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1 Matrizes Definição: Matriz → Tabela Notação: colunaposiçãoj linhaposicãoi Amatrizdaelementosa matrizdaensão colunasdenúmeron linhasdenúmerom ondeaA mxnij : : : dim : : :][ Exemplos: A= 233231 2221 1211 x aa aa aa 33333231 232221 131211 x aaa aaa aaa A B = 31131211 x bbb 419 720 531 419 720 531 333231 232221 131211 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa aaa aaa A Exercícios: 1) Se 33][ xijaA logo 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A , determine os elementos da matriz tal que: jise jise aij 1 0 então identidadeMatriz aaa aaa aaa A 100 010 001 333231 232221 131211 2) Se 33][ xijaA logo 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A , determine os elementos da matriz tal que: jiseij jiseji aij então 612 141 212 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 3) Se 33][ xijaA logo 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A , determine os elementos da matriz tal que: jisej jisei a i j ij então 2793 942 321 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 2 TIPOS DE MATRIZES a) Matriz linha m = 1. Exemplo : A1X3 = )731( b) Matriz coluna n = 1. Exemplo : B3X1 = 5 2 1 c) Matriz nula (O) é aquela composta apenas por elemento “zero” . Exemplos : D = 2X3 00 00 00 d) Matriz quadrada quando m = n, é definida simplesmente como matriz “quadrada de ordem n” Exemplos : E = 33 261 136 021 x F = 22 52 31 x e) Matriz identidade (In) É uma matriz quadrada de ordem “n”, onde todos os elementos da diagonal principal são o algarismo “1” e todos os demais elementos são o algarismo “0”. Exemplos : I2 = 10 01 100 010 001 3I 1000 0100 0010 0001 4I f) Matriz transposta (At) Seja AmXn uma matriz qualquer ( Pode também ser uma matriz quadrada ), dizemos que sua “transposta” é a matriz AtnXm , ou seja, aquilo que era linha em A transforma-se em coluna em At e aquilo que era coluna em A transforma-se em linha em At . A = 33 359 872 401 x At = 33 384 570 921 x 23 32 14 53 02 150 432 x t x BB Obs: Quando temos as matrizes quadradas de ordem n, onde A = At, dizemos que A é matriz simétrica. 3 Ex : 3333 713 152 321 713 152 321 x t x BB g) Matriz oposta Seja AmXn uma matriz qualquer, chamamos de matriz oposta de A e indicamos ( –AmXn ), aquela matriz onde cada elemento correspondente ao da matriz A é o oposto a ele. Ex : 32 57 12 32 57 12 AA Adição de matrizes Sejam duas, ou mais, matrizes de mesma ordem, para que efetuemos a adição, é necessário somarmos os elementos correspondentes das matrizes. Exemplo: Tabela 1 : Precipitação acumulada em mm São Paulo Curitiba Rio Janeiro/2010 270 250 290 Agosto/2010 40 35 45 Nov/2010 115 105 120 33 120105115 453540 290250270 x A Tabela 2 : Precipitação acumulada em mm São Paulo Curitiba Rio Janeiro/2009 250 210 240 Agosto/2009 30 25 35 Nov/2009 95 85 110 33 1108595 352530 240210250 x B Tabela 3 : Precipitação acumulada total em mm ( 2009 – 2010) São Paulo Curitiba Rio Janeiro 520 460 530 Agosto 70 60 80 Nov 210 185 230 4 33 230190210 806070 530460520 x C Ou seja : C3x3 = A3x3 + B3x3 120105115 453540 290250270 C 1108595 352530 240210250 230190210 806070 530460520 Diferença de matrizes Exemplo: Tabela 4 : Amplitude da Precipitação acumulada em mm (2009 – 2010) São Paulo Curitiba Rio Janeiro 20 40 50 Agosto 10 10 10 Nov 20 20 10 33 102020 101010 504020 x D Ou seja : D3x3 = A3x3 + (- B3x3 ) 120105115 453540 290250270 D 1108595 352530 240210250 102020 101010 504020 Produto de um número por matriz: Exemplo: Tabela 5 : Precipitação acumulada média em mm (2009-2010) São Paulo Curitiba Rio Janeiro/2009 260 230 265 Agosto/2009 35 30 40 Nov/2009 105 95 115 Ou seja : E3x3 = 2 1 (A3x3 + B3x3) = 33. 2 1 xC 5 . 2 1 E 11595105 403035 265230260 230. 2 1 190. 2 1 210. 2 1 80. 2 1 60. 2 1 70. 2 1 530. 2 1 460. 2 1 520. 2 1 230190210 806070 530460520 C PRODUTO DE MATRIZES O Produto entre duas matrizes A e B ( nesta ordem ) só pode ser efetuado quando ambas satisfazem os requisitos da equação abaixo: Amxn . Bnxp = Cmxp Analisando esta equação, notamos que o produto A.B só existe se o número de colunas da primeira matriz (A) for igual ao numero de linhas da segunda matriz (B), no que resulta em uma terceira matriz (C) que possui o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz. Exemplo:A2X3 . B3X4 = C2X4 ( existe ) Repare agora que tomaremos as mesmas matrizes do primeiro exemplo, porém mudaremos a ordem, ao invés de (A.B), tentaremos efetuar (B.A) (B3X4 . A2X3 ) Note que o número de colunas da primeira matriz B não é igual ao numero de linhas da segunda matriz A, logo, não obtemos a matriz C = B.A. Portanto concluímos que não é válida a propriedade comutativa do produto de matrizes, pois existem matrizes A e B tais que A.B B.A. Caso ocorra uma situação onde A.B = B.A, dizemos que A e B comutam. Exemplo: Tabela A : Número de componentes por equipamento C1 C2 C3 C4 Eq1 2 4 5 3 Eq2 3 5 4 2 Eq3 4 3 3 5 5334 2453 3542 43xA 6 Tabela B : Custo de cada componente Componentes Custo (R$) C1 10 C2 20 C3 5 C4 15 15 5 20 10 14xB Tabela C : Custo total (CT) de cada equipamento em R$ Equipamentos CT (R$) Eq1 170)153()55()204()102( xxxx Eq2 180)152()54()205()103( xxxx Eq3 190)155()53()203()104( xxxx 13 13 190 180 170 x xC Ou seja : C3x1 = A3x4 .B4x1 Usando o dispositivo prático: B 15 5 20 10 A 5334 2453 3542 C xxxx xxxx xxxx CT CT CT 190 180 170 15553203104 15254205103 15355204102 3 2 1 Exercício Resolvido :mindet, 20 45 21 501 132 201 2333 eerBeASe xx 7 a) A3x3.B3x2 = (AB)3x2 20 45 21 121 1817 61 )5.20.42.1()5.00.51.1( )1.24.32.2()1.05.31.2( )2.20.41.2(2.00.51.1 501 132 201 fe dc ba b) (B.A) → não existe OBSERVAÇÃO: 3 2 1 5 . 2211 4263 1152 1521 3.2.2 2.4.2.6.3 1.5.2 5.5.2 ) . 12 11 8 . 311 132 121 12.3 11.3.2 8.2 ) 2 1 . 43 52 2.4.3 1.5.2 ) t z y x tzyx tzyx txyx tzyx c bXA z y x zyx zyx zyx b y x yx yx a bXA 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Dada a matriz A(3 x 3) , onde aij = i + 2.j, sendo assim determine as matrizes : a) A b) At c) (A.A) d) (A.At) e) (At.A) f) X , onde X + A = 3.At Respostas: 181716 131211 876 ) 19414698 14611074 987450 ) 155134113 13411698 1139883 ) 17213088 14811276 1249464 ) 987 765 543 ) 975 864 753 ) XfedcAbAa t 2. Sendo 46 25 13 054 312 BeA , determine as matrizes : a) At + B b) A + Bt c) 2.A+3.Bt d) (A.B) e) (B.A) f) (At.Bt) Respostas: 18159 2658 28210 ) 182628 1552 9810 ) 637 1229 ) 12165 12135 ) 473 341 ) 43 74 31 ) fedcba 3. Determine x , y e z tais que : a) xxyx zxyx 9 86 .2 b) 16 5 .3 .2.3 z yzyx yzyx Resp. a) x = 5 , y = 1 e z = 3 b) x = 1 , y = 1 e z = 2 4. Uma empresa possui duas confeitarias, denominadas de A e B , fabrica três tipos de bolos : B1 ,B2 e B3, os quais são feitos de farinha , açúcar, leite , manteiga e ovos. Tabela 1 : Demanda semanal em unidades B1 B2 B3 Confeitaria A 50 30 25 Confeitaria B 20 20 40 Tabela 2: Quantidade dos ingredientes Farinha (g) Açucar (g) Leite (ml) Manteiga (g) ovos B1 500 200 500 150 4 B2 400 100 300 250 5 B3 450 150 600 0 6 Analisando as tabelas , determine a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias semanalmente. Resposta: 4208000400001200036000 50015000490001675048250 9 Matriz Inversa ( A-1) Seja uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que a matriz inversa de A, indicada por A-1 é aquela tal que: Onde In é a matriz identidade de ordem n. Obs. : Nem todas as matrizes quadradas possuem “inversa”. Exemplo : ● Determine ( caso exista ) a matriz inversa de A = 13 54 . Resolução : A2 . A2 -1 = I2 13 54 . dc ba = 10 01 , portanto resolvendo o produto Temos dois sistemas lineares básicos: 0ca3 1c5a4 e 1db3 0d5b4 Resolvendo tais sistemas, obtemos : a = 19 1 , b = 19 5 , c = 19 3 e d = 19 4 . Logo, obtemos A-1 = 19 4 19 3 19 5 19 1 Obs -1 : Quando temos as matrizes quadradas de ordem n, onde A-1 = At, dizemos que A é matriz ortogonal . Obs -2 : Se In a matriz identidade de ordem n e An a matriz quadrada também de ordem n , logo (In .An) = (An.In) = An EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1) Determine a inversa das matrizes abaixo : a) 21 11 A resposta : 11 12 1A b) 22 23 A resposta : 5,11 11 1A An. An -1 = An -1 . An = In 10DETERMINANTES I. Definição: Em linhas gerais, um determinante, é um número associado à uma matriz quadrada de ordem n. Daí, seja uma matriz quadrada, o seu determinante é indicado por det A ou , ressaltando que não se refere a módulo. De que forma associamos um número (det) a uma matriz quadrada ?? O determinante de uma matriz é definido como a soma de todos os produtos elementares da matriz. Um produto elementar é o resultado da multiplicação de n entradas de uma matriz de dimensão n x n dos quais envolvem linhas diferentes e colunas diferentes Revisão sobre permutação: inversõestrês inversõesduas inversõesduas inversãouma inversãouma inversãonenhuma spermutaçõe inversõestrêsinversõesduasinversãouma inversõesduasinversãouma inversãonenhuma spermutaçõe )1,2,3( )2,1,3( )1,3,2( )3,1,2( )2,3,1( )3,2,1( 6 )1,2,3()2,1,3()3,1,2( )1,3,2()2,3,1( )3,2,1( 63,2,1 Permutações No de inversões paridade sinal (1,2,3) 0 Par + (1,3,2) 1 Impar - (2,1,3) 1 Impar - (2,3,1) 2 Par + (3,1,2) 2 Par + (3,2,1) 3 Impar - Seja A uma matriz quadrada de dimensão 3 : 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 11 Temos a seguinte tabela : Produto Elementar Permutações do “j” No de inversões paridade Sinal do Prod. Elementar 332211 .. aaa (1,2,3) 0 Par + 233211 .. aaa (1,3,2) 1 Impar - 331221 .. aaa (2,1,3) 1 Impar - 133221 .. aaa (2,3,1) 2 Par + 231231 .. aaa (3,1,2) 2 Par + 132231 .. aaa (3,2,1) 3 Impar - Logo: Sarrusdegra aa aa aa aaa aaa aaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaA aaaaaaaaaaaaaaaaaaA então aaa aaa aaa A aaa aaa aaa A Re 312213332112322311322113312312332211 312213322113312312332112322311332211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 3231 2221 1211 333231 232221 131211 ............det ............det :det - - - + + + OBS: Aplica – se a Regra de Sarrus SOMENTE para calcular o valor do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 12 II. Regras para se calcular o determinante: a ) Matriz quadrada de ordem 1 A1 = 1111 det aAa Exemplos : A = 5det5 A B = 10det10 B b ) Matriz quadrada de ordem 2 A = 2221 1211 aa aa det A = ( a11. a22 ) - ( a12. a21 ). Exemplo : C = 43 21 det C= = ( -1. 4 ) – [ 2. (-3) ] = - 4 + 6 det C= 2 3 ) Matriz quadrada de ordem 3 ( Regra de Sarrus ) A = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3231 2221 1211 333231 232221 131211 det aa aa aa aaa aaa aaa A Sinal ( - ) Sinal (+) Exemplo : B = 203 342 531 det B = 03 42 31 203 342 531 = 8 - 27 + 0 – 60 - 0 - 12 det B = - 91 Sinal (+) Sinal (-) 13 3 ) Matriz quadrada de ordem 4 ( Teorema de Laplace ) Podemos aplicar o Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de qualquer de ordem, porém, na prática, a utilizaremos quando o determinante for de ordem n 4. Vamos aqui, tomar um exemplo numérico e a,partir dele extrair os elementos necessários para o cálculo de um determinante de ordem 4, tal procedimento será estendido para qualquer determinante em que se possa aplicar “Laplace”. Exemplo : Seja a matriz A = 10244 2013 3124 5121 . Calcule 10244 2013 3124 5121 det A Resolução : Pelo “Laplace”, calculamos o valor do det usando o seguinte algoritmo recursivo: 1º Passo :Escolher uma fila ( Linha ou coluna ) do determinante, como sendo a base para nossos cálculos Esta escolha é arbitrária, porém mais adiante daremos uma sugestão, para facilitarmos os cálculos. Escolhendo, por exemplo, a segunda linha temos : 24232221 .3.1.2.4 10244 2013 3124 5121 det AAAAA cofatores 14 2º Passo : Calcular os valores dos cofatores . Sendo: ij ji ij DA .1 onde Dij é o determinante que se obtém ao eliminarmos a linha i e a coluna j referente ao elemento do qual estamos calculando o cofator. No nosso caso, os elemento envolvidos, referentes à segunda linha, são a21, a22, a23 e a24, então temos : A21 = (-1) 2+1. D21 = (-1) 3 . 1024 201 512 = - ( 0 ) A21 = 0 A22 = (-1) 2+2. D21 = (-1) 4 . 1024 203 511 = 4 A22 = 4 A23 = (-1) 2+3. D23 = (-1) 5 . 1044 213 521 = - (- 2) A23 = 2 A24 = (-1) 2+4. D24 = (-1) 6 . 244 013 121 = -2 A24 = - 2 3º Passo : Voltar ao determinante principal e substituir os cofatores. temos : 24232221 .3.1.2.4 10244 2013 3124 5121 det AAAAA = )2.(3)2.(1)4.(2)0.(4 det A = 8 + 2 – 6 = 4 DICA : Quando aplicar “Laplace” procure usar a “fila” que contenha a MAIOR QUANTIDADE de “ZEROS”, pois como você multiplica cada cofator por seu respectivo elemento, se este for zero, você não precisará calcular o cofator. 15 Teorema de Jacobi Adicionando – se a uma fila de uma matriz M , de ordem n , uma outra fila paralela , previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´ , tal que: det M´ = det M Exemplo anterior : 10244 2013 3124 5121 det A 41.2 0002 2013 3124 5121 ´det AA A41 = (-1) 4+1. D21 = (-1) 5 . 201 312 512 = - ( -2 ) A41 = 2 Logo : 4)2.(2.2 0002 2013 3124 5121 ´detdet 41 AAA x (-2) + 16 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1. Caso TODOS os elementos de uma fila de um determinante forem NULOS, o resultado deste será ZERO. Exemplos 0 060 270 430 0 436897 0000 4205 13108 2. Caso DUAS filas do determinante forem IGUAIS ou PROPORCIONAIS, o resultado deste será ZERO. Exemplos 0 271 271 432 0 4314897 220010 41035 116108 3. Caso UMA fila do determinante for COMBINAÇÃO LINEAR de outras filas, o resultado deste será ZERO. Exemplo 0 61376 4314897 41035 2341 4. O DETERMINANTE de uma matriz quadrada A é IGUAL ao determinante de sua matriz transposta At. Exemplo det A = 1 302 212 325 det At = 1 323 012 225 Linha 4 = Linha 1 + linha 2 17 5. Ao TROCARMOS de posição DUAS filas de um determinante, o resultado do NOVO determinante será o OPOSTO do resultado do primeiro. Exemplo det A = 036.2 1677 0982 0953 6422 det B = 036.2 7761 2890 3590 2246 6. Ao MULTIPLICARMOS TODOS os elementos de uma fila por um escalar k real, o resultado do NOVO determinante será o resultado do primeiro MULTIPLICADO por k. Exemplo 50 2302 2421 0142 1235 Seja k = 2 e multiplicando cada elemento da 1ª linha por este k, obtemos : )50.(2100 2302 2421 0142 24610 7. Caso TODOS os elementos situados ACIMA ou ABAIXO da DIAGONAL PRINCIPAL do determinante forem NULOS, o resultado do mesmo será o PRODUTO dos elementos da DIAGONAL PRINCIPAL. Exemplos 40 400 220 135 30 3687 0231 0015 0005 8. Vale a pena lembrar aqui, de forma rápida, dois pontos no estudo de determinantes que são de grande utilidade: • Teorema de Binet det (A.B) = det (A) . det(B). • Determinante de uma matriz inversa det A-1 = Adet 1 , com det A 0. 18 Determinar a matriz inversa usando o determinante : Sendo A uma matriz quadrada de ordem n , pode –se estabelecer : 0det. det 1 *1 AcomA A A Admitindo que (A.A*) = (det A).In nn n IA A AI A A A A IA A AA * ** . det 1 . det . det ).(det det . se A.A-1 = In , então *1* det 1 log det 1 . 1 A A AoIA A A n A onde : AdecofatoresdosmatrizaéAondeAA AdeadjuntaMatrizA t : : * * Exemplos : Matriz quadrada de ordem 2 : 3 2 11 12 611 24 . 2 1 . det 1 611 24 62 114 :log 66.122.1 1111.144.1 :2det 411 26 *1 * 2221 1211 22 22 12 21 21 12 11 11 2221 1211 A A A AAentão αα αα Ao αα αα αα αα AsendoAA t 2 1 det 1 det 1 A A 1det A 2 1 3 2 11 12 19 Matriz quadrada de ordem 3 : 19 5 19 11 1 19 8 19 10 1 19 4 19 5 1 51119 81019 4519 . 19 1 . det 1 51119 81019 4519 584 11105 191919 :log 5 13 12 .18 43 02 .14 41 01 .1 11 61 12 .110 51 02 .15 56 01 .1 19 61 13 .119 51 43 .119 56 41 .1 :19det 561 413 012 *1 * 333231 232221 131211 33 33 23 32 13 31 32 23 22 22 12 21 31 13 21 12 11 11 333231 232221 131211 A A A AAentão ααα ααα ααα Ao ααα ααα ααα ααα ααα ααα AsendoAA t 19 1 )det( 1 det 1 A A 1det:, AtemosSarrusAplicando 19 1 19 5 19 11 1 19 8 19 10 1 19 4 19 5 1 20 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule os determinantes abaixo: 1694 432 111 ) 1102 326 5,265 ) 245 312 713 ) 35 12 ) dcba Resp. a) 1 b) 2 c) 0 d) 2 2. Calcule o det , usando os Teoremas de Jacobi e de Laplace: 54321 03213 001106 00025 108643 ) 7531 15965 3523 5321 ) 75814 3366 2494 2135 ) cba Resp. a) 144 b) 12 c) 30 3. Usando a regra de Sarrus , determinar o x. 0 31 42 21 )0 11 11 11 )0 113 1.22 1 ) x x x c x x x b x x xx a Resp. a) x = 0,5 b) x = 0 ou x = 1 c) x = 0 ou x = - 2 4. Determinar x tal que : 3 3 : 4 .2.3 .2)1(.3 110 2)1( xresposta x xx xxx xx 5. Determine o x tal que: 1045 6253 2451 1100 110 00)2(0 300 x x x Resp: x = 0 ou x = 1 ou x = 2 6. Sendo 105 132 012 A , determine: a) a matriz A-1 resp: 4515 227 113 1A b) det A-1 resp. det A-1 = -1 21 SISTEMAS LINEARES – SL I) Definição : Um sistema linear é formado por um conjunto de m equações lineares, equações estas que se caracterizam por apresentarem todas as incógnitas com potência de grau um. Um SL com m equações e n variáveis é escrito usualmente na forma : );......;2;1(: );.....;2;1(var: )1,1(: : .... .... .... .... 332211 13333232131 22323222121 11313212111 mitesindependentermosb njiáveisx njmiescoeficienta onde bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa i j ij mnmnmmm nn nn nn A resolução de um SL consiste em calcular os valores de jx , caso eles existam , que satisfaçam as m equações simultaneamente. Usando a notação matricial , o sistema linear pode ser assim representado: A.x = b ou seja : b m X n A mnmmm n n n mnmnmmm nn nn nn b b b b x x x x aaaa aaaa aaaa aaaa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa 3 2 1 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 332211 13333232131 22323222121 11313212111 . .... .... .... .... A : é a matriz dos coeficientesX: é a matriz das variáveis b: é o vetor constante 22 II) Exemplo de aplicação na Engenharia Considere o seguinte problema. Quatro tipos de materiais particulados ( A , B, C e D) estão distribuídos por quatro provetas (1,2,3 e 4), e em cada proveta os materiais são dispostos em camadas, não misturadas, de modo que seja possível medir facilmente o volume de cada material em cada uma delas. Conforme ilustra a figura abaixo: Dado que possamos medir a massa total de cada proveta, e que saibamos a massa da proveta vazia, queremos calcular a densidade de cada um dos materiais. Para colocar o problema em termos matemáticos, chamemos os materiais de A, B, C e D, e suas densidades respectivas de ρA ,ρB ,ρC e ρD. Essas são as incógnitas do problema, números que queremos descobrir. Entre os dados disponíveis para resolvê – lo estão a massa conjunta dos quatro materiais em cada uma das provetas (numeradas de 1 a 4), que chamaremos de M1, M2, M3 e M4, já descontada a massa das provetas. Além disso, temos o volume de cada um dos materiais em cada uma das provetas. Sendo assim admitiremos : V1A, V1B, V1C e V1D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 1 V2A, V2B, V2C e V2D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 2 V3A, V3B, V3C e V3D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 3 V4A, V4B, V4C e V4D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 4 Como a densidade (ρ) é a razão entre massa e volume, logo a massa do material A na Proveta 1 é V1A .ρA . Estendendo esse raciocínio para os demais materiais, obtemos que a massa total M1 contida na Proveta 1 é 1 m D1D m C1C m B1B m A1A M . V + . V + . V + . V DCBA ρρρρ Considerando as quatro provetas, obteremos quatro equações: 23 4D4DC4CB4BA4A 3D3DC3CB3BA3A 2D2DC2CB2BA2A 1D1DC1CB1BA1A M = . V + . V + . V + . V M = . V + . V + . V + . V M = . V + . V + . V + . V M . V + . V + . V + . V ρρρρ ρρρρ ρρρρ ρρρρ Trata-se de um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas ( DCBA ρeρρρ ,, ) . Uma possível aplicação em Geotecnia seria a seguinte. Uma sonda faz o papel das provetas, e uma coluna de material é retirada, contendo materiais diferentes dispostos em camadas (pode ser até uma sonda coletando material gelado). A sonda permitiria medir a dimensão de cada camada, mas não poderíamos desmanchar a coluna para medir a densidade de cada material isoladamente, sob o risco de alterar a compactação. Exemplo de aplicação 1 – SL ordem 2 : A indústria MKM , localizada em são Paulo gasta o dobro de energia elétrica do que a sua filial em Campinas , e o depósito da fábrica em São Paulo gasta o triplo da energia elétrica do que a de campinas . No tempo do racionamento de energia elétrica, o empresário negociou com a concessionária e conseguiu uma cota mensal de 13.000 KWh para a soma dos consumos de seus dois estabelecimentos em São Paulo e de 5.000 KWh para a soma do consumo dos seus dois estabelecimentos em Campinas . Considerando que as cotas foram utilizadas em sua totalidade, calcule a soma dos consumos mensais dos dois depósitos . 1º PASSO: Elaborar uma Tabela : Cidade Indústria Depósito Total Campinas x y x + y =5000 SP 2.x 3.y 2.x + 3.y = 13.000 2º PASSO: Montar o sistema de equações lineares: MatricialFormaSL y x yx yx 13000 5000 . 32 11 000.13.3.2 5000 No caso geral em que o SL envolve m equações e n variáveis, apenas uma entre as situações abaixo irá ocorrer: i) Sistema é possível determinado – SPD (SL tem solução única) Exemplo anterior: retagraulinearfunçãoxy retagraulinearfunçãoxy yx yx o o 1 3 13000 . 3 2 15000 000.13.3.2 5000 2 1 24 A solução do SL dado é o ponto de intersecção das retas, ou seja : 3000log2000 3 1500013000 3 .2.3 5000 3 13000 . 3 2 3 13000 . 3 2 5000 21 yox xx xx xx yy y o par ordenado ( 2000;3000) é a solução do sistema 3000 x 2000 y2 y1 RESOLVENDO POR ESCALONAMENTO 3000.0 10000 ~ 13000.3.2 5000 20003000 3000.0 5000 ~ 000.13.3.2 000.10.22 ~ 000.13.3.2 )2(.5000 yx yx yx yx kWhxekWhy yx yx yx yx yx yx ii) Sistema é possível indeterminado - SPI (SL admite infinitas soluções) Exemplo : 3.26.2.4 3.23.2 2 1 xyyx xyyx As duas retas são coincidentes, ou seja existem infinitos pontos em comum entre as duas retas. y y2 y1 x 25 RESOLVENDO POR ESCALONAMENTO 0.0.0, 0.0.0 6.2 ~ 6.2.4 6.24 ~ 6.2.4 )2(.)3.2( yxequaçãoasatisfazyexqualquerpara yx yx yx yx yx yx iii) Sistema é impossível – SL não admite solução Exemplo : 4.28.2.4 3.23.2 2 1 xyyx xyyx No plano temos duas retas paralelas, ou seja em nenhum momento as duas se cruzam , logo o SL dado não admite solução. y y2 y1 4 3 x RESOLVENDO POR ESCALONAMENTO soluçãoadmitenãoyxequaçãoa yx yx yx yx yx yx ,2.0.0 2.0.0 6.2 ~ 8.2.4 6.24 ~ 8.2.4 )2(.3.2 26 Exemplo de aplicação 2 - SL de ordem 3 : Num parque eólico foram instalados três tipos de turbinas eólicas: T1 (de uma pá), T2 (de duas pás) e T3 (de três pás). A tabela abaixo ilustra a potência total gerada em função do número de turbinas instalada a diferentes alturas. Altura ( m ) T1 (uma pá) T2 (dois pás) T3 (três pás) Potencia total gerada (kW) 25 1 2 3 2300 50 2 2 2 2000 70 3 2 2 2200 Analisando a tabela , determine a potência gerada por cada turbina eólica. Admitindo que : x: Pot. da turbina T1 y: Pot. da turbina T2 z: Pot. da turbina T3 Temos a seguinte equações lineares: KWzzyx kWyyzyx kWxxzyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx ntoescalonameporsolvendo z y x zyx zyx zyx 500500.0.0 3002600)500.(4.22600.4.2.0 2002300500.3300.22300.3.2 ~ ~ 4700.74.0 )2.(2600.4.2.0 2300.3.2 ~ 2200.22.3 2600.4.2.0 )3(2300.3.2 ~ 2200.22.3 2000.2.2.2 )2(2300.3.2 :Re 2200 2000 2300 . 223 222 321 2200.22.3 2000.2.2.2 2300.3.2 Métodos Numéricos para Resolução de SL (n x n) Os métodos numéricos para resolução de um SL podem ser divididos em dois grupos: Métodos diretos : São aqueles que , a menos de erros de arredondamentos, fornecem a solução exata do SL, caso exista , após um número finito de operações. Regra de Cramer Triangularização de Gauss Métodos iterativos: geram uma sequencia de vetores , a partir de uma aproximação inicial ox . Sob certas condições esta sequencia converge para a solução , caso exista. Gauss – Seidel 27 I) REGRA DE CRAMER Este método , aplicado à resolução de sistema n x n envolve o cálculo de (n + 1) determinantes de ordem n . Se n for igual a 20 podemos mostrar que o número total de operações efetuadas será gigantesca, recorrendo a métodos mais eficientes, pois em geral os problemas práticos exigem a resolução de SL de grande porte, isto é , sistemas que envolvem um grande número de equações e variáveis. Exemplos: a) SL de ordem 2 : a1) 1º Maneira ).).(( det 1 ).).(( det 1 .).( det 1 . 0det)()(:).( det 1 .....).(. 13000 5000 . 32 11 000.13.3.2 5000 1 1 1 1111 bA A X bA A bA A bAX AeAAdjAondeAdjA A A bAXbAXIbAXAAbXA y x yx yx t t A t t I bXA 12 13 )()( 11 23 :log 11.)1(11.)1( 22.)1(33.)1( :1det 32 11 2221 1211 22 22 12 21 21 12 11 11 2221 1211 tAadjAentãoAo AsendoAA 28 3000 1 3000 2000 1 2000 detdet det det det det 130002 50001 313000 15000 . det 1 )130001()50002( )130001()50003( . det 1 13000 5000 . 12 13 det 1 ).).(( det 1 yx A Dy y A Dx x A Dy A Dx y x A Dy A Dx X A xx xx AA bA A X b A t t a2) 2º maneira : kW A Dy y o yx yx yx yx yx yx DyA 3000 det 32 11 130002 50001 )23( )1000013000( log ]5000).2(000.13).1[(.]1).2(3).1[(.0 5000 ~ )(~ 13000).1(.3).1(.2).1( 5000).2(.1).2(.1).2( ~ )1(000.13.3.2 )2(5000 130002 50001 32 11 det kWh A Dx x x yx yx yx yx yx yx yx yx yx DxA 2000 det 32 11 313000 15000 )23( )1300015000( ]13000).1(5000).3[(.]2).1(1).3[( 5000 ~ ]13000).1(5000).3[(.0].2).1(1).3[( 5000 ~ ~ ]5000).3(13000).1[().33(].1).3(2).1[( 5000 ~ )(~ 13000).1(.3).1(.2).1( 5000).3(.1).3(.1).3( ~ )1(000.13.3.2 )3(5000 313000 15000 32 11 det 29 b) SL de ordem 3 : A Dz z A Dy y A Dx x A Dz A Dy A Dx Dz Dy Dx A z y x θ A X Dz Dy Dx xxx xxx xxx θ θMatriz A AAdetranspostaMatriz AAA AAA AAA AAA AAA AAA A AcofatoresdosMatriz A θbAθObs θ A XbA A bA A bAX AeAAondeA A Asendo bAXbAXIbAXAA bXA z y x zyz zyx zyx θX bA t t xxx t x θ t A t t I bXA t x det det det det det det . det 1 . det 1 1000 600 400 22002()20004()23002( 22004()20007()23002( )22002()20002()23000( 2200 2000 2300 . 242 472 220 242 472 220 )( 2 22 21 .)1(4 22 31 .)1(2 22 32 .)1( 4 23 21 .)1(7 23 31 .)1(2 22 32 .)1( 2 23 22 .)1(2 23 22 .)1(0 22 22 .)1( 242 472 220 2det .: . det 1 ).)((. det 1 .).( det 1 . 0det)()(:).( det 1 ...... . 2200 2000 2300 . 223 222 321 2200.2.2.3 2000.2.2.2 2300.3.2 )( 33 33 23 32 13 31 32 23 22 22 12 21 31 13 21 12 11 11 333231 232221 131211 131333 13 1 **1 1111 13 1 30 Logo temos: kW A Dz zDz kW A Dy yDy kW A Dx xDx A A Dz z A Dy y A Dx x 500 2 1000 det 1000 23220023 22200022 21230021 220023 200022 230021 300 2 600 det 600 22003222003 20002220002 23001323001 222003 220002 323001 200 2 400 det 400 22300222200 22000222000 22300322300 222200 222000 322300 2 23223 22222 21321 223 222 321 det detdetdet EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1 ) Resolva os sistemas abaixo utilizando a regra de Cramer 1327 642 1143 ) zyx zyx zyx a 34.8.3 22.5 25.63 ) yx zyx zyx b 154 41.1024 33.823 ) zyx zyx zyx c 2) Numa usina elétrica são utilizados os gerados, 1 de grande porte, 2 médios e 3 de pequeno porte e juntos têm potência de 1.800 MW. Dois geradores de pequeno porte pifaram e foi preciso então aumentar um de médio porte onde a potência passou a ser de 1.750 MW. Num segundo momento fizeram uma reformulação na usina e passaram a utilizar dois geradores de cada tipo e a potência passou a ser de 2.100 MW. Sendo assim modele um sistema linear para o problema e determine a potência de cada gerador usando a regra de Cramer. Respostas: 1) a) 431 zyx b) 152 zyx c) 5,223 zyx 2) 2100.2.2.2 1750.3 1800.3.2 zyx zyx zyx MWzMWyMWx 200350500 31 I) TRIANGULARIZAÇÃO DE GAUSS A idéia do Método de Triangularização de Gauss é construir um sistema triangular equivalente ao sistema original, isto é, que tenha a mesma solução. Triangularizar um sistema consiste em escalonar o SL utilizando o determinante. DISPOSITIVO PRÁTICO DE GAUSS (D.P.G) Vamos usar o Dispositivo Prático de Gauss, que nada mais é do que um algoritmo que nos auxilia na resolução de grande parte dos sistemas lineares. Tal algoritmo consiste em dividir o sistema em matrizes quadradas de ordem 2 e resolver seus determinantes de modo a se obter um sistema equivalente triangularizado. Algoritmo de construção da tabela para um sistema linear (3 x 3) na forma genérica ~ ......0 ......0 ... ~ )).(...0( )).(...0( ... ~ ~ ...0 ...0 ... ~ ).()...()...(.0 ).()...()...(.0 ... ~ ~ ....... ).()...()...(.0 ...... ~ ~ )).(...( ).()..()...(.0 )).(...( ~ ~ ... ).()..()...(.0 ... ~ ~ ... ...... ...... ~ ... )).(...( )).(...( ~ ... ... ... 214131 132313 1131211 1243 3121 1131211 243 121 1131211 1313111331331112313211 1212111321112312211122 1131211 311331132113111 1212111321112312211122 131133112311131 113333231 1212111321112312211122 311131211 3333231 1212111321112312211122 1131211 3333231 211112311221121 121132112211121 3333231 112232221 211131211 3333231 2232221 1131211 BDzDDyDDx BDzDDyDDx bzayaxa DBzDyDx DBzDyDx bzayaxa BzDyDx BzDyDx bzayaxa babazaaaayaaaax babazaaaayaaaax bzayaxa bazaayaaxaa babazaaaayaaaax bazaayaaxaa abzayaxa babazaaaayaaaax abzayaxa bzayaxa babazaaaayaaaax bzayaxa bzayaxa bazaayaaxaa bazaayaaxaa bzayaxa abzayaxa abzayaxa bzayaxa bzayaxa bzayaxa 32 5 3 35 121 1131211 243 121 1131211 3333231 2232221 1131211 35 121 1131211 13212341 121 1131211 ..0.0 ...0 ... ~ ...0 ...0 ... ~ ... ... ... : ..0.0 ...0 ... ~ )..()...(.0.0 ...0 ... ~ D B zBzDyx ydocálculoBzDyDx xdocálculobzayaxa BzDyDx BzDyDx bzayaxa bzayaxa bzayaxa bzayaxa então BzDyx BzDyDx bzayaxa BDBDzDDDDyx BzDyDx bzayaxa x y z Ind. SL –1 Sistema dado Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 a11 a12 a13 b1 Linha 2 a21.x + a22.y + a23.z = b2 a21 a22 a23 b2 Linha 3 a31.x + a32.y + a33.z = b3 a31 a32 a33 b3 SL - 2 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 a11 a12 a13 b1 Linha 4 0.x + D1.y + D2.z = B1 0 D1 = 2221 1211 aa aa D2 = 2321 1311 aa aa B1 = 221 111 ba ba Linha 5 0.x + D3.y + D4.z = B2 0 D3 = 3231 1211 aa aa D4 = 3331 1311 aa aa B2 = 231 111 ba ba SL - 3 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 a11 a12 a13 b1 Linha 4 0.x + D1.y + D2.z = B1 0 D1 D2 B1 Linha 6 0.x + 0.y + D5.z = B3 0 0 D5 = 43 21 DD DD B3 = 23 11 BD BD Exemplo das turbinas eólicas : SL - 2 ( Linha 4 ) 2200.2.2.3 2600.4.2.0 2300.3.2 ~ 2200.2.2.3 ]2300).2(2000).1[(.]3).2(2).1[(.]2).2(2).1[(0 2300.3.2 ~ 2200.2.2.3 2000).1(.2).1(.2).1(.2).1( 2300).2(.3).2(.2).2(.1).2( ~ 2200.2.2.3 )1()2000.2.2.2( )2()2300.3.2( ~ 2200.2.2.3 2000.2.2.2 2300.3.2 121 20002 23001 22 31 22 21 zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx xzyx xzyx zyx zyx zyx BDD 33 SL – 2 (Linha 5) 2400.7.4.0 2600.4.2.0 2300.3.2 ~ ]2300).3(2200).1[(.]3).3(2).1[(.]2).3(2).1[(0 2600.4.2.0 2300.3.2 ~ 2200).1(.2).1(.2).1(.3).1( 2600.4.2.0 2300).3(.3).3(.2).3(.1).3( ~ )1()2200.2.2.3( )2600.4.2.0 )3()2300.3.2 ~ 2200.2.2.3 2600.4.2.0 2300.3.2 243 22003 23001 23 31 23 21 zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx xzyx zyx xzyx zyx zyx zyx BDD SL – 3 (Linha 6) : temosLogo 1000.2.0.0 2600.4.2.0 2300.3.2 ~ ]2600).4(4700).2[(.]4).4(7).2[(.00 2600.4.2.0 2300.3.2 ~ )4700).(2(.7).2(.4).2(.0 )2600).(4(.4).4(.2).4(.0 2300.3.2 ~ )2()4700.7.4.0( )4()2600.4.2.0( 2300.3.2 ~ 4700.7.4.0 2600.4.2.0 2300.3.2 12 47004 26002 74 42 zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx xzyx xzyx zyx zyx zyx zyx BD x y z Ind. SL –1 Sistema dado Linha 1 x + 2.y + 3.z = 2300 1 2 3 2300 Linha 2 2.x + 2.y + 2.z = 2000 2 2 2 2000 Linha 3 3.x + 2.y + 2.z =2200 3 2 2 2200 SL - 2 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 1 2 3 2300 Linha 4 0.x + D1.y + D2.z = B1 0 D1 = -2 D2 = -4 B1 = -2600 Linha 5 0.x + D3.y + D4.z = B2 0 D3 = -4 D4 = -7 B2 = -4700 SL - 3 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z = b1 1 2 3 2300 Linha 4 0.x + D1.y + D2.z = B1 0 -2 -4 -2600 Linha 6 0.x + 0.y + D5.z = B3 0 0 D5 = -2 B3 = -1000 34 kWzzyx kWyyzyx kWxxzyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx SLSLSL 500 2 1000 1000.2.0.0 3002600)500(4.22600.4.2.0 2002300)500.(3)300.(22300.3.2 : z ey , x de valoresdos Cálculo 1000.2.0.0 2600.4.2.0 2300.3.2 ~ 4700.7.4.0 2600.4.2.0 2300.3.2 ~ 2200.2.2.3 2000.2.2.2 2300.3.2 321 Exercício Determine a solução do SL dado usando o dispositivo prático de Gauss. 2 134 532 zyx zyx zyx x y z Ind. SL –1 Sistema dado Linha 1 2.x + 3.y – z = 5 2 3 -1 5 Linha 2 4.x – 3.y + z = 1 4 -3 1 1 Linha 3 x - y + z = 2 1 -1 1 2 SL - 2 Linha 1 2.x + 3.y – z = 5 2 3 -1 5 Linha 4 0.x -18.y + 6.z = -18 0 18 34 32 1 D 6 14 12 2 D 18 14 52 1 B Linha 5 0.x -5.y + 3.z = -1 0 5 11 32 3 D 3 11 12 4 D 1 21 52 2 B SL - 3 Linha 1 2.x + 3.y – z = 5 2 3 -1 5 Linha 4 0.x -18.y + 6.z = -18 0 -18 6 -18 Linha 6 0.x + 0.y -24.z = -72 0 0 24 35 618 5 D 72 15 1818 3 B 3 24 72 7224.0.0 2 18 36 36.1818)3.(6.1818.6180 153)2.(3.253.2 zzyx yyyzyx xxzyx A solução do SL é x = 1 , y = 2 e z = 3 35 Algoritmo de construção da tabela para um sistema linear (4 x 4) na forma genérica x y z t Ind. SL – 1 dado Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z + a14 .t = b1 a11 a12 a13 a14 b1 Linha 2 a21.x + a22.y + a23.z + a24 .t = b2 a21 a22 a23 a24 b2 Linha 3 a31.x + a32.y + a33.z + a34 .t = b3 a31 a32 a33 a34 b3 Linha 4 a31.x + a32.y + a33.z + a44 .t = b4 a31 a32 a33 a44 b4 SL -2 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z + a14 .t = b1 a11 a12 a13 a14 b1 Linha 5 0.x + D1.y + D2.z + D3.t = B1 0 D1 D2 D3 B1 Linha 6 0.x + D4.y + D5.z + D6 .t = B2 0 D4 D5 D6 B2 Linha 7 0.x + D7.y + D8.z + D9.t = B3 0 D7 D8 D9 B3 SL - 3 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z + a14 .t = b1 a11 a12 a13 a14 b1 Linha 5 0.x + D1.y + D2.z + D3.t = B1 0 D1 D2 D3 B1 Linha 8 0.x + 0.y + D10.z + D11.t = B4 0 0 D10 D11 B4 Linha 9 0.x + 0.y + D12.z + D13.t = B5 0 0 D12 D13 B5 SL- 4 Linha 1 a11.x + a12.y + a13.z + a14 .t = b1 a11 a12 a13 a14 b1 Linha 5 0.x + D1.y + D2.z + D3.t = B1 0 D1 D2 D3 B1 Linha 8 0.x + 0.y + D10.z + D11.t = B4 0 0 D10 D11 B4 Linha 10 0.x + 0.y + 0.z + D14.t = B6 0 0 0 D14 B6 512 410 6 1312 1110 14 37 11 5 97 31 13 87 21 12 24 11 4 64 31 11 54 21 10 441 111 3 4441 1411 9 4341 1311 8 4241 1211 7 331 111 2 3431 1411 6 3331 1311 5 3231 1211 4 221 111 1 2421 1411 3 2321 1311 2 2221 1211 1 BD BD B DD DD D BD BD B DD DD D DD DD D BD BD B DD DD D DD DD D ba ba B aa aa D aa aa D aa aa D ba ba B aa aa D aa aa D aa aa D ba ba B aa aa D aa aa D aa aa D 36 Exemplo: 11.2.3 19.5.2 20.5.2 7.4 tyx tzyx tzyx tzyx x y z t Ind. 11.2.3 19.5.2 20.5.2 7.4 tyx tzyx tzyx tzyx 1 -1 4 -1 7 1 -2 1 5 20 2 5 1 1 19 3 2 0 1 11 x - y + 4.z - t = 7 1 -1 4 -1 7 0.x - y - 3.z + 6.t = 13 0 -1 -3 6 13 0.x + 7.y -7.z + 3.t = 5 0 7 -7 3 5 0.x + 5.y + 12.z + 4.t = -10 0 5 -12 4 -10 x - y + 4.z - t = 7 1 -1 4 -1 7 0.x - y - 3.z + 6.t = 13 0 -1 -3 6 13 0.x + 0.y + 28.z - 45.t = -96 0 0 28 -45 -96 0.x + 0.y + 27.z -34.t = -55 0 0 27 -34 -55 x - y + 4.z - t = 7 1 -1 4 -1 7 17.4 xtzyx 0.x - y - 3.z + 6.t = 13 0 -1 -3 6 13 213.6.3 ytzy 0.x + 0.y + 28.z - 45.t = -96 0 0 28 -45 -96 39645.28 ztz 0.x + 0.y + 0.z + 263.t = 1052 0 0 0 263 1052 41052.263 tt 1052 5527 9628 263 3427 4528 55 105 131 34 45 61 27 125 31 96 57 131 45 37 61 28 77 31 10 113 71 4 13 11 12 03 41 5 23 11 5 192 71 3 12 11 7 12 41 7 52 11 13 201 71 6 51 11 3 11 41 1 21 11 614 51312 41110 3987 2654 1321 BD BDD BDD BDDD BDDD BDDD 37 Aplicando a triangularização de Gauss , temos: 11.2.3 19.5.2 20.5.2 7.4 tyx tzyx tzyx tzyx ~ 41052.263 396)4.(45.289645.28 213)4.(6)3.(313.6.3 17)4()3.(4)2(7.4 tt zztz yytzy xxtzyx Resolvendo o sistema a partir da terceira equação temos: t = 4 , z = 3, y = 2 e x = 1 . Método prático para determinar a matriz inversa (A-1) Matriz quadrada de ordem 2 Determine ( caso exista ) a matriz inversa de A = 13 54 . Resolução : (A . A-1) = I2 A 13 54 . 1 A dc ba = I 10 01 , portanto resolvendo o produto geramos dois sistemas lineares básicos: 03 154 ca ca e 13 054 db db Com isso, podemos montar o dispositivo prático de Gauss modificado. a c I1 I2 b d 4 -5 1 0 a e c b e d 3 1 0 1 3.a + c = 0 19 1 a 3.b + d = 1 19 5 b 0 19 -3 4 19.c = -3 19 3 c 19.d = 4 19 4 d obtemos : a = 19 1 , b = 19 5 , c = 19 3 e d = 19 4 . Logo, obtemos A-1 = 19 4 19 3 19 5 19 1 03 154 ca ca 13 054 db db 38 Matriz quadrada de ordem 3 Determinar a matriz inversa da matriz A do exemplo da turbinas eólicas : bXA z y x zyz zyx zyx 2200 2000 2300 . 223 222 321 2200.2.2.3 2000.2.2.2 2300.3.2 (A . A-1) = I3 IAA ihg fed cba 100 010 001 . 223 222 321 1 , portanto resolvendo o produto geramos três sistemas lineares básicos: 0.2.23 0.2.2.2 1.3.2 gda gda gda 0.2.23 1.2.2.2 0.3.2 heb heb heb 1.2.23 0.2.2.2 0.3.2 ifc ifc ifc Aplicando o dispositivo prático de Gauss modificado, temos: a d g I1 I2 I3 b e h c f i a , d , g b, e, h c, f, i 1 2 3 1 0 0 2 2 2 0 1 0 3 2 2 0 0 1 00.2.2.3 agda 10.2.2.3 bheb 11.2.2.3 cifc -2 -4 -2 1 0 -4 -7 -3 0 1 13.7.4 dgd 2/70.7.4 ehe 21.7.4 fif -2 -2 4 -2 12.2 gg 24.2 hh 12.2 ii obtemos : a = 0 , b = -1 , c = 1 , d =-1 , e = 7/2 , f = -2 , g = 1 , h = -2 , i = 1 Logo, obtemos A-1 = 121 22/71 110 0.2.23 0.2.2.2 1.3.2 gda gda gda 0.2.23 1.2.2.2 0.3.2 heb heb heb 1.2.23 0.2.2.2 0.3.2 ifc ifc ifc 39 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1 ) Resolva o sistema utilizando o método da triangularização de Gauss. 1327 642 1143 ) zyx zyx zyx a 431 zyx 33222 102243 223 72432 ) wzyx wzyx wzyx wzyx b 1210 wzyx 2 ) Três novos dispositivos tecnológicos estão sendo produzidos por uma empresa. Desde o início da produção 1450 já foram fabricados. Os dispositivos que se utilizam de 5 transistores têm custo de produção de R$ 32,00 cada. Os que usam 3 transistores têm custo de R$ 28,00 e os que utilizam 7 transistores têm custo de R$ 30,00, todos valores por unidade. Sabe-se que a quantidade de transistores utilizados foi de 6550 unidades e que o custo de produção chegou a R$ 43.320,00. Sendo assim : a) Modelar um sistema linear para a situação descrita acima . b) Usando a Regra de Cramer e a Triangularização de Gauss, determine quantos componentes independentemente foram produzidos. Resp. 6550.7.3.5 43320.30.28.32 1450 zyx zyx zyx x = 540 y = 630 z = 280 40 Métodos Iterativos para a Solução de Sistemas Lineares I) Introdução Ao lado dos métodos exatos para resolver sistemas lineares, existem os métodos iterativos os quais passamos a discutir agora. Em certos casos, tais métodos são melhores do que os exatos, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz esparsa (muitos elementos iguais a zero). Eles ainda são mais econômicos no sentido que utilizam menos memória do computador. Além disso, possuem a vantagem de se auto corrigir se um erro é cometido, e eles podem ser usados para reduzir os erros de arredondamento na solução obtida por métodos exatos, como discutido no tópico anterior. Podem também sob certas condições ser aplicado para resolver um conjunto de equações não lineares. Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximantes da solução, cada uma das quais obtida das anteriores pela repetição do mesmo tipo de processo. Um método iterativo é estacionário se cada aproximante é obtido do anterior sempre pelo mesmo processo. Quando os processos variam de passo para passo mas se repetem ciclicamente de k em k passos dizemos que o processo é k - cíclico. Agrupando-se os k passos de cada ciclo num único passo composto, obtemos um método estacionário. No caso de métodos iterativos precisamos sempre saber se a sequencia que estamos obtendo está convergindo ou não para a solução desejada. II) Iteração Linear – Método do Ponto Fixo (MPF) Determine as raízes da equação 022 xx a) Fórmula de Báskara : 12 21 xx b) Processo iterativo: Podemos expressar a equação dada na forma xQx x x xx xx xx 2 1 2 2 02 2 2 41 Admitindo que ox seja uma aproximação inicial para a raiz x de xQx . Obtemos as aproximações sucessivas kx para a solução desejada x , usando o processo iterativo definido por: kk xQx 1 onde , k = 0, 1, . . . . Esse processo é chamado Método Iterativo Linear. Para que esse processo seja vantajoso, devemos obter aproximações sucessivas kx , convergentes para a solução desejada x . Contudo, é fácil obter exemplos para os quais a sequência kx diverge. b1) Considerando 22 xx e tomando 5,2ox , determinar a raiz 2x . . Usando 221 kkk xxQx , temos: 00391,2562025,1622 025,16225,421 25,425,220 22 223 22 112 22 001 xxQxk xxQxk xxQxk Analisando os valores é óbvio que se trata de uma sequência divergente. Assim, a escolha de 22 xx não produz um processo iterativo que seja convergente ou seja kquandoxxk 42 b2) Considerando 2 xx e tomando 5,2ox , determinar a raiz 2x . Usando 21 kkk xxQx , temos: 0001173,220004692,225 0004692,220018771,224 0018771,220075118,223 0075118,220301035,222 0301035,221213203,221 1213203,25,425,220 556 445 334 223 112 001 xxQxk xxQxk xxQxk xxQxk xxQxk xxQxk A forma 21 kkk xxQx produz um processo iterativo convergente para a solução 2x ou seja kquandoxxk 43 b3) Considerando 2 xx e tomando 5,1ox , determinar a raiz 1x . Usando 21 kkk xxQx , temos: 99561,0200877,126 00877,1298239,025 98239,0203492,124 03492,1292895,023 92895,0213705,122 13705,1270711,021 70711,05,025,120 667 556 445 334 223 112 001 xxQxk xxQxk xxQxk xxQxk xxQxk xxQxk xxQxk A forma 21 kkk xxQx produz um processo iterativo convergente para a solução 1x ou seja kquandoxxk -2.0 -1.0 1.0 -2.0 -1.0 1.0 x y Critério de Parada para o MPF : No algoritmo do MPF , escolhe –se kx como raiz aproximada de x se: precisãoxfseouxxQxx kxkkk 111 )( xo x2 x o xo x1 44 OBS: 11 11 kkkkkk kkkkkk xxxxquandoxxxx xxxxquandoxxxx III) Método iterativo para sistemas lineares: a) Introdução: A idéia central dos métodos iterativos é generalizar o MPF Seja o sistema linear A.X = b , onde : A: matriz dos coeficientes (n x n) ; X:vetor das variáveis ( n x 1); b: vetor dos termos constantes ; Logo temos : gXCXXQXbXA .)(. , onde gXCXQ .)( é uma função de iteração dada na forma matricial. Dessa forma propõe – se o esquema iterativo, partindo de 0x ( vetor aproximação inicial na forma matricial), por conseqüência temos: esaproximaçõk oaproximaçãgXCXQX oaproximaçãgXCXQX oaproximaçãgXCXQX 0 223 0 112 0 001 3. 2. 1. Em síntese a aproximação 1kX é calculada pela fórmula : ,.....2,1,0,.)(1 kgXCXQX kkk Então gCQX k k ).()(lim , dessa forma, é vetor solução do sistema linear A.X = b . b) Critério de parada O processo iterativo é repetido até que o vetor 1kX esteja suficientemente próximo do vetor kX . Calculamos a distância entre 1kX e kX por kkk XXmáxd 1 . Assim dada uma precisão , o vetor kx será escolhido como X , a solução aproximada da solução exata , se kd . Um outro critério seria definir o número máximo de iterações k 45 Método Iterativo de Gauss - Seidel O processo iterativo consiste em , sendo Xo uma aproximação inicial , calcular X1 , X2 , X3, ......., Xk+1, pela forma matricial : nnnnnnn n n n n batazayaxa batazayaxa batazayaxa batazayaxa batazayaxa ............ ......... ......... ......... ......... 4321 4444434241 3334333231 2224232221 1114131211 bXA b b b b b n t z y x aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa b n XA nnnnnn n n n n .. ..... ..... ..... ..... ..... 4 3 2 1 4321 444434241 334333231 224232221 114131211 0000 000 00 0 000 000 000 000 0 00 000 0000 sup: : inf: 3 223 11312 33 22 11 321 3231 21 n n n nnnnn a aa aaa R a a a a D aaa aa a L nuladiagonalcomeriortriangularmatrizR diagonalmatrizD nuladiagonalcomeriortriangularmatrizL RDLA XRXLBX XRDXLDbDXDDXRXLbDXDD XRXLbXDbXRXDXLbXRDLbXA RLBI . .......... ........ 11 111111 11 ID nn D nn a a a a a a a a IDDse 1000 0100 0010 0001 0000 0 000 000 000 . 1 000 0 1 00 00 1 0 0000 1 ).( 33 22 11 33 22 11 1 1 46 nna a a a Do 1 000 0 1 00 00 1 0 0000 1 :log 33 22 11 1 nn n b n D nn n n n R n n n D nn nn n nn n nn n L nnn D nn a b a b a b a b b b b b a a a a bDB a a a a a a a a a a a a a aa aaa a a a a RDR a a a a a a a a a a a a L aaa aa a a a a a LDL 000 000 000 0000 . 1 000 0 1 00 00 1 0 0000 1 . 0000 000 00 0 0000 000 00 0 . 1 000 0 1 00 00 1 0 0000 1 . 0 00 000 0000 0 00 000 0000 . 1 000 0 1 00 00 1 0 0000 1 . 33 3 22 2 11 1 3 2 1 33 22 11 1 33 3 22 2 22 23 11 1 11 13 11 12 3 223 11312 33 22 11 1 1 321 33 32 33 31 22 21 1 321 3231 21 33 22 11 1 1 1 1 1 X R n n n X L nn n nn n nn n B nn n X n t z y x a a a a a a a a a a a a n t z y x a a a a a a a a a a a a a b a b a b a b n t z y x XRXLBX . 0000 000 00 0 . 0 00 000 0000 000 000 000 0000 . 1 33 3 22 2 22 23 11 1 11 13 11 12 1 321 33 32 33 31 22 21 33 3 22 2 11 1 11 47 Função de iteração do Método de Gauss – Seidel O algoritmo de Gauss – Seidel consiste em , dado 0x , aproximação inicial , obter ,.....,.....,,, 321 kXXXX através da relação recursiva : kkk XRXLBXXRXLBXbXA .... 111111 gXCX BLIXRLIXBXRLIXLILI BXRXLIXRBXLXXRXLBX Kk g K C kkk I kkkkkkkk . ....... .....
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