Apostila de CAD_Modficado

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Comunicações Analógicas e Digitais
Coordenação do Curso de Telecomunicações
19 de Fevereiro de 2015
SUMÁRIO
1 Unidades de Medidas 6
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Decibel (dB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 dBmW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 dBW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 dBr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 dBm0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 dBu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Filtros 19
2.1 Filtros Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Filtro Passa-Baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Filtro Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Filtro Passa-Faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Filtro Rejeita-Faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Filtros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Revisão de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Características dos Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Tecnologia de Fabricação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Reatância Capacitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.5 Reatância Indutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.6 Circuitos Seletores de Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Análise de Sinais 32
3.1 Movimento Harmônico Simples (MHS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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Sumário
3.2 A Série Trigonométrica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Cálculo do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Cálculo dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Simplificações da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Análise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Espectro de Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Espectro de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3 Espectro de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Transmissão em Banda Básica 46
4.1 Condificação de Fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.2 Quantização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.3 Codificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.4 Embaralhamento e Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Codificação do Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Codificação de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Regeneração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Interferência em Sistemas de Telecomunicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.1 Relação Sinal-Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2 Figura de Ruído de um Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliografia 54
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LISTA DE FIGURAS
1.1 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Primeiro Exemplo de Aplicação do dBr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Segundo Exemplo de Aplicação do dBr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Filtro Passa-Baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Filtro Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Filtro Passa-Faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Filtro Rejeita-Faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Reta dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Reta dos Números Imaginários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Plano de Argand-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10 Curva de Resposta de um Filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.11 Circuito Capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.12 Circuito Indutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.13 Filtro RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.14 Filtro RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Diagrama de um MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Projeção de um MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Exemplos de Função Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Exemplos de Função Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.8 Defasagem entre o seno e o cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Processo de Transmissão em Banda Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Processo da Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Processo da Quantização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
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Comunicações Analógicas e DigitaisLista de Figuras
4.4 Exemplo de Quantizador Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Codificação AMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Codificação HDB-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7 Classificação das Perturbações em Transmissões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
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LISTA DE TABELAS
1.1 Valores em dBW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Fator de Correção K(dB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Resposta em frequência do Filtro RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Resposta em frequência do Filtro RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Tabela de Amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
CAPÍTULO 1
UNIDADES DE MEDIDAS
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Unidades de Medidas
1.1 Introdução
As unidades de medidas devem ser escolhidas de modo que os resultados numéricos sejam mais fáceis
de serem manuseados. Por exemplo, para grandeza de comprimento, as estradas são medidas em quilômetros (km)
seria pouco prático dizer que uma estrada tem 1.200.000 cm ao invés de 12 km de comprimento.
1 km −→ 1.000 m
12 km −→ x m
x =
12 km × 1.000 m
1 km
x = 12.000 m
1 m −→ 100 cm
12.000 m −→ x cm
x =
12.000 m × 100 cm
1 m
x = 1.200.000 cm
Em nosso caso particular, telecomunicações, a potência de um sinal elétrico tem como grandeza o Watt
(W), os seus múltiplos e submúltiplos, sendo o miliwatt (mW) a unidade que mais se adapta às medidas de potência
elétrica em sistemas de telecomunicações.
Entretanto, mesmo o mW, em alguns casos é inconveniente como medida de potência em telecomuni-
cações, pois a potência média de voz de diversas pessoas pode variar dentro de amplo limites, como, por exemplo,
de um valor muito baixo (uma pessoa falando baixo produz 0,001 µW), falando normalmente (10 µW) e gritando
(1∼ 2 mW).
0,001 µW = 0,000.000.001 W = 1 × 10−9 W
10 µW = 0,000.01 W = 1 × 10−5 W
1 mW = 0,001 W = 1 × 10−3 W
1 × 10−3
1 × 10−9 = 1 × 10
6 = 1.000.000
Esta variação extensa é pouco prática para ser medida através de medidores de escalas lineares. Este
problema pode ser resolvido com o uso do logaritmo.
1.2 Logaritmo
Se x = by, então y é chamado logaritmo de x na base b, e escrevemos y = logb x. Um esboço do gráfico
da função f (x) = logb x (figura 1.1) revela que f é contínua no intervalo (0,∞).a
f (x)
x
1 b
1
Figura 1.1: Função Logarítmica
Note que o logaritmo de x na base b nada mais é que o expoente ao qual se deve elevar o número b para
se obter x.
a[Munem e Foulis 1982]
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Unidades de Medidas
Exemplos:
102 = 100 −→ log10 100 = 2
103 = 1000 −→ log10 1000 = 3
25 = 32 −→ log2 32 = 5
1.2.1 Propriedadesb
Algumas das propriedades do logaritmo.
1) loga 1 = 0
loga 1 = x −→ ax = 1 −→ x = 0.
2) loga a = 1
loga a = x −→ ax = a −→ x = 1.
3) loga (x · y) = loga x + loga y
log10 (2 · 3) −→ log10 2 + log10 3 −→ 0,3 + 0,48 ≃ 0,78.
log10 6 ≃ 0,78.
4) loga (x/y) = loga x − loga y
log10 (5/4) −→ log10 5 − log10 4 −→ 0,7 − 0,6 ≃ 0,1.
log10 (5/4) ≃ 0,1.
5) loga xy = y × loga x
log10 8 −→ log10 23 −→ 3 × log10 2 −→ 3 × 0,3 ≃ 0,9.
log10 8 ≃ 0,9.
6) logy x = loga x/ loga y
log2 8 −→ log10 8/ log10 2 −→ 0,903.089.986.9920,301.029.995.664 = 3
log2 8 = 3
Generalizando, o logaritmo utilizado na área de telecomunicações é o logaritmo de base 10, que é
representado simplesmente por “log”, ou seja: log10 x = log x.
Exercícios Resolvidos
Calcule os logaritmos abaixo:
a) log 1
b) log5 25
c) log3 81
d) log 10000
e) log5 625 + log 100 − log3 27
f) Considerando-se que o log7 10 = 1,183.3. Qual é o log7 70?
g) Calcule o log3 5, sabendo que o log3 45 = 3,464.974.
b[Didática 2018]
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Respostas:
a) log 1 = x −→ 10x = 1 −→ x = 0.
b) log5 25 = x −→ 5x = 25 −→ 5x = 52 −→ x = 2.
c) log3 81 = x −→ 3x = 81 −→ 3x = 34 −→ x = 4.
d) log 10000 = x −→ 10x = 10000 −→ 10x = 104 −→ x = 4.
e) Vamos calcular cada logaritmo separadamente e depois realizar as operações aritméticas.
log5 625 = x −→ 5x = 625 −→ 5x = 54 −→ x = 4;
log 100 = x −→ 10x = 100 −→ 10x = 102 −→ x = 2;
log3 27 = x −→ 3x = 27 −→ 3x = 33 −→ x = 3;
R = 4 + 2 − 3 = 3.
f) Para a solução deste problema vamos recorrer a propriedade do logaritmo de um produto, pois através dela
podemos montar uma outra expressão com dois logaritmo conhecidos.
log7 70 = log7 (7 · 10) −→ log7 70 = log7 7 + log7 10 −→ log7 70 = 1 + 1,183.3 = 2,183.3.
g) Novamente, para solucionarmos este problema, vamos recorrer a uma das propriedades dos logaritmos. Uma
forma de, partindo de 45, chegarmos a 5 é dividirmos 45 por 9.
log3 5 = log3
(
45
9
)
−→ log3 5 = log3 45 − log3 9 −→ log3 5 = 3,464.974 − 2 = 1,464.974.
1.3 Decibel (dB)c
O decibel surgiu da necessidade de representar números muito grandes ou muito pequenos sem a ne-
cessidade de colocar muitos “zeros”. O decibel em homenagem ao pesquisador Graham Bell não é uma unidade
como o “metro” ou o “segundo”, pois um valor em dB deve sempre ser medido tendo um valor arbitrário como
referência, isto é, um número dividido por outro. Portanto 20 dB podem significar 55 dB em outro referencial. Esse
valor significa o quanto maior ou menor é um número quando comparamos com um valor de referência. O cálculo
pode ser feito da seguinte forma:
O decibel (dB) é a medida da razão entre duas quantidades, sendo usado para uma grande variedade de
medições em acústica, física, eletrônica e telecomunicações. O decibel é a unidade de medida logarítmica utilizada
em telecomunicações. É uma unidade de medida adimensional, semelhante à porcentagem. A definição do dB é
obtida como o logaritmo de uma razão de potências, da seguinte maneira:
G(dB) = 10 · log
(
Ps
Pe
)
(1.1)
Onde:
G = Ganho do quadripolo
Ps = Potência de Saída do quadripolo
Pe = Potência de Entrada do quadripolo
Quando o quadripolo apresentar um ganho (Ps > Pe), G > 0. Quando o quadripolo apresentar uma
atenuação (Ps < Pe), G < 0.
c[Malvino e Bates 1997]
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Exemplos:
a) Ps = 1.000 W, Pe = 1 W
G(dB) = 10 · log
(
1.000
1
)
−→ 10 · log 1.000 −→ 10 · 3
G(dB) = 30 dB
log 1.000 = x −→ 10x = 103 −→ x = 3
b) Ps = 100 W, Pe = 1 W
G(dB) = 10 · log
(
100
1
)
−→ 10 · log 100 −→ 10 · 2
G(dB) = 20 dB
log 100 = x −→ 10x = 102 −→ x = 2
Exercícios:
1) Calcule o valor de G(dB) para algumas relações de potências:
a) Ps = 10 W, Pe = 1 W
b) Ps = 8 W, Pe = 1 W
c) Ps = 4 W, Pe = 1 W
d) Ps = 2 W, Pe = 1 W
e) Ps = 1 W, Pe = 1 W
f) Ps = 1 W, Pe = 2 W
g) Ps = 1 W, Pe = 4 W
h) Ps = 1 W, Pe = 8 W
i) Ps = 1 W, Pe = 10 W
j) Ps = 1 W, Pe = 100 W
k) Ps = 1 W, Pe = 1 kW
l) Ps = 1 W, Pe = 10 kW
m) Ps = 1 W, Pe = 100 kW
n) Ps = 1 W, Pe = 1 MW
2) Calcule o ganho do quadripolo, veja a figura ao lado:
a) Quando P1 = P2:
b) Quando P1 = 10 mW e P2 = 40 mW:
P1 P2
3) Calcule o ganho do amplificadord, veja a figura ao lado:
a) Quando P1 = 10 mW e P2 = 40 mW:
b) Quando P1 = 25 W e P2 = 100 W:
P1 P2
4) Calcule o ganhoou atenuação dos quadripolos cujas relações de potências estão citadas abaixo:
a) Pe = 10 mW e Ps = 1 W
b) Pe = 500 mW e Ps = 2 W
c) Pe = 4 W e Ps = 1 W
d) Pe = 1 W e Ps = 20 mW
dComo pode ser observado, o ganho do exercício 3.a é igual ao ganho do exercício 3.b, apesar das potências absolutas envolvidas serem
diferentes. É importantíssimo que fique bem claro que a unidade dB se refere a comparação entre duas potências, tensões ou correntes, não
exprimindo nenhum valor absoluto.
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Unidades de Medidas
1.4 dBmWe
Uma potência arbitrária P(W) poderá ainda ser expressa em relação a um valor de referência fixo.
Esta potência de referência pode ser a mais variada possível, de acordo com o propósito a que se destina. Em
telecomunicações, a potência de referência é 1 mW.
Desta forma, define-se o dBm, como sendo dez vezes o logaritmo da razão entre a potência P(W) em
questão e 1 mW. Matematicamente, temos:
P(dBm) = 10 · log
(
P(W)
1 mW
)
(1.2)
Exemplos:
a) Transforme 1 kW em dBm:
P(dBm) = 10 · log
(
1 kW
1 mW
)
−→ 10 · log 10310−3 −→ 10 · log 10
6 −→ 10 · 6
P(dBm) = 60 dBm
log 106 = x −→ 10x = 106 −→ x = 6
b) Transforme 50 dBm em W:f
P(W) = 10
(
P(dBm)
10
)
× 10−3 −→ 10( 5010 ) × 10−3 −→ 105 × 10−3 −→ 102
P(W) = 100 W
Exercícios:
1) Complete o quadro abaixo transformando de P(W) em P(dBm):
a) P = 100 W
b) P = 10 W
c) P = 1 W
d) P = 100 mW
e) P = 10 mW
f) P = 4 mW
g) P = 2 mW
h) P = 500 µW
i) P = 250 µW
j) P = 125 µW
k) P = 100 µW
l) P = 10 µW
m) P = 1 µW
n) P = 100 nW
o) P = 1 nW
p) P = 100 pW
q) P = 10 pW
r) P = 1 pW
2) Complete o quadro abaixo transformando de P(dBm) em P(W):
a) P = 40 dBm
b) P = 20 dBm
c) P = 9 dBm
d) P = 0 dBm
e) P = 3 dBm
f) P = −3 dBm
g) P = −6 dBm
h) P = −9 dBm
i) P = −20 dBm
j) P = −30 dBm
k) P = −40 dBm
l) P = −70 dBm
Observação Importante:
É importante que fique claro que níveis absolutos em dBm nunca podem ser somados ou subtraídos,
visto que o logaritmo não é um operador linear. O valor da potência em dBm só pode ser somado à dB.
eUsualmente chamado dBm.
fDeve-se explicitar a equação 1.2 como função de P(W).
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Exemplos:
a) 20 dBm + 20 dBm:
P(W) = 10
(
P(dBm)
10
)
× 10−3
P(W) = 10(
20
10 ) × 10−3
P(W) = 102 × 10−3
P(W) = 10−1 = 100 mW
20 dBm + 20 dBm = 100 mW + 100 mW = 200 mW
...
P(dBm) = 10 · log
(
200 mW
1 mW
)
P(dBm) = 10 · log 200
P(dBm) = 10 · 2,3 = 23 dBm
O valor de potência em dBm só pode ser somado à dB. 20 dBm + 3 dB = 23 dBm, onde:
3 dB é o dobro da potência.
20 dBm é igual a 100 mW.
23 dBm é igual a 200 mW que é o dobro de 100 mW.
b) 20 dBm + 20 dB
20 dBm = 100 mW
20 dB⇒ × 100
Logo, 100 mW × 100 = 10.000 mW = 10 W
...
20 dBm + 20 dB = 40 dBm
P(W) = 10
(
P(dBm)
10
)
× 10−3
P(W) = 10(
40
10 ) × 10−3
P(W) = 104 × 10−3
P(W) = 101 = 10 W
Exercícios:
1) Prove as seguintes operações:
a) 18 dBm + 12 dB = 30 dBm
b) 40 dBm − 30 dBm = 39,54 dBm
c) 10 dBm + 6 dBm = 11,46 dBm
d) 20 dBm − 3 dB = 17 dBm
e) 20 dBm + 12 mW = 20,49 dBm
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1.5 dBW
No dBW, a unidade de referência é 1 W. A potência em dBW é encontrada pela seguinte equação:
P(dBW) = 10 · log
(
P(W)
1 W
)
(1.3)
A tabela 1.1 apresenta algumas transformações de Watt (W) para dBW.
W dBW
1 × 104 40
5 × 103 37
2 × 103 33
1 × 103 30
5 × 102 27
1 × 102 20
2 3
Tabela 1.1: Valores em dBW
Exercícios:
1) Dados os valores abaixo, faça a transformação de Watt para dBW:
a) 200 W
b) 50 W
c) 20 W
d) 10 W
e) 5 W
f) 2 W
g) 1 W
h) 0,5 W
i) 0,2 W
j) 0,1 W
k) 0,05 W
l) 0,02 W
2) Dados os valores abaixo, faça a transformação de dBW em Watt:
a) 40 dBW
b) 37 dBW
c) 33 dBW
d) 30 dBW
e) 27 dBW
f) 23 dBW
g) 20 dBW
h) 17 dBW
i) 13 dBW
j) 10 dBW
k) 7 dBW
l) 3 dBW
m) 0 dBW
n) −3 dBW
o) −7 dBW
p) −10 dBW
q) −13 dBW
r) −17 dBW
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Textbox

P (W) = 10 (P(dBW)/10) 
Domingos
Textbox

a m/n = n√ am 
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1.6 dBr
Esta unidade é usada para referir o nível de um sinal em qualquer ponto de um sistema de transmissão
com relação a um ponto arbitrário do sistema, chamado ponto de nível relativo zero (0 dBr). O dBr difere da
unidade dB pois, enquanto esta última é usada somente para indicar a amplificação ou atenuação de um quadripolo,
o dBr é utilizado para expressar a amplificação ou atenuação total que existe entre pontos diversos e um ponto de
referência fixo, num sistema de transmissão.
Deve-se notar que a unidade dBr não fornece nenhuma informação sobre o nível de potência absoluta
no ponto, pois o valor está em função da potência absoluta no ponto de referência. Ou seja, quando se estiver
trabalhando com a unidade dBr, não sabemos quais os valores absolutos de níveis de potência, mais somente o
quanto estes níveis estão abaixo ou acima do nível de referência que, por nós, foi arbitrado.
Exemplo
0,5 dBr
1,5 dB
2 dBr I
2 dB
0 dBr I
1 dB
−1 dBr
3 dB
2 dBr
0,5 dB
2,5 dBr
Legenda:
Amplificador
I Atenuador
Figura 1.2: Primeiro Exemplo de Aplicação do dBr
O ponto de nível relativo zero (ponto de 0 dBr) está situado no meio dos dois atenuadores (veja a fi-
gura 1.2). Caminhando para a direita o sinal sofre perda de 1 dB devido ao atenuador, caindo o nível para −1 dBr
(0 dBr − 1 dB = −1 dBr). A seguir, temos um ganho de 3 dB devido ao amplificador, o que faz o nível subir para
2 dBr (−1 dBr + 3 dB = 2 dBr) e finalmente, um ganho de 0,5 dB devido ao último amplificador, levando o nível
do sinal na saída para 2,5 dBr (2 dBr + 0,5 dB = 2,5 dBr). Partindo do ponto de 0 dBr rumo à esquerda, o nosso
raciocínio deve ser similar ao descrito acima, considerando o sentido contrário do sinal em relação a referência
(0 dBr). 0 dBr − (−2 dB) = 2 dBr; 2 dBr − 1,5 dB = 0,5 dBr.
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
I
1 dB 4 dB
I
7 dB
I
3 dB
Figura 1.3: Segundo Exemplo de Aplicação do dBr
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Domingos
Arrow
Domingos
Textbox
 0 dBr
Domingos
Textbox
-8 dBr
Domingos
Textbox
-5 dBr
Domingos
Textbox
-1 dBr
Domingos
Textbox
-2 dBr
Domingos
Textbox
 2 dBr
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É importante se notar que o ponto de nível relativo zero não indica obrigatoriamente um ponto físico
no sistema de transmissão, podendo ser um ponto hipotético, como ilustrado na figura 1.3, onde o ponto de nível
relativo zero não está fisicamente indicado pois está no meio do amplificador de 4 dB.
1.7 dBm0
Nos sistemas de transmissão, além da informação que se deseja enviar de um ponto a outro, existem
outros sinais que, tanto podem ser necessários ao sistema, tais como as frequências piloto e de sinalização, como
podem ser indesejáveis, por exemplo: diafonia (interferência que um par provoca em outro par adjacente).
A fim de permitir a indicação do nível de qualquer um desses sinais, com relação ao nível da informação,
utiliza-se a unidade dBm0.Esta unidade indica o nível de potência absoluta de tais sinais no ponto de nível relativo
zero.
O valor em dBm0 é uma constante em qualquer ponto do sistema, se quisermos saber o nível de potência
de um sinal em dBm em ponto qualquer do sistema basta utilizarmos a fórmula 1.4:
X (dBm) = Nível (dBm0) + Valor (dBr) do Ponto (1.4)
Exercícios:
1) Na linha de transmissão da figura 1.4 foi injetado um tom de teste que produz, no ponto de nível zero, uma
potência de −5 dBm. Qual o nível do tom de teste nos diversos pontos?
I
1 dB
3 dBr
3 dB
I
7 dB
I
3 dB
A B C D E
Figura 1.4: Diagrama 1
2) Na linha de transmissão da figura 1.5 foi injetado um tom de teste que produz, no ponto de nível zero, uma
potência de 0 dBm. Qual o nível do tom de teste nos diversos pontos?
3) Se na figura 1.5, uma frequência piloto tem um nível de −20 dBm0, qual a potência absoluta deste sinal
nos diversos pontos da linha de transmissão? Confirme também através dos respectivos cálculos, o valor de
−20 dBm0 em toda a linha de transmissão.
4) Se na figura 1.5, uma frequência piloto tem um nível de −17 dBm0, qual a potência absoluta deste sinal
nos diversos pontos da linha de transmissão? Confirme também através dos respectivos cálculos, o valor de
−17 dBm0 em toda linha de transmissão.
I
1 dB
0 dBr
3 dB
I
7 dB
I
3 dB
A B C D E
Figura 1.5: Diagrama 2
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Domingos
Textbox
 6dBr
Domingos
Textbox
 -1dBr
Domingos
Textbox
 -4dBr
Domingos
Textbox
 4dBr
Domingos
Rectangle
Domingos
Line
Domingos
Line
Domingos
Line
Domingos
Line
Domingos
Textbox
 3dBr
Domingos
Textbox
 -4dBr
Domingos
Textbox
 -7dBr
Domingos
Textbox
 1dBr
Domingos
Line
Domingos
Line
Domingos
Line
Domingos
Textbox
 
 Nível (dBm0) = X (dBm) - Valor (dBr) do ponto. 
Domingos
Rectangle
Domingos
Line
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1.8 dBu
Como já vimos anteriormente, uma potência qualquer pode ser expressa em termos da razão entre esta
potência e um valor de referência fixo. Em vez de tomarmos uma potência como referência, poderemos fixar a
tensão e a impedância como valores de referência. Assim, a impedância de referência é fixada em 600Ω (valor
padronizado para a impedância característica dos circuitos de voz) e a tensão é obtida, por conveniência, aplicando-
se 1 mW sobre esta impedância.
P = U2/R −→ P = U2/Z
U2 = P × Z −→ U =
√
P × Z
U =
√
0,001 × 600 −→ U = 0,775 V
Portanto, o dBu, é uma medida absoluta, que indica quantos dB uma determinada tensão está abaixo ou
acima de 0,775 V, que é dada pela fórmula 1.5:
U(dBu) = 20 × log
(
Tensão(V)
0,775 V
)
(1.5)
Para se calcular o valor da potência em dBm utiliza-se a fórmula 1.6:
P(dBm) = 20 × log
(
Tensão(V)
0,775 V
)
+ 10 × log
(
600Ω
Z
)
(1.6)
Onde :
Z −→ Impedância do ponto de Teste (Ω).
Sustituindo a equação 1.5 na equação 1.6, temos:
P(dBm) = U(dBu) + K(dB) (1.7)
O fator de correção K(dB) deverá ser utilizado quando à impedância no ponto de teste for diferente
600Ω. Para impedâncias mais comuns os valores de K são apresentados na tabela 1.2:
Z(Ω) 600 300 150 75 60
K(dB) 0 3 6 9 10
Tabela 1.2: Fator de Correção K(dB)
Exercícios:
1) Um nível −35 dBu é medido num ponto de 150Ω de impedância. Qual o nível em dBm?
2) Num ponto de um circuito, cuja impedância é 75Ω, tem-se uma potência de 5 dBm. Qual é o seu nível
medido em dBu nesse ponto?
3) Dados os valores abaixo em dBu e da impedância, determine o nível em dBm:
a) −18 dBu e 600Ω
b) −5 dBu e 300Ω
4) Dados os valores abaixo em dBm ou mW e da impedância, determine o nível em dBu:
a) 5 dBm e 300Ω
b) 18 mW e 150Ω
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1.9 Exercícios de Revisão
1) Calcule o ganho em dB das relações de potência relacionadas abaixo:
a) Ps = 1.000 W e Pe = 1 W
b) Ps = 100 mW e Pe = 1 mW
c) Ps = 10 µW e Pe = 1 µW
d) Ps = 4 W e Pe = 1 W
e) Ps = 2 kW e Pe = 1 kW
f) Ps = 1 nW e Pe = 1 nW
g) Ps = 1 W e Pe = 2 W
h) Ps = 1 mW e Pe = 4 mW
i) Ps = 1 W e Pe = 10 W
j) Ps = 1 mW e Pe = 100 mW
k) Ps = 0,00001 W e Pe = 1 W
l) Ps = 1 × 10−6 W e Pe = 1 W
2) Transforme de Watt (W) para dBm:
a) 1 kW
b) 10 W
c) 1 mW
d) 10 µW
e) 1 nW
3) Transforme de dBm para Watt (W):
a) 3 dBm
b) −3 dBm
c) −30 dBm
d) −50 dBm
e) −70 dBm
4) Calcule as seguintes operações:
a) 30 dBm + 20 dBm = dBm
b) 50 µW + 10 mW + 20 dBm = dBm
c) 5 dBm + 15 dBm = W
d) 20 dBW + 5 dBW = W
e) 10 dBm + 10 dB = W
5) Transforme de dBW para Watt (W):
a) 33 dBW
b) 30 dBW
c) 3 dBW
d) −7 dBW
e) −3 dBW
6) Transforme de Watt (W) para dBW:
a) 10 W
b) 5 W
c) 1 W
d) 500 mW
e) 100 mW
7) Na linha de transmissão da figura 1.5 foi injetado um tom de teste que produz, no ponto de nível relativo
zero (0 dBr), uma potência de −5 dBm. Qual o nível do tom de teste nos diversos pontos?
8) Na linha de transmissão da figura 1.5 foi injetado uma frequência piloto que tem um nível de −17 dBm. Qual
é a potência absoluta deste sinal nos diversos pontos da linha de transmissão? Confirme também através dos
respectivos cálculos o valor de −20 dBm, em toda a linha de transmissão.
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9) Dados os valores abaixo em dBu e da impedância, determine o nível em dBm:
a) −5 dBu e 600Ω
b) −18 dBu e 300Ω
10) Dados os valores abaixo em dBm ou mW e da impedância, determine o nível em dBu:
a) 8 dBm e 300Ω
b) 15 mW e 150Ω
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CAPÍTULO 2
FILTROS
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Filtros
2.1 Filtros Ideais
Filtros são circuitos especialmente projetados para fornecer em sua saída, um sinal com uma amplitude
dependente da frequência aplicada na sua entrada. Embora essa definição possa ser aplicada a vários circuitos,
incluindo-se os amplificadores, ela salienta a principal característica de um filtro, a sua sensibilidade à frequência
do sinal. Essa característica é chamada de seletividade. Um filtro ideal não atenua as frequências dentro da faixa
desejada e atenua completamente as demais que estão fora da faixa de interesse.
Existem, basicamente, quatro tipos de filtro ideais:
a) Filtro Passa-Baixa
b) Filtro Passa-Alta
c) Filtro Passa-Faixa
d) Filtro Rejeita-Faixa
2.1.1 Filtro Passa-Baixa
Vin Vout
(a) Representação Simplificada
fc
A0
Av
f
(b) Curva de Resposta
Figura 2.1: Filtro Passa-Baixa
Permite que as frequências inferiores a um determinado limite, conhecido como frequência de corte
( fc), passem por ele com nenhuma atenuação, enquanto que as frequências superiores a frequência de corte são
atenuadas. Acima temos a representação simplificada (figura 2.1(a)) e o gráfico da curva de resposta (figura 2.1(b)):
É utilizado, por exemplo, em transmissores para eliminar os harmônicos gerados pelo amplificador de
potência, impedindo assim, que eles atinjam a antena e causem interferências em outros canais.
2.1.2 Filtro Passa-Alta
Vin Vout
(a) Representação Simplificada
A0
fc
Av
f
(b) Curva de Resposta
Figura 2.2: Filtro Passa-Alta
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Filtros
Comportam-se de maneira oposta à dos filtros passa-baixa, permitindo a passagem das frequências
superiores à decorte. As frequências menores que a frequência de corte são atenuadas. Observe a representação
simplificada (figura 2.2(a)) e o gráfico da curva de resposta (figura 2.2(b)).
Os filtros passa-alta são úteis, por exemplo, nos circuitos de entrada dos receptores de FM e televisão,
atenuando as frequências inferiores a de corte, como de ondas curtas e com isso, impedindo que eles atinjam o
estágio misturador e amplificador de FI, onde poderiam provocar interferências.
2.1.3 Filtro Passa-Faixa
Existem duas frequências de corte, uma inferior ( fci), e outra superior ( fcs), somente as frequências
compreendidas entre fci e fcs passam pelo filtro. Portanto as frequências menores que fci e maiores que fcs são
atenuadas. Verifique a representação simplificada (figura 2.3(a) e o gráfico da curva de resposta (figura 2.3(b)).
Vin Vout
(a) Representação Simplificada
A0
fci fcs
Av
f
(b) Curva de Resposta
Figura 2.3: Filtro Passa-Faixa
A seletividade dos filtros passa-faixa é utilizada nos receptores de rádio para selecionar um determinado
sinal dentre os sinais captados pela antena.
2.1.4 Filtro Rejeita-Faixa
Assim como o filtro passa-faixa, exibe duas frequências de corte, uma inferior ( fci) e outra superior ( fcs).
Porém, ao contrário do filtro passa-faixa, o filtro rejeita-faixa produz atenuação máxima para as frequências que
estão dentro da faixa de rejeição, que está localizada entre as duas frequências de corte. Observe a representação
simplificada (figura 2.4(a) e o gráfico da curva de resposta (figura 2.4(b)).
Vin Vout
(a) Representação Simplificada
A0
fci fcs
Av
f
(b) Curva de Resposta
Figura 2.4: Filtro Rejeita-Faixa
Uma aplicação para o filtro rejeita-faixa é o uso como armadilha para os sinais indesejáveis ou para a
separação de sinais de diferentes frequências alocadas no mesmo canal como, por exemplo, as portadoras de som
e imagem num sinal de TV.
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Filtros
2.2 Filtros Reais
2.2.1 Revisão de Números Complexos
2.2.1.1 Conjuntos Numéricos
N
Z
Q
R
Figura 2.5: Conjuntos Numéricos
✓ Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
✓ Inteiros Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
✓ Inteiros não-nulos Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . .}
✓ Inteiros não-negativos Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
✓ Inteiros não-positivos Z− = {. . . ,−3,−2,−1, 0}
✓ Racionais Q = { ab | a ∈ Z e b ∈ Z∗}
✓ Reais R = {Q ∪ I}
2.2.1.2 Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais é composto dos números
racionais (Q) e dos números irracionaisa (I) (figura 2.5). Uma
maneira bastante prática e útil de representarmos o conjunto dos reais (ℜ) é através de uma reta (figura 2.6).
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 ℜ
9
2πe
√
2−
√
3−π−
14
3
Figura 2.6: Reta dos Números Reais
2.2.1.3 Conjunto dos Números Imaginários
A raiz quadrada de um número real negativo é chamado um número imaginário puro. Ex.:
√
−1,
√
−2,√
−5,
√
−16.
Se fizermos j =
√
−1, temos
√
−2 =
√
2 j,
√
−4 = 2 j,
√
−5 =
√
5 j,
√
−9 = 3 j, etc. Segue-se, também,
que j2 = −1, j3 = j2 × j = (−1) × j = − j, j4 = ( j2)2 = 1, j5 = j2 × j2 × j = (−1) × (−1) × j = j.
Todos os números imaginários puros podem ser representados por pontos de uma reta chamada Reta
(Eixo) dos Números Imaginários (figura 2.7).
−5 j −4 j −3 j −2 j −1 j 0 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j ℑ
Figura 2.7: Reta dos Números Imaginários
Os números imaginários existem da mesma forma que os reais. A única diferença é que eles não podem
ser representados no eixo dos reais, estão situados em outro eixo (Reta dos Números Imaginários), conforme
mostrado na figura 2.7.
2.2.1.4 Números Complexosb
Um número complexo z é um número na forma x + y j, onde x e y são reais e j =
√
−1. Num número
complexo x + y j, o primeiro termo x é chamado de parte real e o segundo, y j, a parte imaginária. Quando x = 0,
o número complexo reduz-se a um imaginário puro e corresponde apenas a um ponto do Eixo Imaginário. Do
mesmo modo, se y = 0, o número complexo é um número real e corresponde a um ponto do Eixo Real.
aNúmeros que não podem ser expresso como uma razão de dois números inteiros. Ex.: π,
√
2 e etc.
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Filtros
2.2.1.4.1 Representação Retangular
Na figura 2.8 temos a representação da forma retangular de um número complexo z:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 ℜ
−6 j
−5 j
−4 j
−3 j
−2 j
−1 j
1 j
2 j
3 j
4 j
5 j
6 j
ℑ
z1
z2
z3
z4
z5
z6
Figura 2.8: Plano de Argand-Gauss
z1 = 6
z2 = 2 − 3 j
z3 = 4 j
z4 = −3 + 2 j
z5 = −4 − 4 j
z6 = 3 + 3 j
2.2.1.4.2 Representação Polar
x
y j
r
z
θ
ℑ
0 ℜ
Figura 2.9: Forma Polar
Na figura 2.9, temos x = r cos θ, y = r sen θ e
o número complexo z é z = x + y j = r cos θ + r j sen θ =
r(cos θ + j sen θ). O r é chamado de módulo ou valor ab-
soluto de z e pode ser encontrado através de r =
√
x2 + y2.
O ângulo θ é chamado de argumento de z e pode ser obtido
por θ = arctan
(
y
x
)
. Portanto, a representação polar de um
número complexo é z = r θ.
A fórmula de Euler, e jθ = (cos θ + j sen θ), pos-
sibilita uma outra forma de se representar um número com-
plexo chamada forma exponencial: z = r(cos θ + j sen θ) = re jθ.
Resumindo:
✓ Forma Retangular: z = x + y j
✓ Forma Polar: z = r θ
✓ Forma Trigonométrica: z = r(cos θ + j sen θ)
✓ Forma Exponencial: z = re jθ
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2.2.1.4.3 Conjugado
O conjugado z∗ de um número complexo z = x + y j é o número complexo z∗ = x − y j. Na forma polar,
o conjugado de z = r θ é z∗ = r −θ. O conjugado de z = r(cos θ + j sen θ) é z∗ = r(cos θ − j sen θ). Concluindo,
o conjugado z∗ de um número complexo z é sempre a imagem de z em relação ao eixo real.
2.2.1.5 Operações Aritméticas
Sejam dois números complexos Z1 = x1 + y1 j e Z2 = x2 + y2 j, vejamos como efetuaríamos cada uma
das operações aritméticas:
2.2.1.5.1 Adição
Podemos realizar a adição, tratando os números complexos como binômios, podemos realizar a sua
soma reduzindo os termos semelhantes.
Z1 + Z2 = (x1 + y1 j) + (x2 + y2 j)
Z1 + Z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2) j (2.1)
2.2.1.5.2 Subtração
A subtração é realizada tal qual a adição, através da redução dos termos semelhantes, ou ainda subtraindo
separadamente as partes reais e as partes imaginárias.
Z1 − Z2 = (x1 + y1 j) − (x2 + y2 j)
Z1 − Z2 = (x1 − x2) + (y1 − y2) j (2.2)
2.2.1.5.3 Multiplicação
Realizamos a multiplicação de números complexos tratando-os como binômios e os multiplicando como
tal, ou seja, multiplicando cada termo do primeiro binômio por cada termo do segundo.
Z1 × Z2 = (x1 + y1 j) × (x2 + y2 j) = x1x2 + x1y2 j + x2y1 j + y1y2 j2
Simplificando e agrupando os termos semelhantes, temos:
Z1 × Z2 = (x1x2 − y1y2c) + (x1y2 + x2y1) j (2.3)
Substituindo na equação 2.3, xn = rn cos θn e yn = rn sen θn, teremos a forma trigonométrica da multi-
plicação;
Z1 × Z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2)d + j sen (θ1 + θ2)e] (2.4)
e também a forma polar r1r2 θ1 + θ2.
c j2 = −1
dcos(θ1 + θ2) = cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2
e sen (θ1 + θ2) = sen θ1 cos θ2 + sen θ2 cos θ1
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2.2.1.5.4 Divisão
A divisão de números complexos é realizada multiplicando o dividendo e o divisor pelo conjugado do
divisor.
Z1
Z2
=
(x1 + y1 j)(x2 − y2 j)
(x2 + y2 j)(x2 − y2 j)
Realizando os produtos do numerador e denominador, simplificandoe agrupando os termos semelhan-
tes, temos:
Z1
Z2
=
(x1x2 + y1y2) + (x2y1 − x1y2) j
x22 + y
2
2
(2.5)
Substituindo na equação 2.5; xn = rn cos θn, yn = rn sen θn e r2n = x
2
n + y
2
n; teremos a forma trigonomé-
trica da divisão;
Z1
Z2
=
r1
r2
[cos(θ1 − θ2)f + j sen (θ1 − θ2)g] (2.6)
e também a forma polar r1r2 θ1 − θ2.
2.2.1.6 Exercícios
1) Efetue as Operações de Adição e Subtração com números complexos:
a) (7 + 8 j) + (2 + 6 j) =
b) (3 + 2 j) + (1 − 4 j) =
c) (16 − 25 j) + (34 + 15 j) =
d) (6 + 4 j) − (−12 + 7 j) =
e) (3 + 2 j) − (1 + 4 j) =
f) (16 + 25 j) − (30 + 15 j) =
2) Efetue os produtos dos números complexos usando a equação 2.3:
a) (4 − j) × (−2 + 6 j) =
b) (14 + 25 j) × (31 − 10 j) =
c) (5 + 8 j) × (5 − 8 j) =
3) Converta cada complexo do exercício anterior para a sua forma polar e depois efetue o produto usando a
forma polar, verifique que os resultados se equivalem:
4) Efetue a divisões dos números complexos usando a equação 2.5:
a) (12 + 23 j) ÷ (7 − 18 j) =
b) (−6 − 9 j) ÷ (12 + 35 j) =
c) (19 − 31 j) ÷ (17 + 29 j) =
5) Converta cada complexo do exercício anterior para a sua forma polar e depois efetue a divisão usando a
forma polar, verifique que os resultados se equivalem:
fcos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2
g sen (θ1 − θ2) = sen θ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1
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2.2.2 Características dos Filtrosh
De um modo geral, os filtros possuem as seguintes características, independentemente da tecnologia
empregada em sua fabricação:
f0
250 kHz200 kHz 300 kHz
0 dB
−50 dB
fs1 fc1 fs2fc2
A
te
nu
aç
ão
Fi
na
l
60
dB
Faixa de
Proteção
Faixa de
Passagem
Faixa de
Transição
Faixa de
Transição
O
nd
ul
aç
ão
Pe
rd
a
de
In
se
rç
ão
3
dB
Faixa de Rejeição Faixa de Rejeição
Figura 2.10: Curva de Resposta de um Filtro
Algumas das características relacionadas estão identificadas na figura 2.10i.
Frequência Central ( f0 (Hz)): A frequência central de um filtro passa-faixa, f0, é a média geométricaj das fre-
quências de corte ( f0 =
√
fc1 · fc2).
Frequência de Corte ( fc (Hz)): É a frequênciak na qual a amplitude do sinal de saída do filtro cai para 0,707 (ou
70,7 %) de seu valor máximo. Este valor de amplitude implica uma redução da potência do sinal para 0,5
(ou 50 %) da potência máxima, correspondendo, em ambos os casos, a uma variação de potência de −3 dB,l
sendo este o limite de variação considerado aceitável ( fc = f |A= 0,707·Amáx ).
Frequência de Rejeição ( fs (Hz)): Ou de supressão, do inglês supressed, é a frequênciam na qual a amplitude do
sinal na saída de um filtro cai para um milésimo (ou 0,1 %) de seu valor máximo. Essa relação de amplitudes
implica uma redução de potência do sinal para um milionésimo (ou 0,000.1 %) da potência máxima, o que
corresponde a uma atenuação de 60 dB na potência do sinal.
Faixa de Passagem (BW(−3 dB) (Hz)): A faixa de passagem,n também conhecida como largura de faixa ou banda-
passante, do inglês bandwidth, é a diferença entre as frequências de corte superior, fc2, e inferior, fc1, de um
filtro passa-faixa. No caso do filtro passa-baixa, a faixa de passagem coincide com o valor da frequência de
corte, fc. A faixa de passagem de um filtro passa-alta é infinita e o filtro rejeita-faixa possui duas faixas de
passagem, uma inferior, BW1, e outra superior, BW2 (BW(−3 dB) = fc2 − fc1).
Faixa de Proteção (BW(−60 dB) (Hz)): É a largura de faixa entre os pontos de −60 dB. Indica a faixa de frequência
na qual não se devem aplicar sinais indesejáveis, por causa da possibilidade de interferências com o sinal
desejado (BW(−60 dB) = fs2 − fs1).
h[Nascimento 2000]
iOs valores em dB utilizados na figura são pertencentes a uma escala relativa cuja origem, 0 dB, coincide com o valor da atenuação
proporcionada pelo filtro na frequência central ( f0).
jQuando a razão entre as frequências de corte é próxima da unidade, pode-se utilizar a média aritmética das duas frequências como uma
aproximação da frequência central.
kOs filtros passa-baixa e passa-alta possuem, cada qual, uma única frequência de corte, enquanto os passa-faixa e rejeita-faixa, duas, uma
inferior fc1, e outra superior, fc2.
lO limite de potência de −3 dB é apropriado para sinais contendo informações audíveis. Para outros tipos de informações, é possível
estabelecer um limite diferente.
mNormalmente, uma atenuação de 60 dB em relação ao nível de referência é considerada suficiente para suprimir a maior parte das interfe-
rências, sendo, por este motivo, adotada como o valor limite para o início da faixa de rejeição de um filtro. Contudo, como uma atenuação de
60 dB nem sempre é conseguida ou necessária, é possível a utilização de outros valores para se definir a frequência de rejeição.
nA faixa de passagem entre os pontos de −3 dB indica a faixa de frequência em que os sinais aplicados atingirão a saída do filtro com um
mínimo de atenuação. É a faixa de frequência reservada para os sinais que se deseja transmitir pelo filtro.
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Faixa de Rejeição (BS (Hz)): A faixa de rejeição de um filtro, BS , do inglês Band Supressed, corresponde à faixa
de frequências onde a atenuação é elevada.o Normalmente, especifica-se uma atenuação de 60 dB em relação
ao nível de referência, como o limite entre a faixa de rejeição e a faixa de transição de um filtro.
Faixa de Transição (BT (Hz)): É a faixa de frequências compreendidas entre a frequência de corte, fc, e a fre-
quência de rejeição, fs.p
Fator de Ondulação (r (dB)): O fator de ondulação, do inglês Ripple, é definido como a relação entre o valor do
ganho correspondente à frequência central e o valor do ganho no pico da curva de resposta (figura 2.10).
r =
(
Amáx
Apico
)
⇒ r(dB) = 20 log
(
Amáx
Apico
)
⇒ r(dB) = Amáx(dB) − Apico(dB)
O fator de ondulação indica a distorção introduzida pelo filtro no espectro de um sinal que esteja dentro de
sua banda-passante. O filtro ideal possui um fator de ondulação unitário, ou seja, igual a 0 dB. Na prática,
considera-se tolerável uma ondulação de até −3 dB, embora seja recomendável que não ultrapasse o valor
de −1 dB.
Fator de Forma (S F): O fator de forma, do inglês Shape Factor, em um filtro passa-faixa, é a relação entre a
faixa de proteção e a faixa de passage, sendo adimensional.
S F =
BW(−60 dB)
BW(−3 dB) =
fs2 − fs1
fc2 − fc1
O fator de forma reflete a inclinação do flanco da curva de resposta em frequência e a largura relativa da
faixa de transição. Quanto menor o fator de forma, tanto maior a seletividade de um filtro. Para o filtro ideal,
o fator de forma é unitário, indicando que a faixa de passagem é igual à faixa de proteção e que a curva de
resposta em frequência possui flancos verticais, não tendo, portanto, faixas de transição.
Perda de Inserção (IL (dB)): A perda de inserçãoq, do inglês Insertion Loss, é a perda de potência na carga cau-
sada pela inserção de um filtro entre ela e um gerador senoidal, ambos de impedância adequada para o filtro
em questão, sendo a frequência do gerador igual à que produz a menor atenuação.
IL = Apico(dB)
Atenuação Final (Amin (dB)): A atenuação final de um filtro é o menor valor de atenuação que ele é capaz de
fornecer dentro da faixa de rejeição (o ponto de rejeição não está incluindo). Este valor, em um filtro que
apresente ondulações em sua faixa de rejeição, corresponde ao pico de maior amplitude pertencente ao vale
da curva (figura 2.10).
A atenuação final de um filtro, juntamente com o fator de forma, é um indicador de sua seletividade. Man-
tidos constantes os demais fatores, a seletividade de um filtro é função direta da atenuação final que ele
proporciona.Impedâncias de Terminação (Zi, Zo (Ω)): As impedâncias de entrada e saída de um filtro são definidas como em
qualquer quadripolo, dispensando, portanto, explicações sobre o seu significado. Deve-se observar, contudo,
que a curva de resposta em frequência de um filtro pode ser influênciada pelas impedâncias do gerador e
da carga. Portanto, para que a curva de resposta não sofra alterações, é necessário que os filtros sejam
carregados com as terminações corretas, isto é, que as impedâncias do gerador e da carga sejam aquelas
especificadas para o filtro.
oSinais, cujas frequências estejam dentro da faixa de rejeição, não causam interferências porque são praticamente eliminados da saída do
filtro.
pMantidos constantes os demais fatores, quanto mais estreita a faixa de transição de um filtro, tanto maior a sua seletividade. A utilização
de filtros que possuam uma faixa de transição mais estreita torna possível um menor espaçamento de frequências entre dois canais adjacentes,
aumentando o número de canais de radiofrequência disponíveis em determinado trecho do espectro. Esse recurso é utilizado nos transceptores
de SSB.
qNão se deve confundir a perda de inserção com a atenuação que um filtro provoca em sinais de frequência diferente da frequência de
pico. A perda de inserção, ao contrário da atenuação provocada pela seletividade do filtro, é causada pela existência de elementos dissipativos
incidentalmente incorporados aos elementos filtrantes (que são reativos). Esses elementos podem ser, por exemplo, a resistência ôhmica dos
condutores utilizados na construção das bobinas, a absorção dielétrica nos capacitores ou o atrito interno dos cristais ou metais utilizados nos
filtros ultra-sônicos. Esses elementos dissipativos transformam parte da energia aplicada em calor, enquanto os elementos reativos devolvem-na
ao gerador.
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Valores máximos: Os valores máximos de tensão (Emáx (V)), corrente (Imáx (A)), potência (Pmáx (W)) que um
filtro pode manipular com segurança dependem dos componentes empregados em sua construção. Esta é
uma característica importante para os filtros utilizados em amplificadores de potência de RF.
2.2.3 Tecnologia de Fabricação
Os filtros utilizados em radiofrequência podem ser classificados segundo a tecnologia de fabricação, em
duas categorias:
✓ Filtros Elétricos
✓ Filtros Ultra-sônicos
2.2.3.1 Filtros Elétricos
Nos filtros elétricos, a filtragem é feita por dispositivos de constantes concentradas (resistores, indutores
e capacitores) ou distribuídas (guias de onda ou linhas de transmissão). Os filtros elétricos que utilizam disposi-
tivos de constantes concentradas formam os chamados filtros RLC ou, simplesmente, LC. Os filtros elétricos de
constantes distribuídas possuem, geralmente, maior seletividade que os filtros LC.
2.2.3.2 Filtros Ultra-Sônicos
Nos filtros ultra-sônicos os sinais elétricos são transformados em ondas sonoras que se propagam em
um meio sólido, onde são filtradas. Após a filtragem, as ondas sonoras são novamente transformadas em sinais
elétricos. Vem sendo cada vez mais utilizado nos equipamentos de rádio, devido às suas excelentes características:
alta seletividade e pequenas dimensões. Podem ser do tipo piezoelétricos (cristal de quartzo ou cerâmico) ou
mecânicos.
2.2.4 Reatância Capacitiva
v(t)
Ci(t)
Lâmpada Acesa
(a) Corrente Alternada
V
++
++
C
−−
−−
Lâmpada Apagada
(b) Corrente Contínua
Figura 2.11: Circuito Capacitivo
Conforme a figura 2.11(a), quando ligamos um capacitor a um gerador de corrente alternada e tendo em
série uma lâmpada, como as placas do capacitor se carregam e descarregam rapidamente, na mesma velocidade
com que se inverte a polaridade, um corrente alternada flui pela lâmpada e ela acende normalmente. Por outro
lada, figura 2.11(b), se o mesmo circuito for ligado a um gerador de corrente contínua, a carga do capacitor ocorre,
mas uma vez atingida, a corrente para de circular e a lâmpada não se mantém acesa.
Uma fração de segundo é quanto precisamos para obter a carga completa do capacitor. Portanto, po-
demos concluir que um capacitor atua como um curto para corrente alternada e como um circuito aberto para
corrente contínua. Quanto maior o valor do capacitor, menor a oposição que ele vai apresentar a passagem da
corrente alternada.
Como o termo “Resistência” não se aplica neste caso, adota-se um outro termo para indicar o com-
portamento do capacitor no circuito de corrente alternada, “Reatância Capacitiva”, representado por XC , que
também é medida em Ohms (Ω). Para calcular o valor da reatância capacitiva usamos a equação 2.7:
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XC =
1
2π fC
(2.7)
Onde:
XC = Reatância Capacitiva (Ω)
π = Constante Numérica igual à 3,14159265359
f = Frequência da Corrente (Hz)
C = Capacitância do Capacitor (F)
2.2.5 Reatância Indutiva
H⃗
Figura 2.12: Circuito Indutivo
Quando ligamos um indutor a um gerador de cor-
rente contínua é criado um campo magnético e a corrente se
mantém constante, apenas limitada pela resistência do fio de
metal que forma o indutor. Entretanto, se ligarmos o mesmo
indutor a um circuito de corrente alternada (figura 2.12), o
efeito é outro, pois a cada inversão do sentido de circula-
ção da corrente, o campo magnético criado deve diminuir
até desaparecer para depois ser formado novamente mas com
as linhas de força orientadas em sentido oposto. Isso signi-
fica uma certa oposição a esta mudança de sentir da corrente
da bobina. Assim, ao contrário dos capacitores que não se
opõem a circulação da corrente alternada e impedem a pas-
sagem da corrente contínua, os indutores não dificultam a
circulação da corrente contínua, mas oferecem oposição à
passagem de uma corrente alternada. Esta oposição será tanto maior quanto maior for a frequência da corrente.
Portanto, podemos concluir que um indutor atua como um curto para a corrente contínua e como um
circuito aberto para corrente alternada. Esta oposição oferecida pelos indutores recebe o nome de “Reatância
Indutiva”, representada por XL e medida em (Ω). Para calcular o valor da reatância indutiva usamos a equação 2.8:
XL = 2π f L (2.8)
Onde:
XL = Reatância Indutiva (Ω)
π = Constante Numérica igual à 3,14159265359
f = Frequência da Corrente (Hz)
L = Indutância do Indutor (H)
2.2.6 Circuitos Seletores de Frequência
É evidente que a impedância, e portanto, a resposta de qualquer circuito contendo elementos reativos,
dependem da frequência. Assim, qualquer circuito que contém elementos reativos pode ser chamado de um circuito
seletor de frequência, uma vez que, fornece uma determindada resposta para cada frequência. Embora o termo
circuito seletor de frequência se aplique a qualquer circuito contendo elementos reativos, ele é geralmente usado
para definir apenas circuitos especificamente projetados para separar frequências diferentes. Um circuito que
possui esta propriedade de discriminação de frequência é chamado de filtro.
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2.2.6.1 Filtro RC
vi −
+
10 V
C
i
0,0795 µF
R2 kΩ vo
Figura 2.13: Filtro RC
Dado o circuito da figura 2.13, determine o valor
de vo, reatância capacitiva (XC), para a frequência de 10 Hz,
determine também o valor de i.
Solução:
Se a frequência variar, a reatância capacitiva também irá variar. Sendo assim, a impedância e a corrente
também irão variar, pois:
Z = R − jXC , vo =
R
R − jXC
vi e i =
vo
R
.
✓ f = 10 Hz:
– Usando a equação2.7 calcule o valor de XC:
XC =
1
2π × 10 × 0,0795 × 10−6
=
1
4,995 × 10−6
= 200.200,2 = 200,2 kΩ
– Cálculo de Zr:
Z = x ± jy = R − jXC = (2 − 200,2 j) kΩ
– Transformação para Representação Polar (veja o capítulo 2.2.1.4.2):
θ = arctan
(
−200,2
2
)
= arctan(−100,1) = −89,43°
r =
√
22 + (−200,2)2 =
√
4 + 40.080,04 = 200,2
Z = 200,2 −89,43° kΩ
– Cálculo de vo:
vo =
2 0° × 10 0°
200,2 −89,43° =
20 0°
200,2 −89,43° = 0,1 0 − (−89,43) = 0,1 89,43° V
– Cálculo de i:
i =
0,1 89,43°
2 0°
= 0,05 89,43° mA
Repita o cálculo anterior para as frequências de 500 Hz, 1 kHz, 10 kHz e complete a tabela 2.1:
f (Hz) R(kΩ) XC(kΩ) Z(kΩ) vo(V) i(mA)
10 2 200,2 200,2 −89,43° 0,1 89,43° 0,05 89,43°
500
1,0 × 103
10,0 × 103
Tabela 2.1: Resposta em frequência do Filtro RC
rO Sinal de (−) se deve ao fato da correte (i) está adiantada em relação a tensão (vi).
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2.2.6.2 Filtro RL
vi −
+
10 V
Li
0,318 H
R2 kΩ vo
Figura 2.14: Filtro RL
Dado o circuito da figura 2.13, determine o valor
de vo, reatância indutiva (XL), para a frequência de 10 Hz,
determine também o valor de i.
Solução:
Se a frequência variar, a reatância indutiva também irá variar. Sendo assim, a impedância e a corrente
também irão variar, pois:
Z = R + jXL, vo =
R
R + jXL
vi e i =
vo
R
.
✓ f = 10 Hz:
– Usando a equação 2.8 calcule o valor de XL:
XL = 2π × 10 × 0,318 = 19,98 = 0,02 kΩ
– Cálculo de Zs:
Z = x ± jy = R + jXL = (2 + 0,02 j) kΩ
– Transformação para Representação Polar (veja o capítulo 2.2.1.4.2):
θ = arctan
(
0,02
2
)
= arctan(0,01) = 0,57°
r =
√
22 + (0,02)2 =
√
4 + 0,0004 = 2,0
Z = 2,0 0,57° kΩ
– Cálculo de vo:
vo =
2 0° × 10 0°
2,0 0,57°
=
20 0°
2,0 0,57°
= 10 0 − (0,57) = 10,0 −0,57° V
– Cálculo de i:
i =
10 −0,57°
2 0°
= 5,0 −0,57° mA
Repita o cálculo anterior para as frequências de 500 Hz, 800 Hz, 1 kHz e complete a tabela 2.2:
f (Hz) R(kΩ) XL(kΩ) Z(kΩ) vo(V) i(mA)
10 2 0,02 2,0 0,57° 10,0 −0,57° 5,0 −0,57°
500
800
1,0 × 103
Tabela 2.2: Resposta em frequência do Filtro RL
sO Sinal de (+) se deve ao fato da correte (i) está atrasada em relação a tensão (vi).
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CAPÍTULO 3
ANÁLISE DE SINAIS
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Análise de Sinais
3.1 Movimento Harmônico Simples (MHS)
x
0
y
R
M
ω
φ
Figura 3.1: Diagrama de um MCU
Consideremos um móvel (M) em movimento cir-
cular uniforme de raio (R) e velocidade angular (ω), como
está demonstrado na figura 3.1.
Se o móvel M iniciou seu movimento em uma po-
sição não coincidente com o eixo
−→
0x, devemos admitir a exis-
tência de um espaço angular φo, que tanto pode ser positivo
quanto negativo, dependendo se o movimento se iniciou de-
pois, ou antes do eixo. Assim, a equação do movimento do
móvel (M) é:
φ = ωt + φo (3.1)
x
0
y
R
M
NXM
ω
φ
Figura 3.2: Projeção de um MCU
Observemos agora a projeção do movimento do
móvel sobre o eixo
−→
0x (figura 3.2):
A projeção do movimento do móvel dá origem a
um segmento ON, que chamaremos de XM , que pode ser
dado pela equação.
XM = R cosφ (3.2)
Substituindo o valor de φ na equação 3.2 pelo va-
lor dado pela equação 3.1, temos:
XM = R cos (ωt + φo) (3.3)
A equação 3.3 demonsta que enquanto o móvel M
executa um movimento circular uniforme, o ponto N executa
um movimento harmônico simples (MHS).
Logo, podemos determinar uma relação entre a velocidade angular e o período, uma volta completa do
móvel M sobre a circunferência corresponde ao espaço angular total e o período corresponderá ao tempo que ele
leva para percorrer esse espaço. Portanto:
ω =
2π
T
rad/s
Como a frequência ( f ) é igual a
1
T
, podemos deduzir que ω = 2π f rad/s .
Exercício
Representar graficamente em papel milimetrado as três fases (R, S , T ) de tensão da rede elétrica trifásica.
Dados: Vmáx = 127 V, v(t) = cos (ωt + φ). Fase R −→ φ = 0° = 0 rad; Fase S −→ φ = 120° = 2π3 rad e; Fase
T −→ φ = 240° = 4π3 rad.
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Domingos
Highlight
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3.2 A Série Trigonométrica de Fouriera
A análise de Fourier se constitui num instrumento essencial para se estudar o comportamento dos sinais
de telecomunicações, possibilitando a identificação das características dos sinais que serão modificadas peos meios
de transmissão e, principalmente, possibilitando o estudo de técnicas que permitam a otimização dos meios de
transmissão, a fim de que se consiga fazer trafegar por estes meios a maior quantidade de informação possível,
com qualidade adequada as necessidades dos usuários dos sistemas de telecomunicações.
A definição da série trigonométrica de Fourier é a seguinte:
“Uma função periódica f (t) pode ser decomposta em um somatório de
senos e cossenos equivalentes a função.”
Expressando o enunciado matemáticamente, temos:
f (t) =
ao
2
+
∞∑
n=1
[an cos(nωot) + bn sen (nωot)] (3.4)
Onde:
f (t) = Função a ser desenvolvida
ao
2
= Valor Médio de f (t)
an e bn = Coeficientes da Série de Fourier
ωo = Velocidade Angular da Função f (t)
3.2.1 Cálculo do Valor Médio
ao
2
=
1
T
∫ T
0
f (t) dt ⇒ ao
2
=
Área de f (t) em 1 Período
T
(3.5)
3.2.2 Cálculo dos Coeficientes
3.2.2.1 Coeficientes an
an =
2
T
∫ T
0
f (t) · cos(nωot) dt (3.6)
3.2.2.2 Coeficientes bn
bn =
2
T
∫ T
0
f (t) · sen (nωot) dt (3.7)
a[Gomes 1998]
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3.2.3 Simplificações da Série de Fourier
Quando a função a ser decomposta for par ou ímpar podemos simplificar o cálculo dos coeficientes da
série de Fourier. Caso contrário, todos os coeficientes devem ser calculados.
3.2.3.1 Função Par
Se a função f (t) for par, isto é, f (−t) = f (t), todos os coeficientes bn serão nulos e a decomposição da
função só terá coeficientes an.
x
f (x)
2
4
−2 0
(a) f (x) = x2
x
f (x)
π
−4
−π
0
(b) f (x) = 4 cos(x)
Figura 3.3: Exemplos de Função Par
3.2.3.2 Função Ímpar
Se a função f (t) for ímpar, isto é, f (−t) = − f (t), todos os coeficientes an serão nulos e a decomposição
da função só terá coeficientes bn.
x
f (x)
2
4
−2
−4
0
(a) f (x) =
x3
2
x
f (x)
π
2
4
− π2
−4
0
(b) f (x) = 4 sen (x)
Figura 3.4: Exemplos de Função Ímpar
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3.2.4 Exercícios Resolvidos
1) Calcular a série de Fourier para a onda quadrada da figura 3.5:
t(s)
f (t)
A
2
10
A
T
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Figura 3.5: Exercício 1
✓ Usando a equação 3.5, calcule o valor de ao
2
:
T = 4 s
Área de f (t) = (1 − 0) × 10 + (4 − 3) × 10 = 20
ao
2
=
20
4
= 5
✓ Usando a equação 3.6 e lembrando que ωo =
2π
T
, calcule o coeficiente an:
an =
2
4
∫ 4
0
f (t) · cos
(
2nπ t
4
)
dt
✓ Resolvendo a integral acima, temos:
an =
2 · A
nπ
· sen
(nπ
2
)
=
20
nπ
· sen
(nπ
2
)
✓ Fazendo n = 1, 2, 3, 4, 5 na expressão genérica acima, temos:
n = 1 ⇒ a1 =
20
1 · π · sen
(
1 · π
2
)
=
20
π
· 1 ∴ a1 =
20
π
n = 2 ⇒ a2 =
20
2 · π · sen
(
2 · π
2
)
=
10
π
· 0 ∴ a2 = 0
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n = 3 ⇒ a3 =
20
3 · π · sen
(
3 · π
2
)
=
20
3π
· (−1) ∴ a3 = −
20
3π
n = 4 ⇒ a4 =
20
4 · π · sen
(
4 · π
2
)
=
5
π
· 0 ∴ a4 = 0
n = 5 ⇒ a5 =
20
5 · π · sen
(
5 · π
2
)
=
4
π
· 1 ∴ a5 =
4
π
✓ Como f (t) é uma função par ( f (−t) = f (t)), veja a figura 3.5 e compare com as figuras 3.3(a) e 3.3(b),
temos:
bn = 0
✓ Como ωo =
2π
T
=
2π
4
=
π
2
, e substituindo os valores obtidos para
ao
2
, an e bn na equação 3.4, temos:
f (t) = 5 +
20
π
cos
(
πt
2
)
− 20
3π
cos
(
3πt
2
)
+
4
π
cos
(
5πt
2
)
− · · ·
✓ Generalizando para uma onda quadrada de amplitude A e período T , temos:
f (t) =
ao
2
+
2A
π
∞∑
n=1
{
(−1)(n−1)
2n − 1 cos
[
2(2n − 1)πt
T
]}
(3.8)
✓ Abaixo temos o esboço dos 4 primeiros harmônicos da série de Fourier de f (t).
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
t(s)
f (t)
10
5
20
π
cos
(
πt
2
)
− 203π cos
(
3πt
2
)
4
π
cos
(
5πt
2
)
− 207π cos
(
7πt
2
)
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2) Calcular a série de Fourier para a onda triangular da figura 3.6:
t(s)
f (t)
5
−5
T
A
−0,4 −0,3 −0,2 −0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
Figura 3.6: Exercício 2
✓ Usando a equação 3.5, calcule o valor de ao
2
:
T = 0,4 s =
4
10
s
Área de f (t) =
(0,2 − 0) × 5
2
+
(0 − (−0,2)) × (−5)
2
= 0,5 − 0,5 = 0
ao
2
=
0
0,4
= 0
✓ Como f (t) é uma função ímpar ( f (−t) = − f (t)), veja a figura 3.6 e compare com as figuras 3.4(a) e
3.4(b), temos:
an = 0
✓ Usando a equação 3.7 e lembrando que ωo =
2π
T
, calcule o coeficiente bn:
bn =
20
4
∫ 0,2
−0,2
f (t) · sen (5nπt) dt
✓ Resolvendo a integral acima, temos:
bn =
4 · A
π2n2
· sen
(nπ
2
)
=
40
π2n2
· sen
(nπ
2
)
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✓ Fazendo n = 1, 2, 3, 4, 5 na expressão genérica acima, temos:
n = 1 ⇒ b1 =
40
12 · π2 · sen
(
1 · π
2
)
=
40
π2
· 1 ∴ b1 =
40
π2
n = 2 ⇒ b2 =
40
22 · π2 · sen
(
2 · π
2
)
=
10
π2
· 0 ∴ b2 = 0
n = 3 ⇒ b3 =
40
32 · π2 · sen
(
3 · π
2
)
=
40
9π2
· (−1) ∴ b3 = −
40
9π2
n = 4 ⇒ b4 =
40
42 · π2 · sen
(
4 · π
2
)
=
5
2π2
· 0 ∴ b4 = 0
n = 5 ⇒ b5 =
40
52 · π2 · sen
(
5 · π
2
)
=
8
5π2
· 1 ∴ b5 =
8
5π2
✓ Como ωo =
2π
T
=
2π
0,4
= 5π, e substituindo os valores obtidos para
ao
2
, an e bn na equação 3.4, temos:
f (t) =
40
π2
sen (5πt) − 40
9π2
sen (15πt) +
8
5π2
sen (25πt) − · · ·
✓ Generalizando para uma onda triangular de amplitude A e período T , temos:
f (t) =
ao
2
+
4A
π2
∞∑
n=1
{
(−1)(n−1)
(2n − 1)2 sen
[
2(2n − 1)πt
T
]}
(3.9)
✓ Abaixo temos o esboço dos 4 primeiros harmônicos da série de Fourier de f (t).
t(s)
f (t)
−0,4 −0,3 −0,2 −0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
5
−5
40
π2
sen (5πt)
− 409π2 sen (15πt)8
5π2 sen (25πt)
− 4049π2 sen (35πt)
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3) Calcular a série de Fourier para a senoide retificada de meia onda da figura 3.7:
t(s)
f (t)
A
π
10
A
T
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 3.7: Exercício 3
✓ Usando a equação 3.5, calcule o valor de ao
2
:
T = 4 s
Área de f (t) =
4A
π
ao
2
=
4 × 10
4 × π =
10
π
✓ Como f (t) não é nem par e também não é ímpar, é necessário calcular tanto os termos an quanto os
termos bn.
✓ Usando a equação 3.6 e lembrando que ωo =
2π
T
, calcule o coeficiente an:
an =
2
4
∫ 2
−2
f (t) · cos
(
2nπ t
4
)
dt
✓ Resolvendo a integral acima, temos:
an = −
A[cos(nπ) + 1]
π(n2 − 1) = −
10[cos(nπ) + 1]
π(n2 − 1)
✓ Fazendo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 na expressão genérica acima, temos:
n = 1 ⇒ a1 = −
10[cos(1 · π) + 1]
π(12 − 1) =
10 × 0
0 × π
b
∴ a1 = 0
bLevantando-se a indeterminação, temos:
lim
n→1
an =
10π sen (π)
2π
= 0
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n = 2 ⇒ a2 = −
10[cos(2 · π) + 1]
π(22 − 1) = −
10 × 2
3 × π ∴ a2 = −
20
3π
n = 3 ⇒ a3 = −
10[cos(3 · π) + 1]
π(32 − 1) =
10 × 0
8 × π ∴ a3 = 0
n = 4 ⇒ a4 = −
10[cos(4 · π) + 1]
π(42 − 1) =
10 × 2
15 × π ∴ a4 = −
4
3π
n = 5 ⇒ a5 = −
10[cos(5 · π) + 1]
π(52 − 1) =
10 × 0
24 × π ∴ a5 = 0
n = 6 ⇒ a6 = −
10[cos(6 · π) + 1]
π(62 − 1) =
10 × 2
35 × π ∴ a6 = −
4
7π
✓ Usando a equação 3.7 e lembrando que ωo =
2π
T
, calcule o coeficiente bn:
bn =
2
4
∫ 2
−2
f (t) · sen
(
2nπ t
4
)
dt
✓ Resolvendo a integral acima, temos:
bn = −
A sen (nπ)
π(n2 − 1) = −
10 sen (nπ)
π(n2 − 1)
✓ A expressão acima, nos indica que {bn = 0 ∀ n ∈ Z+ | n , 1}; quando n = 1 ∴ bn = 00 que é
uma indeterminação.
✓ Levantando-se a indeterminação, temos:
lim
n→1
bn = −
A
2n
cos(nπ) =
A
2
=
10
2
= 5
✓ Como ωo =
2π
T
=
2π
4
=
π
2
, e substituindo os valores obtidos para
ao
2
, an e bn na equação 3.4, temos:
f (t) =
10
π
+ 5 sen
(
πt
2
)
− 20
3π
cos(πt) − 4
3π
cos(2πt) − 4
7π
cos(3πt) − · · ·
✓ Generalizando para uma senoide retificada de meia onda de amplitude A e período T , temos:
f (t) =
A
π
+
A
2
sen
(
2πt
T
)
− 2A
π
∞∑
n=1
{
1
4n2 − 1 cos
(
4nπt
T
)}
(3.10)
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✓ Abaixo temos o esboço dos 5 primeiros harmônicos da série de Fourier de f (t).
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
t(s)
f (t)
5 sen
(
πt
2
)
− 203π cos(πt)
− 43π cos(2πt)
− 47π cos(3πt)
− 2063π cos(4πt)
10
10
π
3.3 Análise Espectralc
Em telecomunicações, muitas vezes é mais adequado a análise de um sinal através de sua distribuição
em frequência do que pelo seu comportamento do domínio no tempo.
A representação gráfica de um parâmetro de um sinal (amplitude, potência, fase) em função da frequên-
cia é chamado de espectro.
3.3.1 Espectro de Amplitude
Mostra o valor médio do sinal e a amplitude máxima de cada uma de suas componentes de frequência
(harmônicos).
3.3.2 Espectro de Fase
Mostra as fases das componentes de frequência. Os harmônicos, por uma questão de padronização, são
cossenoidaisd; então, na formação do espectro, temos:
sen (x)cos(x)
φ = − π2
x
f (x)
Figura 3.8: Defasagem entre o seno e o cosseno
A sen (ωt) = A cos
(
ωt − π
2
)
cIdem a
dAmplitudes negativas representam uma defasagem de π rad.
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3.3.3 Espectro de Potência
Mostra a potência de cada componente de frequência do sinal.
Recordando:
Expressão de potência dissipada em um elemento resistivo é:
P =
E2
R
Considerando-se uma resistência unitária, temos:e
P = E2 ⇒ P =
(ao
2
)2
Esse contexto também será aplicado aos harmônicosf através da seguinte fórmula:
P =
(
Ep√
2
)2
Exemplo:
1) Fazer o Espectro de Amplitude, Fase e Potência para a função da figura 3.5:
✓ Substituindo na equação 3.8 os valores ao2 = 5, A = 10 e T = 4 s e calculando os 4 primeiros termos do
somatório, temos:
f (t) = 5 +
20
π
cos
(
πt
2
)
− 20
3π
cos
(
3πt
2
)
+
20
5π
cos
(
5πt
2
)
− 20
7π
cos
(
7πt
2
)
+ · · ·
✓ Faça o esboço dos espectros de amplitude e fase.
ω(rad/s)
A
π
2
20
π
3π
2
20
3π
5π
2
20
5π
7π
2
20
7π
5
2
4
6
0
(a) Espectro de Amplitude
ω(rad/s)
φ(rad)
π
2
0
3π
2
π
5π
2
0
7π
2
π
−3
−1
1
3
(b) Espectrode Fase
✓ Calcule a potência de cada componente do sinal, temos:
P0 = 52 = 25 W ∴ P1 =
(
20
π
√
2
)2
= 20,26 W ∴ P2 =
(
20
3π
√
2
)2
= 2,25 W
P3 =
(
20
5π
√
2
)2
= 0,81 = 810 mW ∴ P4 =
(
20
7π
√
2
)2
= 0,41 = 410 mW
eAplica-se ao valor médio.
fAplica-se aos n harmônicos, tanto senoidais como cossenoidais.
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Análise de Sinais
✓ Faça o esboço do espectro de Potência.
ω(rad/s)
P(W)
π
2
(
20
π
√
2
)2
3π
2
(
20
3π
√
2
)2
5π
2
(
20
5π
√
2
)2
7π
2
(
20
7π
√
2
)2
52
10 × 10−3
50 × 10−3
100 × 10−3
500 × 10−3
1
5
10
50
100
(c) Espectro de Potência
2) Fazer o Espectro de Amplitude, Fase e Potência para a função da figura 3.6:
✓ Substituindo na equação 3.9 os valores ao2 = 0, A = 10 e T = 0,4 s e calculando os 4 primeiros termos
do somatório, temos:
f (t) =
40
π2
sen (5πt) − 40
9π2
sen (15πt) +
40
25π2
sen (25πt) − 40
49π2
sen (35πt) + · · ·
✓ Faça o esboço dos espectros de amplitude e fase.
ω(rad/s)
A
5π
40
π2
15π
40
9π2
25π
40
25π2
35π
40
49π2
0
1
2
3
4
(a) Espectro de Amplitude
ω(rad/s)
φ(rad)
5π
− π2
15π
π
2
25π
− π2
35π
π
2
−3
−1
1
3
(b) Espectro de Fase
✓ Calcule a potência de cada componente do sinal, temos:
P1 =
(
40
π2
√
2
)2
= 8,2 W ∴ P2 =
(
40
9π2
√
2
)2
= 0,101 = 101 mW
P3 =
(
40
25π2
√
2
)2
= 0,013 = 13 mW ∴ P4 =
(
40
49π2
√
2
)2
= 0,0034 = 3,4 mW
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✓ Faça o esboço do espectro de Potência.
ω(rad/s)
P(mW)
5π
(
40
π2
√
2
)2
15π
(
40
9π2
√
2
)2
25π
(
40
25π2
√
2
)2
35π
(
40
49π2
√
2
)2
1
5
10
50
100
500
1,0 × 103
5,0 × 103
10 × 103
(c) Espectro de Potência
Exercícios Propostos:
1) Fazer o Espectro de Amplitude, Fase e Potência para a função da figura 3.7 (use a equação 3.10):
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CAPÍTULO 4
TRANSMISSÃO EM BANDA BÁSICA
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Curso Técnico de Telecomunicações
Comunicações Analógicas e Digitais
Transmissão em Banda Básica
Um sistema de comunicação digitais deve realizar, de maneira eficiente, a transmissão e a recepção
dos sinais digitais. Estes sinais podem estar associados a sinais de telefonia (voz ou informação de sinalização),
televisão, dados de computador ou outros sinais relativos a demais serviços.
Quando o sinal está digitalizado e a ponto de ser enviado, existem opções para o mesmo ser transmitido,
como por exemplo; via rádio, modulando uma portadora senoidal, via cabo (metálico ou óptico), usando uma
técnica de transmissão onde o sinal a ser enviado é transmitido na forma original, sem sofrer alteração por algum
tipo de modulação. Esta técnica é chamada de Transmissão em Banda Básica.a
Fonte
(Voz, Dados, Etc.)
Codificação da
Fonte
Codificação do
Canal
Codificação de
Linha
Canal de
Transmissão
Decodificação de
Linha
Decodificação de
Canal
Decodificação da
Fonte
Destino
Figura 4.1: Processo de Transmissão em Banda Básica
4.1 Condificação de Fonte
No bloco codificação de fonte são realizadas os seguintes processos:
✓ Amostragem
✓ Quantização
✓ Codificação
✓ Embaralhamento e Criptografia
4.1.1 Amostragem
x
f (x)
(a) Sinal Original
x
f (x)
(b) Sinal Amostrado
Figura 4.2: Processo da Amostragem
O processo de amostragem e a geração do sinal Modulado por Amplitude de Pulso (PAM) está de-
monstrado na figura 4.2.
aO Sinal usa uma faixa de frequencia em que não necessita de um modem para ser transmitido, em que não há a necessidade de ser
modulado.
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No processo de amostragem, um sinal contínuo no tempo é transformado em um sinal discreto no tempo.
Para tanto, tomam-se amostras do sinal em intervalos periódicos. Para que o sinal original possa ser recuperado, a
partir do sinal amostrado, é preciso que a frequência de amostragem obedeça ao Critério de Nyquist, ou seja, ser
maior ou igual ao dobro da máxima frequência do sinal original. Para um sinal com frequência máxima igual a fm,
a frequência de Nyquist será fa = 2 fm.
Para aplicações em telefonia, a frequência de amostragem adotada internacionalmente é fa = 8.000
amostras por segundo. Portanto a cada 125 µs é retirada uma amostra do sinal.
4.1.2 Quantização
O processo de quantização pode ser visto como o mapeamento do sinal, a partir do domínio contínuo,
para um número contável de possíveis níveis de saída, ou seja, implica em se dividir a dinâmica total da execução
do sinal em N níveis discretos, chamados níveis de quantização. O fato de se trabalhar com um número discreto
e finito de níveis permite, além disso, um mecanismo fácil de codificação desses níveis com elementos binários.
Assim, a amplitude do sinal PAM é aproximado ao nível de quantização mais próximo, conforme demonstrado na
figura 4.3.
a
b
1
2
(a) Sinal Amostrado Original
a
b
1
2
(b) Sinal Amostrado Quantizado
Figura 4.3: Processo da Quantização
Devido a essa aproximação, ou seja, a necessidade de representar sinais com um número finito de bits,
surge o Erro de Quantização (ε), que é intrínseco ao processo de conversão analógico-digital. Esse erro de
quantização consiste na diferença entre o sinal na entrada, do quantizador, e o sinal na saída.
Por exemplo, na figura 4.4, vemos uma escala com 16 níveis de quantização (24 = 16 níveis⇒ 4 bits)
cuja, as tensões variam de 0∼ 7,5 V com intervalos de 0,5 V entre cada nível, caracterizando assim um quantizador
uniforme (veja a tabela 4.1).
Tempo Amostra (V) Aproximação(V) | ε | (V) Código de Quantização Binário
0 3,86 4,00 0,14 08 1000
ta 5,80 6,00 0,20 12 1100
2ta 6,55 6,50 0,05 13 1101
3ta 5,73 5,50 0,23 11 1011
4ta 3,77 4,00 0,23 08 1000
5ta 1,69 1,50 0,19 03 0011
6ta 0,59 0,50 0,09 01 0001
Tabela 4.1: Tabela de Amostras (Figura 4.4)
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
S
x
V
1
2
3
4
5
6
7
ta 2ta 3ta 4ta 5ta 6ta
Figura 4.4: Exemplo de Quantizador Uniforme
Para os 16 níveis, conforme o exemplo ao
lado, jamais o erro de quantização excederá o valor
de 0,25 V, pois corresponde a metade do intervalo de
quantização (S ), definido por 0,5 V.
Generalizando, o erro máximo de quantiza-
ção pode ser determinado em módulo por:
| ε | ⩽ S
2
Sendo esse nível conhecido por “Valor de
Decisão”, pois é justamente o limite para a aproxima-
ção de um valor de amostragem para o nível de quan-
tização superior ou inferior.
Como vimos anteriormente, o valor máximo
do erro de quantização depende exclusivamente da
quantidade de níveis disponíveis para a codificação.
Apesar da quantidade de níveis gerada por
8 bits ser bastante favorável (muitos níveis, pouca dis-
tância entre eles, erro de quantização baixo), o erro de
quantização encontrado em sinais modulantes de pe-
quena amplitude será o mesmo de sinais de grande am-
plitude, fazendo com que a incidência do ruído de quantização nas baixas amplitudes se agrave, diminuindo muito
a relação sinal/ruído do sinal modulado (baixas amplitudes perdem o pulso).
Para se resolver esse problema, foi desenvolvido um quantizador, onde o degrau de quantização não é
constante, mas é função do valor da amplitude do sinal. Para níveis