Material ( Matrizes + Det + SL)

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1 
 
Matrizes 
 Definição: Matriz → Tabela 
 
 Notação: 













colunaposiçãoj
linhaposicãoi
Amatrizdaelementosa
matrizdaensão
colunasdenúmeron
linhasdenúmerom
ondeaA mxnij
:
:
:
dim
:
:
:][
 
Exemplos: 
 A= 
233231
2221
1211
x
aa
aa
aa










 
33333231
232221
131211
x
aaa
aaa
aaa
A










 B =  
31131211 x
bbb
 
 































419
720
531
419
720
531
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A 
 
Exercícios: 
1) Se 
33][ xijaA
 logo 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 , determine os elementos da matriz tal 
que: 






jise
jise
aij
1
0 então 

identidadeMatriz
aaa
aaa
aaa
A






















100
010
001
333231
232221
131211
 
2) Se 
33][ xijaA
 logo 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 , determine os elementos da matriz tal 
que: 






jiseij
jiseji
aij
 então 
























612
141
212
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 
3) Se 
33][ xijaA
 logo 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 , determine os elementos da matriz tal 
que: 







jisej
jisei
a
i
j
ij
 então 






















2793
942
321
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 
 
 
2 
 
 TIPOS DE MATRIZES 
a) Matriz linha 

 m = 1. 
 Exemplo : A1X3 = 
)731(  
b) Matriz coluna 

 n = 1. 
 Exemplo : B3X1 = 










5
2
1
 
c) Matriz nula (O) 

 é aquela composta apenas por elemento “zero” . 
 Exemplos : D = 
2X3
00
00
00










 
d) Matriz quadrada 

 quando m = n, é definida simplesmente como matriz 
“quadrada de ordem n” 
 Exemplos : E = 
33
261
136
021
x











 F = 
22
52
31
x






 
e) Matriz identidade (In)  É uma matriz quadrada de ordem “n”, onde todos os 
elementos da diagonal principal são o algarismo “1” e todos os demais elementos 
são o algarismo “0”. 
 Exemplos : I2 = 






10
01 











100
010
001
3I
 















1000
0100
0010
0001
4I 
f) Matriz transposta (At) 

Seja AmXn uma matriz qualquer ( Pode também ser uma 
matriz quadrada ), dizemos que sua “transposta” é a matriz AtnXm , ou seja, aquilo 
que era linha em A transforma-se em coluna em At e aquilo que era coluna em A 
transforma-se em linha em At . 
A = 











33
359
872
401
x
 At =
33
384
570
921
x










 23
32 14
53
02
150
432
x
t
x
BB

















 
Obs: Quando temos as matrizes quadradas de ordem n, onde A = At, dizemos que 
A é matriz simétrica. 
 
3 
 
Ex : 
3333
713
152
321
713
152
321
x
t
x
BB






















 
g) Matriz oposta 

Seja AmXn uma matriz qualquer, chamamos de matriz oposta de A e 
indicamos ( –AmXn ), aquela matriz onde cada elemento correspondente ao da matriz A é o 
oposto a ele.
 
 Ex : 

























32
57
12
32
57
12
AA
 
 
Adição de matrizes 
 Sejam duas, ou mais, matrizes de mesma ordem, para que efetuemos a adição, é 
necessário somarmos os elementos correspondentes das matrizes. 
Exemplo: 
 
Tabela 1 : Precipitação acumulada em mm 
 São Paulo Curitiba Rio 
Janeiro/2010 270 250 290 
Agosto/2010 40 35 45 
Nov/2010 115 105 120 
 
33
120105115
453540
290250270
x
A










 
 
Tabela 2 : Precipitação acumulada em mm 
 São Paulo Curitiba Rio 
Janeiro/2009 250 210 240 
Agosto/2009 30 25 35 
Nov/2009 95 85 110 
 
33
1108595
352530
240210250
x
B











 
 
Tabela 3 : Precipitação acumulada total em mm 
 ( 2009 – 2010) 
 São Paulo Curitiba Rio 
Janeiro 520 460 530 
Agosto 70 60 80 
Nov 210 185 230 
 
4 
 
33
230190210
806070
530460520
x
C










 
 
 
Ou seja : C3x3 = A3x3 + B3x3 
 
 











120105115
453540
290250270
C 










1108595
352530
240210250










230190210
806070
530460520
 
 
Diferença de matrizes 
Exemplo: 
 Tabela 4 : Amplitude da Precipitação acumulada 
 em mm (2009 – 2010) 
 São Paulo Curitiba Rio 
Janeiro 20 40 50 
Agosto 10 10 10 
Nov 20 20 10 
 
33
102020
101010
504020
x
D










 
 
Ou seja : D3x3 = A3x3 + (- B3x3 ) 
 
 











120105115
453540
290250270
D 













1108595
352530
240210250










102020
101010
504020
 
 
Produto de um número por matriz: 
Exemplo: 
Tabela 5 : Precipitação acumulada média em mm 
 (2009-2010) 
 São Paulo Curitiba Rio 
Janeiro/2009 260 230 265 
Agosto/2009 35 30 40 
Nov/2009 105 95 115 
 
Ou seja : E3x3 = 
2
1
(A3x3 + B3x3) = 
33.
2
1
xC
 
 
5 
 
 
.
2
1
E
     
     
     






































11595105
403035
265230260
230.
2
1
190.
2
1
210.
2
1
80.
2
1
60.
2
1
70.
2
1
530.
2
1
460.
2
1
520.
2
1
230190210
806070
530460520
  
C
 
 
PRODUTO DE MATRIZES 
 
 O Produto entre duas matrizes A e B ( nesta ordem ) só pode ser efetuado quando 
ambas satisfazem os requisitos da equação abaixo: 
Amxn . Bnxp = Cmxp 
 
 Analisando esta equação, notamos que o produto A.B só existe se o número de colunas 
da primeira matriz (A) for igual ao numero de linhas da segunda matriz (B), no que resulta 
em uma terceira matriz (C) que possui o mesmo número de linhas da primeira matriz e o 
mesmo número de colunas da segunda matriz. 
Exemplo:A2X3 . B3X4 = C2X4 ( existe ) 
 
 Repare agora que tomaremos as mesmas matrizes do primeiro exemplo, porém 
mudaremos a ordem, ao invés de (A.B), tentaremos efetuar (B.A) 
 (B3X4 . A2X3 ) Note que o número de colunas da primeira matriz B não é igual ao numero 
de linhas da segunda matriz A, logo, não obtemos a matriz C = B.A. Portanto 
concluímos que não é válida a propriedade comutativa do produto de matrizes, pois 
existem matrizes A e B tais que A.B

 B.A. Caso ocorra uma situação onde A.B = B.A, 
dizemos que A e B comutam. 
Exemplo: 
 
Tabela A : Número de componentes por equipamento 
 C1 C2 C3 C4 
Eq1 2 4 5 3 
Eq2 3 5 4 2 
Eq3 4 3 3 5 
 











5334
2453
3542
43xA
 
 
 
 
 
6 
 
Tabela B : Custo de cada componente 
Componentes Custo (R$) 
C1 10 
C2 20 
C3 5 
C4 15 
 













15
5
20
10
14xB
 
 
 
 
Tabela C : Custo total (CT) de cada equipamento em R$ 
Equipamentos CT (R$) 
Eq1 
170)153()55()204()102(  xxxx
 
Eq2 
180)152()54()205()103(  xxxx
 
Eq3 
190)155()53()203()104(  xxxx
 
 
13
13
190
180
170
x
xC











 
 
Ou seja : C3x1 = A3x4 .B4x1 
 
 Usando o dispositivo prático: 
 
 
B












15
5
20
10
 
 
  
A










5334
2453
3542
 
       
       
       

C
xxxx
xxxx
xxxx
CT
CT
CT



































190
180
170
15553203104
15254205103
15355204102
3
2
1
 
 
Exercício Resolvido 
:mindet,
20
45
21
501
132
201
2333 eerBeASe xx






















 
 
7 
 
 
a) A3x3.B3x2 = (AB)3x2 
 










20
45
21
 
 
 













































121
1817
61
)5.20.42.1()5.00.51.1(
)1.24.32.2()1.05.31.2(
)2.20.41.2(2.00.51.1
501
132
201
fe
dc
ba
 
 
b) (B.A) → não existe 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
 






















































































































3
2
1
5
.
2211
4263
1152
1521
3.2.2
2.4.2.6.3
1.5.2
5.5.2
)
.
12
11
8
.
311
132
121
12.3
11.3.2
8.2
)
2
1
.
43
52
2.4.3
1.5.2
)
t
z
y
x
tzyx
tzyx
txyx
tzyx
c
bXA
z
y
x
zyx
zyx
zyx
b
y
x
yx
yx
a
bXA

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 
 
1. Dada a matriz A(3 x 3) , onde aij = i + 2.j, sendo assim determine as matrizes : 
a) A b) At c) (A.A) d) (A.At) e) (At.A) f) X , onde X + A = 3.At 
Respostas: 































































181716
131211
876
)
19414698
14611074
987450
)
155134113
13411698
1139883
)
17213088
14811276
1249464
)
987
765
543
)
975
864
753
) XfedcAbAa t
2. Sendo 

















 

46
25
13
054
312
BeA
, determine as matrizes : 
a) At + B b) A + Bt c) 2.A+3.Bt d) (A.B) e) (B.A) f) (At.Bt) 
 
Respostas: 
 





































 





 










 18159
2658
28210
)
182628
1552
9810
)
637
1229
)
12165
12135
)
473
341
)
43
74
31
) fedcba
 
 
3. Determine x , y e z tais que : 
 
a) 














xxyx
zxyx
9
86
.2
 b) 














16
5
.3
.2.3 z
yzyx
yzyx 
 
Resp. a) x = 5 , y = 1 e z = 3 b) x = 1 , y = 1 e z = 2 
 
4. Uma empresa possui duas confeitarias, denominadas de A e B , fabrica três tipos de 
bolos : B1 ,B2 e B3, os quais são feitos de farinha , açúcar, leite , manteiga e ovos. 
 
Tabela 1 : Demanda semanal em unidades 
 B1 B2 B3 
Confeitaria A 50 30 25 
Confeitaria B 20 20 40 
 
 
Tabela 2: Quantidade dos ingredientes 
 Farinha (g) Açucar (g) Leite (ml) Manteiga (g) ovos 
B1 500 200 500 150 4 
B2 400 100 300 250 5 
B3 450 150 600 0 6 
Analisando as tabelas , determine a quantidade de cada uma das cinco matérias primas 
que deve alocar às suas duas confeitarias semanalmente. 
Resposta: 






4208000400001200036000
50015000490001675048250 
 
 
 
 
9 
 
Matriz Inversa ( A-1) 
 
 Seja uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que a matriz inversa de A, indicada por 
A-1 é aquela tal que: 
 
 
 
Onde In é a matriz identidade de ordem n. 
 
Obs. : Nem todas as matrizes quadradas possuem “inversa”. 
 
Exemplo : 
● Determine ( caso exista ) a matriz inversa de A = 





 
13
54 . 
Resolução : 
A2 . A2
-1 = I2 





 
13
54 . 






dc
ba = 






10
01 , portanto resolvendo o produto 
 
Temos dois sistemas lineares básicos: 







0ca3
1c5a4 e 







1db3
0d5b4 
 
Resolvendo tais sistemas, obtemos : a = 
19
1
 , b = 
19
5
 , c = 
19
3

 e d =
19
4
 . 
Logo, obtemos A-1 = 















19
4
19
3
19
5
19
1
 
 
Obs -1 : Quando temos as matrizes quadradas de ordem n, onde A-1 = At, dizemos que 
A é matriz ortogonal . 
 
Obs -2 : Se In a matriz identidade de ordem n e An a matriz quadrada também de 
ordem n , logo (In .An) = (An.In) = An 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 
1) Determine a inversa das matrizes abaixo : 
a) 







21
11
A
 resposta : 









11
12
1A
 
 
b) 







22
23
A
 resposta : 









5,11
11
1A
 
 
 
An. An
-1
 = An
-1
. An = In 
 
10DETERMINANTES 
 
I. Definição: 
Em linhas gerais, um determinante, é um número associado à uma matriz quadrada de ordem 
n. Daí, seja uma matriz quadrada, o seu determinante é indicado por det A ou , ressaltando 
que não se refere a módulo. 
 
De que forma associamos um número (det) a uma matriz quadrada ?? 
 
O determinante de uma matriz é definido como a soma de todos os produtos 
elementares da matriz. Um produto elementar é o resultado da multiplicação de n 
entradas de uma matriz de dimensão n x n dos quais envolvem linhas diferentes e colunas 
diferentes 
 
Revisão sobre permutação: 
 
 


























inversõestrês
inversõesduas
inversõesduas
inversãouma
inversãouma
inversãonenhuma
spermutaçõe
inversõestrêsinversõesduasinversãouma
inversõesduasinversãouma
inversãonenhuma
spermutaçõe
)1,2,3(
)2,1,3(
)1,3,2(
)3,1,2(
)2,3,1(
)3,2,1(
6
)1,2,3()2,1,3()3,1,2(
)1,3,2()2,3,1(
)3,2,1(
63,2,1
 
Permutações No de 
inversões 
paridade sinal 
(1,2,3) 0 Par + 
(1,3,2) 1 Impar - 
(2,1,3) 1 Impar - 
(2,3,1) 2 Par + 
(3,1,2) 2 Par + 
(3,2,1) 3 Impar - 
 
Seja A uma matriz quadrada de dimensão 3 : 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
11 
 
Temos a seguinte tabela : 
 
Produto 
Elementar 
Permutações 
do “j” 
No de 
inversões 
paridade Sinal do Prod. 
Elementar 
 332211 .. aaa
 (1,2,3) 0 Par + 
 233211 .. aaa
 (1,3,2) 1 Impar - 
 331221 .. aaa
 (2,1,3) 1 Impar - 
 133221 .. aaa
 (2,3,1) 2 Par + 
 231231 .. aaa
 (3,1,2) 2 Par + 
 132231 .. aaa
 (3,2,1) 3 Impar - 
 
Logo: 
           
           
  
Sarrusdegra
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
então
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
Re
312213332112322311322113312312332211
312213322113312312332112322311332211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
3231
2221
1211
333231
232221
131211
............det
............det
:det














 
 - - - + + + 
 
 
 
OBS: Aplica – se a Regra de Sarrus SOMENTE para calcular o valor do 
determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
II. Regras para se calcular o determinante: 
 
a ) Matriz quadrada de ordem 1 
 A1 = 
  1111 det aAa 
 
 
Exemplos : A = 
  5det5  A
 B = 
  10det10  B
 
 
 
b ) Matriz quadrada de ordem 2 
 
 A = 






2221
1211
aa
aa  det A = ( a11. a22 ) - ( a12. a21 ). 
 
 
Exemplo : 
 
 C = 








43
21  det C= = ( -1. 4 ) – [ 2. (-3) ] = - 4 + 6  det C= 2 
 
 
 
3 ) Matriz quadrada de ordem 3 ( Regra de Sarrus ) 
 
 A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
3231
2221
1211
333231
232221
131211
det
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A  
 
 
 Sinal ( - ) Sinal (+) 
 
 
Exemplo : 
 B =












203
342
531
 

 det B = 
03
42
31
203
342
531


 = 8 - 27 + 0 – 60 - 0 - 12 

 
 
 

 det B = - 91 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sinal (+) Sinal (-) 
13 
 
3 ) Matriz quadrada de ordem 4 ( Teorema de Laplace ) 
 
 Podemos aplicar o Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes de matrizes 
quadradas de qualquer de ordem, porém, na prática, a utilizaremos quando o 
determinante for de ordem n 

 4. 
 Vamos aqui, tomar um exemplo numérico e a,partir dele extrair os elementos 
necessários para o cálculo de um determinante de ordem 4, tal procedimento será 
estendido para qualquer determinante em que se possa aplicar “Laplace”. 
Exemplo : 
 Seja a matriz A =












10244
2013
3124
5121
 . Calcule
 10244
2013
3124
5121
det A 
Resolução : 
 
 Pelo “Laplace”, calculamos o valor do det usando o seguinte algoritmo recursivo: 
 
1º Passo :Escolher uma fila ( Linha ou coluna ) do determinante, como sendo a base 
para nossos cálculos 
 
 Esta escolha é arbitrária, porém mais adiante daremos uma sugestão, para facilitarmos os 
cálculos. 
 
Escolhendo, por exemplo, a segunda linha temos : 
 
 24232221
.3.1.2.4
10244
2013
3124
5121
det AAAAA 
 
 
 
 
 cofatores 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
2º Passo : Calcular os valores dos cofatores . 
Sendo: 
  ij
ji
ij DA .1


 
 
onde Dij é o determinante que se obtém ao eliminarmos a linha i e a coluna j referente ao 
elemento do qual estamos calculando o cofator. 
 No nosso caso, os elemento envolvidos, referentes à segunda linha, são a21, a22, a23 e 
a24, então temos : 
 A21 = (-1)
2+1. D21 = (-1)
3 .
1024
201
512
 = - ( 0 ) 

 A21 = 0 
 
 A22 = (-1)
2+2. D21 = (-1)
4 .
1024
203
511
= 4 

 A22 = 4 
 
 A23 = (-1)
2+3. D23 = (-1)
5 .
 1044
213
521
= - (- 2) 

 A23 = 2 
 
 A24 = (-1)
2+4. D24 = (-1)
6 .
 244
013
121
= -2 

 A24 = - 2 
 
3º Passo : Voltar ao determinante principal e substituir os cofatores. 
 
temos : 
 24232221 .3.1.2.4
10244
2013
3124
5121
det AAAAA  = 
)2.(3)2.(1)4.(2)0.(4 
 
 
 det A = 8 + 2 – 6 = 4 
 
 
 DICA : Quando aplicar “Laplace” procure usar a “fila” que contenha a MAIOR 
QUANTIDADE de “ZEROS”, pois como você multiplica cada cofator por seu respectivo 
elemento, se este for zero, você não precisará calcular o cofator. 
 
 
 
15 
 
Teorema de Jacobi 
 
Adicionando – se a uma fila de uma matriz M , de ordem n , uma outra fila paralela , 
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´ , tal que: 
 
det M´ = det M 
 
Exemplo anterior : 
 
10244
2013
3124
5121
det A
 
 
 
41.2
0002
2013
3124
5121
´det AA 
 
 
 
A41 = (-1)
4+1. D21 = (-1)
5 .
201
312
512
 = - ( -2 ) 

 A41 = 2 Logo : 
 
4)2.(2.2
0002
2013
3124
5121
´detdet 41  AAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x (-2) 
+ 
16 
 
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
 
1. Caso TODOS os elementos de uma fila de um determinante forem NULOS, o 
resultado deste será ZERO. 
Exemplos 
 
0
060
270
430



 0
436897
0000
4205
13108




 
2. Caso DUAS filas do determinante forem IGUAIS ou PROPORCIONAIS, o resultado 
deste será ZERO. 
Exemplos 
 
 
0
271
271
432


 0
4314897
220010
41035
116108




 
 
3. Caso UMA fila do determinante for COMBINAÇÃO LINEAR de outras filas, o 
resultado deste será ZERO. 
Exemplo 
 0
61376
4314897
41035
2341




4. O DETERMINANTE de uma matriz quadrada A é IGUAL ao determinante de sua 
matriz transposta At. 
Exemplo 
 
 det A = 
1
302
212
325


 det At = 
1
323
012
225


 
 
 
 
 
 
 
 
 Linha 4 = Linha 1 + linha 2 
17 
 
5. Ao TROCARMOS de posição DUAS filas de um determinante, o resultado do NOVO 
determinante será o OPOSTO do resultado do primeiro. 
Exemplo 
 
 det A = 036.2
1677
0982
0953
6422



 det B = 036.2
7761
2890
3590
2246



 
 
6. Ao MULTIPLICARMOS TODOS os elementos de uma fila por um escalar k real, o 
resultado do NOVO determinante será o resultado do primeiro MULTIPLICADO por 
k. 
 
Exemplo 
 
 
50
2302
2421
0142
1235


 
 
 Seja k = 2 e multiplicando cada elemento da 1ª linha por este k, obtemos : 
 
 )50.(2100
2302
2421
0142
24610


 
 
7. Caso TODOS os elementos situados ACIMA ou ABAIXO da DIAGONAL PRINCIPAL do 
determinante forem NULOS, o resultado do mesmo será o PRODUTO dos 
elementos da DIAGONAL PRINCIPAL. 
Exemplos 
 
40
400
220
135

 30
3687
0231
0015
0005



 
8. Vale a pena lembrar aqui, de forma rápida, dois pontos no estudo de determinantes 
que são de grande utilidade: 
• Teorema de Binet 

 det (A.B) = det (A) . det(B). 
• Determinante de uma matriz inversa 

 det A-1 = 
Adet
1
, com det A 

 0. 
 
18 
 
Determinar a matriz inversa usando o determinante : 
 
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n , pode –se estabelecer : 
 
0det.
det
1 *1  AcomA
A
A
 
 
Admitindo que (A.A*) = (det A).In 
nn
n IA
A
AI
A
A
A
A
IA
A
AA












 *
**
.
det
1
.
det
.
det
).(det
det
.
 
se A.A-1 = In , então *1*
det
1
log
det
1
.
1
A
A
AoIA
A
A n
A





 

 
onde : 
  AdecofatoresdosmatrizaéAondeAA
AdeadjuntaMatrizA
t
:
:
*
*

 
 
 
Exemplos : 
 
 Matriz quadrada de ordem 2 : 
 
   
   
 




























































3
2
11
12
611
24
.
2
1
.
det
1
611
24
62
114
:log
66.122.1
1111.144.1
:2det
411
26
*1
*
2221
1211
22
22
12
21
21
12
11
11
2221
1211
A
A
A
AAentão
αα
αα
Ao
αα
αα
αα
αα
AsendoAA
t
 
2
1
det
1
det 1 
A
A
 
 
1det A
2
1
3
2
11
12



 
19 
 
 Matriz quadrada de ordem 3 : 
 
     
     
     
 















































































































19
5
19
11
1
19
8
19
10
1
19
4
19
5
1
51119
81019
4519
.
19
1
.
det
1
51119
81019
4519
584
11105
191919
:log
5
13
12
.18
43
02
.14
41
01
.1
11
61
12
.110
51
02
.15
56
01
.1
19
61
13
.119
51
43
.119
56
41
.1
:19det
561
413
012
*1
*
333231
232221
131211
33
33
23
32
13
31
32
23
22
22
12
21
31
13
21
12
11
11
333231
232221
131211
A
A
A
AAentão
ααα
ααα
ααα
Ao
ααα
ααα
ααα
ααα
ααα
ααα
AsendoAA
t
 
19
1
)det(
1
det 1 
A
A
 
1det:, AtemosSarrusAplicando 19
1
19
5
19
11
1
19
8
19
10
1
19
4
19
5
1




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Calcule os determinantes abaixo: 
 
 1694
432
111
)
1102
326
5,265
)
245
312
713
)
35
12
) dcba


 
Resp. a) 1 b) 2 c) 0 d) 2 
 
2. Calcule o det , usando os Teoremas de Jacobi e de Laplace: 
 
 
54321
03213
001106
00025
108643
)
7531
15965
3523
5321
)
75814
3366
2494
2135
)





cba
 
Resp. a) 144 b) 12 c) 30 
 
3. Usando a regra de Sarrus , determinar o x. 
0
31
42
21
)0
11
11
11
)0
113
1.22
1
) 




 x
x
x
c
x
x
x
b
x
x
xx
a
 
 Resp. a) x = 0,5 b) x = 0 ou x = 1 c) x = 0 ou x = - 2 
 
4. Determinar x tal que : 
 
3
3
:
4
.2.3
.2)1(.3
110
2)1(






xresposta
x
xx
xxx
xx 
5. Determine o x tal que: 
1045
6253
2451
1100
110
00)2(0
300



x
x
x
 Resp: x = 0 ou x = 1 ou x = 2 
 
6. Sendo 













105
132
012
A
, determine: 
a) a matriz A-1 resp: 














4515
227
113
1A
 
b) det A-1 resp. det A-1 = -1 
 
 
 
 
21 
 
SISTEMAS LINEARES – SL 
 
I) Definição : 
 
Um sistema linear é formado por um conjunto de m equações lineares, equações estas 
que se caracterizam por apresentarem todas as incógnitas com potência de grau um. 
 
Um SL com m equações e n variáveis é escrito usualmente na forma : 
 
);......;2;1(:
);.....;2;1(var:
)1,1(:
:
....
....
....
....
332211
13333232131
22323222121
11313212111
mitesindependentermosb
njiáveisx
njmiescoeficienta
onde
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
i
j
ij
mnmnmmm
nn
nn
nn





















 
A resolução de um SL consiste em calcular os valores de 
jx
 , caso eles existam , 
que satisfaçam as m equações simultaneamente. 
 
Usando a notação matricial , o sistema linear pode ser assim representado: A.x = b 
ou seja : 
 
b
m
X
n
A
mnmmm
n
n
n
mnmnmmm
nn
nn
nn
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
































































  










3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
332211
13333232131
22323222121
11313212111
.
....
....
....
....
 
 
A : é a matriz dos coeficientesX: é a matriz das variáveis 
b: é o vetor constante 
 
 
 
22 
 
II) Exemplo de aplicação na Engenharia 
 
Considere o seguinte problema. Quatro tipos de materiais particulados ( A , B, C e D) 
estão distribuídos por quatro provetas (1,2,3 e 4), e em cada proveta os materiais são 
dispostos em camadas, não misturadas, de modo que seja possível medir facilmente o 
volume de cada material em cada uma delas. Conforme ilustra a figura abaixo: 
 
Dado que possamos medir a massa total de cada proveta, e que saibamos a massa 
da proveta vazia, queremos calcular a densidade de cada um dos materiais. 
Para colocar o problema em termos matemáticos, chamemos os materiais de A, B, 
C e D, e suas densidades respectivas de ρA ,ρB ,ρC e ρD. Essas são as incógnitas do 
problema, números que queremos descobrir. Entre os dados disponíveis para resolvê – lo 
estão a massa conjunta dos quatro materiais em cada uma das provetas (numeradas de 1 a 
4), que chamaremos de M1, M2, M3 e M4, já descontada a massa das provetas. 
Além disso, temos o volume de cada um dos materiais em cada uma das provetas. 
Sendo assim admitiremos : 
 V1A, V1B, V1C e V1D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 1 
 V2A, V2B, V2C e V2D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 2 
 V3A, V3B, V3C e V3D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 3 
 V4A, V4B, V4C e V4D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 4 
Como a densidade (ρ) é a razão entre massa e volume, logo a massa do material A 
na Proveta 1 é V1A .ρA . Estendendo esse raciocínio para os demais materiais, obtemos que 
a massa total M1 contida na Proveta 1 é 
1
m
D1D
m
C1C
m
B1B
m
A1A M . V + . V + . V + . V
DCBA


ρρρρ
 
Considerando as quatro provetas, obteremos quatro equações: 
 
23 
 






 
4D4DC4CB4BA4A
3D3DC3CB3BA3A
2D2DC2CB2BA2A
1D1DC1CB1BA1A
M = . V + . V + . V + . V
M = . V + . V + . V + . V
M = . V + . V + . V + . V
 M . V + . V + . V + . V
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
 
Trata-se de um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas 
(
DCBA ρeρρρ ,,
) . 
Uma possível aplicação em Geotecnia seria a seguinte. Uma sonda faz o papel das 
provetas, e uma coluna de material é retirada, contendo materiais diferentes dispostos em 
camadas (pode ser até uma sonda coletando material gelado). A sonda permitiria medir a 
dimensão de cada camada, mas não poderíamos desmanchar a coluna para medir a 
densidade de cada material isoladamente, sob o risco de alterar a compactação. 
 
Exemplo de aplicação 1 – SL ordem 2 : 
 
A indústria MKM , localizada em são Paulo gasta o dobro de energia elétrica do 
que a sua filial em Campinas , e o depósito da fábrica em São Paulo gasta o triplo da 
energia elétrica do que a de campinas . No tempo do racionamento de energia elétrica, o 
empresário negociou com a concessionária e conseguiu uma cota mensal de 13.000 KWh 
para a soma dos consumos de seus dois estabelecimentos em São Paulo e de 5.000 KWh 
para a soma do consumo dos seus dois estabelecimentos em Campinas . Considerando 
que as cotas foram utilizadas em sua totalidade, calcule a soma dos consumos mensais dos 
dois depósitos . 
1º PASSO: Elaborar uma Tabela : 
 
Cidade Indústria Depósito Total 
Campinas x y x + y =5000 
SP 2.x 3.y 2.x + 3.y = 13.000 
 
2º PASSO: Montar o sistema de equações lineares: 
 
    
MatricialFormaSL
y
x
yx
yx
























13000
5000
.
32
11
000.13.3.2
5000 
 
 No caso geral em que o SL envolve m equações e n variáveis, apenas uma entre as 
situações abaixo irá ocorrer: 
i) Sistema é possível determinado – SPD (SL tem solução única) 
Exemplo anterior: 
  
 












retagraulinearfunçãoxy
retagraulinearfunçãoxy
yx
yx
o
o
1
3
13000
.
3
2
15000
000.13.3.2
5000
2
1 
24 
 
A solução do SL dado é o ponto de intersecção das retas, ou seja : 
3000log2000
3
1500013000
3
.2.3
5000
3
13000
.
3
2
3
13000
.
3
2
5000
21







yox
xx
xx
xx
yy
 
 y o par ordenado ( 2000;3000) é a solução do sistema 
 
 
 3000 
 x 
 2000 y2 
 y1 
RESOLVENDO POR ESCALONAMENTO 
 


























3000.0
10000
~
13000.3.2
5000
20003000
3000.0
5000
~
000.13.3.2
000.10.22
~
000.13.3.2
)2(.5000
yx
yx
yx
yx
kWhxekWhy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
 
ii) Sistema é possível indeterminado - SPI (SL admite infinitas soluções) 
Exemplo : 







3.26.2.4
3.23.2
2
1
xyyx
xyyx
 
As duas retas são coincidentes, ou seja existem infinitos pontos em comum entre as 
duas retas. 
 y y2  y1 
 
 
 
 x 
 
25 
 
 
RESOLVENDO POR ESCALONAMENTO 
0.0.0,
0.0.0
6.2
~
6.2.4
6.24
~
6.2.4
)2(.)3.2(
















yxequaçãoasatisfazyexqualquerpara
yx
yx
yx
yx
yx
yx
 
 
iii) Sistema é impossível – SL não admite solução 
Exemplo : 







4.28.2.4
3.23.2
2
1
xyyx
xyyx
 
No plano temos duas retas paralelas, ou seja em nenhum momento as duas se 
cruzam , logo o SL dado não admite solução. 
 
 
 
 y y2 
 y1 
 4 
 3 
 x 
 
 
RESOLVENDO POR ESCALONAMENTO 
soluçãoadmitenãoyxequaçãoa
yx
yx
yx
yx
yx
yx
,2.0.0
2.0.0
6.2
~
8.2.4
6.24
~
8.2.4
)2(.3.2
















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Exemplo de aplicação 2 - SL de ordem 3 : 
Num parque eólico foram instalados três tipos de turbinas eólicas: T1 (de uma pá), 
T2 (de duas pás) e T3 (de três pás). A tabela abaixo ilustra a potência total gerada em 
função do número de turbinas instalada a diferentes alturas. 
Altura ( m 
) 
T1 
(uma pá) 
T2 
(dois 
pás) 
T3 
(três pás) 
Potencia total 
gerada 
(kW) 
25 1 2 3 2300 
50 2 2 2 2000 
70 3 2 2 2200 
Analisando a tabela , determine a potência gerada por cada turbina eólica. 
Admitindo que : 
x: Pot. da turbina T1 y: Pot. da turbina T2 z: Pot. da turbina T3 
 
Temos a seguinte equações lineares: 
 
   







































































KWzzyx
kWyyzyx
kWxxzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
ntoescalonameporsolvendo
z
y
x
zyx
zyx
zyx
500500.0.0
3002600)500.(4.22600.4.2.0
2002300500.3300.22300.3.2
~
~
4700.74.0
)2.(2600.4.2.0
2300.3.2
~
2200.22.3
2600.4.2.0
)3(2300.3.2
~
2200.22.3
2000.2.2.2
)2(2300.3.2
:Re
2200
2000
2300
.
223
222
321
2200.22.3
2000.2.2.2
2300.3.2
 
 
Métodos Numéricos para Resolução de SL (n x n) 
 
 Os métodos numéricos para resolução de um SL podem ser divididos em dois 
grupos: 
 
 Métodos diretos : São aqueles que , a menos de erros de arredondamentos, 
fornecem a solução exata do SL, caso exista , após um número finito de operações. 
 
 Regra de Cramer 
 Triangularização de Gauss 
 Métodos iterativos: geram uma sequencia de vetores , a partir de uma 
aproximação inicial 
ox
. Sob certas condições esta sequencia converge para a 
solução , caso exista. 
 Gauss – Seidel 
27 
 
I) REGRA DE CRAMER 
 
 
 Este método , aplicado à resolução de sistema n x n envolve o cálculo de (n + 1) 
determinantes de ordem n . Se n for igual a 20 podemos mostrar que o número total de 
operações efetuadas será gigantesca, recorrendo a métodos mais eficientes, pois em geral 
os problemas práticos exigem a resolução de SL de grande porte, isto é , sistemas que 
envolvem um grande número de equações e variáveis. 
 
Exemplos: 
a) SL de ordem 2 : 
 
a1) 1º Maneira 

 
).).((
det
1
).).((
det
1
.).(
det
1
.
0det)()(:).(
det
1
.....).(.
13000
5000
.
32
11
000.13.3.2
5000
1
1
1
1111
bA
A
X
bA
A
bA
A
bAX
AeAAdjAondeAdjA
A
A
bAXbAXIbAXAAbXA
y
x
yx
yx
t
t
A
t
t
I
bXA









































 
 








































12
13
)()(
11
23
:log
11.)1(11.)1(
22.)1(33.)1(
:1det
32
11
2221
1211
22
22
12
21
21
12
11
11
2221
1211
tAadjAentãoAo
AsendoAA






 
 
28 
 
 
3000
1
3000
2000
1
2000
detdet
det
det
det
det
130002
50001
313000
15000
.
det
1
)130001()50002(
)130001()50003(
.
det
1
13000
5000
.
12
13
det
1
).).((
det
1



















































































yx
A
Dy
y
A
Dx
x
A
Dy
A
Dx
y
x
A
Dy
A
Dx
X
A
xx
xx
AA
bA
A
X
b
A
t
t

 
 
a2) 2º maneira : 
kW
A
Dy
y
o
yx
yx
yx
yx
yx
yx
DyA
3000
det
32
11
130002
50001
)23(
)1000013000(
log
]5000).2(000.13).1[(.]1).2(3).1[(.0
5000
~
)(~
13000).1(.3).1(.2).1(
5000).2(.1).2(.1).2(
~
)1(000.13.3.2
)2(5000
130002
50001
32
11
det

























    

 
 
kWh
A
Dx
x
x
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
DxA
2000
det
32
11
313000
15000
)23(
)1300015000(
]13000).1(5000).3[(.]2).1(1).3[(
5000
~
]13000).1(5000).3[(.0].2).1(1).3[(
5000
~
~
]5000).3(13000).1[().33(].1).3(2).1[(
5000
~
)(~
13000).1(.3).1(.2).1(
5000).3(.1).3(.1).3(
~
)1(000.13.3.2
)3(5000
313000
15000
32
11
det



































  

 
 
29 
 
b) SL de ordem 3 : 
 
 

   
  
 
 



























































































































































































































































A
Dz
z
A
Dy
y
A
Dx
x
A
Dz
A
Dy
A
Dx
Dz
Dy
Dx
A
z
y
x
θ
A
X
Dz
Dy
Dx
xxx
xxx
xxx
θ
θMatriz
A
AAdetranspostaMatriz
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
A
AcofatoresdosMatriz
A
θbAθObs
θ
A
XbA
A
bA
A
bAX
AeAAondeA
A
Asendo
bAXbAXIbAXAA
bXA
z
y
x
zyz
zyx
zyx
θX
bA
t
t
xxx
t
x
θ
t
A
t
t
I
bXA
t
x
det
det
det
det
det
det
.
det
1
.
det
1
1000
600
400
22002()20004()23002(
22004()20007()23002(
)22002()20002()23000(
2200
2000
2300
.
242
472
220
242
472
220
)(
2
22
21
.)1(4
22
31
.)1(2
22
32
.)1(
4
23
21
.)1(7
23
31
.)1(2
22
32
.)1(
2
23
22
.)1(2
23
22
.)1(0
22
22
.)1(
242
472
220
2det
.:
.
det
1
).)((.
det
1
.).(
det
1
.
0det)()(:).(
det
1
......
.
2200
2000
2300
.
223
222
321
2200.2.2.3
2000.2.2.2
2300.3.2
)(
33
33
23
32
13
31
32
23
22
22
12
21
31
13
21
12
11
11
333231
232221
131211
131333
13
1
**1
1111
13
1

  




 
 
 
30 
 
Logo temos: 
 
kW
A
Dz
zDz
kW
A
Dy
yDy
kW
A
Dx
xDx
A
A
Dz
z
A
Dy
y
A
Dx
x
500
2
1000
det
1000
23220023
22200022
21230021
220023
200022
230021
300
2
600
det
600
22003222003
20002220002
23001323001
222003
220002
323001
200
2
400
det
400
22300222200
22000222000
22300322300
222200
222000
322300
2
23223
22222
21321
223
222
321
det
detdetdet














 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 
1 ) Resolva os sistemas abaixo utilizando a regra de Cramer 








1327
642
1143
)
zyx
zyx
zyx
a
 







34.8.3
22.5
25.63
)
yx
zyx
zyx
b
 








154
41.1024
33.823
)
zyx
zyx
zyx
c
 
 
2) Numa usina elétrica são utilizados os gerados, 1 de grande porte, 2 médios e 3 de pequeno porte 
e juntos têm potência de 1.800 MW. Dois geradores de pequeno porte pifaram e foi preciso 
então aumentar um de médio porte onde a potência passou a ser de 1.750 MW. Num segundo 
momento fizeram uma reformulação na usina e passaram a utilizar dois geradores de cada tipo 
e a potência passou a ser de 2.100 MW. Sendo assim modele um sistema linear para o problema 
e determine a potência de cada gerador usando a regra de Cramer. 
Respostas: 
1) a) 
431  zyx
 b) 
152  zyx c) 5,223  zyx 
 
2) 








2100.2.2.2
1750.3
1800.3.2
zyx
zyx
zyx
 MWzMWyMWx 200350500  
 
31 
 
I) TRIANGULARIZAÇÃO DE GAUSS 
 
A idéia do Método de Triangularização de Gauss é construir um sistema triangular 
equivalente ao sistema original, isto é, que tenha a mesma solução. 
Triangularizar um sistema consiste em escalonar o SL utilizando o determinante. 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO DE GAUSS (D.P.G) 
 
 Vamos usar o Dispositivo Prático de Gauss, que nada mais é do que um algoritmo 
que nos auxilia na resolução de grande parte dos sistemas lineares. Tal algoritmo consiste 
em dividir o sistema em matrizes quadradas de ordem 2 e resolver seus determinantes de 
modo a se obter um sistema equivalente triangularizado. 
 
 Algoritmo de construção da tabela para um sistema linear (3 x 3) na forma genérica 
 
~
......0
......0
...
~
)).(...0(
)).(...0(
...
~
~
...0
...0
...
~
).()...()...(.0
).()...()...(.0
...
~
~
.......
).()...()...(.0
......
~
~
)).(...(
).()..()...(.0
)).(...(
~
~
...
).()..()...(.0
...
~
~
...
......
......
~
...
)).(...(
)).(...(
~
...
...
...
214131
132313
1131211
1243
3121
1131211
243
121
1131211
1313111331331112313211
1212111321112312211122
1131211
311331132113111
1212111321112312211122
131133112311131
113333231
1212111321112312211122
311131211
3333231
1212111321112312211122
1131211
3333231
211112311221121
121132112211121
3333231
112232221
211131211
3333231
2232221
1131211
















































































BDzDDyDDx
BDzDDyDDx
bzayaxa
DBzDyDx
DBzDyDx
bzayaxa
BzDyDx
BzDyDx
bzayaxa
babazaaaayaaaax
babazaaaayaaaax
bzayaxa
bazaayaaxaa
babazaaaayaaaax
bazaayaaxaa
abzayaxa
babazaaaayaaaax
abzayaxa
bzayaxa
babazaaaayaaaax
bzayaxa
bzayaxa
bazaayaaxaa
bazaayaaxaa
bzayaxa
abzayaxa
abzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
 
32 
 











































5
3
35
121
1131211
243
121
1131211
3333231
2232221
1131211
35
121
1131211
13212341
121
1131211
..0.0
...0
...
~
...0
...0
...
~
...
...
...
:
..0.0
...0
...
~
)..()...(.0.0
...0
...
~
D
B
zBzDyx
ydocálculoBzDyDx
xdocálculobzayaxa
BzDyDx
BzDyDx
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
então
BzDyx
BzDyDx
bzayaxa
BDBDzDDDDyx
BzDyDx
bzayaxa
 
 x y z Ind. 
SL –1 
Sistema 
dado 
 
Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 a11 a12 a13 b1 
Linha 2 a21.x + a22.y + a23.z = b2 a21 a22 a23 b2 
Linha 3 a31.x + a32.y + a33.z = b3 a31 a32 a33 b3 
 
 
 
 
SL - 2 
Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 a11 a12 a13 b1 
Linha 4 0.x + D1.y + D2.z = B1 0 D1 = 
2221
1211
aa
aa
 D2 =
2321
1311
aa
aa
 B1 = 
221
111
ba
ba
 
Linha 5 0.x + D3.y + D4.z = B2 0 D3 = 
3231
1211
aa
aa
 D4 =
3331
1311
aa
aa
 B2 = 
231
111
ba
ba
 
 
 
 
SL - 3 
Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 a11 a12 a13 b1 
Linha 4 0.x + D1.y + D2.z = B1 0 D1 D2 B1 
Linha 6 0.x + 0.y + D5.z = B3 0 0 D5 = 
43
21
DD
DD
 B3 = 
23
11
BD
BD 
Exemplo das turbinas eólicas : 
 SL - 2 ( Linha 4 ) 












































2200.2.2.3
2600.4.2.0
2300.3.2
~
2200.2.2.3
]2300).2(2000).1[(.]3).2(2).1[(.]2).2(2).1[(0
2300.3.2
~
2200.2.2.3
2000).1(.2).1(.2).1(.2).1(
2300).2(.3).2(.2).2(.1).2(
~
2200.2.2.3
)1()2000.2.2.2(
)2()2300.3.2(
~
2200.2.2.3
2000.2.2.2
2300.3.2
121
20002
23001
22
31
22
21
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
xzyx
xzyx
zyx
zyx
zyx
BDD
      

 
 
33 
 
 SL – 2 (Linha 5) 
 












































2400.7.4.0
2600.4.2.0
2300.3.2
~
]2300).3(2200).1[(.]3).3(2).1[(.]2).3(2).1[(0
2600.4.2.0
2300.3.2
~
2200).1(.2).1(.2).1(.3).1(
2600.4.2.0
2300).3(.3).3(.2).3(.1).3(
~
)1()2200.2.2.3(
)2600.4.2.0
)3()2300.3.2
~
2200.2.2.3
2600.4.2.0
2300.3.2
243
22003
23001
23
31
23
21
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
xzyx
zyx
xzyx
zyx
zyx
zyx
BDD
      

 
 
 SL – 3 (Linha 6) 
: temosLogo
1000.2.0.0
2600.4.2.0
2300.3.2
~
]2600).4(4700).2[(.]4).4(7).2[(.00
2600.4.2.0
2300.3.2
~
)4700).(2(.7).2(.4).2(.0
)2600).(4(.4).4(.2).4(.0
2300.3.2
~
)2()4700.7.4.0(
)4()2600.4.2.0(
2300.3.2
~
4700.7.4.0
2600.4.2.0
2300.3.2
12
47004
26002
74
42
















































zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
xzyx
xzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
BD
  

 
 x y z Ind. 
SL –1 
Sistema 
dado 
 
Linha 1 x + 2.y + 3.z = 2300 1 2 3 2300 
Linha 2 2.x + 2.y + 2.z = 2000 2 2 2 2000 
Linha 3 3.x + 2.y + 2.z =2200 3 2 2 2200 
 
 
 
SL - 2 
Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 1 2 3 2300 
Linha 4 0.x + D1.y + D2.z = B1 0 D1 = -2 D2 = -4 B1 = -2600 
Linha 5 0.x + D3.y + D4.z = B2 0 D3 = -4 D4 = -7 B2 = -4700 
 
 
 
SL - 3 
Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 1 2 3 2300 
Linha 4 0.x + D1.y + D2.z = B1 0 -2 -4 -2600 
Linha 6 0.x + 0.y + D5.z = B3 0 0 D5 = -2 B3 = -1000 
 
34 
 


































kWzzyx
kWyyzyx
kWxxzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
SLSLSL
500
2
1000
1000.2.0.0
3002600)500(4.22600.4.2.0
2002300)500.(3)300.(22300.3.2
: z ey , x de valoresdos Cálculo
1000.2.0.0
2600.4.2.0
2300.3.2
~
4700.7.4.0
2600.4.2.0
2300.3.2
~
2200.2.2.3
2000.2.2.2
2300.3.2
321
      
 
 
Exercício 
Determine a solução do SL dado usando o dispositivo prático de Gauss. 








2
134
532
zyx
zyx
zyx
 
 x y z Ind. 
SL –1 
Sistema 
dado 
Linha 1 2.x + 3.y – z = 5 2 3 -1 5 
Linha 2 4.x – 3.y + z = 1 4 -3 1 1 
Linha 3 x - y + z = 2 1 -1 1 2 
 
 
 
 
SL - 2 
Linha 1 2.x + 3.y – z = 5 2 3 -1 5 
Linha 4 0.x -18.y + 6.z = -18 0 
18
34
32
1 

D
 
6
14
12
2 

D
 
18
14
52
1 B
 
Linha 5 0.x -5.y + 3.z = -1 0 
5
11
32
3 

D
 
3
11
12
4 

D
 
1
21
52
2 B
 
 
 
 
SL - 3 
Linha 1 2.x + 3.y – z = 5 2 3 -1 5 
Linha 4 0.x -18.y + 6.z = -18 0 -18 6 -18 
Linha 6 0.x + 0.y -24.z = -72 0 0 
24
35
618
5 


D
 
72
15
1818
3 


B
 


















3
24
72
7224.0.0
2
18
36
36.1818)3.(6.1818.6180
153)2.(3.253.2
zzyx
yyyzyx
xxzyx
 
A solução do SL é x = 1 , y = 2 e z = 3 
 
 
35 
 
 Algoritmo de construção da tabela para um sistema linear (4 x 4) na forma genérica 
 
 x y z t Ind. 
 
SL – 1 
dado 
Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z + a14 .t = b1 a11 a12 a13 a14 b1 
Linha 2 a21.x + a22.y + a23.z + a24 .t = b2 a21 a22 a23 a24 b2 
Linha 3 a31.x + a32.y + a33.z + a34 .t = b3 a31 a32 a33 a34 b3 
Linha 4 a31.x + a32.y + a33.z + a44 .t = b4 a31 a32 a33 a44 b4 
 
SL -2 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z + a14 .t = b1 a11 a12 a13 a14 b1 
Linha 5 0.x + D1.y + D2.z + D3.t = B1 0 D1 D2 D3 B1 
Linha 6 0.x + D4.y + D5.z + D6 .t = B2 0 D4 D5 D6 B2 
Linha 7 0.x + D7.y + D8.z + D9.t = B3 0 D7 D8 D9 B3 
 
SL - 3 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z + a14 .t = b1 a11 a12 a13 a14 b1 
Linha 5 0.x + D1.y + D2.z + D3.t = B1 0 D1 D2 D3 B1 
Linha 8 0.x + 0.y + D10.z + D11.t = B4 0 0 D10 D11 B4 
Linha 9 0.x + 0.y + D12.z + D13.t = B5 0 0 D12 D13 B5 
 
SL- 4 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z + a14 .t = b1 a11 a12 a13 a14 b1 
Linha 5 0.x + D1.y + D2.z + D3.t = B1 0 D1 D2 D3 B1 
Linha 8 0.x + 0.y + D10.z + D11.t = B4 0 0 D10 D11 B4 
Linha 10 0.x + 0.y + 0.z + D14.t = B6 0 0 0 D14 B6 
 
 512
410
6
1312
1110
14
37
11
5
97
31
13
87
21
12
24
11
4
64
31
11
54
21
10
441
111
3
4441
1411
9
4341
1311
8
4241
1211
7
331
111
2
3431
1411
6
3331
1311
5
3231
1211
4
221
111
1
2421
1411
3
2321
1311
2
2221
1211
1
BD
BD
B
DD
DD
D
BD
BD
B
DD
DD
D
DD
DD
D
BD
BD
B
DD
DD
D
DD
DD
D
ba
ba
B
aa
aa
D
aa
aa
D
aa
aa
D
ba
ba
B
aa
aa
D
aa
aa
D
aa
aa
D
ba
ba
B
aa
aa
D
aa
aa
D
aa
aa
D






 
 
 
 
 
 
36 
 
 Exemplo: 











11.2.3
19.5.2
20.5.2
7.4
tyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
 x y z t Ind. 











11.2.3
19.5.2
20.5.2
7.4
tyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
1 -1 4 -1 7 
1 -2 1 5 20 
2 5 1 1 19 
3 2 0 1 11 
 
 x - y + 4.z - t = 7 1 -1 4 -1 7 
0.x - y - 3.z + 6.t = 13 0 -1 -3 6 13 
0.x + 7.y -7.z + 3.t = 5 0 7 -7 3 5 
0.x + 5.y + 12.z + 4.t = -10 0 5 -12 4 -10 
 
 x - y + 4.z - t = 7 1 -1 4 -1 7 
0.x - y - 3.z + 6.t = 13 0 -1 -3 6 13 
0.x + 0.y + 28.z - 45.t = -96 0 0 28 -45 -96 
0.x + 0.y + 27.z -34.t = -55 0 0 27 -34 -55 
 
 x - y + 4.z - t = 7 1 -1 4 -1 7 
17.4  xtzyx
 
0.x - y - 3.z + 6.t = 13 0 -1 -3 6 13 
213.6.3  ytzy
 
0.x + 0.y + 28.z - 45.t = -96 0 0 28 -45 -96 
39645.28  ztz
 
0.x + 0.y + 0.z + 263.t = 1052 0 0 0 263 1052 
41052.263  tt
 
 
1052
5527
9628
263
3427
4528
55
105
131
34
45
61
27
125
31
96
57
131
45
37
61
28
77
31
10
113
71
4
13
11
12
03
41
5
23
11
5
192
71
3
12
11
7
12
41
7
52
11
13
201
71
6
51
11
3
11
41
1
21
11
614
51312
41110
3987
2654
1321








































BD
BDD
BDD
BDDD
BDDD
BDDD
 
 
 
 
 
37 
 
Aplicando a triangularização de Gauss , temos: 











11.2.3
19.5.2
20.5.2
7.4
tyx
tzyx
tzyx
tzyx
 ~ 











41052.263
396)4.(45.289645.28
213)4.(6)3.(313.6.3
17)4()3.(4)2(7.4
tt
zztz
yytzy
xxtzyx
 
 
Resolvendo o sistema a partir da terceira equação temos: t = 4 , z = 3, y = 2 e x = 1 . 
 
 
Método prático para determinar a matriz inversa (A-1) 
 
 Matriz quadrada de ordem 2 
 
Determine ( caso exista ) a matriz inversa de A = 





 
13
54 . 
Resolução : 
(A . A-1) = I2 

A





 
13
54 . 

1






A
dc
ba = 

I






10
01 , portanto resolvendo o produto geramos 
 
 dois sistemas lineares básicos: 







03
154
ca
ca e 







13
054
db
db 
 
Com isso, podemos montar o dispositivo prático de Gauss modificado. 
 
a c I1 I2 
b d 
4 -5 1 0 a e c b e d 
3 1 0 1 
3.a + c = 0 
19
1
 a
 3.b + d = 1 
19
5
 b
 
0 19 -3 4 
19.c = -3 
19
3
 c 
 19.d = 4 
19
4
 d
 
 
obtemos : a = 
19
1
 , b = 
19
5
 , c = 
19
3

 e d =
19
4
 . 
 
Logo, obtemos A-1 = 















19
4
19
3
19
5
19
1
 
 
 
 
 





03
154
ca
ca
 





13
054
db
db
 
38 
 
 Matriz quadrada de ordem 3 
 
Determinar a matriz inversa da matriz A do exemplo da turbinas eólicas : 
 
bXA
z
y
x
zyz
zyx
zyx








































2200
2000
2300
.
223
222
321
2200.2.2.3
2000.2.2.2
2300.3.2
 
 
(A . A-1) = I3 

IAA
ihg
fed
cba
































100
010
001
.
223
222
321
1
 , portanto resolvendo o produto 
geramos três sistemas lineares básicos: 







0.2.23
0.2.2.2
1.3.2
gda
gda
gda 








0.2.23
1.2.2.2
0.3.2
heb
heb
heb
 








1.2.23
0.2.2.2
0.3.2
ifc
ifc
ifc 
 
Aplicando o dispositivo prático de Gauss modificado, temos: 
 
a d g I1 I2 I3 
b e h 
c f i a , d , g b, e, h c, f, i 
1 2 3 1 0 0 
2 2 2 0 1 0 
3 2 2 0 0 1 
00.2.2.3  agda
 
10.2.2.3  bheb
 
11.2.2.3  cifc 
 -2 -4 -2 1 0 
 -4 -7 -3 0 1 
13.7.4  dgd
 
2/70.7.4  ehe
 
21.7.4  fif 
 -2 -2 4 -2 
12.2  gg 24.2  hh 12.2  ii 
 
 
obtemos : a = 0 , b = -1 , c = 1 , d =-1 , e = 7/2 , f = -2 , g = 1 , h = -2 , i = 1 
 
Logo, obtemos A-1 = 













121
22/71
110
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








0.2.23
0.2.2.2
1.3.2
gda
gda
gda
 








0.2.23
1.2.2.2
0.3.2
heb
heb
heb 








1.2.23
0.2.2.2
0.3.2
ifc
ifc
ifc 
39 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 
 
1 ) Resolva o sistema utilizando o método da triangularização de Gauss. 
 








1327
642
1143
)
zyx
zyx
zyx
a
 
431  zyx
 
 











33222
102243
223
72432
)
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
b 1210  wzyx 
 
2 ) Três novos dispositivos tecnológicos estão sendo produzidos por uma empresa. Desde o início 
da produção 1450 já foram fabricados. Os dispositivos que se utilizam de 5 transistores têm custo 
de produção de R$ 32,00 cada. Os que usam 3 transistores têm custo de R$ 28,00 e os que utilizam 
7 transistores têm custo de R$ 30,00, todos valores por unidade. 
Sabe-se que a quantidade de transistores utilizados foi de 6550 unidades e que o custo de 
produção chegou a R$ 43.320,00. Sendo assim : 
a) Modelar um sistema linear para a situação descrita acima . 
b) Usando a Regra de Cramer e a Triangularização de Gauss, determine quantos componentes 
independentemente foram produzidos. 
Resp. 








6550.7.3.5
43320.30.28.32
1450
zyx
zyx
zyx x = 540 y = 630 z = 280 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Métodos Iterativos para a Solução de Sistemas Lineares 
 
 
I) Introdução 
 
Ao lado dos métodos exatos para resolver sistemas lineares, existem os métodos 
iterativos os quais passamos a discutir agora. Em certos casos, tais métodos são melhores 
do que os exatos, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz esparsa 
(muitos elementos iguais a zero). Eles ainda são mais econômicos no sentido que utilizam 
menos memória do computador. Além disso, possuem a vantagem de se auto corrigir se 
um erro é cometido, e eles podem ser usados para reduzir os erros de arredondamento na 
solução obtida por métodos exatos, como discutido no tópico anterior. Podem também 
sob certas condições ser aplicado para resolver um conjunto de equações não lineares. 
Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximantes da solução, 
cada uma das quais obtida das anteriores pela repetição do mesmo tipo de processo. 
Um método iterativo é estacionário se cada aproximante é obtido do anterior sempre 
pelo mesmo processo. 
Quando os processos variam de passo para passo mas se repetem ciclicamente de k 
em k passos dizemos que o processo é k - cíclico. Agrupando-se os k passos de cada ciclo 
num único passo composto, obtemos um método estacionário. 
No caso de métodos iterativos precisamos sempre saber se a sequencia que estamos 
obtendo está convergindo ou não para a solução desejada. 
 
II) Iteração Linear – Método do Ponto Fixo (MPF) 
 
Determine as raízes da equação 
022  xx
 
 
 
a) Fórmula de Báskara : 
12 21  xx
 
 
b) Processo iterativo: 
 
Podemos expressar a equação dada na forma 
 xQx 
 
 











x
x
xx
xx
xx
2
1
2
2
02
2
2
 
41 
 
Admitindo que 
ox
 seja uma aproximação inicial para a raiz 
x
 de 
 xQx 
. Obtemos 
as aproximações sucessivas 
kx
 para a solução desejada 
x
 , usando o processo iterativo 
definido por: 
 kk xQx 1
 onde , k = 0, 1, . . . . 
Esse processo é chamado Método Iterativo Linear. 
Para que esse processo seja vantajoso, devemos obter aproximações sucessivas 
kx
, convergentes para a solução desejada 
x
 . Contudo, é fácil obter exemplos para os 
quais a sequência 
kx
 diverge. 
 
 b1) Considerando 22  xx e tomando 
5,2ox
 , determinar a raiz 
2x
 . . 
 Usando 
    221  kkk xxQx
 , temos: 
     
     
     


00391,2562025,1622
025,16225,421
25,425,220
22
223
22
112
22
001



xxQxk
xxQxk
xxQxk
 
Analisando os valores é óbvio que se trata de uma sequência divergente. Assim, a 
escolha de 
22  xx
 não produz um processo iterativo que seja convergente ou seja 
   kquandoxxk 
 
 
 
 
42 
 
b2) Considerando 2 xx e tomando 
5,2ox
 , determinar a raiz 
2x
 . 
 Usando 
  21  kkk xxQx
 , temos: 
 
 
 
 
 
 


0001173,220004692,225
0004692,220018771,224
0018771,220075118,223
0075118,220301035,222
0301035,221213203,221
1213203,25,425,220
556
445
334
223
112
001






xxQxk
xxQxk
xxQxk
xxQxk
xxQxk
xxQxk
 
 A forma 
  21  kkk xxQx 
produz um processo iterativo convergente para a 
solução 
2x
 ou seja 
   kquandoxxk
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
b3) Considerando 2 xx e tomando 
5,1ox
 , determinar a raiz 
1x
 . 
 Usando 
  21  kkk xxQx
 , temos: 
 
 
 
 
 
 
 


99561,0200877,126
00877,1298239,025
98239,0203492,124
03492,1292895,023
92895,0213705,122
13705,1270711,021
70711,05,025,120
667
556
445
334
223
112
001







xxQxk
xxQxk
xxQxk
xxQxk
xxQxk
xxQxk
xxQxk
 
 A forma 
  21  kkk xxQx 
produz um processo iterativo convergente 
para a solução 
1x
 ou seja 
   kquandoxxk
 
 
-2.0 -1.0 1.0
-2.0
-1.0
1.0
x
y
 
 
 
 
Critério de Parada para o MPF : 
 
No algoritmo do MPF , escolhe –se 
kx
 como raiz aproximada de 
x
 se: 
   precisãoxfseouxxQxx kxkkk    111 )( 
 
xo x2 
x
o 
xo x1 
44 
 
 OBS: 








11
11
kkkkkk
kkkkkk
xxxxquandoxxxx
xxxxquandoxxxx


 
 
III) Método iterativo para sistemas lineares: 
 
a) Introdução: 
 
 
A idéia central dos métodos iterativos é generalizar o MPF 
 
Seja o sistema linear A.X = b , onde : 
A: matriz dos coeficientes (n x n) ; 
X:vetor das variáveis ( n x 1); 
b: vetor dos termos constantes ; 
 Logo temos : 
gXCXXQXbXA  .)(.
 , onde 
gXCXQ  .)(
 é uma função de iteração dada na forma matricial. 
 
Dessa forma propõe – se o esquema iterativo, partindo de 
0x
 ( vetor aproximação 
inicial na forma matricial), por conseqüência temos: 
 
 
 
 
esaproximaçõk
oaproximaçãgXCXQX
oaproximaçãgXCXQX
oaproximaçãgXCXQX





0
223
0
112
0
001
3.
2.
1.
 
Em síntese a aproximação 
1kX
 é calculada pela fórmula : 
,.....2,1,0,.)(1  kgXCXQX kkk
 
Então 
  gCQX k
k


).()(lim 
 , dessa forma, 

 é vetor solução do 
sistema linear A.X = b . 
b) Critério de parada 
 
O processo iterativo é repetido até que o vetor 
1kX
 esteja suficientemente próximo 
do vetor 
kX
 . Calculamos a distância entre 
1kX 
 e 
kX
 por 
kkk XXmáxd  1
 . 
 Assim dada uma precisão 

, o vetor 
kx
 será escolhido como 
X
 , a solução 
aproximada da solução exata , se 
kd
 . 
Um outro critério seria definir o número máximo de iterações k 
 
45 
 
Método Iterativo de Gauss - Seidel 
 
O processo iterativo consiste em , sendo Xo uma aproximação inicial , 
calcular X1 , X2 , X3, ......., Xk+1, pela forma matricial : 
















nnnnnnn
n
n
n
n
batazayaxa
batazayaxa
batazayaxa
batazayaxa
batazayaxa
............
.........
.........
.........
.........
4321
4444434241
3334333231
2224232221
1114131211

 
bXA
b
b
b
b
b
n
t
z
y
x
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
b
n
XA
nnnnnn
n
n
n
n






























































..
.....
.....
.....
.....
.....
4
3
2
1
4321
444434241
334333231
224232221
114131211

  
 

























































0000
000
00
0
000
000
000
000
0
00
000
0000
sup:
:
inf:
3
223
11312
33
22
11
321
3231
21















n
n
n
nnnnn
a
aa
aaa
R
a
a
a
a
D
aaa
aa
a
L
nuladiagonalcomeriortriangularmatrizR
diagonalmatrizD
nuladiagonalcomeriortriangularmatrizL
RDLA
 
 
         
XRXLBX
XRDXLDbDXDDXRXLbDXDD
XRXLbXDbXRXDXLbXRDLbXA
RLBI
.
..........
........
11
111111
11





 
  





  




  




ID
nn
D
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
IDDse






















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





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
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


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
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
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















1000
0100
0010
0001
0000
0
000
000
000
.
1
000
0
1
00
00
1
0
0000
1
).( 33
22
11
33
22
11
1
1
 
46 
 
 

























nna
a
a
a
Do
1
000
0
1
00
00
1
0
0000
1
:log
33
22
11
1




 









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

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
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
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
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


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
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







































































































































nn
n
b
n
D
nn
n
n
n
R
n
n
n
D
nn
nn
n
nn
n
nn
n
L
nnn
D
nn
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
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a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
aaa
a
a
a
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a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
aaa
aa
a
a
a
a
a
LDL





  









  





  









  





  




000
000
000
0000
.
1
000
0
1
00
00
1
0
0000
1
.
0000
000
00
0
0000
000
00
0
.
1
000
0
1
00
00
1
0
0000
1
.
0
00
000
0000
0
00
000
0000
.
1
000
0
1
00
00
1
0
0000
1
.
33
3
22
2
11
1
3
2
1
33
22
11
1
33
3
22
2
22
23
11
1
11
13
11
12
3
223
11312
33
22
11
1
1
321
33
32
33
31
22
21
1
321
3231
21
33
22
11
1
1
1
1
1
 
  
X
R
n
n
n
X
L
nn
n
nn
n
nn
n
B
nn
n
X
n
t
z
y
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
t
z
y
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
n
t
z
y
x
XRXLBX





























































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















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





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









































  






  





  





.
0000
000
00
0
.
0
00
000
0000
000
000
000
0000
.
1
33
3
22
2
22
23
11
1
11
13
11
12
1
321
33
32
33
31
22
21
33
3
22
2
11
1
11
 
 
47 
 
Função de iteração do Método de Gauss – Seidel 
 
O algoritmo de Gauss – Seidel consiste em , dado 
0x
 , aproximação 
inicial , obter 
,.....,.....,,, 321 kXXXX
 através da relação recursiva : 
 
kkk XRXLBXXRXLBXbXA .... 111111  
 
 
 
  
           
gXCX
BLIXRLIXBXRLIXLILI
BXRXLIXRBXLXXRXLBX
Kk
g
K
C
kkk
I
kkkkkkkk










.
.......
.....