a velocidade de A 
na posição para a qual θ = 45º se, neste instante, dθ/dt = 3 rad/s e 
dβ/dt = 5 rad/s. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
Resolução: 
Os eixos xy, fixados à placa com origem em B constituem o sistema girante de 
referência. A relação da velocidade relativa é vA = vB + ω x r + vrel. Os termos 
mostrados na parte (b) da figura representam os vetores velocidades e posição. 
 
 O ponto B move-se num arco circular em torno de O; assim sua 
velocidade tem a intensidade: |vB| = rBω = √2 . 0,10 . 3 = 0,424 m/s 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 O termo ω x r é a velocidade relativa em relação a B do ponto P sobre 
a placa e coincidente com A. A linha PB gira com a velocidade angular 
ω = dθ/dt, de tal forma que: |ω x r| = |vP/B| = rω = 0,08 . 3 = 0,24 m/s 
A velocidade vrel de A em relação a placa depende de dβ/dt e tem a 
intensidade: 
 |vrel| = rdβ/dt = 0,08 . 5 = 0,40 m/s 
Adicionando-se os três vetores dá: = 0,453 m/s    22 24,040,0424,0 Av
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Exemplo 2: 
 
No instante representado na figura, o disco com uma ranhura radial gira em 
torno do ponto O com uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido anti-
horário, que diminui a uma taxa de 10 rad/s2. O movimento do cursor A é 
controlado separadamente, e, nesse instante r = 150 mm, v = 125 mm/s e 
a = 2025 mm/s2. Determinar a velocidade e a aceleração absolutas do cursor 
A para essa posição. 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
Resolução: 
Nesse caso, tem-se um movimento relativo a uma trajetória de rotação, de modo que um 
sistema de coordenadas girante com origem em O é o mais indicado. Considera-se, 
assim, o sistema de eixos xy fixo ao disco e utilizam-se os vetores unitários i e j. 
Considerando a origem em O, o termo da equação da velocidade relativa 
desaparece, e tem-se: 
 
 
A velocidade angular, como um vetor, é rad/s, onde k é o vetor unitário 
perpendicular ao plano xy, no sentido z positivo. A equação da velocidade relativa fica: 
 
 
 e possui um módulo de:m/s 
 
Bv

relA
relBA
vrv
vrvv






)/(125,0600,0125,0150,04 smijiikvA 

    613,0125,0600,0 22 Av
kB 4

 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Para determinar a aceleração, pode-se escrever para a aceleração nula da origem do 
sistema girante de coordenadas: 
 
 Os termos conhecidos ficam: 
 
 
 
 
 
 
Portanto a aceleração total é: = (2,025 – 2,4)i + (1,0 – 1,5)j = - 0,375i – 0,5j m/s2 
e possui módulo igual a: 
 
relrelA avrra
   2)(
 
)/(025,2
)/(0,1125,0)4(22
)/(5,1150,010
)/(4,26,04150,044)(
2
2
2
2
smia
smikv
smjikr
smijkikkr
rel
rel











    222 /613,0125,0600,0 smvA 
Aa

 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
127 
Atividades 
1. Um mastro fixo A é visto por um observador P que está sentado em um 
pequeno carrossel que gira em torno de um eixo vertical que passa por B 
com uma velocidade angular constante Ω, conforme mostrado. Determinar 
a velocidade aparente de A, vista pelo observador P. Essa velocidade 
depende da localização do observador sobre o carrossel? 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
2. O carro B está realizando uma curva com uma velocidade constante de 
54 Km/h, e o carro A está se aproximando do carro B no cruzamento com 
uma velocidade constante de 72 Km/h. Determinar a velocidade que o carro A 
aparenta ter para um observador viajando no carro B e fazendo a curva. Os 
eixos xy são fixos ao carro B. Seria essa velocidade aparente o negativo da 
velocidade que B parece possuir para um observador não-girante no carro A? 
A distância de separação dos dois carros no instante considerado é de 40 m.
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
3. Os jatos estão voando à mesma altitude e têm os movimentos indicados 
na figura. Determine a velocidade de A medida pelo piloto de B. 
R: 94 Km/h 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
4. No instante em que θ = 60º, a barra fixa em O mostrada na figura tem uma 
velocidade angular de 3 rad/s e uma aceleração angular de 2 rad/s2. Nesse 
instante, o colar C desloca-se para fora ao longo da barra, de modo que 
quando x = 0,2 m, a velocidade é 2 m/s e a aceleração é 3 m/s2, ambas 
medidas relativamente à barra. Determine as expressões vetoriais para a 
velocidade e para a aceleração do colar C nesse instante. 
R: 2i – 0,6j m/s; 1,2i – 12,4j m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
5. O bloco que está preso numa corda move-se ao longo da ranhura numa 
barra horizontal. Na situação mostrada na figura, a corda é puxada para baixo 
através do orifício em O, com aceleração de 4 m/s2 e velocidade de 2 m/s. 
Determine a aceleração do bloco nessa situação. A barra gira em torno de O 
com velocidade angular constante ω = 4 rad/s. 
R: –5,6i – 16j m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
6. A bola B, de tamanho desprezível, rola num tubo, de forma que num dado 
instante ela tem uma velocidade de 5 pés/s e uma aceleração de 3 pés/s2, 
medidas relativamente ao tubo. Se o tubo tem velocidade angular ω = 3 rad/s 
e aceleração α = 5 rad/s2 nesse instante, determine a velocidade da bola. 
R: 5i + 6j pés/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
7. Considere o movimento da bola do exercício anterior, determine sua 
aceleração para o instante considerado. 
R: -15i + 40j pés/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
8. Um homem está numa plataforma girante, inicialmente em O. Ele corre 
para a borda, de forma que, quando ele está em A, y = 0,5 pé, seu centro de 
massa tem velocidade de 2 pés/s e aceleração de 3 pés/s, ambas medidas 
relativamente à plataforma e orientadas ao longo do eixo y. Se a plataforma 
tem o movimento de rotação definido na figura, determine a velocidade do 
seu centro de massa, na situação considerada. 
 R: -2,5i + 2j pés/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
9. Considere o movimento sobre a plataforma girante do homem do exercício 
anterior. Determine a aceleração do centro de massa do homem, para a 
situação considerada. 
R: -3i + 1,75j pés/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
10. A aeronave de transporte B está voando com uma velocidade de 800 km/h 
em uma trajetória em arco de 15 km de raio. Quando B atinge a posição 
mostrada, a aeronave A, voando para sudoeste a uma velocidade constante de 
600 km/h, cruza a linha radial de B até o centro da curvatura C de sua 
trajetória. Escreva a expressão vetorial, utilizando o sistema de eixos x-y fixo 
a B, para a velocidade de A quando medida por um observador no interior de 
B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
137 
Agora você deve tentar resolver este mega simulado para a 
avaliação V1! 
Ele traz questões que abrangem todos os assuntos estudados sobre 
Cinemática de Corpos Rígidos. Se necessário, faça uso da 
formulação vista durante seus estudos. 
Aproveite esta ótima oportunidade para se preparar para a V1... 
 
Bons estudos! 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
138 
Questão 1. 
O disco está girando inicialmente com velocidade angular ω0 = 8 rad/s. 
Considerando uma aceleração angular constante αc = 6 rad/s
2, determine 
os módulos da velocidade e dos componentes n e t da aceleração do 
ponto A, no instante t = 3 s. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
139 
Questão 2. 
Considere as engrenagens A e B mostradas na figura. Sabendo que A 
parte do repouso e tem aceleração angular constante αA = 2 rad/s
2, 
determine o tempo necessário para B atingir uma velocidade angular 
ωB = 50 rad/s 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
140 
Questão 3. 
O cilindro hidráulico C impõe à extremidade A da barra AB uma 
velocidade constante v0 no sentido negativo da direção x. Determine as 
expressões para a velocidade angular ω = dθ/dt da barra em função de x. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
141 
Questão 4. 
No sistema motor mostrado na figura, l = 0,254 m e b = 0,0762 m, a 
manivela AB gira com velocidade angular constante de 750 rpm, no 
sentido horário. Determine a velocidade do pistão P e a velocidade 
angular da biela para a posição em que θ = 90°. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
142 
Questão 5. 
No instante em que θ = 50º, a guia mostrada na figura está subindo com 
velocidade de 3 m/s e aceleração de 2 m/s2. Determine a velocidade e a 
aceleração angulares da barra AB no instante considerado. Observação: o 
movimento para cima da guia ocorre no sentido negativo de y. 
 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
500 mm 
143 
Questão 6. 
Se a extremidade da corda está sendo puxada com velocidade 
vC = 120 mm/s, determine as velocidades angulares das polias A e B e a 
velocidade do bloco D. Suponha que a corda não escorregue nas polias. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
144 
Questão 7. 
Uma roda de raio r = 300 mm rola para a direita sem deslizar, e seu 
centro O possui uma velocidade v0 = 3 m/s. Calcule a velocidade do 
ponto A sobre a roda para o instante representado. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
145 
Questão 8. 
A manivela CB oscila em torno de C através de um arco limitado, 
obrigandoa manivela OA a oscilar em torno de O. Quando o mecanismo 
passa pela posição mostrada com CB horizontal e OA vertical, a 
velocidade angular de CB é de 2 rad/s no sentido anti-horário. Para esse 
instante, determine as velocidades angulares de OA e AB. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
146 
Questão 9. 
A configuração usual de um motor alternativo é a do mecanismo de 
bloco deslizante e manivela apresentado. Se a manivela OB possui uma 
velocidade de rotação no sentido horário de 1500 rpm, determine para a 
posição em que θ = 60°, a velocidade do pistão A, a velocidade do ponto 
G sobre a biela e a velocidade angular da biela. 
 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
147 
Questão 10. 
Mostre como se pode determinar o centro instantâneo de velocidade 
nula para a barra BC mostrada na figura. Se necessário, represente-o 
na figura. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
148 
Questão 11. 
Devido ao escorregamento, os pontos A e B na borda do disco de raio 
r = 0,8 pés têm as velocidades indicadas na figura. Determine: 
a) a posição do centro instantâneo de velocidade nula; 
b) a velocidade do centro C disco. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
149 
Questão 12. 
Para o instante representado, quando a manivela OA passa pela posição 
horizontal, determine a velocidade do centro G da barra AB pelo método 
do CIR. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
150 
Questão 13. 
O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e aceleração 
angular α = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola sem 
deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da aceleração 
de B para esse instante. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
151 
Questão 14. 
Num dado instante, o pé A da escada tem aceleração aA = 4 pés/s
2 e 
velocidade vA = 6 pés/s, ambas para a esquerda. Determine a aceleração 
do topo B e a aceleração angular da escada, nesse instante. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
152 
Questão 15. 
Determine a aceleração linear do bloco deslizante B que desloca-se para 
a direita com a velocidade e a aceleração mostradas na figura. Nesse 
instante, a roda possui aceleração angular constante igual 0,42 rad/s2. 
Lembre-se que para a inclinação representada, a velocidade do ponto A é 
paralela à do bloco B, o que indica que a barra AB não está girando. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
153 
Questão 16. 
Lança-se um aro sobre uma superfície áspera de forma que num dado 
instante ele tem velocidade angular ω = 4 rad/s e desaceleração angular 
α = 5 rad/s2, como indica a figura. Considerando que seu centro tem 
velocidade v0 = 5 m/s e desaceleração a0 = 2 m/s
2, determine a 
aceleração do ponto A, nesse instante. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
154 
Questão 17. 
O disco mostrado na figura rola sem deslizar sobre a superfície horizontal e, 
no instante representado, o centro O tem a velocidade e a aceleração 
indicadas. Nesse instante, o centro O tem a velocidade e a aceleração 
indicadas. Nesse instante, a partícula A possui a velocidade indicada por u e 
a taxa de variação com o tempo da velocidade ambas relativas ao disco. 
Determine a velocidade absoluta da partícula A. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
155 
Questão 18. 
Considere o disco do problema anterior, mostrado novamente na figura, 
Determine a aceleração absoluta da partícula A. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
156 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
 
Dinâmica II 
 
157 
 
Cinética Planar de Corpos Rígidos: Força e Aceleração 
 
1. Introdução 
 
2. Momento de inércia de uma massa 
 
3. Equações Cinéticas Planares do Movimento 
 
4. Equação do movimento de translação 
 
5. Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo 
 
6. Equações do movimento: movimento plano geral 
 CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
158 
A cinética de corpos rígidos trata das relações entre as solicitações (forças 
e momentos) que atuam num corpo e o correspondente movimento 
(translação e rotação) desse corpo. As relações cinemáticas para o 
movimento plano de corpos rígidos foram anteriormente desenvolvidas, 
sendo agora necessárias neste estudo do movimento planar de corpos 
rígidos. 
 
Este estudo é aplicado a movimentos planares de corpos rígidos que, tal 
como as solicitações aplicadas, são considerados simétricos relativamente 
a um plano de referência fixo. Este plano de referência contém o centro de 
massa e todas as forças e momentos que atuam no corpo podem ser 
projetados para esse plano de referência. 
 1. Introdução 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
159 
Um corpo que tenha dimensões apreciáveis na direção normal ao plano de 
referência pode ser tratado como possuindo movimento plano. Estas 
idealizações incluem claramente um vasto número de movimentos de 
corpo rígido. 
 
Uma forma básica de abordar a Cinética é pelo isolamento do corpo ou 
sistema a ser analisado. Para problemas que envolvem as relações 
instantâneas entre força, massa e aceleração ou quantidade de movimento, 
o corpo ou sistema deve ser explicitamente definido isolando-se o mesmo 
com o seu diagrama de corpo livre. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
160 
Quando forem empregados os princípios do trabalho e energia, um 
diagrama de forças que mostra somente aquelas forças externas que 
realizam trabalho sobre o sistema pode ser usado no lugar do diagrama de 
corpo livre. Nenhuma solução de um problema deve ser tentada sem 
primeiro definir o contorno externo completo do corpo ou sistema, e 
identificar todas as forças externas que atuam sobre ele. 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
161 
 Uma vez que um corpo rígido tem uma forma e tamanho definidos, um 
sistema de forças aplicadas ao corpo poderá não ser concorrente, 
provocando momentos que irão resultar numa aceleração angular do 
corpo. O movimento de rotação é descrito por uma equação do tipo 
 
 
 
 onde o termo IG é a quantidade designada por momento de inércia. 
 2. Momento de Inércia 
 
 
 
  

.GG IM
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
162 
Por comparação, pode-se afirmar que o momento de inércia é uma medida 
da resistência do corpo à aceleração angular, da mesma forma que a massa 
é uma medida da resistência do corpo à aceleração: 
 
Cada partícula fornece alguma resistência à mudança no movimento 
angular. 
Importante: 
- Propriedade de um objeto em resistir às mudanças no seu movimento 
angular. 
- É afetado pela massa do objeto e como esta está distribuída em relação 
ao eixo de rotação. 
 
 
I = m.r2 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Momento de Inércia 
 
 
 
  

.GG IM
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Cálculo do momento de inércia 
Para o corpo representado na figura abaixo, o momento de inércia 
relativamente ao eixo z é definido como 
 
 
A distância r é medida na perpendicular a partir do eixo z até ao elemento 
de massa dm. 
 
 
 
 

m
dmrI .2
 Cinética dos Corpos Rígidos - DinâmicaO momento de inércia de uma vareta fina, de massa M e comprimento L, 
em relação ao eixo O: 
 
 
 
 
Densidade linear da vareta: → 
Cálculo do momento de inércia: 
 
 
 
 

m
dmrI .2
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
- Considerando o eixo no centro de massa da vareta (h = L/2): 
 
- Considerando o eixo no centro de massa da vareta (h = 0): 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
167 
Desde que o momento de inércia do corpo calculado relativamente a um 
eixo que passa no seu centro de massa seja conhecido, então o momento 
de inércia relativamente a qualquer outro eixo paralelo pode ser 
determinado, usando o teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner). Este 
teorema pode ser deduzido considerando o corpo representado na figura: 
 - Teorema dos eixos paralelos 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
168 
O eixo z’ passa através do centro de massa, enquanto o eixo paralelo z se 
encontra afastado a uma distância d. Escolhendo o elemento de massa dm, 
localizado no ponto (x’, y’), e usando o teorema de Pitágoras, 
 
r2 = (d + x’)2 + y’2 
 
 
Podemos expressar o momento de inércia do corpo relativamente ao eixo 
z como: 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
       
m m mmm
dmddmxddmyxdmyxddmrI 2222
22 '2''''
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
IG - momento de inércia relativamente ao eixo z´ que passa no centro de 
 gravidade G. 
m - massa do corpo 
d - distância medida na perpendicular entre os dois eixos paralelos. 
       
m m mmm
dmddmxddmyxdmyxddmrI 2222
22 '2''''
Como r’2 = x’2 + y’2, o primeiro integral representa IG . O segundo 
integral é nulo, uma vez que o eixo z' passa no centro de massa do corpo, 
isto é, , uma vez que x' = 0. 
Finalmente, o terceiro integral representa a massa total m do corpo. 
Assim, o momento de inércia relativamente ao eixo z pode ser escrito 
como: 
 
 
  
m m
dmxdmx 0''
2mdII G 
O momento de inércia relativamente a um determinado eixo é 
frequentemente referido em termos do raio de giração (k), que é uma 
medida da distribuição da massa de um corpo em torno do eixo em 
questão e a sua definição é análoga à definição de raio de giração para o 
momento de inércia de área. 
Se toda a massa m pudesse ser concentrada a uma distância k do eixo, o 
momento de inércia permaneceria inalterado. 
“É a distância teórica do eixo de rotação onde toda a massa do objeto 
deveria estar concentrada para criar a mesma resistência à mudança no 
movimento angular que o objeto oferece no seu formato original”. 
 
 
 
2mkI 
m
I
k 
 - Raio de giração 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
171 
O momento de inércia de massa de um corpo composto é a soma dos 
momentos de inércia individuais relativos ao mesmo eixo. Pode-se utilizar 
o teorema dos eixos paralelos para relacionar o momento de inércia de 
cada uma das partes no seu centro de massa, IG , com o do momento de 
inércia no centro de massa do corpo. 
 
É muitas vezes conveniente tratar um corpo composto como sendo 
definido por volumes positivos e volumes negativos. O momento de 
inércia de um elemento negativo, como o material que é removido para 
formar um furo, deve ser considerado como uma quantidade negativa. 
 - Corpos Compostos 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
172 
A tabela apresenta algumas das fórmulas mais úteis para os momentos de 
inércia de corpos com as formas mais comuns. 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
173 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
“Princípio da conservação do momento angular” 
 
O momento angular de um objeto permanece constante 
a menos que um torque externo resultante seja exercido sobre ele. 
 
A 1ª lei de newton não requer que a velocidade angular seja constante, 
mas sim que o produto do momento de inércia pela velocidade angular 
seja constante, se não houver torques externos atuando. 
 
 - INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 1ª LEI DE NEWTON 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 momento de inércia 
 velocidade angular 
momento angular 
constante 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
176 
“Mudança no momento angular” 
 Se um torque externo for exercido sobre um objeto, este irá sofrer uma 
aceleração angular no sentido deste torque e essa aceleração angular 
será diretamente proporcional ao torque e inversamente proporcional ao 
momento de inércia do objeto. 
 
 - INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 2ª LEI DE NEWTON 
 
 
 
 = T / I ou T = I 
 - aumento ou diminuição da velocidade angular 
 - mudança na direção do eixo de rotação 
 - mudança no momento e inércia 
A aceleração angular do objeto ou uma mudança no seu momento de 
inércia não necessariamente indica a presença de um torque externo 
resultante. 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
177 
 Para cada torque exercido por um objeto sobre o outro, o segundo exerce 
sobre o primeiro um torque de igual magnitude mas no sentido oposto. 
 Os efeitos dos torques dependem dos momentos de inércia dos objetos. 
 
 - INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 3ª LEI DE NEWTON 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
179 
O movimento dum corpo pode ser visto na figura abaixo, em que o 
sistema inercial de referência x, y, z, tem a sua origem coincidente com o 
ponto arbitrário P do corpo. 
Por definição de sistema inercial, estes eixos não rodam e, ou estão fixos, 
ou transladam com velocidade constante. 
 3. Equações Cinéticas Planares do Movimento 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
180 
Um exemplo do movimento dum corpo pode ser visto na figura abaixo, em 
que o sistema inercial de referência x, y, z, tem a sua origem coincidente 
com o ponto arbitrário P do corpo. Por definição de sistema inercial, estes 
eixos não rodam e, ou estão fixos, ou transladam com velocidade 
constante. 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
181 
As forças representadas na figura anterior são forças externas, que 
representam o efeito de forças gravitacionais, elétricas, magnéticas ou de 
contacto com corpos adjacentes. Uma vez que este sistema de forças foi já 
estudado na análise de um sistema de partículas, a equação que daí 
resultou pode ser aqui usada: 
 
 
 
 4. Equação do movimento de translação 
 
 
 
Soma de todas as forças 
externas que atuam no corpo 
aceleração do seu 
centro de massa 
= massa do corpo x 
G
amF 

.
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
182 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Para o movimento do corpo no plano x-y, a equação do movimento 
 
pode ser escrita sob a forma de duas equações escalares independentes, 
uma vez que não existe nenhum movimento angular de translação do 
corpo; e assim, a aceleração angular é igual a zero. 
 
 
Então as equações do movimento que se aplicam neste caso são: 
 
 
 
 
   xGx amF
   yGy amF
0 GM
G
amF 

.
0.  

GG IM
183 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
Para a translação retilínea, se a direção de x é escolhida como sendo a da 
aceleração, entãoas duas equações escalares para as forças são: 
 
Para a translação curvilínea, utilizando-se o sistema de coordenadas n-t, as 
duas equações escalares para as forças ficam: 
Em ambos os casos: 0 GM
   nGn amF
   tGt amF
   xGx amF    0yGy amF
184 
 
 
Pode-se empregar uma equação alternativa de momentos com o auxílio 
do diagrama cinético. 
Então, para a translação retilínea tem-se: e 
 
e para translação curvilínea o diagrama cinético permite escrever 
 no sentido horário 
 e 
 no sentido anti-horário. 
 
“Assim, tem-se total liberdade de escolher o ponto em relação ao qual 
os momentos devem ser calculados, adotando-se, portanto, aquele que 
for mais adequado”. 
madM P  0 AM
AnA dmaM 
BtB dmaM 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
185 
Exemplo 1 
Uma caminhonete de 1500 Kg atinge uma velocidade de 50 Km/h, a partir 
do repouso, em uma distância de 60 m subindo uma ladeira com 10 % de 
inclinação, com aceleração constante. Calcule a força normal exercida 
pela pista sobre cada par de rodas e a força de atrito atuante nas rodas 
motoras na traseira. Sabe-se que o coeficiente de atrito efetivo entre os 
pneus e a pista é de no mínimo 0,8, e que a aceleração gravitacional é 
9,81 m/s2. 
 - Movimento de translação 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
186 
Resolução: 
Admite-se que as massas das rodas sejam desprezíveis se comparadas com a 
massa total da caminhonete, e que esta possa ser considerada um único 
corpo rígido em translação retilínea com uma aceleração de 
 
 
O diagrama de corpo livre da caminhonete completa mostra as forças 
normais N1 e N2, a força de atrito F no sentido contrário ao deslizamento das 
rodas motoras e o peso W representado por suas duas componentes. 
 
 
 
 
 
 
Com θ = tg-1 1/10 = 5,71º, essas componentes são: 
W.cos θ = 1500.9,81.cos 5,71º = 14,64.103 N 
W.sen θ = 1500.9,81.sen 5,71º = 1464 N 
 
  2
2
2
0
2 /608,1
60.2
6,3/50
2 smaSavv 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
187 
O diagrama cinético mostra a resultante, que passa pelo centro de massa e 
possui a orientação da aceleração do veículo. Seu módulo é: 
 FR = m.a = 1500.1,608 = 2410 N 
Aplicando as três equações de movimento para as três incógnitas, tem-se 
 → F – 1464 = 2410 → F = 3880 N 
 
 → N1 + N2 – 14,64.10
3 = 0 
 
 → 1,5N1 + 3880.0,6 – 1,5N2 = 0 
 
Resolvendo as duas últimas equações simultaneamente, obtém-se 
 N1 = 6550 N N2 = 8100 N 
 
Comentário: Para suportar uma força de atrito de 3880 N é necessário um 
coeficiente de atrito de no mínimo F/N2 = 3880/8100 = 0,48. Uma vez que o 
coeficiente de atrito é de pelo menos 0,8, as superfícies são suficientemente 
rugosas para suportar o valor calculado de F. 
 
  xx maF
  0yy maF
0.  IM G
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
188 
Exemplo 2 
 
Para que aceleração a da estrutura a barra delgada uniforme mantém a 
orientação mostrada na figura? Despreze o atrito e a massa dos pequenos 
roletes em A e B. 
 
 
 - Movimento de translação 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
189 
Resolução: 
Considerando as forças que agem na barra AB representadas na figura 
abaixo, pode-se escrever para as equações de movimento: 
 
 → NA = ma 
 
 → NB = mg 
 → NA(lsen 30º) - mg(l/2cos 30º) = ma(l/2sen 30º) 
 
Resolvendo a última expressão com as devidas substituições e 
simplificações, temos: a = g√3 
 
  xx maF
  0yy maF
madM B 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
190 
Atividades 
1. Um caixote homogêneo de massa m é montado sobre pequenas rodas, 
conforme mostrado na figura. Determinar a força máxima P que pode ser 
aplicada sem tombar o caixote em relação (a) a seu bordo frontal mais 
baixo com h = b e (b) a seu bordo anterior mais baixo, com h = 0. 
R: (a) P = mg(c/b); (b) P = mg(c/b) 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
2. O carrinho suporta o tambor de 600 lb que tem centro de gravidade em 
G. Se o trabalhador empurra o carrinho e sua carga com força horizontal 
de 20 lb, determine a aceleração do sistema e a reação normal em cada 
uma das quatro rodas. Despreze a massa das rodas. Considere a aceleração 
gravitacional g = 32,2 pés/s2. 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
192 
3. Observa-se que, quando engrenadas ainda em repouso, as rodas 
traseiras de um cortador de grama giram instantaneamente ao se acelerar o 
cortador. Se os coeficientes de atrito entre os pneus traseiros e o gramado 
são μe = 0,70 e μd = 0,50, determinar a aceleração a do cortador para a 
frente. A massa do cortador com o saco preso a ele é de 50 Kg com o 
centro de massa em G. Admita que o operador não empurre a 
empunhadeira, de modo que P = 0. 
R: a = 4,14 m/s2 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
193 
4. O carro mostrado na figura tem 2 t e centro de massa G. Determine a 
aceleração do carro se as rodas traseiras, de “tração”, estão deslizando, e 
as dianteiras estão livres. Despreze as massas das rodas. O coeficiente de 
atrito cinético entre as rodas e o pavimento é μc = 0,25. 
R: aG = 1,59 m/s
2 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
194 
5. A barra uniforme OB, de 30 Kg, é fixada a uma estrutura acelerada na 
posição de 30º com a horizontal, através da rótula O e do rolete A. Se a 
aceleração horizontal da estrutura é a = 20 m/s2, calcule a força FA sobre o 
rolete e as componentes x e y da força suportada pelo pino em O. 
R: FA = 1,11 kN; OX = 45 N; OY = 667 N 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
195 
6. Um carro esporte tem massa de 1,5 t e centro de massa em G. 
Determine o tempo mínimo que ele leva para atingir uma velocidade de 
80 Km/h, partindo do repouso, se a tração é traseira e as rodas dianteiras 
rolam livremente. O coeficiente de atrito estático entre as rodas e o 
pavimento é µe = 0,2. Despreze a massa das rodas. 
R: 17,5 s 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
196 
7. O veículo de passeio mostrado na figura tem 1650 Kg, e seu centro de 
massa é posicionado no ponto G. As massas das rodas são pequenas, se 
comparadas com a massa total do veículo. Considere o coeficiente de 
atrito estático entre a pista e as rodas motoras traseiras igual a 0,8. Calcule 
as forças normais NA e NB entre a pista e os pares de rodas dianteiras e 
traseiras na condição de aceleração máxima. 
R: NA = 6,85 kN; NB = 9,34 kN 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
197 
8. Uma caixa uniforme de 50 Kg apóia-se numa superfície horizontal para 
a qual o coeficiente de atrito cinético vale 0,2. Determine a aceleração da 
caixa se uma força P = 600 N está sendo aplicada na caixa, como 
mostrado na figura. 
R: 10 m/s2 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
198 
9. A motocicleta mostrada na figura tem uma massa de 125 Kg e um 
centro de massa em G1. O motociclista tem uma massa de 60 Kg e um 
centro de massa em G2. Determine o valor mínimo do coeficiente de atrito 
estático entre as rodas e o pavimento para que o motociclista faça a moto 
‘empinar’ como se pode ver na foto. Qual deve ser a aceleração 
necessária? Despreze as massas das rodas e suponha que a roda dianteira 
pode rolar livremente. R: 0,931; 9,43 m/s2 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
199 
10. Num dado instante, o caminhão está sedeslocando para a direita a 
8 m/s. Se o tambor não escorrega em B, determine sua velocidade angular, 
considerando que para um observador no solo o centro de massa G parece 
estar estacionário. 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
200 
Questão Desafio 
Quando a velocidade do veículo de massa m = 1500 Kg mostrado na 
figura era de 9,0 m/s, aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com 
que as quatro rodas parassem de girar. Observou-se que o veículo 
derrapou 6,0 m antes de parar. Determine o módulo da força de atrito em 
cada roda enquanto o veículo derrapava. 
R: FA = 3,58 kN; FB = 6,54 kN 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Considere um corpo rígido que se desloca no plano vertical, em torno de 
um eixo fixo que passa no ponto O, sujeito à ação de forças e momentos. 
 
 
 
 
Para esse movimento verifica-se que todos os pontos do corpo descrevem 
trajetórias circulares em torno do eixo de rotação, e todas as linhas 
traçadas sobre o corpo, sujeito a um movimento plano, têm a mesma 
velocidade angular ω e a mesma aceleração angular α. 
 5. Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
As componentes da aceleração do centro de massa para o caso do 
movimento circular são mais facilmente expressas em termos das 
coordenadas n-t, e assim tem-se an = rω
2 e at = rα, para a rotação do corpo 
rígido em relação ao eixo fixo que passa por O. 
 
 
 
 
 
As equações do movimento que se aplicam neste caso são 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Ao se aplicar a equação de momentos em relação a G deve-se considerar 
o momento da força aplicada ao corpo em O, logo essa força não deve ser 
omitida do diagrama de corpo livre. 
 
Para os problemas de rotação em relação a um eixo fixo, geralmente é 
interessante aplicar uma equação de momento diretamente em relação ao 
eixo de rotação O: 
 
 
 
 
OO IM 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
Com base no diagrama cinético pode-se obter a equação dos momentos 
das resultantes em relação a O, tomando que: 
 
Como (aG)t = rG.α, substituindo na equação anterior, obtém-se: 
 
Pelo teorema dos eixos paralelos, IO = IG + m rG
2, conclui-se que: 
 
Assim, as equações do movimento para o caso de rotação em torno de um 
eixo fixo que passe no ponto O podem-se também escrever da seguinte 
forma: 
 
 
 
.OO IM 
   GnGn rmamF
2
  GtGt rmamF .
OO IM 
GtGGO IamrM  )(
)( 2GGO mrIM 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
205 
Exemplo 1 
 
A barra uniforme de 20 Kg mostrada na figura é pivotada em O, e oscila 
livremente no plano vertical. Se a barra é liberada a partir do repouso na 
posição horizontal, calcule o valor inicial da força exercida pelo mancal 
sobre a barra no instante imediatamente após ela ser liberada. 
 - Movimento de Rotação 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
206 
Resolução: 
Considerando as forças que agem sobre a barra, representadas na figura 
abaixo, podemos escrever as equações do momento em relação a O , 
e sendo o momento de inércia da barra IO = 1/3ml
2, temos: 
 
 
 
 mgr = 
 
 20.9,81.0,8 = 1/3.20.(1,6)2α → α = 9,2 rad/s2 
 
 
Utilizando a relação a = αr e a expressão da força resultante em y, calculamos 
R: 
 → 20.9,81 – R = 20.0,8.9,2 → R = 49 N 
 
OO IM 
2
3
1
ml
OO IM 
mrmaF tt 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
207 
Exemplo 2 
Cada um dos dois tambores e correspondentes cubos de 250 mm de raio 
possui uma massa de 100 Kg e um raio de giração em relação a seu centro 
de 375 mm. Calcule a aceleração angular de cada tambor. O atrito em 
cada mancal é desprezível. 
 
 - Movimento de Rotação 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
208 
 
Resolução: 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
209 
Atividades 
1. Um disco de 80 Kg é suportado pelo pino em A. Se ele é solto a partir 
do repouso na posição mostrada na figura, determine a aceleração angular 
α adquirida pelo disco. O momento de inércia do disco em relação ao 
ponto A vale IO = 
3/2mR
2. 
R: 4,36 rad/s2 
 
 - Movimento de Rotação 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
2. A barra uniforme de massa m e comprimento l mostrada na figura é 
pivotada em O, e oscila livremente no plano vertical. Se a barra é liberada 
a partir do repouso na posição horizontal, escreva a expressão para a 
aceleração angular α da barra no instante imediatamente após ela ser 
liberada. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
3. Suponha agora que a barra uniforme do exercício anterior oscile no 
plano vertical em torno do pivô O. Sendo ω sua velocidade angular 
quando o ângulo formado com a horizontal vale θ, escreva a força 
suportada pelo pino em O nesse instante. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
212 
4. A barra fina de 20 Kg mostrada na figura gira num plano vertical e, 
num dado instante, tem velocidade angular ω = 5 rad/s. Determine a 
aceleração angular da barra e os componentes horizontal e vertical da 
reação no pino nesse instante. 
R: α = 5,90 rad/s2; On = 750 N; Ot = 19 N 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
213 
5. A barra uniforme AB, mostrada na figura, possui uma massa de 8 Kg e 
oscila no plano vertical em torno do pivô A. Se ω = 2 rad/s quando 
θ = 30º, calcule a força suportada pelo pino em A nesse instante. 
R: FA = 56,3 N 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
214 
6. Abandona-se a partir do repouso, quando θ = 0º, a barra delgada de massa 
m e comprimento l, mostrada na figura. Determine os componentes 
horizontal e vertical da força que o pino em A exerce na barra no instante que 
θ = 90º. 
 R: 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
215 
7. O disco uniforme de 30 Kg mostrado na figura é suportado por um pino 
em seu centro. Se ele parte do repouso, determine o número de voltas que ele 
deve dar para atingir uma velocidade angular de 20 rad/s. Qual é a reação no 
pino? O disco está sob a ação de uma força constante F = 10 N, que é 
aplicada a uma corda enrolada na sua borda, e um momento de binário 
M = 5 N.m. Despreze a massa da corda. 
R: θ = 2,73 rev; OX = 0 N; OY = 304 N 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
216 
8. O tambor mostrado na figura tem massa de 60 Kg e um raio de giração 
ko = 0,25. Uma corda de massa desprezível está enrolada em sua periferia e 
presa num bloco de massa 20 Kg. Determine a aceleração angular adquirida 
pelo tambor quando o bloco for solto. O raio do tambor é R = 0,4 m. 
R: 11,3 rad/s2 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
217 
9. A roda de 10 Kg tem raio de giração kA = 200 mm. Se a roda está sob a 
ação de um torque M = (5t) N.m, onde t é dado em segundos, determine sua 
velocidade angular quanto t = 3 s, a partir do repouso. Calcule também as 
reações que o pino fixo A exerce na roda durante o movimento. 
 
R: 56,2 rad/s; AX = 0 N; AY = 98,1 N 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
218 
10. A bobina mostrada na figura está apoiada em pequenos roletes em A e 
B. Determine a força constante P necessária para aplicar ao cabo uma 
aceleração de 1 m/s2. A bobina tem massa de 60 Kg e raio de giração 
kO = 0,65 m. Desprezeem seus cálculos as massas do cabo e dos roletes 
em A e B. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
219 
Questão Desafio 
A barra uniforme de 8 Kg mostrada na figura articula em relação a um eixo 
horizontal que passa pelo mancal O. Ela é liberada da posição horizontal a 
partir do repouso. Determine a distância b do centro de massa até o mancal 
O para a qual se tem uma aceleração angular inicial de 16 rad/s2, e obtenha 
a força R exercida pelo mancal sobre a barra no mancal O no instante 
imediatamente após a barra ser liberada. 
R: b = 53,6 mm e R = 71,6 N 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
220 
A dinâmica de um corpo rígido em movimento plano geral combina os 
movimentos de translação e rotação. 
Como nos casos anteriores é necessário apenas estabelecer-se a 
equivalência entre o sistema de forças externas, como no diagrama de 
corpo livre, e as resultantes das forças para resolver-se o problema de 
movimento plano. 
Podemos considerar novamente um corpo rígido que se desloca no plano 
vertical, em movimento plano geral, sujeito à ação de forças e momentos. 
 6. Equações do movimento: movimento plano geral 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
221 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Os diagramas de corpo livre e diagrama cinético deste corpo estão 
representados nas figuras abaixo: 
Para o movimento plano geral de um corpo simétrico rígido, podem-se 
escrever 3 equações escalares: 
   xGx amF    yGy amF .GG IM 
 
 
 
 
 
 
- aplica-se somente no ponto G. 
 
- Para outros pontos, devem-se considerar também os momentos “cinéticos” 
provocados pelas componentes de m(aG) em relação a esse ponto e por IG.α. 
 
- IG.α tem as mesmas propriedades de um binário e pode atuar em qualquer 
ponto no diagrama cinético. 
 
- m(aG)x e m(aG)y são tratados da mesma maneira que uma força, isto é, 
podem atuar em qualquer ponto das suas linhas de ação. 
.GG IM 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Especial atenção deve ser dada a certos casos do movimento plano; casos 
que ocorrem com frequência suficiente para precisarem atenção. 
 
1°caso: ocorre quando o centro de momentos O, como ponto do corpo ou 
da extensão deste, não tem aceleração! 
A equação de momentos em relação a O torna-se , que 
satisfaz às mesmas condições que para um corpo que gira em relação a 
um eixo fixo em O. 
 
.OO IM 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
2°caso: ocorre quando o centro de momento O é escolhido de tal modo 
que tem uma aceleração dirigida diretamente para G, figura (a). 
A aceleração de G, escrita em função da aceleração O, tem as 
componentes a0, rω
2 e rα de tal modo que a força resultante tenha as 
componentes ma0, mrω
2 e mrα, como é mostrado na parte (b) figura. 
 
 
 
 
 
A soma dos momentos em relação a O torna-se: . 
 A substituição de , dá 
 
 
 
 
 
am

 2. mrIM P 

2mrIIO 

.OO IM 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
 
 
 
A figura (c) mostra o exemplo frequentemente encontrado da situação 
descrita, que ocorre para uma roda que gira, com o centro de massa G no 
centro geométrico. 
 
 
 
 
 
O centro instantâneo de rotação C tem uma aceleração dirigida para o 
centro de massa. Se a roda deslizasse ou se o centro de massa não fosse o 
centro geométrico, então a aceleração do ponto de contato C não passaria 
em G. 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
226 
Observação: 
Deve-se enfatizar acentuadamente a escolha do corpo a ser isolado e sua 
representação através de correto diagrama de corpo livre. Somente após 
esse passo ter sido completado, pode-se avaliar adequadamente a 
equivalência entre as forças externas e suas resultantes. De igual 
importância na análise do movimento plano, é a compreensão da 
Cinemática envolvida. 
 
Muito frequentemente as dificuldades experimentadas no estudo do 
movimento planar estão relacionadas diretamente com cinemática. 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
227 
Deve ser reconhecido, na formulação da solução de um problema, que as 
direções de certas forças ou acelerações não sejam conhecidas no começo; 
de tal modo que seja necessário fazer hipóteses iniciais cujas validades 
serão aprovadas ou desaprovadas, quando a solução é efetuada. 
É essencial, entretanto, que todas as hipóteses feitas sejam coerentes com 
o princípio da ação e reação e com quaisquer requisitos cinemáticos, que 
também são chamados de condições de construção. Assim, se uma roda 
está girando em superfície horizontal, seu centro está limitado a mover-se 
em linha horizontal. Além do mais, se a aceleração linear desconhecida a 
do centro da roda é suposta positiva para a direita, a aceleração angular 
desconhecida α deve ser positiva no sentido positivo, de tal forma que 
a = + rα, supondo-se que a roda não deslize. 
 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
228 
Deve ser notado também que para uma roda que gira sem deslizamento 
a = rα, a força de atrito F entre a roda e sua superfície de apoio é 
geralmente menor que o seu valor máximo, de modo que F ≠ fN. Se a 
roda desliza quando gira a ≠ rα, embora a força de atrito tenha atingido o 
seu valor limite, tem-se que F = fN. Pode ser necessário testar a validade 
de uma ou outra hipótese em dado problema. 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Rolamento sem deslizamento é, por definição, qualquer movimento no qual 
um corpo rígido gira mantendo o contato com uma dada superfície e de tal 
modo que, em qualquer instante, o ponto do corpo que estiver em contato 
com a superfície terá, necessariamente, velocidade nula, supondo que a 
superfície esteja em repouso em relação ao referencial inercial em uso. 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Resumindo: “A condição de rolamento sem deslizamento para um corpo 
rígido qualquer é dada por vcm = ωr, onde vcm é o módulo da velocidade de 
seu centro de massa, ω é o módulo de sua velocidade angular de rotação 
e r é a distância entre o ponto desse corpo que está em contato com a 
superfície e o eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa.” 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
231 
Exemplo 1 
A bobina mostrada na figura tem massa de 8 Kg e raio de giração 
kG = 0,35 (SI). Se as cordas de massas desprezíveis estão enroladas no 
cilindro central e na periferia, como mostrado na figura, determine a 
aceleração angular da bobina. 
 Equações do movimento: movimento plano geral 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
232 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Resolução: 
Analisando as forças que agem na bobina de acordo com a figura abaixo, 
pode-se perceber que a força de 100 N causa uma aceleração aG para cima. 
Além disso, α corresponde a um movimento de rotação no sentido horário, 
pois a bobina enrola a corda em sua periferia. 
Há três incógnitas: T, aG e α. O momento de inércia da bobina em relação ao 
seu centro de massa é: IG = m.kG
2= 8Kg.(0,35m)2 = 0,980 Kg.m2 
233 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Aplicando as equações do Movimento: 
   yGy amF
 → T + 100 – 78.48 = 8.aG 
 
.GG IM 
 → 100.(0,2) –T .0,5 = (0,980).α 
Utilizando a cinemática para relacionar as acelerações aG com α, uma vez que 
a bobina rola sem escorregar na corda em A: aG = 0,5.α 
 
Resolvendo o sistema de equações, encontra-se: 
 α = 10,3 rad/s2 
 aG = 5,16 m/s
2 
 T = 19,8 N 
234 
Exemplo 2 
 
Um aro metálico com raio r = 150 mm é liberado do repouso sobre a 
ladeira com 20º de inclinação. Determine a aceleração angular α do aro e 
o tempo t para que ele se mova de uma distância de 3 m ladeira abaixo. 
 Equações do movimento: movimento plano geral 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
235 
Resolução: 
O diagrama de corpo livre mostra o peso mg, a força normal N e a força de 
atrito F atuante no ponto de contato C do aro com a ladeira. O diagrama 
cinético mostra a força resultante ma que passa por G no sentido de sua 
aceleração e o Momento Iα. A aceleração angular no sentido anti-horário 
requer um momento também no sentido anti-horário em relação a G, logo a 
força F deve ser orientada ladeira acima. 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
236 
 
 
   xGx amF
 → m.g.sen 20º - F = m.a 
 
   yGy amF
 → N – m.g.cos 20º = 0 
 
.GG IM 
 → F.r = m.r2.α 
Eliminando F entre a primeira e a terceira equação e substituindo a 
hipótese cinemática a = rα encontra-se: 
 a = (g/2)sen 20º = 1,678 m/s2 
→ O tempo necessário para o centro G do aro mover-se 3 m a partir do 
repouso com aceleração constante é: x = ½ a.t2 → t = 1,633 s 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Admitindo que o aro rola sem deslizamento pode-se escrever a = rα, e 
ainda que o momento de inércia do aro é I = mr2. A aplicação das 
componentes das forças nas direções x e y fornece: 
 
 
 
 
 
 
Movimento Plano Geral dos Corpos Rígidos 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
238 
Atividades 
1. A roda de 10 Kg com raio de giração de 180 mm em relação ao seu centro 
O é liberada a partir do repouso sobre a rampa de 60º e desliza enquanto rola. 
Se o coeficiente de atrito dinâmico é μd = 0,30, calcule a aceleração aO do 
centro O da roda e sua aceleração angular α. 
R: aO = 7,02 m/s
2; α = 9,08 rad/s2 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Equações do movimento: movimento plano geral 
2. A bobina mostrada na figura tem massa de 8 Kg e raio de giração 
kG = 0,35 (SI). As cordas de massas desprezíveis estão enroladas no 
cilindro central de raio r = 0,2 m e na periferia de raio R = 0,5 m, como 
mostrado na figura. Se a força F aplicada à extremidade da corda vale 
F = 100 N, determine a aceleração angular da bobina. 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
3. Um disco homogêneo de massa m e raio R rola sem escorregar em um 
plano inclinado após ter sido abandonado do repouso, como mostra a 
figura. Sabendo que o momento de inércia do disco vale IG = m.R
2/2, 
calcule a força de atrito entre o disco e o plano. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
4. O disco circular é submetido a uma força estacionária T = 50 N 
aplicada ao fio enrolado em torno da ranhura, fazendo um ângulo θ = 30º 
com a horizontal, como mostrado na figura. Determine: 
a) Se ocorre deslizamento do disco; 
b) A aceleração angular α do disco; 
c) A aceleração aG do seu centro de massa G; 
d) A força de atrito fat que a superfície exerce sobre o disco. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
242 
5. Uma esfera homogênea de massa m e raio R é abandonada a partir do 
repouso sobre uma rampa que está inclinada de um ângulo θ em relação à 
horizontal e, a partir desse instante, desce a rampa rolando sem deslizar 
como indica a figura. O momento de inércia da esfera em relação a um 
eixo que passa pelo seu centro de massa é I = (2/5)mR2. Calcule o módulo 
da força de atrito que a superfície inclinada exerce sobre a esfera. 
R: fat = (2/7)m.g.senθ 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
243 
6. O disco circular de massa m e raio r mostrado na figura está rolando ao 
longo da parte mais baixa da superfície circular de raio R. Se o disco 
possui uma velocidade angular ω, determine a força N exercida pela 
superfície sobre o disco. 
R: N = m.[g + (r2.ω2/R – r)] 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
244 
7. No sistema da figura os blocos A e B possuem massas 7,0 Kg e 5,0 Kg, 
respectivamente. A roldana é um disco homogêneo de raio r e massa 
1,0 Kg e gira devido ao atrito com a corda. Considerando que o atrito 
entre o plano inclinado e o bloco A é desprezível, que não há deslizamento 
entre a corda e a roldana determine a aceleração do bloco A. 
Deixe claro se este bloco sobe ou desce a rampa. 
R: 1,177 m/s2 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
245 
8. Uma corda está enrolada no tambor interno de uma roda e é puxada 
horizontalmente com uma força de 200 N. A roda tem massa de 50 Kg e 
raio de giração de 70 mm. Sabendo que µe = 0,20 e µd = 0,15, determine 
(a) se ocorre rolamento sem deslizamento da roda; e (b) a aceleração 
escalar aG do centro de massa da roda. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
246 
9. Ao tambor A é imposta uma aceleração angular constante α0= 3 rad/s
2, que 
faz com que o carretel B de 70 Kg role sobre a superfície horizontal. O 
tambor A aciona o carretel B por meio do cabo de conexão, que se enrola em 
volta do centro do carretel. O raio de giração k do carretel, em relação ao eixo 
que passa pelo seu centro de massa G, é de 250 mm, e o coeficiente de atrito 
estático entre o carretel e a superfície horizontal é de 0,25. Determine a força 
trativa T atuante no cabo e a força de atrito F exercida pela superfície 
horizontal sobre o carretel. 
R: T = 154,6 N 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
10. Considere um carretel de linha, inicialmente em repouso, formado por um 
cilindro interno homogêneo de raio r e por dois discos idênticos, 
homogêneos, de raio R cada um (R > r) e que estão presos nas extremidades 
do cilindro (como um iô-iô de criança). Seja Icm o momento de inércia do 
carretel em relação ao seu eixo de simetria (eixo perpendicular aos discos que 
passa pelo seu centro de massa) e M a massa total do carretel. Há um fio ideal 
enrolado no carretel que é puxado a partir de t0 = 0 com uma força horizontal 
de módulo constante F, como indica a figura. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Suponha que o valor de F seja pequeno o suficiente para que o carretel role 
sem deslizar sobre a superfície. A força de atrito resultante exercida pela 
superfície sobre os discos fa também está representada. Determine qual será a 
aceleração do centro de massa do carretel. 
 (Embora pareça estranho, e até mesmo contrário à nossa intuição, o 
carretel, ao ser puxado como indica a figura se move na direção e sentido de 
quem o puxa, enrolando mais ainda o fio no carretel! Você saberia provar 
este fato?...) 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
249 
 
Cinética Planar de Corpos Rígidos: Trabalho e Energia 
 
1. Introdução 
 
2. Energia Cinética 
 
3. Trabalho de uma Força 
 
4. Trabalho de um binário 
 
5. Princípio do Trabalho e Energia 
 
6. Conservação da Energia 
 
7. Potência 
 
 CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
250 
Os princípios de trabalho e energia são especialmente úteis na descrição 
do movimento que resulta do efeito cumulativo de forças atuantes durante 
um deslocamento. Alémdisso, quando as forças são conservativas pode-
se determinar as variações de velocidade pela análise das condições de 
energia no início e no final do intervalo do movimento. 
Para deslocamentos finitos, o método do trabalho-energia elimina a 
necessidade de determinar a aceleração e a posterior integração no 
intervalo de tempo para obter a variação da velocidade. 
Essas vantagens são obtidas ao se estender os princípios do trabalho-
energia para descrever o movimento de corpos rígidos. 
 1. Introdução 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
251 
Para que se possa aplicar o Método do Trabalho e Energia a problemas 
de cinética, é necessário desenvolver uma forma de calcular a energia 
cinética de um corpo quando este está sujeito a translação, rotação em 
torno de um eixo fixo ou movimento plano geral. 
 2. Energia Cinética ( ) 
 
 
T
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Considere o corpo rígido mostrado na figura abaixo, que se desloca num 
plano de referência x - y. 
 
 
 
 
 
 
 
Uma partícula arbitrária de ordem i deste corpo, de massa dm , está 
localizada a uma distância r do ponto arbitrário P. Se para o instante 
representado a partícula i tiver velocidade vi, então a energia cinética é 
dada por: 
2
2
1
ii dmvT 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
253 
A energia cinética do corpo é calculada escrevendo equações semelhantes 
para cada partícula do corpo e integrando os resultados, isto é, 
Esta equação pode também ser expressa em termos da velocidade do 
ponto P. Se o corpo tiver velocidade angular , 
 
 
Substituindo na equação da 
energia cinética, obtém-se: 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 

m
ii dmvT
2
2
1


jxviyvv
jyixkjvivv
vvv
yPxPi
yPxPi
PiPi
ˆ])[(ˆ])[(
)ˆˆ(ˆˆ)(ˆ)(
/








2222
2222222
222
)(2)(2
)(2)()(2)(
])[(])[(.
rxvyvvv
xxvvyyvvv
xvyvvvv
yPxPPi
yPyPxPxPi
yPxPiii







Mas 
 
 : localização da coordenada y do centro de massa G 
 relativamente a P 
 : localização da coordenada x do centro de massa G 
 relativamente a P 
 : Momento de inércia relativamente a um eixo z que 
 passa em P 
Pode-se, portanto escrever: 
Como caso especial, se o ponto P coincidir com o centro de massa G do 
corpo, temos y = x = 0, e portanto: 
 
 
22
2
1
..)(..)(
2
1  PyPxPP ImxvmyvmvT 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
255 
Translação 
Se um corpo rígido de massa m descrever um movimento de translação 
retilínea ou de translação curvilínea, a energia cinética devido à rotação é 
nula, pois ω = 0. Então: 
 
Rotação em torno de um eixo fixo 
Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo rígido que passa num 
ponto O, o corpo tem energia cinética de rotação: 
 
Movimento Plano Geral 
Quando um corpo rígido tem velocidade angular e o seu centro de massa 
tem velocidade: 
 
 
2
0
2
1
IT 
2
2
1
GmvT 
22
2
1
2
1 GG ImvT 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
256 
Se uma força atua num corpo rígido, o trabalho realizado à medida que 
se desloca ao longo do caminho s é definido por: 
 
 
 
 
 
 
Para um sistema de forças externas a atuar num corpo rígido, o 
trabalho total realizado é simplesmente a soma algébrica do trabalho de 
cada força. 
 3. Trabalho de uma Força 
 
 
 

s
F dsFU .cos. 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Trabalho de uma força constante 
 
 
 
Trabalho de um peso 
 
 
 
Trabalho da força de uma mola elástica 
 
 
 
 
 
 

s
F dsFU .cos. 







2
1
2
221
2
1
2
1
kxkxU
 12. yyWUW 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
258 
Forças que não realizam trabalho 
- Forças que atuam em pontos fixos do corpo; 
- Forças que atuam numa direção perpendicular às suas trajetórias de 
deslocamento; 
 
Exemplo de forças que não realizam trabalho: “Caso de rolamento sem 
escorregamento” 
 
 - Peso W 
 - Reação normal N 
 - Força de atrito Fr, pois atua num ponto de velocidade nula 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
259 
Considere-se um corpo sujeito a um binário M = F.r 
 
 
 
Quando o corpo está em translação, o trabalho de uma força anula o 
trabalho da outra. 
 
 
 
 
 um deslocamento diferencial = translação + rotação 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 4. Trabalho de um binário 
260 
Quando o corpo tem uma rotação diferencial dθ, o trabalho realizado é: 
 
 
 
 
 
Quando o corpo tem uma rotação diferencial dθ, o trabalho realizado é: 
 
 
 
Para um binário constante, temos: UM = M (θ2 – θ1) 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 




MddU
FrddU
d
r
Fd
r
FdU
FdsFdsdU
M
M
M
M
















22

2
1


dMUM
261 
O Princípio do Trabalho e Energia aplicado a cada uma das partículas do 
corpo rígido, somando algebricamente obtém-se o Princípio do Trabalho e 
Energia para um Corpo Rígido: 
 
 
 
T1 = Energia Cinética inicial de translação e rotação 
T2 = Energia Cinética final de translação e rotação 
 = Soma dos Trabalhos realizados por todas as forças externas e 
binários 
 5. Princípio do Trabalho e Energia 
 
 
12212211 TTUTUT   
 21U
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
262 
Energia Potencial Gravitacional 
 
 
 
 
 
 
 
Energia Potencial Elástica 
 - Energia Potencial 
 
 
GG yWV .
2.
2
1
xkVe 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Energia Potencial Gravitacional 
 
 
 
 
 
GG yWV .
Em uma técnica denominada “inversão de 
Fosbury”, em homenagem ao seu criador, o atleta 
encurva seu corpo quando passa sobre a barra no 
salto em altura. Em consequência, seu centro de 
massa passa efetivamente embaixo da barra. Essa 
técnica necessita de um menor aumento de 
energia potencial gravitacional do que a técnica 
antiga, na qual o centro de massa passava por 
cima da barra. 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Energia Potencial Elástica 
 
 
2.
2
1
xkVe 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
265 
Quando um sistema de forças que atua num corpo rígido é constituído 
apenas por forças conservativas, pode também ser usado o Teorema da 
Conservação de Energia para resolver problemas que de outra forma 
seriam resolvidos por aplicação do Princípio do Trabalho e Energia. 
 
Este teorema é frequentemente mais fácil de aplicar, já que o trabalho de 
uma força conservativa é independente da trajetória e depende só da 
posição inicial e final do corpo. 
 
 6. Conservação da Energia 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
266 
Teorema da Conservação de Energia para um Corpo Rígido 
 
Aplicando-se o Teorema da Conservação de Energia a cada uma das 
partículas do corpo rígido e somando algebricamente os resultados, obtém-
se o Teorema da Conservação de Energia para um Corpo Rígido: 
 T1 + V1 = T2 + V2 
 
T1 = Energia Cinética no instante 1 
T2 = Energia Cinética no instante 2 
V1 = Energia Potencial no instante1 
V2 = Energia Potencial no instante 2 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Conservação da Energia 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
268 
A potência é a taxa de variação temporal com a qual o trabalho é 
realizado! 
 
Para uma força atuante sobre o corpo rígido em movimento plano, a 
potência desenvolvida pela força em um dado instante é a taxa com que ela 
está realizando trabalho: 
 
 
onde e são, respectivamente, o deslocamento infinitesimal e a 
velocidade do ponto de aplicação da força. 
 7. Potência 
 
vF
dt
rdF
dt
dU
P


.
.

 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
rd

v

Analogamente, para um momento (ou binário) M atuante sobre o corpo, a 
potência desenvolvida em um dado instante é a taxa com que ele realiza 
trabalho, e é expressa por 
 
 
onde e são, respectivamente, o deslocamento angular infinitesimal e 
a velocidade angular do corpo. 
 
Se os sentidos de M e ω forem os mesmos, a potência é positiva e a 
energia é fornecida para o corpo. Ao contrário, se M e ω apresentarem 
sentidos opostos, a potência é negativa e a energia é removida do 
corpo. 
 
Se a força F e o momento M atuarem simultaneamente, a potência 
instantânea total será: 
 
 
 M
dt
Md
dt
dU
P 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
d 
MvFP  

.
270 
Exemplo 1 
A roda rola rampa acima apoiada em seu eixo sem deslizar, e é puxada 
pela força de 100 N aplicada ao fio enrolado ao redor da sua borda 
exterior. Se a roda parte do repouso, calcule a sua velocidade angular ω 
após seu centro ter-se movido de uma distância de 3 m rampa acima. A 
roda possui uma massa de 40 Kg, com centro de massa em O e um raio de 
giração centroidal de 150 mm. Determine a potência fornecida pela força 
de 100 N ao final do percurso de 3 m do movimento da roda. 
 Trabalho e Energia 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
271 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Das quatro forças mostradas no diagrama de corpo livre da roda, apenas a 
tração de 100 N e o peso de 40.9,81 = 392 N realizam trabalho. A força de 
atrito não realiza qualquer trabalho enquanto a roda não desliza. 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
272 
 
 
 
 
Utilizando o conceito de centro instantâneo de velocidade nula C, 
verifica-se que um ponto A no fio ao qual a força de 100 N é aplicada tem 
uma velocidade vA = ω.rCA e vO = ω.rCO, então vA/rCA = vO /rCO 
Logo vA = rCA.vO /rCO, que dá: vA = [(200 + 100)/100]v → vA = 3v 
Assim o ponto A tem uma velocidade 3 vezes maior que o centro de massa 
da roda e se move de uma distância também 3 vezes maior do que o 
centro de O. 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
273 
 
 
 
 
 
O trabalho realizado sobre a roda fica: 
U1-2 = F.(sA2 - sA1) – P.sen 15º.(s2 - s1) = 100.9 – 392.sen 15º.3 = 595 J 
 
A roda está sujeita a um movimento plano geral, de modo que a variação 
em sua energia cinética é: 
 
 
Pelo princípio do Trabalho e Energia (equação trabalho-energia), tem-se: 
 U1-2 = ΔT → 595 = 0,650ω
2 → ω = 30,3 rad/s 
 
222222 650,00)15,0(40
2
1
)10,0(40
2
1
0
2
1
2
1  











 TImvT
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
 
 
A potência fornecida à roda pela força de 100 N, quando ω = 30,3 rad/s, é 
igual: 
 → P100 = F.r.ω → P100 = 100.0,3.30,3 = 908 W 
 
Observação: Uma vez que a velocidade do centro instantâneo C da roda é nula, 
a taxa com que a força de atrito realiza trabalho é constantemente nula. Assim, 
F não realiza trabalho enquanto a roda não deslizar. Entretanto, se a roda 
estivesse rolando sobre uma plataforma móvel a força de atrito realizaria 
trabalho, mesmo que não houvesse deslizamento. 
 
vFP

.
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Exemplo 2 
Um corpo rola horizontalmente, sem deslizar, com velocidade v sobre um 
plano horizontal. A seguir ele encontra um plano inclinado e rola para 
cima da rampa até uma altura h = 3v2/4g. Indique qual o corpo que realiza 
esse movimento. 
 
 Trabalho e Energia 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
276 
Resolução: 
A estratégia para resolver este problema é descobrir o momento de inércia do 
corpo e compará-lo com o momento de inércia de corpos conhecidos. Como é 
um sistema conservativo, a energia total (mecânica) é conservada: 
 T1 + V1 = T2 + V2 → 
 
aplicando-se a condição de rolamento v = ωR 
 
 
 
Com este momento de inércia o corpo pode ser um disco ou um cilindro de 
massa m e raio R. 
 
 
mghImv  00
2
1
2
1 22 
g
v
mg
R
v
Imv
4
3
2
1
2
1 2
2
2
2 
2
3
2
m
R
I
m 
2
2mR
I 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
 
Atividades 
1. Suponha agora que corpos sejam abandonados da altura h do plano 
inclinado, como mostrado na figura. 
Indique qual corpo chegará primeiro à base da rampa rolando sem 
deslizar. 
 Trabalho e Energia 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
278 
2. A tora mostrada na figura é suspensa pelos dois cabos paralelos de 5 m 
e é utilizada como um aríete. Com que ângulo θ ela deve ser liberada a 
partir do repouso para que atinja o objeto a ser esmagado com uma 
velocidade de 4 m/s? 
R: θ = 33,2º 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
279 
3. Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa m e o 
mesmo raio R, são liberados do repouso num plano inclinado. Sabendo 
que os momentos de inércia I dos corpos valem respectivamente 
(2/5)mR2, (1/2)mR2 e mR2, utilizando o teorema do trabalho-energia 
represente a velocidade de cada corpo após terem rolado uma distância h 
da altura inicial. 
R: vesf = 0,845√2gh; vcil = 0,816√2gh; vanel = 0,707√2gh 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
281 
4. A roda de 15 Kg mostrada na figura é liberada a partir do repouso e rola 
sobre seu eixo sem deslizar. Calcule a velocidade v de seu centro O após 
ter se movido de uma distância x = 3 m rampa abaixo. 
O raio de giração da roda em relação ao O é de 125 mm. 
R: v = 0,899 m/s 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
10 
282 
5. Um cilindro maciço de 10,4 cm de raio e massa 11,8 Kg parte do 
repouso e rola sem deslizar uma distância de 6,12 m para baixo do telhado 
de uma casa, que é inclinado de 27º. Qual a velocidade angular do cilindro 
em torno de seu eixo, quando ele deixa o telhado? 
 
R: ω ≈ 58 rad/s 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
283 
6. As rodas representam duas condições extremas de distribuição de 
massa. Para o caso A, toda a massa m é considerada concentrada no centro 
geométrico do aro em uma barra axial de diâmetro desprezível. Para o 
caso B, toda a massa m é admitida como concentrada na periferia. 
Determine a velocidade do centro de cada aro após ele ter percorrido uma 
distância x rampa abaixo a partir do repouso. Os aros rolam sem deslizar. 
R: vA = √2gxsenθ; vB = √gxsenθ; 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
284 
7. A barra de 1200 mm tem uma massa de 20 Kg com centro de massa em B, 
e é liberada a partir do repouso na posição para a qual o ângulo θ é 
praticamente nulo. O ponto B é confinado a se mover na guia vertical lisa,enquanto a extremidade A se move na guia horizontal lisa e comprime a mola 
quando a barra cai. Determine (a) a velocidade angular da barra ao passar 
pela posição θ = 30º e (b) a velocidade com que B atinge a superfície 
horizontal, considerando que a rigidez da mola é de 5 kN/m. 
R: ω ≈ 2,74 rad/s; (b) v = 2,15 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
285 
8. A barra esbelta AO de 10 Kg é liberada a partir do repouso na posição 
vertical e comprime a mola de rigidez k = 2.103 N/m quando passa pela 
posição horizontal. Determine a regulagem apropriada para a mola 
definindo a distância h, que resultará em uma velocidade para a barra 
ω = 3 rad/s quando ela cruzar a posição horizontal. 
R: 15,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
286 
9. Em um dado instante, a velocidade do cilindro de 8 Kg é de 0,3 m/s. 
qual é sua velocidade v após descer 1,5 m adicional? A massa do tambor é 
de 12 Kg, seu raio de giração centroidal é de k = 210 mm e o raio de seu 
núcleo é ri = 200 mm. O trabalho do momento devido ao atrito não pode 
ser desprezado, valendo UM = 22,5 J. 
 
R: 3,01 m/s 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
10. Uma barra homogênea de 1,5 m de comprimento é articulada em um 
ponto e tem sua outra extremidade comprimindo de 0,025 m uma mola de 
constante elástica k = 3,6.105 N/m, como mostrado na figura. Determine a 
velocidade angular da barra quando ela passa pela posição vertical. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
11. Um disco homogêneo de massa m e raio R rola sem escorregar em um 
plano inclinado a partir do repouso. 
Calcule a velocidade angular do disco em função da posição x na posição 
mostrada na figura. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
289 
12. Uma bola de raio igual a 11 cm e massa M = 7,2 Kg rola sem 
deslizamento sobre uma superfície horizontal a 2 m/s. Depois ela sobe por 
até uma altura h antes de alcançar o repouso e voltar rodando para trás. 
Com base na conservação de energia mecânica para os corpos rígidos, 
determine a altura h. Considere Ibola = (2/5)MR
2 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
290 
13. Um ioiô tem peso de 0,3 lb e raio de giração kO = 0,06 pé. Se ele é 
solto a partir do repouso, determine quanto ele deve descer para atingir 
uma velocidade angular ω = 70 rad/s. Despreze a massa do fio e suponha 
que o fio forme ao redor do pino central um rolo com raio médio r = 0,02 
pé. Adote a aceleração gravitacional g = 32,2 pés/s2. 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
291 
14. Uma força estacionária de 22 N é aplicada 
perpendicularmente à manivela do rebolo manual. 
A engrenagem dentro da caixa, com o eixo e a 
manivela a ela ligados, tem uma massa de 1,8 Kg e 
um raio de giração em relação a seus eixos de 
72 mm. A roda de amolar, junto com seu eixo e 
pinhão (dentro da caixa), apresenta uma massa 
combinada de 0,55 Kg e um raio de giração de 
54 mm. Se a razão entre a engrenagem e o pinhão 
é de 4:1, calcule a velocidade de rotação N da roda 
de amolar após 6 voltas completas da manivela 
partindo do repouso. R: N = 3220 rev/min 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
292 
15. Uma roda livre de 1200 Kg, com raio de giração de 400 mm, tem sua 
velocidade reduzida de 5000 para 3000 rpm durante um intervalo de 2 
minutos. Calcule a potência média fornecida pela roda. Expresse a 
resposta tanto em quilowatts quanto em hp. 
R: P = 140,4 kW =188 hp 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
293 
 
Cinética Planar de Corpos Rígidos: 
 Impulso e Quantidade de Movimento 
 
1. Quantidade de movimento linear e angular 
 
2. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento 
 
3. Conservação da Quantidade de Movimento Linear 
 
4. Conservação da Quantidade de Movimento Angular 
 
 CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
294 
- Quantidade de movimento linear 
A quantidade de movimento linear de um corpo rígido é determinada 
somando vetorialmente a quantidade de movimento linear de todas as 
partículas que compõem o corpo, isto é: 
 
Como , pode-se escrever: 
 
Segundo esta equação, a quantidade de movimento linear de um corpo é 
uma quantidade vetorial de módulo m.vG e direção e sentido definidos 
pela velocidade do centro de massa, vG. 
 
 1. Quantidade de movimento linear e angular 
 
   Gii vmvm

.
 ii vmL

.
GvmL

.
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
295 
- Quantidade de movimento angular 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Considere-se o corpo representado na figura acima, que descreve 
movimento plano geral. No instante representado na figura, o ponto 
arbitrário P tem velocidade e o corpo tem velocidade angular. 
A velocidade da partícula de ordem i pode ser determinada pela expressão 
seguinte: 
rvv Pi

 
296 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
A quantidade de movimento angular da partícula i é dada pelo “momento” 
da quantidade de movimento linear relativamente ao ponto P. 
Então: 
 
Exprimindo em função de e usando vetores em coordenadas 
cartesianas: 
 
Segundo a direção z fica: 
 
 
iv

Pv

iiP vmrH

)(
)]ˆˆ(ˆˆ)(ˆ)[()ˆˆ(ˆ)( jyixkjvivjyixmkH yPxPiiP  
2)()()( rmvxmvymH iyPixPiiP 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Fazendo tender mi → dm e integrando ao longo de toda a massa m do 
corpo, obtém-se: 
 
em que HP é a quantidade de movimento angular do corpo 
relativamente a um eixo z que passa no ponto P e é perpendicular ao 
plano do movimento. 
O integral presente no 1º termo, , e o integral presente no 2º termo, 
 
 , são usadas para localizar a posição do centro de massa G 
relativamente a P, uma vez que 

m
dmy.

m
dmx.























 
m
yP
m
xP
m
P dmrvdmxvdmyH .)(.)(.
2
298 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
O integral presente no último termo, , representa o momento de 
 
inércia do corpo calculado relativamente ao eixo z que passa no ponto P, 
 
isto é, . 
 
Obtém-se então: 

m
dmr 2

m
P dmrI
2
PyPxPP IvmxvmyH  )()(
Quando P coincide com o centro de massa G, , obtendo-se uma expressão 
mais simples: 
299 
- Quantidade de movimento angular 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Quantidade de movimento linear e angular 
300 
- Translação 
Quando um corpo está sujeito a um movimento de translação retilínea ou 
de translação curvilínea o seu centro de massa tem velocidade 
sendo . Assim, a quantidade de movimento linear e angular é dada 
por: 
 
 
 
 
Se a quantidade de movimento angular for calculada relativamente a outro 
ponto, como o ponto A mostrado na figura acima, o momento da quantidade 
de movimento linear tem de ser calculada relativamente a esse ponto. Como d 
é o “braço”, então tem-se: 
- Podem-se considerar três tipos de movimento: 
 
 
vvG 

0
.


G
G
H
vmL
0


0
.


G
G
H
vmL
dmvH GA 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
301 
- Rotação em torno de um eixofixo 
Quando um corpo rígido roda em torno dum eixo fixo que passa num 
ponto O a quantidade de movimento linear e angular relativamente a G 
são dadas por: 
 
 
 
 
 
É por vezes conveniente calcular a quantidade de movimento angular do 
corpo relativamente a um eixo que passa em O. Neste caso é necessário ter 
em conta o “momento” provocado por e em torno de O. Como (ou ) 
é sempre perpendicular a , temos: 
Esta equação pode ser simplificada, fazendo a substituição vG = rGω e 
notando que I0 = IG +m , obtendo-se então: 
 
OO IH 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
GG
G
IH
vmL

 .
L

GH

L

Gv

Gr

302 
 
 
- Movimento plano geral 
Quando um corpo rígido se desloca em movimento plano geral a 
quantidade de movimento linear e angular relativamente a G são dadas 
por: 
 
 
 
 
 
 
Se for conveniente calcular a quantidade de movimento angular do corpo 
relativamente a um eixo que passa num ponto A, é necessário ter em conta 
o “momento” provocado por e em torno de O. 
Teremos então: 
GG
G
IH
vmL

 .
GG IH 
L

GH

GGA ImvdH  )(
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
303 
“O método do Impulso e Quantidade de Movimento é particularmente útil 
à solução de problemas envolvendo tempo e velocidades.” 
 
- Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear: 
O Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear para um 
corpo rígido pode ser obtido combinando a equação do movimento com a 
cinemática. A equação resultante permite obter uma solução direta para 
problemas que envolvem força, velocidade e tempo: 
 2. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
dt
vd
mamF GG


 .
304 
Como a massa do corpo é constante, obtém-se: 
 
 
 
 
Multiplicando ambos os termos por dt e integrando com as condições: 
vG = vG1 para t = t1 e vG = vG2 para t = t2 , obtém-se o Princípio do 
Impulso e Quantidade de Movimento Linear: 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
2
1
12 )()(
t
t
GG vmvmdtF

)(. GG vm
dt
d
amF

 
305 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular: 
 
Para um corpo rígido submetido a movimento plano geral temos: 
 
 
Multiplicando ambos os termos por dt e integrando com as condições: 
ω = ω1 para t = t1 e ω = ω2 para t = t2 , obtém-se o Princípio do 
Impulso e Quantidade de Movimento Angular: 
 
2
1
12
t
t
GGG IIdtM 
)(  GGG I
dt
d
IM 
306 
Em resumo, para um corpo rígido em movimento plano geral, por 
aplicação do Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento podem 
escrever-se três equações escalares: 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
307 
As equações do Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento 
podem também ser aplicadas a um sistema inteiro de corpos interligados. 
Desta forma elimina-se a necessidade de incluir os impulsos relativos que 
ocorrem nas ligações, já que são internos ao sistema. As equações 
resultantes ficariam então: 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
308 
Se a soma de todos os impulsos lineares que atuam num sistema de corpos 
rígidos ligados é zero, então a quantidade de movimento linear é 
constante, ou conservada. Consequentemente: 
 
 
 
 
 
 
Esta equação é designada por Conservação da Quantidade 
de Movimento Linear. 
 3. Conservação da Quantidade de Movimento Linear 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
309 
A quantidade de momento angular de um sistema de corpos rígidos 
ligados é conservada em torno de um ponto (centro de massa G ou um 
ponto fixo O), quando a soma de todos os impulsos angulares calculados 
relativamente a esse ponto pelas forças e momentos exteriores for zero. 
Consequentemente: 
 
 
 
 
Esta condição é designada por Conservação da Quantidade 
de Movimento Angular. 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Observação: Muitos fenômenos interessantes podem entendidos usando a lei 
de conservação do momento angular. Considere, por exemplo, o caso de uma 
bailarina fazendo um movimento de rotação em torno do seu corpo. 
 
 
 
 
 
 
Se durante o movimento de rotação os seus braços estão abertos a velocidade 
será menor do que quando os seus braços estiverem juntos ao corpo. Isto pode 
ser explicado se usamos a definição de momento de inércia I = mr2. 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
É claro que quando os braços são puxados para próximo do corpo da bailarina, 
o eixo de rotação r é reduzido, consequentemente o momento de inércia 
diminuirá. Desde que o momento angular permanece constante, se I decresce, 
então a velocidade angular tem que crescer para manter o momento angular 
constante (M = I.ω = const. ). Se a bailarina reduz o seu momento de inércia 
por fator 2, então ela rodará com uma velocidade angular duas vezes maior. 
 
Um exemplo similar ocorre com atletas de saltos ornamentais. Eles usam deste 
mesmo princípio para girar mais ou menos rápido em torno do seu centro de 
massa. Note que para o momento angular ser conservado é necessário que o 
torque resultante seja zero, mas a força resultante não necessariamente tem 
quer ser nula. Por exemplo, no caso da atletas de saltos ornamentais o torque é 
igual a zero, mesmo tendo uma força gravitacional atuando sobre ela. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
312 
Exemplo 1 
O bloco de 6 kg mostrado na figura é preso a uma corda que é enrolada na 
periferia de um disco de 20 kg. Se o bloco inicialmente se desloca para 
baixo com uma velocidade de 2 m/s, determine a sua velocidade após 3 s. 
Considera-se que a massa da corda pode ser desprezada. 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Conservação da Quantidade de Movimento Linear 
313 
Resolução: 
Construindo os diagramas de impulso e quantidade de movimento para o 
bloco e o disco: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de inércia do disco em relação ao seu eixo fixo de rotação: 
 
Velocidade angular do disco: vB = ω.r = ω.0,2; 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
314 
Aplicando o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear ao 
bloco: 
 
 
 
 
Aplicando o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular 
ao disco, relativamente a A: 
 
 
 
 
 
 Resolvendo obtém-se 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
315 
Exemplo 2 
A força P, que é aplicada ao cabo enrolado ao redor do cubo central da roda 
simétrica, é aumentada lentamente obedecendo a relação P = 6,5t, onde P é 
expressa em Newtons e t é o tempo em segundos após P ter sido aplicada. 
Determinar a velocidade angular ω da roda 10 s após a aplicação de P se a 
roda está se movendo para a esquerda e a velocidade de seu centro 
geométrico é de 0,9 m/s no tempo t = 0. A roda, que possui uma massa de 
60 Kg e um raio de giração de 250 mm em relação ao seu centro, rola sem 
deslizar. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Conservação da Quantidade de Movimento Linear 
316 
Resolução: 
O diagrama de corpo livre da roda para uma posição qualquer no intervalo do 
movimento é mostrado na figura abaixo. Também estão indicadas as 
quantidades de movimento linear e angular no instante inicial t = 0 e as 
quantidades de movimento linear e angular no instante final t = 10 s. Osentido correto da força de atrito F é oposto ao deslizamento que ocorreria 
caso não houvesse atrito. 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
317 
A aplicação da equação do impulso-quantidade de movimento linear e da 
equação do impulso-quantidade de movimento angular para todo o intervalo 
fornece: 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que a força F é variável, ela deve permanecer dentro da integral. 
Elimina-se F entre as duas equações multiplicando a segunda equação por 
0,450 e, em seguida, somando-se à primeira. Integrando e resolvendo para ω, 
obtém-se: 
 ω = 2,60 rad/s; no sentido horário 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
















450,0
9,0
)250,0(60)]5,6(225,0450,0[(
)]9,0(450,0[60)5,6(
2
10
0
1
10
0
2
1
2
12
2
1


tdtFHHdtM
tdFtGGdtF
t
t
GGG
xx
t
t
x
318 
Exemplo 3 
O disco de 20 lb mostrado na figura é uniforme e está suportado por um pino 
em seu centro. Se o disco está submetido a um torque de binário de 4 lb.pés 
e a uma força de 10 lb aplicada na corda enrolada em sua periferia, determine 
a sua velocidade angular dois segundos após a partida do repouso. Determine 
também quais são os componentes da força de reação no pino. 
 Quantidade de movimento linear e angular 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
319 
Resolução: 
O momento de inércia do disco em relação ao seu eixo fixo de rotação é: 
 
 
Como velocidade angular, força e tempo estão envolvidos, aplicaremos os 
Princípios do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. 
 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Resolvendo o sistema: 
 
320 
Atividades 
1. Uma pessoa que passa através de uma porta giratória exerce uma força 
horizontal de 90 N sobre um dos quatro paineis da porta e mantém um ângulo 
de 15º constante em relação à linha perpendicular ao painel. Se cada painel for 
modelado por uma placa retangular uniforme de 60 Kg com 1,2 m de 
comprimento, quando visto de cima, determine a velocidade angular final da 
porta se a pessoa exercer a força durante 3 segundos. A porta está, inicialmente, 
em repouso e o atrito pode ser desprezado. 
R: ω = 1,811 rad /s 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Quantidade de movimento linear e angular 
321 
2. A força constante de 40 N é aplicada a um cilindro de massa 36 Kg, 
conforme mostrado na figura. O raio de giração centroidal do cilindro é 
k = 200 mm, e ele rola sobre a ladeira sem deslizar. Se o cilindro está em 
repouso quando a força começa a ser aplicada, determine sua velocidade 
angular oito segundos mais tarde. 
R: ω = 24,2 rad /s 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
322 
3. Imediatamente após deixar a plataforma, o corpo do mergulhador de 
80 Kg, completamente estendido, tem uma velocidade de rotação de 
0,3 rev/s (voltas por segundo) em torno de um eixo perpendicular ao 
plano da trajetória. Estime a velocidade angular N alguns instantes mais 
tarde, durante o salto, quando o corpo do mergulhador estiver na posição 
grupada. Obs.: Elabore a hipótese de que o corpo do mergulhador pode ser 
considerado uma barra homogênea (I = 1/12.mL2) no primeiro instante, e 
uma esfera (I = 2/5.mr2) no segundo instante. 
R: N2 = 2,04 rev/s 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
323 
4. Num dado instante, o disco indicado na figura tem raio 0,25 m e massa 
igual a 10 Kg. Determine os momentos angulares em relação a G e em 
relação a um ponto B na sua periferia nesse instante. 
R: 2,5 e 7,5 Kg.m2s-1 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
5. Num dado instante, a barra indicada na figura tem massa igual a 5 Kg. 
Determine os momentos angulares em relação a G e em relação ao CI da 
barra, nesse instante. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
6. O bloco de 6 kg mostrado na figura é preso a uma corda que é enrolada 
na periferia de um disco de 20 kg. Se o bloco inicialmente se desloca para 
baixo com uma velocidade de 2 m/s, determine a sua velocidade após 3 s. 
Considere que a massa da corda pode ser desprezada. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
326 
7. Uma porta com momento de inércia I = ½Mr2 em relação a um eixo 
que passa pelas suas dobradiças está inicialmente em repouso. Uma 
porção de lama pegajosa de massa m se choca perpendicularmente à porta 
a uma distância d do eixo da dobradiça e permanece grudada com a porta 
após o choque. Supondo que o módulo da velocidade da porção de lama 
antes do choque seja v0, calcule o módulo da velocidade angular do 
sistema porta-lama logo após o choque. 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
327 
8. O projétil de 30 g possui uma velocidade horizontal de 500 m/s quando 
atinge a barra AO de 10 Kg, que é suspensa de um ponto O e está 
inicialmente em repouso. Calcule a velocidade angular ω adquirida pela 
barra com o projétil nela alojado imediatamente após o impacto. 
 
R: ω = 2,81 rad /s 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
328 
9. O bloco mostrado na figura tem massa de 6 Kg e está preso a uma 
corda enrolada na periferia de um disco de 20 Kg cujo momento de 
inércia é IA = 0,40 Kg.m
2. Se o bloco se desloca inicialmente para baixo a 
uma velocidade de 2 m/s, determine sua velocidade após 3 s. Despreze a 
massa da corda. 
 R: v2 = 13 m/s 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
329 
10. A polia dupla é formada por duas rodas presas uma à outra de forma a 
girarem com a mesma velocidade angular. A polia tem massa de 15 Kg e 
raio de giração kO = 110 mm. Se o bloco A tem massa de 40 Kg, 
determine a sua velocidade 3 s após o início da aplicação de uma força 
constante F = 2 kN à extremidade livre da corda enrolada na roda menor. 
O bloco está inicialmente em repouso. 
 R: v2 = 24,1 m/s 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
330 
11. A roda de 10 Kg tem raio de giração KA = 200 mm. Se a roda esta sob 
a ação de um torque M = (5t) N.m, onde t é dado em segundos. 
Utilize o princípio do impulso e momento angulares para determinar sua 
velocidade angular quando t = 3 s, a partir do repouso. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
331 
12. O homem puxa a corda com uma força de100 N, na direção mostrada 
na figura. Se a bobina tem peso de 250 N e raio de giração kG = 0,8 m em 
relação ao seu eixo em A, aplicando o princípio do impulso-quantidade 
de movimento angular para o intervalo, determine a velocidade angular da 
bobina 2 s após ter partido do repouso. Despreze o atrito e o peso da corda 
removida. 
R: 15,34 rad/s 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
332 
Questão Desafio 
A barra delgada de 5 Kg mostrada na figura está presa por um pino em O 
e está inicialmente em repouso. Se uma bala de 4 g é disparada contra a 
barra com velocidade de 400 m/s, como mostrado, determine a velocidade 
angular da barra imediatamente após a bala ficar encravada nela. 
 R: ω2 = 0,623 rad/s 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
333 
Tente agora resolver este mega simulado para a avaliação V2! Ele 
traz questões que abrangem todos os assuntos estudados até agora 
sobre Cinética de Corpos Rígidos. Faça uso da formulação vista 
durante seus estudos. 
Aproveite esta oportunidade para se preparar para a prova V2... 
 
Bons estudos! 
 Introdução- Dinâmica II Cinética de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
334 
Questão 1. 
O mecanismo de elevação tem massa de 70 Kg e centro de massa em G. Se 
ele ergue uma bobina de 120 Kg com uma aceleração de 3 m/s2, determine 
as reações de cada uma das quatro rodas sobre o solo. O carregamento é 
simétrico. Despreze a massa do braço móvel CD. 
 Introdução - Dinâmica II Cinética de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
335 
Questão 2. 
O carrinho suporta o tambor de 500 lb que tem centro de gravidade em G. 
Se o trabalhador empurra o carrinho e sua carga com força horizontal de 
20 lb, determine a aceleração do sistema e a reação normal em cada uma das 
quatro rodas. Despreze a massa das rodas. Considere a aceleração 
gravitacional g = 32,2 pés/s2. 
 Introdução - Dinâmica II Cinética de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
336 
Questão 3. 
A garrafa de 10 N apóia-se na esteira de uma caixa de supermercado. Se 
o coeficiente de atrito estático é μe = 0,2, determine a aceleração máxima 
que a esteira transportadora pode ter sem que haja escorregamento ou 
tombamento da garrafa. O centro de massa da garrafa é G. 
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337 
Questão 4. 
O disco tem peso de 80 lb e raio de giração kO = 0,4 pé. Se o cabo 
enrolado no disco está submetido a uma força vertical P = 15 lb, 
determine o tempo necessário para aumentar a velocidade angular do 
disco de ω1 = 5 rad/s para ω2 = 25 rad/s. Despreze a massa do cabo. 
Considere a aceleração gravitacional g = 32,2 pés/s2. 
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338 
Questão 5. 
Dois homens exercem forças verticais constantes de 40 lb e 30 lb nas 
extremidades A e B de uma prancha uniforme de 50 lb. Se a prancha está 
inicialmente em repouso, determine a sua aceleração angular. Suponha 
que a prancha seja uma barra delgada. Considere dados IG = (1/12)m.L
2, 
IA = IB = (1/3)m.L
2 e g = 32,2 pés/s2. 
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339 
Questão 6. 
A bobina tem massa de 100 Kg e raio de giração kG = 0,3 m. Sabendo 
que não há escorregamento determine a aceleração angular da bobina se 
P = 600 N. 
 
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340 
Questão 7. 
Determine a aceleração angular do trampolim de 25 Kg e os 
componentes horizontal e vertical da reação no pino A, no instante em 
que o homem pula. Suponha que a prancha seja uniforme e rígida, e que, 
no instante do salto, a compressão máxima da mola seja de 200 mm, 
ω = 0 e a prancha esteja na posição horizontal. Considere a constante 
k = 7 kN/m. 
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341 
Questão 8. 
A barra delgada AB de 30 kg se desloca no plano vertical, com suas 
extremidades limitadas a seguir as guias horizontal e vertical lisas. Se a 
força de 150 N é aplicada em A com a barra inicialmente em repouso na 
posição em que θ = 30°, calcule a aceleração angular resultante da barra 
e as forças sobre os pequenos roletes das extremidades A e B. 
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342 
Questão 9. 
O sistema é liberado a partir do repouso com o cabo esticado, e o cilindro 
homogêneo não desliza na rampa áspera. Determine a aceleração angular 
do cilindro e o menor coeficiente de atrito μe para o qual o cilindro não 
irá deslizar. 
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α = 22,8 rad/s2 sentido horário, μe = 0,275 
343 
Questão 10. 
O sistema de três elementos mostrado na figura consiste em um bloco B de 
6 Kg, um disco D de 10 Kg e um cilindro C de 12 Kg. Sabendo não há 
escorregamento, dados ωD = 8 rad/s, ωC = 4 rad/s e vG = 0,4 m/s, determine a 
energia cinética total do sistema na situação mostrada na figura. Considere 
os momentos de inércia ID = IC = (1/2)m.r
2. 
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344 
Questão 11. 
O pêndulo da máquina de impacto Charpy possui massa de 50 lb e 
raio de giração kA = 1,75 m. Se ele é abandonado a partir do repouso 
em θ = 0º, determine sua velocidade imediatamente antes de colidir 
com a amostra S, em θ = 90º. 
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345 
Questão 12. 
A corda está enrolada no cilindro de uma bobina. Um bloco B de 5 lb suspenso 
pela corda é solto a partir do repouso. Utilizando o princípio do impulso e 
momento angular, determine a velocidade angular da bobina quando t = 3 s. 
Despreze a massa da corda. A bobina tem peso de 180 lb, e raio de giração em 
relação ao eixo A igual a kA = 125 pés. Considere g = 32,2 pés/s
2. 
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346 
Questão 13. 
Uma roda de automóvel tem massa de 7 Kg e raio de giração kG = 0,3 m. 
Se ela é abandonada a partir do repouso em A, determine sua velocidade 
angular ao atingir o piso horizontal. A roda rola sem escorregar. 
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347 
Questão 14. 
Na posição mostrada na figura, a mola não está deformada e o centro do 
disco de 40 Kg tem velocidade 4 m/s. Determine a distância d, a partir 
desse ponto, percorrida pelo disco ao descer pelo plano, até atingir 
velocidade nula. Considere o momento de inércia do disco igual a ½.m.R2, 
e que ele rola sem escorregar. 
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348 
Questão 15. 
Um homem está em pé sobre uma plataforma giratória, conforme a figura. 
Inicialmente, ele está com os seus braços abertos e gira com uma velocidade 
de 0,25 rev/s. Depois ele aproxima os braços do corpo e a velocidade 
angular passa a ser de 0,80 rev/s. Encontre a razão entre os momentos de 
inércia do homem nas condições inicial e final. 
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349 
Questão 16. 
Num dado instante a barra de 5 Kg tem movimento como indicado na 
figura. Determine os momentos angulares em relação a G e em relação 
ao CI para a barra neste instante. Lembre-se que o momento de inércia 
da barra em relação ao seu centro de massa G vale (1/12)m.L2, e em 
relação à sua borda (1/3)m.L2. 
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Questão 17. 
O homem senta-s num banco giratório mantendo em suas mãos dois pesos 
de 22 N e os braços estendidos. Se ele está girando a 3 rad/s nessa posição, 
determine sua velocidade angular quando os pesos são trazidos para 
próximo do eixo de rotação, a uma distância de 10 cm. Suponha que o 
homem pesa 700 N e tem raio de giração kz = 20 cm relativamente ao eixo z. 
Despreze a massa dos braços e as dimensões dos pesos. 
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