Aula 07 (1)

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PESQUISA OPERACIONAL
AULA 7 – INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA DAS 		 	 VARIÁVEIS DUAIS
Tema da Apresentação
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA DAS VARIÁVEIS DUAIS – AULA 7
PESQUISA OPERACIONAL
Conteúdo Programático
Interpretação econômica
Problema
Preço-Sombra
Custo Reduzido
Exemplos
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Vamos começar analisando o problema proposto por Leopoldino Andrade no livro Introdução à Pesquisa Operacional.
Problema Primal
Problema Dual
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA
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Uma indústria dispõe de três recursos, A, B e C, em quantidades limitadas. Com esses recursos, a indústria pretende produzir dois produtos que chamaremos de P1 e P2. A tabela abaixo dá a utilização unitária de cada recurso em cada um dos produtos e a disponibilidade de cada recurso.
PROBLEMA
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A informa que cada unidade produzida do produto P1 dá uma margem de lucro unitária de R$5,00 e cada unidade produzida do produto P2 dá uma margem de lucro de R$6,00. 
A empresa quer determinar a quantidade que deverá produzir do produto P1 e do produto P2 de modo a maximizar a sua margem de lucro total. 
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 PROBLEMA PRIMAL
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Por outro lado, suponhamos que a indústria tenha a alternativa de vender os recursos A, B e C, em vez de empregá-los na fabricação dos produtos P1 e P2. 
Então vamos encontrar o valor da unidade de cada recurso. 
Vamos considerar:
y1 valor do recurso A por unidade
y2 valor do recurso B por unidade
y3 valor do recurso C por unidade
O valor total do estoque de recursos será dado pela expressão:
14y1 + 9y2 + 56y3 
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Em termos dessa avaliação de recursos, cada um dos produtos pode também ser avaliado, levando-se em conta a utilização dos recursos por unidade fabricada. Veja:
O produto P1 gasta 1 unidade do recurso A, 1 unidade do recurso B e 7 unidades do recurso C. 
1.y1 + 1.y2 + 7.y3 
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O produto P2 gasta 2 unidade do recurso A, 1 unidade do recurso B e 4 unidades do recurso C. 
2.y1 + 1.y2 + 4.y3 
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As avaliações realizadas não podem ser inferiores às margens unitárias de lucro fornecidas por cada um. Sendo assim, podemos escrever:
1.y1 + 1.y2 + 7.y3 ≥ 5 
2.y1 + 1.y2 + 4.y3 ≥ 6 
O gerente tem interesse em determinar o valor mínimo do estoque total, respeitando as restrições de que as avaliações dos produtos sejam pelo menos iguais aos lucros unitários fornecidos. 
Agora podemos escrever o modelo matemático.
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 PROBLEMA DUAL
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CONCLUSÃO
As variáveis duais podem ser interpretadas como avaliações unitárias dos recursos, relativas às contribuições de cada um para a obtenção do lucro total.
Isso significa que, resolvendo os problemas apresentados, as variáveis duais indicam as variações que ocorrem no valor da função objetivo do primal, para variações unitárias nos níveis de recursos.
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DEFINIÇÕES
(1) PREÇO-SOMBRA
Agora sabemos que cada variável yi do Problema Dual está relacionada a restrição i do problema Primal. Chamamos o valor ótimo da variável dual, yi* , de Preço-Sombra ou Preço-Dual. 
Os valores ótimos das variáveis duais, ou ainda, os Preços-Sombra, podem ser interpretados como sendo os preços que alguém estaria disposto a pagar por unidades adicionais dos recursos envolvidos nas restrições do Primal. 
Assim, cada restrição i possui um Preço de Sombra yi*.
O Preço Sombra yi* referente ao recurso i fornece o valor marginal deste recurso em relação o lucro total.
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(2) CUSTO REDUZIDO
 
Cada variável de folga, ou seja, cada restrição do Dual está diretamente relacionada com uma variável original do problema Primal. Este valor é chamado de Custo Reduzido. 
Cada variável do problema original possui um determinado custo reduzido. 
DEFINIÇÕES
 Nos problemas de maximização, o Preço Sombra é o valor, yi , da variável dual.
 Nos problemas de minimização, o Preço Sombra é o valor, −yi , da variável dual.
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EXEMPLO
 Uma companhia de móveis fabrica secretárias, mesas, e cadeiras. A produção de cada tipo de móvel requer madeira e dois tipos de trabalho especializado: acabamentos e carpintaria. A quantidade dos recursos necessários para a produção de cada móvel está na tabela abaixo:
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Dispõe-se de 48 tábuas, 20 horas de acabamentos, e 8 horas de carpintaria.
O preço de venda é de 60 euros para secretárias, 30 euros para mesas, e 20 euros para cadeiras.
Todos os recursos já foram comprados, pretende-se agora estabelecer o plano de produção que maximiza a receita.
EXEMPLO
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 PROBLEMA PRIMAL
Sugestão: Monte este problema no EXCEL e resolva pelo SOLVER.
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 PROBLEMA DUAL
Sugestão: Monte este problema no EXCEL e resolva pelo SOLVER.
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Agora vamos considerar um exemplo sobre Preço-Sombra proposto no livro Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. 
EXEMPLO SOBRE O PREÇO-SOMBRA
Desejamos analisar graficamente a solução ótima do problema de maximização:
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Qual seria o efeito se aumentássemos a constante da restrição 
 em 3unidades, até 24? 
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Como ficaria graficamente esta variação? 
A região viável ficará maior.
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E a solução ótima deste novo problema?
A solução ótima também se deslocará. 
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No problema inicial, teríamos como Z ótimo Z*=1600.
Após o acréscimo das 3 unidades na restrição, o novo Z ótimo seria de 
 De quanto foi a alteração da Função Objetivo?
 
O preço sombra ficaria: 
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Problema modificado:
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E se quiséssemos saber o preço sombra da restrição? 
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Podemos observar pelo gráfico que esta restrição não oferece limite à solução ótima. 
Seu preço de sombra é 0.
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Vale destacar que Custo Reduzido e Preço Sombra dizem respeito a alterações unitárias, podendo ser garantidas somente dentro de intervalos. 
OBSERVAÇÃO
Intervalos de validação do Custo Reduzido e Preço Sombra:
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O problema com a restrição modificada para 24. 
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RESUMINDO
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
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