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Universidade Federal de Vic¸osa Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE Departamento de Matema´tica Monitoria de MAT 137 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear Resoluc¸a˜o da 1a Lista de Exerc´ıcios 1. Considere a matriz B dada por B = 1 1 12 3 4 5 8 9 . (a) Calcule o determinante de B. Resoluc¸a˜o: Pela Regra de Crammer, temos det(B) = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 4 5 8 9 ∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 3 5 8 = 3× 9 + 4× 5 + 2× 8− 3× 5− 4× 8− 9× 2 = −2 Portanto, det(B) = −2 (b) Encontre a matriz adjunta adjB. Resoluc¸a˜o: Calculando cada cofator separadamente, temos a11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 3 48 9 ∣∣∣∣ = 3× 9− 8× 4 = −5 a12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 2 45 9 ∣∣∣∣ = −1× (3× 9− 8× 4) = 2 a13 = (−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 35 8 ∣∣∣∣ = 2× 8− 5× 3 = 1 a21 = (−1)2+1 ∣∣∣∣ 1 18 9 ∣∣∣∣ = −1× (1× 9− 8× 1) = −1 a22 = (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 15 9 ∣∣∣∣ = 1× 9− 5× 1 = 4 a23 = (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 15 8 ∣∣∣∣ = −1× (1× 8− 5× 1) = −3 a31 = (−1)3+1 ∣∣∣∣ 1 13 4 ∣∣∣∣ = 1× 4− 3× 1 = 1 a32 = (−1)3+2 ∣∣∣∣ 1 12 4 ∣∣∣∣ = −1× (1× 4− 2× 1) = −2 a33 = (−1)3+3 ∣∣∣∣ 1 12 3 ∣∣∣∣ = 1× 3− 2× 1 = 1 Portanto, adj(B) = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 T = a11 a21 a31a12 a22 a32 a13 a23 a33 ⇒ adj(B) = −5 −1 12 4 −2 1 −3 1 (c) Use o item (b) acima para calcular B−1. Resoluc¸a˜o: Por Teorema, sabemos que A× adj(A) = adj(A)× A = det(A)× I Como det(B) = −2 6= 0, existe a matriz inversa de B, ale´m disso, det(B)−1 = 1 det(B) . Assim, A× adj(A) = det(A)× I ⇒ A−1 × (A× adj(A)) = A−1 × (det(A)× I) ⇒ (A−1 × A)× adj(A) = det(A)× (A−1 × I) ⇒ adj(A) = det(A)× A−1 ⇒ A−1 = 1 det(A) × adj(A) Desta forma, B−1 = 1 −2 × adj(B) = − 1 2 × −5 −1 12 4 −2 1 −3 1 Portanto, B−1 = 52 12 −12−1 −2 1 −1 2 3 2 −1 2 2. Resolva o sistema, usando a regra de Cramer: 3y + 2x = z + 1 3x + 2z = 8− 5y 3z − 1 = x− 2y Resoluc¸a˜o: Inicialmente organizamos o sistema de forma que cada coluna tenha a mesma inco´gnita, como feito abaixo: 2x + 3y − z = 1 3x + 5y + 2z = 8 −x + 2y + 3z = 1 Escrevendo matricialmente, 2 3 −13 5 2 −1 2 3 ︸ ︷︷ ︸ A xy z ︸ ︷︷ ︸ X = 18 1 ︸ ︷︷ ︸ B Assim, temos det(A) = ∣∣∣∣∣∣ 2 3 −1 3 5 2 −1 2 3 ∣∣∣∣∣∣ = −22 det(Ax) = ∣∣∣∣∣∣ 1 3 −1 8 5 2 1 2 3 ∣∣∣∣∣∣ = −66, det(Ay) = ∣∣∣∣∣∣ 2 1 −1 3 8 2 −1 1 3 ∣∣∣∣∣∣ = 22, det(Az) = ∣∣∣∣∣∣ 2 3 1 3 5 8 −1 2 1 ∣∣∣∣∣∣ = −44 Logo, pela Regra de Crammer: x = det(Ax) det(A) = −66 −22 ⇒ x = 3, y = det(Ay) det(A) = 22 −22 ⇒ y = −1 e z = det(Az) det(A) = −44 −22 ⇒ z = 2. 3. Suponha P uma matriz invers´ıvel. Mostre que det(P−1) = (det(P ))−1. Resoluc¸a˜o: Sabemos que PP−1 = P−1P = I. Desta forma, aplicando o determinante a`s matrizes temos det(PP−1) = det(I)⇔ det(P )det(P−1) = 1⇔ det(P−1) = 1 det(P ) . Portanto, det(P−1) = [det(P )]−1, desde que det(P ) 6= 0. 4. Decida, em cada um dos casos abaixo, se a afirmac¸a˜o dada e´ (sempre) verdadeira ou (a`s vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lo´gico matema´tico (se verdadeira) ou um contra-exemplo (se falsa). (a) (F) det(AB) = det(BA) Resoluc¸a˜o: Considere as matrizes A = [ 1 2 3 4 ] e B = [ −1 3 5 7 ] . Temos AB = [ 9 17 17 28 ] ⇒ det(AB) = −37. BA = [ 8 10 26 38 ] ⇒ det(BA) = 44. Portanto, det(AB) 6= det(BA) (b) (F) det(2A) = 2detA Resoluc¸a˜o: Tome a matriz A dada por A = [ 1 2 3 4 ] . Note que det(A) = −2; 2A = [ 2 4 6 8 ] ⇒ det(2A) = −8. Logo, det(2A) = −8 6= 2× (−2) = 2det(A). (c) (F) det(I + A) = 1 + det(A) Resoluc¸a˜o: Tome a matriz A dada por A = [ 1 2 3 4 ] . Note que I + A = [ 2 2 3 5 ] ⇒ det(I + A) = 4 6= 1 + (−2) = det(A). Portanto, det(I + A) 6= 1 + det(A). (d) (F)det(A + B) = det(A) + det(B) Resoluc¸a˜o: Considere as matrizes A = [ 1 2 3 4 ] e B = [ −1 3 5 7 ] . Veja que det(A) = −2 e det(B) = −22. A + B = [ 0 5 8 11 ] ⇒ det(A + B) = −40. Logo, det(A + B) 6= det(A) + det(B). (e) (V)Se AB = 0 e B e´ invers´ıvel, enta˜o A = 0 Resoluc¸a˜o: Como B e´ invers´ıvel podemos aplicar B−1 em ambos os lados da igualdade, assim, AB = 0⇔ (AB)B−1 = 0B−1 ⇔ A(BB−1) = 0⇔ AI = 0⇔ A = 0. (f) (F)det(−A) = det(A). Resoluc¸a˜o: Consideremos a matriz A dada por A = 1 2 3−1 0 4 3 2 1 , onde det(A) = 12. Temos que −A = −1 −2 −31 0 −4 −3 −2 −1 , ale´m disso, det(−A) = −12 = (−1)3det(A). Portanto,det(−A) = det(A) apenas quando a ordem da matriz A e´ par. (g) (V)A soma de duas matrizes sime´tricas de mesma ordem e´ uma matriz sime´trica. Resoluc¸a˜o: Se A e B sa˜o duas matrizes sime´tricas, enta˜o, da definic¸a˜o, temos que A = AT e B = BT . Desta forma, A + B = AT + BT = (A + B)T Portanto, A + B tambe´m e´ sime´trica. (h) (V)Se AB = C e duas das matrizes sa˜o invers´ıveis, enta˜o a terceira tambe´m o e´. Resoluc¸a˜o: 1o Caso: Sejam A,B duas matrizes invers´ıveis. Logo, det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0. Assim, A · B = C ⇒ det(AB) = det(C) ⇒ det(A)det(B) = det(C), como, por hipo´teses, det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0, segue que det(C) 6= 0. Logo, C e´ invers´ıvel. 2o Caso:Sejam A,C duas matrizes invers´ıveis. Logo, det(A) 6= 0 e det(C) 6= 0. Assim, det(A)det(B) = det(C) e como, por hipo´tese, det(A) 6= 0 e det(C) 6= 0, segue que det(B) 6= 0. Portanto, B e´ invers´ıvel. 3o Caso:Se B,C sa˜o invers´ıveis, temos det(B) 6= 0 e det(C) 6= 0. Logo, det(A)det(B) = det(C) e como det(B) 6= 0 e det(C) 6= 0, segue que det(A) 6= 0. Portanto, A e´ invers´ıvel. 5. Considere a matriz A abaixo: A = 2 1 5 1 1 1 −3 −4 3 6 −2 1 2 2 2 −3 . (a) Calcule o determinante da matriz A. Resoluc¸a˜o: Inicialmente vamos fazer operac¸o˜es nas linhas da matriz A, de modo que facilite o ca´lculo do determinante, posteriormente. A = 2 1 5 1 1 1 −3 −4 3 6 −2 1 2 2 2 −3 L1→L1−L4∼ 0 −1 3 4 1 1 −3 −4 3 6 −2 1 2 2 2 −3 L1→L1+L2∼ 1 0 0 0 1 1 −3 −4 3 6 −2 1 2 2 2 −3 ︸ ︷︷ ︸ A′ . Sabemos que as operac¸o˜es efetuadas na˜o alteram o valor do determinante, assim det(A) = det(A′). Calculando o determinante de A′, temos det(A′) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 1 1 −3 −4 3 6 −2 1 2 2 2 −3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1× (−1) 1+1 ∣∣∣∣∣∣ 1 −3 −4 6 −2 1 2 2 −3 ∣∣∣∣∣∣ = −120 Portanto, det(A) = det(A′) = −120. (b) Encontre o determinante da matriz C, onde C e´ a matriz obtida de A atrave´s das seguintes operac¸o˜es elementares:L1 ←→ L4, L3 −→ 2L3. Resoluc¸a˜o: Por meio das propriedades de determinante sabemos que L1 ←→ L4 ⇒ det(C) = −det(A) L3 −→ 2L3 ⇒ det(C) = 2det(A) Desta forma, det(C) = −(2det(A))⇔ det(C) = −2(−120)⇔ det(C) = 240. 6. Determine os valores reais de k para que o sistema linear x + 3y + 4z = 2 3x + 7y + (k + 13)z = 10 2x + (2k + 2)y + 4z = 20 seja: (a) Poss´ıvel determinado; Resoluc¸a˜o: Inicialmente vamos escrever o sistema na forma matricial: 1 3 43 7 (k + 13) 2 (2k + 2) 4 ︸ ︷︷ ︸ A xy z ︸ ︷︷ ︸ X = 210 20 ︸ ︷︷ ︸ B . Para ser poss´ıvel e determinado a matriz A deve ser invers´ıvel, ou seja, det(A) 6= 0. det(A) = ∣∣∣∣∣∣ 1 3 4 3 7 (k + 13) 2 (2k + 2) 4 ∣∣∣∣∣∣ = −2k2 + 2k + 12 det(A) = −2(k2 − k − 6) 6= 0⇔ k2 − k − 6 6= 0 Logo, basta fazer k 6= 3 e k 6= −2. Portanto, S = { k ∈ R/k 6= 3, k 6= −2} (b) Poss´ıvel indeterminado; Resoluc¸a˜o: Como a matriz A e´ quadradra, ou seja, o sistema tem o nu´mero de linhas igual ao nu´mero de inco´gnitas, podemos aplicar a Regra de Cramer. Assim, x = det(Ax) det(A) ; y = det(Ay) det(A) e z = det(Az) det(A) . Para que o sistema seja poss´ıvel e indeterminados temos que det(A) = 0 e det(Ax) = det(Ay) = det(Az) = 0. Desta forma, det(Ax) = ∣∣∣∣∣∣ 2 3 4 10 7 (k + 13) 20 (2k + 2)4 ∣∣∣∣∣∣ = −4k2 + 84k + 184 det(Ax) = −4(k2 − 21k − 46) = 0⇔ k2 − 21k − 46 = 0⇔ k = 23 ou k = −2. det(Ay) = ∣∣∣∣∣∣ 1 2 4 3 10 (k + 13) 2 20 4 ∣∣∣∣∣∣ = −16k − 32 det(Ay) = −16k − 32 = 0⇔ k = −2. det(Az) = ∣∣∣∣∣∣ 1 3 2 3 7 10 2 (2k + 2) 20 ∣∣∣∣∣∣ = −8k − 16 det(Az) = −8k − 16 = 0⇔ k = −2. Portanto, para que o sistema seja Poss´ıvel e Indeterminado, basta fazer k = −2. (c) Imposs´ıvel. Resoluc¸a˜o: Para que o sistema linear seja imposs´ıvel, basta termos det(A) = 0 e det(An) 6= 0 com n = x, y ou z. Assim, perceba que se fizermos k = 3 teremos det(A) = 0, pore´m det(Ax) 6= 0. Portanto, basta fazer k = 3 para que o sistema seja Imposs´ıvel. 7. Seja A uma matriz real e quadrada de tal sorte que det(A) = 3. Em cada uma das sentenc¸as abaixo, obtenha o determinante da matriz B, sabendo-se que tal matriz e´ obtida de A por: (a) Multiplicac¸a˜o de uma linha de A por um escalar k. Resoluc¸a˜o: Sabemos que det(A) = 3, pelas propriedades de determinante, ao multiplicarmos uma linha da matriz A por um escalar seu determinante tambe´m sai multiplicado por este escalar. Desta forma, det(A′) = k det(A)⇔ det(A′) = 3k . Onde A′ e´ a matriz A com uma linha multiplicada por k. (b) Troca entre si de duas linhas de A. 7 Resoluc¸a˜o: Pelas propriedades de determinante, ao trocarmos duas linhas da matriz A seu de- terminante troca de sinal. Desta forma, det(A′) = −det(A)⇔ det(A′) = −3. Onde A′ e´ a matriz A com duas linhas trocadas. (c) Por meio da seguinte sequeˆncia de operac¸o˜es elementares: L1 ←→ L2, L3 −→ (1/2)L5, L4 −→ L4 − L1. Resoluc¸a˜o: Por meio das propriedades de determinante, sabemos que trocar uma linha pela combinac¸a˜o linear de outras duas na˜o altera o valor do determinante. Desta forma, det(A′) = −1 2 det(A)⇔ det(A′) = −3 2
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