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Pesquisa Operacional I 1 , Pesquisa Operacional I Edison Alves Portela Junior 1ª e di çã o Pesquisa Operacional I 11 Programação Matemática 1 Pesquisa Operacional I 12 Nesta unidade, faremos uma análise do contexto sócio histórico que propiciou o seu surgimento: O que é pesquisa operacional? A partir daí poderemos entender melhor o seu conceito e o seu objeto de estudo. Objetivos da unidade: Analisar a condição da pesquisa operacional como ferramenta na tomada de decisão e o uso da programação linear como solução. Plano da unidade: O que é a Pesquisa Operacional? Problemas de otimização. Exemplos. Programação Linear. Formulação do problema Convenção da solução Bons estudos! Pesquisa Operacional I 13 O que é a Pesquisa Operacional? A origem histórica da pesquisa operacional (PO) foi realizada por indivíduos como Charle Baggage. Sua pesquisa sobre o custo de transporte e triagem do correio para a "Penny Post" da Inglaterra universal em 1840, e estudos sobre o comportamento dinâmico de veículos ferroviários em defesa de bitola larga do GWR. Percy Bridgman trouxe a pesquisa operacional para dar suporte sobre problemas em física na década de 1920 e, mais tarde, tentar estender estes para as ciências sociais. A Pesquisa operacional moderna teve origem na Estação de Pesquisa Bawdsey no Reino Unido em 1937 e foi o resultado de uma iniciativa do superintendente da estação, AP Rowe. Rowe concebeu a ideia como um meio para analisar e melhorar o funcionamento do sistema de radar de alerta, nos seus primórdios, no Reino Unido, Chain Home (CH). Inicialmente, ele analisou o funcionamento do equipamento de radar e de suas redes de comunicação, expandindo posteriormente para incluir o comportamento do pessoal de operação. Isto revelou limitações não reconhecidas da rede CH e permitiu medidas corretivas a tomar. O termo pesquisa operacional foi atribuído a algumas iniciativas militares na Segunda Guerra Mundial. Por conta do esforço requerido pela guerra na alocação de recursos escassos às várias operações militares e às atividades dentro de cada operação de uma maneira efetiva. Várias seções de pesquisa operacional foram estabelecidas nas forças armadas britânicas. Logo depois, esses esforços similares foram empreendidos nos Estados Unidos. Muitos cientistas foram reunidos para aplicar uma abordagem científica a problemas estratégicos e táticos. Esses cientistas foram chamados a realizar pesquisas operacionais militares, daí vem o nome. Um passo natural tomado foi estender o sucesso da Pesquisa Operacional nos esforços de guerra para as organizações civis. A indústria pós-guerra havia crescido muito e se deparava com os problemas causados pela crescente complexidade das organizações. Vale lembrar que após a guerra houve inúmeros movimentos para a reconstrução dos países arrasados. Os problemas que apareceram durante a guerra Pesquisa Operacional I 14 e a complexidade das organizações na reconstrução dos países eram muito semelhantes, porém em um contexto diferente. Em 1948, o Massachusetts Institute of Tecnology (MIT) instituiu o primeiro programa formal de estudos em Pesquisa Operacional para campos não militares. A “idade de ouro” da PO vai de 1945 até meados da década de 1970, devida à rápida expansão. Dois fatores foram cruciais para o crescimento da PO naquele período: O primeiro foi o avanço na melhoria nas técnicas de PO e na formulação dos problemas - Ex. o método simplex para resolver problemas de programação linear. O segundo foi a popularização dos computadores. Problemas de otimização A construção de modelos. O desafio da PO é transformar um problema real de produção ou de processo em um modelo matemático que reproduza fielmente essa realidade; destacar as variáveis que se queira controlar - variáveis essas que estão sujeitas a restrições de ordem técnica; validar o modelo matemático e implementá-lo. Para facilitar nosso estudo vamos dividir esse problema em etapas: Definição da situação-problema; Formulação de um modelo quantitativo; Resolução do modelo e encontro da melhor solução; Consideração de fatores imponderáveis; Implementação da solução. Agora vamos ver cada uma destas etapas. Pesquisa Operacional I 15 Definição da situação-problema Nessa fase os gerentes do projeto deverão discutir o problema de forma mais clara e coerente, definir o escopo do projeto, definir os objetivos a serem alcançados e quais são os possíveis caminhos a seguir. As limitações técnicas devem ser levantadas e as relações deste sistema com os demais da empresa ou do ambiente externo. Sejam micro clientes ou micro fornecedores internos da corporação e stakeholders de outras organizações, com a finalidade de validar esse modelo. Formulação de um modelo quantitativo Em PO os modelos quantitativos são modelos matemáticos formados por um conjunto de equações e inequações. A eficiência do modelo é medida pela função objetivo, que pode ser de maximização ou de minimização. Por exemplo, maximizar o lucro ou minimizar o custo. Quanto melhor o valor obtido na função objetivo para cada solução proposta, melhor a eficiência do modelo: A solução ótima. Resolução do modelo e encontro da melhor solução Variáveis controladas ou de decisão: são aquelas cujo valor está sob o controle do administrador. Cabe a ele decidir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de produção uma possível variável a ser controlada pode ser a quantidade a ser produzida em um período de tempo, o que é competência do administrador. Variáveis não controladas: são aquelas cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custos de produtos ou insumos, demanda de produtos, preços de mercado, são alguns exemplos desse tipo de variável. Podemos afirmar que um bom modelo é aquele que tem desempenho que mais chega próximo da realidade. O modelo deve ser rodado sempre, comparado com a realidade e revisado a fim de chegar o mais próximo possível dessa Pesquisa Operacional I 16 realidade. O modelo se torna mais fiel à realidade, incorporando características, com a adição de variáveis. Consideração de fatores imponderáveis Por outro lado, existem fatores que podem ser importantes, mas são difíceis de quantificar. O comportamento humano é um deles. A interação homem-máquina também. Faz-se necessário estimar o impacto desses fatores na solução que foi gerada pelo modelo matemático. Providências preliminares devem ser tomadas visando esses fatores. Implementação da solução Essa é a fase final. Deve ser apresentado ao administrador. A implantação deve ser acompanhada observando o comportamento do sistema com a solução adotada. Novos ajustes serão requeridos. É desejável que nessa fase do processo as pessoas que serão atingidas pelas mudanças estejam envolvidas. Figura 1.1 – Processo de solução de um problema de Pesquisa Operacional. Fonte: Adaptado de Moreira (2004 apud Moreira, 2010). Figura 1.1 – Processo de solução de um problema de Pesquisa Operacional. Pesquisa Operacional I 17 Programação Linear A programação linear é um dos mais populares modelos matemáticos estruturados utilizados para resolver problemas que apresentam variáveis que podem ser medidas e cujos relacionamentos podem ser expressos por meio de equações e/ou inequações lineares. As aplicações podem ser em vários campos das áreas científicas ou sociais, tais como administração da produção, análise de investimento, controle de estoque, economia, logística e etc. O modelo matemático de programações linear, que de agora em diante denominaremos de Problema de Programação Linear (PPL) é constituído de uma função objetivo linear; de restrições técnicas representadas por um grupo de equaçõese/ou inequações também lineares; e da restrição matemática de não negatividade. Otimizar: ),,,()( 21 nxxxfXf – Função objetivo Sujeito a: mnm n n b b b xxxg xxxg xxxg 2 1 21 212 211 ),,,( ),,,( ),,,( Onde: nnn xcxcxcxxxfXf 221121 ),,,()( ),,1( ),,,( 33221121 mi xaxaxaxaxxxg niniiini Pesquisa Operacional I 18 n é o número de variáveis do problema m é o número de restrições do problema i é o índice de determinada restrição ),,1( mi j é o índice de determinada variável ),,1( nj jc é o coeficiente (constante) da variável jx , da função objetivo ija é o coeficiente (constante) na i-ésima restrição e da variável jx ib é constante da i-ésima restrição Um problema de programação linear está na sua forma padrão, quando o problema de otimização linear tiver as seguintes características: A função objetivo deve ser minimizada ou maximizada; As restrições do problema são definidas por um sistema de equações e/ou inequações lineares; As condições de não negatividade de todas as variáveis de decisão complementam as restrições do problema. Matematicamente, podemos representar um problema na forma-padrão por: nnxcxcxcMaxZ 2211 S.R. 11212111 bxaxaxa nn 0,,, 21 2211 22222121 xx bmxaxaxa bxaxaxa nmnmm nn Pesquisa Operacional I 19 Ou na forma reduzida: j n j j xcMaxZ 1 S.R. ij n j ij bxa 1 ),,1( mipara 0,,, 21 nxxx Agora iremos introduzir alguns termos: Solução: qualquer valor obtido dentro do domínio da função objetivo, )(Xf , para as variáveis de decisão; Solução viável: são soluções que satisfaçam todas as restrições; Solução ótima: uma solução viável que tenha o melhor valor da função objetivo, )(Xf , isto é, que maximiza ou minimiza a função objetivo, podendo ser única ou múltipla; Proporcionalidade: o valor da função objetivo é diretamente proporcional ao valor de cada variável de decisão. Formulação do Problema Não há uma regra fixa para a construção do modelo matemático. Mas a maioria dos problemas de programação linear (PPL) segue um roteiro que norteia o raciocínio. Veremos a seguir um roteiro básico em quatro etapas: 1.Definir as variáveis de decisão ),,1( njxj . Se estivermos estudando uma programação da produção, as variáveis de decisão podem representar as quantidades produzidas de produtos; se for uma programação de investimento, as variáveis representarão o tipo de portfólio escolhido. Pesquisa Operacional I 20 2.Definir a função objetivo da tomada de decisão. Que pode ser maximizar lucro, minimizar custos e etc. Ela é uma expressão formada por uma combinação linear das variáveis de decisão. 3.Definir as restrições técnicas as quais estará sujeito. Como por exemplo, quantidade em estoque; homem-hora disponível na produção; 4.A não negatividade. Sempre. 0,,, 21 nxxx Exemplo 1.1: Na fábrica de Brinquedos Eletrônicos X-Playhouse, são produzidos dois tipos de brinquedos: B1 e B2. O setor de contabilidade e custos informa que o lucro unitário do brinquedo B1 é de R$ 20,00 e do brinquedo B2 é de R$ 35,00. Na linha de produção o brinquedo B1 consome 2 horas e o brinquedo B2 consome 4 horas de trabalho. Essa linha de montagem tem 24 horas de trabalho disponíveis por dia. Sabe-se ainda que a demanda esperada pelo brinquedo B1 é de 8 unidades e de B2 é de 4 unidades por dia. Como o engenheiro de produção da fábrica Brinquedos Eletrônicos X-Playhouse, monte o plano de produção de forma que o lucro seja maximizado. Solução: 1. Comece definindo as variáveis de decisão, ou seja, as quantidades a serem produzidas de cada brinquedo. 1x = quantidade de B1 a produzir; 2x = quantidade de B2 a produzir; 2. Formule a função objetivo que irá maximizar o lucro da empresa. O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado da seguinte forma: Lucro auferido com a venda de B1: 20 x 1x (lucro por unidade de B1 x quantidade produzida de B1). Pesquisa Operacional I 21 Lucro auferido com a venda de B2: 35 x 2x (lucro por unidade de B2 x quantidade produzida de B2). Então o lucro total obtido será: 2121 3520);( xxxxL Objetivo: 2121 3520);( xxxxLMax 3. Sujeito às restrições técnicas: 4 8 2442 2 1 21 x x xx 4. A não negatividade. 0, 21 xx Convenção da solução A solução de um problema de programação linear, P.P.L., pode ter uma única solução ótima ou pode ter infinitas soluções ótimas, como veremos nos próximos capítulos. A função objetivo pode ser de maximização, por exemplo, maximizar o lucro de uma empresa; como pode ser de minimização, minimizar custos. As restrições técnicas podem ser =, ou : se um insumo será utilizado em sua totalidade, a restrição será de igualdade (=); se um insumo que está estocado, então, esta restrição será ( ), porque ele vai até a quantidade que está disponível no estoque; se há a necessidade desse insumo ser pelo menos, então, esta restrição será ( ). Pesquisa Operacional I 22 Estamos encerrando a unidade. Sempre que tiver uma dúvida entre em contato com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e consulte sempre a biblioteca do seu polo. É hora de se avaliar Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Pesquisa Operacional I 23 Exercícios – Unidade 1 1.Certa fabrica produz dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de R$ 100,00, enquanto o lucro do produto P2 é de R$ 180,00. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades para P1 e 30 unidades para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize o seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear. 2.Um vendedor de legumes pode transportar 800 caixas de legumes para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de cenouras a R$ 20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de batata a R$ 10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de mandioca a R$ 30,00 por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do P.P.L. Pesquisa Operacional I 24 3.Na fabricação de dois de seus produtos, uma empresa utiliza dois equipamentos que limitam a produção. Em um dado período de tempo, estão disponíveis 30 horas do equipamento 1 e 60 horas do equipamento 2. Para a fabricação de uma unidade do produto A, usa-se 1 hora do equipamento 1 e 2 horas do equipamento 2. Já para uma unidade do produto B, são gastas 2 horas do equipamento 2. O equipamento 1 não toma parte na produção do produto B. Por outro lado, uma unidade do produto A leva a um lucro de R$120,00, enquanto cada unidade do produto B gera um lucro de R$ 52,00. Formule o modelo de programação linear para maximizar o lucro da empresa. 4.Uma alfaiataria está considerando quanto deve produzir de seus dois modelos de terno, denominados de Executivo e Despojado, de forma a maximizar o lucro. Será impossível fabricar quanto se queira de cada um dos modelos, porque existem limitações nas horas disponíveis para a operação de costura e a operação de acabamento, as duas operações são básicas na fabricação. No caso da costura, existem 160 horas-máquinas disponíveis, enquanto para o acabamento, que é feito manualmente, haverá, no máximo, 220 homens-horas. Em termos de lucro unitário e produção, os dois modelos apresentam as seguintes características:a. Executivo: i. Lucro unitário: R$ 105,00 ii. Horas-máquina de costura por unidade: 2 iii. Homens-hora de acabamento por unidade: 2 b. Despojado: i. Lucro unitário: R$ 70,00 ii. Horas-máquina de costura por unidade: 1 iii. Homens-hora de acabamento por unidade: 4 Pesquisa Operacional I 25 5.Uma rádio FM local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa de sertanejo com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 ouvintes, enquanto o programa de MPB, com 10 minutos de musica e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 ouvintes. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso mínimo, 5 minutos pra sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores: Construa o modelo do P.P.L.
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