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DINÂMICA DE
CORPOS RÍGIDOS
2019
Prof. Sandro Elias Braun
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1	 Quando	a	velocidade	do	veículo	mostrado	na	figura	era	de	9,00	m/s,	
aplicaram-se	 os	 freios	 bruscamente,	 fazendo	 com	 que	 as	 quatro	
rodas	parassem	de	girar.	Observou-se	que	o	veículo	derrapou	6,00	
m	antes	de	parar.	Determine	o	módulo	da	reação	normal	e	da	força	
de	atrito	em	cada	roda	enquanto	o	veículo	derrapava.
1,2 m
1,5 m 2,1 mA
G
B
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-
engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-
beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-
engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-
beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
R.:
Cinemática do Movimento: escolhendo o sentido positivo para a direita e 
usando as equações do movimento uniformemente acelerado, escrevemos:
Equações de Movimento: as forças externas são o peso P do veículo, 
as reações normais e as forças de atrito nas rodas. (Os vetores NA e FA 
representam a soma das reações nas rodas traseiras, enquanto NB e NB 
representam a soma das reações nas rodas dianteiras). Como o veículo 
está em translação, as forças efetivas reduzem-se ao vetor ma fixo em G. 
Três equações de movimento são obtidas ao levar em conta que o sistema 
de forças externas é equivalente ao sistema de forças efetivas.
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-
engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-
beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
2	 A	placa	ABCD	de	8,00	kg	está	sustentada	pelas	barras	articuladas	AE	
e	DF	e	pelo	fio	B1L.	Desprezando	as	massas	de	AE	e	DF,	determine	
imediatamente	após	o	corte	de	BII: 
a)	a	aceleração	dt	>	centro	de	massa	da	placa;	
b)	n	força	em	cada	barra.
4
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
500 mm
30°
30°
200 mm
150 mmE
F
CD
A
H
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engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-
beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
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engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-
beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
R.:
Cinemática do Movimento: após se romper o fio BH, os vértices A e D 
movem-se ao longo de circunferências paralelas de raios iguais a 150 mm, 
centradas, respectivamente em E e F. O movimento da placa é, portanto, 
uma translação curvilínea; os pontos da placa movem-se em circunferências 
paralelas de raios iguais a 150 min. No instante em que BIT é cortado, a 
velocidade da placa é nula. Assim, a aceleração α do seu centro de massa 
G é tangente à trajetória circular que será descrita por G.
Equações de Movimento: as forças externas consistem no peso P e nas 
forças FAE e FDF exercidas nas barras. Como a placa está em translação, 
as forças efetivas reduzem-se ao vetor aplicado a G e paralelo ao eixo 
t. Afirmaremos agora que o sistema de forças externas é equivalente ao 
sistema de forças efetivas.
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
a) ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA DA PLACA:
b) FORÇAS NAS BARRAS AE E DF:
Usando (3) em (2), escrevemos:
Notando que P = mg = (8,00 kg) (9,81 m/s2) = 78,5 N, temos:
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beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
3	 Uma	roldana	pesando	53,4	N	e	tendo	raio	de	giração	de	0,203	m	está	
ligada	a	dois	blocos,	como	 ilustra	a	figura	a	seguir.	Supondo	que	
não	exista	atrito	no	eixo,	determine	a	aceleração	angular	da	roldana	
e	aceleração	de	cada	cilindro.
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0,152 m
0,254 m
44,5 N
22,2 N
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R.:
Sentido do Movimento: embora pudéssemos supor um sentido arbitrário 
para o movimento (já que não existem forças de atrito) e posteriormente 
compará-lo com o sinal de resposta, preferimos primeiramente determinar 
o sentido correto do giro da roldana. Procuramos, em primeiro lugar, o peso 
do bloco B necessário para manter o equilíbrio da roldana quando ela está 
sob a ação do bloco A de 22,2 N, então escrevemos:
Como o bloco B pesa 44,5 N, a roldana girará no sentido anti-horário:
Cinemática de Movimento: supondo que a tenha o sentido anti-horário e 
notando que aA = rA.α e aB = rB.α, obtemos:
Equações de Movimento: considere-se o sistema exclusivo composto pela 
roldana e os dois blocos. As forças externas a este sistema são os pesos da 
roldana e dos dois blocos em resposta a G. (As forças exercidas pelos cabos 
sobre a roldana e sobre os blocos são internas ao sistema considerado). 
Como o movimento da roldana é uma rotação baricêntrica e o movimento de 
cada bloco é uma translação, as forças efetivas reduzem-se ao momento Ia e 
aos dois vetores m.aA e m.aB.. O momento de inércia baricêntrica da roldana é:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Como o sistema das forças externas é equivalente ao sistema de 
forças efetivas, escrevemos:
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engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-
beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
TÓPICO 2
1	 Certo	bloco	com	1,07	x	10	N	de	peso	está	pendurado	por	meio	de	
um	fio	 inextensível	 envolto	 em	um	 tambor	 com	0,	 381	m	de	 raio,	
ligado	severamente	a	um	volante.	O	conjunto	 tambor-volante	 tem	
um	 momento	 de	 inércia	 baricêntrico	 l	 =	 14,2	 kg.m2.	 No	 instante	
considerado,	 a	 velocidade	 do	 bloco	 é	 de	 1,83	 m/s	 para	 baixo.	
Sabendo-se	que	o	mancal	em	A	está	mal	lubrificado	e	que	o	atrito	
produzido	 nele	 é	 equivalente	 a	 um	 binário	 de	 momento	 M	 com	
intensidade	de	81,4	N.m,	determine	a	velocidade	do	bloco	após	ter	
descido	1,22	m.
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
0,381 m
1,07 kN
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beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
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beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
R.:
Consideremos o sistema formado pelo volante e o bloco. Como o cabo é 
inextensível, os trabalhos produzidos pelas forças internas exercidas pelo 
cabo cancelam-se. As posições inicial e final do sistema e as forças externas 
que atuam sobre ele estão ilustradas na figura a seguir.
Energia cinética: 
Posição 1, temos:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
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beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
Posição 2:
Observando que w2=u2/0,381, obtemos:
Trabalho: no decorrer do movimento, apenas o peso P do bloco e o momento 
de atrito M produzem trabalho. Observando que P realiza um trabalho 
positivo e que o momento M produz um trabalho negativo escrevemos:
Princípio do Trabalho e Energia:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
2	 A	engrenagem	A	tem	uma	massa	de	10	kg	e	um	raio	de	giração	de	200	
mm,	enquanto	a	engrenagem	Btem	uma	massa	de	3	kg	e	um	raio	de	
giração	de	80	mm.	O	sistema	está	em	repouso	quando	um	momento	
M	de	módulo	de	6	N.m	é	aplicado	na	engrenagem	B,	desprezando	o	
atrito,	determine:
a)	o	número	de	 revoluções	executadas	pela	engrenagem	B	antes	de	
sua	velocidade	angular	atingir	600	rpm;	
b)	a	força	tangencial	que	a	engrenagem	B	exerce	sobre	A.
TA = 250 mm
TB = 100 mm
B
A
M
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R.:
Movimento de todo o sistema: notando que as velocidades periféricas são 
similares, escrevemos:
Para wB=600 rpm, temos:
Energia Cinética: como o sistema está inicialmente em repouso T1=0, 
somando as energias das duas engrenagens, quando wB=600 rpm, obtemos:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
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beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
Trabalho: chamando de θB o deslocamento angular da engrenagem B, 
temos:
A Energia Cinética: inicialmente a engrenagem A está parada e T1 = 0. 
Quando wB = 600 rpm, a energia cinética da engrenagem é:
Princípio do Trabalho e Energia:
Princípio do Trabalho e Energia:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
3	 Uma	esfera,	um	cilindro	e	um	anel,	 todos	com	a	mesma	massa	e	
o	 mesmo	 raio,	 são	 liberados	 do	 repouso	 num	 plano	 inclinado.	
Determine	a	velocidade	de	cada	corpo	após	ter	rolado	um	intervalo	
equivalente	a	uma	diferença	k	na	altura.
C
ω
v
r
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-
engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-
beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019
R.:
Primeiro resolvemos o problema em termos genéricos, particularizando-o 
posteriormente para cada corpo. Designamos a massa por m, o momento 
de inércia baricêntrico por I, o peso por P e o raio por r. Como os corpos 
rolam, o centro instantâneo de rotação de cada um deles está localizado em 
C, e podemos escrever:
Trabalho: como a força de atrito F no movimento de rolamento não produz 
trabalho, temos:
Energia Cinética:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Princípio do Trabalho e Energia:
Notando que P = mg, substituímos no resultado, obtendo:
Velocidades da Esfera, Cilindro e Anel: substituindo I por seus valores 
particulares, obtemos:
Esfera:
Cilindro:
Anel:
Atenção: Podemos comparar os resultados com a velocidade obtida 
utilizando um bloco sem atrito que percorresse, deslizando, a mesma 
distância. Comparando os resultados, notamos que a velocidade do corpo 
I é independente tanto de sua massa quanto de seu raio. Entretanto, a 
velocidade depende do quociente 1/mr2 - k/r2, que representa a relação 
entre a energia cinética devido à rotação e à translação. Por causa disso, o 
anel, que possui o maior k para um dado raio r, adquire a menor velocidade, 
enquanto o bloco deslizante, que não gira, adquire a maior.
15
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-
engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-
beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1	 Uma	placa	retangular	de	massa	m	suspensa	por	dois	arames	em	A	e	
B	é	atingida	em	D	numa	direção	perpendicular	a	ela.	Denotando-se	
por	F∆t	o	impulso	aplicado	em	D,	determinar	imediatamente	após	o	
impacto: 
a)	a	velocidade	do	centro	de	massa	G;	
b)	a	velocidade	angular	da	placa.
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
A
D
F ∆l
a
b
C
B
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
R.:
Consideraremos que os arames ficam esticados. Temos, assim:
E como os eixos x, y, z são eixos principais de inércia:
Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento: uma vez que a quantidade 
de movimento inicial é nula, o sistema das quantidades de movimento finais 
e sistema dos impulsos deve ser análogo:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
a) Velocidade do centro de massa: coincidindo quantidades de movimento 
nas direções x e z com as componentes dos impulsos: 
b) Velocidade angular: tornando igual quantidades de movimento e os 
momentos dos impulsos e em dependência aos eixos x e y:
Em relação ao eixo x:
Em relação ao eixo y:
Confrontando as equações (1) e (2), constatamos: 
Observamos que w orienta-se ao longo da diagonal AC. 
Atenção: igualando-se as componentes y dos impulsos e das quantidades 
de movimento e seus momentos em comparação ao eixo zy, adquirimos duas 
equações complementares que compõem TA= TB = 1/2P. Verificamos, assim, 
que os arames permanecem esticados e que nossa suposição estava correta.
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
2	 Um	 disco	 homogêneo	 de	 massa	 m	 e	 raio	 r	 está	 montado	 numa	
árvore	OG	 de	massa	 desprezível	 e	 comprimento	 L.	A	 árvore	 está	
articulada	num	ponto	fixo	O,	e	o	disco	é	obrigado	a	rolar	sobre	um	
piso	horizontal.	Sabendo-se	que	o	disco	gira	no	sentido	anti-horário	
com	velocidade	angular	w1	em	torno	da	árvore	OG,	determinar: 
a)	a	velocidade	angular	do	disco;	
b)	seu	momento	angular	em	relação	a	O;	
c)	sua	energia	cinética;	
d) o vetor e o momento em G	equivalentes	às	quantidades	de	movimento	
dos	pontos	materiais	do	disco.
L
ω1
R.:
a) Velocidade angular: caso o disco gire em volta da árvore OG, ela ainda 
gira em torno do eixo y numa razão w2 de sentido horário. A velocidade 
angular resultante do disco é, por conseguinte:
Para resolver w2, escrevemos que a velocidade de C é nula:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/beer-dinamica-
5%c2%aaed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
Substituindo-se w2 em (1):
b) Momento angular em relação a O: assumindo que a árvore é parte do 
disco, podemos examinar o disco havendo um ponto fixo em O. Como os 
eixos x, y e z são eixos principais de inércia do disco:
c) Energia cinética: ocupando os valores achados para as componentes de 
w e os momentos de inércia, tomamos:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
d) Vetor quantidade de movimento e momento angular em G: o momento 
angular Hg e o vetor quantidade de movimento mv são:
e
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
3	 Uma	barra	delgada	AB,	de	peso	P	=	200	N	e	comprimento	L	=	2,40	m,	
está	articulada	em	A	num	eixo	vertical	DE	que	gira	com	uma	velocidade	
angular	constante	w	de	15,0	rad/s.	A	barra	é	mantida	na	posição	por	
meio	de	um	arame	horizontal	BC	ligado	ao	eixo	e	à	extremidade	B	da	
barra.	Determinar	a	tração	no	arame	e	a	reação	em	A.
L = 2,40 m
β = 60˚
ω
E
C B
A
D
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
R.:
As forças fixas reduzem-se ao vetor ma utilizado em G e ao momento HG. 
Como G descreve uma circunferência horizontal de raio r = 1/2L cosβ com 
velocidade angular constante w, obtemos:
Cálculo de HG: inicialmente determinamos o momento angular HG. Usando 
os eixos centrais de inércia x, y, z temos:
Foi obtida a derivada de HG em relação aos eixos de orientação fixa, temos:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
Equações de movimento: já que o sistema das forças efetivase o sistema 
das forças externas é semelhante, fazemos:
4	 Duas	barras	A	e	B	de	100	mm,	cada	uma	com	massa	de	300	g,	estão	
soldadas	ao	eixo	CD,	que	é	sustentado	pelos	mancais	em	C	e	D.	Se	um	
momento	M	de	módulo	igual	6,00	N	•	m	é	aplicado	ao	eixo,	determinar	
as	 componentes	 das	 reações	 dinâmicas	 em	C	 e	D	 no	 instante	 em	
que	o	eixo	atinge	uma	velocidade	angular	de	1200	rpm.	Desprezar	o	
momento	de	inércia	do	eixo.
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
R.:
Momento angular em relação a O: definimos o sistema de referência Oxyz e 
vemos que os eixos adotados não são eixos principais de inércia do corpo. 
Como o corpo gira em torno do eixo x, temos wx= w e wy =wz = 0: 
Momentos das forças externas em relação a O: o sistema de referência gira 
com velocidade angular w:
a) Reação dinâmica em D: as forças externas constituem: nas reações 
dinâmicas em C e D, nas reações imóveis em C e D e nos pesos do eixo e 
barras, no momento M. Como as reações estáticas e o peso se equilibram, 
as forças externas reduzem-se ao momento M e às reações dinâmicas C 
e D, como ilustradas na figura anterior. Assumindo momentos em relação 
a O, obtemos:
Assemelhando os coeficientes do vetor unitário i em (1) e (2):
24
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Coincidindo os coeficientes de k e j em (1) e (2):
Observando que o produto de inércia de cada barra é zero em relação aos 
eixos baricêntricos e aplicando o teorema dos eixos paralelos, temos:
Combinando em (3) os valores encontrados, fazemos:
Reação dinâmica em C: usando o sistema de referência dominante em D, 
tiramos equações iguais à Equação (3), que dão:
5	 Um	disco	homogêneo	de	massa	m	e	raio	r	está	montado	num	eixo	OG	
de	massa	desprezível	e	comprimento	L.	O	eixo	está	articulado	num	
ponto	fixo	O,	e	o	disco	é	obrigado	a	rolar	sobre	um	piso	horizontal.	
Sabendo	que	o	disco	gira	no	sentido	anti-horário	com	velocidade	
angular	constante	wj	em	relação	ao	eixo,	determinar: 
a)	a	força	(suposta	vertical)	exercida	pelo	piso	sobre	o	disco;	
b)	a	reação	na	articulação	O.
L
GO
r
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
R.:
a) As forças efetivas reduzem-se: ao momento HG e ao vetor ma fixo em G 
e recordando que o eixo gira ao redor do eixo y com velocidade angular 
w2= rw1 /L, fazemos:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
Cálculo de HG: recordando que o momento angular do disco em relação a 
G é:
Em que HG está decomposto em componentes ao longo dos eixos em 
rotação x´ y´ z´ com x´ ao longo de OG e y’ vertical:
Temos:
b) Equações de movimento: o sistema de forças efetivas e equivalente ao 
sistema de forças externas, temos:
26
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Trocando ma por (1) e N por (3), e resolvendo para R:
6	 Sabe-se	 que	 um	 satélite	 espacial	 de	 massa	 m	 é	 equivalente,	
dinamicamente,	a	dois	discos	finos	de	igual	massa.	Os	discos	têm	
raio	a	=	800	mm	e	estão	rigidamente	ligados	por	uma	barra	leve	de	
comprimento	 2a.	 Inicialmente	o	 satélite	 está	 girando	 em	 torno	de	
seu	eixo	de	simetria	a	uma	taxa	wo	=	60	rpm.	Um	meteorito,	de	massa	
mG.=	m/1000,	deslocando-se	com	uma	velocidade	v0	de	2000	m/s	em	
relação	ao	satélite,	atinge	o	satélite	e	encrava-se	em	C.	Determinar: 
a)	a	velocidade	angular	do	satélite	imediatamente	após	o	impacto;	
b)	o	eixo	de	precessão	do	momento	resultante;	
c)	as	 velocidades	 angulares	 de	 precessão	 e	 de	 rotação	 própria	 do	
movimento	resultante.
C
20
B
A
ω0
v0
y
a
z
x
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
R.:
Momentos de inércia: entendendo que os eixos delineados são os eixos 
principais de inércia do satélite, concebemos:
27
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
Princípio do impulso e quantidade de movimento: tome o satélite e o 
meteorito segundo um sistema exclusivo. Enquanto não age qualquer 
força externa sobre o sistema, as quantidades de movimento prévia e 
posteriormente ao impacto são equipolentes. Tomando os momentos em 
relação a G, escrevemos:
a) Velocidade angular posterior ao impacto: mudando os valores achados 
para as componentes de HG e para os momentos de inércia sobre:
Fazemos:
Substituindo os valores para o satélite achamos:
28
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
b) Eixo de precessão: no movimento natural, a direção do momento angular 
HG é constante no espaço, o satélite produzirá movimento de precessão 
em volta desta direção. O ângulo θ formado pelo eixo de precessão e o 
eixo z é:
c) Velocidades angulares de precessão e de spin: esbocemos os cones 
espaciais e do corpo para o movimento autônomo do satélite. Utilizando a 
lei dos senos, calculamos as velocidades angulares de precessão e spin:
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
7	 Determine	 o	 momento	 de	 inércia	 da	 barra	 dobrada	 mostrada	 na	
figura	em	relação	ao	eixo	Aa.	A	massa	de	cada	um	dos	 trechos	é	
informada	na	figura.	
29
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
z z
x x
y y
a
A A
B
B
C CD D
0,4 m
a) b)
2 kg
4 kg
2 kg
2 kg
2 kg
4 kg
(-0,1, 0, 0.2)
(-0,2, 0,2 0,2)
(0, 0, 0,1)
0,2 m
0,2 m
0,2 m
R.:
É importante resolver os produtos de inércia da barra e os momentos, em 
referência aos eixos x, y, z. Para isso, vamos usar os teoremas dos eixos 
paralelos e planos e a fórmula para o momento de inércia de uma barra 
delgada, dessa forma temos:
O vetor unitário é quem define o eixo Aa:
30
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Sobrepondo esses termos na Equação 21.5, colhemos:
8	 A	 barra	 mostrada	 na	 figura	 pesa	 1,5	 lb.	 Determine	 sua	 velocidade	
angular	 imediatamente	 após	 sua	 extremidade	 A	 ter	 caído	 sobre	 o	
gancho	E.	Devido	a	um	mecanismo	de	fecho	S,	o	gancho	fornece	uma	
ligação	permanente	para	a	barra.	Considere	que,	imediatamente	antes	
atingir	o	gancho,	a	barra	está	caindo	a	uma	velocidade	(vv)i =	10	pés/s.
z
y
y'
A
G
1 pé
0,667 pé
0,5 pé
S
x x'
E
0,333 pé
z'
a)
b)
A
A
A
rG/A
rG/A
∫Fdt
m(vG)2
G
G
G
(HG)2
m(vG)1
w∆i = 0
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
31
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
R.:
Conforme tem colisão, empregaremos quantidade de movimento/momento 
angular e o princípio do impulso.
Diagramas de impulso e quantidade de movimento/momento angular: 
vejamos a imagem (b) anteriormente. Durante o breve intervalo de tempo 
∆t, a força impulsiva F que age em A muda o momento angular da barra e a 
quantidade de movimento. Assim, se conserva em relação a A o momento 
angular da barra. 
Conservação do momento angular: o momento angular da barra:
Estendendo e coincidindo os inerentes componentes i, j, k, tiramos:
Cinemática: nessas equações têm quatro incógnitas, mas ocupando a 
cinemática, podemos conseguir uma quarta equação associando w com (vG)2:
Das equações 2 a 5 resolvidas, obtemos:
9	 Aplica-se	 um	 torque	 de	 5	 N.m	 ao	 eixo	 vertical	 CD	 que	 permite	 à	
engrenagem	A	de	10	kg	girar	livremente	em	torno	de	CE.	Supondo	que	
A	parta	do	repouso,	determine	a	velocidade	angular	de	CD	após	duas	
voltas.	Despreze	as	massas	dos	eixos	e	suponha	que	a	engrenagem	
A	possa	ser	aproximada	por	um	disco	fino.	A	engrenagem	B	é	fixa.
32
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
0,3 m
0,1 m
B
D
C
M = 5N . m
x y
z
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun.2019.
R.:
Solução: 
Neste caso pode-se usar o princípio do trabalho e energia. 
Trabalho: levando em conta que os eixos CD e CE e a engrenagem A como 
corpos unidos, somente o torque M realiza trabalho. 
Energia cinética: sendo que a engrenagem parte do repouso, sua energia 
cinética inicial é zero: 
A figura anterior mostra um diagrama cinemático para a engrenagem. Logo:
33
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
Os eixos x, y, z desta figura são eixos principais de inércia em C para a 
engrenagem. Como o ponto C é um ponto fixo, a energia cinética pode ser 
determinada:
Utilizando o teorema dos eixos paralelos, obtemos os momentos de inércia 
da engrenagem em relação ao ponto C:
Princípio do trabalho e energia: usando o princípio do trabalho e energia, 
temos:
10	 A	 engrenagem	 mostrada	 na	 figura	 tem	 massa	 de	 10	 kg	 e	 está	
montada	a	um	ângulo	de	10°	 em	um	eixo	de	massa	desprezível.	
Se	 Iz	 =	0,1	kg.m2,	 Ix= ly	 =	0,05	kg.m2	 e	o	eixo	está	girando	a	uma	
velocidade	 angular	 constante	w=	 30	 rad/s,	 determine	 as	 reações	
dos	mancais	A	e	B.
0,25 m
ω=30 rad/s
0,2 m
X, x
A
Z
z
Y y
10° 10°
34
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
R.:
Diagrama de corpo livre: levamos em conta a figura a seguir:
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
O ponto fixo é coincidentemente a origem do sistema de coordenadas x, y. z 
onde está localizado o centro de massa. Os eixos estão fixos na engrenagem 
e, portanto, giram com ela. Além disso, eles sempre representarão os eixos 
principais de inércia da engrenagem. Nessas condições, Ω = w.
Cinemática: como apresenta a figura: 
A velocidade angular w é constante em módulo e tem sempre a direção do 
eixo AB. Como esse vetor é medido no sistema inercial X, Y, Z, tem-se para 
qualquer posição dos eixos x, y, z: 
 Também, como G é fixo: 
35
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Equações de movimento: utilizando as equações Ω = w. temos:
Temos:
Calculando o sistema de equações 1 a 4, obtemos finalmente:
TÓPICO 2
1	 O	volante	de	10	kg	(ou	disco	fino)	mostrado	na	figura	gira	em	torno	
do	eixo	com	velocidade	angular	constante	ws	=	6	rad/s.	Ao	mesmo	
tempo,	 o	 eixo	 gira	 (precessão)	 em	 torno	 do	 mancal	 em	 A	 com	
velocidade	angular	wp	=	3	rad/s.	Se	o	mancal	em	A	é	axial	(mancal	
de	pressão)	e	o	mancal	em	B	é	radial,	determine	os	componentes	da	
força	de	reação	em	cada	um	dos	suportes.
36
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
0,5 m
0,2 m
ωz=6 rad/s
ωp=3 rad/sB
A
0,5 m
R.:
Diagrama de corpo livre: veja a figura a seguir. 
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
A origem do sistema x, y, z está localizado no centro de massa G do volante. 
Consideraremos para esse referencial uma velocidade Ω = wp = (3k) rad/s. 
Embora o volante gire relativamente a esses eixos, os momentos de inércia 
permanecem constantes, isto é:
37
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
Cinemática: em relação ao sistema inercial X, Y, Z, coincidente, tem-se:
O volante tem velocidade angular w = (6j + 3k)rad/s, de modo que: 
A derivada temporal de w deve ser determinada relativamente ao sistema x, 
y, z. Nesse caso, tanto wp quanto ws não se modificam e, portanto:
Equações de movimento: aplicando Ω ≠w temos:
38
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Que resulta em:
Resolvendo as equações acima, obtemos:
Vejamos que, se não ocorresse a precessão, wp = 0, as reações em A e B 
seriam iguais a 49,05 N. No caso aqui estudado, todavia, toda vez que um 
corpo em rotação apresenta movimento de precessão em torno de outro 
eixo, cria um ‘momento giroscópico’, provocando diferença nas reações.
2	 O	pião	de	0,5	kg	mostrado	na	figura	tem	movimento	de	precessão	
em	torno	do	eixo	vertical	a	um	ângulo	constante	θ	=	60°.	Sendo	a	
velocidade	angular	do	movimento	de	spin	ws =	100	rad/s,	determine	
a	velocidade	de	precessão	wp.	Suponha	que	os	momentos	de	inércia	
transversal	e	axial	do	pião	sejam	1,20(10“3)	kg-m2	e	0,45(10-3)	kg-m2,	
respectivamente,	medidos	em	relação	ao	ponto	fixo	O.
ωs=100 rad/s
ωp=ϕ
50 mm
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
39
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
R.:
Solução:
Como se mostra no diagrama de corpo livre (figura a seguir), o movimento 
é de precessão estacionária.
Os eixos coordenados são estabelecidos da forma usual, isto é: o eixo positivo 
x na direção e sentido do torque ΣMx e com o eixo z positivo na direção e 
sentido do spin, o eixo positivo Z na direção e sentido da precessão, Assim:
Manipulando essa equação do segundo grau para a precessão, temos:
Como a alta precessão exige uma grande energia cinética, observa-se em 
geral, a baixa precessão.
3	 O	disco	de	 1	 kg	mostrado	na	figura	 tem	movimento	de	 spin	 com	
velocidade	angular	constante	wD	=	70	rad/s	em	torno	de	seu	eixo.	
Pelo	 ajuste	 da	 posição	 s	 do	 bloco	 B	 de	 2	 kg,	 pode-se	modificar	
a	 precessão	 do	 disco	 em	 torno	 do	 pivô	 de	 sustentação	 em	 O.	
Determine	 a	 posição	 s	 que	 permite	 ao	 disco	 ter	 velocidade	 de	
precessão	constante	wp	=	0,5	 rad/s	em	 torno	do	pivô.	Despreze	o	
peso	do	eixo.
40
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
ωD=70 rad/s
ωp=0,5 rad/s
50 mm
200 mm
D
B
s
O
R.:
F representa a força de reação do eixo sobre o disco da figura a seguir, que 
mostra o diagrama de corpo livre do disco, em que:
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
A origem para os sistemas de coordenadas x, y, z e X, Y, Z está localizada 
no ponto O, que é um ponto fixo para o disco. 
No sentido convencional, escolhe-se o eixo Z ao longo do eixo de precessão 
e o eixo z ao longo do eixo de spin, de modo que θ = 90°. Uma vez que a 
precessão é estacionária, temos:
41
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
Manipulando os dados na equação, escrevemos:
A figura a seguir mostra no diagrama de corpo livre do eixo e do bloco B: 
O somatório dos torques em relação ao eixo x exige que: 
4	 Usa-se	 um	 projetor	 de	 filme	 em	 câmera	 lenta	 para	 observar	 o	
movimento	de	uma	bola	de	futebol	americano.	Percebe-se	do	filme	
que	a	direção	do	spin	da	bola	forma	um	ângulo	de	30°	com	a	direção	
horizontal:
42
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
A bola também apresenta uma precessão em torno do eixo vertical 
a uma taxa ᶲ = 3 rad/s. Se a razão entre os momentos de inércia axial e 
transversal da bola, em relação ao centro de massa, é de 1/3, determine o 
módulo da velocidade de spin e da velocidade angular da bola. Despreze os 
efeitos da resistência do ar.
R.:
Solução:
O movimento é livre de torques, já que o peso da bola é a única força agindo. 
No sentido convencional, se o eixo z é estabelecido ao longo do eixo de spin 
e o eixo Z, ao longo do eixo de precessão, como mostra a figura a seguir:
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
Ψ
30°
ϕ = 3 rad/s
43
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Dessa forma, o ângulo θ = 60°. A velocidade de spin:
Obtemos: 
Sendo assim:UNIDADE 3
TÓPICO 1
1	 Dado	o	sistema	mecânico,	visto	na	figura	a	seguir,	com	massa	m	=	
12	kg,	rigidez	da	mola	de	k	=	1200	N/m	e	com	condições	iniciais	de	
deslocamento	e	velocidade	de	x0	=	0.02	m	e	v0	=	0,	respectivamente,	
pede-se:	a	frequência	natural	não	amortecida,	o	cálculo	da	resposta	
de	vibração	do	sistema	e	a	amplitude	máxima	de	deslocamento.
44
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FIGURA – SISTEMA MASSA-MOLA COM 1 GDL
Fonte: Adaptada de <https://midia.atp.usp.br/plc/plc0002/impressos/plc0002_11.
pdf>. Acesso em: 4 jun. 2019.
R.:
Solução: 
A frequência natural é:
Ou convertendo para Hz tem-se fn = 1.59 Hz. Após a construção de um DCL 
constata-se que a equação do movimento deste sistema simples é mx¨ + kx 
= 0.
 
x(t) =A.sen (ωn t) + B.cos (ωn t). 
As constantes A e B são descritas a partir do conhecimento das 
condições iniciais de deslocamento e velocidade:
Assim, a resposta de oscilação deste sistema é descrita por: x(t) =0.02cos 
(ωn t) 
Já a amplitude máxima de deslocamento é:
O sistema vibra como uma senoide com frequência natural de 1.59 
Hz e com amplitude máxima de 0.02 m.
45
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
2	 Uma	 massa	 de	 4.5	 kg	 é	 suspensa	 por	 uma	 mola	 de	 rigidez	 k	 =	
1400	N/m.	Um	amortecedor	com	um	coeficiente	de	amortecimento	
viscoso	 c	 =	 50	 N.s/m	 é	 conectado	 ao	 sistema.	 Determine	 o	 fator	
de	amortecimento	ξ,	a	frequência	natural	ωn	e	a	frequência	natural	
amortecida	ωd.
R.:
Solução: 
A frequência natural ωn é descrita por:
GRÁFICO – EXEMPLO DE RESPOSTA DO SISTEMA 
SUBAMORTECIDO
FONTE: <https://brainly.com.br/tarefa/11363903>. Acesso em: 4 jun. 2019.
Ou em Hz, fn = 21π ωn = 2.8 Hz. Já o coeficiente de amortecimento crítico cc 
é dado por: cc = 2mωn = 2(4.5) (17.63) = 158.67 N.s/m. 
Com isto, o fator de amortecimento ξ é dado por:
46
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Como ξ está no intervalo 0 < ξ < 1 este sistema possui movimento 
oscilatório subamortecido. A frequência natural amortecida é dada por:
3	 Uma	máquina	com	45	kg	é	montada	em	cima	de	um	 isolador	não	
amortecido	composto	por	quatro	molas	em	paralelo	com	rigidez	de	
2	×	105	N/m	em	cada	mola.	Quando	opera	a	uma	velocidade	de	32	Hz,	
a	amplitude	em	regime	permanente	Xp	é	medida	a	partir	de	um	teste	
experimental	e	corresponde	a	1.5	mm.		Qual	a	magnitude	da	força	
que	excita	esta	máquina	nesta	velocidade?
R.:
Solução: 
A frequência natural deste sistema é calculada por:
(3.1E)
(3.2E)
(3.3E)
(3.4E)
A frequência de excitação em rad/s é calculada como ω = 2πf = 
2π(32). Com isto, a razão entre frequências do sistema é calculada como:
Como o sistema é montado em um isolador sem amortecimento (ξ = 
0) com um r > 1 o fator de ampliação M (r, ξ) é: 
Obtém-se o valor da amplitude da força de excitação deste sistema:
47
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
(3.5E)
(3.6E)
(3.7E)
(3.8E)
TÓPICO 2
1	 Uma	máquina	rotativa	tem	massa	de	500	kg	e	um	desbalanceamento	
m0	e	=	5.8	kg.m.	Quando	são	usados	amortecedores	com	fator	de	
amortecimento	 ξ	 =	 0.2;	 especifique	 as	 molas	 para	 montagem	 tal	
que	somente	10%	da	 força	de	desbalanceamento	seja	 transmitida	
ao	chão.	Determine	 também	a	 intensidade	da	 força	 transmitida.	O	
ventilador	gira	a	uma	velocidade	de	1000	rpm.	
R.:
Solução: 
A rotação da máquina em rad/s é dada por:
A transmissibilidade TR desejada é de 10% assim a razão r necessária 
é calculada por:
Resolvendo a equação acima chega-se a r=4.72>√2, que 
corresponde à faixa de isolamento. Após o r calculado obtém-se a frequência 
natural ωn necessária:
Lembrando que a rigidez é dada por k = mωn, tem-se que mola deve 
ter uma rigidez k = 246198 N/m. Por fim, a intensidade da força transmitida é:
2	 Um	tambor,	com	um	cabo	de	aço,	é	montado	na	extremidade	de	uma	
viga	em	balanço	como	mostra	a	Figura	3E	(a).	Determinar	a	constante	
de	mola	equivalente	do	sistema	quando	o	comprimento	suspenso	
do cabo é l.	São	conhecidos	o	comprimento	da	viga,	sua	largura	e	
sua	espessura.		Assumir	que	o	diâmetro	do	cabo	e	os	módulos	de	
elasticidade	da	viga	e	do	cabo	são	iguais	a:	d, Kb e kr.
R.:
A constante de mola da viga em balanço é dada por:
48
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
(3.9E)
(3.10E)
(3.11E)
FIGURA 3E – SISTEMA DE ELEVAÇÃO
FONTE: <HTTPS://PT.SCRIBD.COM/DOCUMENT/341620074/VIBRACOES-
MECANICAS-RAO-SINGIRESU-4%C2%AA-ED-PDF>. acesso em: 28 jun. 2019.
A rigidez do cabo submetido a carregamento axial é:
A viga em balanço e o cabo podem ser considerados como molas 
combinadas em série, cuja constante de mola equivalente é:
49
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
3	 Qual	dos	equipamentos	a	seguir,	de	acordo	com	a	Avaliação	da	Ex-
posição	Ocupacional	a	Vibração	de	Corpo	Inteiro	da	Fundacentro	é	
considerada	adequada	para	a	aferição	de	vibração?
a) ( ) Dosímetro de ruído. 
b) ( ) Monitor de IBUTG. 
c)	(	x	)	Acelerômetro.
d) ( ) Anemômetro. 
e) ( ) Higrômetro.
4	 Numa	 instalação	 frigorífica,	 uma	 seção	 da	 canalização	 condutora	
do	fluido	refrigerante	vibra	em	ressonância	quando	a	velocidade	do	
compressor	é	de	232	cpm.	Para	eliminar	esta	dificuldade,	foi	propos-
to	que	se	ligasse	à	canalização	um	sistema	massa-mola.	Fez-se	uma	
prova	com	um	absorvedor	de	2	lbf	e	ajustado	para	232	cpm	obtendo-
-se	duas	frequências	naturais	de	198	cpm	e	272	cpm.	Se	quisermos	
projetar	um	absorvedor	de	tal	modo	que	as	frequências	naturais	es-
tejam	fora	da	região	de	160	a	320	cpm,	quais	deverão	ser	o	peso	e	a	
constante	de	mola	a	serem	usadas?	
R.:
Resolução:
Somando as equações para p1 e p2:
Para o 1o absorvedor:
50
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Para o 2o absorvedor:
FIGURA 4E – ZONA DE RESSONÂNCIA
FONTE: Adaptada de <https://pt.scribd.com/document/341620074/Vibracoes-
Mecanicas-Rao-Singiresu-4%C2%AA-Ed-pdf>. Acesso em: 28 jun. 2019.
Satisfaz a condição:
51
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Então:
Logo:
Assim:
5	 Um	transdutor	com	ωn	=	1	Hz	é	usado	para	medir	uma	vibração	de	
ω	=	4	Hz.		A	amplitude	indicada	pelo	transdutor	é	de	1,3	mm.	Qual	a	
amplitude	correta?	(ξ	=	0).
R.:
Solução: 
Primeiramente, calculamos a razão entre frequências:
(3.12E)
(3.13E)
O que significa que o transdutor tem alta frequência natural, assim:
6	 O	motor	elétrico	de	peso	150	N	está	apoiado	sobre	4	molas	iguais,	
cada	uma	com	rigidez	k	=	4000	N/m.	O	raio	de	giração	(rG)	em	relação	
ao	eixo	de	rotação	é	0,15	m,	a	velocidade	de	rotação	(n)	é	3500	rpm,	e	
a	distância	das	molas	em	relação	ao	CG	é	0,18	m.	(O	rotor	sendo	visto	
como	um	cilindro).	Determinar	as	frequências	naturais	do	sistema.
52
DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
FIGURA 5E – MOTOR ELÉTRICO SOBRE MOLAS
FONTE: <https://pt.scribd.com/document/341620074/vibracoes-mecanicas-rao-
singiresu-4%c2%aa-ed-pdf>. acesso em: 28 jun. 2019.
R.:
Solução:
Análise considerando um (1) grau de liberdade:
7	 Para	 o	 cálculo	 do	 desbalanceamento	 residual,	 como	 exemplo,	
consideremos	um	rotor	de	bomba	com	classe	G	6,3	que	deve	ser	
balanceado	 em	 dois	 planos	 entre	 mancais,	 sabendo-se	 que	 sua	
máxima	 velocidade	 de	 trabalho	 é	 3600	 rpm	 e	 sua	 massa	 40	 kg.	
Determinar	o	desbalanceamento	 residual	permissível	em	cada	um	
dos	planos	de	balanceamento.
R.:
Solução:
Vamos descrever alguns tipos de máquinas que se enquadram em 
algumas classes:
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
QUADRO – TIPOS DE MÁQUINAS
G Tipos de máquinas
4000
250
40
6,3
2,5
0,4
Virabrequins de motores marítimos lentos.
Virabrequins de motores diesel rápidos com 4 cilindros.
Rodas de automóveis; eixos de transmissão.
Ventiladores; volantes; rotores de bombas.
Turbinas a gás e a vapor; acionamento de máquinas-ferramentas fusos 
de retificadoras de alta precisão; giroscópios.
FONTE: O autor
É importante mostrar por que o desbalanceamento específico 
admissível varia inversamente a rotação do rotor. Para tanto, consideremos 
dois rotores similares de tamanhos diferentes, nos quais a única solicitação 
é devida ao desbalanceamento. A solicitação é: 
O momento fletor em uma seção crítica é representado por: 
A tensão máxima fica:
Conclui-se que máquinas semelhantes,dimensionadas para 
suportar esforços dinâmicos têm velocidades semelhantes. Logicamente, 
a aceleração da máquina menor é maior, e seu deslocamento é menor. Por 
exemplo, quando comparamos um motor alternativo de pistão de um navio, 
com aquele de um aeromodelo, notamos que a velocidade média do pistão 
é aproximadamente a mesma (9 m/s), apesar da escala de comprimento ser 
centenas de vezes maior no motor de navio. 
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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
8	 Para	 amortecer	 o	movimento	 de	 um	 ponteiro	 de	 um	 instrumento,	
o	 mesmo	 é	 conectado	 a	 uma	 lâmina	 de	 aço	 com	 30	 x	 30	 mm	
posicionada	entre	duas	placas,	com	um	espaço	de	0,1	mm	de	cada	
lado	e	confinada	a	se	mover	em	uma	direção	permanecendo	paralela	
às	placas.	Determinar	a	constante	de	amortecimento	se	o	espaço	
entre	as	placas	é	preenchido	com	óleo	de	viscosidade	η	=	20	mPa.s.
R.:
Solução:
O amortecimento é devido a um atrito viscoso, com = 2 * 0,03 * 0,03 = 1,8 * 
10-3, 2 m= 0, 0001 m. Portanto: