capitulo 3 secao 3.2

Prévia do material em texto

3.2 Distorção de Sinal na Transmissão
Um sistema de transmissão é o canal elétrico entre uma fonte de informação e o destino.
Todos os sistemas de transmissão apresentam dissipação de potência interna, que reduz a amplitude 
do sinal de saída, e, armazenamento de energia, que altera o formato dessa saída.
Transmissão Sem Distorção
Transmissão sem distorção = o sinal de saída tem a mesma forma que o de entrada.
Dado um sinal de entrada x(t), diz-se que a saída não está distorcida se diferir da entrada apenas por 
uma constante multiplicativa e um delay finito no tempo:
onde K e td são constantes (K pode até ser negativo).
O espectro do sinal de saída é (usando o teorema do retardo):
tal que, a resposta em frequência do sistema de transmissão não distorcente é dada por:
O sistema deve apresentar espectro de amplitude constante e espectro de fase linear, com inclinação 
negativa:
Note-se que a fase ´arg H(f)´ deve passar pela origem ou interceptar em múltiplo inteiro de  1800.
O termo  m1800 foi adicionado à fase para levar em conta valores positivos e negativos de K.
No caso de não haver delay (td = 0), a fase permanece constante em 0 ou  1800.
_________________________________________________
Lembrar o caso da região 
plana da resposta em frequência 
de um amplificador, chamada 
de banda passante do sistema.
Importante: as condições acima são exigidas apenas ao longo das frequências onde o sinal de entrada 
apresenta conteúdo espectral significativo.
Exemplo: densidade espectral de energia da média (average) de um sinal de voz .
Como a densidade espectral é pequena para f < 200 Hz e f > 3200 Hz, infere-se que um sistema 
não distorcente de transmissão de voz precisa satisfazer a condição (3.2-2a-b) para a banda
200  f  3200 Hz.
(apenas a porção positiva do espectro está mostrada)


 dffXE 2)(
__________________________________________
)( fGx
De forma similar, como o ouvido humano somente processa sons entre 20 Hz e 20 kHz, um sistema de 
áudio não distorcente deve satisfazer (3.2-2 a-b) apenas nesta faixa.
Contudo, na prática, as exigências (3.2-2a-b) só podem ser satisfeitas de maneira aproximada, e assim, 
sistemas de transmissão sempre produzem alguma quantidade de distorção de sinal.
Tipos de distorção:
a) Distorção de amplitude:
b) Distorção por delay (ou de fase):
c) Distorção não linear: ocorre quando o sistema inclui elementos não lineares. 
No caso c), a não-linearidade impossibilita a determinação de uma função resposta em frequência 
convencional (puramente linear).
Distorção linear
Distorção linear
__________________________________________
Exemplo 3.2-1: Distorção de amplitude e de fase
Considere-se que um sistema apresente a seguinte resposta em frequência (módulo e fase):
Este sistema satisfaz a condição de transmissão sem distorção (3.2-2a-b) para 20 kHz  f   30 kHz.
Ocorre distorção de amplitudes para f  < 20 kHz e f  > 50 kHz.
Ocorre distorção de delay para f  > 30 kHz.
Distorção linear
Corresponde à distorção de amplitude ou de delay/fase associadas a um sistema linear.
a) Distorção de amplitude: normalmente causada por excesso de atenuação ou amplificação nos 
extremos de frequências (alta ou baixa) no espectro do sinal.
(Menos comum, mas possível, é a resposta desproporcional à uma banda de frequências dentro do espectro.)
Embora a descrição no domínio da frequência seja fácil, os efeitos no domínio do tempo são menos 
óbvios, exceto no caso de sinais muito simples.
Exemplo: Seja 
(forma de onda próxima à quadrada.)
Caso a) Atenuando-se pela metade a 
frequência baixa (em 0).
(enfatiza-se os “gumes” ou “bicos” do sinal.)
Caso b) Atenuando-se pela metade a 
frequência alta (em 50).
(o sinal fica mais “abaulado” ou “suave”.)
b) Distorção por delay (ou distorção de fase): se o deslocamento de fase não variar linearmente com f, 
as várias componentes de frequência sofrem diferentes quantidades de delays.
Para um deslocamento de fase arbitrário/genérico, o delay é função da frequência, tal que td=td (f ).
Neste caso, pode-se escrever que: arg H(f) = 2ftd (f), 
e daí:
o qual é independente da frequência (delay constante) somente se ´arg H(f)´ for linear com f.
___________________________________________________________________________
Existe uma confusão entre: delay de tempo constante (constant time delay, seconds) ,
e: deslocamento de fase constante (constant phase shift, radians).
fase, rad delay, s
,
__________________________________________
Exemplo:
Caso de delay de tempo constante (desejável, resulta em transmissão sem distorção):
)55cos(
5
1)33cos(
3
1)cos(
)(5cos
5
1)(3cos
3
1)(cos)(
000000
000
ddd
ddd
tttttt
tttttttx




(triplica a frequência, triplica o deslocamento de fase)
*O delay de tempo constante corresponde a td constante (delay constante) ou independente de f, e, 
conforme visto acima, resulta em transmissão sem distorção.
Uma componente na frequência (nf0 ) pode ser escrita como:
cos[n (ttd )] = cos[n2f0(ttd )] = cos[2(nf0) (ttd )], td  td (f ), td= constante
ou seja, cada componente de frequência (cada nf0) sofrerá o mesmo delay, e assim, o sinal de saída 
será apenas uma réplica atrasada da entrada.
____________________________________
delay não varia com f 
delay
Desejável!
(forma de onda próxima a quadrada.)
(continua...)
___________________________________________
Exemplo:
Caso de deslocamento de fase constante (pode causar distorção): por exemplo, para  = 900
)905cos(
5
1)903cos(
3
1)90cos()( 00
0
0
0
0   tttx
(triplica a frequência mas não triplica o deslocamento de fase)
*O deslocamento de fase constante, em geral, causa distorção: se  = arg H(f) é um deslocamento de 
fase constante (diferente de 00 ou 1800), então, uma componente na frequência (nf0 ) pode ser escrita 
como:
cos(n0t) = cos(n2f0t) = cos[2(nf0)t] = cos[2(nf0t
ou seja, cada componente de frequência será atrasada por  ciclos em sua própria frequência (nf0).
Porém, cada delay será diferente:
cos[2(nf0t] = cos{2(nf0) [t nf0}=cos{2nf0 [ttd (f )]}
e as componentes de frequência serão embaralhadas no tempo (transmissão com distorção).
_______________________________________
cos[n (ttd )] = cos[n2f0(ttd )] = cos[2(nf0) (ttd )], td td (f ), td= delay constante (segundos). 
delay varia com f = nf0
(continua...)
Não desejável!
)905cos(
5
1)903cos(
3
1)90cos()( 00
0
0
0
0   tttx
Deslocamento de fase constante (constant phase shift): causa distorção.
Os picos na Figura (3.2-5) são maiores (50%) que na Figura 3.2.3.
Isto não aconteceu devido a distorção de amplitude, pois as amplitudes das três componentes não sofreram variação.
Isto ocorreu porque os máximos e mínimos dessas componentes acontecem no mesmo instante.
(Conforme será visto adiante, tal tipo de distorção é motivo de preocupação em comunicações digitais.)
(Curiosamente, ambos os sinais acima geram aproximadamente o mesmo som quando alimentam um alto-falante.)
A forma de onda resultante se assemelha 
a um triângulo.
(forma de onda próxima a quadrada.)
________________________________________________
Efeito do delay de fase sobre sinais modulados
No caso de transmissão de sinal modulado, a condição pode ser um pouco relaxada.
A resposta em frequência de um canal cujo espectro de amplitude é plano e o espectro de fase é linear 
pode ser expressa por:
onde A, tg e 0 são constantes.
________________________________________________________________________________________________________________________________________O argumento de H(f) é dado por: 
e assim, aplicando-se (3.2-3), ou seja:
se extrai o delay dependente de f :
Portanto, em princípio, td não é constante, a menos que 0 seja nulo.
____________________________________________________________________
Prova: considere-se que o sinal modulado aplicado à entrada do canal passa-banda seja:
sendo x1(t) e x2(t) são sinais em banda base, e c é a frequência da portadora (normalmente alta).
Na sequência, procura-se determinar a saída y(t) a fim de se estudar o efeito do canal de transmissão,
especificado por H(f) em (3.2-4), sobre o sinal modulado de entrada (3.2-5).
A transformada de Fourier do sinal de entrada
pode ser determinada com o auxílio do teorema de modulação (2.3-7):
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a) Para  = 00:
b) Para  = 900:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Então, retornando a x(t):
Este sinal de entrada é aplicado à entrada do canal, produzindo na sua saída:
Y(f) = H(f) X(f)
sendo H(f) dado por (3.2-4).
)(
2
1)(
2
1cos)( ccc ffVffVttv 
)(
2
1)(
2
1sen)(
)(
2
)(
2
)90cos()(sen)(
00 9090
0
ccc
c
j
c
j
cc
ffV
j
ffV
j
ttv
ffVeffVettvttv





)(
2
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1)( 2211 cccc ffXj
ffX
j
ffXffXfX 
)(
2
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1)( 2211 cccc ffXj
ffX
j
ffXffXfX 
})(sen)({})cos()({
)]()([
2
)]()([
2
)()()(
2
02
2
01
2
22
2
11
00
gg
gg
ftj
c
ftj
c
ftj
cc
j
ftj
cc
j
ettxAettxA
effXffX
j
AeeffXffXAefXfHfY


 



___________________________________________________________________________
A seguir, recorre-se ao teorema do delay (2.3-2):
ou então:
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
dftj
d etvttv
2)}({)( 
Aplicando-se em f = fc resulta: arg H(fc ) =  ctg + 0. 
Por outro lado, aplicando-se em f = fc resulta: ctd(f) = ctg + 0.
Ou seja,
e portanto: 
Interpretação:
A portadora está atrasada por td  td é denominado phase delay ou carrier delay do canal.
x1(t) e x2(t) estão atrasados por tg  tg é denominado envelope delay ou group delay do canal.
Em geral td  tg , e, além disso, td=td (f ).
Condições para que um canal passa-banda linear seja não-distorcente:
a) Como no caso geral de transmissão sem distorção discutido anteriormente, a resposta de amplitude 
deve ser constante:
b) A fim de se recuperar os sinais originais x1(t) e x2(t) , o delay de grupo tg deve ser constante.
c) Como 0 é constante em , chamando , tg pode ser
deduzido a partir de
Note-se que esta condição é menos restritiva que (3.2-1), pois permite a existência de 0  0.
d) Obviamente, no caso 0 = 0, de deduz-se que td = tg , o caso trivial.
Equalização
A distorção linear (tanto a de amplitude quanto a de delay) pode ser sanada através do uso de redes 
equalizadoras.
Na Figura 3.2-6, HC(f) corresponde ao canal de transmissão distorcente e Heq(f) é o equalizador.
Desde que a resposta em frequência global é , a saída final será não distorcida se
., e portanto, é deseja-se que
São raros os casos onde o equalizador pode ser projetado para satisfazer (3.2-8) com exatidão. 
Porém, excelentes aproximações são possíveis, tal que a distorção linear possa ser reduzida a níveis toleráveis.
No passado era comum o uso de loading coils
como equalizadores em linha telegráficas de par 
trançado.
Tratam-se de indutores concentrados colocados
em shunt através da linha a cada quilômetro.
______________________________
Equalizador tapped-delay-line ou ‘filtro transversal’
Equalizador usando linha de retardo com tempo de delay 2segundos tendo derivações (taps) em 
cada extremidade e no centro.
Ganhos ajustáveis: c1, c0 e c1.
Se a entrada for x(t), a saída será:
cuja TF é (teorema do retardo): 
e portanto, 
_______________________________________
Generalizando para o caso de linha de retardo com tempo de delay 2M e com (2M+1) taps:
que tem a forma de uma série exponencial de Fourier com periodicidade em frequência 1/ .

  2101 )()()()(  jj efXcefXcfXcfY
(série de Fourier no domínio da frequência)
delay 23 taps, M 1, 
3 tapsx(t)
y(t)
série no domínio f
Série temporal: , ..... 2n f0 t , f0 = frequência, 1/f0 = periodicidade temporal
Série espectral (trocar t por f): , ..... 2m f = frequência, 1/  = periodicidade espectral 
__________________________________________________________________________________
Procedimento de ajuste do equalizador: dado um canal HC(f) a ser equalizado ao longo de f  < W, 
sugere-se:
a) Aproximar o lado direito de Heq(f) em (3.2-8) por uma série de Fourier no domínio da frequência 
(3.2-10), com periodicidade espectral 1/tal que, 1/(2  W  daí determina-se 
b) Estimar o número de termos significativos  determina-se M.
c) Casar os ganhos dos taps com os coeficientes da série. (Ver o exemplo estudado a seguir.)
______________________________________________________________________________________________
Heq(f ) HC(f ) 
0 +WW
 2
1
 2
1 f
(série de Fourier de um sinal em frequência)
Periodicidade em frequência 1/ .
(série de Fourier no domínio f)
Problema da reflexão por multi percurso:
Pode ocorrer perda do vigor do sinal na saída do canal, como no caso de interferência destrutiva 
mostrada a seguir:
Solução: usar um equalizador do tipo taped-deay-line!!
(continua...)
Exemplo 3.2-2: Distorção multipercurso (multipath)
Supõe-se que a saída de um canal seja: , t2 > t1 , cuja segunda 
parcela corresponde a um eco da primeira.
A transformada de Fourier de y(t) é (teorema do retardo):
e portanto,
sendo k=K2/K1 < 1 e t0=t2t1 . (Se t0 = 0, então, não ocorre distorção. Se t0  0, ocorre distorção.)
A fim de compensar a distorção, propõe-se sintetizar um equalizador tapped-delay-line a partir de
na qual, comparada com (3.2-11), pode-se adotar K = K1 e td = t1, gerando-se o seguinte 
equalizador:
na qual foi aplicada série binomial: , a fim de gerar uma expressão do tipo
sem a necessidade de calcular nenhuma série de Fourier usando a definição. (continua...)
)()()()()()()( 2121 2121 fXfHfXeKeKfXeKfXeKfY C
tjtjtjtj   
)(
1)(
fH
KefH
eq
tj
C
d
1,...1
1
1 2  aaaa
])/(1[ )(121 121
ttjtj eKKeK   
)( fH C
Assumindo que o eco é pequeno (K2<<K1)  k=K2/K1 << 1, desconsideram-se os termos de ordem 
superior para se obter:
Comparando esta relação com (3.2-9b), qual seja: Heq(f) ,
conclui-se que um filtro transversal com três taps consegue executar a tarefa se: c1 = 1, c0 = k , 
c1 = k 2 e  = t0 (para k=K2/K1 e t0=t2 t1).
c1 c0 c1
 je  je
k k2
+ +
defasador defasador
amplificador
inversor
amplificador
Equalizador: 
. .
Y(f)=HC(f) X(f)
)(
)()(
fH
KefXfH
C
tj
C
d)( fXKe dtj
)( fH
Ke
C
tj d
_____________________________________________________________
(sinal distorcido)
sinal eco
continua ...
)()()( fHfXfH eqC
... delay 23 taps, M 1 
Distorção Não Linear e Companding
Um sistema contendo elementos não lineares não pode ser descrito por uma resposta em frequência 
H(f) clássica. (Como no caso [RC (j2f)+1] Y(f) = X(f), e assim, H(f)=1/ [RC (j2f)+1].)
Por exemplo, se y(t) = x2(t), então, Y(f) = X*X(f)  com isso, não é possível se extrair uma expressão 
explícita para H(f) = Y(f)/X(f).
Em vez disso, é melhor trabalhar com os valores instantâneos de entrada e saída, relacionados através 
da curva y = T [x(t)], denominada “curva característica de transferência de entrada-saída”.
Sob condições de pequenos sinais de entrada, é possível linearizar, por partes, a característica de 
transferência (ver a Figura 3.2-10).
No caso contrário, o modelo mais geral emprega uma aproximação polinomial da curva y = T [x(t)]:
na qual as potências superiores de x(t) dão origem à distorção não linear.
O espectro do sinal de saída pode obtido por
o qual evidencia definitivamente não ser possível obter uma função explícita H(f) = Y(f) / X(f).
Linear por partes
Curva verdadeira
__________________________________________
Obs: Deve ser lembrado que, se x(t) é limitado à banda W, a saída de uma rede linear não conterá 
frequências acima de  f  < W.
_______________________________________________________
Porém, se o sistema é não linear, a saída inclui termos como:
a) X*X(f), o qual é limitado à banda 2W,
b) X*X*X(f), o qual é limitado à banda 3W,
c) etc.
Amplificador
linear
X(f) Y(f)=H(f)X(f)
W +W
Amplificador
não linear
X(f) Y(f)
2W W +W +2W
W +W
W +W
ff
ff
y(t) = T[x(t)]
2W +2WW +W
ff
y(t) = x2(t)x(t)
X(f) Y(f)=X*X(f)
Exemplo:
A não linearidade gera componentes de frequência na saída que não estavam presentes na entrada.
Como X*X(f) também pode conter componentes para  f  < W, esta porção de espectro se superpõe 
àquela de X(f).
Usando filtros, a componente acrescida em  f  > W pode ser removida, mas não existe nenhuma forma 
de separar o espectro de sinal da componente acrescida em  f  < W. #
______________________________________________
Uma medida quantitativa da distorção não linear é proporcionada utilizando-se uma forma de onda 
senoidal, x(t) = cos 0t, como entrada.
(continua...)
X(f) Y(f)=X*X(f)
amplificador não linear
W +W
Usar uma forma de onda senoidal, x(t) = cos 0t, como entrada. 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Sabendo-se que , e usando (3.2-12a), ou seja:
se obtém:
ou então
A distorção não linear gera harmônicos da senóide de entrada no local da saída. 
A distorção de 2ª. harmônica é a razão entre a amplitude em (20) e a amplitude da fundamental:
As distorções de harmônicos superiores são tratadas da mesma forma (embora seus efeitos, em geral, 
sejam menores).
2/)]cos()[cos(coscos bababa 
...)
2
cos3cos
(cos
2
)2cos1(
2
cos
....
2
2coscoscos
2
2cos1
cos
....coscoscos)(
4
00
0
3
0
2
01
4
000
3
0
201
0
3
30
2
201
atttatata
atttatata
tatataty






harmônicos
Distorção por intermodulação
Se a entrada for uma soma de duas formas de onda senoidais: x(t) = cos 1t + cos 2t, a saída incluirá 
todas as harmônicas de f1 e f2 , mais os termos de produtos cruzados: f2  f1 , f2 + f1 , f2  2f1 , etc., 
que dão origem a distorção por intermodulação.
De fato, usando a propriedade da convolução (2.5-7):
X(f) f
X(f)*(f+f2) f
X(f)*(f+f1) f
X(f)*(ff1) f
X(f)*(ff2) f
X(f)*X(f) f
f2 f1 +f1 +f2
f2f2 f1f2 f1f2 f2f2
f2f1 f1f1 f1f1 f2f1
f2+f1 f1+f1 f1+f1 f2+f1
f2+f2 f1+f2 f1+f2 f2+f2
2f2 ,f1f2 ,2f1, f1f2,0,f1+f2, 2f1 , f1+f2, 2f2
Caso: y(t) = x2(t) convoluir X(f) com ele mesmo, ie, X(f)* X(f)
Espectro de saída
Generalização: intermodulação para sinais arbitrários
Se x(t) = x1(t) + x2(t) , então, y(t) = x2(t) contém produtos cruzados, como x1(t) x2(t) e vários outros.
No caso particular de: x1(t) x2(t)  X1*X2(f) 
mesmo que X1(f) e X2(f) sejam separados em frequência, X1*X2(f) pode se superpor a estes,
produzindo crosstalk.
Exemplo:
X1(f) X2(f)
X1*X2(f)
crosstalk
y(t) = x2(t)
x(t) = x1(t) + x2(t) )()(2)()()( 21
2
2
2
1 txtxtxtxty 
f
f
)(*2)(*)(*)( 212211 fXXfXXfXXfY 



  dfXXfXXfXX )()()(*)(* 121221
)()()( 11 fXfXfX 
f=fi
f=fi
X1(fi -)

0
0
Crosstalk: ocorre quando um sinal atravessa a banda de outro sinal, devido a distorção não linear 
num canal.
O termo de produto cruzado pode ser desejável, quando dispositivos não lineares (diodos de junção, 
transistores JFET, etc.) são usados para fins de modulação, multiplicação de frequência, etc.
Observação:
É importante distinguir entre crosstalk por distorção não linear, e certos tipos de interferência linear (linha 
cruzada): pick up em conversas com telefones sem fios ocorre porque o espectro de frequência alocado para tais 
dispositivos teria de ficar muito populoso para acomodar todos os usuários em frequências portadoras diferentes.
Portanto, algum “compartilhamento” pode ocorrer de tempos em tempos.
Atualmente, o crosstalk por distorção não linear é muito raro em transmissões telefônicas devido aos avanços 
tecnológicos.
___________________________________________
Companding
Embora o problema da distorção não linear não possa ser completamente eliminado, ele pode ser 
minimizado, providenciando-se para que o sinal nunca exceda a faixa de operação linear da 
característica de transferência do canal.
Estratégia: usar dois processadores não lineares de sinal, consistindo de um compressor na entrada 
e um expansor (expander) na saída.
O processo que usa compressão (compressing) e expansão (expanding) é denominado de companding.
Aplicações: telefonia, microfone wireless profissional, gravação analógica, etc.
O compressor aplica mais amplificação para os níveis baixos do que para os níveis altos do sinal e, 
portanto, comprime a faixa (compliance) do sinal de entrada.
Com isso, sinais com amplitude muito pequenas são amplificadas, ficando acima do ruído de fundo.
Se o sinal comprimido cair dentro da faixa linear do canal, o sinal na saída desse canal é proporcional a
Tcomp[x(t)], o qual é distorcido pelo compressor mas não pelo canal.
A característica do expansor deve ser a mais próxima possível do complemento do compressor, tal que 
a saída expandida é proporcional a Texp{Tcomp[x(t)]} = x(t).
Características do compressor e do expansor:
Ref: The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing
By: Steven W. Smith.
Companding for Audio Processing
Two nearly identical standards are usedfor companding curves: μ255 law (also called mu law), 
used in North America, and "A" law, used in Europe.
E
xp
an
de
r
Compressor
x
y
tt
t
t
x
y
V
in
Vout
Nonlinear
transmission
channel
Para todos os efeitos, é como se a compliance do 
canal aumentasse para além do joelho da curva 
característica.
maior 
compressão
menor 
compressão