Processo de Fresagem: Conceito e Características

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Curso Técnico
Mecânica
EAD
Guia de Estudo
PROCESSOS DE FABRICAÇÃO II
 
 2 
ÍNDICE 
 
CAPÍTULO 1 
PROCESSO DE FRESAGEM 
 
1.1 – CONCEITO ................................................................................................................................ 3 
1.1.1 – FRESADORAS .......................................................................................................................... 6 
1.2 – CARACTERÍSTICAS DA FRESADORA .............................................................................. 8 
1.4 – NOMENCLATURA .................................................................................................................... 8 
1.5 – ACESSÓRIOS .......................................................................................................................... 6 
1.6 – FRESAS ...................................................................................................................................... 7 
1.7 – COLAR MICROMÉTRICO ...................................................................................................... 8 
1.8 – VELOCIDADE DE CORTE ................................................................................................... 18 
1.9 – TABELA DE AVANÇO ........................................................................................................... 11 
1.9 – APARELHO DIVISOR ........................................................................................................... 12 
1.10 – CHAVETAS .............................................................................................................................. 13 
1.11 – ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DA CIRCUNFERÊNCIA ....................................... 15 
1.12 – ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DO RETANGULO .................................................. 15 
1.13 – FRESAGEM DE PRISMAS REGULARES .......................................................................... 15 
 
 
CAPÍTULO 2 
ENGRENAGEM CILINDRICA DE DENTES RETOS 
 
2.1 – CONCEITO .............................................................................................................................. 38 
2.2 – MATERIAL DE CONSTRUÇÃO DAS ENGRENAGENS ................................................. 39 
2.3 – CLASSIFICAÇÃO DAS ENGRENAGENS ......................................................................... 39 
2.4 – NOMENCLATURA DA ENGRENAGEM DE DENTES RETOS ...................................... 41 
2.5 – ELEMENTOS PARA FRESAR ENGRENAGEM DE DENTE RETO ............................... 42 
2.6 – FORMULÁRIO ........................................................................................................................ 43 
BIBLIOGRAFIA ..... ............................................................................................................................. 53 
ANEXOS TABELAS ............................................................................................................................... 54 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 3 
CAPÍTULO 1 
 
PROCESSO DE FRESAGEM 
 
 1.1 CONCEITO: Fresagem é um processo de usinagem mecânica, feito por 
fresadoras e ferramentas especiais chamadas fresas. A fresagem consiste na 
retirada do excesso de metal ou sobremetal da superfície de uma peça, a fim de 
dar a esta uma forma e acabamento desejados. Na fresagem, a remoção do 
sobremetal da peça é feita pela combinação de dois movimentos, efetuados ao 
mesmo tempo. Um dos movimentos é o de rotação da ferramenta, a fresa. O outro 
é o movimento da mesa da máquina, onde é fixada a peça a ser usinada. 
 
É o movimento da mesa da máquina ou 
movimento de avanço que leva a peça até a 
fresa e torna possível a operação de usinagem. 
Veja figura ao lado. 
 
 
O movimento de avanço pode levar a peça contra o movimento de giro do dente da 
fresa. É o chamado movimento discordante. Ou pode também levar a peça no 
mesmo sentido do movimento do dente da fresa. É o caso do movimento 
concordante. 
 
 
 
A maioria das fresadoras trabalha com o avanço da mesa baseado em uma porca e 
um parafuso. Com o tempo e desgaste da máquina ocorre uma folga entre eles. 
No movimento concordante, a folga é empurrada pelo dente da fresa no mesmo 
sentido de deslocamento da mesa. Isto faz com que a mesa execute movimentos 
irregulares, que prejudicam o acabamento da peça e podem até quebrar o dente da 
fresa. Veja figura abaixo. 
 
Índice 
 4 
 
 
 
No movimento discordante, a folga não influi no deslocamento da mesa. Por isso, a 
mesa tem um movimento de avanço mais uniforme. Isto gera um melhor acabamento 
da peça. 
Assim, nas fresadoras dotadas de sistema de avanço com porca e parafuso, é melhor 
utilizar o movimento discordante. Para tanto, basta observar o sentido de giro da fresa 
e fazer a peça avançar contra o dente da ferramenta. 
 
Máquina Fresadora é uma máquina ferramenta destinada a desbastar metais, por meio 
de uma ferramenta de corte, animada de movimento de rotação da ferramenta sobre a 
peça a ser trabalhada. A ferramenta da fresadora é denominada fresa, e possui dentes 
providos de arestas cortantes ou navalhas. 
 
 
 
 O fato da ferramenta de trabalho da fresadora ser de fios múltiplos e, se poder montar 
no eixo porta-fresa, combinações de fresas de diferentes formas, confere a esta máquina 
características especiais e uma vantagem sobre outras máquinas ferramentas. 
A fresadora possui dispositivos automáticos que permitem variar a velocidade de corte e 
Índice 
 5 
avançar o automático que controla a velocidade com que aproxima-se da ferramenta de 
corte (fresa). 
 
Como outros processos, a fresagem permite trabalhar superfícies 
planas, convexas, côncavas ou de perfis especiais. Mas tem a 
vantagem de ser mais rápido que o processo de tornear, limar, 
aplainar. Isto se deve ao uso da fresa, que é uma ferramenta 
multicortantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 6 
1.2 Fresadoras 
 
As máquinas fresadoras são classificadas geralmente de acordo 
com a posição do seu eixo-árvore em relação à mesa de trabalho. 
Mesa de trabalho é o lugar da máquina onde se fixa a peça a ser 
usinada. O eixo-árvore é a parte da máquina onde se fixa a 
ferramenta. 
 
As fresadoras classificam-se em relação ao eixo-árvore em 
horizontal, vertical e mista. 
 
1- A fresadora é horizontal quando seu eixo-árvore é paralelo 
à mesa da máquina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 7 
 
2-Se o eixo-árvore for perpendicular à mesa da máquina, dizemos que se trata 
de uma fresadora vertical. 
 
 
 
 
 
2- fresadora mista dispõe de dois eixos-árvore, um 
horizontal e outro vertical. O eixo vertical situa-se no 
cabeçote, parte superior da máquina. O eixo horizontal 
localiza-se no corpo da máquina. O fato de a fresadora 
universal dispor de dois eixos permite que ela seja utilizada 
tanto na posição horizontal quanto na vertical. 
 
Índice 
 8 
 
 
 
 
 Quanto ao movimento da mesa 
a) Fresadora Simples; e 
b) Fresadora Universal. 
A fresadora simples possui a mesa permanentemente disposta a 90° da linha 
de centro da coluna. Sua mesa possui três movimentos, que são: longitudinal,transversal e vertical. 
Na fresadora universal a mesa possui os três movimentos da fresadora simples mais um 
movimento giratório e sua base possui uma escala em graus, podendo a peça sofrer uma 
inclinação em relação ao centro da coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1.3 CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS DA FRESADORA 
 
São algumas das características principais da fresadora: 
a) Dimensões da mesa; 
b) Passo do fuso; 
c) Relação de transmissão do cabeçote divisor; e 
d) Inclinação da mesa à direita e à esquerda. 
 
Índice 
 9 
1.4 NOMENCLATURA DA FRESADORA HORIZONTAL 
 Coluna 
É uma peça oca de ferro fundido, que forma o corpo principal da máquina, cuja 
parte interior é usada para abrigar o motor e o conjunto de engrenagens que 
permitem a variação de velocidade e reversão da árvore. Alguns tipos abrigam um 
reservatório de óleo com bomba e um outro reservatório para refrigerante. A 
parte frontal possui uma superfície aplainada, com elevado grau de precisão, 
denominado barramento. 
 Joelho 
É uma peça fundida com duas faces, formando um ângulo reto entre si. A face 
vertical trabalha no barramento da coluna permitindo mover-se para cima e para 
baixo ao longo da coluna. A face superior, situada no plano horizontal, contém 
uma superfície em forma de prisma que dá ao cunho um movimento no plano 
horizontal, perpendicular à coluna. 
Cunho 
Peça fundida situada entre o joelho e a mesa. Um corte em forma de prisma 
existente na sua parte inferior permite o deslizamento que vai guiar o cunho em 
seu movimento transversal em relação à coluna. Na parte superior possui uma 
superfície também em forma de prisma que suporta e serve de passeio para o 
movimento da mesa. 
 
Mesa 
É a parte que fornece a superfície de trabalho à fresadora. Sua parte inferior é 
encaixada no cunho. A parte superior possui rasgos em forma de “T”, paralelos 
aos lados da mesa, com grande precisão; possui também canaletes que servem 
para conduzir o óleo refrigerante para um depósito localizado no extremo da 
mesa. 
Árvore 
 É a parte da fresadora que recebe o movimento das engrenagens 
montadas na parte superior da coluna que transmite o movimento ao mandril. A 
parte anterior possui um orifício cônico que permite receber o extremo do mandril 
e a parte posterior possui um orifício circular que permite introduzir uma barra de 
tração que serve para fixar o mandril à árvore. 
 
Torpedo 
 
Peça móvel que desliza horizontalmente sobre a coluna que permite ajustar 
mandris de comprimentos variáveis. Sua forma varia para diferentes tipos de 
máquinas. Alguns fabricantes usam um ou dois eixos de aço, outros uma peça em 
forma retangular, cuja superfície inferior desliza sobre a coluna. 
 
Índice 
 10 
 Suporte do madril 
É uma peça fundida, que encaixa e desliza sob o torpedo e possui um mancal que 
suporta o mandril. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1.5 ACESSÓRIOS DA FRESADORA 
O número de aplicações da máquina fresadora pode ser aumentado 
consideravelmente com o uso de uma série de acessórios adaptáveis à máquina. 
Em alguns casos, estes acessórios permitem efetuar em uma máquina, trabalhos 
próprios de outras. 
 Cabeçote divisor 
Utilizado para efetuar as divisões circulares e lineares em peças mecânicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Contra-ponto 
Utilizado para suportar o extremo da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 11 
Chapas 
São peças de aço, forjadas ou usinadas, de forma plana ou curva, com ranhura 
central para introduzir o parafuso de fixação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calços 
Os calços são elementos de apoio, construídos de aço ou ferro fundido, usinados. 
Podem ser reguláveis, planos, escalonados ou em V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Macacos 
São elementos de apoio, geralmente de aço, compostos de um corpo e um 
parafuso com uma contra-porca para bloqueá-lo. A parte superior pode ser 
articulada ou fixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mandris portas-fresas 
São acessórios utilizados para prender a fresa e transmitir o movimento que 
recebem do eixo principal. Constroem-se de aço-liga duro (aço-cromo-níquel), 
Índice 
 12 
tratado termicamente e com acabamento liso e preciso. Possuem uma 
extremidade cônica para se ajustar ao furo cônico da árvore. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para permitir uma transmissão de potência mais eficiente do que a produzida pelo 
atrito entre cones, a face da árvore possui rasgos ou chavetas radiais e em alguns 
casos furos rosqueados para receber parafusos de fixação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os mandris porta-fresas são selecionados segundo o tipo de fresa a ser montada 
e o tipo de trabalho por efetuar. São agrupados em três tipos, presos firmemente 
na abertura da árvore por uma longa haste rosqueada (barra de tração): 
a) Mandril Porta-Fresa Longo; 
b) Mandril Porta-Fresa Médio; e 
c) Mandril Porta-Fresa Curto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 13 
Cabeçote universal 
É acoplado à árvore da fresadora, formando qualquer ângulo com a superfície da 
mesa. Por suas especiais características, dá à fresadora suas principais condições 
de universalidade, permitindo as mais variadas operações de fresagens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cabeçote vertical 
Este acessório é similar ao cabeçote universal, porém, mais limitado para os 
serviços. 
 
 
 
 
 
 
Tornos ou morsas de garras 
Utilizados na fixação de peças na mesa da fresadora; existem três tipos 
diferentes: 
a) simples 
 
 
 
 
 
b) com anel graduado 
 
 
c) universal. 
 
 
 
Índice 
 14 
Detalonador ou contornador 
Usado para produzir estrias, rasgos de chavetas internos, rodas dentadas 
internas e perfis combinados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pinças 
Utilizadas para fixação de fresas de punho cilíndrico (fresa em “T”, WOODRUFF, topo, 
e outras). 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 Fresas 
 
A fresa é dotada de facas ou dentes multicortantes. Isto lhe 
confere uma vantagem sobre outras ferramentas: quando os 
dentes não estão cortando, eles estão se refrigerando. Isto 
contribui para um menor desgaste da ferramenta. 
A escolha da ferramenta é uma das etapas mais importantes da 
fresagem. Ela está relacionada principalmente com o tipo de 
material a ser usinado. 
Ao escolher uma fresa, deve-se levar em conta se ela é resistente 
ao material que será usinado. Os materiais são mais ou menos 
resistentes. Assim, uma fresa adequada à usinagem de um 
material pode não servir para a usinagem de outro. 
São ângulos da cunha de corte o ângulo de saída (), de cunha () 
e de folga (). 
Índice 
 15 
Pois bem, são os ângulos  dos dentes da fresa que dão a esta 
maior ou menor resistência à quebra. Isto significa que quanto 
maior for a abertura do ângulo , mais resistente será a fresa. 
Inversamente, quanto menor for a abertura do ângulo , menos 
resistente a fresa será. Com isto, é possível classificar a fresa em: 
tipos W, N e H. Veja figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fresa tipo W, por ter uma abertura de ângulo de cunha menor ( 
= 57°), é menos resistente. Por isso ela é recomendada para a 
usinagem de materiais não-ferrosos de baixa dureza como o 
alumínio, o bronze e plásticos. 
A fresa tipo N ( = 73°) é mais resistente que a fresa tipo W e por 
isso recomendada para usinarmateriais de média dureza, como o 
aço com até 700N/mm2 de resistência à tração. 
Finalmente, a fresa tipo H ( = 81°) é mais resistente que a fresa 
W e a fresa N. Portanto, é recomendada para usinar materiais 
duros e quebradiços como o aço com mais de 700N/mm2 de 
resistência à tração. 
Fresas de perfil constante 
São fresas utilizadas para abrir canais, superfícies côncavas e 
convexas ou gerar engrenagens entre outras operações. Veja 
alguns tipos dessa fresa e suas aplicações. 
 
Índice 
 16 
 
 fresa bi angular/perfil em V fresa convexa/perfil côncavo 
 
 
fresa côncava/perfil convexo fresa módulo/dentes de engrenagem 
 
Fresas planas 
Trata-se de fresas utilizadas para usinar superfícies planas, abrir 
rasgos e canais. Veja a seguir, fresas planas em trabalho e suas 
aplicações. 
 
 
 
Fresas angulares 
Estas são fresas utilizadas para a usinagem de perfis em ângulos, 
como rasgos prismáticos e encaixes do tipo rabo-de-andorinha. 
 
Índice 
 17 
 
 
Fresas para rasgos 
As fresas para rasgos são utilizadas para fazer rasgos de chavetas, 
ranhuras retas ou em perfil T, como as das mesas das fresadoras 
e furadeiras. Ex: fresa de topo, fresa T e fresa woodruff. 
 
 
Fresas de dentes postiços 
São também chamadas de cabeçote de fresamento. Trata-se de 
uma ferramenta com dentes postiços. Esses dentes são pastilhas 
de metal duro, fixadas por parafusos, pinos ou garras, e podem 
ser substituídas facilmente. 
Índice 
 18 
 
 
 
Fresas para desbaste 
Estas são fresas utilizadas para o desbaste de grande quantidade 
de material de uma peça. Em outras palavras, servem para a 
usinagem pesada. 
Esta propriedade de desbastar grande quantidade de material é 
devida ao seccionamento dos dentes. Veja figuras abaixo. 
 
 
 
Índice 
 19 
 
 
 
 Fresa módulo 
Empregadas para confecção de engrenagens cilíndricas, helicoidais e cônicas, 
calculadas em milímetros. 
 
 
Fig. 1.83 
 
 
 
 
 
Estas fresas são classificadas, segundo o módulo que vai ser confeccionada a 
engrenagem, em jogos de oito (8) fresas, até o módulo dez (10), e daí em 
diante em jogos de quinze (15) fresas, conforme a tabela abaixo. 
Número da 
fresa 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 
Número de 
dentes 
a abrir 
 12 
 13 
 14 
 16 
 17 
 20 
 21 
 25 
 26 
 34 
 35 
 54 
 55 
 134 
 135 
cremalhei
ra 
Número da 
fresa 
1 1 1/2 2 2 1/2 3 3 
1/2 
4 4 1/2 
Número de 
dentes 
a abrir 
12 13 14 15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
 23 
 25 
Número da 
fresa 
5 5 1/2 6 6 1/2 7 7 
1/2 
8 
Número de 
dentes 
a abrir 
26 
29 
30 
34 
35 
41 
42 
54 
55 
79 
80 
134 
135 . . . 
Cremalheira 
Índice 
 20 
1.7 COLAR MICROMÉTRICO 
É um dial ou anel graduado existente nos carros transversal, longitudinal e vertical das 
máquinas fresadoras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função 
Determinar e controlar a profundidade de corte, entretanto, pode ser usado para 
permitir um ponto de referência, no caso da ferramenta ter sido deslocada durante uma 
determinada operação. 
 Elementos do colar micrométrico 
a) Anel ou Colar; 
b) Fuso; e 
c) Alavanca ou Volante de Manejo. 
 Formulário 
O passo do fuso (P), o número de divisão do colar (ND) e o valor de divisão do colar 
(VD). 
Fórmula: 
ND
P
VD 
 donde se conclui que 
VD
P
ND 
 e que P = VD x ND. 
 
 1.8 VELOCIDADE DE CORTE (VC) 
Como calcular a rpm, o avanço e a profundidade de corte 
em fresagem 
Você deve estar lembrado que rpm, avanço e profundidade de 
corte são parâmetros de corte para qualquer tipo de usinagem. 
A escolha dos parâmetros de corte é uma etapa muito 
importante na fresagem. Parâmetros de corte inadequados 
podem causar sérios problemas, como alterar o acabamento 
superficial da peça e até mesmo reduzir a vida útil da 
ferramenta. 
Como então calcular os parâmetros de corte na fresagem? O 
primeiro passo é calcular a melhor rotação. Esta depende 
basicamente de dois elementos: o diâmetro da fresa e a 
Índice 
 21 
velocidade de corte. A velocidade de corte, por sua vez, vai 
depender de fatores como o tipo de material a ser usinado, o 
material da fresa e o tipo de aplicação da fresa. 
Escolha da velocidade de corte 
Suponha que você deve desbastar 4mm de profundidade em uma 
peça de aço de 85 kgf/mm2 de resistência, utilizando uma fresa de 
aço rápido. Qual deve ser a velocidade de corte da ferramenta? 
Para responder a esta questão, a primeira coisa a fazer é observar 
a tabela abaixo. 
 
 
 
O passo seguinte é verificar na coluna de materiais a classificação 
em que se enquadra a peça. Veja detalhe. 
 
aço de 60 - 90 kgf/mm² 14 - 16 20 – 24 26 - 30 
 
Índice 
 22 
Observou que o aço da peça está classificado entre 60 e 90 
kgf/mm2 ? Agora é só relacionar a resistência do aço à 
profundidade de desbaste pedida. Veja o detalhe abaixo. 
 
aço de 60 - 90 kgf/mm² 14 - 16 20 – 24 26 - 30 
 
Então, a Vc que se deve usar para usinar um aço de 85 kgf/mm2 
de resistência a uma profundidade de 4 mm é de 20 a 24 m/min. 
 
Caso a profundidade de corte fosse outra, 8 mm, por exemplo, a 
velocidade de corte seria de 14 a 16 m/min. 
 
 
 
Cálculo da rotação da fresa (rpm) 
 
d
Vc
n
.
.

1000
 
 
Calculamos a rpm com a fórmula acima. Vamos ver como aplicá-
la? 
 
Tomemos o exemplo do aço com 85 kgf/mm² e profundidade de 
corte de 4 mm. Tínhamos que Vc = 20 - 24 m/min. Supondo 
que devemos utilizar uma fresa de diâmetro de 40 mm, que rpm 
deverá ser selecionada na máquina? 
 
Considerando  igual a aproximadamente 3,14, temos: 
 
40.3,14
1000.22
n
 
 
n= 175 rpm 
 
Como se vê, o valor utilizado foi de 22 m/min, ou seja, a média 
da velocidade de corte encontrada na tabela. E o resultado: 
n = 175 rpm. 
Índice 
 23 
 
O valor 175 rpm deve ser selecionado na fresadora. Mas vamos 
supor que a gama de rotações da sua fresadora não contempla 
este valor. Mas dispõe de valores aproximados, 120 e 210 rpm, 
por exemplo. 
 
 
 Qual dos valores utilizar? De preferência utilize o valor maior, 
que garante maior produção de peças. Cuide porém para que ele 
não ultrapasse a velocidade de corte recomendada pelo fabricante. 
 
Caso contrário, pode haver problemas com sua ferramenta, como 
queima dos dentes de corte e, conseqüentemente, perda do corte. 
E também problemas no acabamento superficial, que pode ficar 
rugoso, por exemplo. 
 
Então, se optamos pelo maior valor de rpm encontrado, no exemplo 
acima 210 rpm, devemos calcular a velocidade de corte real. 
 
Para isso invertemos a fórmula usada para o cálculo da rpm. Veja 
abaixo. 

1000
. d.n
Vc 
Substituindo os novos valores temos: 
 

1000
40.3,14.210
Vc
 
 
Vc = 26,39 m/min 
Como se vê acima, o valor encontrado ultrapassou a faixa 
recomendada pelo fabricante. Neste casonão é possível utilizar a 
rpm maior mais próxima na máquina. Então, a escolha deve recair 
sobre a menor rpm mais próxima, a fim de não danificar a fresa. 
 
 
 
Índice 
 24 
Cálculo do avanço da mesa 
Para calcular o avanço da mesa, consultamos inicialmente uma 
tabela. Isto nos dá o valor de avanço por dente da fresa. Para 
consultar a tabela, é preciso conhecer o material, o tipo de fresa e 
identificar se a operação é de desbaste ou acabamento. 
Também é preciso saber o número de dentes da fresa. Para isto 
basta observá-la. 
 
1.8 Escolha do avanço por dente para fresas de aço rápido 
 
 
 
 
Índice 
 25 
Vamos ver como aplicar essas informações? 
Ainda tomando o primeiro exemplo, vamos supor que é preciso 
fazer o desbaste de 4 mm de profundidade em uma peça de aço 
com 85 kgf/mm² de resistência. A fresa é cilíndrica com 6 dentes 
e 40 mm de diâmetro. Qual será o avanço adequado?Primeira 
medida é localizar na tabela anterior o material da peça. Veja 
detalhe a seguir. 
 
aço de 60 - 90 kgf/mm² cilíndrica 0,20 0,24 0,08 
 
Localizado o material, é possível relacioná-lo com o tipo de fresa 
escolhido. Veja detalhe. 
 
aço de 60 - 90 kgf/mm² cilíndrica 0,20 0,24 0,08 
 
Feito isso, é só relacionar o material e o tipo de fresa ao tipo de 
usinagem desejado. No caso, desbaste com 4 mm de 
profundidade. Veja detalhe abaixo. 
 
aço de 60 - 90 kgf/mm² cilíndrica 0,20 0,24 0,08 
 
Pois bem, o avanço recomendado é: 
 
0,24 mm / dente 
 
Achado o avanço por dente da fresa, resta encontrar o avanço da 
mesa, a ser selecionado na máquina como fizemos com a rpm. 
Veja como proceder. 
 
Vamos supor uma fresa de trabalho com seis dentes (z = 6). Se 
cada dente avançar 0,24 mm, em uma volta da fresa quanto 
avançará a mesa? Para achar a resposta é só multiplicar o número 
de dentes (z) pelo avanço por dentes (ad). Veja abaixo: 
 
av = ad . z 
 
em que: 
 z = número de dentes 
 ad = avanço por dente 
 av = avanço por volta 
 
Índice 
 26 
Substituindo vem: 
av = 0,24 . 6 
 
av = 1,44 mm / 
volta 
 
 
O resultado é que o avanço da mesa por volta da fresa é de 1,44 
mm. Mas vamos continuar nosso raciocínio. 
 
Temos que em cada volta da fresa a mesa avançou 1,44 mm com 
a fresa trabalhando em uma rotação de 120 rpm. Tivemos que 
optar pela menor rpm, devido à velocidade de corte, lembra-se? 
Mas então quanto avançará a mesa em um minuto? 
 
Respondemos a esta pergunta, utilizando a fórmula de avanço da 
mesa: 
 
am = av . n 
 
em que: 
 am = avanço da mesa 
 av = avanço por volta 
 n = rotação 
 
Substituindo vem: 
am = 1,44 · 120 
 
am =172,8 
mm/min 
 
O resultado é que a mesa avançará 172,8 mm/min, com a fresa 
trabalhando em 120 rpm. 
 
O valor de 172,8 mm/min deve ser selecionado na fresadora. 
Caso não seja possível, deve-se escolher o avanço menor mais 
próximo. Isso evitará que cada dente corte um valor acima do 
recomendado pelo fabricante. O que poderia acarretar um 
desgaste excessivo e até mesmo a quebra do dente. 
 
Índice 
 27 
Agora podemos entender por que no começo da aula dissemos, 
com relação ao cálculo da rpm, que devemos escolher a rotação 
maior. Vamos ao cálculo! 
 
Vamos ver em quanto avançaria a mesa, se usássemos a rotação 
de 210 rpm em vez de 120 rpm. Teríamos: 
am = 1,44 . 210 
am = 302,4 mm/min 
 
1.9 APARELHO DIVISOR 
Tem como objetivo, dividir peças em partes eqüidistantes. Estas divisões poderão ser 
circulares ou lineares. 
Os aparelhos divisores circulares poderão ser horizontais, verticais ou inclináveis e são 
partes integrantes de acessórios das fresadoras tais como: cabeçotes divisores, divisores 
lineares e divisores vertical. 
Assim podemos fazer divisões lineares e circulares, porém trataremos aqui apenas das 
divisões circulares. 
 
 
CABEÇOTES DIVISORES 
De um modo geral, a divisão geométrica das peças em partes iguais nos trabalhos 
realizados na fresadora é efetuada sobre corpos de formas cilíndricas ou planas. 
Como exemplo de formas cilíndricas temos as engrenagens, 
brocas, graduações circulares, etc., como formas planas citaremos 
as cremalheiras, graduações lineares sobre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Emprego 
O cabeçote divisor serve para prender, girar e dividir peças em partes iguais por meio do 
aparelho divisor. 
A peça a ser trabalhada é centralizada e fixada no cabeçote divisor dependendo de sua 
estrutura e da necessidade do serviço a ser executado. Pode ser entre pontos, entre 
Índice 
 28 
placa e ponto ou apenas pela placa. Calços e macacos poderão ser utilizados para apoio. 
 Cabeçote divisor Universal 
Este cabeçote proporciona maiores possibilidades para realização de trabalhos, em 
virtude de sua multiplicidade de aplicações, permitindo um grande número de divisões 
para confecção de engrenagens de dentes retos, helicoidais, cônicas, parafusos sem-fim, 
etc. O cabeçote divisor universal pode ser usado nas posições horizontal, vertical e 
inclinado. 
I) Partes principais do cabeçote divisor universal. 
 
 
 
 
 
 
Cabeçote divisor universal 
 
- Base 
É a parte que suporta todas as outras. 
- Carcaça 
Envolve o mecanismo do aparelho divisor e do bloco giratório. 
- Bloco giratório 
É a parte do cabeçote que pode girar num plano vertical desde de zero grau 
(0º) a cem graus (100º) com a horizontal num ângulo qualquer através de 
uma escala graduada existente no bloco. 
Este movimento angular permite a confecção de peças e engrenagens cônicas. 
Existem cabeçotes que o seu movimento angular pode variar de menos dez 
graus (-10º ) a cem graus (100º) com o plano horizontal. 
- Eixo longitudinal 
Serve para fixar a engrenagem conduzida. 
- Eixo expansor 
Serve para fixar a engrenagem condutora. 
- Aparelho divisor 
Como o próprio nome indica é o mecanismo que faz a divisão. 
É composto de um parafuso sem-fim, uma roda dentada (coroa), disco 
divisor, manivela, espaçador (setor ou alidade), etc. 
 
 
 
 
 
Índice 
 29 
 
 Aparelho divisor 
 
 
OBSERVAÇÃO: O eixo longitudinal e o eixo expansor, são utilizados quando se deseja 
realizar a divisão pelo processo de diferencial. O eixo longitudinal, também auxilia na 
confecção da engrenagem helicoidal e parafuso sem - fim. 
II) Funcionamento do cabeçote divisor universal 
Embora haja diferença de projeto na construção dos cabeçotes divisores, o princípio de 
funcionamento é igual para todos. 
A roda dentada (geralmente de 40 dentes, podendo ser de 80, 90 etc.) é montada na 
árvore do cabeçote, sendo movimentada por meio de um parafuso sem-fim simples, isto 
é, de uma só entrada. O parafuso sem-fim é movimentado pelo punho da manivela, o 
qual gira sobre um disco dividido em um certo número de partes iguais. 
Tais divisões são marcadas por pequenos furos, nos quais pode-se fixar o pino de 
pressão que existe na manivela. Girando a manivela gira também o parafuso que 
transmite o movimento à roda helicoidal com ele engrazada; fazendo coincidir o pino com 
o furo do disco divisor, tem-se uma determinada parte da peça a ser dividida. 
 
DIVISÃO EFETUADA NO CABEÇOTE DIVISOR 
Divisão indireta 
Num aparelho divisor cuja relação é de 1/40, quando o parafuso sem-fim faz uma volta 
completa, a roda helicoidal anda um dente, isto é, 1/40 de volta. Para que a roda faça 
uma volta completa é necessário que o parafuso sem-fim gire 40 voltas. 
Conclui-se que, para dividir uma peça em 40 partes iguais, se faz necessário dividir o 
númerode dentes da engrenagem pelo número de divisões que se deseja. Portanto para 
dividirmos a peça em “N” partes iguais usamos 
N
40
. 
Representado por “V” o número de voltas na manivela, por “N” o número de divisão 
desejada, e por “RD” relação do divisor, teremos a fórmula: 
N
RD
V 
 
O aparelho divisor possui discos com várias séries de furos concêntricos. 
Disco com: 15 - 16 - 17 - 18 - 19 e 20 
Disco com: 21 - 23 - 27 - 29 - 31 e 33 
Disco com: 37 - 39 - 41 - 43 - 47 - 49, etc. 
Esta variedade de séries de furos concêntricos permite efetuar divisões cujos números de 
partes iguais, não é divisíveis por 40, isto é, pelo número de dentes da coroa. 
 
 
Índice 
 30 
EXEMPLOS: 
a)Dividir uma peça pelo processo da divisão simples, em 36 partes iguais. 
V
N
   
40 40
36
1
4
36
, 1 volta e 4 furos no círculo de 36. 
Isto significa que teremos que andar uma volta completa e mais uma fração de volta que 
é 4/36 na manivela do disco divisor. 
 
1.10 CHAVETAS 
 Chavetas 
As chavetas, como os parafusos, são um meio de ligação, não permanente, entre 
elementos da máquina, evitando o deslizamento na transmissão de força. 
 Emprego: 
Fixação de rodas dentadas, polias, volantes e acoplamentos aos seus respectivos eixos. 
 Classificação 
As chavetas se classificam em: 
a) Chavetas de Cunha; 
b) Chavetas Paralelas; e 
c) Chavetas de Disco. 
a) Chavetas de cunha 
Têm esse nome porque são parecidas com uma cunha. 
Uma das faces é inclinada, para facilitar a união de peças. Classificam-se em: 
 
I) Chavetas longitudinais 
São colocadas na extensão do eixo para unir roldanas, rodas, volantes, etc. 
 
 
Podem ser com ou sem cabeça e são de montagem fácil. 
 
 
 
 
 
 
Sua inclinação é de 1:100 e suas medidas principais são definidas quanto à 
altura, comprimento e a largura. São classificadas segundo ao tipo em: 
- Chavetas encaixadas 
São muito usadas. Sua forma corresponde à do tipo mais simples de 
chaveta de cunha. Para possibilitar seu emprego, o rasgo do eixo é 
sempre mais comprido que a chaveta. 
Índice 
 31 
 
 
- Chaveta meia-cana 
Sua base é côncava (com o mesmo raio do eixo). Sua inclinação é de 
1:100, com ou sem cabeça. Não é necessário o rasgo no eixo, pois a 
chaveta transmite o movimento por efeito do atrito. Desta forma se o 
esforço no elemento for muito grande, a chaveta desliza sobre o eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chaveta plana 
Sua forma é similar à da chaveta encaixada, porém, para sua montagem 
não se abre rasgo no eixo. É feito um rebaixo plano. 
 
 
 
 
 
- Chaveta embutida 
Essas chavetas têm os extremos arredondados. O rasgo para seu 
alojamento no eixo possui o mesmo comprimento da chaveta. As 
chavetas embutidas não têm cabeça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Chavetas tangenciais 
São formadas por um par de cunhas, colocado em cada rasgo. São 
sempre utilizadas duas chavetas, e os rasgos são posicionados a 120º. 
Transmitem fortes cargas e são utilizadas, sobretudo, quando o eixo 
está submetido à mudança de carga ou golpes. 
Índice 
 32 
 
 
II) Chavetas transversais 
São aplicadas em uniões de peças que transmitem movimentos rotativos e 
retilíneos alternativos. 
 
 
 
 
 
 
 
As chavetas transversais podem ser simples (inclinação em um dos lados) 
ou duplas (inclinação nos dois lados) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Chavetas paralelas ou linguetas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essas chavetas têm as faces paralelas, portanto, não têm inclinação. Podem 
ser quadradas ou planas. 
A transmissão do movimento é feita pelo ajuste de suas faces laterais às 
laterais do rasgo da chaveta. 
Fica uma pequena folga entre o ponto mais alto da chaveta e o fundo do 
rasgo do elemento conduzido. 
 
Índice 
 33 
 
As chavetas paralelas não possuem cabeça. Quanto à forma de seus 
extremos, podem ser retos ou arredondados. Podem possuir parafusos para 
fixarem a chaveta ao eixo. 
 
 
 
 
Para o cálculo das chavetas paralelas, usam-se as seguintes fórmulas: 
 


















6
D
E
4
D
L
Plana Chaveta
4
D
E
4
D
L
quadrada Chaveta
 
 
OBSERVAÇÃO 
O comprimento máximo das chavetas é de 1,5 vezes o diâmetro do eixo. 
 
c) Chaveta de disco ou meia-lua (Tipo Woodruff) 
É uma variante da chaveta paralela. Recebe esse nome porque sua forma 
corresponde a um segmento circular. 
 
 
 
 
 
 
 
É comumente empregada em eixos cônicos por facilitar a montagem e se 
adaptar à conicidade do fundo do rasgo do elemento externo. 
Consiste em abrir uma largura e um raio iguais a 1/4 do diâmetro do eixo, no 
sentido longitudinal do mesmo, ou seja, 
4
D
L 
. 
Índice 
 34 
Quanto ao formato, os rasgos mais usados são: 
a) Selim 
b) Embebida; e 
c) Woodruff ou meia lua. 
Para o cálculo da profundidade dos rasgos de chavetas, usa-se a seguinte 
fórmula: 






rasgo. do espessura E
deprofundida P
 
2
E
P
 
 
1.11 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA 
AB = Diâmetro; 
C = Centro; 
EC = Raio; 
GH = Corda; 
GHI = Arco; 
JC = Apótema; 
IJ = Flecha; 
AB = Semicircunferência; 
KL = Secante; e 
MN = Tangente. 
 
1.12 ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
BC = Hipotenusa (a); 
AB = Cateto (c); 
AC = Cateto (b); 
 .
b
c
 Cˆ de Tangente
e ;
c
b
 Bˆ de Tangente
 ;
a
b
 Cˆ de Cosseno
;
a
c
 Bˆ de Cosseno
 ;
a
c
 Cˆ de Seno
;
a
b
 Bˆ de Seno






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 35 
 
OBSERVAÇÃO: Se â for um ângulo menor que 90º; temos: 
a) Seno â = cosseno (90 - â) 
b) Cosseno â = Seno (90 - â) 
c) Tangente â = 
 
1
Tangente a90  
 
a) Sen 90º = 1, cos 90º = 0 e tg 90º não existe. 
 
1.13 FRESAGEM DE PRISMAS REGULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRESAGEM DE PRISMAS REGULARES EM FUNÇÃO DO RAIO 
a) Fórmula para determinar o lado do triângulo (L3). 
 
 
 
 
 
 
O ângulo “A” mede 60º, cujo seno podemos deduzir da seguinte maneira: 
R x 732,1L
R
1
x
2
L
2
3
R
2
L
2
3
OB
BD
60º Sen 3
3
3

 
b) Fórmula para determinar o lado do quadrado (L4). 
x R 414,1
1
22
22º45 4
4
4
 L
R
x
L
R
L
Sen
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 36 
 
c)Fórmula para determinar o lado do pentágono (L5). 
 R x 1754,1L
R
1
x
2
L
5877,0
R
2
L
º36Sen 5
5
5

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Fórmula para determinar o lado do hexágono (L6). 
RL
R
1
x
2
L
5,0
R
2
L
º30Sen 6
6
6

 
 
 
 
 
e) Fórmula para determinar o lado de um polígono qualquer (Ln). 
 
n
180º
sen x D L 
n
180º
sen x R x 2 L 6n 












 
f) Fórmula para determinar o diâmetro ou raio de um polígono qualquer. 
 
 D= ___L_____ ou R= ___L_____ 
 sen(180°) 2x sen(180°) 
 n n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 37 
 FRESAGEM DE PRISMASREGULARES EM FUNÇÃO DA FLECHA 
a) Fórmula para determinar a flecha do triângulo inscrito (F3). 
Na figura que se segue, o triângulo BOC é retângulo; o lado OC é o apótema do 
triângulo inscrito, e a hipotenusa OB é igual ao raio do círculo. 
 
O ângulo â mede 60º, cujo coseno podemos deduzir da seguinte fórmula: 
2
R
 R.5,0F
R
FR
º60cos
OB
OC
Aˆ Cos 3
3 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Fórmula para determinar a flecha do quadrado inscrito (F4). 
 F4 = 0,293 . R 
c) Fórmula para determinar a flecha do pentágono inscrito (F5). 
 F5 = 0,191 . R 
d) Fórmula para determinar a flecha do hexágono inscrito (F6). 
 F6 = 0,134 . R 
e) Fórmula para encontrar a flecha de qualquer polígono (Fn). 
 
 













n
º180
cos1RFn
. 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 38 
CAPITULO 2 
 
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 
 
2.1 CONCEITO DE ENGRENAGEM 
 
Chamamos de engrenagem ao sistema composto por duas rodas dentadas, o qual 
permite o relacionamento de dois eixos, de tal forma que o movimento de um deles (eixo 
condutor ou motor) é transmitido ao outro eixo (eixo conduzido ou receptor 
Resumindo, podemos conceituar engrenagem como sendo um conjunto de duas 
rodas dentadas destinadas a transmitir movimento de rotação entre dois eixos, de 
modo direto e sem deslizamento. 
A principal vantagem das engrenagens é a de manter constante a relação de 
transmissão entre seus eixos. 
A engrenagem tem várias aplicações. Assim você vai encontrar 
engrenagens em uma máquina de moer cana ou no câmbio de um 
automóvel. Além de, naturalmente, encontrar engrenagens no 
sistema de transmissão de movimento das máquinas, de um modo 
em geral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 39 
 
2.2 MATERIAL DE CONSTRUÇÃO DAS ENGRENAGENS 
Vários fatores, entre os quais se acham a potência ou esforço a transmitir e a 
precisão dessa transmissão, determinam o material e o procedimento com que se 
devem construir as rodas de uma engrenagem. Os materiais de construção das 
engrenagens são: 
- Ferro fundido 
Para engrenagens de máquinas comuns ou que trabalhem com movimentos 
uniformes e baixas velocidades. 
- Aços especiais 
Aços-ligas com cromo, níquel e molibdênio e fundições com aditivos - Para 
engrenagens destinadas a transmitir maior velocidade e potência que as 
engrenagens de ferro fundido. 
- Alumínio 
Para engrenagens que transmitem pouca potência. 
- Couro ou fibra 
Para obtenção de movimentos com mais elasticidade no conjunto. Iguala-se em 
resistência ao ferro fundido. 
- Bronze 
Especialmente para coroa helicoidal engrazada com parafuso de rosca 
sem-fim. 
 
2.3 CLASSIFICAÇÃO DAS ENGRENAGENS 
As engrenagens se classificam segundo a disposição de seus dentes e em relação 
ao trabalho que devem executar: 
2.3.1 Segundo a disposição dos dentes: 
a) Engrenagem cilíndrica de dentes retos 
É a engrenagem cujos dentes são paralelos entre si e ao seu eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 40 
b) Engrenagem helicoidal 
É a engrenagem cujos dentes são oblíquos à superfície da roda, ou seja, ao seu 
eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Essa série compreende também as cônicas helicoidais e as engrenagens com 
rosca sem - fim ou tangenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
c) Engrenagem cônica 
É a engrenagem cujos dentes são dispostos na superfície de um cone truncado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 41 
2.4 NOMENCLATURA DA ENGRENAGEM DE DENTES RETOS. 
- Módulo (M) É o espaço existente em milímetros no diâmetro primitivo para cada 
dente. 
- Diâmetro primitivo (Dp) Corresponde ao diâmetro do círculo de contatos das 
rodas que engrazam. 
 
- Diâmetro externo (De) Corresponde ao diâmetro máximo da roda dentada. 
 
- Diâmetro Interno (Di) Corresponde à medida do Db + 2F. 
 
- Diâmetro da base (Db) É o diâmetro que determina a base do dente e 
corresponde a Dp – 2h2. 
 
- Altura da cabeça do dente (hl) É a medida compreendida entre o De e o Dp, 
sendo considerado igual ao módulo. 
- Altura do pé do dente (h2) É a medida compreendida entre o Dp e o Db. 
 
- Altura de trabalho (ht) É a medida compreendida entre o De e o Di, e é 
considerada como sendo a parte útil do dente. 
- Altura total do dente (H) É a medida compreendida entre o De e o Db e 
equivale a h1 + h2. 
- Folga de trabalho (F) É a distância existente entre as duas rodas quando 
empregadas, ou seja, do Db de uma ao De da outra. 
- Passo (t) É a medida existente na circunferência primitiva entre os centros de 
dois dentes consecutivos. É, portanto, igual ao vão mais a espessura. 
- Espessura do dente (e) É igual a metade do passo ou, seja t/2, nas rodas 
usinadas na máquina fresadora. 
 
- Vão ou cava (V) É a reentrância existente entre dois dentes 
- Número de dentes (z) É o número de dentes total existentes na engrenagem 
- Largura ou comprimento do dente (l) É a distância entre as faces da roda ou 
a espessura do cilindro dentado. 
 
- Distância entre centros (L) 
É a medida existente entre os centros de duas rodas engrazadas. 
 
 
 
 
Índice 
 42 
2.5 Elementos essenciais para fresar engrenagens 
cilíndricas com dentes retos 
 
As engrenagens podem ser produzidas em máquinas especiais 
além das fresadoras. Nas fresadoras, os dentes das engrenagens 
são usinados com fresas de perfil constante também chamada de 
fresas módulo. 
 
 
 
 
Módulo de uma engrenagem é o quociente 
resultante da divisão do diâmetro primitivo pelo 
número de dentes. O módulo é sempre expresso 
em milímetros. Com o módulo, você pode 
calcular quase todas as dimensões de uma 
engrenagem. O módulo é normalizado e 
expresso com números inteiros ou decimais 
muito simples. Veja abaixo a figura de um 
módulo. 
 
 
 
O ângulo de pressão () pode ter 15 ou 20°, conforme o perfil 
da fresa que for utilizada. O mais utilizado é o de 20°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 43 
 
Altura do dente 
Antes de calcular a altura do dente, é preciso saber que ela é 
normalizada como segue: 
 
DIN/ABNT ASA (USA) ISO (UNE 10.016) 
2,166 x m 2,157 x m 2,25 x m 
 
2.6 FORMULÁRIO. 
Passo e módulo 
É fácil entender, que o valor de “” da fórmula apresentada resulta para os 
diâmetros, frações decimais muito inconvenientes para as operações de fresar. A 
fim de evitar tais inconveniências, adotou-se a chamada notação modularia, 
tomando para o passo, um múltiplo de  (t = 1, 2, 3, etc.). A esse 
número inteiro, deu-se o nome de módulo que se designou pela letra “m”; de 
maneira que t = m . . Denominou-se então, sistema de módulo, porque se 
determinam todas as medidas segundo este valor chamado de “módulo”, o qual 
indica quantas vezes 
o valor de  está contido no passo. t = m .  m = t /  
 
Diâmetro primitivo 
Substituindo o valor de (t) na fórmula Dp .  = Z. t, teremos: 
 Dp .  = Z . m .  
 Dp = Z . m 
Como o módulo é um número inteiro, é fácil observar que obteremos também 
números inteiros para os diâmetros primitivos e a distância entre o centros das 
engrenagens calculadas, trazendo grandes vantagens para os cálculos. 
Por outro lado, observando-sea tabela de módulos, notaremos que também há 
módulos fracionários que variam de 25 em 25 centésimos do milímetro (1; 
1.25; 1.50; 1.75; 2; 2.25; etc.), que resultam para os diâmetros, frações 
inconvenientes para as operações nas fresadoras. 
Resolvemos este problema, tomando o número inteiro mais aproximado do 
resultado da divisão do passo (t) por . 
m = t /  = 19 / 3,14 = 6,05mm 
Na tela, veremos que o módulo mais aproximado é o de 6 mm, com um passo 
correspondente a 18,84mm. Calculando então os diâmetros primitivos das 
engrenagens de 70 e 35 dentes, com o módulo 6, teremos: 
Dp = Z. m = 70. 6 = 420 mm 
dp = z . m = 35. 6 = 210 mm 
Índice 
 44 
Número de dentes 
Substituindo na fórmula Dp.  = Z. t, o valor do passo, teremos: 
Dp.  = Z. M.  Z = Dp / m 
As demais proporções da engrenagem e dos dentes deduzem-se do seguinte 
modo: 
Como praticamente tomamos a altura da cabeça do dente igual ao módulo, 
teremos: 
Altura da cabeça do dente (hl) 
hl = m 
Diâmetro externo (De) 
De = Dp + 2 . m 
De = Z . m + 2 . m De = m (Z +2) 
Através desta fórmula podemos deduzir o módulo e veremos mais adiante a sua 
grande importância na prática. m = De/ (Z + 2) 
Diâmetro interno (Di) 
Di = Dp - 2 . m 
Di = Z . m - 2 . m Di = m (Z - 2) 
 
Altura do pé do dente (h2) 
Torna-se um pouco maior que a altura da cabeça do dente (hl), isso para que 
haja uma pequena folga (F), no fundo dos dentes, a fim de permitir um engreno 
livre. 
Na prática, a folga (F) se faz igual a 1/6 . m 
F = 1/6 . m F = 0,166 . m 
Supondo que o módulo seja igual a 6/6, teremos: 
m = 6/6 = hl , isto é, h 1 = m 
h2 = hl + F h2 = 6/6. m +1/6 . m h2 = 7/6 . m 
h2 = 1,166 . m 
Altura total (H) 
H = m + 7/6. m, ou seja: H = 6/6. m + 7/6. m = 13/6. m 
H = 2,166 . m 
h - Espessura do dente (E) 
Nas engrenagens de precisão, faz-se a espessura do dente igual ao vão (v) ou 
cava do dente. Deste modo, teremos para o cálculo da espessura, o seguinte 
desenvolvimento: 
t = e + v fazendo e = v 
t = 2e e = t/2 
Como t = m. , substituindo este valor teremos: e = m. /2 
 e = 1,57 . m 
Comprimento do dente (1) 
Índice 
 45 
O comprimento do dente se calcula de acordo com o esforço a transmitir e a 
resistência do material, mas geralmente toma-se para o comprimento do dente, 
um valor de 6 a 10 
vezes o módulo. l = 6 a 10 . m 
Dica tecnológica 
Segundo a ABNT, a medida do comprimento dos dentes oscila de 
6 a 10 ´ m. É usual trabalhar com a média: 8 m. 
 
Distância entre centros (L) 
A distância entre centros de duas rodas dentadas que se engrenam é designada 
com os valores das respectivas rodas, isto é, 
 
 
Diâmetro da Base (Db) 
Db = Dp – 2h 2 como h2 = 1,166m temos: Db = Dp - 2,332 . m Db 
= (z . m) - 2,332 . m Db = m (z - 2,332) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/)(2/)(
2
)..(
2
zZmLzZm
mzmZdpDp
L 




Índice 
 46 
 
Bibliografia 
 
Bibliografia Básica 
FERRARESI, Dino. Fundamento de usinagem dos metais. São Paulo, Edgard Blücher, 
1977. 
FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO. Mecânica: processos de fabricação. Telecurso 2000 
Profissionalizante. São Paulo: Editora Globo, 1996. v. 2 
FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO. Mecânica: processos de fabricação. Telecurso 2000 
Profissionalizante. São Paulo: Editora Globo, 1996. v. 3 
 
 
 
Bibliografia Complementar 
FISCHER, Ulrich et al. Manual de tecnologia metal mecânica. São Paulo: Edgard 
Blucher, 
2008. 
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Índice 
 47 
Anexos 
TABELAS 
 
 Tabela de cossenos 0 a 45º, com variação de 10 em 10 minutos 
 Grau 0' 10' 20' 30' 40' 50' 60' 
 0 1,000000 0,999996 0,999983 0,999962 0,999932 0,999894 0,999848 
 1 0,999848 0,999793 0,999729 0,999657 0,999577 0,999488 0,999391 
 2 0,999391 0,999285 0,999171 0,999048 0,998917 0,998778 0,998630 
 3 0,998630 0,998473 0,998308 0,998135 0,997953 0,997763 0,997564 
 4 0,997564 0,997357 0,997141 0,996917 0,996685 0,996444 0,996195 
 5 0,996195 0,995937 0,995671 0,995396 0,995113 0,994822 0,994522 
 6 0,994522 0,994214 0,993897 0,993572 0,993238 0,992896 0,992546 
 7 0,992546 0,992187 0,991820 0,991445 0,991061 0,990669 0,990268 
 8 0,990268 0,989859 0,989442 0,989016 0,988582 0,988139 0,987688 
 9 0,987688 0,987229 0,986762 0,986286 0,985801 0,985309 0,984808 
 10 0,984808 0,984298 0,983781 0,983255 0,982721 0,982178 0,981627 
 11 0,981627 0,981068 0,980500 0,979925 0,979341 0,978748 0,978148 
 12 0,978148 0,977539 0,976921 0,976296 0,975662 0,975020 0,974370 
 13 0,974370 0,973712 0,973045 0,972370 0,971687 0,970995 0,970296 
 14 0,970296 0,969588 0,968872 0,968148 0,967415 0,966675 0,965926 
 15 0,965926 0,965169 0,964404 0,963630 0,962849 0,962059 0,961262 
 16 0,961262 0,960456 0,959642 0,958820 0,957990 0,957151 0,956305 
 17 0,956305 0,955450 0,954588 0,953717 0,952838 0,951951 0,951057 
 18 0,951057 0,950154 0,949243 0,948324 0,947397 0,946462 0,945519 
 19 0,945519 0,944568 0,943609 0,942641 0,941666 0,940684 0,939693 
 20 0,939693 0,938694 0,937687 0,936672 0,935650 0,934619 0,933580 
 21 0,933580 0,932534 0,931480 0,930418 0,929348 0,928270 0,927184 
 22 0,927184 0,926090 0,924989 0,923880 0,922762 0,921638 0,920505 
 23 0,920505 0,919364 0,918216 0,917060 0,915896 0,914725 0,913545 
 24 0,913545 0,912358 0,911164 0,909961 0,908751 0,907533 0,906308 
 25 0,906308 0,905075 0,903834 0,902585 0,901329 0,900065 0,898794 
 26 0,898794 0,897515 0,896229 0,894934 0,893633 0,892323 0,891007 
 27 0,891007 0,889682 0,888350 0,887011 0,885664 0,884309 0,882948 
 28 0,882948 0,881578 0,880201 0,878817 0,877425 0,876026 0,874620 
 29 0,874620 0,873206 0,871784 0,870356 0,868920 0,867476 0,866025 
 30 0,866025 0,864567 0,863102 0,861629 0,860149 0,858662 0,857167 
 31 0,857167 0,855665 0,854156 0,852640 0,851117 0,849586 0,848048 
 32 0,848048 0,846503 0,844951 0,843391 0,841825 0,840251 0,838671 
 33 0,838671 0,837083 0,835488 0,833886 0,832277 0,830661 0,829038 
 34 0,829038 0,827407 0,825770 0,824126 0,822475 0,820817 0,819152 
 35 0,819152 0,817480 0,815801 0,814116 0,812423 0,810723 0,809017 
 36 0,809017 0,807304 0,805584 0,803857 0,802123 0,800383 0,798636 
 37 0,798636 0,796882 0,795121 0,793353 0,791579 0,789798 0,788011 
 38 0,788011 0,786217 0,784416 0,782608 0,780794 0,778973 0,777146 
 39 0,777146 0,775312 0,773472 0,771625 0,769771 0,767911 0,766044 
 40 0,766044 0,764171 0,762292 0,760406 0,758514 0,756615 0,754710 
 41 0,754710 0,752798 0,750880 0,748956 0,747025 0,745088 0,743145 
 42 0,743145 0,741195 0,739239 0,737277 0,735309 0,733334 0,731354 
 43 0,731354 0,729367 0,727374 0,725374 0,723369 0,721357 0,719340 
 44 0,719340 0,717316 0,715286 0,713250 0,711209 0,709161 0,707107 
 45 0,707107 0,705047 0,702981 0,700909 0,698832 0,696748 0,694658 
 
Índice 
 48 
 
 
 
Tabela de cossenos 46º a 90º, com variação de 10 em 10 minutos 
 Grau 0' 10' 20' 30' 40' 50' 60' 
46 0,694658 0,692563 0,690462 0,688355 0,6862420,684123 0,681998 
47 0,681998 0,679868 0,677732 0,675590 0,673443 0,671289 0,669131 
48 0,669131 0,666966 0,664796 0,662620 0,660439 0,658252 0,656059 
49 0,656059 0,653861 0,651657 0,649448 0,647233 0,645013 0,642788 
50 0,642788 0,640557 0,638320 0,636078 0,633831 0,631578 0,629320 
51 0,629320 0,627057 0,624789 0,622515 0,620235 0,617951 0,615661 
52 0,615661 0,613367 0,611067 0,608761 0,606451 0,604136 0,601815 
53 0,601815 0,599489 0,597159 0,594823 0,592482 0,590136 0,587785 
54 0,587785 0,585429 0,583069 0,580703 0,578332 0,575957 0,573576 
55 0,573576 0,571191 0,568801 0,566406 0,564007 0,561602 0,559193 
56 0,559193 0,556779 0,554360 0,551937 0,549509 0,547076 0,544639 
57 0,544639 0,542197 0,539751 0,537300 0,534844 0,532384 0,529919 
58 0,529919 0,527450 0,524977 0,522499 0,520016 0,517529 0,515038 
59 0,515038 0,512543 0,510043 0,507538 0,505030 0,502517 0,500000 
60 0,500000 0,497479 0,494953 0,492424 0,489890 0,487352 0,484810 
61 0,484810 0,482263 0,479713 0,477159 0,474600 0,472038 0,469472 
62 0,469472 0,466901 0,464327 0,461749 0,459166 0,456580 0,453990 
63 0,453990 0,451397 0,448799 0,446198 0,443593 0,440984 0,438371 
64 0,438371 0,435755 0,433135 0,430511 0,427884 0,425253 0,422618 
65 0,422618 0,419980 0,417338 0,414693 0,412045 0,409392 0,406737 
66 0,406737 0,404078 0,401415 0,398749 0,396080 0,393407 0,390731 
67 0,390731 0,388052 0,385369 0,382683 0,379994 0,377302 0,374607 
68 0,374607 0,371908 0,369206 0,366501 0,363793 0,361082 0,358368 
69 0,358368 0,355651 0,352931 0,350207 0,347481 0,344752 0,342020 
70 0,342020 0,339285 0,336547 0,333807 0,331063 0,328317 0,325568 
71 0,325568 0,322816 0,320062 0,317305 0,314545 0,311782 0,309017 
72 0,309017 0,306249 0,303479 0,300706 0,297930 0,295152 0,292372 
73 0,292372 0,289589 0,286803 0,284015 0,281225 0,278432 0,275637 
74 0,275637 0,272840 0,270040 0,267238 0,264434 0,261628 0,258819 
75 0,258819 0,256008 0,253195 0,250380 0,247563 0,244743 0,241922 
76 0,241922 0,239098 0,236273 0,233445 0,230616 0,227784 0,224951 
77 0,224951 0,222116 0,219279 0,216440 0,213599 0,210756 0,207912 
78 0,207912 0,205065 0,202218 0,199368 0,196517 0,193664 0,190809 
79 0,190809 0,187953 0,185095 0,182236 0,179375 0,176512 0,173648 
80 0,173648 0,170783 0,167916 0,165048 0,162178 0,159307 0,156434 
81 0,156434 0,153561 0,150686 0,147809 0,144932 0,142053 0,139173 
82 0,139173 0,136292 0,133410 0,130526 0,127642 0,124756 0,121869 
83 0,121869 0,118982 0,116093 0,113203 0,110313 0,107421 0,104528 
84 0,104528 0,101635 0,098741 0,095846 0,092950 0,090053 0,087156 
85 0,087156 0,084258 0,081359 0,078459 0,075559 0,072658 0,069756 
86 0,069756 0,066854 0,063952 0,061049 0,058145 0,055241 0,052336 
87 0,052336 0,049431 0,046525 0,043619 0,040713 0,037806 0,034899 
88 0,034899 0,031992 0,029085 0,026177 0,023269 0,020361 0,017452 
89 0,017452 0,014544 0,011635 0,008727 0,005818 0,002909 0,000000 
90 0,000000 
-
0,002909 
-
0,005818 
-
0,008727 
-
0,011635 
-
0,014544 
-
0,017452 
 
Índice 
 49 
 
 
 
Tabela de senos 0 a 45º, com variação de 10 em 10 minutos 
 Grau 0' 10' 20' 30' 40' 50' 60' 
0 0,000000 0,002909 0,005818 0,008727 0,011635 0,014544 0,017452 
1 0,017452 0,020361 0,023269 0,026177 0,029085 0,031992 0,034899 
2 0,034899 0,037806 0,040713 0,043619 0,046525 0,049431 0,052336 
3 0,052336 0,055241 0,058145 0,061049 0,063952 0,066854 0,069756 
4 0,069756 0,072658 0,075559 0,078459 0,081359 0,084258 0,087156 
5 0,087156 0,090053 0,092950 0,095846 0,098741 0,101635 0,104528 
6 0,104528 0,107421 0,110313 0,113203 0,116093 0,118982 0,121869 
7 0,121869 0,124756 0,127642 0,130526 0,133410 0,136292 0,139173 
8 0,139173 0,142053 0,144932 0,147809 0,150686 0,153561 0,156434 
9 0,156434 0,159307 0,162178 0,165048 0,167916 0,170783 0,173648 
10 0,173648 0,176512 0,179375 0,182236 0,185095 0,187953 0,190809 
11 0,190809 0,193664 0,196517 0,199368 0,202218 0,205065 0,207912 
12 0,207912 0,210756 0,213599 0,216440 0,219279 0,222116 0,224951 
13 0,224951 0,227784 0,230616 0,233445 0,236273 0,239098 0,241922 
14 0,241922 0,244743 0,247563 0,250380 0,253195 0,256008 0,258819 
15 0,258819 0,261628 0,264434 0,267238 0,270040 0,272840 0,275637 
16 0,275637 0,278432 0,281225 0,284015 0,286803 0,289589 0,292372 
17 0,292372 0,295152 0,297930 0,300706 0,303479 0,306249 0,309017 
18 0,309017 0,311782 0,314545 0,317305 0,320062 0,322816 0,325568 
19 0,325568 0,328317 0,331063 0,333807 0,336547 0,339285 0,342020 
20 0,342020 0,344752 0,347481 0,350207 0,352931 0,355651 0,358368 
21 0,358368 0,361082 0,363793 0,366501 0,369206 0,371908 0,374607 
22 0,374607 0,377302 0,379994 0,382683 0,385369 0,388052 0,390731 
23 0,390731 0,393407 0,396080 0,398749 0,401415 0,404078 0,406737 
24 0,406737 0,409392 0,412045 0,414693 0,417338 0,419980 0,422618 
25 0,422618 0,425253 0,427884 0,430511 0,433135 0,435755 0,438371 
26 0,438371 0,440984 0,443593 0,446198 0,448799 0,451397 0,453990 
27 0,453990 0,456580 0,459166 0,461749 0,464327 0,466901 0,469472 
28 0,469472 0,472038 0,474600 0,477159 0,479713 0,482263 0,484810 
29 0,484810 0,487352 0,489890 0,492424 0,494953 0,497479 0,500000 
30 0,500000 0,502517 0,505030 0,507538 0,510043 0,512543 0,515038 
31 0,515038 0,517529 0,520016 0,522499 0,524977 0,527450 0,529919 
32 0,529919 0,532384 0,534844 0,537300 0,539751 0,542197 0,544639 
33 0,544639 0,547076 0,549509 0,551937 0,554360 0,556779 0,559193 
34 0,559193 0,561602 0,564007 0,566406 0,568801 0,571191 0,573576 
35 0,573576 0,575957 0,578332 0,580703 0,583069 0,585429 0,587785 
36 0,587785 0,590136 0,592482 0,594823 0,597159 0,599489 0,601815 
37 0,601815 0,604136 0,606451 0,608761 0,611067 0,613367 0,615661 
38 0,615661 0,617951 0,620235 0,622515 0,624789 0,627057 0,629320 
39 0,629320 0,631578 0,633831 0,636078 0,638320 0,640557 0,642788 
40 0,642788 0,645013 0,647233 0,649448 0,651657 0,653861 0,656059 
41 0,656059 0,658252 0,660439 0,662620 0,664796 0,666966 0,669131 
42 0,669131 0,671289 0,673443 0,675590 0,677732 0,679868 0,681998 
43 0,681998 0,684123 0,686242 0,688355 0,690462 0,692563 0,694658 
44 0,694658 0,696748 0,698832 0,700909 0,702981 0,705047 0,707107 
45 0,707107 0,709161 0,711209 0,713250 0,715286 0,717316 0,719340 
 
 
Índice 
 50 
 
 
 
 
Tabela de senos 46º a 90º, com variação de 10 em 10 minutos 
 Grau 0' 10' 20' 30' 40' 50' 60' 
46 0,719340 0,721357 0,723369 0,725374 0,727374 0,729367 0,731354 
47 0,731354 0,733334 0,735309 0,737277 0,739239 0,741195 0,743145 
48 0,743145 0,745088 0,747025 0,748956 0,750880 0,752798 0,754710 
49 0,754710 0,756615 0,758514 0,760406 0,762292 0,764171 0,766044 
50 0,766044 0,767911 0,769771 0,771625 0,773472 0,775312 0,777146 
51 0,777146 0,778973 0,780794 0,782608 0,784416 0,786217 0,788011 
52 0,788011 0,789798 0,791579 0,793353 0,795121 0,796882 0,798636 
53 0,798636 0,800383 0,802123 0,803857 0,805584 0,807304 0,809017 
54 0,809017 0,810723 0,812423 0,814116 0,815801 0,817480 0,819152 
55 0,819152 0,820817 0,822475 0,824126 0,825770 0,827407 0,829038 
56 0,829038 0,830661 0,832277 0,833886 0,835488 0,837083 0,838671 
57 0,838671 0,840251 0,841825 0,843391 0,844951 0,846503 0,848048 
58 0,848048 0,849586 0,851117 0,852640 0,854156 0,855665 0,857167 
59 0,857167 0,858662 0,860149 0,861629 0,863102 0,864567 0,866025 
60 0,866025 0,867476 0,868920 0,870356 0,871784 0,873206 0,874620 
61 0,874620 0,876026 0,877425 0,878817 0,880201 0,881578 0,882948 
62 0,882948 0,884309 0,885664 0,887011 0,888350 0,889682 0,891007 
63 0,891007 0,892323 0,893633 0,894934 0,896229 0,897515 0,898794 
64 0,898794 0,900065 0,901329 0,902585 0,903834 0,905075 0,906308 
65 0,906308 0,907533 0,908751 0,9099610,911164 0,912358 0,913545 
66 0,913545 0,914725 0,915896 0,917060 0,918216 0,919364 0,920505 
67 0,920505 0,921638 0,922762 0,923880 0,924989 0,926090 0,927184 
68 0,927184 0,928270 0,929348 0,930418 0,931480 0,932534 0,933580 
69 0,933580 0,934619 0,935650 0,936672 0,937687 0,938694 0,939693 
70 0,939693 0,940684 0,941666 0,942641 0,943609 0,944568 0,945519 
71 0,945519 0,946462 0,947397 0,948324 0,949243 0,950154 0,951057 
72 0,951057 0,951951 0,952838 0,953717 0,954588 0,955450 0,956305 
73 0,956305 0,957151 0,957990 0,958820 0,959642 0,960456 0,961262 
74 0,961262 0,962059 0,962849 0,963630 0,964404 0,965169 0,965926 
75 0,965926 0,966675 0,967415 0,968148 0,968872 0,969588 0,970296 
76 0,970296 0,970995 0,971687 0,972370 0,973045 0,973712 0,974370 
77 0,974370 0,975020 0,975662 0,976296 0,976921 0,977539 0,978148 
78 0,978148 0,978748 0,979341 0,979925 0,980500 0,981068 0,981627 
79 0,981627 0,982178 0,982721 0,983255 0,983781 0,984298 0,984808 
80 0,984808 0,985309 0,985801 0,986286 0,986762 0,987229 0,987688 
81 0,987688 0,988139 0,988582 0,989016 0,989442 0,989859 0,990268 
82 0,990268 0,990669 0,991061 0,991445 0,991820 0,992187 0,992546 
83 0,992546 0,992896 0,993238 0,993572 0,993897 0,994214 0,994522 
84 0,994522 0,994822 0,995113 0,995396 0,995671 0,995937 0,996195 
85 0,996195 0,996444 0,996685 0,996917 0,997141 0,997357 0,997564 
86 0,997564 0,997763 0,997953 0,998135 0,998308 0,998473 0,998630 
87 0,998630 0,998778 0,998917 0,999048 0,999171 0,999285 0,999391 
88 0,999391 0,999488 0,999577 0,999657 0,999729 0,999793 0,999848 
89 0,999848 0,999894 0,999932 0,999962 0,999983 0,999996 1,000000 
90 1,000000 0,999996 0,999983 0,999962 0,999932 0,999894 0,999848 
 
 
Índice 
 51 
 
 
 
Tabela de tangentes 0 a 45º, com variação de 10 em 10 minutos 
 Grau 0' 10' 20' 30' 40' 50' 60' 
0 0,000000 0,002909 0,005818 0,008727 0,011636 0,014545 0,017455 
1 0,017455 0,020365 0,023275 0,026186 0,029097 0,032009 0,034921 
2 0,034921 0,037834 0,040747 0,043661 0,046576 0,049491 0,052408 
3 0,052408 0,055325 0,058243 0,061163 0,064083 0,067004 0,069927 
4 0,069927 0,072851 0,075775 0,078702 0,081629 0,084558 0,087489 
5 0,087489 0,090421 0,093354 0,096289 0,099226 0,102164 0,105104 
6 0,105104 0,108046 0,110990 0,113936 0,116883 0,119833 0,122785 
7 0,122785 0,125738 0,128694 0,131652 0,134613 0,137576 0,140541 
8 0,140541 0,143508 0,146478 0,149451 0,152426 0,155404 0,158384 
9 0,158384 0,161368 0,164354 0,167343 0,170334 0,173329 0,176327 
10 0,176327 0,179328 0,182332 0,185339 0,188349 0,191363 0,194380 
11 0,194380 0,197401 0,200425 0,203452 0,206483 0,209518 0,212557 
12 0,212557 0,215599 0,218645 0,221695 0,224748 0,227806 0,230868 
13 0,230868 0,233934 0,237004 0,240079 0,243157 0,246241 0,249328 
14 0,249328 0,252420 0,255516 0,258618 0,261723 0,264834 0,267949 
15 0,267949 0,271069 0,274194 0,277325 0,280460 0,283600 0,286745 
16 0,286745 0,289896 0,293052 0,296213 0,299380 0,302553 0,305731 
17 0,305731 0,308914 0,312104 0,315299 0,318500 0,321707 0,324920 
18 0,324920 0,328139 0,331364 0,334595 0,337833 0,341077 0,344328 
19 0,344328 0,347585 0,350848 0,354119 0,357396 0,360679 0,363970 
20 0,363970 0,367268 0,370573 0,373885 0,377204 0,380530 0,383864 
21 0,383864 0,387205 0,390554 0,393910 0,397275 0,400646 0,404026 
22 0,404026 0,407414 0,410810 0,414214 0,417626 0,421046 0,424475 
23 0,424475 0,427912 0,431358 0,434812 0,438276 0,441748 0,445229 
24 0,445229 0,448719 0,452218 0,455726 0,459244 0,462771 0,466308 
25 0,466308 0,469854 0,473410 0,476976 0,480551 0,484137 0,487733 
26 0,487733 0,491339 0,494955 0,498582 0,502219 0,505867 0,509525 
27 0,509525 0,513195 0,516875 0,520567 0,524270 0,527984 0,531709 
28 0,531709 0,535446 0,539195 0,542956 0,546728 0,550513 0,554309 
29 0,554309 0,558118 0,561939 0,565773 0,569619 0,573478 0,577350 
30 0,577350 0,581235 0,585134 0,589045 0,592970 0,596908 0,600861 
31 0,600861 0,604827 0,608807 0,612801 0,616809 0,620832 0,624869 
32 0,624869 0,628921 0,632988 0,637070 0,641167 0,645280 0,649408 
33 0,649408 0,653551 0,657710 0,661886 0,666077 0,670284 0,674509 
34 0,674509 0,678749 0,683007 0,687281 0,691572 0,695881 0,700208 
35 0,700208 0,704551 0,708913 0,713293 0,717691 0,722108 0,726543 
36 0,726543 0,730996 0,735469 0,739961 0,744472 0,749003 0,753554 
37 0,753554 0,758125 0,762716 0,767327 0,771959 0,776612 0,781286 
38 0,781286 0,785981 0,790697 0,795436 0,800196 0,804979 0,809784 
39 0,809784 0,814612 0,819463 0,824336 0,829234 0,834155 0,839100 
40 0,839100 0,844069 0,849062 0,854081 0,859124 0,864193 0,869287 
41 0,869287 0,874407 0,879553 0,884725 0,889924 0,895151 0,900404 
42 0,900404 0,905685 0,910994 0,916331 0,921697 0,927091 0,932515 
43 0,932515 0,937968 0,943451 0,948965 0,954508 0,960083 0,965689 
44 0,965689 0,971326 0,976996 0,982697 0,988432 0,994199 1,000000 
45 1,000000 1,005835 1,011704 1,017607 1,023546 1,029520 1,035530 
 
Índice 
 52 
Tabela de tangentes 46º a 90º, com variação de 10 em 10 minutos 
 Grau 0' 10' 20' 30' 40' 50' 60' 
46 1,035530 1,041577 1,047660 1,053780 1,059938 1,066134 1,072369 
47 1,072369 1,078642 1,084955 1,091309 1,097702 1,104137 1,110613 
48 1,110613 1,117130 1,123691 1,130294 1,136941 1,143633 1,150368 
49 1,150368 1,157149 1,163976 1,170850 1,177770 1,184738 1,191754 
50 1,191754 1,198818 1,205933 1,213097 1,220312 1,227579 1,234897 
51 1,234897 1,242268 1,249693 1,257172 1,264706 1,272296 1,279942 
52 1,279942 1,287645 1,295406 1,303225 1,311105 1,319044 1,327045 
53 1,327045 1,335108 1,343233 1,351422 1,359676 1,367996 1,376382 
54 1,376382 1,384835 1,393357 1,401948 1,410610 1,419343 1,428148 
55 1,428148 1,437027 1,445980 1,455009 1,464115 1,473298 1,482561 
56 1,482561 1,491904 1,501328 1,510835 1,520426 1,530102 1,539865 
57 1,539865 1,549715 1,559655 1,569686 1,579808 1,590024 1,600335 
58 1,600335 1,610742 1,621247 1,631852 1,642558 1,653366 1,664279 
59 1,664279 1,675299 1,686426 1,697663 1,709012 1,720474 1,732051 
60 1,732051 1,743745 1,755559 1,767494 1,779552 1,791736 1,804048 
61 1,804048 1,816489 1,829063 1,841771 1,854616 1,867600 1,880726 
62 1,880726 1,893997 1,907415 1,920982 1,934702 1,948577 1,962611 
63 1,962611 1,976805 1,991164 2,005690 2,020386 2,035256 2,050304 
64 2,050304 2,065532 2,080944 2,096544 2,112335 2,128321 2,144507 
65 2,144507 2,160896 2,177492 2,194300 2,211323 2,228568 2,246037 
66 2,246037 2,263736 2,281669 2,299843 2,318261 2,336929 2,355852 
67 2,355852 2,375037 2,394489 2,414214 2,434217 2,454506 2,475087 
68 2,475087 2,495966 2,517151 2,538648 2,560465 2,582609 2,605089 
69 2,605089 2,627912 2,651087 2,674621 2,698525 2,722808 2,747477 
70 2,747477 2,772545 2,798020 2,823913 2,850235 2,876997 2,904211 
71 2,904211 2,931888 2,960042 2,988685 3,017830 3,047492 3,077684 
72 3,077684 3,108421 3,139719 3,171595 3,204064 3,237144 3,270853 
73 3,270853 3,305209 3,340233 3,375943 3,412363 3,449512 3,487414 
74 3,487414 3,526094 3,565575 3,605884 3,647047 3,689093 3,732051 
75 3,732051 3,775952 3,820828 3,866713 3,913642 3,961652 4,010781 
76 4,010781 4,061070 4,112561 4,165300 4,219332 4,274707 4,331476 
77 4,331476 4,389694 4,449418 4,510709 4,573629 4,638246 4,704630 
78 4,704630 4,772857 4,843005 4,915157 4,989403 5,065835 5,144554 
79 5,144554 5,225665 5,309279 5,395517 5,484505 5,576379 5,671282 
80 5,671282 5,769369 5,870804 5,975764 6,084438 6,197028 6,313752 
81 6,313752 6,434843 6,560554 6,691156 6,826944 6,968234 7,115370 
82 7,115370 7,268725 7,428706 7,595754 7,770351 7,953022 8,144346 
83 8,144346 8,344956 8,555547 8,776887 9,009826 9,255304 9,514364 
84 9,514364 9,788173 10,078031 10,385397 10,711913 11,059431 11,430052 
85 11,430052 11,82616712,250505 12,706205 13,196883 13,726738 14,300666 
86 14,300666 14,924417 15,604784 16,349855 17,169337 18,074977 19,081137 
87 19,081137 20,205553 21,470401 22,903766 24,541758 26,431600 28,636253 
88 28,636253 31,241577 34,367771 38,188459 42,964077 49,103881 57,289962 
89 57,289962 68,750087 85,939791 114,5887 171,8854 343,7737 
NÃO 
EXISTE 
90 
NÃO 
EXISTE -343,7737 -171,8854 -114,5887 
-
85,939791 
-
68,750087 
-
57,289962 
 
 
FIM