APOSTILA DE GEODESIA E TOPOGRAFIA 2017.02.21 V 5

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS RURAIS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Elementos de Geodésia 
Teoria, exercícios e práticas de campo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jaime Freiberger Junior 
Eno Darci Saatkamp 
Carlito Vieira de Moraes 
 
 
 
 
 
 
SANTA MARIA-RS – BRASIL 
Fevereiro, 2017 
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Ficha catalográfica elaborada por 
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS RURAIS 
 
 
 
Prof. Paulo Afonso Burmann 
Reitor da UFSM 
 
 
 
Paulo Bayard Dias Gonçalves 
Vice-Reitor da UFSM 
 
 
 
 
Prof. Irineo Zanella 
Diretor do CCR/UFSM 
 
 
 
 
Prof. Sandro Luis Petter Medeiros 
Vice-Diretor do CCR/UFSM 
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SUMÁRIO 
 
1. CONCEITOS INTRODUTÓRIOS SOBRE MEDIÇÃO E LEVANTAMENTOS .................................................... 6 
2. FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA .................................................................................................................... 10 
2.1 Aspectos históricos da Geodésia: definição, objetivos e importância ........................................................... 10 
2.2 Superfícies de referência em Geodésia ........................................................................................................ 11 
2.3 Modelo esférico ............................................................................................................................................. 12 
2.3.1 Modelo elipsóidico ................................................................................................................................ 12 
2.3.2 Modelo geoidal ...................................................................................................................................... 12 
2.3.3 Modelo plano ........................................................................................................................................ 12 
2.4 Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal .......................................................................................... 13 
2.5 Sistemas de referência em Geodésia ........................................................................................................... 14 
2.6 Geometria do elipsóide de revolução. ........................................................................................................... 14 
2.6.1 Elipse geradora ..................................................................................................................................... 14 
2.6.2 Elipsóide GRS80 ................................................................................................................................... 16 
2.6.3 Latitude geocêntrica e latitude reduzida ............................................................................................... 17 
2.6.4 Raios de curvatura e seções normais ................................................................................................... 17 
 Raio de curvatura da seção meridiana .................................................................................... 18 
 Raio de curvatura da seção transversal meridiana ................................................................. 18 
 Raio de curvatura de seção α ................................................................................................. 19 
 Outros raios de curvatura ........................................................................................................ 19 
 Seções normais recíprocas ..................................................................................................... 20 
2.7 Sistemas de Coordenadas ............................................................................................................................ 21 
2.7.1 Sistema de coordenadas cartesianas ................................................................................................... 21 
2.7.2 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico ........................................................................... 23 
2.7.3 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsóidico ....................................................................... 23 
2.7.4 Transformação de coordenadas geodésicas ........................................................................................ 25 
2.8 Transporte de Coordenadas.......................................................................................................................... 28 
2.8.1 Transporte de coordenadas no plano ................................................................................................... 28 
2.8.2 Transporte de Coordenadas no Elipsóide ............................................................................................. 30 
 Problema Geodésico Direto (PGD) ......................................................................................... 30 
 Problema Geodésia Inverso (PGI) .......................................................................................... 33 
2.9 Geodésia por Satélites Artificiais ................................................................................................................... 35 
2.9.1 NAVSTAR-GPS .................................................................................................................................... 35 
2.9.2 Métodos de posicionamento pelo GNSS .............................................................................................. 40 
2.9.3 O GNSS ................................................................................................................................................ 42 
3. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TOPOGRAFIA ............................................................................................. 43 
3.1 Definição de Topografia ................................................................................................................................ 43 
3.2 Medição de alinhamentos ............................................................................................................................. 44 
3.3 Medição de distâncias ................................................................................................................................... 46 
3.3.1 Processos Diretos ................................................................................................................................. 46 
3.3.2 Processos Indiretos .............................................................................................................................. 49 
 Taqueometria .......................................................................................................................... 49 
 Medição eletrônica de distâncias (MED) ................................................................................. 52 
4. GONIOLOGIA .................................................................................................................................................. 54 
4.1 Medição de ângulos horizontais e verticais ................................................................................................... 54 
4.2 Instrumentação .............................................................................................................................................. 55 
4.3 Conceitos de azimute, contra-azimute e rumo .............................................................................................. 55 
5 
 
 
4.3.1 Azimute .................................................................................................................................................55 
4.3.2 Contra-azimute ..................................................................................................................................... 56 
4.3.3 Rumo .................................................................................................................................................... 57 
4.4 Operações com rumo e azimute ................................................................................................................... 58 
4.4.1 Cálculo do azimute como função das coordenadas cartesianas dos vértices do alinhamento ............. 58 
 Cálculo do azimute como função do rumo .............................................................................. 58 
 Cálculo do azimute pela fórmula de Grafarend ....................................................................... 59 
4.4.2 Transporte de azimute no plano ........................................................................................................... 60 
4.5 Medição de direções horizontais e verticais .................................................................................................. 61 
4.5.1 Medição de direções horizontais: cálculo de ângulos horizontais horários ........................................... 61 
4.5.2 Medição de ângulos verticais ................................................................................................................ 62 
5. PLANIMETRIA ................................................................................................................................................. 64 
5.1 Métodos de levantamento topográfico planimétrico ...................................................................................... 64 
5.1.1 Método das coordenadas polares ......................................................................................................... 64 
5.1.2 Método das coordenadas bipolares ...................................................................................................... 65 
5.1.3 Método da poligonação ......................................................................................................................... 66 
 Linhas poligonais abertas ........................................................................................................ 66 
 Linhas poligonais fechadas ..................................................................................................... 67 
5.2 Medida de superfície no plano topográfico .................................................................................................... 69 
5.2.1 Área de triângulos ................................................................................................................................. 69 
5.2.2 Área de polígonos por coordenadas polares ........................................................................................ 70 
5.2.3 Processo das coordenadas (fórmula dos trapézios segundo Gauss) ................................................... 72 
5.3 Cálculo de cadernetas topográficas .............................................................................................................. 73 
5.3.1 Cálculo em linha poligonal aberta ......................................................................................................... 73 
5.3.2 Cálculo em linha poligonal fechada (polígono) ..................................................................................... 73 
5.3.3 Desenho técnico topográfico ................................................................................................................ 75 
6. ALTIMETRIA .................................................................................................................................................... 78 
6.1 Levantamento Topográfico Altimétrico .......................................................................................................... 79 
6.2 Métodos gerais de nivelamento..................................................................................................................... 79 
6.2.1 Nivelamento Geométrico ...................................................................................................................... 79 
 Nivelamento geométrico simples ............................................................................................ 80 
 Nivelamento geométrico composto ......................................................................................... 81 
 Nivelamento de vértices de poligonais .................................................................................... 82 
6.2.2 Nivelamento Trigonométrico ................................................................................................................. 84 
 Influência da curvatura terrestre .............................................................................................. 87 
 Influência da refração atmosférica .......................................................................................... 88 
 Influência da curvatura terrestre e da refração atmosférica .................................................... 88 
6.3 Noções de Topologia .................................................................................................................................... 89 
6.3.1 Traçado de curvas de nível ................................................................................................................... 90 
6.3.2 Terraplenagem ...................................................................................................................................... 90 
7. DIVISÃO DE ÁREAS E LOCAÇÃO .................................................................................................................. 92 
7.1 Divisão de Glebas ......................................................................................................................................... 92 
7.2 Locação de pontos e alinhamentos ............................................................................................................... 93 
8. PERÍCIAS EM AÇÕES IMOBILIÁRIAS ............................................................................................................ 94 
 
6 
 
 
1. CONCEITOS INTRODUTÓRIOS SOBRE MEDIÇÃO E LEVANTAMENTOS 
No contexto da Geodésia e Topografia, levantar significa obter grandezas geométricas de uma determinada 
porção da superfície terrestre através da medição de elementos existentes no espaço geográfico. Estes elementos 
podem ser feições naturais, e.g., córregos, elementos geológicos e vegetação, ou artificiais, e.g., ruas, edificações, 
pontes e canais. A medição ou levantamento implica na determinação das posições relativas dessas feições que 
a rigor exige a utilização de instrumentos e métodos de medição. Por meio de um levantamento são obtidas as 
medidas ou observações. Geralmente, elas constituem grandezas geométricas de natureza linear (distâncias) e 
angular (direções e ângulos). As principais definições relacionadas a este tema são: 
a) Medição é o processo experimental por meio do qual uma grandeza física é determinada como múltiplo 
ou submúltiplo de uma unidade. É o ato de medir que gera a medida ou observação; 
b) Grandeza de medição é uma grandeza física cujo valor deve ser determinado por meio da medição. 
Tudo o que pode ser medido chama-se grandeza. Exemplos: peso, comprimento de um segmento de reta, tempo, 
ângulo entre dois alinhamentos, diferença de nível entre dois pontos, área, volume, temperatura e pressão 
atmosférica; 
c) Valor da medição (medida ou observação) é o valor de uma grandeza de medição com uma unidade. 
Exemplos: comprimento do segmento entre os pontos A e B de uma reta: 
AB
=42,28 m; o ângulo entre dois 
alinhamentos: 
BOA ˆ
= 38°42’30”; a diferença de nível entre doispontos: ΔHAB=2,956 m. 
As medidas podem resultar de observações diretas sobre a grandeza (por exemplo: um segmento de reta 
medido com trena) ou de observações indiretas, i.e., o valor de uma grandeza obtido via cálculo. A medida é uma 
estimativa numérica do valor de uma grandeza. Mas o quanto este valor é confiável? 
 
Resultado = ± 
 
 
É absolutamente seguro que o valor verdadeiro da grandeza esteja neste intervalo? Se não, quão provável 
é isso? Surge então o conceito de nível de confiança, que é a probabilidade de o valor verdadeiro da grandeza 
estar no intervalo indicado. Em distribuições normais dos erros, o desvio-padrão de 1

 (um sigma) corresponde 
ao nível de confiança de 68%. Neste nível de confiança é comum apresentar o resultado x da grandeza medida 
na forma 
 xx 
1 
onde 
x
 é a média das n observações (medidas) isentas de erros grosseiros e, se possível, de erros sistemáticos, 
e 

 é o desvio-padrão dessas medidas. Considerando que toda medida ou observação possui um erro associado, 
tem-se os erros de medida cujas fontes podem ser: 
a) do meio, causados por variações do ambiente em que se procedeu a medição. Por exemplo, uma trena 
pode ter seu comprimento alterado em função da temperatura do meio; 
b) do instrumental, causados por imperfeições na construção do instrumento e no ajuste inadequado do 
mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida com a verificação e retificação periódica 
do instrumento e com o uso de técnicas de medição; 
c) humana, causados por falha humana decorrente de desatenção ou inabilidade na operação do 
instrumental. 
Os erros de medida decorrentes das fontes citadas são classificados em: 
a) erros grosseiros: geralmente causados por descuido ou distração do observador. Como exemplos, 
leitura equivocada nos instrumentos ou anotação errada de um valor (anotar 196 ao invés de 169), dúvida na 
contagem de lances na medição de uma distância com trena e a identificação incorreta de um alvo. Cabe ao 
estimativa do valor da 
grandeza medida 
estimativa de quão longe o valor verdadeiro 
pode estar da estimativa que temos dele. 
7 
 
 
observador cercar-se de cuidados para evitar esta ocorrência ou detectá-la caso ocorra. A repetição de leituras é 
uma forma de detectar este tipo de erro. 
b) Erros sistemáticos: Ocorrem sempre com certa tendência (sinal e magnitude), podendo, portanto, ser 
fisicamente determinados e matematicamente modelados. Podem ser causados por desajuste no instrumento e 
por influência do meio. Por exemplo, uma trena com muito uso pode ter sofrido extensão e, portanto, indicará um 
valor de medida menor que realmente é; outro exemplo é a influência da temperatura e da pressão atmosférica na 
velocidade de propagação da onda eletromagnética durante o processo de medição eletrônica de distâncias. No 
caso da trena, o desajuste pode ser corrigido, por exemplo, pela aplicação de um valor de correção determinado 
por aferição da trena. Em certos casos, técnicas de medição permitem minimizar erros sistemáticos, por exemplo, 
o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais (seção 6.2.1) em que se posiciona o nível a igual 
distância entre as miras proporcionando minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e a falta de 
paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular. 
c) Erros aleatórios: são de pequena magnitude e ocorrem de forma aleatória. Os erros aleatórios de origem 
instrumental são intrínsecos aos sistemas físicos (mecânicos e eletrônicos) e sua magnitude está associada ao 
grau de qualidade do instrumento (indicada por sua precisão nominal). Os erros aleatórios de origem humana 
estão relacionados ao cuidado e habilidade do operador durante a medição. Como exemplos, a pontaria malfeita 
sobre o alvo durante a leitura de direções e a não-verticalidade da baliza sobre o ponto (alvo) no momento de 
realização da pontaria. Em uma amostra elevada de medidas de uma mesma grandeza física, a distribuição dos 
erros aleatórios tende para a distribuição normal considerando ausência de erros grosseiros. 
Há dois conceitos associados aos erros de medida e que indicam a qualidade da medida: a precisão e a 
acurácia (Moraes, 2001). A precisão expressa o grau de dispersão de um conjunto de medidas entre si, feitas em 
condições semelhantes, de uma mesma grandeza física. 
- A precisão está vinculada aos erros aleatórios (menor dispersão significa maior precisão e vice-versa), e 
seu valor é calculado pelo desvio padrão (

) das medidas. 
- A acurácia expressa o grau de dispersão das medidas de uma grandeza física em relação ao seu 
verdadeiro valor. Está vinculada aos erros aleatório e sistemático. 
Erros sistemáticos fazem com que as medidas sofram um desvio em relação ao seu verdadeiro valor. Na 
prática, geralmente não se conhece o verdadeiro valor de uma medida. Neste caso, ele é considerado como a 
média aritmética do conjunto de medidas daquela grandeza, medidas estas isentas dos erros grosseiros e 
sistemáticos. Suponha a determinação das coordenadas do ponto da interseção central do círculo representativo 
em que diversas observações foram feitas no mesmo ponto. De forma geral, poderão ocorrer as situações 
mostradas na Figura 1. 
 
Figura 1 – Acurácia e precisão 
 
Em geral, toda medida possuirá uma incerteza associada mesmo que depurada de erros aleatórios e 
sistemáticos. Esta incerteza é dada pela precisão da medida. Sabe-se que os instrumentos de medida têm sua 
precisão determinada e indicada pelo fabricante. Por exemplo, na medição de uma distância realizada 
8 
 
 
cuidadosamente com uma trena aferida, graduada em centímetros, a incerteza da medida será na ordem do 
centímetro. Muitas vezes os valores de medida são utilizados como operandos em operações matemáticas, para 
que se determinem outras grandezas em função delas. Nessas operações, é importante que se utilizem os valores 
numéricos com precisão adequada. A forma como a precisão (ou a incerteza) das medidas interfere na precisão 
das grandezas resultantes, calculadas por meio de modelos matemáticos, é dada pela Lei de Propagação das 
Covariâncias, tema estudado na disciplina Ajustamento de Observações Geodésicas. 
Sabe-se que medidas com diferentes precisões promovem degradação dos resultados causada pela 
incerteza da medida menos precisa. Daí a importância de se considerar medidas com precisão homogênea em 
um mesmo projeto ou levantamento. Portanto, em relação à precisão numérica utilizada nos cálculos da presente 
disciplina adotar-se-ão simplificadamente os seguintes critérios: 
No resultado final, a precisão da grandeza resultante será a mesma das medidas de mesma natureza (linear 
ou angular). Por exemplo, coordenadas retangulares terão a mesma precisão das medidas de distância 
(arredonda-se o resultado, se necessário). Não faz sentido, por exemplo, apresentar as coordenadas de um ponto 
com precisão milimétrica ou submilimétrica se as distâncias utilizadas para seu cálculo foram medidas com 
resolução centimétrica. Assim, durante os passos intermediários da solução de um problema, teremos: 
a) para as operações de soma ou subtração, serão usados operandos e resultados com um (e basta um) 
dígito de fração decimal a mais que a precisão desejada no resultado final; e 
b) para as operações de multiplicação ou divisão, serão usados operandos com todos os dígitos 
apresentados pela calculadora (geralmente 9 ou 10 dígitos). 
Exemplo: avaliação das medições do comprimento de uma edificação com uma trena aferida e registro das 
observações ou medidas. A respeito dos dados apresentados no Quadro 1, perguntam-se: 
a) há indício de erro grosseiro em alguma medida? 
b) qual o valor estimado da medidae qual sua incerteza? 
 
Quadro 1 – Registro das observações 
Observação nº Comprimento [m] 
1 13,29 
2 13,28 
3 13,29 
4 13,92 
5 13,27 
6 13,30 
 
Na observação nº4 o valor difere significativamente dos demais valores, provavelmente cometeu-se a 
inversão dos dois últimos dígitos, caracterizando um erro grosseiro. Portanto, essa observação deve ser eliminada 
para não “contaminar” a estimativa da grandeza (comprimento da edificação). E qual o valor estatisticamente mais 
provável do comprimento da edificação e qual sua precisão, ao nível de confiança de 68% (1 sigma)? Conforme 
visto, o resultado é dado na forma da equação 1, e como a trena usada estava aferida, considera-se que as 
medidas registradas contenham erros sistemáticos insignificantes, ou seja, que os valores registrados já estão 
corrigidos desse tipo de erro, caso exista. Portanto, supõe-se que a correção (desvio da média em relação ao valor 
verdadeiro) seja insignificante, ou seja, que o valor a ser estimado é acurado. Da estatística, 
1n
σ
n
1i
2
1





 
2 
9 
 
 
onde 
1
 é o resíduo ou desvio em relação à média da observação i, dada por 
xxii  
3 
e 
x
 é a média das n observações isentas de erro grosseiro. Assim, temos: 
 
Quadro 2 – Estatística de um grupo de observações 
Observação nº Comprimento [m] Resíduo 
1
 
2
1
 
1 13,29 0,004 0,000016 
2 13,28 -0,006 0,000036 
3 13,29 0,004 0,000016 
4 13,92 --- --- 
5 13,27 -0,016 0,000256 
6 13,30 0,014 0,000196 
 
x
=13,286 
 
0,00052
5
0ι
2
1


 
 
Cálculo de um sigma: 
0,011m.
15
0,00052
σ 


 Finalmente: 
0,01m13,29x 
. 
Concluindo, o comprimento da edificação é estimado em 13,29 m com uma incerteza de 1 cm ao nível de 
confiança de 68%. Observar que cada parcela que compõe a resposta foi arredondada para a mesma ordem de 
grandeza das medidas, ou seja, ao centímetro. 
10 
 
 
2. FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA 
2.1 Aspectos históricos da Geodésia: definição, objetivos e importância 
Consta que o termo “geodésia”, do grego , foi usado pela primeira vez por Aristóteles (384-322 
a.C.). Geodésia pode significar divisões (geográficas) da Terra como também o ato de dividir uma porção de terra, 
por exemplo, entre proprietários. A Geodésia é uma Engenharia que trata do levantamento e da representação da 
forma e da superfície da Terra (definição clássica de Helmert) global e parcial, com suas feições naturais e artificiais 
bem como a determinação do campo gravitacional terrestre. 
Dentre os fatos da antiguidade que se tem notícia e que marcaram o desenvolvimento dos estudos 
geodésicos está a comprovação da esfericidade da Terra por Eratóstenes (276-194 a.C.). Matemático, bibliotecário 
e astrônomo grego, ele comprovou pela trigonometria a esfericidade da Terra e mediu com relativa precisão o 
perímetro de sua circunferência. 
Na era moderna, com o Renascimento e a ascensão do Humanismo, houve grande estímulo à pesquisa 
científica e intelectual. A passagem do feudalismo da Idade Média para a Idade Moderna com a ascensão dos 
estados-nação europeus foi marcada pelos “descobrimentos” ou grandes navegações. Esta é a designação dada 
ao período da história que decorreu entre o século XV e o início do século XVII durante o qual os europeus 
exploraram intensivamente o globo terrestre em busca de novas rotas de comércio. Os historiadores geralmente 
referem-se à era dos descobrimentos como as explorações marítimas pioneiras realizadas neste período por 
portugueses e espanhóis, que estabeleceram relações com África, Américas e Ásia, em busca de uma rota 
alternativa para as “Índias”, movida pelo comércio de ouro, prata e especiarias. 
A passagem entre os séculos XVII e XVIII foi marcada pelo Iluminismo, movimento cultural que se 
desenvolveu na Inglaterra, Holanda e França. Nessa época, o desenvolvimento intelectual, que vinha ocorrendo 
desde o Renascimento, deu origem a ideias de liberdade política e econômica, por profundas mudanças na forma 
de pensar, pelas descobertas científicas e tecnológicas e pela Revolução Industrial. Além das ideias iluministas 
que se espalhavam pelo mundo (inclusive no Brasil, com a Inconfidência Mineira), a Europa e América do Norte 
também assistiam a novas descobertas e inventos. O avanço científico dessa época mostrou ao homem 
informações reais quanto à descrição da órbita dos planetas e do relevo da Lua, a descoberta da existência da 
pressão atmosférica e da circulação sanguínea e o conhecimento do comportamento dos espermatozoides, por 
exemplo. O século XVIII é também chamado Século das Luzes. 
A Astronomia foi um dos campos que deu margem às maiores revelações. Seguindo a trilha de estudiosos 
da Renascença, como Nicolau Copérnico, Johann Kepler e Galileu Galilei, o inglês Isaac Newton (1642-1727) 
elaborou um novo modelo para explicar o universo. Auxiliado pelo desenvolvimento da Matemática, que teve em 
Blaise Pascal (1623-1662) um de seus maiores representantes, ele ultrapassou a simples descrição do céu, 
chegando a justificar a posição e a órbita de muitos corpos siderais. Além disso, anunciou ao mundo a lei da 
gravitação universal, que explicava desde o movimento de planetas até a simples queda de uma fruta. Newton foi 
ainda responsável por avanços na área do cálculo e pela decomposição da luz, mostrando que a luz branca, na 
verdade, é composta por sete cores, as mesmas do arco-íris. 
Tanto para o estudo dos corpos celestes como para a observação das minúsculas partes do mundo, foi 
necessário ampliar o campo de visão do homem. Os holandeses encarregaram-se dessa parte descobrindo que 
a justaposição de várias lentes multiplicava a capacidade da visão humana. Tal invento possibilitou a Robert Hooke 
(1635-1703) construir o primeiro microscópio, que ampliava até 40 vezes pequenos objetos (folhas, ferrões de 
abelha, patas de insetos). Este cientista escreveu um livro sobre suas observações e criou o termo célula, hoje 
comum na Biologia. Assim, houve progresso também no estudo do corpo humano com a identificação dos vasos 
11 
 
 
capilares e do trajeto da circulação sanguínea. Descobriu-se também o princípio das vacinas - a introdução do 
agente causador da moléstia no organismo para que este produza suas próprias defesas. 
Na Química, destaca-se Antoine Lavoisier (1743-1794), famoso pela precisão com que realizava suas 
experiências. Essa característica auxiliou-o a provar que, “embora a matéria possa mudar de estado numa série 
de reações químicas, sua quantidade não se altera, conservando-se a mesma tanto no fim como no começo de 
cada operação”. Atribuiu-se a ele a frase "na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se transforma". 
Muitos outros inventores e estudiosos permitiram, por exemplo, a descoberta da eletricidade, a invenção 
da primeira máquina de calcular, a formulação de uma teoria, ainda hoje aceita, para explicar a febre, a descoberta 
dos protozoários e das bactérias. Surgiu a Geologia, a partir da qual se desenvolveu uma teoria que explicava a 
formação da Terra, refutando a versão bíblica da criação do mundo em sete dias. 
Neste período, a questão que envolvia a real forma da Terra ainda não estava resolvida. É nesse contexto 
de descobertas e invenções que se travou um dos grandes debates da época e que estava relacionado à forma 
da Terra ou, mais especificamente, relacionado ao seu achatamento. Essa questão, amplamente discutida no 
início do século XVIII, na Europa continental e na Inglaterra, contrapôs newtonianos e cartesianos. Eles buscaram, 
por diferentes caminhos, provas para solucionar essa polêmica. 
Supunha-se que a Terra era redonda e achatada. No entanto, nãose sabia em torno de qual direção se 
dava este achatamento: se no sentido dos polos ou do equador. Essa discordância estava diretamente ligada às 
diferentes concepções científicas que colocavam em jogo disputas filosóficas e políticas. No século XVIII, dois 
países disputavam a hegemonia mundial em todas as áreas: Inglaterra e França. Os franceses, de modo geral, 
seguiam a linha cartesiana e resolveram formar duas expedições para comprovar a hipótese de achatamento no 
sentido do equador. Uma expedição foi para a Lapônia e outra para Quito, no Equador. Nessas localidades, por 
meio do método da triangulação e pelo quadrante, eles mediram o raio da Terra. 
Essa movimentação científica (preparar expedições, estabelecer unidades de medida, comprovar 
hipóteses, etc.) não pretendia apenas confirmar a forma da Terra, mas, sobretudo ressaltar a importância cultural 
e científica de uma determinada linha de pensamento. 
 No século XIX surge a figura do geodesista alemão Friedrich Robert Helmert, na época presidente do 
escritório central do Instituto Internacional de Medições da Terra em Potsdam. É considerado o pai da Geodésia 
moderna por criar e reunir fundamentos matemáticos e físicos das teorias modernas da Geodésia para a sua 
definição clássica: a ciência que estuda a forma, a dimensão e o campo gravitacional terrestre. Helmert divide a 
Geodésia em Geodésia Superior, composta pela Geodésia Física e Astronômica e pela Geodésia Matemática, e 
Geodésia Inferior, também chamada Topografia ou Geodésia Prática. 
2.2 Superfícies de referência em Geodésia 
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para sua representação que devem 
ser simples, regulares e geométricos, e que mais se aproximem da forma real do globo. Em uma primeira 
aproximação, as irregularidades da superfície terrestre podem ser negligenciadas, reduzindo o problema à 
determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado. Devido a essas irregularidades, adotam-se 
modelos ou superfícies de referência mais simples, regulares e com características geométricas conhecidas que 
permitam a realização de reduções e sirvam de base para cálculos e representações. As superfícies utilizadas em 
levantamentos são o plano topográfico, a esfera, o elipsóide de revolução e o geóide. 
12 
 
 
2.3 Modelo esférico 
Em determinadas aplicações, por exemplo, na Astronomia, a Terra pode ser considerada uma esfera. Um 
ponto localizado na superfície desta esfera pode ser localizado por meio das coordenadas latitude e longitude 
astronômicas. 
2.3.1 Modelo elipsóidico 
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução ou biaxial, figura geométrica regular proposta por 
Newton como a que mais se aproxima da figura da Terra. Esta figura é gerada pela rotação de uma semielipse 
em torno de um de seus eixos, então chamado eixo de revolução. Se o eixo de revolução for o eixo menor, tem-
se um elipsóide achatado. Ao contrário, será um elipsóide alongado. Um elipsóide de revolução é definido por dois 
parâmetros de sua geometria: os semieixos maior e menor, denominados a e b, respectivamente. Também pode 
ser definido por seu semieixo maior, representado por a, e por seu achatamento f, que é a relação matemática 
entre os dois semieixos. Esta definição é a usada tradicionalmente na Geodésia. 
2.3.2 Modelo geoidal 
É definido pelo nível médio dos mares (NMM) em repouso, prolongado através dos continentes. É o modelo 
natural da Terra, ou seja, da forma como ela se apresenta e por isso é o que mais se aproxima da forma da Terra. 
Trata-se de uma superfície irregular e de complexo tratamento matemático. O geóide é definido como uma 
superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível que mais se ajusta ao NMM, que por sua 
vez é estabelecido por uma origem altimétrica denominada datum altimétrico. 
2.3.3 Modelo plano 
Adotado na Topografia, onde não se considera a influência dos erros sistemáticos devidos à curvatura da 
Terra e ao desvio da vertical. Assume-se que a porção de Terra em estudo seja plana. Trata-se de uma 
simplificação, considerada válida dentro de certos limites a fim de facilitar os cálculos topográficos. A este plano, 
denominado plano topográfico local ou superfície de projeção, são lançados os pontos medidos na superfície do 
terreno. As características deste plano são (ABNT, 1994b): 
a) é horizontal, ou seja, é perpendicular à direção vertical naquele local; 
b) possui os eixos cartesianos: 
- das abscissas (coordenadas x), orientado positivamente no sentido leste; 
- das ordenadas (coordenadas y), orientado positivamente no sentido norte; 
- eixo z, quando se determinam informações altimétricas (capítulo 6), pode ser utilizado este terceiro 
eixo, ortogonal ao plano topográfico e com sentido oposto ao do vetor gravidade (ou direção vertical) 
naquele local. Idealmente, este eixo é materializado pelo eixo principal do instrumento quando instalado 
no ponto. 
c) dimensão máxima limitada a 80 km a partir da origem; 
Geralmente, este sistema cartesiano tem origem no ponto origem do levantamento topográfico e o mesmo 
é utilizado como referencial local para determinação das coordenadas dos pontos levantados. As projetantes de 
cada ponto são ortogonais ao plano topográfico. 
13 
 
 
2.4 Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal 
Conforme visto, o geóide é uma superfície equipotencial do campo gravitacional terrestre que mais se 
aproxima do NMM. O geóide serve para a definição da coordenada altitude ortométrica, representada por H, por 
isso diz-se que o geóide é uma superfície de referência das altitudes. A altitude ortométrica (H) de um ponto P 
qualquer na superfície física é a distância contada ao longo da linha vertical do ponto P ao geóide. A vertical do 
lugar, direção tangente à linha vertical é a linha de força do campo da gravidade que passa neste ponto. Ela 
representa a direção do vetor gravidade g e é materializada pelo fio de prumo ou pelo eixo vertical de um teodolito 
nivelado corretamente. A altitude geométrica ou elipsóidica do ponto P, representada por h, é a distância 
contada ao longo da normal ao elipsóide que passa pelo ponto P (Figura 2). 
Foi visto que a superfície de referência em Geodésia é o elipsóide de revolução. Trata-se de uma 
superfície geométrica que se aproxima da forma da Terra, contudo, geralmente não é paralela nem coincide com 
o geóide. Dessa forma, ocorre um desvio entre a normal ao elipsóide, ao longo do qual é medida a altitude 
geométrica (h) e a vertical, ao longo da qual é medida a altitude ortométrica (H). Esta diferença é denominada 
desvio da vertical, representado por θ. A distância de separação entre o elipsóide e o geóide é denominada 
ondulação geoidal ou ondulação do geóide, representada por ∆N. Ela indica a variação do geóide em relação 
ao elipsóide e normalmente oscila de 30 metros, podendo chegar a 100 metros (TORGE, 2001, p. 77). A altitude 
geométrica pode ser convertida em altitude ortométrica por meio da relação: 
NhH  
4 
Figura 2 – Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal 
 
A ondulação geoidal pode ser obtida por diferentes processos, tais como: método astrogeodésico 
(nivelamento astronômico), altimetria celeste, coeficientes do geopotencial (harmônicos esféricos) e rastreio 
(medição de sinais) de satélites artificiais para determinação de perturbações orbitais. No Brasil, a ondulação 
geoidal é disponibilizada pelo IBGE (aplicativo MapGeo). Outra forma de se obter a ondulação geoidal aproximada 
de uma região é por meio do rastreio de uma RN de altitude ortométrica conhecida (capítulo 6). 
14 
 
 
2.5 Sistemas de referência em Geodésia 
Posicionamento consiste na determinação da posição de objetos noespaço em relação a um referencial 
específico convencionado. Assim, georreferenciar um ponto da superfície física terrestre significa associa-lo a um 
referencial especifico denominado sistema geodésico de referência (SGR). Basicamente, o estabelecimento de 
um SGR consiste de duas fases: 
a) Sua concepção ou definição teórica. São estabelecidos: a origem do sistema, o fator de escala, a 
orientação dos eixos e o sólido geométrico de referência entre outros parâmetros. Esta concepção é 
chamada system (sistema). 
b) Sua realização. É a materialização de uma rede de estações com coordenadas determinadas no 
próprio sistema de referência que formará o arcabouço de referência para o posicionamento de mais 
pontos neste referencial. A realização do sistema é chamada frame (arcabouço). 
 
Um sistema de referência é formado por um conjunto de regras que especifica os infinitos pontos no espaço 
por meio de um conjunto de números reais denominados coordenadas. Um dos principais objetivos da Geodésia 
e Topografia é a determinação da posição relativa destes pontos. Fundamental é que seja expressa em um sistema 
de coordenadas, pois os sistemas de coordenadas regulamentam a localização de pontos em superfícies, como 
por exemplo, uma esfera, um elipsóide ou um plano. É com base em determinados sistemas de coordenadas que 
é descrita geometricamente a superfície terrestre. 
Ao se posicionar um ponto, são atribuídas coordenadas que indispensavelmente deverão estar 
referenciadas a um sistema de coordenadas. Existem diversos sistemas, alguns empregados em disciplinas como 
a Geometria e a Trigonometria, que normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou 
tridimensional. 
2.6 Geometria do elipsóide de revolução. 
O elipsóide de revolução foi proposto por Isaac Newton (1643-1727) como figura geométrica fundamental 
para a representação da Terra. Em geometria, revolução significa a rotação de um corpo em volta de um eixo real 
ou imaginário. A rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos gera o elipsóide de revolução, que poderá 
ser oblato se a rotação for dada em torno do semieixo menor e prolato se a rotação for em torno do semieixo 
maior. 
2.6.1 Elipse geradora 
A elipse é definida por dois parâmetros: o semieixo maior a e o semieixo menor b. 
 
15 
 
 
Figura 3 – Elipse 
 
Outros parâmetros fundamentais são derivados a partir da relação matemática entre dois elementos. 
Normalmente, empregam-se os parâmetros a e f para se definir um elipsóide. Denomina-se achatamento polar f 
à razão da diferença entre o semieixo maior e o semieixo menor pelo semieixo maior: 
a
b-a
f  
5 
O valor do achatamento, situado no intervalo 0 ≤ f ≤ 1 indica o quanto o elipsóide se aproxima ou se afasta da 
forma esférica. 
Excentricidade linear E é o segmento que liga o centro ao foco da elipse: 
22222 baEEba  
6 
Figura 4 – Excentricidade linear E 
 
A partir da excentricidade angular α, definem-se as duas excentricidades numéricas: 
f1
a
b
cosa 
 
7 
e
a
E
sena 
 (primeira excentricidade numérica) 
8 
e'
b
E
tana 
 (segunda excentricidade numérica) 
9 
16 
 
 
Relaciona-se a primeira excentricidade numérica com os semieixos a partir da substituição do termo da 
excentricidade linear E na primeira parte da equação 6 
2
22
22222
a
ba
eaeba


 
10 
Da mesma forma, relaciona-se a segunda excentricidade numérica com os semieixos a partir da substituição do 
termo da excentricidade linear E: 
2
22
22222
b
ba
e'be'ba


 
11 
Após manipulações algébricas, deduzem-se as relações matemáticas entre as excentricidades numéricas: 
2
2
2
e'1
e'
e


 
12 
2
2
2
e-1
e
e' 
 
13 
A partir das equações anteriores, obtêm-se as seguintes relações: 
f1
b
e'1ba 2

 
14 
f)a(1e1ab 2  
15 
2
2
e'1
1
1e11f


 
16 
22 f2fe  
17 
2
2
2
f)-(1
e
e' 
 
18 
2.6.2 Elipsóide GRS80 
Existem vários tipos de elipsóides utilizados em diferentes países e continentes. Podem ser elipsóides com 
orientação local – que melhor se adapte à porção de superfície da Terra que se deseja representar – ou com 
orientação global, de origem geocêntrica (centro do globo), que é um modelo generalizado para toda a Terra. 
17 
 
 
Atualmente, o Sistema Geodésico Brasileiro adota como modelo geométrico o elipsóide GRS80 (ingl. Geodetic 
Reference System – 1980), atualmente recomendado pelo IAG, cujos parâmetros são: 
 
Quadro 3 – Parâmetros do elipsóide GRS80 
Semieixo maior a = 6378137 m 
Semieixo menor b = 6356752,3141 m 
Excentricidade linear E = 521854,0097 m 
1ª excentricidade e2 = 0,00669438002290 
2ª excentricidade e’2 = 0,00673949677548 
Achatamento f = 0,00335281068118 
Inverso do achatamento 1/f= 298,257222101 
2.6.3 Latitude geocêntrica e latitude reduzida 
Em questões teóricas de Geodésia, são uteis os conceitos de latitude geocêntrica e latitude reduzida. 
A latitude geocêntrica ψ de um ponto P à superfície do elipsóide é o ângulo formado entre o raio vetor, constituído 
a partir deste ponto ao centro do sólido, e a projeção deste vetor no plano do equador. A latitude reduzida (ou 
paramétrica) β de um ponto P corresponde ao ângulo formado entre o raio vetor, constituído a partir de um ponto 
em um círculo circunscrito ao elipsóide – o qual corresponde à projeção no círculo do ponto P sobre o elipsóide – 
ao centro geométrico deste círculo e a projeção daquele vetor no plano do equador. 
 
Figura 5 – Latitudes geocêntrica e reduzida 
 
 
A relação entre as latitudes geodésica (φ), geocêntrica (ψ) e reduzida (β) é dada por: 
 tanf)-(1f)tanβ-(1tanψ 2. 
19 
2.6.4 Raios de curvatura e seções normais 
Seções normais no elipsóide de revolução são as seções determinadas pela intersecção de qualquer plano 
que contém a normal e a superfície do elipsóide. O raio de curvatura de uma seção normal ao elipsóide depende 
do azimute dessa seção normal. Em cada ponto da superfície existem sempre duas seções normais mutuamente 
18 
 
 
perpendiculares entre si, cujas curvaturas assumem o valor máximo e mínimo. As seções normais que verificam 
o valor máximo e mínimo de curvatura dizem-se seções normais principais, que são: 
- seção meridiana (símbolo: M), gerada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois polos; e 
- seção transversal meridiana ou seção de curvatura do primeiro vertical (símbolo: N), gerada pelo 
plano normal de um ponto, perpendicular ao plano do meridiano, também designada por grande normal. 
 Raio de curvatura da seção meridiana 
Para uma curva qualquer sobre o plano, 
F(x)z 
, o raio de curvatura em um dado ponto desta curva é 
dado por: 
3/2
2
2
2
dx
zd
dx
dz
1
ρ




















. 
20 
Da aplicação desta fórmula ao arco de meridiano chega-se à expressão do raio de curvatura da seção meridiana: 
 
Figura 6 – Raio de curvatura da seção meridiana 
 
 
 
 
322
2
)sine(1
)ea(1
M



 
21
 Raio de curvatura da seção transversal meridiana 
A relação entre o raio de curvatura da seção transversal meridiana e o raio do paralelo é mostrada na 
seguinte. O raio de curvatura de paralelo (símbolo: p) que contém um dado ponto na superfície do elipsóide é 
expresso pelo Teorema de Meusnier, equação 24, onde φ é a latitude do ponto. Substituindo na expressão do raio 
do paralelo, igual a x, vem a equação do raio de curvatura da seção transversal meridiana: 


22sine1
a
N
 
22 
A pequena normal (símbolo: N’) édada por: 
)eN(1N' 2 
23 
19 
 
 
Figura 7 – Raio de curvatura da seção transversal meridiana 
 
 
 
 
 
 
 
 Ncos)Nsin(90ºp 
24
 Raio de curvatura de seção α 
Conforme o teorema de Euler, a curvatura de qualquer secção normal em função das curvaturas das 
secções principais é dada por 
2
2
1
2
ρ
θsin
ρ
θcos
ρ
1

, 
25 
onde ρ é o raio de curvatura arbitrário, ρ1 e ρ2 os raios de curvatura principais máximo e mínimo, respectivamente, 
e θ é o ângulo medido a partir da seção principal de maior raio de curvatura. Como N é normalmente maior que M, 
logo α = 90º – θ e 
M
αcos
N
αsin
R
1 22
α

 
26 
. 
O raio de curvatura para uma seção orientada pelo azimute geodésico Ag assume a forma: 
AgNcosAgMsin
MN
R
22α 

. 
27 
 Outros raios de curvatura 
O raio médio de curvatura, também conhecido como raio de curvatura médio Gaussiano, é definido pelo 
valor médio integral de R ao longo da variação de azimute de 0º a 360º: 


 
2π
0
22
2π
0
α0 dα
αMsinαNcos
MN
2π
1
dαR
2π
1
R
 
28 
MNR0 
 (média geométrica dos raios principais). 
29 
20 
 
 
 Seções normais recíprocas 
As normais relativas a dois pontos sobre a superfície de uma espera convergem para o centro do sólido, 
logo, são coplanares. O mesmo não acontece no caso do elipsóide de revolução salvo no caso particular de ambos 
pertencerem ao mesmo paralelo ou ao mesmo meridiano. Ou seja, duas normais ao elipsóide somente definem 
um plano no caso de pertencerem a pontos situados em mesma latitude ou em mesma longitude. 
Na 
Figura 8, a normal ao elipsóide no ponto A e o ponto A1 determinam um plano interceptador da superfície 
elipsóidica conforme uma seção normal (trajeto AaA1) que não contém a normal de A1. Analogamente, a normal 
de A1 e o ponto A definem um plano do qual resulta outra seção normal (trajeto A1a1A) distinta da primeira. O 
trajeto A1aA1 é a seção normal que contém a normal de A, sendo então chamada direta em relação a A e recíproca 
em relação a A1. O trajeto A1a1A é a seção normal que contém a normal de A1, sendo chamada direta em relação 
a A1 e recíproca em relação a A. 
 
Figura 8 – seções normais recíprocas 
 
Considerando agora três pontos quaisquer na superfície do elipsóide de maneira que formem um triângulo 
elipsóidico. Se fosse possível, de cada um dos vértices P, Q e R visar os outros pontos com um teodolito, o 
triângulo PQR, devido à duplicidade das seções normais, não ficaria determinado de maneira única. 
 
Figura 9 – Definição de linha geodésica 
 
21 
 
 
O menor caminho entre dois pontos na superfície do elipsóide não é representado nem pela seção normal 
direta nem pela recíproca, mas sim por uma curva reversa1 situada entre as duas seções normais, denominada 
geodésica. Ela pode ser definida como uma linha ou curva que liga dois pontos sobre uma determinada superfície, 
pela menor distância, de forma que a normal em cada ponto coincide com a normal à superfície. Exemplos: 
 
a) No plano: a geodésica é uma linha (segmento de reta); 
b) Na esfera: a geodésica é um arco de círculo máximo; 
c) No elipsóide: a geodésica é uma curva reversa situada entre as seções normais direta e recíproca. 
2.7 Sistemas de Coordenadas 
Basicamente, são utilizados dois tipos de sistemas de coordenadas para a definição unívoca da posição 
de pontos: o sistema de coordenadas cartesianas (ou retangulares) e o sistema de coordenadas curvilíneas 
(elipsóidicas ou esféricas), cuja base é a geometria de um elipsóide ou esfera. 
2.7.1 Sistema de coordenadas cartesianas 
No caso bidimensional, utiliza-se normalmente o sistema de coordenadas cartesianas (ou retangulares). 
Trata-se de um sistema de eixos ortogonais no plano denominados eixos coordenados. Este sistema é constituído 
de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si e com origem no cruzamento delas. 
 
Figura 10 – Eixos cartesianos (caso bidimensional) 
 
Um ponto P qualquer é definido neste sistema por meio de duas coordenadas: uma, denominada abscissa 
(coordenada do eixo x) e outra denominada ordenada (coordenada do eixo y). A representação matemática deste 
ponto P com abscissa x e ordenada y é P(x, y) ou P=(x,y). 
No caso tridimensional, ao sistema de eixos coordenados é adicionado um terceiro eixo coordenado Z. São 
mutuamente perpendiculares e se interceptam em um único ponto, que define a origem. A representação de um 
ponto neste sistema de coordenadas é dada por P(x,y,z) ou P=(x,y,z). 
 
1 Curva reversa: é uma curva que não está circunscrita em um plano. 
22 
 
 
Figura 11 – Eixos cartesianos (caso tridimensional) 
 
Em Geodésia, um sistema de coordenadas é denominado global quando sua origem for geocêntrica 
(origem no centro de massa da Terra), e local ou regional quando sua origem estiver deslocada do geocentro. 
 
Figura 12 – Sistema de coordenadas geodésicas cartesianas geocêntrico global 
 
Assim, o sistema de coordenadas geodésicas cartesianas geocêntrico global, utilizado como sistema 
de coordenadas terrestres fundamental, possui as seguintes características: 
a) Possui sua origem no centro de massa (CM) da Terra, incluindo a hidrosfera e a atmosfera; 
b) É fixo à Terra, isto é, gira com ela; 
c) Eixo Z aponta para o polo Norte terrestre convencional médio (sentido positivo); 
d) O plano equatorial contém os eixos X e Y e é perpendicular ao eixo Z; 
e) O plano XZ é gerado pelo meridiano convencional médio de Greenwich; 
f) O eixo Y completa o sistema destrogiro; 
23 
 
 
2.7.2 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico 
Outra forma de se posicionar um ponto P qualquer no espaço tridimensional é por meio de coordenadas 
curvilíneas. Supõe-se que, ao sistema de coordenadas cartesianas, seja sobreposto o sistema de coordenadas 
esféricas. Neste sistema, as coordenadas do ponto P são dadas pelo afastamento r entre a origem do sistema e 
o ponto P, pelo ângulo β formado entre o segmento r e a projeção ortogonal deste segmento sobre o plano xy, e 
pelo ângulo α que a projeção do segmento r sobre o plano xy forma com o semieixo X. Assim, o ponto P, 
determinado pelo terno cartesiano (x,y,z), pode ser expresso também pelas coordenadas esféricas (r,α,β), ou seja, 
P(r,α,β) ou P=(r,α,β), de forma que a relação entre os dois sistemas é obtida pelo vetor posicional 





















β
βα.
βα.
r
z
y
x
sin
cossin
coscos
 
30 
Figura 13 – Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico 
 
2.7.3 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsóidico 
Supõe-se agora que, ao sistema de coordenadas cartesianas, seja sobreposto o sistema de coordenadas 
elipsóidicas. Quando é utilizado o elipsóide como superfície de referência, a determinação das coordenadas de 
um ponto P qualquer de sua superfície acontece de forma semelhante ao sistema de coordenadas cartesianas e 
ao sistema de coordenadas esféricas. A definição dos eixos coordenados é a mesma, contudo a origem do sistema 
cartesiano OXYZ é o centro do elipsóide de semieixo maior a e semieixo menor b que pode ser reescrita com os 
elementos que descrevem o posicionamento geodésico de um ponto P qualquer na superfície terrestre com suas 
coordenadas elipsóidicas definidas por (Figura 14): 
a) Latitude elipsóidica (φ): ângulo que a normal2 forma com sua projeção no plano do equador, sendo 
positiva para o Norte e negativa para o Sul; e 
 
2 Normal: é a reta ortogonal à superfícieelipsóidica que passa pelo ponto em questão. 
24 
 
 
b) Longitude elipsóidica (λ): ângulo diedro formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do 
lugar, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste, tomada como origem o meridiano de 
Greenwich. 
Figura 14 – Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsóidico 
 
Figura 15 – Sistema de coordenadas geodésicas cartesianas e curvilíneas 
 
25 
 
 
Este sistema de coordenadas é denominado sistema de coordenadas geodésicas cartesianas e curvilíneas 
(Figura 15) pois é utilizado para a representação geométrica da Terra, onde: 
- P’: ponto de interceptação da normal de P; 
- φ: latitude geodésica ou elipsóidica. É o ângulo formado entre a normal de P e sua projeção no plano do 
equador. Seus intervalos são: 0 < φ ≤ 90º no hemisfério norte; -90 < φ ≤ 0º no hemisfério sul; e φ = 0º no equador. 
- λ: longitude geodésica. É o ângulo formado entre o plano meridiano médio de Greenwich e o plano meridiano 
do ponto P que contém a normal de P, convencionada positiva para Leste. Seus intervalos são: 
0 < λ ≤ 180º a leste de Greenwich; -180 ≤ λ < 0º a oeste de Greenwich; e λ = 0º em Greenwich. 
- h (segmento PP’): altitude geométrica ou elipsóidica do ponto P. É medida ao longo da normal entre a 
superfície do elipsóide e a superfície topográfica. 
- Segmento P’Q: pequena normal (N’); 
- Segmento P’O’: grande normal (N). 
Assim, o ponto P localizado na superfície física é caracterizado univocamente no sistema de coordenadas 
geodésicas cartesianas pelas suas coordenadas cartesianas (x,y,z), ou seja, P(x,y,z), e no sistema de 
coordenadas geodésicas curvilíneas (φ,λ,h), pelas suas coordenadas elipsóidicas, ou seja, P(φ,λ,h), de forma que 
a relação entre os dois sistemas é obtida pelas equações 
cosλcos)hN(x  
31 
sinλcos)hN(y  
32 
 sin)h'N(z 
33 
, 
onde N’ é calculado a partir da equação 23). 
2.7.4 Transformação de coordenadas geodésicas 
Uma transformação de coordenadas geodésicas é necessária quando se exige: 
a) Expressar as coordenadas de um ponto em um sistema de referência diferente do que foi utilizado 
originalmente para sua obtenção; 
b) Alterar a natureza das coordenadas. 
No Brasil, é relevante o fato de que o sistema de referência oficial está em transição. O SAD-69 (South 
American Datum 1969) é diferente do sistema utilizado pelo NAVSTAR-GPS, o WGS-84 (World Geodetic System 
1984). Aquele é um sistema de referência local pois atende uma região específica do globo terrestre, enquanto 
este é geocêntrico, além das características geométricas do elipsóide empregado em cada sistema. O sistema de 
referência oficial vigente no Brasil desde 2010 é o SIRGAS 2000, geocêntrico e compatível com o WGS-84 para 
finalidades práticas. Entretanto, ainda coexistem com o sistema oficial outros sistemas mais antigos que 
compartilham a necessidade de transformação. 
Uma transformação de coordenadas entre sistemas de referência pode ser conduzida conforme a posição 
e a dimensão relativas dos conjuntos dos eixos cartesianos, de forma que serão necessárias: 
a) Apenas translações dos eixos cartesianos; 
b) Translações e escalonamento dos eixos cartesianos; 
c) Translações, escalonamento e rotações dos eixos cartesianos; 
26 
 
 
O objetivo é aproximar o sistema de referência original ao sistema de referência de destino. Nos casos 
mais usuais da Geodésia, são necessárias apenas translações dos eixos cartesianos, dado o paralelismo dos 
eixos cartesianos dos sistemas de referência normalmente empregados. Na prática, a transformação de 
coordenadas geodésicas pode ser identificada conforme quatro necessidades: 
 
1º caso: transformação de coordenadas cartesianas entre sistemas de referência 
 
O que ocorre é a translação dos eixos cartesianos por meio da adição de parâmetros de transformação 
fornecidos pelo órgão oficial, o IBGE. 






































Δz
Δy
Δx
z
y
x
z
y
x
12 
34 
Os parâmetros de transformação entre SAD69 e SIRGAS2000 encontram-se na resolução R.PR 1∕2005 (de 
25∕02∕2005, folha 7∕7) publicada pelo IBGE: 
 
SAD69 para SIRGAS2000 
 
a1=6.378.160 m ∆X= –67,35 m 
f1=1 ∕ 298,25 ∆Y= +3,88 m 
a2=6.378.137 m ∆Z= –38,22 m 
f2=1 ∕ 298,257222101 
 
SIRGAS2000 para SAD69 
 
a1=6.378.137 m ∆X= +67,35 m 
f1=1 ∕ 298,257222101 ∆Y= –3,88 m 
a2=6.378.160 m ∆Z= +38,22 m 
f2=1 ∕ 298,25 
Onde: 
a1, f1 = parâmetros geométricos do elipsóide do sistema de origem; 
a2, f2 = parâmetros geométricos do elipsóide do sistema de destino; 
(∆X, ∆Y, ∆Z) = parâmetros de transformação entre os sistemas. 
 
►As coordenadas geodésicas cartesianas do marco M031 no referencial SAD-69 são 
X=3.280.714,480m; Y=–4.468.862,882m; e Z=–3.143.523,715m. Transformá-las em SIRGAS2000. 
 
2º caso: transformação de coordenadas elipsóidicas entre sistemas de referência 
 
Podem ser empregadas as equações simplificadas de Molodenskii: 
π
180
ΔzcossinλΔysincosλΔxsensen2ΔafΔfa
M
1
Δ 11111111
1













 
 
35 
π
180
ΔycosλΔxsinλ
cosN
1
Δλ 11
11





 


 
36 
111111
2
11
ΔzsinsinλΔycoscosλΔxcosΔasinΔafΔfaΔN 



  
37 
27 
 
 
Onde: 
Δa
: diferença entre semieixos maior (
12 aa 
); 
f
: diferença entre achatamentos (
12 ff 
); 
Δx
: diferença entre coordenadas x; 
Parâmetros de translação: 
Δy
: diferença entre coordenadas y; 
Δz
: diferença entre coordenadas z; 
1a
: semieixo maior do elipsóide no sistema de referência S1; 
1f
: achatamento do elipsóide no sistema de referência S1; 
1
: latitude geodésica no sistema de referência S1; 
1λ
: longitude geodésica no sistema de referência S1; 
2
: latitude geodésica no sistema de referência S2; 
2λ
: longitude geodésica no sistema de referência S2; 
ΔN
: diferença de ondulação geoidal. 
 
A latitude e a longitude do ponto 2 são dadas pelas equações 38 e 39, respectivamente: 
 Δ12 
38 
Δλλλ 12  
39 
►As coordenadas geodésicas elipsóidicas do marco M031 no referencial SAD-69 são 
φ=29º43’09,31843 S”; λ=53º42’59,72120 W”; h=97,041m. Obtenha as coordenadas em SIRGAS-
2000. 
 
3º caso: transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas elipsóidicas 
 
São usadas as fórmulas de Grafarend para o cálculo da longitude λ e a fórmula de Bowring para o cálculo 
da latitude φ: 
,
x
y
arctansgn(x)sgn(y)
2
1
sgn(y)
2
1
1180λ 








 
 




  360λ0|Rλ
 
40 
 
,
ucosaeyx
usinf)-a(1e'z
arctan
3222
32



 




  9090|R
 
41 
onde: 
b
a
yx
z
tanu
22



 
42 
28 
 
 
. N
a
sinzcosyxh
2
22  , 




 0h|Rh
 
43 
 
►As coordenadas geodésicas cartesianas do marco M031 no referencial SIRGAS-2000 são 
X=3.280.674,231m; Y=–4.468.895,919m; e Z=–3.143.481,711m. Obtenha as coordenadas 
elipsóidicas. 
 
4º Caso: transformação de coordenadas elipsóidicas em coordenadas cartesianas 
 
Podem ser usadas as fórmulas deduzidas da geometria do sistema de coordenada curvilíneas e cartesianas – 
equações 31, 32 e 33. 
 
►As coordenadas geodésicas elipsóidicas do marco M031 no referencial SIRGAS-2000 são 
φ=29º43’11,07185 S”; λ=53º43’01,65573 W”; e h=101,513m. Obtenha as coordenadas 
retangulares. 
2.8 Transporte de Coordenadas 
No contexto daGeodésia e da Topografia, posicionamento refere-se à determinação da localização em 
relação a um referencial. Em outras palavras, conhecer a posição de um ponto significa conhecer suas 
coordenadas relativamente ao referencial. Geralmente um dos principais objetivos de um levantamento Geodésico 
ou topográfico é realizar o posicionamento do(s) ponto(s) levantados. 
O transporte de coordenadas consiste em determinar a posição (coordenadas em relação a um referencial) 
de um ponto, por meio de cálculo, a partir da posição conhecida de outro ponto e da relação geométrica existente 
entre esses dois. De forma geral, a relação geométrica necessária de ser conhecida é a menor distância entre os 
dois pontos sobre a superfície de referência considerada, e a orientação geográfica (azimute) do alinhamento por 
eles formado. Na prática, essas grandezas geométricas são obtidas por meio de levantamento em campo. Quando 
a superfície de referência (modelo de Terra) for o plano topográfico, o transporte será caracterizado por transporte 
topográfico de coordenadas, em que são aplicados conhecimentos básicos da geometria no plano. E quando a 
superfície de referência for curvilínea (a esfera ou o elipsóide), o transporte será caracterizado por transporte 
geodésico de coordenadas, em que são aplicadas equações (e.g. fórmulas de Puissant, fórmulas de Sodano), 
geradas com auxílio da geometria diferencial, que modelam o transporte na superfície curvilínea. O transporte 
topográfico conduzirá às coordenadas cartesianas topocêntricas locais do ponto transportado, e o transporte 
geodésico conduzirá às coordenadas georreferenciadas do ponto. 
2.8.1 Transporte de coordenadas no plano 
Fundamentalmente, a obtenção de coordenadas retangulares no plano cartesiano exige o conhecimento 
dos dados angulares e lineares medidos em campo. O cálculo analítico das coordenadas consiste em locar os 
pontos principais do polígono levantado pelas suas coordenadas referidas a um sistema de eixos coordenados 
retangulares. 
Neste sistema, o eixo dos y é dado pela direção da linha meridiana magnética ou verdadeira, conforme a 
referência dos rumos (seção 4.3.3), e tem o nome de meridiana principal ou de referência. O eixo dos x denomina-
29 
 
 
se paralelo principal e se estende na direção Leste-Oeste. A ordenada de um ponto é a distância desse ponto ao 
paralelo principal e pode ser orientada para Norte ou Sul, enquanto a abscissa de um ponto é a distância desse 
ponto ao meridiano principal. 
A projeção algébrica obtida pela diferença algébrica entre a ordenada do fim e a ordenada da origem de 
uma linha será a projeção desta linha sobre o meridiano principal (denominada y) e do mesmo modo a projeção 
de uma linha sobre o paralelo principal, mas entre as abscissas do fim e da origem dessa linha (denominada x). 
Observa-se que qualquer linha como P1P2, por exemplo, é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos 
são as projeções sobre o meridiano ou paralelo dessa linha. A projeção sobre a meridiana é positiva quando a 
linha se orienta para o norte e é negativa quando alinha se orienta para o sul. 
 
Figura 16 – Transporte de coordenadas no plano 
 
Assim, estas duas expressões permitem avaliar as projeções quando são conhecidos o comprimento e a 
orientação do alinhamento: 
).sen(AzdΔx
d
Δx
)sen(Az
2121
21
21 

 
 
44 
).cos(AzdΔy
d
Δy
)cos(Az
2121
21
21 

  
45 
O transporte de coordenadas cartesianas no plano topográfico como a determinação das coordenadas de 
um ponto P2(x2;y2) a partir de um ponto conhecido P1 é dado por: 
).sen(AzdxxΔxxx 21211212  
46 
).cos(Azdyyyyy 21211212  
47 
►São dadas: coordenadas cartesianas do ponto C=(118,351;4.022,132)m; coordenadas polares 
do deslocamento de C ao ponto 8: 
8Cd
= 1.000,289 e 
8CAz 
=315º59’00,8”. Calcule as 
coordenadas x e y do ponto 8. Elabore um croqui. 
30 
 
 
2.8.2 Transporte de Coordenadas no Elipsóide 
Transportar coordenadas significa “determinar valores de pontos na superfície da Terra em função de uma 
origem”. Para o transporte de coordenadas utilizam-se dois processos denominados: 
 
 1) Problema Geodésico Direto (PGD) ou Primeiro Problema Principal Geodésico; e 
 2) Problema Geodésia Inverso (PGI) ou Segundo Problema Principal Geodésico. 
 Problema Geodésico Direto (PGD) 
O PGD consiste do transporte de coordenadas no elipsóide de revolução quando se conhece as 
coordenadas geodésicas de um ponto P1 do elipsóide (φ1, λ1), a distância s e azimute geodésico Ag para um 
segundo ponto P2, e o objetivo é calcular as coordenadas do segundo ponto. 
 
Figura 17 – Problema Geodésico Direto 
 
 
São realizadas transformações de coordenadas geodésicas em: 
- diferença de latitude geodésica ∆φ; 
- diferença de longitude geodésica ∆λ; e 
- diferença de azimute ∆Ag. 
 Δ12 
48 
Δλλλ 12  
49 
ΔAgAgAg 1221  
50 
Os problemas geodésicos direto e inverso são resolvidos com o emprego das fórmulas de Puissant. São 
adequadas para linhas de até 80 km e oferecem precisão de 1ppm (1mm/km). As equações seguintes consideram 
dois pontos denominados 1 e 2. 
 
31 
 
 
a) Transporte da latitude 
2
2
22
2 f2f
a
ba
e 


 
51 
3/2
1
22
2
1
sene1
e1a
M















 
52 
1/2
1
22
1
sene1
a
N








 
53 
sen1"M
1
B
1 

 
54 
sen1"NM2
tg
C
11
1



 
55 









1
22
11
2
sene12
sen1"sencos3e
D
 
56 
2
1
1
2
N6
tg31
E



 
57 
sen1"M
cosAS
h
1
g1212



 
58 
g12
22
12g12
22
12g1212 AsenSEhAsenSCcosASB"δ  
59 
2
121212 "δD"δ"Δ 


 
 
60 
1212 Δ 
61 
32 
 
 
b) Transporte da longitude 
1/2
2
22
2
sene1
a
N








 
62 
22
1212
12 cosN
senAS
T



 
63 













6
T
N6
S
1
sen1"
T
"Δλ
2
12
2
2
2
1212
12
 
64 
1212 Δλλλ  
65 
c) Transporte do azimute: 
2
21
m

 
66 
1"sencossen
12
1
F 2m
2
m  
67 
3
1212m1212 "ΔλFΔ2
1
secsen"Δλ"γ 




 
68 
180ºγAA g12g21  
69 
São conhecidos: 
- 1 e 1 (latitude e longitude elipsóidicas do ponto 1); 
- Ag12 (azimute geodésico no sentido do ponto 1 ao ponto 2); e 
- S12 (distância geodésica entre os dois pontos). 
Devem ser calculados: 
- 2 e 2 (latitude e longitude elipsóidicas do ponto 2); e 
- Ag21 (azimute geodésico no sentido do ponto 2 ao ponto 1). 
33 
 
 
 Problema Geodésia Inverso (PGI) 
No PGI, são conhecidas as coordenadas geodésicas de dois pontos P1(φ1,λ1) e P2(φ2,λ2) do elipsóide e o 
objetivo é calcular a distância geodésica s entre os pontos. 
 
Figura 18 – Problema Geodésico Inverso 
 
1/2
m
22
m
sene1
a
N








 
70 
2/3
m
22
2
m
)sene(1
)e-a(1
M


 
71 
sen1"M
1
B
m
m 

 
72 









2
γ
AsenSsen1"NcosΔλ"x
12g12mm
 
73 











2
γ
AcosS
B
)cos(0,5Δ
y
12g12
m
12
 
74 
Azimute geodésico : 
y
x
2
γ
Atan
12g










 
75 
      ,
2y
x
arctanysgnxsgn
2
1
xsgn
2
1
1180A
12g
γ





 
 
76 
34 
 
 
em que o valor da primeira parcela efetua a determinação da solução final no quadrante correto; 
















2
Acos
y
2
Asen
x
S
12g12g
12
γγ
 
77 
São conhecidas: 
- 1 e 1 (latitude e longitude elipsóidicas do ponto 1); e 
- 2 e 2 (latitude e longitude elipsóidicas do ponto 2). 
Devem ser calculados: 
- Ag12 (azimute geodésico no sentido do ponto 1 ao ponto 2); e 
- S12 (distância geodésica entre os dois pontos). 
Apresenta-se na Figura 19 a caracterização mais completa e detalhada do transporte de coordenadas 
geodésicas na superfície do elipsóide de referência. 
 
 Prática de campo 1: transporte de coordenadas no elipsóide 
Determinação das coordenadas geodésicas de um ponto no referencial SIRGAS2000 por 
transporte de coordenadas no elipsóide. Emprego de planilha eletrônica (arquivo: 
PGD_PGI_Eno_rev2010.xls) ou programa GNU Octave (arquivo: transport.m). 
 
 
Figura 19 – Transporte de coordenadas geográficas geodésicas na superfície do elipsóide de referência 
 
35 
 
 
2.9 Geodésia por Satélites Artificiais 
Desde a antiguidade o homem precisou se orientar e conhecer seus percursos a fim de ocupar e explorar 
o espaço geográfico. Isso explica a necessidade de encontrar referências no terreno ou em seu horizonte visível. 
Os viajantes marcavam seus caminhos com pedras ou referências que se ocultavam ou desapareciam com a neve 
ou chuvas intensas. Na exploração por oceanos não havia possibilidade de se introduzir registros em alto mar, ou 
seja, estabelecer marcações físicas. As únicas referências eram as estrelas, visíveis somente em noites claras e 
com medições cuidadosas e mesmo assim pouco precisas. 
Na idade média, instrumentos astronômicos tal como o astrolábio serviu para a determinação da altura dos 
astros acima do horizonte, e com base na localização dos astros no céu era realizada a navegação marítima. Mais 
tarde o astrolábio foi simplificado e substituído pelo sextante, instrumento astronômico usado para se determinar 
latitudes e que podia ser utilizado também na medição de ângulos horizontais entre objetos visíveis para o cálculo 
de posições. 
O astrolábio teve seu declínio na segunda metade do século XVII mas sua produção continuou até o século 
XIX, particularmente no mundo árabe. A invenção do relógio de pêndulos e outros instrumentos científicos mais 
acurados, como os telescópios, representou grande avanço nas técnicas de posicionamento e navegação. Mas 
foi o desenvolvimento da eletrônica que possibilitou a concepção dos atuais sistemas de posicionamento baseados 
em sinais de rádio emitidos da superfície terrestre ou de satélites artificiais em órbita. 
Os satélites possibilitam a localização espacial por meio de coordenadas geodésicas associadas a um 
instante de tempo. Ou seja, por si só eles não realizam outra tarefa senão gerar dados de posição e tempo. Esta 
informação é entregue a outras aplicações que geralmente requerem outros elementos de processamento e 
controle, e que, apesar de associados ou mesmo integrados aos sistemas satelitais, são alheios à função 
fundamental do sistema de posicionamento. 
O posicionamento por satélites está presentes em praticamente todas as atividades que requerem 
localização geográfica. O conjunto de sistemas de posicionamento por satélites é denominado GNSS (ingl. Global 
Navigation Satellite Systems) do qual o NAVSTAR-GPS e o GLONASS são os principais sistemas em operação 
ao lado de outros sistemas que estão em desenvolvimento, como o Galileo e o Beidou. 
2.9.1 NAVSTAR-GPS 
O NAVSTAR-GPS (ingl. NAVigation System with Time And Ranging Global Positioning System) é um 
sistema de radionavegação baseado em satélites artificiais que provê informações de posicionamento 
tridimensional, navegação e tempo aos usuários dos chamados simplesmente por receptores GPS. Foi 
desenvolvido a partir de 1973 pelo Departamento de Defesa dos EUA para constituir o principal sistema de 
navegação militar norte-americano. 
Baseia-se em uma constelação de 24 satélites distribuídos em seis planos orbitais com cerca de 20.200 
km de altitude cuja configuração final foi completada em 1995. As órbitas estão arranjadas de modo que em 
qualquer ponto da superfície da Terra e em qualquer instante sejam visíveis no mínimo 4 satélites acima do 
horizonte o que possibilita a determinação de posições tridimensionais sob qualquer condição meteorológica. 
O NAVSTAR-GPS revolucionou as técnicas de comunicação e posicionamento. Graças à tecnologia dos 
circuitos integrados foi possível a construção de receptores cada vez mais compactos, destinados a diversas 
aplicações e em diferentes níveis de precisão. A partir da função básica de posicionamento surgiram outras 
aplicações em diversos segmentos das engenharias como o mapeamento sistemático, a agricultura de precisão, 
as pesquisas científicas envolvendo determinação de referenciais, o monitoramento de estruturas, o estudo das 
placas tectônicas e outras aplicações que ainda não foram descobertas. 
 
36 
 
 
Figura 20 – Ilustração da constelação NAVSTAR-GPS 
 
Apesar da alta tecnologia empregada, o princípio fundamental do posicionamento pelo GNSS é baseado 
na medição do raio de ação dos satélites, ou seja, da distância entre a antena do usuário e as antenas de um 
grupo de satélites. Devido à influência de erros, estas distâncias são denominadas pseudodistâncias e podem 
ser estimadas por meio da equação 
t
S
c

 
78 
As frentes das ondas eletromagnéticas emitidas por cada satélite se propagam no espaço de forma 
semelhante às ondas formadas por uma pedra atirada na superfície de um lago (entretanto, ondas 
eletromagnéticas se propagam tridimensionalmente). Assumindo que em um determinado instante a posição dos 
satélites nas órbitas sejam conhecidas, e que estas coordenadas tridimensionais definem cada qual o centro de 
uma esfera cujo raio é a distância até o receptor. A posição do receptor será dada pela intersecção de três esferas 
(frentes de onda) no espaço, que define um único ponto na superfície terrestre exatamente onde o usuário está 
com o receptor (Figura 21). 
Para o cálculo da distância receptor-satélite em um determinado momento, o sistema utiliza a determinação 
do tempo que leva o sinal emitido pelo satélite para sensibilizar a antena do receptor posicionado na superfície 
terrestre. No exato instante em que o sinal foi gerado no satélite uma cópia deste código também é gerada no 
receptor (Figura 22). Ao receber o sinal do satélite, o receptor compara este sinal com a réplica gerada 
internamente e por meio de correlação do código obtém-se a defasagem entre os sinais, que corresponde ao 
tempo de propagação do sinal. Considerando a velocidade das ondas eletromagnéticas de aproximadamente 
300.000 km/s, compreende-se a necessidade de os intervalos de tempo serem medidos com extrema precisão a 
fim de que a distância seja calculada com erro de pequena magnitude. E pelo fato de haver erros na medida da 
distância devido às imprecisões – principalmente dos relógios – a distância receptor-satélite calculada não 
corresponde à distância geométrica verdadeira e por isso ela é denominada pseudodistância. 
Os códigos pseudorandômicos utilizados pelo NAVSTAR-GPS são uma genial invenção da engenharia de 
telecomunicações. Trata-se de um conjunto complexo de códigos digitais e aparentam ser um sinal de ruído, por 
isso denominados PRN (ingl. Pseudo-Random Noise), que se repetem mil vezes por segundo. Com eles é possível 
captar sinais extremamente fracos para comunicação de dados de modo inequívoco o que torna o sistema robusto 
e prático pois não exige receptor equipado