MecFlu Teorema do Transporte de Reynolds

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Mecânica dos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez
 
 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos 
 
Forma Integral das Equações Básicas para Volume de 
Controle (cont.)
Teorema do Transporte de Reynolds:
“Relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer 
propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema e as 
variações dessa propriedade associadas com um volume de 
controle”
∫∫ ⋅+∂
∂
=
SCCVsistema
AdVVd
tdt
dN ��ηρηρ
O Teorema do transporte de Reynolds foi deduzido no 
instante quando o sistema e o volume de controle 
coincidem; isto é verdade desde que ∆t → 0, quando o 
sistema e o volume de controle ocupam o mesmo volume 
e tem as mesmas fronteiras.
(1)
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Conservação da Massa para um 
Volume de Controle Inercial
De acordo com as considerações feitas na aula 
passada, temos que:
N = M e η = 1, portanto:
∫∫ ⋅+∂
∂
=
SCCVsistema
AdVVd
tdt
dM ��ρρ
Da lei da conservação da massa:
0=
sistemadt
dM
Chega-se à formulação para V.C. da conservação da 
massa ou Equação da Continuidade:
∫∫ ⋅+∂
∂
=
SCCV
AdVVd
t
��
ρρ0
O princípio da conservação da massa diz que a soma 
da variação da quantidade de massa dentro do V.C. 
com a quantidade de massa que atravessa a S.C. seja 
zero. 
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Formas Especiais da Equação da 
Conservação da Massa
1. Escoamento incompressível:
ca) volumétri(vazão 0 ∫ ⋅=
SC
AdV
��
2. Regime permanente:
∫ ⋅=
SC
AdV
��
ρ0
3. Escoamento uniforme (escoamento uniforme numa 
seção implica que a velocidade é constante sobre toda a 
área da seção).
quando ρ também é constante na seção, a integral de 
superfície fica:
nnnnnn
A
AVAVAdV
n
ρρρ ±=⋅=⋅∫
����
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Água flui a uma velocidade uniforme de 3 m/s para 
dentro de um bocal que tem seu diâmetro reduzido de 10 
cm para 2 cm. Calcule a velocidade da água que sai pelo 
bocal e a vazão.
Exemplo1
(Quadro negro)
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Exemplo 2
Água flui para dentro e para fora de um aparelho, como 
mostrado na Fig. Calcule a taxa de variação da massa 
de água ( dm / dt ) no aparelho.
(Quadro negro)
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Um escoamento uniforme aproxima-se de um cilindro, 
como mostra a Fig. A distribuição simétrica da 
velocidade na localização mostrada, corrente a jusante 
na esteira do cilindro, é aproximada por 
( ) 11 , 
4
25,1
2
<<−+= yyyu
em que u(y) é dada em m/s e y em metros. Determine a 
vazão mássica através da superfície AB por metro de 
profundidade. Use ρ = 1.23 kg/m3.
Exemplo 3
(Quadro negro)
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Forma especial do teorema do transporte de 
Reynolds:
Volume de controle deformável
Teorema de Liebnitz para uma integral tripla:
Considere um volume fechado de superfície S
movendo-se no espaço; considere que a velocidade
de qualquer elemento de superfície seja Vs. Então, 
se f(x,y,z,t) é uma função escalar da posição e do 
tempo: 
∫∫∫ ⋅+∂
∂
=
∂
∂
S
s
VV
SdVfVd
t
fVfd
t
��
V
Lembre-se que e S são funções do tempo, isto
é: 
V
( )tVV =
e
( )tSS =
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Através do teorema de Liebnitz, a forma do teorema do 
transporte de Reynolds (abaixo) pode ser modificada, 
dependendo da escolha do V.C. 
∫∫ ⋅+=
SC
r
CVsistema
AdVVd
dt
d
dt
dN ��ηρηρ
2. V.C. não deformável:
Se o V.C. não se deforma, a diferenciação com 
relação ao tempo pode ser efetuada simplesmente 
dentro da integral usando-se o Teorema de Liebnitz:
( ) ∫∫ ⋅+=
SC
r
CVsistema
AdVVd
dt
d
dt
dN ��ηρηρ
1. V.C. deformável:
Se a fronteira é deformável, a diferenciação com relação 
ao tempo da integral de volume pode ser decomposta 
usando-se o Teorema de Liebnitz:
( )
�����
��
�����
��
fronteira a e fluido o
entre relativo movimento
 ao devida fluxo de taxa
fronteira da velocidade
 à devida fluxo de taxa
∫∫∫ ⋅+⋅+=
SC
r
SC
s
CVsistema
AdVAdVVd
dt
d
dt
dN ηρηρηρ
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Exemplo 4: Calcule a vazão mássica de água deixando
o recipiente cilíndrico, mostrado na figura, em função de
e d.h�
y
V.C.
h(t)
d
1
2
?2 =m�
Ad
�
Ad
�
(quadro negro)