Representação de Sinais e Sistemas

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Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 1 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Capítulo 1 
Representação de Sinais e Sistemas 
1.1 Tipos de Sinais 
 
Toda grandeza elétrica variável no tempo pode ser considerada um sinal elétrico (tensão, corrente), 
podendo ser classificado conforme o tipo de variação no tempo como: 
 
 
 
 
Sinal finito: sinal não nulo apenas durante um tempo T finito. 
 
1 2( ) 0 ,f t t t t≠ < < 
 
 
 
 
 
Sinal periódico: sinal que se repete a cada intervalo de tempo 
T. 
 
( ) ( ) ( ) ... ( )T T T Tf t f t T f t T f t nT= + = − = = − 
n:= número inteiro 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal aleatório: sinal cuja definição apenas pode ser feita 
utilizando medidas estatísticas. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal determinístico: Sinal que pode ser completamente 
definido por uma equação matemática. 
 
 
 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
f(t)
t
1
 t
2
 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
f
T
(t)
T 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t 
f(t) 
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-3
-2
-1
0
1
2
t
f(t)=sin(t)+2cos(2t)
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Sinal Causal: É aquele que possui valor zero para 
todos os tempos negativos. 
 
 
( ) 0 , 0f t t= < 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal Não-Causal: É aquele que possui valor 
diferente de zero algum tempo negativo. 
 
 
( ) 0 , 0f t t≠ ∀ < 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal Anti-Causal: É aquele que possui valor zero 
para todos os tempos positivos. 
 
 
( ) 0 , 0f t t= > 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-5 0 5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
t
Função Causal
f(
t)
-5 0 5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
t
Função Não-Causal
f(
t)
-5 0 5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
t
Função Anti-Causal
f(
t)
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1.2 Operações Básicas com Sinais 
 
Algumas operações básicas sobre as funções matemáticas que representam os sinais elétricos são 
bastante comuns nos processos de modulação e, portanto, estão apresentadas abaixo juntamente 
com as respectivas exemplificações gráficas, nas quais y(t) é um pulso retangular de amplitude e 
duração unitárias. 
 
 
 
Multiplicação e Escalonamento 
 
 
( )
t
z t K y
T
� �= ⋅ � �
� �
 (1-1) 
 
Modificam a amplitude e a duração do sinal original, 
respectivamente. 
 
Em termos de sinais elétricos: 
Se K > 1 tem-se amplificação. 
Se 0<K < 1 tem-se atenuação. 
 
Se T>1 tem-se expansão no tempo. 
Se 0<T<1 tem-se compressão no tempo. 
 
 
 
Superposição e Deslocamento 
 
 
 
( ) ( )z t A y t T= + − ∆ (1-2) 
 
Realizam o translado do sinal original sobre os eixos 
da amplitude e do tempo, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
Em termos de sinais elétricos: 
Se ∆∆∆∆T > 0 tem-se atraso no tempo 
Se ∆∆∆∆T < 0 tem-se adiantamento no tempo (o que é impossível fisicamente). 
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 1.3 Funções de Interesse 
 
1.3.1. Função Degrau Unitário 
A função degrau foi introduzida por Heaviside e é comumente referida na matemática como função 
ΦΦΦΦ de Heaviside, conforme a definição abaixo. 
 
 
0 , 0
( )
1 , 0
t
u t
t
<�
= � >	
 (1-3) 
 
A função u(t) não é definida para t=0 
 
Obs.: Em algumas aplicações, define-se 12(0)u = 
 
 
 
 
1.3.2. Função Sinal 
 
 
1 , 0
sgn( )
1 , 0
t
t
t
>�
= �− <	
 
 
Relações com a função degrau: 
 
sgn( ) ( ) ( )t u t u t= − − 
sgn( ) 2 ( ) 1t u t= ⋅ − 
1 1
2 2( ) sgn( )u t t= + 
 
 
1.3.3. Função Pulso 
 
1 , 0
( )
0 , 0
t
p t
t ou t
∆
� < < ∆
 ∆= �
< > ∆
	
 
 
Relação com a função degrau: 
[ ]1( ) ( ) ( )p t u t u t∆ = − − ∆∆ 
 
Área: ( ). 1 ,p t dt
+∞
∆−∞
= ∀ ∆� 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Função Sinal
sg
n(
x)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.5
0
0.5
1
x
Função Pulso - delta=2
p2
(x
)
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Função Pulso Retangular 
Nos sistemas de comunicação digital é comum encontrar a representação do bit 1 por um pulso 
retangular com amplitude e duração definidas, portanto, faz-se necessário definir o pulso retangular 
ou Função Porta (Gate) de duração τ. 
 
1 , 2( )
0 , 2
t
G t
t
τ
τ
τ
� <
= �
>
	
 
 
 
Relação com a função degrau: 
 
2 2( ) ( ) ( )G t u t u t
τ τ
τ = + − − (1-4) 
 
 
1.3.4. Função Impulso 
A função impulso foi introduzida por Dirac, sendo que na matemática é conhecida como função δδδδ 
de Dirac. 
 
 
0 , 0
( )
, 0
t
t
t
δ
≠�
= �∞ =	
 
 
A função impulso pode ser definida também a partir da 
função pulso como: 
0
( ) lim ( )t p tδ ∆∆→= (1-6) 
 
 
Deste modo temos: 
0 0 0
( ). lim ( ) lim ( ) lim 1 1t dt p t dt p t dtδ
+∞ +∞ +∞
∆ ∆−∞ −∞ −∞∆→ ∆→ ∆→
= = = =� � � (1-5) 
Também: 
0
0
( ). ( ). 1t dt t dtδ δ
+
−
+∞
−∞
= =� � 
Logo: A função delta de Dirac possui amplitude ∞ em t=0 e área unitária 
 
 
 
Relações com a função degrau: 
0 0
( ) ( )
( ) lim ( ) lim
u t u t
t p tδ ∆∆→ ∆→
− − ∆= =
∆
 
Logo: 
( )
( )
du t
t
dt
δ = (1-7) 
e ( ) ( ).
t
u t dδ τ τ
−∞
= � 
 
-5 0 5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
t
Função Impulso
de
lta
(t
)
-τ/2 τ/2 
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Propriedade da Amostragem da Função Impulso 
 
Observações: - A função ( )ot tδ − é não nula apenas para ot t= 
- A multiplicação de qualquer função f(t) por ( )ot tδ − será não nula apenas em 
ot t= 
 
 
 
 
 
Assim temos que: 
 
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t t tδ δ⋅ − = ⋅ − (1-8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando-se: 
0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t t dt f t t t dt f t t t dtδ δ δ
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
⋅ − = ⋅ − = −� � � 
 
Logo: 0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f tδ
+∞
−∞
⋅ − =� 
 
Exemplo físico: Flash em uma máquina fotográfica=impulso de luz, filme integra a luz entrante 
pelo obturador que registra o instante t0. 
 
 
Escalonamento 
O escalonamento da função impulso não altera sua duração (que é sempre nula), mas tem efeito 
sobre sua área. 
 
( )' 't dt T t dt T
T
δ δ
+∞ +∞
−∞ −∞
� � ⋅ = ⋅ ⋅ =� �
� �
� � 
 
Assim podemos escrever que: ( )
t
T t
T
δ δ� � = ⋅� �
� �
 (1-9) 
-5 0 5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
f(t) e delta(t-t0)
f(t
)
to 
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1.3.5. Onda Cossenoidal 
A função cossenoidal é o sinal periódico utilizado para transportar a informação em diversos tipos 
de modulação, sendo que abaixo tem-se a onda cossenoidal de amplitude e período unitários, onde 
• a amplitude corresponde ao valor máximo da onda cossenoidal, e 
• o período (T) corresponde à duração de um ciclo completo da onda, sendo que 
• a freqüência (f) da onda cossenoidal é o inverso do período (número de ciclos por segundo=Hz). 
 
 
 
( ) cos(2 )g t tπ= (1-10) 
Neste exemplo: 
2 1 1f Tω π= = = 
 
ω: Freqüência em [rad/s] 
f: Freqüência em [Hz] 
T: Período em [s] 
 
 
Relações Importantes: 
1
T
f
= 2 fω π= ⋅ 2T π
ω
= 
 
1.3.6 Onda Senoidal 
A onda senoidal está atrasada em relação à onda cossenoidal sendo deslocada de um intervalo de 
tempo 4
TT∆ = , ou de uma fase 2
πφ = radianos. 
 
 
 
 
( ) sin(2 )g t tπ= ⋅ (1-11) 
 
ou 
 
( )14( ) cos 2 ( )g t tπ= ⋅ − 
( ) ( )14 2( ) cos 2 2 ) cos 2g t t t ππ π π= ⋅ − = ⋅ − 
 
 
 
 
A fase em radianos pode ser calculada como: Tφ ω= ⋅∆ 
1/4 
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1.3.7 Onda Quadrada 
A onda quadrada é formada pela superposição de infinitos pulsos retangulares deslocados no tempo 
de valores múltiplos do período da onda. A onda quadrada é utilizada para representar a função de 
chaveamento em circuitos moduladores. Abaixo tem-se a onda quadrada de amplitude e período 
unitários 
 
 
 
 
( )/ 2( )p T
n
s t G t nT
∞
=−∞
= −� (1-12) 
No exemplo da figura: T=1 
 
 
 
 
 
 
1.3.8 Trem de Impulsos 
Assim como é feito na onda quadrada, é possível realizar uma onda periódica formada pela 
superposição de impulsos, denominada trem de impulsos. O trem de impulsos tem sua importância 
junto ao processo de amostragem e digitalização de sinais analógicos. Abaixo tem-se o trem de 
impulsos de período 2. 
 
 
 
 
 
( )( )i
n
s t t nTδ
∞
=−∞
= −� (1-13) 
No exemplo da figura: T=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Trem de Impulsos
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1.4. Série de Fourier 
 
 
“Dada qualquer função periódica ( ) ( )Tf t f t nT= + , pode-se representá-la como a soma de um 
número infinito de funções senoidais e cossenoidais harmonicamente relacionadas.” 
Joseph Fourier, 1822. 
1.4.1. Forma Trigonométrica da Série de Fourier 
 
0 1 0 2 0 3 0
1 0 2 0 3 0
( ) cos( ) cos(2 ) cos(3 ) ...
sin( ) sin(2 ) sin(3 ) ...
Tf t a a t a t a t
b t b t b t
ω ω ω
ω ω ω
= + + + +
+ + + +
 
 
ou 
[ ]0 0 0
1
( ) cos( ) sin( )T n n
n
f t a a n t b n tω ω
+∞
=
= + +� 
onde 0
2
T
πω = : frequência angular fundamental 
e 0, n na a eb são constantes que dependem de n e f(t), e devem ser determinadas por: 
 
0
0
0
1
( ).
t T
Tt
a f t dt
T
+
= � 
0
0
0
2
( ).cos( ).
t T
n Tt
a f t n t dt
T
ω
+
= � 
0
0
0
2
( ).sin( ).
t T
n Tt
b f t n t dt
T
ω
+
= � 
 
onde as integrais podem ser calculadas em qualquer período de tempo T. 
 
• Espectro Unilateral de Linhas 
 
É a representação gráfica dos coeficientes n na e b . 
Representa-se a amplitude de cada harmônica por uma 
linha vertical localizada na frequência correspondente. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
São gráficos discretos, indicando que o sinal periódico possui energia (proporcional ao quadrado da 
amplitude) somente nas freqüências múltiplas (harmônicas) da fundamental. 
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Espectro Unilateral de Linhas
w[rad/s]
an
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1.4.2. Propriedades da Série Trigonométrica de Four ier 
 
 
a) Função Periódica Par: ( ) ( )T Tf t f t= − 
 
 
/ 2
00
4
( ).cos( ).
0
T
n
n
a f t n t dt
T
b
ω=
=
� 
 
 
 
 
b) Função Periódica Ímpar: ( ) ( )T Tf t f t= − − 
 
 / 2
00
0
4
( ).sin( ).
n
T
n
a
b f t n t dt
T
ω
=
= �
 
 
 
 
 
c) Valor Médio Nulo: 
 
 
 
 0 0a = 
 
 
 
 
 
d) Simetria de Meia Onda: 2( ) ( )
T
T Tf t f t= − − 
 
 
 0 /n na b p n par= = 
 
 
 
 
 
T 
T 
T 
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1.4.3. Forma Exponencial Complexa da Série de Fouri er 
 
0( ) . jn tT n
n
f t F e ω
+∞
=−∞
= � 
isto é: 
0 0 0
0 0 0
2 3
0 1 2 3
2 3
1 2 3
( ) . . . ...
. . . ...
j t j t j t
T
j t j t j t
f t F F e F e F e
F e F e F e
ω ω ω
ω ω ω− − −
− − −
= + + + +
+ + + +
 
 
onde Fn são constantes complexas definidas por: 
 
 
0
0
0
1
( ). .
t T jn t
n t
F f t e dt
T
ω+ −= � 
 
 
• Relações entre a Série Trigonométrica e a Série Exponencial: 
 
2 2
n n
n
a b
F j= − 
 
{ }
{ }
*
*
0 0
2.Re
2.Im
n n n n
n n n n
a F F F
b j F F F
a F
= + =

 �= − = −� �
=
 
 
 
• Espectro Bilateral de Linhas 
 
Representação gráfica dos coeficientes Fn para as frquências harmônicas 0.nω positivas e negativas. 
Sendo nF ∈� necessitamos de 2 gráficos (Módulo e Fase ou Pare Real e Parte Imaginária). 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Espectro Bilateral de Linhas
w[rad/s]
F
n
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1.5. Transformada de Fourier 
 
 
•Sinais Periódicos: Possuem energia nas frequências múltiplas da fundamental � Espectro Discreto 
 � Análise pela Série de Fourier 
 
•Sinais Não-Periódicos: Possuem energia em Todas as frequências � Espectro Contínuo 
 � Análise pela Transformada de Fourier 
 
A Transformada de Fourier pode ser obtida levando-se a expressão da Série Exponencial de Fourier 
ao limite T→∞ 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
lim
T→∞→
 
 
 
 
 
Série de Fourier Transformada de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Espectro Bilateral de Linhas
w[rad/s]
F
n
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w
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1.5.1. Definição 
 
 
Transformada Direta: ( ) ( )
j tF f t e dtωω
+∞ −
−∞
= � 
 
 
Transformada Inversa: 
1
( ) ( )
2
j tf t F e dωω ω
π
+∞
−∞
= � 
 
 
Notação: ( ) ( )f t F ω←→� 
{ }( ) ( )F f tω = � e { }( ) ( )f t F ω= ��� 
 
Observações Importantes: 
 
• A Transformada de Fourier decompõe um sinal em suas componentes exponenciais 
complexas. 
 
• ( )F ω é a representação de ( )f t no domínio frequência. 
 
• Normalmente ( )F ω é uma função complexa, necessitando de 2 gráficos para sua 
representação: ( )( ) ( ) . jF F e θ ωω ω= ou { } { }( ) Re ( ) Im ( )F F j Fω ω ω= + 
 
• Condição Suficiente (mas não necessária) para a existência da Transformada de Fourier: 
( ) ( ). j tF f t e dtωω
+∞ −
−∞
= < ∞� deve ser finita, 
como 1 ,j te e tω ω− = ∀ ∀ 
Logo: ( )f t dt
+∞
−∞
< ∞� 
 
• Para ( )f t ∈� , função real, pode-se demonstrar: 
Como: ( )( ) ( ) . jF F e θ ωω ω= 
 * ( )( ) ( ). ( ) ( ) .j t jF f t e dt F F eω θ ωω ω ω
+∞ + −
−∞
− = = =� 
Logo: ( ) ( )F Fω ω= − Módulo será uma função par 
 ( ) ( )θ ω θ ω= − − Fase será uma função ímpar 
 
• Se ( )f t é uma Função Par � ( )F ω é uma Função Real 
Se ( )f t é uma Função Ímpar � ( )F ω é uma Função Imaginária pura 
 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 14 
 
 
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1.5.2. Transformada de Fourier de algumas funções d e interesse 
 
a) Exponencial Causal: 
 
( ) ( )atf t e u t−= ←→� 1( )F
a j
ω
ω
=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ←→� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Função Pulso Retangular 
 
 
1, / 2
( ) ( )
0, / 2
t
f t G t
t
τ
τ
τ
� <
= = �
>
	
 ←→� ( ) .
2
F Sa
ωτω τ � �= � �
� �
 
 
 
 
 
 
←→� 
 
 
 
 
 
 
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
e(-2t) u(t)
-10 -5 0 5 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
w
|F(w)|=1/sqrt(4+w2)
-10 -5 0 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
w
Fase(w)=-atan(w/2)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
f(t)=G
2
(t)
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
w
F(w)=2 Sa(w)
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 15 
 
 
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c) Função Impulso: 
 
( ) ( ) ( ) 1f t t Fδ ω= ←→ =� 
 
 
 
 
 
 
←→� 
 
 
 
 
 
 
 
d) Função Impulso Deslocado 
 
0
0( ) ( ) ( )
j tf t t t F e ωδ ω −= − ←→ =� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
←→�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
f(t)=impulso(t)
1 
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
w
F(w)=1
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
f(t)=impulso(t-5)1 
-10 -5 0 5 10
-60
-40
-20
0
20
40
60
w
Fase(w)=-5 w
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
w
F(w)=1
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 16 
 
 
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e) Função Sinal 
 
1 , 0
( ) sgn( )
1 , 0
t
f t t
t
>�
= = �− <	
 ←→� ( )arctan 02 2( ) . jF e
j
ω
ω
ω ω
−
= = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
←→�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Função Constante 
 
 
 ( ) 1 ( ) 2 ( )f t F ω π δ ω= ←→ = ⋅� 
 
 
 
 
 
 
 
←→�
 
 
 
 
 
 
-10 -5 0 5 10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
f(t)=sgn(t)
-10 -5 0 5 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ω
θ(ω)=-atan(ω/0)
-10 -5 0 5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
ω
|F(ω)|=|2/ω| 
-10 -5 0 5 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
f(t)=1
-10 -5 0 5 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
ω
F(ω)=2πδ(ω)
2π 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 17 
 
 
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g) Função Degrau 
 
1 , 0
( ) ( )
0 , 0
t
f t u t
t
>�
= = � <	
 ←→� 
1
arctan
( )2 2
2
1 1
( ) ( ) ( ) .
j
F e
j
ωπδ ωω πδ ω π δ ω
ω ω
� �−
� �
� �= + = + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
←→�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) Exponencial Complexa 
 
0( ) j tf t e ω= ←→� 0( ) 2 ( )F ω πδ ω ω= − 
( ) ( )0 0( ) cos sinf t t j tω ω= + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ←→� 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10 -5 0 5 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
f(t)=u(t)
-10 -5 0 5 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
ω
√((π δ(ω))2+1/ω2)
π 
-10 -5 0 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ω
θ(ω)=atan(-1/(π ω δ(ω)))
-10 -5 0 5 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Re{f(t)}=cos(2 t)
-10 -5 0 5 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Im{f(t)}=sin(2 t)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ω
F(ω)=2 π δ(ω-2)
2π 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 18 
 
 
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i) Função Cosseno 
 
 ( )0( ) cosf t tω= ←→� ( ) ( )0 0( )F ω πδ ω ω πδ ω ω= + + − 
 
 
 
 
 
←→� 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) Função Seno 
 
 ( )0( ) sinf t tω= ←→� ( ) ( )0 0( )F j jω πδ ω ω πδ ω ω= + − − 
 
 
 
 
 
 
←→� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10 -5 0 5 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
f(t)=cos(2 t)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ω
F(ω)=π δ(ω-2)+π δ(ω+2)
π π 
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ω
Im{F(ω)}=π δ(ω+2)-π δ(ω-2)
π 
π 
-10 -5 0 5 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
f(t)=sin(2 t)
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 19 
 
 
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1.5.3. Propriedades da Transformada de Fourier 
 
Dada a definição: 
Transformada Direta: ( ) ( )
j tF f t e dtωω
+∞ −
−∞
= � 
Transformada Inversa: 
1
( ) ( )
2
j tf t F e dωω ω
π
+∞
−∞
= � 
 
a) Linearidade: 
Se: 
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
f t F
f t F
ω
ω
←→
←→
�
�
 
Então: 
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )af t bf t aF bFω ω+ ←→ +
� 
 
b) Simetria ou Dualidade 
Se: 
( ) ( )f t F ω←→� 
Então: 
( ) 2 ( )F t fπ ω←→ −� 
 
c) Escalonamento 
Se: 
( ) ( )f t F ω←→� 
Então: 
1
( )f at F
a a
ω� �←→ � �
� �
� 
 
d) Deslocamento em Frequência 
Se: 
( ) ( )f t F ω←→� 
Então: 
 0 0( ) ( )
j tf t e Fω ω ω⋅ ←→ −� 
 
e) Deslocamento no Tempo 
Se: 
 ( ) ( )f t F ω←→� 
Então: 
 00( ) ( ).
j tf t t F e ωω −− ←→� 
 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 20 
 
 
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f) Diferenciação e Integração no Tempo 
 
• Diferenciação: 
Se: 
( ) ( )f t F ω←→� 
Então: 
 
( )
( )
df t
j F
dt
ω ω←→ ⋅� 
Generalizando: ( )( ) ( )
n
n
n
d f t
j F
dt
ω ω←→ ⋅� 
 
• Integração 
Se: 
 ( ) ( )f t F ω←→� 
Então: 
 
1
( ). ( ) ( ) ( )
t
f d F F
j
τ τ ω π ω δ ω
ω−∞
←→ +�
� 
 
 
g) Diferenciação e Integração na Frequência 
 
• Diferenciação: 
Se: 
( ) ( )f t F ω←→� 
Então: 
 
( )
( ) ( )
dF
jt f t
d
ω
ω
− ←→� 
Generalizando: ( ) ( )( )
n
n
n
d F
jt f t
d
ω
ω
− ←→� 
 
• Integração 
Se: 
 ( ) ( )f t F ω←→� 
Então: 
 
1
( ) ( ) ( ) ( ).f t f t t F d
jt
ω
π δ τ τ
−∞
− + ←→ �
� 
 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 21 
 
 
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h) Teorema de Parseval 
 
 
Dado: 
Potência: 
2
2 2( )( ) 1. ( ) ( )
1
v t
p t i t f t= = = 
Energia: 2( ). ( ).E p t dt f t dt
+∞ +∞
−∞ −∞
= =� � 
 
 
Teorema de Parseval: 
 
2 21
( ) ( )
2
f t dt F dω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
=� � 
 
A energia de um sinal f(t) pode ser obtida tanto por uma integração no domínio do tempo 
quanto por uma integração no domínio frequência. 
 
1.5.4. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos 
 
Dada uma função periódica ( )( )Tf t f t mT= + , pode-se expandi-la em Série Exponencial 
Complexa de Fourier: 
 
0( ) . jn tT n
n
f t F e ω
+∞
=−∞
= � onde 0
2
T
πω = 
 e 
0
0
0
1
( ). .
t T jn t
n Tt
F f t e dt
T
ω+ −= � 
Transformada de Fourier: 
{ } 0( ) ( ) . jn tT n
n
F f t F e ωω
+∞
=−∞
� �= = � �
	 �
�� � 
 
{ }0( ) . jn tn
n
F F e ωω
+∞
=−∞
= � � Lembrando que: { } ( )0 02jn te nω πδ ω ω= −� 
 
Logo: 
( )0( ) 2 .n
n
F F nω π δ ω ω
+∞
=−∞
= −� 
 
A Transformada de Fourier de um sinal periódico é composta por impulsos localizados nas 
frequências harmônicas do sinal e a área de cada impulso é igual a 2π vezes o valor do coeficiente 
correspondente na Série Exponencial Complexa de Fourier. 
+ 
- 
v(t) 
i(t) 
R=1Ω 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 22 
 
 
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1.6. Sistemas Lineares e Convolução 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivo da análise: Conhecendo o sinal de entrada e alguma grandeza que represente o sistema, 
determinar o sinal de saída. 
 
Notação: ( ) ( )x t y t→ 
 
 
1.6.1. Sistemas Lineares 
 
Se: 1 1( ) ( )x t y t→ 
 2 2( ) ( )x t y t→ 
 
Então se o Sistema for Linear: 
 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t ay t by t+ → + 
 
 
A propriedade de linearidade é composta por: 
 
1 2 1 2
: ( ) ( )
: ( ) ( ) ( ) ( )
Homogeneidade ax t ay t
Linearidade
Superposição x t x t y t y t
→�
� + → +	
 
 
 
1.6.2. Sistemas Invariantes no Tempo 
 
Se: ( ) ( )x t y t→ 
 
Então se o Sistema for Invariante no Tempo: 
 0 0( ) ( )x t t y t t− → − 
 
São sistemas cuja resposta não se altera no tempo, isto é, aplicando-se x(t) atrasada no tempo (t0) a 
resposta é a mesma y(t) só que também atrasada no tempo (t0). 
 
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo: Sistemas LTI (Linear Time-Invariant) 
Sistemas que atendem as duas propriedades. 
Sistema x(t) 
Entrada 
y(t) 
Saída 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 23 
 
 
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1.6.3. Resposta de um Sistema Linear Invariante no Tempo (LTI) 
 
 
 
 
 
Se x(t) é o impulso, a reposta y(t) é chamada h(t) Resposta ao Impulso do Sistema. 
 
Demonstração: 
Se o sistema é invariante no tempo temos: 
 
 
 
 
Se o sistema é linear podemos multiplicar a entrada por uma constante: 
 
 
 
 
 
Se o sistema é Linear podemos integrar o sinal de entrada: 
 
 
 
 
 
Logo: Usando a propriedade de amostragem da função impulso temos: 
 
 
 
 
 
 
Integral de Convolução: 
 
 
Notação: ( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗ 
 
 
Conhecendo-se a resposta ao impulso h(t) de um Sistema Linear Invariante no Tempo, pode-
se calcular a saída deste sistema para qualquer sinal de entrada, a partir da integral de convolução. 
 
 
 
 
 
Sistema 
LTI 
x(t)=δ(t) y(t)=h(t) 
Sistema 
LTI 
δ(t-τ) h(t-τ) 
Sistema 
LTI 
x(τ)δ(t-τ) x(τ)h(t-τ) 
Sistema 
LTI 
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ
+∞
−∞
= −�( ) ( )x t dτ δ τ τ
+∞
−∞
−�
Sistema 
LTI 
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ
+∞
−∞
= −�( )x t
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ
+∞
−∞
= −�
h(t) ( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗( )xt
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 24 
 
 
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1.6.4. Propriedades da Convolução 
 
 
a) Comutatividade: ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t∗ = ∗ 
( ) ( ) ( ) ( )x h t d h x t dτ τ τ τ τ τ
+∞ +∞
−∞ −∞
− = −� � 
 
 
b) Distributividade: [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t x t x t h t x t h t x t∗ + = ∗ + ∗ 
 
 
c) Associatividade: [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t h t h t x t h t h t∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ 
 
 
d) Convolução com a Função Impulso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t f t d f tδ τ δ τ τ
+∞
−∞
∗ = − =� 
 
Generalizando: 0 0( ) ( ) ( )f t t t f t tδ∗ − = − 
 
 
e) Teorema da Convolução: 
 
e.1.) Convolução no Domínio do Tempo: 
 Se 
 1 1( ) ( )f t F ω←→
� 
 2 2( ) ( )f t F ω←→
� 
Então: 
 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F Fω ω∗ ←→ ⋅
� 
 
Convoluindo dois sinais no tempo, ocorre a multiplicação de seus espectros no domínio frequência. 
 
 
e.2.) Convolução no Domínio Frequência: 
 Se 
 1 1( ) ( )f t F ω←→
� 
 2 2( ) ( )f t F ω←→
� 
Então: 
 [ ]1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
f t f t F Fω ω
π
⋅ ←→ ∗� 
 
Multiplicando dois sinais no tempo, ocorre a convolução de seus espectros no domínio frequência 
(÷2π). 
 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 25 
 
 
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e.3) Interpretação Física do Teorema da Convolução 
 
 
 
 
 
 
 
{ }( ) ( )H h tω = � : Função de Transferência ou Resposta em Frequência do Sistema 
 
Logo: ( ) ( ) ( )Y X Hω ω ω= ⋅ 
 ( ) ( ) ( )( ) . ( ) . ( ) .Y X Hj j jY e X e H eθ ω θ ω θ ωω ω ω= ⋅ 
Assim: 
 ( ) ( ) ( )Y X Hω ω ω= 
e ( ) ( ) ( )Y X Hθ ω θ ω θ ω= + 
 
 
Podemos definir: 
( )
( )
( )
Y
H
X
ωω
ω
= 
 
 
 
Circuitos Elétricos Lineares no Domínio Frequência: 
 
 
 
 
( )
( ) . ( ) ( ) . ( ) ( )
( )
V
v t R i t V R I Z R
I
ωω ω ω
ω
= ←→ = → = =� 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) . ( ) .( ) ( ) ( )
( )
di t V
v t L V L j I Z j L
dt I
ωω ω ω ω ω
ω
= ←→ = → = =� 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 1
( ) . ( ) .( ) ( ) ( )
( )
dv t V
i t C I C j V Z
dt I j C
ωω ω ω ω
ω ω
= ←→ = → = =� 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
x t
X ω
( )
( )
h t
H ω
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
y t x t h t
Y X Hω ω ω
= ∗
= ⋅
v(t) 
+ 
- 
i(t) 
R 
v(t) 
+ 
- 
i(t) 
C 
v(t) 
+ 
- 
i(t) 
L 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 26 
 
 
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1.7. Transmissão de Sinais 
 
 
1.7.1. Transmissão sem distorção 
 
 
 
 
 
A saída é o sinal de entrada atenuado/amplificado e deslocado no tempo. 
Logo: Não há perda de Informação! 
 
{ } { }
0
0( ) ( ) ( )
( ) ( ) j t
Y y t k x t t
Y k X e ω
ω
ω ω −
= = ⋅ −
= ⋅ ⋅
� �
 
 
 
Como: ( ) ( ) ( )Y H Xω ω ω= ⋅ 
 
Temos que a resposta em frequência de um sistema que transmite um sinal sem distorção é: 
 
 
0( ) j tH k e ωω −= ⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo Constante e Fase Linear 
 
Distorção Linear : Quando um Sistema Linear impõe alterações no módulo e fase do espectro do 
sinal. 
Ex.: Filtros, atenuadores, amplificadores, equalizadores, etc. 
( )x t ( )h t 0( ) ( )y t k x t t= ⋅ −
-6 -4 -2 0 2 4 6
-0.5
0
0.5
1
1.5
ω
|H(ω)|
-6 -4 -2 0 2 4 6
-10
-5
0
5
10
ω
θ(ω)
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 27 
 
 
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1.7.2. Densidades Espectrais 
 
Definimos: 
 
Potência Instantânea que um sinal f(t) (tensão ou corrente) pode entregar a um resistor unitário 
como: 2( ) ( )p t f t= 
 
Potência Média do sinal f(t)como: 
/ 2 2
/ 2
1
lim ( ).
T
f TTT
P f t dt
T −→∞
= � 
 Pelo Teorema de Parseval: 
2
/ 2 2
/ 2
( )1 1
lim ( ) . lim .
2
T T
f TTT T
F
P f t dt d
T T
ω
ω
π
+∞
− −∞→∞ →∞
= =� � 
Onde fT(t) é o sinal obtido pelo truncamento do sinal de duração infinita f(t) entre os tempos 
–T/2 e T/2 
 
Energia do sinal f(t) como: 2( ).fE f t dt
+∞
−∞
= � 
 Pelo Teorema de Parseval: 
2 21
( ) . ( ) .
2f
E f t dt F dω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
= =� � 
 
Sinais de Potência: energia infinita e potência média finita 
- Sinais de duração infinita (periódicos, aleatórios,etc) 
Sinais de Energia: energia finita e potência Média nula 
- Sinais de duração finita (transientes) 
 
 
Assim podemos definir: 
 
• Densidade Espectral de Energia: [Joule/rad/s] 
2
( ) ( )f Fω ωΨ = 
 Assim podemos calcular a energia como: 
1
( ).
2f f
E dω ω
π
+∞
−∞
= Ψ� [Joules] 
 
• Densidade Espectral de Potência: [Watt/rad/s] 
21
( ) lim ( )f T
T
S F
T
ω ω
→∞
= 
 Assim podemos calcular a potência média: 
1
( ).
2f f
P S dω ω
π
+∞
−∞
= � [Watts] 
 
Para sinais periódicos tem-se: 
2
0( ) 2 ( )f n
n
S F nω π δ ω ω
+∞
=−∞
= ⋅ −� 
onde Fn são os coeficientes da Série Exponencial de Fourier 
 
As densidades não definem univocamente um sinal, falta informação da fase.
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 28 
 
 
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1.7.3. Transmissão de Energia em Sistemas Lineares 
 
 
 
 
- Energia do sinal de Entrada: 
22 1( ). ( ) .
2x
E x t dt X dω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
= =� � 
- Energia do sinal de Saída: 
22 1( ). ( ) .
2y
E y t dt Y dω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
= =� � 
 
Porém: ( ) ( ). ( )Y H Xω ω ω= 
 
2 2 2
( ) ( ) ( )Y H Xω ω ω= 
 
Logo: 
2 22 1( ). ( ) ( ) .
2y
E y t dt H X dω ω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
= =� � 
 
Densidade Espectral de Energia do sinal de Entrada: 
2
( ) ( )x Xω ωΨ = 
Densidade Espectral de Energia do sinal de Saída: 
2
( ) ( ) ( )y xHω ω ωΨ = Ψ 
 
 
 
1.7.4. Largura de Banda (Faixa) 
 
 
A largura de banda de um sinal é definida como a máxima frequência do sinal no qual 98% da 
energia está contida: 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )x t ( )h t ( )y t
-500 0 500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Ψ
x
(ω)=|X(ω)|2
W W 
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Ψ
x
(ω)=|X(ω)|2
W 
Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 29 
 
 
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A largura de banda de um sistema é definida como a frequência onde a amplitude do sinal de 
entrada cai -3dB ou 1/ 2 do seu valor no meio da faixa. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quanto maior a largura de banda W de um sistema, maior é sua capacidade de transmissão de 
dados. 
 
 
 
1.7.5. Introdução ao Ruído 
 
Tipos mais comuns de Ruído em sistemas eletrônicos: 
- Ruído Térmico (Thermal Noise): Resistores 
- Ruído Balístico (Shot Noise) : Semi-condutores 
- Ruído Flicker ou 1/f (Flicker Noise) : MOSFET 
 
 
Ruído Branco Ideal: Processo aleatório cujo espectro 
possui densidade de energia média constante em toda 
faixa de frequências. 
 
 
Ruído Colorido: Ruído branco limitado em frequência. 
 
 
Relação Sinal Ruído (Signal Noise Ratio): Quantiza a quantidade de ruído existente em um sinal. 
.
10 log
.
Pot Sinal
SNR
Pot Ruído
= [dB] 
 
Figura de Ruído: Parâmetro que quantifica o ruído gerado internamente em um sistema elétrico 
linear. É a relação entre o ruído adicionado pelo circuito e o ruído de um elemento resistivo puro, 
ambos na mesma temperatura. 
 
 
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
|H(ω)|
W 
1/ 2
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ω
|H(ω)|
W 
1/ 2
-1000 -500 0 500 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ω
Ψ
wn
(ω)
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1.7.6. Filtros 
 
a) Filtro Passa-Baixas 
 
Passa-Baixas Ideal: 
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ω
|H(ω)|
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
ω
Θ(ω)
 
( ) 02( ) j tWH A G e ωω ω −= ⋅ ⋅ 
Resposta ao impulso: 
 
 { } ( )0( ) ( )
AW
h t HSa W t tω
π

 �= = −� �
��
� 
 
 
Como a resposta ao impulso não é nula para t<0 o sistema 
é antecipativo, Não-Causal, portanto irrealizável 
fisicamente. 
 
Passa-Baixas Realizável: 
Ex.: 
 
 
 
1
1
( )
1 1
j C
H
j RCR j C
ωω
ωω
= =
++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
t
h(t)
C
R
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
|H(ω)|
1/RC 
1/ 2
-1/RC 
-15 -10 -5 0 5 10 15
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ω
Θ(ω)
W -W 
A 
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b) Filtro Passa-Altas 
 
Passa-Altas Ideal: 
 
 
( ) 02( ) 1 .c
j tH A G e ωωω ω
−
 �= −� � 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta ao Impulso: 
 
{ } { }0 02( ) ( ) ( )cj t j th t H Ae AG eω ωωω ω− −= = −�� ��� � 
( )0 0( ) ( ) ( )c ch t A t t A Sa t t
ωδ ω
π
= − − − 
 
-Sistema Não-Causal. 
 
 
Filtro Passa-Altas Realizável: 
Ex.: 
 
 
 ( )
1 1
R j RC
H
j RCR j C
ωω
ωω
= =
++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
0
2
4
t
h(t)
C
R
-15 -10 -5 0 5 10 15
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ω
Θ(ω)
-15 -10 -5 0 5 10 15
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ω
|H(ω)|
1/RC -1/RC 
1
2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ω
|H(ω)| Θ(ω) 
ωc -ωc 
A 
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c) Filtro Passa-Faixas 
 
Filtro Passa-Faixas Ideal: 
 
[ ] 00 0( ) ( ) ( ) . j tW WH A G G e ωω ω ω ω ω −= − + + 
 
Exercício: Calcular h(t) 
 
Filtro Passa-Faixas Realizável: 
Ex.: 
 
 
2
( )
1 ( ) 1
R j RC
H
j LC j RCR j Lj C
ωω
ω ωωω
= =
+ ++ +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Filtro Rejeita-Faixas 
 
Filtro Rejeita-Faixas Ideal: 
 
 
0
0 0( ) 1 ( ) ( ) .c c
j tH A G G eωω ωω ω ω ω ω
 �= − − − +� �
 
Exercício: Calcular h(t) 
 
 
Filtro Rejeita-Faixas Realizável: 
Ex.: 
 
 
 
2
2
1
1
( )
1 ( ) 1
j L LCj C
H
j LC j RCR j L j C
ω ωωω
ω ωω ω
+ −= =
+ ++ +
 
L
R
C
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
|H(ω)|
W W 
1
2
1
LC
1
LC
−
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ω
|H(ω)| Θ(ω) 
W W 
-ω0 ω0 
-50 0 50
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
|H(ω)| Θ(ω) 
-ω0 
ω
0 
ω
c ωc 
C
R
L
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
|H(ω)|
1
LC
1
LC
−
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1.7.7. Resposta de Sistemas Lineares a Entradas Sin usoidais 
 
 
 
 
Dado: 
( )( ) ( ) . HjH H e θ ωω ω= 
 
Podemos demonstrar que: ( )0 0 0( ) . ( ) .cos ( )Hy t k H tω ω φ θ ω= + + 
 
O sinal de saída possui a mesma frequência do sinal de entrada, com amplitude modificada por 
0( )H ω e fase somada com 0( )Hθ ω . 
 
1.7.7. Sistemas Lineares ×××× Sistemas Não-Lineares 
 
Sistemas Lineares: Podem modificar apenas a amplitude e/ou a fase dos sinais de entrada 
(distorção linear), sem criar novos harmônicos. 
 
Sistemas Não-Lineares: Podem apresentar na saída, sinais com frequências diferentes do sinal de 
entrada (Intermodulação). 
 
 
• Distorção Harmônica 
 
Seja um sistema genérico com sinal de entrada sinusoidal puro. 
 
 
 
Com espectros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Entrada Saída 
 
 
 
 
0( ) .cos( )x t k tω φ= + ( )
( )
h t
H ω
 ( ) ?y t =
0( ) .cos( )x t k tω= ( )y tSistema 
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
nω
0
a
n
k 
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
nω
0
a
n
A
1
 
A
2
 
A
3
 
A
4
 
A
5
 
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Define-se a Distorção de i-ésima harmônica como: 
 
1
i
i
A
D
A
= 
 
Ex.: Distorção de Terceira harmônica apresentada por transformadores devido a não linearidade da 
permeabilidade magnética de alguns materiais com a intensidade de campo magnético. 
 
 
• Distorção Harmônica Total (THD) 
 
Define-se: 
 
2 2 2 2
2 3 4 5
2
1
...A A A A
THD
A
+ + + += 
 
A THD é uma medida da Não-Linearidade de um sistema. Quanto maior a THD mais não-linear, 
quanto menor a THD mais linear é o sistema. 
 
 
Ex.: 
 
 
 
0 0 0 0( ) 20cos( ) 5cos(2 ) 2cos(3 ) cos(4 )y t t t t tω ω ω ω= + + + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2
5 2 1
0,27 27%
20
THD
+ += = → 
 
Aparelhos de som de alta fidelidade: THD<0,1% 
 
0( ) cos( )x t tω= ( )y tAmplificador 
0 1 2 3 4 5
-10
-5
0
5
10
15
20
ω
a
n
20 
5 
2 
1
0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ω
a
n
1