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2.5 Impulsos e Transformadas no Limite Propriedades do Impulso Unitário O impulso unitário ou função delta de Dirac δ(t) não é uma função no sentido matemático estrito. Ela pertence a uma classe especial conhecida como funções generalizadas ou distribuição, cujas definições são estabelecidas por regras de atribuição♠ . A função generalizada δ(t) é definida com o auxílio de uma função ordinária v(t) que é contínua em t=0: para quaisquer t1 e t2 envolvendo a origem (inclusive t1= −∞ e t2=+∞, ou, t1= 0− e t2=0+ ). ♠[A regra atribui um número, v(0) ou 0, à expressão do lado esquerdo de (1).] Esta regra também se aplica a impulsos no domínio da frequência, δ(f ). só existe sobreposição no ponto t=0 v(t) é qualquer área δ(t) só existe no ponto t=0 Representação gráfica: A representação de Aδ(t−td) está mostrada na Figura 2.5-1, onde a letra A próximo da seta significa que o impulso localizado em t=td tem área/peso igual a A: )( dttA −δ ____________________________________________________ No caso particular onde v(t)=1: sendo ϵ arbitrariamente pequeno. Isto significa que δ(t) tem área unitária, concentrada no ponto discreto t=0, inferindo-se também que: Recordação (seção 2.2): Formas de ondas aproximadas Se se aproxima de z(t) e o erro quadrático é pequeno, e também, se e , então, aplicando-se o teorema de Rayleigh à diferença resulta: Como a ordem de grandeza do erro no domínio da frequência é o mesmo que no domínio do tempo, pode-se utilizar como boa aproximação para Z(f). Exemplo: será usado adiante que, se __________________________________________________ )(~ tz )(~ fZ )()(~)()()(lim)(~ 0 fZfZtztttz ≅=≅= ∈ ∈→ δδ erro no tempoerro em frequência Impulsos no limite: Embora o impulso fisicamente não exista, há várias funções convencionais que exibem todas as propriedades de δ(t) no limite, quando algum parâmetro tende a zero. Se a função δϵ (t) é tal que: então, ∈ Adendo: No Exemplo 2.2-3 foi estudado o pulso sinc com largura 1/τ=1/2W: A área sob a curva de z(t) é dada por: Z(f = 0) = Z(0) = A/2W = A × (1/2W), ou seja, o produto entre o valor de pico e a meia-largura do pulso sinc. #fim do adendo t Exemplo: Funções impulsos δϵ (t) no limite: __________________________________________ No caso δϵ (t) = , recorre-se a série de McLaurin: , e Área unitária )(1 ∈ Π ∈ t ...!2 )0('')0(')0()( 2 +++= tvtvvtv )0(...12!2 )0(''0)0(')0(lim...!2 )0('')0(')0(lim)()(lim 3 0 2/ 2/ 2 2/ 2/ 2/ 2/00 vvvvdttvtdtvdtvdtttv = + ∈ ∈ + ∈ += + ∈ + ∈ + ∈ = ∈→ ∈+ ∈− ∈+ ∈− ∈+ ∈− ∈→ +∞ ∞− ∈ ∈→ δ Área = (1/ε)×(ε) = 1 −ε ε)()(lim 0 tt δδ =∈ ∈→ ∞ ∞− ∈ ∈→ = )0()()(lim 0 vdtttv δ c.q.d. Propriedades do impulso: a) Replicação Ou seja, a convolução de v(t) com δ(t−td) resulta na própria função, v(t), deslocada de (t−td). Prova: sabendo-se que δ(−t) = δ(t) (intuitivamente), e, , tem-se na qual se fez m=(t−λ) e se aplicou a definição de impulso (2.5-1), para um impulso em λ=m [vide item b) a seguir]. b) Amostragem Ou seja, seleciona/ amostra o valor de v(t) em t=td, o ponto onde δ(t−td) está localizado. Prova: direto da própria definição (2.5-1). )()(][)()]([)(])[()()(*)( dddd ttvmvdmvdttvdttvtttv −==−=−−=−−=− +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− λλδλλλδλλλδλδ ___________________________________ ___________________________________ Importante!! isto será mostrado adiante inverter sinal c) Multiplicação Ou seja, o valor da função em t=td, isto é v(td), passa a ser igual à área do impulso δ(t−td). d) Mudança de escala Portanto, em relação à variável independente t, a função δ(αt) atua como δ(t)/|α|, ou seja, tem sua área reduzida (aumentada) em 1/|α| no caso em que α >1 (α <1) . Corolário: Fazendo-se α = −1, mostra-se a propriedade de simetria do impulso: δ(−t) = δ(t) . e) Relação com a função degrau unitário Sabendo-se que: obtém-se: , degrau unitário (9c) Corolário (derivada = inversa da integral) : (9d) )(0,0 0,1)( tu t t d t = < > = ∞− λλδ dt tdut )()( =δ como havia sido previsto intuitivamente t Exemplo: Teorema da replicação a) Esboçar o gráfico da função trem de impulsos, definida por , para n inteiro. b) Esboçar o gráfico de , onde , para τ < T. Solução: a) Gráfico de repT[δ(t)]: b) Usando-se a propriedade de replicação, obtém-se +∞ −∞= Δ −= n T nTtt )()]([rep δδ )]([rep*)()]([rep ttvtv TT δ= )/()( τtAtv Π= +∞ −∞= +∞ −∞= +∞ −∞= −=−=−= nnn T nTtvnTttvnTttvtvrep )()(*)()(*)()]([ δδ ______________________________________________ repT [ ] * Impulsos em Frequência Seja v(t)=A um sinal de energia infinita (que, em princípio, não teria transformada de Fourier). Ao se tentar calcular a sua transformada de Fourier usando-se a definição, seria obtido: Em outras palavras, existe a dificuldade de se calcular a integral da exponencial complexa* : +∞ ∞− ∞== dttvtvE 2)()]([ +∞ ∞− −− +∞ ∞− − +∞ ∞− − === ftjftjftj efj AdteAdtetvfV πππ π 222 2)()( ??)]2(sen)2[cos(2)( =−−= +∞ ∞− tfjtf fj AfV ππ π ??2 =− +∞ ∞− dte ftj π (integral em t, expoente negativo) *Obs: esta integral será calculada adiante! Contudo, a transformada de Fourier de v(t)=A pode ser obtida no limite, considerando-se que: Sendo conhecido o seguinte par de TF : , pode-se proceder ao cálculo da TF no limite [lembrar que , ϵ = 2W ]: e daí estabelecer que: WtA 2sinc )(lim1lim 00 ff ∈ ∈→∈→ = ∈ Π ∈ δ Área = A }2sinc{lim}2sinclim{)}({ 00 WtAWtAtv WW ℑ=ℑ=ℑ →→ ↔ Interpretação: Este resultado concorda com a intuição, observando-se que um sinal constante não apresenta nenhuma variação temporal e, portanto, seu conteúdo espectral deve estar confinado em f = 0 (sinal DC). ________________________________________________________________________________________________________________________________ Pode-se conferir esta alegação matematicamente, usando-se (2.5-1) e a TF inversa, isto é: (trocando t por f ), e: ou seja, de fato, v(t)=A. ______________________________________________________________________________________ Além disso, usando a definição de TF para A=1, conclui-se que: 1 ↔ δ(f) , e assim, → → a integral da exponencial complexa é igual ao impulso! 0 Aδ(f) f )(1]1[ 2 fdte ftj δπ∞ ∞− − ==ℑ O espectro da função constante no domínio do tempo é um impulso no domínio da frequência. )(2 fdte ftj δπ∞ ∞− − =∞ ∞− − ==ℑ dtetvfVtv ftj π2)()()]([ (integral em t, expoente negativo) inversa ftjAefv π2)( = f Forma alternativa de demonstração: Usar o pulso retangular: e o par de transformada de Fourier: Assim, calcula-se a transformada de Fourier no limite para mostrar ♠ que: ♠Prova: Fazendo-se ϵ=1/τ obtém-se , e daí: novamente. AtAtv =Π= ∞→ )/(lim)( τ τ ...lim...lim 0∈→∞→ = τ )()(limsinc1limsinclim)}/({lim)}/(lim{)}({ 00 fAfAfAfAtAtAtv δδττττ τττ == ∈∈ ==Πℑ=Πℑ=ℑ ∈ ∈→∈→∞→∞→∞→ f ______________________________________________ ↔ v(t) = A ↔ A δ(f) relação usada por Carlson relação usada por Carlson Dado que: a) Generalização de (3.5-11): Recorrendo ao teorema da modulação complexa (2.3-6), isto é: generaliza-se (2.5-11) para o caso onde , para mostrar que: w(t) ↔ W(f), onde informando-se que o espectro de um fasor individual é um impulso em f =fc . b) Cosseno eterno Foi visto na Seção 2.2 que a condição essencial da análise espectral usando a definição de transformada de Fourier é que o sinal seja não periódico (sinal de energia). Este não é o caso da função cosseno eterno ... a menos que se use o impulso em frequência (ou seja, TF no limite). Recorrendo-se ao teorema da modulação real (2.3-7), ou seja: e (2.5-11), torna-se possível obter a TF do cosseno eterno: tjtj cc Aeetvtw ωω == )()( (continua...) ______________________________________________ w(t) = = W(f) v(t)= fasor individual c) Seno eterno Obs: )]()([2)(sen )(2)(2)( )90cos()(sen)( )90()90( 00 c j c j c c j c j o cc ffeffeAjtA ffeAffeAtv tAtAtv +−−−↔+ ++−↔ −+=+= − −−− δδφω δδ φωφω φφ φφ fc fc -fc -fc f f |V(f)| argV(f) A/2A/2 φ −900 −(φ−900) Obs: ___________________________________________ ojej 90±=± d) Transformada de Fourier da Série de Fourier Como a série de Fourier se refere a sinais periódicos de potência, em princípio, ela também não poderia exibir uma transformada de Fourier no sentido estrito. Isto também pode ser superado com o uso do impulso (ou seja, TF no limite). ________________________ Série de Fourier = espectro discreto e bilateral de linhas (ou raias). Transformada de Fourier da série de Fourier = espectro contínuo de impulsos em frequência. _________________________ Dado: usando-se (12) e o princípio de superposição de efeitos (teorema da linearidade), se obtém: um espectro contínuo (??). Explicar!! fasor individual soma de fasores v(t) ↔ Espectro discreto × contínuo: Espectro discreto = para se recuperar v(t) deve-se somar os fasores: c(nf0) exp(−jnf0t). Transformada de Fourier: Espectro contínuo = para se recuperar v(t) deve-se integrar os impulsos com áreas c(nf0) para obter os fasores. 5 sinc5)( 0 nAnfcn = Impulsos Série de Fourier: ↔ f = nf0 = n4 nf0τ = n4(1/20) = n/5 τ/T0 = 1/5: τ = 1/20, T0 = 1/4, f0= 4 sinc n/5=0 , n/5=±1, ±2,... n =±5, ±10,...n Linhas −5 5 10 v(t) = soma de linhas v(t) = integral (da soma) de impulsos 1−ℑ espectro espectro i) ii) soma de impulsos Exemplo: Obter a transformada de Fourier do trem de impulsos com período T0 , cuja série de Fourier é dada por (Exercício: demonstrar esta relação!) Solução: Aplicando-se (3.5-14a-b), com cn=1, e sabendo-se que f0=1/T0, obtém-se # =−== n tnfj n T eT nTttreptx 02 0 0 1)()()( πδδ −= n nffffX )()( 00 δ f0 -f0 f 2f0 -2f0 ... ... f0 T0 -T0 t 2T0 -2T0 ... ... 1 x(t) X(f) f0 ______________________________________________ função original série de Fourier série de Fourier −== n T nTttreptx )()()( 0δδ ↔ trem de impulsos no tempo trem de impulsos em frequência transformada da série de Fourier ↔ Exemplo 2.5-1: Impulsos e Espectros Contínuos A forma de onda senoidal na figura abaixo tem frequência constante fc , exceto para o intervalo −1/fc < t < 1/fc , onde a frequência muda para 2fc . Deseja-se determinar seu espectro. Este é um exemplo de sinal com modulação em frequência (FM)*. O sinal v(t) pode ser escrito como a soma de três parcelas, considerando-se que τ = 2/fc : Cosseno eterno na frequência fc , com um ‘janela’ em −1/fc < t < 1/fc , na qual será inserido o termo em 2f c _______________________________________ * Poucos espectros de FM têm soluções analíticas Pulso de RF, no intervalo −1/fc < t < 1/fc , na frequência 2fc , e que é inserido na ‘janela’. (continua...) fc 2fc fc 1/f c= T ↔ _________________________________________________________ Para o cálculo da TF empregam-se as seguintes relações: (2.2-9ab): (2.3-7): (2.5-13): resultando em o qual é um espectro contínuo, com componentes impulsivas e não não-impulsivas. (continua...) _________________________________________________ O gráfico de V(f) está desenhado na Figura 2.5-4b (apenas para a porção positiva do espectro) Superposição de (Aτ/2) sinc(f−f c)τ com (Aτ/2) sinc(f−2f c) τ cf/2, =τ # Sinal com apenas duas frequências? Errado! Espectro com componentes em todas as frequências Funções Degrau e Sinal Definição: função degrau unitário Definição: função sinal não exibe simetria Obs: exibe simetria ímpar )1(sgn2 1)( += ttu Função sinal (sign ou signum) A função sinal é o caso limite do sinal de energia z(t) mostrado na Fig. 2.5-6, onde , quando b → 0 (para t > 0). A função z(t) é escrita como: a qual pode ser interpretada como: tal qual discutido no Exercício (2.3-1), que garantia que: (continua...) )()( tuetv bt−= )()()( )( tuetuetv bttb −−=−−=−− −− , a1 = 1 e a2 = −1 Recordação: na Seção 2.2 foi visto que, dado se obtém: Foi visto ainda que: tal que Então, do Exercício (2.3-1), se: ocorre: __________________________________ Portanto, de extraem-se a1 = 1 e a2 = −1: então (a1 + a2 ) = 0 e (a1 − a2 ) = 2, e daí: (continua...) Portanto, como vem e tem-se um novo par de TF: Observe-se que o espectro é imaginário puro, pois “sgn t” é uma função ímpar no tempo. )(lim)]([lim)](lim[ 000 fZtztz bbb →→→ =ℑ=ℑ __________________________________________________________________ (continua...) _________________________________________________ O espectro de amplitudes da função sinal está desenhado na figura abaixo: Observe-se que ℑ[sgn t] tende para +∞ quando f = 0+, e, para −∞, quando f = 0− . Porém, exatamente em f = 0, deve-se lembrar da propriedade da área, isto é, se w(t) ↔ W(f), tem-se por definição: , e daí, , ou seja, W(0) é igual a área sob a curva [ou então, a componente DC ou valor médio de w(t)]. Como w(t) = sgn t é uma função ímpar, sua área líquida é nula, e assim, o espectro ℑ[sgn t] não exibe impulso em f = 0 (ver o caso da função degrau a seguir). não tem componente DC! ∞ ∞− − = dtetwfW ftj π2)()( ∞ ∞− = dttwW )()0( (continua...) espectro de magnitudes área total nula Função degrau unitário Esta função é muito empregada na teoria de Fourier, pois auxilia a representar sinais causais: qualquer função temporal multiplicada por u(t) será nula para t < 0. Esta função pode ser considerada como o limite de v(t) quando b→0, sendo: ___________________________________ Porém, não exibe simetria, e não pode se beneficiar do resultado do Exercício (2.3-1), pois não pode ser escrita na forma: ___________________________________ Contudo, lembra-se que e portanto, usando (2.5-11) e (2.5-17): (valor médio = 1/2) (continua...) não possui simetria espectro complexo _______________________________________________ O espectro de amplitudes da TF do degrau está desenhado na figura abaixo: Neste caso, o degrau u(t) tem valor médio: Consequentemente, seu espectro deve incluir um impulso: δ(f )/2, da mesma forma que a transformada de um sinal periódico com valor médio c(0) deve incluir umtermo DC igual a c(0)δ(f). 2 1 2 1lim11lim)(1lim)( 2/ 0 2/ 2/ ==== ∞→∞→ − ∞→ TTdtTdttuTtu T T T T T T ↔ (área sob a curva = 0) Generalização do ‘Teorema da Integração’: Na Seção 2.3 foi visto que, se então, A seguir, generaliza-se este teorema para o caso em que a área integrada é não nula. Convoluindo-se u(t) com um sinal de energia arbitrário v(t), tem-se: desde que u(−λ + t) = u(t −λ ) = 0 para λ > t. _____________________________________________________________________________________________ u(−λ) u(t−λ) λ λ t (continua...) 1 1 0 0 Recorrendo-se ao teorema da convolução: e ao resultado (2.5-18), qual seja: se obtém: Usando-se (propriedade da multiplicação por impulso) V(f) δ(f) = V(0) δ(f), conclui-se que: Esta relação se reduz ao caso da Seção 2.3 quando V(0) = 0. # _________________________________________________ =)(tw )()( fUfW == teorema da integração generalizado Impulsos no Tempo A TF de um impulso pode ser deduzida partindo-se de: quando τ→0, ou seja, quando o pulso temporal tem largura nula e altura infinita (impulso no limite). Por sua vez, o s´inc fτ s´e alarga e tende a função constante unitária. Ou seja, no limite ocorre: gerando-se: A interpretação de (2.5-21) é que um impulso no tempo contém todas as componentes de frequências, com que todas elas tendo a mesma amplitude. AtAfAtAfAtA =ℑ=ℑ=Πℑ →→→→ )}({}sinc{lim)}(lim{}sinc{lim)}/(lim{ 0000 δτδττ τ τττττ impulso no limite impulso no limite ↔ Considerações Gerais a) Observe-se que é o dual de . Estas relações refletem casos extremos do fenômeno de espalhamento recíproco: “Um sinal de impulso com duração nula tem largura espectral infinita, enquanto um sinal constante com duração infinita tem largura espectral nula” b) Aplicando-se o teorema do delay: à obtém-se ou, equivalentemente Porém, por definição o que permite concluir que Esta integral permite provar o teorema integral de Fourier (ver a seguir). (integral em f , expoente positivo) c) Dado que sendo v(t) uma função contínua e com TF dada por V(f) = ℑ[v(t)], mostra-se que a TFI realmente é v(t). ________________________________________________________________ Prova: A partir das definições de TF direta e inversa: Contudo, nota-se que a integral entre colchetes corresponde a (2.5-23), para td = λ, cujo resultado é igual a δ(t−td) = δ(t−λ). Com isso, Usando a propriedade da replicação: , conclui-se que ℑ-1 [V(f)] = v(t). c.q.d. Integra em λ depois em f Integra em f depois em λ V(f ) d) Pode-se estabelecer uma relação entre impulso unitário e degrau unitário através da integral e) Diferenciando ambos os lados de (2.5-25), chega-se a outra relação entre δ(t) e u(t): a qual apresenta um impulso como uma derivada de uma descontinuidade degrau. f) O teorema da diferenciação (2.3-8), em conjunto com as relações (2.5-22) e (2.5-26), ou seja: podem agilizar o cálculo de certas transformadas de Fourier Procedimento: • diferenciar repetidamente o sinal v(t) até que uma ou mais descontinuidades degrau apareçam. • devido a (2.5-26), a próxima derivada ( a n-ésima) inclui um impulso: Ak δ(t−tk). • com isso, ocorre que sendo w(t) uma função não impulsiva. • transformando (2.5-27a) através de (2.3-8), e usando (2.5-22): • se W(f) for conhecido, resolver para extrair V(f). Exemplo 2.5-1: Raised Cosine Pulse A Figura 2.7-7a mostra uma forma de onda chamada de raised cosine pulse: A primeira derivada de v(t) é: que não tem nenhuma singularidade degrau A segunda derivada é: a qual apresenta singularidades degrau em t = ± τ. Π −= ττ π τ π 2 1cos2 )( 2 2 2 tA dt tvd (continua...) aplicar a regra da cadeia aplicar a regra da cadeia a terceira derivada será: Como (multiplicação por impulso), então que tem a forma de Note-se que a primeira parcela tem forma semelhante à primeira derivada, e assim: Π −= ττ π τ π 2 1cos2 )( 2 2 2 tA dt tvd −−+×+ Π× − −= −−+×+ Π× −= )]()([cos2sen2 )]()([cos2cos2 )( 2 2 3 3 τδτδ τ π ττ π τ π τ π ττ τ π ττ π τ π τ π tttttA tutu dt dttt dt dA dt tvd )()()(cos)(cos τδτδ τ τπ τδ τ π −−=− ± =± tttt Dado: e dt tdvtw )()( 2 −= τ π (continua...) aplicando a regra da cadeia ___________________________________________ dt tdvtw )()( 2 −= τ π )(2)(2 )()( 222 3 3 τδ τ π τδ τ π τ π − −+ + −= tAtA dt tdv dt tvd Aplicando a TF se obtém: Após alguns cálculos algébricos, isola-se V(f): (continua...) Obs: O espectro de amplitudes de V(f) está desenhado na Fig. 2.5-7c, para f ≥ 0.