ARTIGO VERSÃO 16-12 IVANA APRENDER E CRIAR EM CIÊNCIAS

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EXPLICITAÇÕES DE FILIAÇÕES E RUPTURAS NUM PROCESSO DE 
PROBLEMAS ENVOLVENDO CONCEITOS DE GEOMETRIA 
 
 
Ivana de Oliveira Freitas 1– ivanafreitas.aluno@unipampa.edu.br 
Márcio André Rodrigues Martins 2 – marciomartins@unipampa.edu.br 
Ângela Maria Hartmann 3– angelahartmann@unipampa.edu.br 
 
 
Resumo: Este é um trabalho de pesquisa desenvolvido da componente curricular de 
Aprender e Criar em Ciências do curso de Licenciatura em Ciências Exatas da 
Universidade Federal do Pampa, UNIPAMPA. Apresenta como problema de 
pesquisa “como se explicitam os processos de rupturas e filiações num contexto de 
aprendizagem escolar sobre a temática Geometria e envolvendo Modelagem 
Matemática?”, assim como objetivo geral que se pretende alcançar é mapear os 
processos em que ocorrem filiações e rupturas de conceitos relacionados à 
Geometria, durante a atividade envolvendo Modelagem Matemática. As filiações e 
rupturas são conceitos pertencentes a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, 
e possibilitam visualizar o processo de construção de esquemas, assim como os 
processos envolvidos na construção do conhecimento de estudantes. Serão 
desenvolvidos problemas que envolverão conceitos de Geometria, de acordo com a 
Base Nacional Comum Curricular. Os esquemas desenvolvidos pelos estudantes ao 
procurarem a solução para os problemas propostos servirão de dados para análise. 
 
Palavras-chave: Teoria dos Campos Conceituais; Ensino de Geometria; Resolução 
de Problemas; Habilidades BNCC 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Uma das dificuldades que os professores enfrentam na educação é fazer com 
que o estudante sinta-se atraído pela componente apresentada. Isso vale para todas 
as áreas do conhecimento. Na Matemática, além dessa dificuldade, os professores 
enfrentam alguns outros obstáculos, como o pressuposto de que a matemática é de 
difícil acesso. 
 
1
 Aluna de graduação do Curso de Licenciatura em Ciências Exatas pela Universidade Federal do 
Pampa, Campus Caçapava do Sul. 
2
 Professor do curso de Licenciatura em Ciências Exatas pela Universidade Federal do Pampa, Campus 
Caçapava do Sul. 
3
 Professora do curso de Licenciatura em Ciências Exatas pela Universidade Federal do Pampa, Campus 
Caçapava do Sul. 
2 
 
Além de sugestões, alguns documentos trazem dados importantes referentes 
ao cenário educacional brasileiro. O documento divulgado pelo MEC, CONSED e 
UNDIME “Compromisso Nacional pela Educação Básica” mostra que o Brasil 
apresenta baixos resultados educacional no Programa Internacional de Avaliação de 
Estudantes (PISA) quando comparado com os demais países da América Latina. 
Enquanto o Chile, em 2015, apresentou nota média de 443, o Brasil apresentou nota 
média de 395, estando acima apenas da nota média apresentada pelo Peru, que foi 
de 394. O PISA é a média das notas de ciências, leitura e matemática. 
As Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica trazem três 
princípios norteadores para a Educação Básica, que os sistemas de ensino e 
escolas adotarão nas políticas educativas, sendo eles: éticos, políticos e estéticos. 
Princípios éticos: segundo as DCNEB, tem como objetivo o desenvolvimento 
ético dos estudantes, sendo trabalhados conceitos humanistas como senso de 
justiça, de solidariedade, liberdade e autonomia, além disso, o conceito “de respeito 
à dignidade da pessoa humana [...] contribuindo para combater e eliminar quaisquer 
manifestações de preconceito e discriminação” (BRASIL, 2013, p. 107). Nos 
princípios políticos é desenvolvido com os alunos os conceitos de direitos e deveres 
de cidadania, e ainda respeitar o bem comum e preservar a democracia. A educação 
deve ser de livre acesso a todos, assim como saúde, trabalho e outros benefícios, e 
principalmente “a igualdade de direitos entre os alunos que apresentam diferentes 
necessidades; de redução da pobreza e das desigualdades sociais e regionais” 
(BRASIL. 2013, p. 107-108). Por fim, os princípios estéticos, onde são enriquecidas 
as formas de expressão, e estimulada a criatividade, e principalmente “valorização 
das diferentes manifestações culturais, especialmente as da cultura brasileira” 
(BRASIL, 2013, p. 108). 
Com o intuído de modificar essas concepções, diferentes metodologias são 
comumente elaboradas, testadas e apresentadas em eventos e revistas pelo mundo. 
Do mesmo modo, os documentos que direcionam a educação também trazem 
algumas sugestões de como abordar determinados conceitos e conteúdos. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) traz em seu terceiro livro 
algumas considerações referentes a área da Matemática. Umas das principais 
características que aponta este documento é o de não trazer coisas prontas e 
definitivas no ensino da matemática, mas sim propiciar “a construção e a 
apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender 
3 
 
e transformar a sua realidade” (BRASIL, 1997, p. 19). Outro ponto importante e de 
destaque é o de que o ensino da matemática cabe relacionar observações do 
mundo real, cotidiano com aquilo que se é aprendido, como as representações 
geométricas, de esquemas, figuras, etc, além de conseguir relacionar essas 
representações com conceitos matemáticas (BRASIL, 1997). 
Dentro do campo da Geometria, ainda segundo a LDB, é um campo que está 
contido dentro do estudo do espaço e das formas, que faz parte, juntamente com o 
estudo dos números e das operações, e grandezas e medidas, que juntos compõem 
o currículo de Matemática. Temos que, de acordo com a LDB “os conceitos 
geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino 
fundamental [...]” (BRASIL, 1997, p. 39), pois a partir disso o aluno consegue 
compreender, descrever e representar com uma gama maior de ferramentas o 
mundo que o rodeia. 
Tem-se que uma das maneiras de se trabalhar com o campo da Geometria é 
através de situações problemas. Através desse tipo de abordagem consegue-se 
trabalhar com conceitos que vão além da simples Geometria. Essa abordagem 
“contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a 
observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa” 
(BRASIL, 1997, p. 39). 
 
 
1.1 Problema e objetivos da pesquisa 
 
 O problema de pesquisa gira em torno do seguinte questionamento: “Como 
se explicitam os processos de rupturas e filiações num contexto de aprendizagem 
escolar sobre a temática Geometria e envolvendo Modelagem Matemática?”. Já os 
objetivos são colocados em termos de objetivo geral e desdobrados em objetivos 
específicos conforme apresentados abaixo. 
O objetivo geral da pesquisa que se pretende alcançar é mapear os 
processos em que ocorrem filiações e rupturas de conceitos relacionados à 
Geometria, durante a atividade envolvendo Modelagem Matemática. 
 
 
1.1.1 Objetivos específicos 
4 
 
 
Os objetivos específicos são: 
 Construir questões de geometria voltadas ao 9º ano do Ensino 
Fundamental de acordo com a Base Nacional Comum Curricular que 
professores possam ter acesso; 
 Criar condições aos estudantes que a geometria está presente no dia a 
dia; 
 Divulgar o trabalho no meio acadêmico e principalmente entre 
professores da Educação Básica. 
 
 
2. O ENSINO DE GEOMETRIA SEGUNDO A BASE NACIONAL COMUM 
CURRICULAR 
 
A Base Nacional Comum Curricular, ou BNCC, é um documento onde se 
encontram a definição orgânica e progressiva das aprendizagens que são 
importantes aos estudantes brasileiros, sendo essas aprendizagens desenvolvidas 
no decorrer da Educação Básica (E.B), indo desde a Educação Infantil, até o Ensino 
Médio. Na BNCC encontram-se conhecimentos, competências e habilidades que os 
estudantes brasileiros devem desenvolver no decorrer da Educação Básica, sendo 
ainda, este, um documento norteador para a construção dos currículos e propostas 
pedagógicas, tanto de escolas da rede pública,quanto da rede privada (BRASIL, 
2019). 
Vale ressaltar que este não foi um documento elaborado por uma única 
pessoa, tampouco em um curto período de tempo, levaram-se cerca de trinta anos 
para que a BNCC fosse elaborada. Seu início se deu ainda em 1988 quando houve 
a promulgação da Constituição da República Federativa do Brasil, onde no Art. 210 
estava prevista a Base Nacional Comum Curricular, já com seu caráter normativo 
para todas as etapas da Educação Básica. 
A partir daí, outros documentos foram criados de modo que norteassem a 
construção dos currículos escolares nacionais, até a consolidação da BNCC, sendo 
esses documentos a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN) de 
20 de dezembro de 1996; dez volumes dos Parâmetros Curriculares Nacionais 
(PCNs) de 1997 com a publicação do volume 1 de introdução aos PCNs e em 
5 
 
seguida mais dez volumes dos PCNs voltados para o Ensino Fundamental em 1998; 
os PCN+, que são os parâmetros voltados para o Ensino Médio (PCNEM) divididos 
em quatro partes; as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Básica 
(DCNED), em 2010, cujo objetivo é nortear o planejamento curricular das escolas; o 
Plano Nacional de Educação (PNE) onde são estabelecidas vinte metas que 
visavam a melhoria da Educação Básica, onde quatro dessas metas eram referentes 
à BNCC, em 2014, que teria duração de dez anos; em 2015 é instituída uma 
comissão para elaboração da proposta da BNCC, e ainda neste ano, em 16 de 
setembro, uma primeira versão da BNCC é disponibilizada; a segunda versão da 
BNCC é disponibilizada em maio de 2016, e neste mesmo ano, já dá-se início a 
elaboração de uma terceira versão; em 2017 a BNCC é finalizada e homologada as 
partes que orientadoras referentes a Educação Infantil e Ensino Fundamental; a 
terceira versão da BNCC referente ao Ensino Médio é entregue em 2018 sendo 
homologada neste mesmo ano, tendo assim, uma base com todas as aprendizagens 
para todas as etapas da Educação Básica (BRASIL, 2019), tendo como prazo de 
adequação dos currículos, pelas instituições e/ou redes escolares, o início do ano 
letivo de 2020 (BRASIL, 2017). 
Ainda nas primeiras páginas da introdução da BNCC temos que ela compõe a 
política nacional da Educação Básica com a pretensão de alinhar políticas de ação 
“referentes à formação de professores, à avaliação, à elaboração de conteúdos 
educacionais e aos critérios para a oferta de infraestrutura adequada para o pleno 
desenvolvimento da educação” (BRASIL, 2018, p. 8). Nesse sentido, espera-se que 
a BNCC ajude a “superar a fragmentação das políticas educacionais, enseje o 
fortalecimento do regime de colaboração entre as três esferas de governo e seja 
balizadora da qualidade da educação”. (BRASIL, 2018, p. 8). 
Importante salientar que a BNCC é apenas uma base para a construção dos 
currículos das escolas, ou seja, é um documento orientador, não sendo ele por si só 
algo pronto e definido como o próprio currículo. As instituições de ensino devem 
elaborar seu currículo tendo como base não somente a BNCC, mas também o 
ambiente no qual a escola está inserida, tendo em conta ainda, os alunos que a 
constituem. 
Quanto à estruturação da BNCC, temos que este foi dividido em três etapas, 
sendo elas Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. Cada uma das 
etapas está organizada de uma determinada forma, levando em consideração os 
6 
 
objetivos, competências e habilidades. Como este trabalho terá como contexto os 
anos finais do Ensino Fundamental na área da Matemática, iremos olhar apenas 
como esta está estruturada. 
A etapa do Ensino Fundamental está dividida pelas áreas do conhecimento, 
cada uma dessas áreas possui suas competências específicas, onde deve ser 
desenvolvido no decorrer dos nove anos escolares do Ensino Fundamental. Há 
ainda algumas áreas que possuem mais de uma componente curricular, como é o 
caso das Linguagens e suas Tecnologias e Ciências Humanas e suas Tecnologias, 
e para essas são definidas as competências específicas para cada uma das 
componentes. Essas competências são divididas em Anos Iniciais e Anos Finais do 
Ensino Fundamental, onde em cada uma dessas há as unidades temáticas, objetos 
de conhecimento e as habilidades que devem ser desenvolvidas em cada área e/ou 
componente. 
Olhando para os anos finais encontraremos a área da Matemática. Esta área 
é dividida pelas unidades temáticas que devem ser abordadas no decorrer dos nove 
anos escolares, sendo elas: Números, Aritmética, Geometria, Grandezas e Medidas, 
e Estatística e Probabilidade. Temos que a Geometria, segundo a BNCC (2018) 
envolve conceitos e procedimentos de maneira ampla, que são necessários para 
que os estudantes consigam resolver problemas tanto do cotidiano, quanto 
envolvendo outras áreas do conhecimento. Considera-se para esta unidade 
temática: 
 
[...] estudar posição e deslocamentos no espaço, formas e relações entre 
elementos de figuras planas e espaciais pode desenvolver o pensamento 
geométrico dos alunos. Esse pensamento é necessário para investigar 
propriedades, fazer conjecturas e produzir argumentos geométricos 
convincentes. [...], considerar o aspecto funcional que deve estar presente 
no estudo da Geometria: as transformações geométricas, sobretudo as 
simetrias. As ideias matemáticas fundamentais associadas a essa temática 
são, principalmente, construção, representação e interdependência. 
(BRASIL, 2018, p. 271). 
 
Essa unidade temática deve ser desenvolvida tanto nos anos iniciais quanto 
nos anos finais, assim, temos que nos anos finais o ensino da geometria deve ser de 
forma que os conceitos sejam ampliados. Conceitos como os de congruência e 
semelhança devem ser trabalhados nos anos finais, pois é a partir desses conceitos 
que os estudantes conseguiram ter as ferramentas necessárias (conceitos 
necessários) para “reconhecer as condições necessárias e suficientes para obter 
7 
 
triângulos congruentes ou semelhantes” (BRASIL, 2018, p. 272), sendo capazes, 
assim, de realizarem demonstrações simples, contribuindo para a construção do 
pensamento hipotético-dedutivo. 
 
Outro ponto a ser destacado é a aproximação da Álgebra com a Geometria, 
desde o início do estudo do plano cartesiano, por meio da geometria 
analítica. As atividades envolvendo a ideia de coordenadas, [...], podem ser 
ampliadas para o contexto das representações no plano cartesiano, como a 
representação de sistemas de equações do 1º grau, articulando, para isso, 
conhecimentos decorrentes da ampliação dos conjuntos numéricos e de 
suas representações na reta numérica. (BRASIL, 2018, p. 272). 
 
Quando a Matemática ser desenvolvida nos anos finais do Ensino 
Fundamental, as vivências e experiências dentro da área devem ser tidas em 
consideração, visto que esta área do conhecimento possui um ensino progressista, 
onde em cada ano novos conhecimentos vão se somando a conhecimentos e 
conceitos já vistos em anos anteriores. Os anos finais iniciam no 6º ano e vão até o 
9º ano. Como no trabalho desenvolvido iremos abordar a Geometria, iremos mostrar 
no quadro 1, abaixo, os objetos de conhecimento e as habilidades, todas ligadas a 
unidade temática Geometria. 
 
Quadro 1 – Habilidades desenvolvidas na unidade temática Geometria de acordo 
com a BNCC para os Ensino Fundamental. 
CÓDIGO ANO 
OBJETOS DE 
CONHECIMENTO 
DESCRIÇÃO 
(EF01MA11) 
1º 
ano 
Localização de objetos e 
de pessoas no espaço, 
utilizando diversos pontos 
de referência e vocabulário 
apropriado. 
Descrever a localização de pessoas e de 
objetos no espaço em relação à sua própria 
posição, utilizando termos como à direita, à 
esquerda, em frente, atrás. 
(EF01MA12) 
Descrever a localização de pessoas e de 
objetos no espaço segundo um dado ponto 
de referência, compreendendo que, para a 
utilização de termos que se referem à 
posição, como direita, esquerda, em cima, 
em baixo, é necessário explicitar-se o 
referencial.(EF01MA13) 
Figuras geométricas 
espaciais: reconhecimento 
e relações com objetos 
familiares do mundo físico 
Relacionar figuras geométricas espaciais 
(cones, cilindros, esferas e blocos 
retangulares) a objetos familiares do mundo 
físico. 
EF01MA14) 
Figuras geométricas 
planas: reconhecimento do 
formato das faces de 
figuras geométricas 
espaciais 
Identificar e nomear figuras planas (círculo, 
quadrado, retângulo e triângulo) em 
desenhos apresentados em diferentes 
disposições ou em contornos de faces de 
sólidos geométricos. 
Continua 
8 
 
CÓDIGO ANO 
OBJETOS DE 
CONHECIMENTO 
DESCRIÇÃO 
(EF02MA12) 
2º 
ano 
Localização e 
movimentação de pessoas 
e objetos no espaço, 
segundo pontos de 
referência, 
e indicação de mudanças 
de direção e sentido 
Identificar e registrar, em linguagem verbal 
ou não verbal, a localização e os 
deslocamentos de pessoas e de objetos no 
espaço, considerando mais de um ponto de 
referência, e indicar as mudanças de 
direção e de sentido. 
C (EF02MA13) 
Esboço de roteiros e de 
plantas simples 
Esboçar roteiros a ser seguidos ou plantas 
de ambientes familiares, assinalando 
entradas, saídas e alguns pontos de 
referência. 
(EF02MA14) 
Figuras geométricas 
espaciais (cubo, bloco 
retangular, pirâmide, cone, 
cilindro e esfera): 
reconhecimento e 
características. 
Reconhecer, nomear e comparar figuras 
geométricas espaciais (cubo, bloco 
retangular, pirâmide, cone, cilindro e 
esfera), relacionando-as com objetos do 
mundo físico. 
(EF02MA15) 
Figuras geométricas 
planas (círculo, quadrado, 
retângulo e triângulo): 
reconhecimento e 
características. 
Reconhecer, comparar e nomear figuras 
planas (círculo, quadrado, retângulo e 
triângulo), por meio de características 
comuns, em desenhos apresentados em 
diferentes disposições ou em sólidos 
geométricos. 
(EF03MA12) 
3º 
ano 
Localização e 
movimentação: 
representação de objetos 
e pontos de referência 
Descrever e representar, por meio de 
esboços de trajetos ou utilizando croquis e 
maquetes, a movimentação de pessoas ou 
de objetos no espaço, incluindo mudanças 
de direção e sentido, com base em 
diferentes pontos de referência. 
(EF03MA13) 
Figuras geométricas 
espaciais (cubo, bloco 
retangular, pirâmide, cone, 
cilindro e esfera): 
reconhecimento, análise 
de características e 
planificações. 
Associar figuras geométricas espaciais 
(cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, 
cilindro e esfera) a objetos do mundo físico 
e nomear essas figuras. 
(EF03MA14) 
Descrever características de algumas 
figuras geométricas espaciais (prismas 
retos, pirâmides, cilindros, cones), 
relacionando-as com suas planificações. 
(EF03MA15) 
Figuras geométricas 
planas (triângulo, 
quadrado, retângulo, 
trapézio e paralelogramo): 
reconhecimento e análise 
de características. 
Classificar e comparar figuras planas 
(triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e 
paralelogramo) em relação a seus lados 
(quantidade, posições relativas e 
comprimento) e vértices. 
(EF03MA16) 
Congruência de figuras 
geométricas planas 
Reconhecer figuras congruentes, usando 
sobreposição e desenhos em malhas 
quadriculadas ou triangulares, incluindo o 
uso de tecnologias digitais. 
(EF04MA16) 
4º 
ano 
Localização e 
movimentação: pontos de 
referência, direção e 
sentido. 
 
Descrever deslocamentos e localização de 
pessoas e de objetos no espaço, por meio 
de malhas quadriculadas e representações 
como desenhos, mapas, planta baixa e 
croquis, empregando termos como direita e 
esquerda, mudanças de direção e sentido, 
intersecção, transversais, paralelas e 
perpendiculares. 
Paralelismo e 
perpendicularismo. 
Continuação 
 
9 
 
CÓDIGO ANO 
OBJETOS DE 
CONHECIMENTO 
DESCRIÇÃO 
(EF04MA17) 
4º ano 
Figuras geométricas 
espaciais (prismas e 
pirâmides): 
reconhecimento, 
representações, 
planificações e 
características. 
Associar prismas e pirâmides a suas 
planificações e analisar, nomear e 
comparar seus atributos, estabelecendo 
relações entre as representações planas e 
espaciais. 
(EF04MA18) 
Ângulos retos e não retos: 
uso de dobraduras, 
esquadros e softwares. 
Reconhecer ângulos retos e não retos em 
figuras poligonais com o uso de 
dobraduras, esquadros ou softwares de 
geometria. 
(EF04MA19) Simetria de reflexão 
Reconhecer simetria de reflexão em figuras 
e em pares de figuras geométricas planas e 
utilizá-la na construção de figuras 
congruentes, com o uso de malhas 
quadriculadas e de softwares de geometria. 
(EF05MA14) 
5º 
ano 
Plano cartesiano: 
coordenadas cartesianas 
(1º quadrante) e 
representação de 
deslocamentos no plano 
cartesiano. 
Utilizar e compreender diferentes 
representações para a localização de 
objetos no plano, como mapas, células em 
planilhas eletrônicas e coordenadas 
geográficas, a fim de desenvolver as 
primeiras noções de coordenadas 
cartesianas. 
(EF05MA15) 
Interpretar, descrever e representar a 
localização ou movimentação de objetos no 
plano cartesiano (1º quadrante), utilizando 
coordenadas cartesianas, indicando 
mudanças de direção e de sentido e giros. 
(EF05MA16) 
Figuras geométricas 
espaciais: 
reconhecimento, 
representações, 
planificações e 
características. 
Associar figuras espaciais a suas 
planificações (prismas, pirâmides, cilindros 
e cones) e analisar, nomear e comparar 
seus atributos. 
(EF05MA17) 
Figuras geométricas 
planas: características, 
representações e ângulos. 
Reconhecer, nomear e comparar polígonos, 
considerando lados, vértices e ângulos, e 
desenhá-los, utilizando material de desenho 
ou tecnologias digitais. 
(EF05MA18) 
Ampliação e redução de 
figuras poligonais em 
malhas quadriculadas: 
reconhecimento da 
congruência dos ângulos e 
da proporcionalidade dos 
lados correspondentes 
Reconhecer a congruência dos ângulos e a 
proporcionalidade entre os lados 
correspondentes de figuras poligonais em 
situações de ampliação e de redução em 
malhas quadriculadas e usando tecnologias 
digitais. 
(EF06MA16) 
6º 
ano 
Plano cartesiano: 
associação dos vértices de 
um polígono a pares 
ordenados. 
Associar pares ordenados de números a 
pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, 
em situações como a localização dos 
vértices de um polígono. 
(EF06MA17) 
Prismas e pirâmides: 
planificações e relações 
entre seus elementos 
(vértices, faces e arestas). 
Quantificar e estabelecer relações entre o 
número de vértices, faces e arestas de 
prismas e pirâmides, em função do seu 
polígono da base, para resolver problemas 
e desenvolver a percepção espacial. 
Continuação 
 
10 
 
CÓDIGO ANO 
OBJETOS DE 
CONHECIMENTO 
DESCRIÇÃO 
(EF06MA18) 
6º ano 
Polígonos: classificações 
quanto ao número de 
vértices, às medidas de 
lados e ângulos e ao 
paralelismo e 
perpendicularismo dos 
lados. 
Reconhecer, nomear e comparar polígonos, 
considerando lados, vértices e ângulos, e 
classificá-los em regulares e não regulares, 
tanto em suas representações no plano 
como em faces de poliedros. 
(EF06MA19) 
Identificar características dos triângulos e 
classificá-los em relação às medidas dos 
lados e dos ângulos. 
(EF06MA20) 
Identificar características dos quadriláteros, 
classificá-los em relação a lados e a 
ângulos e reconhecer a inclusão e a 
intersecção de classes entre eles. 
(EF06MA21) 
Construção de figuras 
semelhantes: ampliação e 
redução de figuras planas 
em malhas quadriculadas. 
Construir figuras planas semelhantes em 
situações de ampliação e de redução, com 
o uso de malhas quadriculadas, plano 
cartesiano ou tecnologias digitais. 
(EF06MA22) 
Construção de retas 
paralelas e 
perpendiculares, fazendo 
uso de réguas, esquadros 
e softwares. 
Utilizar instrumentos, como réguas e 
esquadros, ou softwares para 
representações de retas paralelas e 
perpendiculares e construção de 
quadriláteros, entre outros. 
(EF06MA23) 
Construir algoritmo para resolver situações 
passo a passo (como na construção de 
dobraduras ou na indicação de 
deslocamento de um objeto no plano 
segundopontos de referência e distâncias 
fornecidas etc.). 
(EF07MA19) 
7º 
ano 
Transformações 
geométricas de polígonos 
no plano cartesiano: 
multiplicação das 
coordenadas por um 
número inteiro e obtenção 
de simétricos em relação 
aos eixos e à origem. 
Realizar transformações de polígonos 
representados no plano cartesiano, 
decorrentes da multiplicação das 
coordenadas de seus vértices por um 
número inteiro. 
(EF07MA20) 
Reconhecer e representar, no plano 
cartesiano, o simétrico de figuras em 
relação aos eixos e à origem. 
(EF07MA21) 
Simetrias de translação, 
rotação e reflexão. 
Reconhecer e construir figuras obtidas por 
simetrias de translação, rotação e reflexão, 
usando instrumentos de desenho ou 
softwares de geometria dinâmica e vincular 
esse estudo a representações planas de 
obras de arte, elementos arquitetônicos, 
entre outros. 
(EF07MA22) 
A circunferência como 
lugar geométrico. 
Construir circunferências, utilizando 
compasso, reconhecê-las como lugar 
geométrico e utilizá-las para fazer 
composições artísticas e resolver 
problemas que envolvam objetos 
equidistantes. 
(EF07MA23) 
Relações entre os ângulos 
formados por retas 
paralelas intersectadas por 
uma transversal. 
Verificar relações entre os ângulos 
formados por retas paralelas cortadas por 
uma transversal, com e sem uso de 
softwares de geometria dinâmica. 
Continuação 
 
 
11 
 
CÓDIGO ANO 
OBJETOS DE 
CONHECIMENTO 
DESCRIÇÃO 
(EF07MA24) 
7º ano 
Triângulos: construção, 
condição de existência e 
soma das medidas dos 
ângulos internos. 
Construir triângulos, usando régua e 
compasso, reconhecer a condição de 
existência do triângulo quanto à medida dos 
lados e verificar que a soma das medidas 
dos ângulos internos de um triângulo é 
180°. 
(EF07MA25) 
Reconhecer a rigidez geométrica dos 
triângulos e suas aplicações, como na 
construção de estruturas arquitetônicas 
(telhados, estruturas metálicas e outras) ou 
nas artes plásticas. 
(EF07MA26) 
Descrever, por escrito e por meio de um 
fluxograma, um algoritmo para a construção 
de um triângulo qualquer, conhecidas as 
medidas dos três lados. 
(EF07MA27) 
Polígonos regulares: 
quadrado e triângulo 
equilátero. 
Calcular medidas de ângulos internos de 
polígonos regulares, sem o uso de 
fórmulas, e estabelecer relações entre 
ângulos internos e externos de polígonos, 
preferencialmente vinculadas à construção 
de mosaicos e de ladrilhamentos. 
(EF07MA29) 
Descrever, por escrito e por meio de um 
fluxograma, um algoritmo para a construção 
de um polígono regular (como quadrado e 
triângulo equilátero), conhecida a medida 
de seu lado. 
(EF08MA14) 
8º 
ano 
Congruência de triângulos 
e demonstrações de 
propriedades de 
quadriláteros. 
Demonstrar propriedades de quadriláteros 
por meio da identificação da 
congruência de triângulos. 
(EF08MA15) 
Construções geométricas: 
ângulos de 90°, 60°, 
45° e 30° e polígonos 
regulares. 
Construir, utilizando instrumentos de 
desenho ou softwares de geometria 
dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 
90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. 
(EF08MA16) 
Descrever, por escrito e por meio de um 
fluxograma, um algoritmo para a construção 
de um hexágono regular de qualquer área, 
a partir da medida do ângulo central e da 
utilização de esquadros e compasso. 
(EF08MA17) 
Mediatriz e bissetriz como 
lugares geométricos: 
construção e problemas. 
Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz 
como lugares geométricos na resolução de 
problemas. 
(EF08MA18) 
Transformações 
geométricas: simetrias de 
translação, reflexão e 
rotação. 
Reconhecer e construir figuras obtidas por 
composições de transformações 
geométricas (translação, reflexão e 
rotação), com o uso de instrumentos de 
desenho ou de softwares de geometria 
dinâmica. 
(EF09MA10) 
9º 
ano 
Demonstrações de 
relações entre os ângulos 
formados por retas 
paralelas intersectadas por 
uma transversal. 
Demonstrar relações simples entre os 
ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma transversal. 
Continuação 
 
 
12 
 
Conclusão 
CÓDIGO ANO 
OBJETOS DE 
CONHECIMENTO 
DESCRIÇÃO 
(EF09MA11) 
9º ano 
Relações entre arcos e 
ângulos na circunferência 
de um círculo. 
Resolver problemas por meio do 
estabelecimento de relações entre arcos, 
ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de 
softwares de geometria dinâmica. 
(EF09MA12) Semelhança de triângulos. 
Reconhecer as condições necessárias e 
suficientes para que dois triângulos sejam 
semelhantes. 
(EF09MA13) 
Relações métricas no 
triângulo retângulo. 
 
Teorema de Pitágoras: 
verificações experimentais 
e demonstração. 
 
Retas paralelas cortadas 
por transversais: teoremas 
de proporcionalidade e 
verificações 
experimentais. 
Demonstrar relações métricas do triângulo 
retângulo, entre elas o teorema de 
Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulos. 
(EF09MA14) 
Resolver e elaborar problemas de aplicação 
do teorema de Pitágoras ou das relações 
de proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes. 
(EF09MA15) Polígonos regulares 
Descrever, por escrito e por meio de um 
fluxograma, um algoritmo para a construção 
de um polígono regular cuja medida do lado 
é conhecida, utilizando régua e compasso, 
como também softwares. 
(EF09MA16) 
Distância entre pontos no 
plano cartesiano 
Determinar o ponto médio de um segmento 
de reta e a distância entre dois pontos 
quaisquer, dadas as coordenadas desses 
pontos no plano cartesiano, sem o uso de 
fórmulas, e utilizar esse conhecimento para 
calcular, por exemplo, medidas de 
perímetros e áreas de figuras planas 
construídas no plano. 
(EF09MA17) 
Vistas ortogonais de 
figuras espaciais 
Reconhecer vistas ortogonais de figuras 
espaciais e aplicar esse conhecimento para 
desenhar objetos em perspectiva. 
Fonte: BRASIL, 2018, p. 302 - 319 
 
Percebe-se que desde o 1º até o 9º ano do Ensino Fundamental as 
habilidades desenvolvidas na unidade temática Geometria ocorrem de maneira 
progressista, ou seja, há uma continuidade entre as habilidades de um ano para o 
outro, de forma que os conceitos não se perdem entre os anos, mas sim, “sobem de 
nível” sendo trabalhados de maneira mais aprofundada cada conceitos desta 
unidade temática. Os objetos do conhecimento vão desde “localização de objetos e 
de pessoas no espaço [...]” (BRASIL, 2018, p. 302) no 1º ano até “vistas ortogonais 
de figuras espaciais” (BRASIL, 2018, p. 319) evidenciando que um conhecimento 
precede outro, pois para poder ocorrer vistas de figuras espaciais e necessário ter a 
13 
 
base do conceito de localização de objetos no espaço, para que assim, seja possível 
compreender a natureza tridimensional dos objetos no espaço. 
 
 
3. A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS 
 
Dentro da Teoria dos Campos Conceituais, o nome mais importante é o de 
Gérard Vergnaud. Esta teoria busca entender de que maneira as crianças 
constroem os conhecimentos ligados a Matemática, mas que também pode ser 
transposta e utilizada dentro de outras áreas do conhecimento. 
Pelas palavras de Vergnaud (1993) a Teoria dos Campos Conceituais “trata-
se de uma teoria psicológica do conceito [...] que permite situar e estudar as filiações 
e rupturas entre conhecimentos” (VERGNAUD, 1993, p.1). Esta é, portanto, uma 
teoria cognitivista, ou seja, “busca propiciar uma estrutura coerente e alguns 
princípios básicos ao estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das 
competências complexas” (VERGNAUD, 1993, p.1), porém, não pode ser 
considerada uma teoria didática, mesmo utilizando-a para estruturar à 
aprendizagem. Tem por finalidade, compreender as filiações e rupturas entre 
conhecimentos, tanto de crianças, quanto de adolescentes. 
Quando se fala em Teoria dos Campos Conceituais, Vergnaud (1993) nos 
mostra quatro ideias fundamentais, tanto para entendimento, quando para aplicação: 
conceitos, esquemas, situações e invariantes operatórios. 
Conceito:primeiramente, quando estamos falando de Teoria dos Campos 
Conceituais, não se pode simplesmente reduzir conceitos à suas definições, pois 
nesta teoria, analisamos o modo com que o aluno constrói, cognitivamente, esses 
conceitos. Isso é feito a partir de situações e problemas, pois é a partir deles que o 
aluno dará significado aos conceitos aprendidos. 
Quando se fala em conceitos, tem-se que ele é composto a partir de uma 
trinca de conjuntos, simbolizadas por C = (S, I, Y), onde C equivale a “conceito”, e S, 
I e Y são a trinca de conjuntos. O conjunto S é “das situações que dão sentido ao 
conceito” (VERGNAUD, 1993, p. 8), já o I é o “conjunto das invariantes em que se 
baseia a operacionalidade dos esquemas” (VERGNAUD, 1993, p. 8), e por fim, Y é o 
“conjunto das formas de linguagem (ou não) que permitem representar 
simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de 
14 
 
tratamento” (VERGNAUD, 1993, p. 8). Em outras palavras, S é o conjunto das 
referências, I do significado e Y do significante. 
Segundo Moreira (2002, p. 10) o conjunto de invariantes, que são os objetos 
utilizados (físicos ou não), as propriedades aprendidas e as relações realizadas, 
pode ser definido ainda como sendo “o conjunto de invariantes que podem ser 
reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e dominar as situações do 
primeiro conjunto”. Do mesmo modo, Moreira (2002, p. 10) trás uma definição 
alternativa para o conjunto Y, sendo ele o conjunto das representações simbólicas, 
ou seja, é a linguagem utilizada para descrever/resolver o problema proposto e, 
consequentemente, descrever os conceitos. As representações podem ser tanto a 
linguagem natural (escrita), quanto linguagem gráfica, diagramas, e todas as demais 
formas de representações existentes. 
A relação de tríplice mostra que, quando um conceito é significativo para o 
aluno por meio de uma situação em que ele se encontra, seja ela proposta por um 
professor ou em seu cotidiano, mostra que diferentemente do que se pensa, 
naturalmente, a principal entrada de um campo conceitual advém da situação e não 
do conceito. Dai tem-se que um campo conceitual é formado por um conjunto de 
situações (VERGNAUD, 1988, p. 141), onde é necessário o domínio de vários 
conceitos distintos uns dos outros. 
Esquemas: para Vergnaud (1993, p. 2) esquema é “a organização invariante 
do comportamento para uma classe de situações dada”. È nos esquemas que a 
análise de como decorre a construção do conhecimento do aluno é realizada, a 
partir dos seus conhecimentos-em-ação, ou seja, é a partir dos elementos que o 
sujeito (estudante, nesse caso) utiliza em suas ações. 
Essas situações em que os esquemas são utilizados podem ser de duas 
formas, onde o conhecimento pode ou não ser operatório. Quando a situação é 
operatório, o estudante vai dispor das ferramentas necessárias para tratá-la, já nas 
não operatórias, o estudante não vai dispor de todas as ferramentas (conceitos) 
necessários, fazendo com que ele pare, reflita, e tente por outros meios, sendo ou 
não bem sucedido. 
Moreira (2002) trás outras quatro situações (quadro 2) distintas onde a 
aplicação de esquemas se diferem, onde são consideradas por Vergnaud (1990) 
como sendo ingredientes dos esquemas: 
 
15 
 
Quadro 2 – Situações que diferem a aplicação de esquemas 
 SITUAÇÕES DESCRIÇÃO 
1 Metas e antecipações 
Um esquema se dirige sempre a uma classe de 
situações nas quais o sujeito pode descobrir uma 
possível finalidade de sua atividade e, 
eventualmente, submetas; pode também esperar 
certos efeitos ou certos eventos. 
2 
Regras de ação do tipo "se... 
então". 
Que constituem a parte verdadeiramente geradora 
do esquema, aquela que permite a geração e a 
continuidade da sequencia de ações do sujeito. 
3 Invariantes operatórios 
(teoremas-em-ação e conceitos-em-ação) que 
dirigem o reconhecimento, por parte do indivíduo, 
dos elementos pertinentes à situação; são os 
conhecimentos contidos nos esquemas; são eles 
que constituem a base, implícita ou explícita, que 
permite obter a informação pertinente e dela inferir a 
meta a alcançar e as regras de ação adequadas. 
4 
Possibilidades de inferência (ou 
raciocínios) que permitem 
"calcular", "aqui e agora”. 
 As regras e antecipações a partir das informações e 
invariantes operatórios de que dispõe o sujeito, ou 
seja, toda a atividade implicada nos três outros 
ingredientes requer cálculos "aqui e imediatamente" 
em situação. 
Fonte: MOREIRA, 2002, p. 12-13. 
 
Tem-se que mesmo os esquemas sendo eficazes na maioria das vezes, nem 
sempre isso ocorre, principalmente quando o estudante utiliza de um esquema que 
se torna ineficaz para determinada situação, ou o estudante modifica este esquema, 
ou então ele descarta este esquema e vai em busca de outro. 
Situações: para Vergnaud, o conceito de situações é no sentido de tarefas, 
visto que uma situação pode ser caracterizada como sendo um conjunto de 
combinações de tarefas. Esse conceito é usualmente utilizado no meio da 
psicologia, já que os psicólogos consideram que “os processos cognitivos e as 
respostas do sujeito são função das situações com que ele se confronta” 
(VERGNAUD, 1993, p. 12). A partir disso teremos duas ideias, principais, sobre as 
situações: de variedade e da história. 
A de variedade nos diz que há uma gama de variedades de situações dentro 
de um campo conceitual, e a da história nos diz que a partir das situações que os 
16 
 
estudantes enfrentam, seus conhecimentos são elaborados. Tem-se ainda, de 
acordo com Vergnaud, que são as primeiras situações que enfrentamos são as 
responsáveis pelas concepções que temos, partindo do pressuposto que nessas 
primeiras situações enfrentadas fomos capazes, ou de dominá-las ou então de 
modificá-las. O objetivo é ter uma relação entre sujeito (estudante) com as 
situações, e simultaneamente com os significantes. 
Invariantes operatórios: o que nos leva até os invariantes operatórios são os 
esquemas. Os invariantes operatórios, termo abrangente para as expressões 
“conceito-em-ação” e “teorema-em-ação”, estão contidos nos esquemas, são os 
conhecimentos contidos nos esquemas, e são componentes essenciais dos 
esquemas. 
Vergnaud (1996; 1998) diz que o teorema-em-ação “é uma proposição tida 
como verdadeira” e o conceito-em-ação “é um objeto, um predicado, ou uma 
categoria de pensamento tida como pertinente, relevante”. 
Contudo, não se pode considerar um conceito-em-ação como sendo um 
conceito científico, e de forma análoga, não se pode considerar um teorema-em-
ação como sendo um teorema verdadeiro e explícito. Não significa que eles não são 
de fato conceito e teorema, na verdade vai, além disso. Na ciência podemos discutir 
sobre a veracidade e pertinência de conceitos e teoremas, o que não ocorre, 
necessariamente, quando trata-se de invariantes operatórios. Eles fazem parte 
apenas de uma pequena parte visível de um iceberg, se comparado com um, pois 
para que seja um iceberg é necessário a parte que está submersa, sendo está 
formada pelos invariantes operatórios, dando assim, sentido a parte que está visível 
(conceitos e teoremas explícitos). Tem-se assim que tanto a parte explícita de 
conceitos e teoremas, quanto os invariantes são complementares. 
Quando se fala da utilização de conceitos e teoremas-em-ação pelos 
estudantes, deve-se ter em mente que eles não expressam através de linguagem 
natural os conceitos e teoremas que utilizam visto que, em sua maioria, eles nem 
fazem ideia de que estão utilizando-os. Isso não significa que os alunos não fazem 
uso, apenas que os utilizam de maneira implícita, podendo tornar-se explícitos a 
partir do intermédio de um professor a partir do ensino. Desta maneira, os conceitos-
em-ação e os teoremas-em-ação podem tornar-se, verdadeiramente, conceitos e 
teoremas científicos explícitos, com o auxílio de um professor.17 
 
 
3.1 Um enfoque nas filiações e rupturas 
 
Dentro da Teoria dos Campos Conceituais temos diversos aspectos 
importantes, principalmente quando utilizamos como ferramenta de análise com o 
intuito de observar de que maneira estudantes elaboram e constroem esquemas. 
Grings et al (2008) trazem um quadro (quadro 2) com as definições das principais 
categorias que devem ser analisadas ao se trabalhar com os estudantes segundo os 
trabalhos de Vergnaud. Dentre as categorias de Vergnaud, se dará enfoque nesta 
subseção as filiações e rupturas. 
Quando falamos de Teoria dos Campos Conceituais, a própria definição já 
trás as filiações e rupturas como sendo a principal finalidade. Ela é comumente 
utilizada para compreender as filiações e rupturas entre os conhecimentos tanto de 
crianças e adolescentes, mas que também é aceita quando trata-se de adultos, 
porém, com algumas ressalvas e modificações, visto que nos adultos as filiações 
e rupturas estão “ligadas aos hábitos e formas de pensamento adquiridas” 
(VERGNAUD, 1993, p. 1) 
Grings et al (2008) define filiações e rupturas. Nas filiações “identifica-se a 
necessidade de buscar em conhecimentos anteriores apoio para o desenvolvimento 
do novo conhecimento” (GRINGS et al., 2008, p. 8) e nas rupturas, de maneira 
oposta às filiações, “identifica-se a necessidade de romper com algum conhecimento 
anterior, uma vez que este conhecimento pode tornar-se obstáculo à nova 
conceitualização” (GRINGS et al., 2008, p. 8). 
Elas são, de certa maneira, complementares, e dentro do âmbito educacional, 
estão sempre aliada uma a outra, visto que dependendo da situação que o professor 
propõe ao estudante, ele irá buscar de maneira inconsciente conceitos conhecidos 
por ele capazes de construir esquemas para resolver a situação. Neste caso 
ocorrem as filiações. No entanto, quando o estudante se depara com dificuldades 
nesse processo de construção dos esquemas, ele se vê obrigado a repensar as 
estratégias e conceitos utilizados, reformular esses conceitos e em alguns casos até 
mesmo ir em busca de conceitos ainda não vistos por ele. Ocorrem as rupturas. 
As rupturas levam o estudante ou ao sucesso, ou ao fracasso. Ao sucesso 
quando as reformulações que ele faz resultam em algo positivo que soluciona a 
situação em que se encontra. Fracasso, pois ao ter que reformular e ir em busca de 
18 
 
conceitos ainda não vistos por ele, a chance do estudante construir um esquema 
insatisfatório para a situação é relativamente alta. Assim, ele é forçado a fazer uma 
reflexão da situação, explorar novas possibilidades e alternativas, e realizar novas 
tentativas e construções, que podem ou não serem falhas. Se forem falhas, ele 
retorna ao fracasso. 
Quando se fala em Teoria dos Campos Conceituais, fala-se também de 
tempo. Vergnaud (2011) define longo e curto prazo na aprendizagem, onde o longo 
prazo está intimamente ligado à ideia de filiação e ruptura. O longo prazo está 
infimamente relacionado com o desenvolvimento e sua perspectiva “não é em 
alguns dias ou semanas que uma criança adquire uma competência ou compreende 
um conceito [...] mas ao longo de vários anos de escola e de experiência” 
(VERGNAUD, 2011, p. 16). Enquanto isso, o curto prazo “são situações suscetíveis 
de serem utilmente propostas aos alunos em um ou outro momento do seu 
desenvolvimento (competências adquiridas total/parcial)” (VERGNAUD, 2011, p. 16, 
grifo nosso). 
Pode-se assim, ter outra definição para as filiações e rupturas que justificam a 
tese de longo prazo e curto prazo proposta por Vergnaud (2011), onde ela está 
infimamente ligada à ideia de “longo prazo”: Nas filiações “porque as competências 
novas apoiam-se, em parte, nas competências adquiridas antes” (VERGNAUD, 
2011, p. 16); já as rupturas porque “a tomada de consciência necessária à formação 
de uma nova competência exige que a criança deixe de lado ideias e formas de agir. 
Por vezes, mesmo, é preciso que ela as rejeite” (VERGNAUD, 2011, p. 16). 
Essa tese teórica de longo e curto prazo, de acordo co Vergnaud (2011) 
permite que o educador e/ou pesquisador consiga visualizar com maior exatidão e 
assim captar as filiações e rupturas que ocorrem durante os processos de 
desenvolvimento cognitivo e conceitual dos estudantes com o passar do tempo. 
 
 
4. METODOLOGIAS 
 
As estratégias metodológicas deste estudo serão organizadas em: 
metodologia de intervenção pedagógica (4.1) onde é apresentada as estratégias 
para elaboração/intervenção e metodologia da pesquisa (4.2) onde é apresentada as 
estratégias de coleta e análise dos dados obtidos. 
19 
 
4.1 Metodologia de investigação pedagógica 
 
A atividade baseia-se na elaboração de questões abertas com referência a 
geometria de acordo com os conceitos trabalhados no 9º ano do Ensino 
Fundamental disponibilizados na BNCC. Para elaboração dessas questões, será 
construído um projeto com os estudantes, onde o professor agirá como mediador, 
propondo desafios. Este projeto será dividido em cinco momentos. 
A metodologia da atividade é baseada na Resolução de Problemas – RP – no 
ensino/aprendizagem de Matemática. Optou-se por essa metodologia tendo em vista 
a necessidade que o professor tem de organizar suas aulas buscando sempre novas 
maneiras de fazer com que o estudante tenha prazer em aprender (MORAIS; ODY; 
SCHEIN, 2016). Além disso, procura-se trabalhar com a Matemática de maneira que 
os estudantes possam aplicá-la em seu cotidiano (implícita ou explicitamente) nas 
mais diversas situações. Temos assim que a RP é considerada uma metodologia de 
ensino, e sendo assim, ela é constituída de um conglomerado de estratégias e 
ações focadas ao ensino, neste caso, da Matemática e desenvolvimento da 
aprendizagem na mesma área (ALTOÉ, 2016). 
Os cinco momentos do projeto se baseiam nas quatro fases da RP, 
apresentadas no quadro 3 abaixo. 
 
Quadro 3 – Fases para Resolução de Problemas 
FASE DESCRIÇÃO 
1 
[...] compreender o problema, percebendo claramente o que é necessário 
para resolvê-lo. [...] Em vista disso, percebe-se a importância de o professor 
escolher de forma cautelosa os problemas a serem trabalhados em aula 
com os alunos, buscando organizá-los de forma clara, de fácil compreensão 
no início, mas aumentando o grau de dificuldade na resolução dos mesmos 
gradualmente. 
2 
[...] se deve estabelecer um plano para solucionar um problema. [...] Após 
ter compreendido o problema é necessário conhecer um pouco sobre o 
assunto, para que seja possível estabelecer um plano. 
3 
Realizada a sua compreensão, é necessário elaborar e colocar em prática o 
plano [...]. Analisar minuciosamente todos os passos realizados até o 
momento durante as fases para se chegar à resolução do problema é de 
extrema importância. 
4 
Após analisar e se certificar de todas as possíveis situações de erro é o 
momento de fazer o retrospecto ou verificação do plano. Esta última etapa 
é importante, pois proporciona ao aluno refletir sobre o esforço realizado na 
resolução de um problema e é uma boa oportunidade ao professor [...] de 
indagar seus alunos a respeito do resultado ou método utilizado, 
questionando se determinado modo de resolução pode ser aplicado em 
algum outro problema [...]. 
Fonte: MORAIS; ODY; SCHEIN, 2016, p. 3, grifo nosso. 
20 
 
 
Sendo assim, no primeiro momento será proposta aos alunos a construção de 
uma maquete representando bairros de uma cidade, ou localidades rurais, 
dependendo do local onde os alunos moram. Os alunos serão divididos em grupos 
de no mínimo 2 alunos e no máximo 4, onde cada grupo será responsável por 
construir uma quadra pertencente a uma cidade ou, no caso de alunos que residem 
na região urbana, ou chácaras/lavouras, no caso de alunos que residam no interior. 
No segundo momento será solicitado que os alunos construam uma casa 
onde a família (grupo formado por eles) irá morar, tendo como desafio a utilização 
da geometriapara explicar cada passo das construções realizadas. Todas as 
construções que os estudantes realizarem deverá ser descritas em um diário de 
bordo, e mesmo um grupo, cada componente deverá ter seu próprio diário de bordo. 
No momento seguinte, será proposto aos grupos que solucionem alguns 
problemas que surgirão nessa cidade fictícia, lembrando sempre que os problemas 
serão propostos tendo como pressupostos os conceitos de geometria, e sendo 
assim, espera-se que os estudantes à utilizem como ferramenta de resolução. O 
professor irá conversar com os alunos buscando entender os passos que eles estão 
seguindo para resolver os problemas propostos e auxiliar aqueles que solicitarem ou 
que o professor achar que necessitam de auxílio. 
O quarto momento é de desafios. Novos problemas serão propostos aos 
alunos, onde, assim como nos problemas anteriores, eles serão induzidos a 
utilizarem a geometria para resolver. O professor irá conversando com os grupos 
buscando entender de que maneira cada um está tentando solucionar os problemas. 
O quinto e último momento é de reflexão e diálogo. Cada grupo será 
convidado a mostrar, em um seminário curto, suas construções, assim como mostrar 
aos colegas os problemas que foram propostos e de que maneira os resolveram. 
Após o seminário, o professor irá recolher os diários de bordo de cada estudante, 
pois é a partir desse material que será realizada a análise visando observar se ouve 
filiações e/ou rupturas no processo de resolução de problemas. 
Como já dito, cada estudante terá de construir um diário de bordo, mas, além 
disso, será disponibilizado um diário comunitário, onde aquele grupo ou aluno que 
sentir necessidade de auxílio na resolução dos problemas propostos poderá solicitar 
auxílio de outro grupo. Além, também será disponibiliza duas caixas “fórum”, onde 
21 
 
os estudantes/grupo poderão deixar perguntas (anônima ou não) em um das caixas, 
e o professor deixara as respostas/sugestões na outra caixa. 
 
 
4.2 Metodologia da pesquisa 
 
A metodologia da pesquisa se baseia na análise dos diários de bordos dos 
estudantes a partir das filiações e rupturas apresentadas pela Teoria dos Campos 
Conceituais de Vergnaud, já apresentadas anteriormente na seção 3 e subseção 
3.1. 
A partir do recolhimento dos diários de bordo dos estudantes, será feito uma 
análise preliminar visando separar apenas as informações que poderão ser 
analisadas de acordo com a proposta deste trabalho, ou seja, as informações dos 
diários de bordo que serão analisadas seguirão o objetivo geral estipulado para este 
trabalho “mapear os processos em que ocorrem filiações e rupturas de conceitos 
relacionados à Geometria”. Seguindo isso, cada diário será analisado 
separadamente um do outro, mesmo pertencendo a estudantes que compuseram o 
mesmo grupo, pois assim será possível observar o desenvolvimento de cada 
estudante isoladamente. 
Serão apenas analisadas as filiações e rupturas realizadas pelos estudantes, 
para que assim, seja otimizado o tempo e todos os materiais possam ser analisados 
da mesma maneira, adequadamente. 
Após, os dados coletados serão dispostos em duas planilhas, uma contendo 
as filiações e outra contendo as rupturas. Será construída, ainda, uma terceira 
planilha contendo os problemas que foram propostos a cada um dos grupos. Cada 
problema apresentara anotações referentes ao seu impacto nos estudantes, a partir 
dos relatos dos mesmos realizados, ou pelo diário de bordo, ou pelas caixas do 
“fórum”. 
Percebe-se que, além da Teoria dos Campos Conceituais, faz parte da 
metodologia da pesquisa a metodologia de RP, pois os problemas elaborados aos 
estudantes também fazem parte dos resultados desse trabalho. 
 
 
5. RESULTADOS ESPERADOS 
22 
 
 
Espera-se como resultados conseguir observar os processos envolvidos no 
processo de filiações e rupturas dos estudantes ao tentarem resolver os problemas 
propostos, e ainda desmistifiquem a Matemática como sendo algo de difícil 
compreensão, e consigam, não somente perceber onde os conceitos de geometria 
são aplicados no mundo, mas também façam uso desses conceitos no dia a dia. 
O desenvolvimento cognitivo é outro resultado esperado, pois ao instigar os 
alunos a realizarem, principalmente rupturas, eles necessitam parar para refletir e 
elaborarem novas estratégias de se alcançar o objetivo proposto pelo professor. As 
filiações, como já mencionadas, auxiliam no crescimento cognitivo, mas também 
propicia ao estudante utilizar de ferramentas que ele já conhece, mesmo que não 
tenha percebido. 
Além disso, o fato dos estudantes terem que trabalharem em grupos, propicia 
a eles visão de como é trabalhar em equipe tanto dentro, quanto fora do ambiente 
escolar, pois mostra a eles, mesmo que de maneira simplista, como as coisas 
ocorrem na sociedade, e estimulam neles a empatia, paciência, e principalmente, a 
compreensão, visto que cada estudante é diferente um do outro, possuindo 
pensamentos e crenças distintos. 
Já visualizando os prováveis resultados voltados ao professor, espera-se que 
a partir da elaboração de problemas que induzam o estudante a utilizar, não 
somente conceitos e ferramentas que o professor sugere, mas também as 
experiências que ele trás consigo das interações sociais que ele realiza tanto dentro 
do ambiente escolar, quanto na comunidade à qual pertence. Tal fato mostra ao 
professor de que maneira os estudantes pensam e elaboram seus esquemas, o que 
não somente facilitará no momento de analisar os esquemas conforme as filiações e 
rupturas que eles realizam, mas também onde cada estudante apresenta facilidades, 
e consequentemente, dificuldades. 
Por fim, espera-se divulgar este trabalho e todos os processos envolvidos na 
sua construção com a comunidade acadêmica, e principalmente, com os 
professores da Educação Básica, visto que um dos objetivos deste trabalho é a 
construção e elaboração de problemas envolvendo conceitos de Geometria segundo 
as habilidades descritas na BNCC, sendo este documento (a BNCC) norteador para 
a construção dos projetos políticos pedagógicos das escolas. 
 
23 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
ALTOÉ, Renan Oliveira. Formulação de Problemas: uma possibilidade didática no 
ensino de matemática. XX Encontro Brasileiro de estudantes de Pós-Graduação em 
Educação Matemática. Curitiba, PR, 12 a 14 nov. 2016. 
 
BARASIL, Ministério da Educação Brasileira. Base Nacional Comum Curricular. 
[versão final]. 2018. Disponível em: 
<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_s
ite.pdf>. Acessado em 28 set. 2020. 
 
BRASIL, Ministério da Educação Brasileira. Base Nacional Comum Curricular. 
[site] 2019. Disponível em: < http://basenacionalcomum.mec.gov.br>. Acessado em 
28 set. 2020. 
 
BRASIL, Ministério da Educação. Compromisso Nacional pela Educação Básica. 
MEC, CONSED, UNDIME. jul. 2019. Disponível em < 
http://portal.mec.gov.br/images/11.07.2019_Apresentacao-ed-basica.pdf>. Acessado 
em 28 nov. 2020. 
 
BRASIL, Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação 
Básica. Brasília: MEC, SEB, DICEI. 562 p. 2013. Disponível em < 
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