GEOMETRIA DESCRITIVA APLICACAO DE EXERCICIO USANDO O HEXAEDRO

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GEOMETRIA DESCRITIVA: APLICAÇÃO DE EXERCÍCIO 
USANDO O HEXAEDRO 
Marcia de Andrade Sena Souza 
SENAC/RJ 
 masenas@superig.com.br 
 
Resumo 
Este artigo apresenta uma experiência realizada em curso de graduação 
de arquitetura no ano letivo de 2010. A experiência foi desenvolvida com o 
objetivo de melhorar as condições de ensino aprendizagem em sala de 
aula da disciplina de geometria descritiva, tendo em vista algumas 
modificações realizadas no curso como a redução de carga horária 
adotada pela instituição e o aumento do número de alunos por turma. 
 
Palavras-chave: Geometria descritiva, hexaedro, ponto, reta e plano. 
Abstract 
This work presents an essay applied in an undergraduate architecture 
course in the year of 2010. The essay was developed in order to achieve 
better teaching and learning conditions for the discipline of Descriptive 
Geometry, due to some modifications implanted in this discipline such as 
reduction of the credit hours and the increase of the numbers of students 
per class. 
 
Keywords: descriptive geometry, hexaedron, point, line and plan. 
1 Introdução (título à escolha do autor). 
Esse trabalho apresenta uma experiência desenvolvida em instituição de ensino 
superior, curso de graduação em arquitetura, disciplina de geometria descritiva. 
O contexto de apresentação da disciplina era um período em que os olhares de 
alguns profissionais da área de desenho, projeto e expressão gráfica focavam 
experiências na área de computação gráfica, novas ferramentas computacionais como 
 
 
o software Revit, novas versões do AutoCAD, impressoras 3D começando a ocupar 
espaço na pesquisa de alguns laboratórios, muitas publicações sobre a experiência de 
Frank Gehry no projeto do Museu Guggenheim de Bilbao entre outras de caráter 
inovador, novos olhares sobre as possibilidades para realização de projetos com 
formas complexas. (Souza, 2009) 
O impacto de tudo isso sobre o currículo das faculdades de arquitetura foi a 
demanda por revisão curricular para acomodar as novidades e identificar 
possibilidades para a inclusão de abordagens que permitissem preparar o aspirante a 
carreira de arquiteto para o desenvolvimento de competências capazes de habilitá-lo 
para a análise crítica das novas propostas arquitetônicas e para a realização de 
técnicas inovadoras à concepção de projetos. 
No contexto de mudanças dessa natureza apresenta-se neste artigo uma 
experiência na disciplina de geometria descritiva. Tal experiência visou desenvolver 
nos alunos as habilidades e competências necessárias ao desenvolvimento da visão 
espacial, da solução de problemas do espaço tridimensional e da representação do 
espaço tridimensional em suporte bidimensional. 
Para isso são descritos os agentes participantes da experiência, o desafio a ser 
superado, o exercício proposto para vencer o desafio, as ferramentas empregadas 
para apresentar e resolver o problema e a metodologia proposta para apresentação e 
resolução do problema. 
São apresentadas também as conclusões extraídas da experiência e apontados 
desdobramentos possíveis a partir dessa experiência. 
 
2 O desafio: o grupo de alunos, os recursos disponíveis e o tempo 
A realização da experiência foi desenvolvida com alunos do curso de graduação de 
arquitetura na disciplina de geometria descritiva. Os alunos do curso apresentavam 
perfis heterogêneos, variando em relação a fatores como: faixa etária, procedência 
(escola ou trabalho, muitos já atuando em empresas do setor de projetos ou 
construção civil), nível de escolaridade, experiência com desenho de qualquer 
natureza – artístico, geométrico e desenho com ferramenta computacional. 
A heterogeneidade dos perfis somada a turma com uma frequência variando entre 
sessenta a oitenta alunos e a redução da carga horária da disciplina de geometria 
descritiva de dois para um único período, decrescendo de 80 para 40 horas 
apresentou-se como um desafio ao cumprimento do objetivo da disciplina: desenvolver 
a visão espacial do aluno, capacitar o aluno a solucionar problemas do espaço 
tridimensional em suporte bidimensional. 
 
 
Os recursos disponíveis em sala de aula para apresentação da disciplina eram o 
quadro branco com pilot e retroprojetor com transparências preparadas pelo professor. 
Descobrir uma forma promover o aprendizado desse aluno com perfis variados 
sobre o espaço tridimensional representado em suporte bidimensional considerando o 
tempo e os recursos disponíveis era a questão que se colocava. 
3 A bibliografia apresentada aos alunos 
Para realização da experiência com os alunos foi desenvolvida pesquisa sobre os 
livros que são normalmente empregados como referências bibliográficas para as 
disciplinas de geometria descritiva nos cursos de arquitetura, com o objetivo de 
selecionar alguns a serem recomendados com bibliografia de estudo complementar. 
Foram pesquisados também alguns sites sobre o assunto. 
Considera-se fundamental a instrumentação desse aluno para o possível 
esclarecimento de dúvidas de forma imediata, dada à restrição de tempo para 
apresentação da disciplina. 
Os livros foram analisados criticamente quanto a sua eficácia como suporte 
didático aos alunos com perfis heterogêneos das turmas de GD – geometria descritiva. 
As análises levaram em conta desde a diagramação das páginas e organização 
dos assuntos até o tipo de exercício proposto. 
Os livros do Virgílio Athaíde – Noções de Geometria Descritiva, vol. 1, 2 e 3, foram 
analisados e o volume 1 foi utilizado como referência bibliográfica para estudo e 
preparação de algumas aulas. 
Os livros – Noções de Geometria Descritiva, volumes 1 e 2 do Alfredo Príncipe 
Junior, foram selecionados como livros de referência para os alunos, em função da 
forma como o conteúdo é apresentado e da preferência dos alunos do curso de 
arquitetura por esses livros. 
Apesar desse cuidado muitos alunos, quando incentivados ao uso dos livros 
pediram ajuda para entender a abordagem da disciplina no livro. Em sua maioria 
demostraram pouca habilidade para o estudo complementar individual e por isso foram 
incentivados a formação de grupos. 
Para auxiliar o uso do livro alguns sites foram sugeridos para que os alunos 
visitassem. O fato de esses sites apresentarem imagens em 3D motivou os alunos 
para o estudo. 
E a geometria descritiva é uma disciplina curiosa: o aluno briga com ela enquanto 
não entende o que é apresentado, mas uma vez compreendida ele passa a gostar da 
disciplina porque percebe sua dimensão para a compreensão do espaço e para 
soluções de problemas, alguns bastante comuns ao dia à dia da profissão. 
 
 
Foram sugeridos os seguintes sites: 
1- Site da Universidade Estadual de Londrina: http://www.mat.uel.br, site bastante 
didático e apresentado ao aluno como sugestão para estudos complementares sobre 
ponto reta e plano. Um exemplo do que é apresentado no site e sugerido ao aluno: 
Raios ortogonais ao plano de projeção incidem 
sobre os pontos A e B determinando as projeções A1B1. 
 
GEOMÉTRICA: Desenho e Geometria On-Line 
www.mat.uel.br/geometrica 
Resumo. Maria Bernardete Barison 
apresenta o ESTUDO DA RETA em Geometria 
Descritiva. Geométrica vol.2 n.5a 
Figura 1: Fonte: http://www.mat.uel.br, em 3 de junho de 2013. 
 
2- Site Espaço GD, do Prof. Álvaro Rodrigues da Escola de Belas Artes da UFRJ: 
http://www.eba.ufrj.br/gd/, também para complementação dos estudos sobre sólidos; 
Por se tratar de us site dinâmico, as imagens não foram transcritas para este 
artigo. 
 
 3- Site da faculdade de arquitetura da UFRJ: http://www.fau.ufrj.br/gd/ para estudo 
complementar sobre interseção de sólidos e telhados - exercícios de telhados. 
 
Figura2: Fonte: http://www.fau.ufrj.br/gd/, exercício e gabarito, dia 15 de março de 
2010, às 20:00h. 
 
 
Outros livros foram pesquisados como, por exemplo, o livro do Professor Gildo 
Montenegro: Geometria Descritiva, volume 1, que foi empregado para alguns 
exemplos durante as aulas teóricas, especialmente em abordagem sobre a visão 
tridimensional. 
Quanto à bibliografia empregada para a elaboração propriamente dita do exercício 
tratado neste artigo foram utilizadas algumas anotações e a própria abordagem 
conceitual das disciplinas do Prof. Cláudio C.P. Soares, geometria gráfica 
tridimensional II, do curso de pós-graduação em Técnicas de Representação Gráfica 
da Escola de Belas Artes da UFRJ. A disciplina utiliza o software Auto CAD como 
ferramenta para representar sólidos e para resolver alguns problemas relativos aos 
sólidos no espaço. 
 
4 O exercício 
A primeira aula da turma do curso noturno foi realizada a partir da abordagem clássica 
de estudo do ponto, primeiro situado no espaço – diedro e depois em épura. Havia a 
intenção de prosseguir utilizando o mesmo método para apresentação das retas e 
planos, seguindo a sequência de assuntos conforme o livro do Príncipe Junior. 
A escolha deste livro foi feita por estar disponível na biblioteca da faculdade e ser 
facilmente encontrado em sebos no centro de Rio de Janeiro, por um preço acessível, 
além de ser um livro que os alunos de arquitetura costumam usar para consultas pela 
facilidade de compreensão. 
A aplicação do método tradicional de apresentação do conteúdo da disciplina: 
pontos no diedro utilizando um modelo reduzido de diedro e a posterior apresentação 
em épura, no quadro com os pontos e suas coordenadas não se mostrou eficaz. 
O nível de abstração necessário ao aluno do curso de arquitetura para realizar a 
visualização do ponto no espaço e a transposição para o suporte bidimensional - 
quadro branco não se concretizou. Numa turma de sessenta alunos isso ficou ainda 
mais difícil, face a extensão da sala para abrigar os alunos e os recursos disponíveis 
para um único professor em sala de aula. 
Depois de constatar o não atingimento dos objetivos da aula e de travar uma 
conversa com os alunos para saber sobre as dificuldades que estavam encontrando, 
ocorreu a ideia de apresentar o assunto de forma contextualizada e em um exercício 
que desafiasse o grupo, utilizando recursos que eles já haviam tido algum contato 
através de sites, softwares, jogos, etc, de alguma forma já conheciam. 
 
 
A ideia foi propor o problema direto no quadro, sem artifícios que buscassem a 
visualização em diedro e depois em épura. Se a transposição não era possível, evita-
la num primeiro momento pareceu uma alternativa. 
Partiu-se para um exercício que mostrasse no quadro bidimensional o diedro 
tridimensional com um poliedro conhecido– o hexaedro. 
Poliedros – “figuras formadas por quatro ou mais polígonos não situados todos no 
mesmo plano, tais que cada lado de qualquer deles é também lado de outro” (Pinheiro, 
1965), não eram figuras com as quais os alunos estavam familiarizados, salvo o 
hexaedro usado desde a infância em jogos e brincadeiras. 
 
4.1 A escolha do hexaedro e a constatação da realidade: 
A preocupação em apesentar a disciplina a partir da solução de um problema 
apresentado no quadro com a construção de um poliedro conhecido, mostrando passo 
à passo o surgimento de cada vértice (ponto), aresta (reta) e face (plano) no diedro 
possibilitou considerar vários assuntos da disciplina de forma sintética e ao mesmo 
tempo analítica. 
O aluno acompanhava o processo de construção da forma, entendendo seu 
surgimento, assimilando as etapas e aceitando os termos ponto, reta, plano e suas 
designações de forma “quase” natural. 
A escolha do hexaedro foi, então baseada na suposição de que todos possuíam 
conhecimento sobre a forma e sobre algum modo de representar esse sólido, um 
sólido conhecido desde a infância, mostrado em jogos, softwares, propagandas, com 
abordagem tridimensional já vivenciada de alguma forma fora de sala de aula e na 
hipótese de que essa escolha favoreceria de alguma maneira o entendimento do 
conteúdo a ser apresentado. 
Tal escolha do hexaedro garantia a maior intimidade dos alunos com a forma e 
consequentemente com o desenvolvimento do exercício. 
Ocorreu então mais uma surpresa, apesar de conhecer a forma, grande parte dos 
alunos do curso de graduação em arquitetura não sabiam representar um hexaedro 
em perspectiva cavaleira, o que parecia ser mais elementar passou a ser parte do 
conteúdo novo a ser apresentado e empregado na disciplina para abordagem dos 
assuntos que estão contidos no primeiro volume do livro do Príncipe Jr – ponto, retas e 
planos. 
A repetição do processo de construção do hexaedro no diedro por três aulas 
garantiu a conquista do aprendizado sobre a sua representação pelos alunos, e 
 
 
somado a isso apresentou-se o conteúdo previsto para as 3 aulas da disciplina: ponto, 
reta e plano. 
 
4.2 Apresentação e resolução do exercício 
A formulação do exercício partiu da representação no quadro do diedro seguida da 
marcação dos pontos dados por suas coordenadas, inicialmente sem esclarecimento 
algum sobre seu significado e aplicação na épura. A figura apresentada a seguir 
mostra o hexaedro depois de representado. (Fig: 3) 
Figura 3: Imagem de construção do hexágono – plano horizontal da base inferior 
 
Evitou-se naquele momento despertar dúvidas ou perguntas que 
comprometessem o objetivo do exercício. 
O hexaedro foi representado paralelo aos planos horizontal e vertical de projeção, 
seus vértices eram os pontos com coordenadas dadas. A marcação dos pontos e sua 
união, seguindo a sequencia do alfabeto, levaram ao surgimento da figura do 
hexaedro. 
Os alunos foram convidados a observar enquanto o hexaedro era representado no 
diedro (Figs. 3, 4, 5 e 6). As coordenadas dos pontos foram exibidas uma a uma por 
extenso, à medida que cada vértice do hexaedro era marcado e nomeado no primeiro 
diedro. Todo o processo foi muito cauteloso e lento suficiente para que todos 
pudessem acompanhar. 
 
 
 
Figura 4: Imagem de construção do hexágono – plano horizontal da base inferior 
A representação do hexaedro, a visualização da sua imagem a partir da união de 
pontos dados por coordenadas, de forma a garantir o paralelismo de suas arestas e 
faces, viabilizou recordar ou apresentar o vocabulário necessário à realização do 
exercício. 
 
Figura 5 e 6: Imagens de etapas da construção do hexágono 
Conceitos relativos a posição das retas e planos, tais como: paralelismos, 
perpendicularismos, etc, foram tratados com naturalidade a partir do exemplo de sólido 
reconhecido. 
Esse processo de representação do hexaedro na mesma posição no diedro – com 
as mesmas coordenadas (Tab:1), foi repetido na segunda aula quando foram 
apresentadas as retas. 
Tabela 1: Coordenadas dos vértices do hexaedro (Fig.:2) 
Ponto 
(Abcissa; Afastamento; 
Cota) 
(A) (2;2;2)) 
(B) (6;2;2) 
(C) (6;6;2) 
(D) (2,6,2) 
 
 
(E) (2;2;6) 
(F) (6;2;6) 
(G) (6;6;6) 
(H) (2;6;6) 
 
Depois de marcar todos os pontos os mesmos foram unidos chegando-se então a 
representação das retas que foram também nomeadas uma a uma e lançadas em 
uma tabela (Tab: 2) onde sua posição em relação aos planos de projeção foi 
registrada. 
As arestas representadas por retas com posições distintas permitiram apresentar 
os vários tipos e suas classificações. 
A posição das retas em relação aos planos π e π’ sugeriam as características das 
projeções ortogonais. 
Na terceira aula foi realizado o mesmo procedimentopara apresentar os planos, 
que foram dispostos numa tabela (Tab: 3) e informadas suas posições em relação aos 
planos de projeção. 
O hexaedro e suas faces deram lugar ao reconhecimento dos planos em várias 
posições e foram também nomeados. 
Tabela 2: Classificação das retas do hexaedro (Fig.:2) 
Classificação 
das retas 
Retas 
Posição em relação 
π 
Posição em relação 
π’ 
Posição em relação 
π” 
Fronto-
horizontal 
(AB, EF, DC, HG) 
 
Paralela 
 
Paralela 
 
Perpendicular 
Topo (AD, BC, FG, EH) 
 
Paralela 
 
Perpendicular 
 
Paralela 
Vertical (AE, BF, CG, DH) 
 
Perpendicular 
 
Paralela 
 
Paralela 
Frontal (AF, BE, DG, CH) 
 
Oblíqua 
 
Paralela 
 
Oblíqua 
Horizontal (AC, BD, EG, FH) 
 
Paralela 
 
Oblíqua 
 
Oblíqua 
Perfil (ED, AH, BG, FC) 
 
Oblíqua 
 
Oblíqua 
 
Paralela 
Genérica (AG, DF, CE, BH) 
 
Oblíqua 
 
Oblíqua 
 
Oblíqua 
 
O mesmo foi feito com os planos, que foram apresentados (eram destacados aos 
pares para seu reconhecimento na figura) (Fig: 7) e logo em seguida dispostos numa 
tabela (Tab: 3) e informadas suas posições em relação aos planos de projeção. 
 
 
 
Figura 7: Imagem da apresentação dos planos em destaque 
 
Tabela 3: Classificação dos planos do hexaedro (Fig.:2) 
Classificação 
das planos 
Faces 
Posição em relação 
π 
Posição em relação 
π’ 
Posição em relação 
π” 
Horizontal ABCD 
 
Paralela 
 
Perpendicular 
 
Perpendicular 
Horizontal EFGH 
 
Paralela 
 
Perpendicular 
 
Perpendicular 
Frontal ABFE (Frontal) 
 
Perpendicular 
 
Paralela 
 
Perpendicular 
Frontal DCGH 
 
Perpendicular 
 
Paralela 
 
Perpendicular 
Perfil ADHE 
 
Perpendicular 
 
Perpendicular 
 
Paralela 
Perfil BCGF 
 
Perpendicular 
 
Perpendicular 
 
Paralela 
 
A partir da exibição de todas as informações no quadro, realizou-se a explicação 
sobre o objetivo do exercício como um todo. Essa revisão passo à passo convidou os 
alunos a perceberem como deveriam utilizar um pensamento de análise e síntese ao 
conhecerem um problema relacionado a forma no espaço. Destacou-se a importância 
de conhecer a posição dos elementos da forma no espaço e a importância do diedro 
foi reconhecida. 
 
4.3 Resultados alcançados 
O desenvolvimento, do trabalho possibilitou alguns resultados relacionados às 
habilidades e competências propostos para disciplina, a saber: 
1) A visão espacial do aluno; 
2) A solução de problemas do espaço tridimensional 
3) A representação do espaço tridimensional em suporte bidimensional. 
 
 
Tais objetivos foram considerados como atingidos com sucesso a partir do resultado 
de 100% de aprovação dos alunos na disciplina e levando-se em conta os exercícios 
de avaliação propostos: 
 Elaboração de maquete de escada no diedro com reconhecimento de retas e 
planos – exercício realizado em grupo; 
 Exercício de resolução de telhado – exercício individual; 
 Resolução e problema – prova ( avaliação de conteúdo individual). 
 
5 Conclusão 
A ideia de propor uma única forma e sua repetição para apresentar os conteúdos da 
disciplina levaram a algumas considerações: 
 A primeira delas foi a redução do tempo para apresentação do conteúdo previsto 
para o período e consequentemente a possiblidade de dispor e mais tempo para 
aplicação de exercícios e solução de dúvidas nas turmas. Ponto, reta e plano 
foram apresentados utilizando o hexaedro. 
 O sólido escolhido facilitou a demonstração da aplicação em arquitetura, para 
visualização de escadas, edificações, telhados e outros elementos de arquitetura. 
A aplicação da maquete consolidou o conhecimento e convenceu os alunos da 
importância da disciplina para o curso de arquitetura. 
 A simples demonstração de um corte realizado por um plano frontal sobre o 
hexaedro viabilizou aumentar a complexidade da forma a ser estudada e 
encaminhou o aluno com mais segurança para o estudo da disciplina de desenho 
de arquitetura e projeto. 
 A inscrição de sólidos de formas variadas no interior de um hexaedro proporcionou 
aos alunos maior facilidade para a visualização das projeções desses sólidos. 
 O estudo da divisão de telhados em águas foi possível graças ao uso dessa forma 
como forma básica para a instalação de um telhado seguido da interseção de 
várias formas semelhantes; 
 
Referências 
PINHEIRO, V.A. “Noções de Geometria Descritiva”. Volume III. (p.1). Ed. Ao Livro 
Técnico. RJ, 1965. 
SOUZA, M. A. S, “Um estudo sobre os recursos gráficos computacionais empregados 
no projeto de arquitetura do Museu Guggenheim de Bilbao”, Monografia – Curso de 
Pós-graduação em Técnicas de Representação Gráfica, EBA/UFRJ, Rio de Janeiro, 
RJ, 2009.