Física 4 18

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 18 
 Questão 1
Dois fótons com energia iguais colidem 
frontalmente e se aniquilam produzindo um par ߤାߤି. A massa do múon vale 207 vezes a massa do 
elétron. (a) Calcule o comprimento de onda 
máximo do fóton para que isso ocorra. Se os 
fótons possuem esse comprimento de onda, 
descreva o movimento do ߤା e do ߤି 
imediatamente depois de eles serem produzidos. 
(b) O que ocorre quando esses fótons possuem 
comprimento de onda menor do que esse valor 
máximo, porém ainda se aniquilam produzindo 
um par ߤାߤି? 
Resolução: 
a) A energia mínima para a produção dos múons é 
dada pela energia de repouso dos próprios múons. 
Ou seja: ܧఓష ൌ ܧఓశ ൌ ݉ఓశܿଶ 
(1.1) 
Em que ݉ఓశ ൌ ݉ఓష ൌ ͳͲͷǡ͹�ܯܸ݁ ή ܿିଶ. Logo, a 
energia de cada fóton, será de ͳͲͷǡ͹�ܯܸ݁ ؆ ͳǡ͸ͻ ήͳͲିଵଵ�ܬ. Por sua vez, a energia do fóton é dada por: ܧఊ ൌ ݄ܿߣ 
(1.2) 
Substituindo os valores na equação (1.2), teremos 
para o comprimento de onda: ߣ ൌ ͸ǡ͸͵ ή ͳͲିଷସ ή ͵ ή ͳͲ଼ͳǡ͸ͻ ή ͳͲିଵଵ ׵ ߣ ؆ ͳǡͳ͹ ή ͳͲିଵସ�݉ 
(1.3) 
Cerca de ͳͳǡ͹�݂݉. Os múons, dessa forma criados, 
estarão em repouso. 
b) Para fótons com comprimento de onda menor, 
a energia fornecida na aniquilação dos mesmos 
será maior do que o valor dado em (1.1) logo, os 
múons criados terão energia cinética e seus 
momentos terão módulos idênticos, porém, 
sentidos opostos. 
 
 Questão 2
 
Um próton e um antipróton se aniquilam, 
produzindo dois fótons. Calcule a energia, a 
frequência e o comprimento de onda de cada 
fóton no sistema de referência do centro de 
massa-momento linear. (a) Supondo que as 
energias cinéticas do próton e do antipróton 
sejam desprezíveis; (b) Supondo que cada 
partícula possua uma energia cinética igual a ͺ͵Ͳ�ܯܸ݁. 
Resolução: 
a) Desprezando a energia cinética dos prótons, 
podemos concluir que a energia de repouso de 
cada partícula será utilizada para a produção do 
par de fótons. Assim, teremos: 
 ܧ௣ ൌ ܧ௣ҧ ൌ ݉௣ܿଶ ൌ ݄ߥ 
(2.1) 
 
Em que ݉௣ ൌ ͻ͵ͺǡ͵�ܯܸ݁ ή ܿିଶ. Assim, 
substituindo os valores numéricos em (2.1), 
teremos, para a energia: 
 ܧఊ ൌ ݄ߥ ൌ ͻ͵ͺǡ͵�ܯܸ݁ ൌ ͳǡͷͲ͵ ή ͳͲିଵ଴�ܬ 
(2.2) 
 
Para a frequência: 
 ߥ ؆ ʹǡʹ͹ ή ͳͲଶଷ�ܪݖ 
(2.3) 
 
E para o comprimento de onda: 
 ߣ ൌ ܿߥ ؆ ͳǡ͵ʹ ή ͳͲିଵହ�݉ 
(2.4) 
 
b) Agora, levando em conta a energia cinética de 
cada partícula, teremos para a energia: 
 ܧఊ ൌ ݄ߥ ൌ ͳ͹͸ͺǡ͵�ܯܸ݁ ؆ ʹǡͺʹͻ ή ͳͲିଵ଴�ܬ 
(2.5) 
 
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Para a frequência: ߥ ؆ Ͷǡʹ͹ ή ͳͲଶଷ�ܪݖ 
(2.6) 
E para o comprimento de onda: ߣ ൌ ܿߥ ؆ ͹ǡͲ͵ ή ͳͲିଵ଺�݉ 
(2.7) 
 Questão 3
Potência máxima de uma espaçonave. A 
espaçonave Enterprise, popularizada no cinema e 
na televisão, é alimentada por um motor que 
controla a recombinação entre a matéria e a 
antimatéria. Supondo que todo o combustível de ͶͲͲ�݇݃ de antimatéria da Enterprise se combine 
com a matéria, qual é a quantidade de energia 
liberada? 
Resolução: 
A energia liberada com a recombinação entre ͶͲͲ�݇݃ de matéria com ͶͲͲ�݇݃ de antimatéria é 
dada por: ܧ ൌ ݉ܿଶ ൌ ͺͲͲ ή ሺ͵ ή ͳͲ଼ሻଶ ׵ ܧ ൌ Ͷǡͷ ή ͳͲଷଶ�ܯܸ݁ 
(3.1) 
 Questão 4
Um elétron e um pósitron com energias iguais 
colidem frontalmente e a energia disponível total 
é igual a ͳͲͲ�ܩܸ݁. (a) Qual é a energia total do 
elétron e do pósitron? (b) Se um elétron com a 
energia total calculada no item (a) incide sobre 
um pósitron em repouso, qual é a energia 
disponível? 
Resolução: 
a) A energia total disponível é igual a soma das 
energias totais das partículas. Como as partículas 
possuem a mesma energia, podemos concluir que 
a energia total de cada uma é igual a metade da 
energia disponível: ܧ௘ష ൌ ܧ௘శ ൌ ͷͲ�ܩܸ݁ 
(4.1) 
b) Agora, considerando um elétron com a energia 
total dada pelo resultado de (4.1), colidindo com 
um pósitron em repouso, temos para a energia 
disponível a seguinte expressão: 
 ܧௗଶ ൌ ʹ݉௘ܿଶሺܧ௘ష ൅݉௘ܿଶሻ 
(4.2) 
 
Para (4.2), as partículas possuem a mesma massa 
de repouso. Então substituindo os dados 
numéricos em (4.2), teremos: 
 ܧௗଶ ൌ ͳǡ͸Ͷ ή ͳͲିଵଷሺͺ ή ͳͲିଽ ൅ ͺǡʹ ή ͳͲିଵସሻ ׵ ܧௗ ؆ ͵ǡ͸ʹ ή ͳͲିଵଵܬ 
(4.3) 
 
Cerca de ʹʹ͸ǡͶ�ܯܸ݁. 
 
 Questão 5
 
O campo magnético em um cíclotron que 
acelera prótons é igual ͳǡ͵Ͳ�ܶ. (a) Quantas vezes 
por segundo o potencial entre dois dês deve ser 
invertido? (Esse valor é igual ao dobro da 
frequência dos prótons que circulam.) (b) O raio 
máximo do cíclotron é igual a ͲǡʹͷͲ�݉. Qual é a 
velocidade máxima do próton? (c) Por qual 
diferença de potencial o próton deveria ser 
acelerado a partir do repouso para atingir a 
mesma velocidade no item (b)? 
Resolução: 
a) A frequência do movimento dos prótons, em 
um cíclotron, é dada por: 
 ݂ ൌ ȁݍȁܤʹߨ݉ 
(5.1) 
 
Substituindo os dados numéricos em (5.1), 
teremos: 
 ݂ ൌ ͳͻǡͺʹ�ܯܪݖ 
(5.2) 
 
Em que a massa do próton é de ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻݇݃. 
Como a tensão elétrica entre os dês deve ser 
invertida duas vezes por volta, a requerida 
frequência será de ͵ͻǡ͸Ͷ�ܯܪݖ. 
 
 
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b) A energia cinética máxima dos prótons, em um 
cíclotron, será dada por: 
ܭ௠ž௫ ൌ ݍଶܤଶܴ௠ž௫ଶʹ݉ 
(5.3) 
Substituindo os dados numéricos em (5.3), 
teremos: ܭ௠ž௫ ൌ ͺǡͲͻ͸ ή ͳͲିଵଷ�ܬ 
(5.4) 
Aproximadamente ͷǡͲ͸�ܯܸ݁. Com o resultado 
(5.4), no regime clássico, teremos: 
ݒ௠ž௫ ൌ ൬ʹܭ௠ž௫݉ ൰ଵଶ ׵ ݒ௠ž௫ ؆ ͵ǡͳ ή ͳͲ଻݉ ή ݏିଵ 
(5.5) 
c) O trabalho resultante é igual a variação da 
energia cinética. Logo: ܹ ൌ οܭ 
(5.6) 
O trabalho resultante depende da tensão elétrica 
segundo a expressão: ܹ ൌ ݍܷ 
(5.7) 
Utilizando o resultado da energia cinética em (5.6) 
e depois utilizando (5.7), teremos: ܷ ൌ ͷǡͲ͸�ܯܸ 
(5.8) 
 Questão 6
Um feixe de partículas alfa com energias 
elevadas colide com um alvo de gás hélio em 
repouso. Qual é a energia total de uma partícula 
do feixe, sabendo que a energia disponível na 
colisão é igual a ͳ͸ǡͲ�ܩܸ݁? Qual deve ser a energia 
de cada feixe para produzir a mesma energia 
disponível em uma experiência de colisão frontal 
entre os dois feixes? 
Resolução: 
Levando em consideração que o núcleo de hélio 
tem a mesma massa de uma partícula alfa, 
poderemos utilizar a expressão (4.2) para a 
energia disponível. Assim, teremos: 
 ሺʹǡͷ͸ ή ͳͲିଽሻଶʹ ή ͸ǡ͸ͺ ή ͳͲିଶ଻ ή ͻ ή ͳͲଵ଺ ൌ ܧ௠ ൅ ͸ǡͲͳʹ ή ͳͲିଵ଴ ܧ௠ ൌ ͷǡͶͷ ή ͳͲିଽ െ ͸ǡͲͳʹ ή ͳͲିଵ଴ ׵ ܧ௠ ൌ Ͷǡͺͷ ή ͳͲିଽ�ܬ 
(6.1) 
 
Ou seja, ͵Ͳǡ͵�ܩܸ݁. 
 
Em se tratando de dois feixes com a mesma 
energia, teremos ͺ�ܩܸ݁ para cada feixe. 
 
 Questão 7
 
Qual é a velocidade de um próton que possui 
energia total de ͳͲͲͲ�ܩܸ݁? Qual é a frequência 
angular ߱ de um próton com a velocidade 
calculada anteriormente em um campo magnético 
de ͶǡͲͲ�ܶ? Utilize as equações não relativística e 
relativística e compare os resultados. 
Resolução: 
A energia total em um regime relativístico é dada 
por: 
 ܧ ൌ ݉ܿଶටͳ െ ݒଶܿଶ 
(7.1) 
 
Assim, a velocidade será dada por: 
 ݒ ൌ ܿඨͳ െ ቆ݉ܿଶܧ ቇଶ 
(7.2) 
 
Substituindo os dados numéricos em (7.2), 
teremos: 
 ݒ ؆ ʹǡͻ ή ͳͲ଼�݉ ή ݏିଵ 
(7.3) 
 
Cerca de Ͳǡͻͻͻͻͻͻͷͷͻܿ. 
 
 
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ͳͷ͵Ͳ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ 
ܵ ൌ Ͳ 
ܵ ൌ െͳ 
ܵ ൌ െʹ 
ܵ ൌ െ͵ ܳ ൌ െ݁ െ݁ ܳ ൌ Ͳ Ͳ ܳ ൌ ൅݁ ݁ ܳ ൌ ൅ʹ݁ 
ͳʹ͵ʹ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ 
ͳ͵ͺͷ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ 
ͳ͸͹ʹ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ 
ଶ οି ο଴ οା οାା ȭି ȭ଴ ȭା ȩି ȩ଴ ȳି 
ͳͷ͵Ͳ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ 
ܵ ൌ Ͳ 
ܵ ൌ െͳ 
ܵ ൌ െʹ 
ܵ ൌ െ͵ ܳ ൌ െ݁ െ݁ ܳ ൌ Ͳ Ͳ ܳ ൌ ൅݁ ݁ ܳ ൌ ൅ʹ݁ 
ͳʹ͵ʹ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ 
ͳ͵ͺͷ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ 
ͳ͸͹ʹ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ 
݀݀݀ ݀݀ݑ ݀ݑݑ ݑݑݑ 
݀݀ݏ ݑ݀ݏ ݑݑݏ 
݀ݏݏ ݑݏݏ 
ݏݏݏ 
A velocidade angular é dada por: ߱ ൌ ȁݍȁ݉ܤ 
(7.4) 
Utilizando os dados numéricos em (7.4),teremos: ߱ ؆ ͵ͺ͵ǡʹ͵ ή ͳͲ଺�ݏିଵ 
(7.5) 
Agora, utilizando a expressão relativística, dada 
por: 
߱ ൌ ȁݍȁ݉ܤ ඨͳ െ ݒଶܿଶ 
(7.6) 
Teremos o valor de ͵͸ͲǡʹͶ ή ͳͲଷ�ݏିଵ. 
 Questão 8
Calcule a energia cinética limite para a 
produção de uma partícula ߟ଴ na colisão de um 
feixe de prótons com um próton em repouso: ݌ ൅ ݌ ՜ ݌ ൅ ݌ ൅ ߟ଴. Aenergia de repouso da ߟ଴ é 
igual a ͷͶ͹ǡ͵�ܯܸ݁. 
Resolução: 
A energia disponível deve ser suficiente para a 
produção da partícula ߟ଴ e também manter os 
dois prótons. Considerando que ao final da colisão 
as partículas estejam em repouso, teremos: ܧௗ ൌ ൫ʹ݉௣ ൅݉ఎబ൯ܿଶ 
(8.1) 
Por sua vez, a energia disponível para partículas 
de massas iguais é dada pela expressão (4.2). 
Assim, utilizando a expressão (8.1) em (4.2), 
teremos: ܧ௠ ൌ ݉ܿଶ ൅݉ఎబܿଶ ൬ʹ ൅ ݉ఎబʹ݉ ൰ 
(8.2) 
Em que ܧ௠ é a energia total, ou seja, a energia de 
repouso adicionada com a energia cinética. 
Utilizando os dados numéricos em (8.2), teremos: 
ܧ௠ ൌ ݉ܿଶ ൅ ͳʹͷͶǡͶ�ܯܸ݁ 
(8.3) 
 
Logo, a energia cinética será de ͳʹͷͶǡͶ�ܯܸ݁. 
 
 Questão 9
 
Nove bárions com spin ͵ ʹΤ são quatro 
partículas ο, cada uma delas com massa ͳʹ͵ʹ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ, estranheza 0 e cargas ൅ʹ݁ǡ൅݁ǡ Ͳ e െ݁; três partículas ȭכ, cada uma delas com massa ͳ͵ͺͷ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ, estranheza െͳ e cargas ൅݁ǡ Ͳ e െ݁; duas partículas ȩכ cada uma delas com massa ͳͷ͵Ͳ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ, estranheza െʹ e cargas Ͳ e Ȃ ݁. (a) 
Coloque essas partículas em um gráfico de S 
contra Q. Deduza os valores de S e de Q para o 
décimo bárion com spin ͵ ʹΤ , a partícula ȳି, e 
coloque-a em seu diagrama. Identifique as 
partículas com suas respectivas massas. A massa 
de ȳି é igual a ͳ͸͹ʹ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ; esse valor é 
consistente com o seu diagrama? (b) Deduza as 
combinações de três quarks ሺ࢛ǡ ࢊ�‡�࢙ሻ que 
compõem cada uma dessas dez partículas. Faça 
um novo desenho do gráfico de S contra Q do item 
(a) com cada partícula identificada com dísticos 
indicando seu respectivo teor de quark. Que 
regularidades você observa? 
Resolução: 
a) Considere o diagrama abaixo representado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)Considere o diagrama a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Questão 10
A distância entre a Terra e uma galáxia na 
constelação de Peixes é igual a ͷʹͳͲ�ܯ݈ܽ. (a) Use a 
lei de Hubble para calcular a velocidade com a 
qual essa galáxia se afasta da Terra. (b) Qual é a 
razão do deslocamento para o vermelho ߣ଴ ߣ௦Τ que 
você espera para essa galáxia? 
Resolução: 
a) A lei de Hubble é dada por: ݒ ൌ ܪ଴ݎ 
(10.1) 
Em que ܪ଴ ൌ ʹͲ�݇݉ ή ሺܯ݈ܽ ή ݏሻିଵ é a constante de 
Hubble. Assim, utilizando (10.1), teremos: ݒ ൌ ʹͲ ή ͷʹͳͲ ൌ ͳͲͶʹͲͲ�݇݉ ή ݏିଵ 
(10.2) 
b) Para o deslocamento do comprimento de onda, 
teremos: ߣ଴ߣ௦ ൌ ൬ܿ ൅ ݒܿ െ ݒ൰ଵଶ 
(10.3) 
Utilizando o resultado de (10.2) em (10.3), 
teremos: ߣ଴ߣ௦ ؆ ξʹ 
(10.4) 
 Questão 11
De acordo com a lei de Hubble, qual deve ser a 
distância ݎ entre a Terra e uma galáxia que se 
afasta com velocidade igual a ܿ? Explique por que 
a distância calculada anteriormente é o tamanho 
do universo observável (desprezando qualquer 
efeito de diminuição da expansão causada pela 
atração gravitacional). 
Resolução: 
Utilizando a relação (10.1), teremos: ݎ ൌ ܿܪ଴ 
׵ ݎ ؆ ͳǡͷ ή ͳͲସ�ܯ݈ܽ 
(11.1)
 
Para distâncias superiores ao valor obtido em 
(11.1), a luz proveniente dos objetos lá 
localizados, não teve tempo, desde a formação do 
universo, para chegar até nós. 
 
 Questão 12
 
O pico da radiação do corpo negro de ʹǡ͹ʹͺ�ܭ 
possui comprimento de onda igual a ͳǡͲ͸ʹ�݉݉. 
Qual era o comprimento de onda do pico da 
radiação existente no instante ݐ ൌ ͹ͲͲͲͲͲ�ܽ݊݋ݏ 
quando a temperatura era igual a ͵ͲͲͲ�ܭ? 
Resolução: 
Seja a relação: 
 ߣଵ ଵܶ ൌ ߣଶ ଶܶ 
(12.1) 
 
A relação (12.1) é proveniente da lei de 
deslocamento de Wien. Assim, utilizando os dados 
numéricos em (12.1), teremos: 
 ͳǡͲ͸ʹ ή ʹǡ͹ʹͺ ൌ ͵ͲͲͲߣଶ ׵ ߣଶ ൌ ͻǡ͸͸ ή ͳͲିସ�݉݉ 
(12.2) 
 
Ou seja, Ͳǡͻ͸͸�ߤ݉. 
 
 Questão 13
 
Mostre que a expressão para o comprimento de 
Planck ඥ԰ܩ ܿଷΤ possui dimensão de comprimento. 
Calcule o valor numérico de ඥ԰ܩ ܿଷΤ . 
Resolução: 
Fazendo uma análise dimensional para as 
constantes, teremos: 
 
· Para a constante de Planck: 
 ሾ԰ሿ ൌ ܯ ή ܮଶ ή ܶିଵ 
(13.1) 
 
· Para a constante gravitacional: 
 ሾܩሿ ൌ ܯିଵ ή ܮଷ ή ܶିଶ 
(13.2) 
 
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6 
· Para a velocidade da luz: ሾܿሿ ൌ ܮ ή ܶିଵ 
(13.3) 
Assim, para o comprimento de Planck, teremos: 
቎൬԰ܩܿଷ ൰ଵଶ቏ ൌ ቆܯ ή ܮଶ ή ܶିଵ ή ܯିଵ ή ܮଷ ή ܶିଶܮଷ ή ܶିଷ ቇଵଶ
׵ ቎൬԰ܩܿଷ ൰ଵଶ቏ ൌ ܮ 
(13.4) 
Utilizando os valores numéricos do S.I. teremos: 
൬԰ܩܿଷ ൰ଵଶ ൌ ቆͳǡͲͷͷ ή ͳͲିଷସ ή ͸ǡ͸͹ ή ͳͲିଵଵሺ͵ ή ͳͲ଼ሻଷ ቇଵଶ ׵ ൬԰ܩܿଷ ൰ଵଶ ؆ ͳǡ͸ͳ ή ͳͲିଷହ�݉ 
(13.5) 
 Questão 14
No LHC cada próton será acelerado até uma 
energia cinética de ͹ǡͲ�ܸܶ݁. (a) Nos feixes que 
colidem qual é a energia disponível ܧௗ na colisão? 
(b) Supondo que o feixe de prótons colida com um 
próton em repouso, qual deve ser a energia total 
das partículas do feixe (em ܸܶ݁) para produzir a 
mesma energia disponível calculada no item (a)? 
Resolução: 
a) Para os feixes que possuem a mesma energia, a 
energia disponível será igual a soma das energias, 
ou seja: ܧௗ ൌ ͳͶ�ܸܶ݁ 
(14.1) 
b) A energia de repouso do próton vale ͻ͵ͺǡ͵�ܯܸ݁. Utilizando os valores de (14.1) na 
expressão de (4.2), teremos: ܧௗଶ ൌ ʹ݉ܿଶሺܧ௠ ൅݉ܿଶሻ ͳǡͻ͸ ή ͳͲଶ଺ ؆ ͳǡͺ͹͹ ή ͳͲଽሺܧ௠ ൅ ͻ͵ͺǡ͵ ή ͳͲ଺ሻ ׵ ܧ௠ ؆ ͳǡͲͶ ή ͳͲଵ଻�ܸ݁ 
(14.2) 
Ou seja, ͳͲͶ�ܸܲ݁. 
 
 Questão 15
 
Calcule a energia cinética limite necessária para 
a reação: ߨି ൅ ݌ ՜ ȭ଴ ൅ܭ଴ quando um feixe de ߨି incide sobre um próton em repouso. A 
partícula ܭ଴ possui massa igual a Ͷͻ͹ǡ͹�ܯܸ݁ ή ܿିଶ. 
Resolução: 
As massas de ߨି e de ȭ଴ são respectivamente: ݉గష ൌ ͳ͵ͻǡ͸�ܯܸ݁ ή ܿିଶ�‡�݉ஊబ ൌ ͳͳͻ͵�ܯܸ݁ ή ܿିଶ. 
A energia disponível para essa reação não pode 
ser dada pela expressão (4.2), pois as massas de ߨି e de ݌ são distintas. Assim, utilizaremos a 
seguinte expressão: 
 ܧௗଶ ൌ ʹܯܿଶܧ௠ ൅ ሺܯܿଶሻଶ ൅ ሺ݉ܿଶሻଶ 
(15.1) 
 
Em que ܯ é a massa da partícula alvo e ܧ௠ é a 
energia total da partícula em movimento. A 
energia disponível mínima será dada pelas 
energias de repouso das partículas ȭ଴ e ܭ଴, ou 
seja: 
 ܧௗ ൌ ͳͳͻ͵ ൅ Ͷͻ͹ǡ͹ ൌ ͳ͸ͻͲǡ͹�ܯܸ݁ 
(15.2) 
 
Substituindo os dados numéricos em (15.1), 
teremos: 
 ͳ͸ͻͲǡ͹�ଶ ൌ ͳͺ͹͸ǡ͸ܧ௠ ൅ ͺͺͲͶͲ͸ǡͺͻ ൅ ͳͻͶͺͺǡͳ͸ ׵ ܧ௠ ൌ ͳͲͶ͵ǡ͹�ܯܸ݁ 
(15.3) 
 
Logo, a energia cinética será: 
 ܭ ൌ ܧ௠ െ݉ܿଶ ൌ ͳͲͶ͵ǡ͹ െ ͳ͵ͻǡ͸ ׵ ܭ ؆ ͻͲͶǡͳ�ܯܸ݁ 
(15.4) 
 
 Questão 16
 
O méson ߶ possui massa igual a ͳͲͳͻǡͶ�ܯܸ݁ ήܿିଶe a incerteza na medida da largura de sua 
energia é igual a ͶǡͶ�ܯܸ݁ ή ܿିଶ. Usando o princípio 
da incerteza, estime a vida média do méson ߶. 
Resolução: 
Utilizando o princípio da incerteza teremos: 
 
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7 
οܧ ή οݐ ؆ ԰ ׵ οݐ ؆ ͳǡͷ ή ͳͲିଶଶ ݏ
(16.1) 
Em que οܧ ൌ ͶǡͶ�ܯܸ݁ ൌ ͹ǡͲͶ ή ͳͲିଵଷ�ܬ. 
 Questão 17
Considere um modelo bidimensional para a 
expansão do universo como a superfície de um 
balão esférico. A menor distância entre dois 
pontos da superfície, medida ao longo da 
superfície, é o comprimento de arco ݎ, onde ݎ ൌ ܴߠ. À medida que o balão se expande, seu raio ܴ cresce, porém o ângulo ߠ entre dois pontos 
permanece constante. (a) Explique por que, para 
qualquer instante ሺܴ݀ ݀ݐΤ ሻ ܴΤ possui o mesmo 
valor para todos os pontos da superfície do balão. 
(b) Mostre que ݒ ൌ ݀ݎ ݀ݐΤ é diretamente 
proporcional a ݎ em qualquer instante. (c) Usando 
sua resposta do item (b), qual é a expressão da 
constante de Hubble ܪ଴ que você obteve em 
termos de ܴ e de ܴ݀ ݀ݐΤ ? (d) A expressão de ܪ଴ 
que você obteve no item (c) é constante no espaço. 
Como ܴ deveria depender em relação ao tempo 
para que ܪ଴ seja constante no tempo? (e) Sua 
resposta do item (d) é consistente com a atração 
gravitacional da matéria existente no universo? 
Resolução: 
a) Seja a expressão: ߠ ൌ ܴݎ 
(17.1) 
Diferenciando a expressão (17.1), teremos: ݀ߠ݀ݐ ൌ ܴ ݀ݎ݀ݐ െ ݎ ܴ݀݀ݐܴଶ 
(17.2) 
No entanto, 
ௗఏௗ௧ ൌ Ͳ. Assim, de (17.2), teremos: ܴ ݀ݎ݀ݐ െ ݎ ܴ݀݀ݐ ൌ Ͳ ׵ ͳܴ ή ܴ݀݀ݐ ൌ ͳݎ ή ݀ݎ݀ݐ 
(17.3) 
Também poderíamos escrever: 
 ߠ ൌ ݀ݎ ݀ݐൗܴ݀ ݀ݐൗ 
(17.4) 
 
E utilizando a expressão (17.1), teríamos o mesmo 
resultado de (17.3). Logo, a expressão dada em(17.3) mostra que sendo o ângulo constante, a 
referida razão também se mantém constante, para 
um dado instante, em todos os pontos da 
superfície. 
b) Do resultado de (17.3), teremos: 
 ݒ ൌ ܴݎ ή ܴ݀݀ݐ 
(17.5) 
 
c) Assim, teremos para a constante de Hubble: 
 ݒ ൌ ܪ଴ݎ ׵ ܪ଴ ൌ ͳܴ ή ܴ݀݀ݐ 
(17.6) 
 
d) Se a constante de Hubble é constante no tempo, 
poderíamos escrever: 
 ܴሺݐሻ ൌ ͳܪ଴ ή ܴ݀݀ݐ 
(17.7) 
 
Integrando (17.7), teremos: 
 ܴሺݐሻ ൌ ܥ ή ݁ுబή௧ 
(17.8) 
 
Em que ܥ é uma constante. O resultado (17.8) 
mostra que ܴ cresce indefinidamente, ou seja, não 
sofre influência da atração gravitacional. 
 
 Questão 18
 
Suponha que todas as condições indicadas na 
questão anterior sejam as mesmas, exceto que ݒ ൌ ݀ݎ ݀ݐΤ seja constante para um dado ߠ, em vez 
de considerar ܪ଴ constante no tempo. Assim, 
mostre que a constante de Hubble é dada por 
 
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8 
݉� ܿ݉ ܯ ݒ଴ ݒ௖௠ 
݉� ܿ݉ ܯ ݒ௠ ݒெ 
ܪ଴ ൌ ͳ ݐΤ e que, portanto, o valor atual é ͳ ܶΤ , 
onde ܶ é a idade do universo. 
Resolução: 
Utilizando a relação: ݒ ൌ ܪ଴ݎ 
(18.1) 
Teremos: ݀ݒ݀ݐ ൌ ݀ܪ଴݀ݐ ݎ ൅ ݀ݎ݀ݐ ܪ଴ 
(18.2) 
Lembrando que ݒ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ e ݒ ൌ ݀ݎ ݀ݐΤ , 
teremos de (18.2): ݀ܪ଴݀ݐ ݎ ൌ െݒܪ଴ 
(18.3) 
Utilizando (18.1) em (18.3), teremos: ݀ܪ଴݀ݐ ൌ െܪ଴ଶ 
(18.4) 
Integrando (18.4), teremos: ܪ଴ ൌ ͳݐ 
(18.5) 
Se for considerado o instante inicial como o tempo 
de Planck, a constante de Hubble teria um valor 
extremamente grande que deve diminuir com o 
decorrer do tempo. 
 Questão 19
Considere uma colisão na qual uma partícula de 
massa ܯ em repouso é bombardeada por uma 
partícula de massa ݉, velocidade ݒ଴ e energia 
total ܧ௠ (incluindo a energia de repouso). (a) Use 
as transformações de Lorentz para escrever as 
velocidades ݒ௠�‡�ݒெ das partículas ݉ e ܯ em 
termos da velocidade ݒ௖௠ no sistema de referência 
do centro de massa-momento linear. (b) Use o fato 
de que o momento linear total é igual a zero no 
sistema de referência do centro de massa-
momento linear para obter uma expressão para ݒ௖௠ em termos de ݉ǡܯ�‡�ݒ଴. (c) Combine os 
resultados dos itens (a) e (b) para obter a equação 
dada em (15.1) para a energia total no sistema de 
referência do centro de massa-momento linear. 
Resolução: 
a) O diagrama da figura 19.1 representa a situação 
no sistema de referência do laboratório. 
 
 
 
 
Figura 19.1 – Sistema de referência do 
laboratório. 
 
No sistema da figura 19.1, o momento linear do 
sistema não é zero. Logo, após a colisão, o sistema 
continuará tendo um momento linear diferente de 
zero. Se considerarmos um sistema de referência 
onde o momento linear do sistema seja nulo, isso 
significa que não teremos que nos preocuparmos 
com energia cinética após a colisão. Assim, no 
sistema de referência do centro de massa-
momento linear, o momento linear do sistema 
será nulo. A figura 19.2 ilustra a situação. 
 
 
 
 
 
Figura 19.2 – Sistema de referência 
centro de massa-momento linear 
 
Para esse sistema de referência, a velocidade de ܯ 
será: 
 ݒԦெ ൌ െݒԦ௖௠ ֜ ݒெ ൌ ݒ௖௠ 
(19.1) 
 
E a velocidade de ݉: 
 ݒ௠ ൌ ݒ଴ െ ݒ௖௠ͳ െ ݒ଴ݒ௖௠ܿଶ 
(19.2) 
 
Conforme as transformações de Lorentz para as 
velocidades. 
 
b) O momento linear dever ser nulo para esse 
sistema de referência, logo, podemos escrever: 
 
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9 
ሬܲԦ௠ ൅ ሬܲԦெ ൌ Ͳ ֜ ௠ܲ ൌ ெܲ 
(19.3) 
De acordo com as transformações de Lorentz, 
teremos para os momentos lineares: 
 ݉ݒ௠ටͳ െ ݒ௠ଶܿଶ ൌ ܯݒ௖௠ටͳ െ ݒ௖௠ଶܿଶ 
(19.4) 
Utilizaremos aqui, o resultado de Física 4-10, 
questão 20. Assim, teremos: 
ඨͳ െ ݒ௠ଶܿଶ ൌ ඨ൬ͳ െ ݒ௖௠
ଶܿଶ ൰ ൬ͳ െ ݒ଴ଶܿଶ൰ͳ െ ݒ௖௠ݒ଴ܿଶ 
(19.5) 
Utilizando (19.5) em (19.4), teremos: 
ݒ௠ ൌ ܣ ή ݒ௖௠ ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶͳ െ ݒ௖௠ݒ଴ܿଶ 
(19.6) 
Em que ܣ ൌ ெ௠. Utilizando (19.6) em (19.2), 
teremos: 
ܣ ή ݒ௖௠ ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶͳ െ ݒ௖௠ݒ଴ܿଶ ൌ ݒ଴ െ ݒ௖௠ͳ െ ݒ଴ݒ௖௠ܿଶ 
 ׵ ݒ௖௠ ൌ ݒ଴ͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶ 
(19.7) 
c) Com relação ao centro de massa-momento 
linear, a energia total é dada por: ܧ் ൌ ܧ௠೎೘ ൅ ܧெ೎೘ 
(19.8) 
Em que: 
ܧ௠೎೘ ൌ ݉ܿଶටͳ െ ݒ௠ଶܿଶ 
(19.9) 
 
E 
 ܧெ೎೘ ൌ ܯܿଶටͳ െ ݒ௖௠ଶܿଶ 
(19.10) 
 
As expressões em (19.9) e (19.10) são as energias 
totais, ou seja, cinética mais a energia de repouso, 
das partículas ݉�‡�ܯ. Utilizaremos agora, as 
relações (19.9), (19.10), com auxílio da expressão 
a relação (19.4), para escrever: 
 ܧ் ൌ ݉ܿଶටͳ െ ݒ௠ଶܿଶ ൬ͳ ൅ ݒ௠ݒ௖௠൰ 
(19.11) 
 
Da relação (19.6), temos: 
 ͳ ൅ ݒ௠ݒ௖௠ ൌ ͳ െ ݒ௖௠ݒ଴ܿଶ ൅ ܣටͳ െ ݒ଴ଶܿଶͳ െ ݒ௖௠ݒ଴ܿଶ 
(19.12) 
 
Com o auxílio de (19.5) e (19.12), a expressão 
(19.11) se apresenta da seguinte forma: 
 
ܧ் ൌ ቈͳ െ ݒ௖௠ݒ଴ܿଶ ൅ ܣටͳ െ ݒ଴ଶܿଶ቉݉ܿଶඨ൬ͳ െ ݒ௖௠ଶܿଶ ൰ ൬ͳ െ ݒ଴ଶܿଶ൰ 
(19.13) 
 
Agora, utilizaremos a expressão (19.7), para 
escrever: 
 ͳ െ ݒ௖௠ݒ଴ܿଶ ൌ ͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶ െ ݒ଴ଶܿଶͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶ 
(19.14) 
 
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10 
Ainda com auxílio de (19.7), temos: 
ඨͳ െ ݒ௖௠ଶܿଶ ൌ ඨቆͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶቇ
ଶ െ ݒ଴ଶܿଶͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶ 
(19.15) 
Utilizando (19.14) e (19.15) na expressão (19.13), 
teremos: 
ܧ் ൌ ቈͳ ൅ ʹܣටͳ െ ݒ଴ଶܿଶ ൅ ܣଶ ൬ͳ െ ݒ଴ଶܿଶ൰ െ ݒ଴ଶܿଶ቉݉ܿଶቌඨቆͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶቇଶ െ ݒ଴ଶܿଶቍ ή ቆටͳ െ ݒ଴ଶܿଶቇ 
(19.16) 
Ou ainda, 
ܧ் ൌ ൥ቆͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶቇ
ଶ െ ݒ଴ଶܿଶ൩݉ܿଶ
ቌඨቆͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶቇଶ െ ݒ଴ଶܿଶቍ ή ቆටͳ െ ݒ଴ଶܿଶቇ 
(19.17) 
Simplificando o radical do denominador, teremos: 
ܧ் ൌ ݉ܿଶඨቆͳ ൅ ܣ ή ටͳ െ ݒ଴ଶܿଶቇ
ଶ െ ݒ଴ଶܿଶටͳ െ ݒ଴ଶܿଶ 
(19.18) 
Elevando ao quadrado, teremos: 
ܧଶ் ൌ ݉ଶܿସͳ െ ݒ଴ଶܿଶ ቎ͳ ൅ ʹܣඨͳ െ ݒ଴ଶܿଶ ൅ ܣଶ ቆͳ െ ݒ଴ଶܿଶቇ െ ݒ଴ଶܿଶ቏ 
(19.19) 
Lembrando que ܣ ൌ ெ௠, teremos: 
ܧଶ் ൌ ݉ଶܿସ ൅ ʹ݉ܿଶܯܿଶටͳ െ ݒ଴ଶܿଶ ൅ܯଶܿସ 
(19.20) 
 
Em (19.20), temos 
௠௖మටଵିೡబమ೎మ que é a energia total ሺܧ௠ሻ 
da partícula ݉ no sistema do laboratório. Assim, 
teremos para a expressão (19.20): 
 ܧଶ் ൌ ʹܯܿଶܧ௠ ൅ ሺܯܿଶሻଶ ൅ ሺ݉ܿଶሻଶ 
(19.21) 
 
A expressão (19.21) fornece a energia disponível 
utilizada na questão 15, expressão (15.1). 
 
 Questão 20
 
Um híperon Ȧ଴ em repouso decai formando um 
nêutron e um ߨ଴. (a) Calcule a energia cinética 
total dos produtos do decaimento. (b) Qual é a 
fração da energia cinética total de cada partícula 
dos produtos do decaimento? (Dica: Use as 
expressões relativísticas para a energia cinética e 
para o momento linear). 
Resolução: 
a) A energia de repouso do híperon deve ser 
suficiente para fornecer as energias de repouso 
das partículas produtos e também para fornecer-
lhes a energia cinética. Assim, tomando a 
diferença entre as energias de repouso dos 
produtos e do híperon teremos a energia cinética 
total. As energias de repouso são: ܧ଴౻బ ൌͳͳͳ͸�ܯܸ݁Ǣ ܧ଴೙ ൌ ͻ͵ͻǡ͸�ܯܸ݁�‡�ܧ଴ഏబ ൌ ͳ͵ͷ�ܯܸ݁. 
 ܧ଴౻బ െ ቀܧ଴೙ ൅ ܧ଴ഏబቁ ൌ ܭ் 
(20.1) 
 
Substituindo em (20.1), teremos: 
 ܭ் ؆ ͶͳǡͶ�ܯܸ݁ 
(20.2) 
 
b) A energia total de uma partícula, em regime 
relativístico é dada por: 
 ܧଶ ൌ ሺ݉ܿଶሻଶ ൅ ሺ݌ܿଶሻଶ 
(20.3) 
 
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11 
Poderemos escrever o momento linear da 
partícula por meio de (20.3). 
Os momentos lineares das partículas produtos 
possuem o mesmo módulo, devido à conservação 
do momento linear. Assim: ܧ௡ଶ െ ሺ݉௡ܿଶሻଶ ൌ ܧగబଶ െ ሺ݉గబܿଶሻଶ 
(20.4) 
Em que ܧ௡ e ܧగబ são as energias totais 
respectivamente do nêutron e do ߨ଴. Ou seja: ܧ ൌ ܭ ൅݉ܿଶ 
(20.5) 
Utilizando (20.5) em (20.4), teremos: ሺܭ௡ ൅݉௡ܿଶሻଶ െ ሺ݉௡ܿଶሻଶ ൌ ሺܭగబ ൅݉గబܿଶሻଶ െ ሺ݉గబܿଶሻଶ 
(20.6) 
Lembrando que a energia cinética total é dada 
por: ܭ் ൌ ܭ௡ ൅ ܭగబ 
(20.7) 
Utilizando (20.7) em (20.6), teremos: ሺܭ் െ ܭగబ ൅݉௡ܿଶሻଶ െ ሺ݉௡ܿଶሻଶൌ ሺܭగబ ൅݉గబܿଶሻଶ െ ሺ݉గబܿଶሻଶ 
 ܭ ଶ் െ ʹܭగబܭ் ൅ ʹ݉௡ܿଶሺܭ் െ ܭగబሻ െ ʹ݉గబܿଶܭగబ ൌ Ͳ 
(20.8) 
Utilizando os dados numéricos das energias de 
repouso das partículas e também da energia 
cinética total (20.2), teremos: ܭగబ ൌ ͵ͷǡ͸�ܯܸ݁ 
(20.9) 
O que conduz a cerca de 86% da energia cinética 
total. Logo, para o nêutron, teremos 14% da 
energia cinética total.