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DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Pulso retangular
Transformada de Fourier de x(t):
Obs.:
x(t)
t
A
T/2-T/2
x t( ) = A rect tTæèç öø÷ = A -T2 < t < T20 fora
ì
íï
îï
|X(f)|
f
AT
1/T-1/T 2/T 3/T-2/T-3/T
arg[X(f)]
f
180º
1/T
-1/T
2/T 3/T
-2/T-3/T
-180º
X f( ) = AT sen p f T( )p f Téëêê
ù
ûúú = ATsinc f T( )
sinc x( ) = sen p x( )p x
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Linearidade
Pulso exponencial duplo:
t1-1
x(t)
1
0,366
x t( ) =
exp -t( ) t > 0
0 t = 0
exp t( ) t < 0
ì
í
ïï
î
ïï
x1 t( ) = exp -t( ) t > 0
t1
x1(t)
1
0,366
X1 f( ) = exp -t( )exp - j2p ft( )0¥ò dt = 11+ j2p f
x2 t( ) = exp t( ) t < 0 X2 f( ) = exp t( )exp - j2p ft( )-¥0ò dt = 11- j2p f
t-1
x2(t)
1
0,366
x t( ) = x1 t( ) + x2 t( ) X f( ) = X1 f( ) + X2 f( ) = 21+ 2p f( )2
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Escalonamento no tempo
Pulso retangular:
x at( ) Û 1a X faæèç öø÷
x(t)
t1-1
1
|X(f)|
f0 1-1
2
a = 1/2
x(t)
t1/2-1/2
1
|X(f)|
f0 2-2
1
-1 1
a = 1
x(t)
t1/4-1/4
1
|X(f)|
f0
1/2
-2 2
a = 2
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Dualidade
Pulso sinc:
Pulso retangular: (função par)
Dualidade:
X(f)
fW-W
A/2W
1/2W
x(t)
t0 3/2W
A
1/W-1/W -1/2W-3/2W
xd t( ) = Asinc 2Wt( )
x t( ) = A rect tTæèç öø÷ Û X f( ) = ATsinc fT( )
xd t( ) = Asinc 2Wt( ) Û Xd f( ) = A2W rect f2Wæèç öø÷
X t( ) Û x - f( )
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Deslocamento no tempo
Pulso retangular deslocado:
Pulso retangular:
Então,
xa t( ) = A rect t -T 2Tæèç öø÷
xa(t)
tT
A
x(t)
tT/2-T/2
A
|X(f)|
f0 2/T-2/T
AT
1/T-1/T
x t( ) = A rect tTæèç öø÷ Û X f( ) = ATsinc fT( )
xa t( ) = A rect t -T 2Tæèç öø÷ Û Xa f( ) = ATsinc fT( )exp - jp fT( )
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Deslocamento em frequência
Pulso de radiofrequência limitado no tempo:
T
1/fc x(t)
t
A x t( ) = Arect tTæèç öø÷cos 2p fct( )
= A2 rect tT
æ
èç
ö
ø÷ exp j2p fct( ) + exp - j2p fct( )éë ùû
cos 2p fct( ) = 12 exp j2p fct( ) + exp - j2p fct( )éë ùû
rect tT
æ
èç
ö
ø÷ Û T sinc Tf( )
g t( )exp j2p fct( ) Û G f - fc( )Propriedade de deslocamento em frequência:
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
2/T
|X(f)|
f-fc fc
AT/2
X f( ) = AT2 sinc T f - fc( )éë ùû+ sinc T f + fc( )éë ùû{ }
x t( ) = Arect tTæèç öø÷cos 2p fct( )
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Propriedade da Diferenciação
Desejamos obter x(t) cuja transformada de Fourier X(f) possui a mesma forma.
Diferenciando X(f):
Vamos supor que x(t) satisfaça a equação:
Sabemos que (propriedade de diferenciação)
Então,
Assim, X(f) também deve satisfazer
dx t( )dt Û j2p fX f( )
- j2p tx t( ) Û dX f( )df
-2p tx t( ) Û 1j dX f( )df
dx t( )dt = -2p tx t( )
1j
dX f( )df = j2p fX f( ) ´ j( ) dX f( )df = -2p fX f( )
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Mas note que e possuem a mesma forma.
Então, x(t) e X(f) são funções matemáticas similares.
Logo, x(f) = X(f).
Assim, obtemos o pulso gaussiano:
x(t)
1
0,5
t0,47-0,47
x t( ) = exp -p t 2( ) Û X f( ) = exp -p f 2( )
dx t( )dt = -2p tx t( ) dX f( )df = -2p fX f( )
X(f)
1
0,5
f0,47-0,47
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Propriedade da Integração
Pulso triangular:
Note que Xa(0) = 0.
tT
AT
x(t)
-T
xa t( ) =
A para -T £ t < 0
-A para 0 £ t < T
0 fora
ì
íïï
îïï
xa(t)
t
T
A
-A
-T integrando
Xa f( ) = ATsinc fT( ) exp jp fT( ) - exp - jp fT( )éë ùû
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
xa t( )dt Û-¥tò Xa f( )j2p f + Xa 0( )2 d f( )Propriedade da Integração:
Usando a relação obtemos:
xa t( )dt Û-¥tò Xa f( )j2p f
sen q( ) = exp jq( ) - exp - jq( )éë ùûj2
X f( ) = Xa f( )j2p f
= ATsinc fT( ) exp jp fT( ) - exp - jp fT( )éë ùûj2p f
X f( ) = AT 2sinc2 fT( )
X(f)
f0 2/T-2/T
AT 2
-1/T 1/T
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Funções conjugadas
Parte real e imaginária de uma função no tempo:
x t( ) = Re x t( )éë ùû+ j Im x t( )éë ùû
x* t( ) = Re x t( )éë ùû- j Im x t( )éë ùû
x t( ) + x* t( ) = 2Re x t( )éë ùû Re x t( )éë ùû = 12 x t( ) + x* t( )éë ùû
x t( ) = Re x t( )éë ùû+ j Im x t( )éë ùû
x* t( ) = Re x t( )éë ùû- j Im x t( )éë ùû
x t( ) - x* t( ) = 2 j Im x t( )éë ùû Im x t( )éë ùû = 12 j x t( ) + x* t( )éë ùû
Re x t( )éë ùû Û 12 X f( ) + X * - f( )éë ùû
Im x t( )éë ùû Û 12 j X f( ) - X * - f( )éë ùû
x* t( ) Û X * - f( )
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Exemplo: Multiplicação no tempo
Pulso sinc truncado:
x t( ) = sinc 2Wt( ) rect tTæèç öø÷
sinc 2Wt( ) Û 12W rect f2Wæèç öø÷
rect tT
æ
èç
ö
ø÷ Û Tsinc fT( )
x1 t( ) x2 t( ) Û X1 l( ) X2 f - l( )dl-¥¥ò
x t( ) = sinc 2Wt( ) rect tTæèç öø÷ X f( ) = 12W rect l2Wæèç öø÷Tsinc f - l( )Téë ùûdl-¥¥ò
 X f( ) = T2W sinc f - l( )Téë ùûdl-WWò
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
 X f( ) = T2W sinc f - l( )Téë ùûdl-WWò
= T2W
sen p f - l( )Téë ùûp f - l( )T dl-WWò
Sabendo que a integral seno é dada por:
Obtemos:
Si u( ) = sen q( )q0uò dq
 X f( ) = 12pW Si pWT - p fT( ) +Si pWT + p fT( )éë ùû
Si(u)
u0
p/2
-p/2
-p-2p
p 2p
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Para T = 8:
x(t)
t0
1
T = 8/W
X(f)
f0 W
1/2W
-W
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Exemplo: Derivação de uma integral convolução no tempo
Seja a convolução:
Então,
Logo,
Analogamente,
x1 t( )* x2 t( ) Û X1 f( ) X2 f( )
ddt x1 t( ) * x2 t( )éë ùû Û j2p f X1 f( ) X2 f( )éë ùû
Û j2p fX1 f( )éë ùû X2 f( )
Û Á ddt x1 t( )éëê ùûú X2 f( )
ddt x1 t( ) * x2 t( )éë ùû = dx1 t( )dt * x2 t( )
ddt x1 t( ) * x2 t( )éë ùû = x1 t( ) * dx2 t( )dt
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Exemplo: Pulso retangular:
tt/2
V
x(t)
-t/2
f
V 
X(f)
1t 2t-1t-2t
B = 1/t
x t( ) = V para t < t 20 para t > t 2 
ì
íï
îï
 
X f( ) =Vt sen p f t( )p f t
Largura de faixa: B = 1/t (Hz)
DECOM-FEEC-UNICAMPEE-881 – Princípios de Comunicações I
Exemplo: Largura de faixa do canal B = 3 kHz e S/N = 1000 (30 dB) para ter
uma taxa de erro de bit (BER – Bit Error Rate) aceitável.
Taxa máxima de transmissão de dados:
C = 3000 log2(1+1000) = 30.000 bit/s
Acima desta taxa C, os erros não podem ser controlados!
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SOLUÇÃO:
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SOLUÇÃO:
(i)
(ii)
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SOLUÇÃO:
A transformada de Fourier de g(t) é:
Desta forma, a energia espectral do pulso será
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1. Considere um sistema de comunicações em banda base analógico com AWGN. O canal não introduz distorção e a densidade espectral de potência do ruído é N0/2 é igual a 10-9 W/Hz. O sinal de informação transmitido possui faixa de 4 kHz. No receptor, um filtro RC passa-baixas com largura de faixa de 8 kHz (3 dB) é utilizado paralimitar a potência de ruído na saída. Calcule a potência de ruído de saída.
Resposta em frequência do FPB-RC:
R
Cx(t) y(t)i(t)
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Ri t( ) + y t( ) = x t( )
RC dy t( )dt + y t( ) = x t( ) Trans. FourierÞ j2p fRCY f( ) +Y f( ) = X f( )
H f( ) = Y f( )X f( ) = 1j2p fRC +1 = 11+ j f80001RC = 2p ´8000 Hzéë ùûondePotência média do ruído de saída:
E n02 t( )éë ùû = N02 H f( ) 2 df-¥¥ò = N02 11+ j f8000
2
df =-¥¥ò N02 11+ f8000æèç öø÷
2 df-¥¥ò
= 2p × N02 ´8000 = 2p ×10-9 ´8000 = 25,1´10-6 Wéë ùû
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2. Calcule a faixa de transmissão BT e a potência necessária ST dos sistemas DSB, SSB e AM para transmitir um sinal de áudio com largura de faixa de 10 kHz e (SNR)0 = 40 dB. O canal introduz 40 dB de perda de potência e o ruído é AWGN com densidade espectral de potência N0/2 = 10-9 W/Hz. Assuma m = 0,5 para o AM.
DSB e AM: BT = 20 kHzSSB: BT = 10 kHz
Potência do Transmissor: 
DSB e SSB:
Perda de potência no canal = 40 dB, então:
SNR( )0 = SiN0W =104 40 dB( )
Si = N0W ´104 = 2´10-9 ´104 ´104 = 0,2 Wéë ùû
ST = 0,2 ´104 = 2.000 Wéë ùû
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Potência do Transmissor: 
AM:
Perda de potência no canal = 40 dB, então:
SNR( )0 = 13 SiN0Wæèç öø÷ =104
Si = N0W ´ 3´104 = 2´10-9 ´104 ´3´104 = 0,6 Wéë ùû
ST = 6.000 Wéë ùû
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3. Suponha que dispositivos não lineares estão disponíveis para os quais a corrente de saída i0 e a tensão de entrada vi estão relacionadas por:
a1 e a2 = ctes.
Explique como estes dispositivos podem ser usados para fornecer:
a) um modulador produto
b) um modulador de amplitude.
i0 = a1vi + a2vi3
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a) um modulador produto:
Entrada do dispositivo não linear:
m(t) = sinal mensagem
Saída do dispositivo não linear:
Relações utilizadas:
s t( ) = Acm t( )cos p fct( )
i0 = a1vi + a2vi3 = a1 Ac cos p fct( ) + m t( )éë ùû+ a2 Ac cos p fct( ) + m t( )éë ùû3
= a1 Ac cos p fct( ) + m t( )éë ùû+ 14 a2Ac3 Ac cos 3p fct( ) + 3cos p fct( )éë ùû
+ 32 a2 Ac3m t( ) 1+ cos 2p fct( )éë ùû+ 3a2Ac cos p fct( )m2 t( ) + a2m3 t( )
cos3 a( ) = cos2 a( )cos a( ) = 12 1+ cos 2a( )éë ùûcos a( ) = 12 cos a( ) + 12 cos 2a( )cos a( )
cos a( )cos b( ) = 12 cos a+ b( ) + cos a- b( )éë ùû
vi = Ac cos p fct( ) + m t( )
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Precisamos de um filtro passa-faixa centrado em fc e largura de faixa 2W que satisfaça:
fc – W > fc/2 + 2W Þ fc > 6W
Assumindo que m(t) está compreendida entre –W £ f £ W, então o espectro de i0 fica:
DSB-SCde interesse
-3fc/2 -fc -fc/2 fc/2 3fc/2fc
2W2W 4W 4W
W-W-3W 3W
I0(f)
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b) modulador em amplitude:
Para gerar uma onda AM basta somar uma portadora à onda DSB-SC.
A0 usado para controlar o índice de modulação. 
i0 = a1 Ac cos p fct( ) + m t( )éë ùû+ 14 a2Ac3 Ac cos 3p fct( ) + 3cos p fct( )éë ùû
+ 32 a2Ac3m t( ) 1+ cos 2p fct( )éë ùû   + 3a2Ac cos p fct( )m2 t( ) + a2m3 t( )
3
2 a2Ac3m t( ) + 32 a2Ac3m t( )cos 2p fct( )
onda AM = Ac 1+ A0m t( )éë ùûcos 2p fct( )
Soma-se a portadora: Accos(2pfct)
Ac cos 2p fct( ) + 32 a2 Ac3m t( )cos 2p fct( ) = Ac 1+ 32 a2Ac2m t( )éëê ùûúcos 2p fct( ) 
A0
 
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4. Considere o sinal AM modulado por um tom:
Suponha que o m = 2 e que fc >> fm. Este sinal é aplicado a um detector de envoltória produzindo v(t).
a) Represente v(t) em série de Fourier.
b) Qual é a razão entre a amplitude da segunda harmônica e da fundamental de v(t) .
s t( ) = Ac 1+ m cos 2p fmt( )éë ùûcos 2p fct( )
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a) v(t) em série de Fourier.
Saída do detector de envoltória:
v t( ) = Ac 1+ m cos 2p fmt( )
v t( ) = Ac 1+ 2cos 2p fmt( )
2Ac cos 2p fmt( )
2Ac
1/2fm
1/fm t
v t( ) = a0 + 2 an cos 2pnfmt( )n=1¥å
Ac + 2Ac cos 2p fmt( )
3Ac
1/2fm
1/fm t
Ac
1/3fm 2/3fm
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a0 = 2 fm v t( )dt01 2 fmò = 2 fm Ac + 2Ac cos 2p fmt( )éë ùûdt01 3 fmò + 2 fm -Ac - 2Ac cos 2p fmt( )éë ùûdt1 3 fm1 2 fmò
= Ac3 + 4Acp sen 2p3
æ
èç
ö
ø÷
an = 2 fm v t( )cos 2pnfmt( )dt01 2 fmò
= 2 fm Ac + 2Ac cos 2p fmt( )éë ùûcos 2pnfmt( )dt01 3 fmò
+2 fm -Ac - 2Ac cos 2p fmt( )éë ùûcos 2pnfmt( )dt1 3 fm1 2 fmò
= Acnp 2sen 2pn3
æ
èç
ö
ø÷- sen pn( )éëê ùûú+ Acn+1( )p 2sen 2p n+1( )3æèçç
ö
ø÷÷- sen p n+1( )( )éëêê ùûúú+
+ Acn-1( )p 2sen 2p n-1( )3æèçç
ö
ø÷÷- sen p n-1( )( )éëêê ùûúú
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b) Para n = 1:
Para n = 2:
Razão segunda harmônica por fundamental:
a1 = Ac 32p + 13
é
ëêê
ù
ûúú
a2 = Ac 32p
a2a1 =
Ac 32p
Ac 32p + 13
é
ëêê
ù
ûúú
= 32p 6p3 3 + 2p( ) = 3 33 3 + 2p