aula fetrans 5

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DINAˆMICA DOS FLUIDOS
1. Conservac¸a˜o de energia e equac¸a˜o de Bernoulli
• A relac¸a˜o entre a velocidade de um fluido, sua altura e pressa˜o foi
obtida em 1738 pelo fı´sico Daniel Bernoulli.
• Vamos considerar o escoamento de um fluido ideal atrave´s de um
tubo na˜o-uniforme durante um intervalo de tempo t (figura abaixo).
1
• O teorema do trabalho-energia cine´tica nos diz que o trabalho total
realizado sobre o sistema deve ser igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica
do sistema,
W = ∆K. (1)
• A variac¸a˜o da energia cine´tica e´ uma consequeˆncia da variac¸a˜o da
velocidade do fluido entre as extremidades do tubo e e´ dada por
∆K =
1
2
mv22 −
1
2
mv21, (2)
onde m e´ a massa de fluido que entra por um lado do tubo e sai pelo
outro durante um intervalo de tempo t.
• O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens: o trabalho
realizado pela forc¸a gravitacional e o trabalho realizado pelo pro´prio
fluido.
• O trabalho realizado pela forc¸a gravitacional sobre uma porc¸a˜o do
fluido de massa m durante a subida da massa do nı´vel mais baixo
(regia˜o 1) ate´ o nı´vel mais alto (regia˜o 2) e´ dado por
Wg = −mg (y2 − y1) . (3)
O trabalho e´ negativo porque o deslocamento e a forc¸a gravitacional
teˆm sentidos opostos.
• Algum trabalho tambe´m precisa ser realizado sobre o sistema para
empurrar o fluido para dentro do tubo (regia˜o 1) e pelo sistema para
empurrar o fluido que esta´ mais adiante no tubo (regia˜o 2).
• Na parte mais baixa do tubo (regia˜o 1), a forc¸a exercida pelo fluido
sobre a porc¸a˜o de massa m tem magnitude p1A1. O trabalho reali-
zado por esta forc¸a em um intervalo de tempo t e´ W1 = F1∆x1 =
p1A1∆x1 = p1V .
• Do mesmo modo, o trabalho realizado pelo sistema na parte mais alta
(regia˜o 2) durante o mesmo intervalo de tempo e´W2 = −p2A2∆x2 =
−p2V (o volume que atravessa a regia˜o 1 em um intervalo de tempo
t e´ o mesmo que atravessa a regia˜o 2 no mesmo intervalo de tempo).
Portanto, o trabalho lı´quido sera´
Wp = (p1 − p2)V. (4)
• Portanto, teremos
W = Wg +Wp = ∆K, (5)
e enta˜o
−mg (y2 − y1) + (p1 − p2)V =
1
2
mv22 −
1
2
mv21 (6)
ou
(p1 − p2)V =
1
2
mv22 −
1
2
mv21 +mgy2 −mgy1. (7)
Utilizando a definic¸a˜o de densidade, ρ = m/V , teremos
p1 − p2 =
1
2
ρv22 −
1
2
ρv21 + ρgy2 − ρgy1, (8)
ou
p1 +
1
2
ρv21 + ρgy1 = p2 +
1
2
ρv22 + ρgy2. (9)
A equac¸a˜o acima e´ a equac¸a˜o de Bernoulli aplicada a um fluido ideal.
Tal equac¸a˜o geralmente e´ expressa na forma
p+
1
2
ρv2 + ρgy = constante, (10)
isto e´, em um escoamento estaciona´rio, a soma da pressa˜o (p), da
energia cine´tica por unidade de volume (ρv2/2) e da energia potencial
gravitacional por unidade de volume (ρgy) tem o mesmo valor para
todos os pontos ao longo de uma linha de fluxo.
• Se o fluido estiver em repouso, isto e´, v1 = v2 = 0, teremos
p1 − p2 = ρgy2 − ρgy1 = ρg (y2 − y1) . (11)
Exemplo 1: Um cano horizontal de calibre varia´vel, cuja sec¸a˜o reta
muda de A1 = 1,20× 10−3 m2 para A2 = A1/2, conduz um fluxo
laminar de etanol, de massa especı´fica ρ = 791 kg/m3. A diferenc¸a
de pressa˜o entre a parte larga e a parte estreita do cano e´ de 4120
Pa. Qual e´ a vaza˜o do etanol?
Como todo o fluido que passa pela parte mais larga do cano tambe´m
passa pela parte mais estreita, teremos: vaza˜o= Rv = v1A1 =
v2A2 = cte. No entanto, como na˜o conhecemos as velocidades,
na˜o podemos calcular a vaza˜o a partir desta equac¸a˜o. Mas como
podemos aplicar a equac¸a˜o de Bernoulli, teremos:
p1 + ρ
v21
2
+ ρgy1 = p2 + ρ
v22
2
+ ρgy2,
(o ı´ndice 1 se refere a parte mais larga do cano, enquanto 2 se refere a
parte mais estreita). Como o cano e´ horizontal, teremos y1 = y2 = y
e portanto
p1 + ρ
v21
2
+ ρgy = p2 + ρ
v22
2
+ ρgy.
Sabemos que A2 = A1/2 e enta˜o Rv = v1A1 = v2A2 = v2A1/2,
logo v1 = Rv/A1 e v2 = 2Rv/A1. Substituindo as expresso˜es en-
contradas para v1 e v2 na equac¸a˜o de Bernoulli, teremos
p1 +
ρ
2
(
Rv
A1
)2
= p2 +
ρ
2
(
2Rv
A1
)2
,
e enta˜o
p1−p2 =
ρ
2
(
2Rv
A1
)2
−ρ
2
(
Rv
A1
)2
→ (2Rv)2−(Rv)2 = 2A
2
1
ρ
(p1 − p2) ,
4R2v −R2v = 3R2v =
2A21
ρ
(p1 − p2)→ Rv =
√√√√2A21
3ρ
(p1 − p2).
Pela equac¸a˜o (14), podemos perceber que p1 > p2 e portanto p1 −
p2 = 4120 Pa. Substituindo tambe´m os valores de ρ e A1, teremos:
Rv =
√√√√√2 (1,20× 10−3)2
3 (791)
(4120)→ Rv = 2,24× 10−3m3/s.
Exemplo 2: A figura abaixo mostra o jato de a´gua que sai de uma
torneira, o qual fica progressivamente mais fino durante a queda. As
a´reas das sec¸o˜es retas indicadas sa˜o A0 = 1,2 cm2 e A = 0,35
cm2. Os dois nı´veis esta˜o separados por uma distaˆncia h = 45 mm.
Qual e´ a vaza˜o da torneira?
Para calcularmos a vaza˜o, precisamos da velocidade da a´gua no inı´cio
ou no fim do jato de a´gua, pois Rv = A0v0 = Av. A equac¸a˜o de
Bernoulli para o problema pode ser escrita na forma
ρ
v21
2
+ ρgy1 = ρ
v22
2
+ ρgy2,
pois p1 = p2 = patm. Teremos enta˜o,
v20
2
+ gh =
v2
2
,
ou
v2 = v20 + 2gh.
Vamos agora trabalhar com a equac¸a˜o acima e tambe´m com
A0v0 = Av → v0 =
Av
A0
.
Logo:
v2 =
(
Av
A0
)2
+ 2gh→ v2 −
(
Av
A0
)2
= 2gh,
v2
1− ( A
A0
)2 = 2gh→ v = √√√√√ 2gh[
1−
(
A
A0
)2].
Substituindo os valores,
v =
√√√√√2(10)(0,045)[
1−
(
0,35
1,2
)2] =
√√√√ (0,9)[
1− (0,292)2
] = √ (0,9)
(0,915)
,
ou seja,
v =
√
0,984 = 0,99,
m/s. Calculando a vaza˜o,
Rv = Av = (0,35×10−4)(0,99) ≈ 0,35×10−4 = 3,5×10−5,
isto e´, Rv = 3,5× 10−5 m3/s.
2. Medidor de Venturi
• O tubo horizontal ilustrado na figura abaixo, conhecido como tubo de
Venturi, pode ser utilizado para medir a velocidade de escoamento de
um fluido incompressı´vel.
• Vamos examinar a velocidade do fluido no ponto 2 quando a diferenc¸a
de pressa˜o p1− p2 e´ conhecida. Como o cano e´ horizontal, teremos:
p1 +
1
2
ρv21 = p2 +
1
2
ρv22. (12)
• Da equac¸a˜o da continuidade, teremosA1v1 = A2v2, e portanto v1 =
(A2/A1)v2. Substituindo essa expressa˜o na equac¸a˜o (1), teremos
p1 +
ρ
2
(
A2
A1
)2
v22 = p2 +
ρ
2
v22, (13)
e portanto
ρ
2
v22 −
ρ
2
(
A2
A1
)2
v22 =
ρ
2
v22
1− (A2
A1
)2 = p1 − p2,
v2 = A1
√√√√ 2 (p1 − p2)
ρ
(
A21 −A22
). (14)
• Sabendo o valor de v2, podemos utilizar a equac¸a˜o da continuidade
para determinar v1. Podemos verificar que v2 > v1, e portanto p1 >
p2, isto e´, a pressa˜o e´ reduzida na parte mais estreita do tubo.
Exemplo 3: Suponha que a diferenc¸a de pressa˜o no medidor de Ven-
turi seja medido pelo desnı´vel h de uma coluna de mercu´rio, como
mostra a figura abaixo. Sejam ρHg e ρ as densidades do mercu´rio e
do fluido, respectivamente. Mostre que ∆p = (ρHg − ρ)gh (∆p e´ a
queda de pressa˜o no fluido).
Queremos determinar a diferenc¸a de pressa˜o entre os pontos 1 e 2,
atrave´s dos quais o fluido escoa com velocidades v1 e v2, respectiva-
mente. Analisando a figura, verificamos que
p′1 = p′2 + ρHggh→ p′1 − p′2 = ρHggh. (15)
Considerando a coluna de fluido do lado esquerdo da figura, temos
p′1 = p1 + ρgh1,
enquanto na coluna do lado direito,
p′2 = p2 + ρgh2.
Portanto,
p′1−p′2 = p1−p2+ρgh1−ρgh2 = ∆p+ρg (h1 − h2) = ∆p+ρgh.
(16)
Considerando as equac¸o˜es (15) e (16)
p′1 − p′2 = ∆p+ ρgh = ρHggh→∆p = ρHggh− ρgh,
logo,
∆p =
(
ρHg − ρ
)
gh. (17)
3. Lei de Torricelli
• Um tanque fechado contendo um lı´quido de densidade conhecida ρ
tem uma abertura na sua lateral a uma distaˆncia y1 da base do tanque
(figura abaixo). A abertura esta´ em contato com a atmosfera, e seu
diaˆmetro e´ muito menor que o diaˆmetro do tanque. O ar acima do
lı´quido e´ mantido a uma pressa˜o p. Vamos determinara velocidade
com que o lı´quido deixa a abertura quando o nı´vel do lı´quido esta´ a
uma distaˆncia h acima da abertura.
• Uma vez que A2 >> A1, podemos dizer que o lı´quido esta´ em
repouso na parte mais alta do tanque (v2 = (A1/A2)v1), onde a
pressa˜o e´ p. Aplicando a equac¸a˜o de Bernoulli aos pontos 1 e 2 con-
siderando que a pressa˜o em 1 e´ a pressa˜o atmosfe´rica p0, teremos
p0 +
1
2
ρv21 + ρgy1 = p+ ρgy2, (18)
onde y2 = y1 + h. Logo,
1
2
ρv21 = p− p0 + ρg (y2 − y1) = p− p0 + ρgh,
v1 =
√
2 (p− p0)
ρ
+ 2gh. (19)
Quando p for muito maior que p0, o termo 2gh pode ser desprezado
e termos v1 ≈ (2p/ρ)1/2. Ja´ quando o tanque esta´ aberto para a
atmosfera, p = p0 e v1 =
√
2gh. Em outras palavras, para um
tanque aberto, a velocidade de um lı´quido saindo por uma abertura
localizada a uma distaˆncia h abaixo da superfı´cie do lı´quido e´ igual
a`quela adquirida por um objeto caindo livremente de uma altura h.
Esse fenoˆmeno e´ conhecido como lei de Torricelli.
4. Tubo de Pitot
• O tubo de Pitot e´ um instrumento de medida de pressa˜o usado para
medir a velocidade de escoamento de um fluido. Consiste basica-
mente em um tubo direcionado para “medir” o fluxo de um fluido.
• Ao entrar no tubo, o fluido em movimento e´ “freado” uma vez que na˜o
ha´ saı´da no tubo para permitir que o mesmo continue a escoar. A
pressa˜o do fluido medida neste caso e´ chamada de pressa˜o total ou
pressa˜o de estagnac¸a˜o.
• Pela equac¸a˜o de Bernoulli, teremos: pt = ps + (ρ/2)v2 (pt: pressa˜o
total; ps: pressa˜o esta´tica).
5. Forc¸a de sustentac¸a˜o
• A sustentac¸a˜o das asas de um avia˜o pode, em parte, ser explicada
pelo efeito Bernoulli: as asas sa˜o desenhadas de modo que a veloci-
dade do ar acima da asa e´ maior do que abaixo, e portanto a pressa˜o
do ar acima da asa e´ menor do que abaixo, o que resulta em uma
forc¸a atuando para cima, chamada de forc¸a de sustentac¸a˜o.
Refereˆncias:
• Chaves, A. Fı´sica Ba´sica, vol. II. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
• Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Fı´sica, Vol. II, 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009
(verso˜es em portugueˆs e ingleˆs).