Lista e Gabarito - Matriz Inversa e Determinante

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Lista de Exerćıcios 2 - Gex102 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
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Matriz Inversa
1. Se posśıvel, encontre as inversas das seguintes matrizes:
a)
1 2 31 1 2
0 1 2
;
b)
1 2 21 3 1
1 3 2
;
c)

1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2
;
d)

1 1 1 1
1 3 1 2
1 2 −1 1
5 9 1 6
.
2. Calcule A−2, sendo A =
(
4 7
1 2
)
. (Obs: A−2 = (A−1)2).
3. Se A−1 =
[
3 2
1 3
]
e B−1 =
[
2 5
3 −2
]
encontre (AB)−1.
4. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A =
1 1 01 0 0
1 2 a
 tem inversa.
5. Seja A−1 =
1 2 13 4 1
2 −1 9
 a inversa da matriz A. Seja B =
10
2
. Encontre a matriz X que
satisfaz a equação AX = B.
6. Sabendo que A−1 =
[
2 3
4 1
]
e B =
[
5
3
]
, resolva o sistema AX = B.
7. Seja A =
(
3 −1
x y
)
, onde x e y são números reais. Se A = A−1 , determine x+ y .
8. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3. Suponha que X =
 1−2
3
 é solução do sistema
homogêneo AX = 0̄. A matriz A é singular ou não? Justifique sua resposta.
1
9. Encontre todos os valores de λ para os quais a matriz (A− λI4) tem inversa, em que
A =

2 0 0 0
2 0 0 0
1 2 1 0
3 2 −1 2
 .
Determinante
1. Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
A =
(
2 −1
−4 −3
)
B =
 3 −1 1−1 −3 −1
−2 −6 −2

C=

−1 4 0 1
0 23 6 3
0 0 −1 0
0 0 0 8

D =

−17 54 2 1
−5 23 0 0
9 19 −1 0
2 0 0 0
.
2. Dada a matriz A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
 calcule
a) Ã23 e Ã42
b) ã14 e ã31
c) det(A)
3. Se det(A) = −3, encontre
a) det(A2)
b) det(A−1)
c) det(At)
4. Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, n ≥ 1, tais que det(A) = −2 e det(B) = 3,
calcule det(AtB−1).
5. Sejam as matrizes quadradas A e B de ordem 3. Se det(A) = 2 e det(B) = 5, calcule:
a) det(4A2B)
b) det(2A) + det(B−1)
c) det[(3BA−1)t]
6. Se M é uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 3, o valor da expressão
det(M) + det(−2M) + det(3M) vale quanto?
7. Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares sobre
linhas para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
2
a)

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 b)

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3

8. Determine todos os valores de λ para os quais det(A− λIn) = 0, em que:
a) A =
0 1 20 0 3
0 0 0

b) A =
 1 0 0−1 3 0
3 2 −1

c) A =
2 −2 30 3 −2
0 −1 2

d) A =
2 2 31 2 1
2 −2 1

9. Ache os valores de λ, para os quais o sistema linear (A − λIn)X = 0 tem solução não trivial,
em que:
a) A =
2 0 03 −1 0
0 4 3

b) A =
2 3 00 1 0
0 0 2

c) A =

1 2 3 4
0 −1 3 2
0 0 3 3
0 0 0 2

d) A =

2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1

10. Para as matrizes do exerćıcio anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral
do sistema homogêneo (A− λIn)X = 0.
V ou F
1. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) Se det(A) = 1, então A−1 = A.
b) Se A é uma matriz triangular superior e A−1 existe, então também A−1 será uma matriz
triangular superior.
c) Se A é uma matriz n× n tal que A2 + A− In = 0, então A é invert́ıvel.
d) Sejam A e B duas matrizes n× n. Então det(3A−B) = 3 det(A)− det(B).
e) Se B = AAtA−1, então det(A) = det(B).
3
Teóricas
1. Mostre que a matriz A =
(
a b
c d
)
é invert́ıvel se, e somente se, ad − bc 6= 0 e, nesse caso, a
sua inversa é dada por A−1 =
1
ad− bc
(
d −b
−c a
)
. (Sugestão: encontre a forma escalonada
reduzida da matriz [A|I2] , para a = 0 e para a 6= 0)
2. Descreva todas as posśıveis matrizes 2x2, que estão na forma escalonada reduzida.
3. SejamA eB matrizes de orden n. Mostre que seB é uma matriz invert́ıvel, entãoAB−1 = B−1A
se, e somente se, AB = BA. (Sugestão: multiplique a equação AB = BA por B−1 )
4. Mostre que se A é uma matriz invert́ıvel, então A + B e In + BA−1 são ambas invert́ıveis ou
ambas não invert́ıveis. (Sugestão: multiplique A+B por A−1)
5. Mostre que se A não é invert́ıvel, então AB também não o é.
6. Seja A uma matriz n× n triangular superior (isto é, os elementos situados abaixo da diagonal
principal são iguais a zero.) Mostre que: det(A) = a11a22 · · · ann. Ou seja, que o determinante
de A é o produto dos elementos da diagonal principal.
7. Pelos teoremas estudados em aula, demonstre que:
(a) Um sistema linear não-homogêneo AX = B tem solução única se, e somente se, det(A) 6= 0.
(b) Um sistema linear homogêneo AX = 0̄ tem solução não-trivial se, e somente se, det(A) = 0.
8. Mostre que se det(AB) = 0, então ou A é singular ou B é singular.
9. O determinante de AB é igual ao determinante de BA? Justifique.
10. Mostre que se A é uma matriz quadrada de ordem n e não singular tal que A2 = A, então
det(A) = 1.
11. Mostre que se At = A−1, então det(A) = ±1.
12. Mostre que se α é um escalar e A é uma matriz n× n, então det(αA) = αn det(A).
(Sugestão: Faça os caso n = 2 e n = 3, depois passe para o caso n qualquer)
13. Sejam A e P matrizes n× n, sendo P invert́ıvel. Mostre que det(P−1AP ) = det(A).
4
GABARITO Lista de Exerćıcios 2
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
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Matriz Inversa
1. a.
 0 1 −12 −2 −1
−1 1 1

b.
 3 2 −4−1 0 1
0 −1 1

c.

7/3 −1/3 −1/3 −2/3
4/9 −1/9 −4/9 1/9
−1/9 −2/9 1/9 2/9
−5/3 2/3 2/3 1/3

d. Não existe.
2. A =
(
11 −42
−6 23
)
3.
[
11 19
7 0
]
4. a 6= 0.
5.
 35
20

6. X =
(
19
23
)
7. x = 8 e y = −3. Logo x+ y = 5.
8. A matriz é singular, pois o sistema homogêneo tem solução não trivial.
9. {λ ∈ R|λ 6= 0, 1, 2}
Determinantes
1. (a) -10
(b) 0
(c) 184
(d) 46
5
2. (a) Ã23 =
2 3 −20 1 2
3 −1 4

Ã42 =
2 1 −25 1 4
0 2 2

(b) ã14 = −15
ã31 = 30
(c) det(A) = 0
3. (a) 9
(b) −1
3
(c) -3
4. −2
3
5. (a) 1280
(b) 16.2
(c) 67.5
6. 60
7. (a) 39
(b) 6
8. (a) x=0
(b) x=1 ou x=3 ou x=-1
(c) x= 2 ou x=4 ou x=1
(d) x=2 ou x=4 ou x=-4
9. (a) λ = 2 λ =-1 λ = -3
(b) λ = 2 λ = 1
(c) λ = 1 λ = -1 λ = 3 λ = 2
(d) λ = 2 e λ =3
10. (a) Para x=-1: X−1 =
 0−α
α
. Para x=2: X2 =
 αα
4α
. Para x=-3: X3 =
00
α
.
(b) Para x=1: X1 =
−3αα
0
. Para x=2: X2 =
α0
β
.
(c) Para x=-1: X−1 =

−α
α
0
0
. Para x=1: X1 =

α
0
0
0
. Para x=2: X2 =

−29α
−7α
−9α
3α
. Para
x=3: X3 =

3α
α
(4/3)α
0
.
6
(d) Para x=3: X1 =

3α
−3α
α
0
. Para x=2: X2 =

α
0
0
0
.
V ou F
1 (a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V
7