Pontes 2018

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Pontes I
TC Ana Maria
Disciplina Pontes I
Objetivos:
Projetar e calcular superestrutura de pontes em concreto armado 
Fornecer conhecimentos sobre tipos de estruturas de pontes
Complementar conhecimentos de análise estrutural
Complementar procedimentos de dimensionamento
Disciplina Pontes I
Referências bibliográficas: 
livro texto: Projeto e Cálculo de Pontes em Concreto Armado. Notas de aula do Prof. Antônio Carlos de Areias Neto - Volume I
bibliografia complementar:
Pfeil, W. – Pontes em Concreto Armado, Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1979.
Manual de Projetos de Obras de Arte Especiais, DNER, 68/100, 1996
Linhas de Influência para vigas contínuas. George Anger;
Tabelas para o cálculo de lajes de pontes – Rüsch
NBR 8681:2004. Ações e Segurança nas Estruturas. Procedimento.
NBR7189:1985. Cargas móveis para Projeto Estrutural e Obras Ferroviárias.
Disciplina Pontes I
Referências bibliográficas: 
bibliografia complementar (cont.):
NB-6:1982. Carga móvel em Ponte Rodoviária e Passarela de Pedestre.
NBR 7187:2003. Projeto de Pontes de Concreto Armado e Protendido.
NBR 6118:2014. Projeto de Estruturas de Concreto. Procedimento. 
Forças devidas ao vento em edificações. NBR 6123:1988.
Programa de Análise Estrutural. VIGACON.
Mendes, L. C. – Pontes, EdUFF, Niterói, Rio de Janeiro, 2003.
Disciplina Pontes I
Avaliação de Aprendizagem: 
MVE (29 Mai) = 1ª VE (trabalho – 23/02) x 10% + 2ª VE (trabalho – 17 Mai) x 60% + 3ª VE (24 Mai) x 30% 
VC (02 Abr a 13 Abr)
VF (04 Jun a 15 Jun)
Conceitos Gerais
Obras de arte 
Correntes
Passagem superior
Passagem inferior
Drenagem de vias (bueiros ou galerias)
Não correntes ou especiais
Ponte
Viaduto
Passarela
Túnel
1ª aula
Conceitos Gerais
Definições
Ponte  Obra destinada à transposição de obstáculos à continuidade do leito normal de uma via, braços de mar, vales, outras vias etc.
Viaduto  Ponte para transposição de vales, outras vias ou obstáculos em geral não constituídos por água.
Pontilhão  Ponte de pequeno vão (até 10 metros)
Elementos constituintes: infraestrutura, mesoestrutura e superestrutura 
Infraestrutura (fundação)  parte da ponte por meio da qual os esforços recebidos da mesoestrutura são transmitidos ao terreno de implantação da obra, rocha ou solo (blocos, sapatas, estacas, tubulões)
Conceitos Gerais 
Mesoestrutura (aparelhos de apoio, pilares, encontros)  elemento que recebe os esforços da superestrutura e os transmite à infraestrutura, em conjunto com os esforços recebidos diretamente de outras forças solicitantes da ponte, tais como pressões de vento e água em movimento 
Superestrutura (lajes e vigas principais e secundárias)  elemento de suporte imediato do estrado, que constitui a parte útil da obra	
Conceitos Gerais 
encontro
pilar
fundação
Conceitos Gerais
Elementos da seção transversal
utilização em caso de emergência
proteção aos veículos
tráfego de pedestres
proteção ao pedestre
Conceitos Gerais
Elementos da seção longitudinal
Conceitos Gerais
Encontros
mesoestrutura ou infraestrutura
receber empuxo dos aterros de acesso e evitar a transmissão aos demais elementos da ponte
imprescindíveis em algumas pontes, mas podem ser dispensados em viadutos e em pontes cujos aterros de acesso não apresentam perigo de erosão pelo curso d’água (estrado com extremos em balanço e pilares extremos sujeitos a empuxo dos aterros de acesso)
Encontro com aba lateral
Encontro aliviado com aba lateral
Encontro aliviado com aba lateral
Encontro sobre estacas
Encontro Ponte rio Tocantins – Tucuruí - PA
Conceitos Gerais
Superestrutura com extremos em balanço e pilares extremos sujeitos a empuxo dos aterros de acesso)
cortina
cortina
cortina
cortina
Cortina
Cortina
Conceitos Gerais
Placa de transição
usual nas pontes em balanço para atenuar o impacto do veículo à entrada da ponte (recalque do aterro)
eliminar diferenças bruscas de nível existentes entre estrutura de concreto da ponte e pavimento das estradas (recalques do aterro, na entrada da obra
suavizar a entrada dos veículos na estrutura da ponte 
Conceitos Gerais 
Viadutos de acesso
A transposição de um rio situado em um vale muito aberto requer, às vezes, além da construção da ponte, a construção de obras de acesso que podem ser constituídas por aterros ou por viadutos de acesso
Viadutos de acesso
Conceitos Gerais
Viadutos de meia encosta ou muro de arrimo
Nas estradas constituídas por encostas de grande inclinação transversal
grande volume de aterro
dificuldade de manutenção de sua estabilidade
economia e segurança  construção
muros de arrimo ou viadutos de meia encosta
Conceitos Gerais
Bueiros ou galerias
São obras completamente ou parcialmente enterradas, que
fazem parte do sistema de drenagem das vias 
ou são obras destinadas à passagens inferiores
Classificação das Pontes
Classificação quanto à finalidade
rodoviárias
ferroviárias
passarelas (para pedestres)
para suporte de tubulações para água esgoto, gás, óleo
aeroviárias (pistas de aeroportos)
mistas
vias navegáveis (ponte canal)
aqueduto da Carioca
ponte sobre rio Elba, Alemanha, 2003
Classificação das Pontes
Classificação quanto ao material de construção
pontes de madeira
ponte em material compósito
ponte de pedra
ponte de concreto armado
ponte de concreto protendido
ponte metálica
viaduto ferroviário metálico, França, 1884
protótipo em material compósito, Alemanha, 2002
Classificação das Pontes
Custos das pontes em função do comprimento do vão 
Classificação das Pontes
Quanto ao sistema estrutural da superestrutura:
ponte em laje de alma cheia
ponte em viga reta de alma cheia
 
ponte em viga reta em treliça
Quanto ao sistema estrutural da superestrutura (cont.):
ponte em viga reta em quadros rígidos
ponte em abóboda
ponte em arco
Ponte da Marambaia, Brasil, década de 40
Quanto ao sistema estrutural da superestrutura (cont.):
ponte pênsil
ponte estaiada
Golden Gate, Estados Unidos, 1937
Normandia, França, 1995
Classificação das Pontes
Classificação quanto ao tempo de utilização
ponte permanente
ponte provisória  construídas para serem utilizadas por um período de tempo curto; materiais geralmente empregados: madeira, aço ou material compósito
Ponte Bailey tripla-dupla, Inglaterra, década de 40
Ponte em material compósito, Brasil, 2017
(a)
Classificação das Pontes
Classificação quanto à fixação
ponte sobre apoios fixos
ponte flutuante
Classificação quanto à mobilidade do estrado
ponte com estado móvel  quando greide de uma estrada não pode ser elevado a uma altura suficiente para não obstruir o gabarito da navegação
pontes corrediças ou deslizantes  deslocamento horizontal na direção do eixo longitudinal 
Classificação quanto à mobilidade do estrado (cont.):
ponte levadiça  estrado com movimento de translação no plano vertical
material compósito, Escócia, 2001 
ponte giratória  estrado possui movimento de rotação em torno de um eixo vertical
ponte basculante  vão móvel gira em torno de um eixo horizontal
Classificação das Pontes
Classificação quanto ao comprimento:
galerias ou bueiros (2 a 3 metros)
pontilhões (3 a 10 metros)
pontes (acima de 10 metros)
Classificação quanto ao desenvolvimento planimétrico:
função do ângulo que o eixo da ponte forma com a linha de apoio da superestrutura 
ponte reta
esconsa ou ortogonal
Classificação quanto ao desenvolvimento planimétrico
ponte curva  eixo em plano curvo
Classificação das Pontes
Classificação quanto ao desenvolvimento altimétrico
ponte reta
tabuleiro horizontal
tabuleiro em rampa
ponte curva
tabuleiro côncavo
tabuleiro convexo
Classificação das Pontes
Classificação quanto ao desenvolvimento altimétrico
ponte curva
tabuleiro convexo
Classificação das Pontes
Classificação quanto à seção transversal das pontes em concreto:
ponte em laje
maciça
vazada
ponte em viga
seção T
seção celular
Classificação das Pontes
Classificação quanto à posição do tabuleiro:
tabuleiro superior
tabuleiro intermediário
tabuleiro inferior
Classificação das Pontes
Classificação quanto ao processo de execução das pontes em concreto:
construção com concreto moldado no local  fôrmas apoiadas em cimbramento fixo
construção com elementos pré-moldados
lançamento de vigas pré-moldadas
parcela de concreto moldado no local  fôrmas que se apoiam no concreto pré-moldado  redução cimbramento 
Classificação quanto ao processo de execução das pontes em concreto (cont.)
construção em balanços sucessivos
a partir dos lados dos pilares
concreto moldado no local  elemento anterior serve de fôrma para seguinte
concreto pré-moldado
redução cimbramento 
Classificação quanto ao processo de execução das pontes em concreto (cont.)
construção em balanços sucessivos
uso de estais provisórios 
Classificação quanto ao processo de execução das pontes em concreto (cont.)
Construção em balanços sucessivos
Ponte Rio-Niterói
Classificação quanto ao processo de execução das pontes em concreto (cont.)
Construção em balanços sucessivos
Elevado do Joá
Elevado do Joá
Elementos para elaboração de projeto de uma ponte
Elementos geométricos das pontes
Largura das pontes rodoviárias
As pontes urbanas e rurais devem ter larguras das seções transversais iguais às das vias (ruas, avenidas ou estradas) de modo a não reduzir a capacidade das mesmas
Larguras das pontes ferroviárias com lastro
A largura mínima das pontes ferroviárias deve ser suficiente para acomodar a linha férrea com lastro, devendo-se, ainda, prever refúgios a espaços regulares para segurança do pedestre eventual durante a passagem do comboio.
2ª aula
Seções transversais de pontes rodoviárias
Seções transversais de pontes ferroviárias
Gabaritos das pontes
Conjuntos de espaços livres (largura e altura) que devem apresentar o projeto de uma ponte para atender a diversas finalidades. 
Ponte sobre o rio Paraguai, em Cáceres (BR 70-MT), na qual o gabarito de navegação foi fixado em 35m de largura por 12m de altura, sobre o nível máximo das águas.
Elementos para elaboração de projeto de uma ponte
Elementos topográficos
Planta topográfica do techo em que será implantada a obra, com curvas de nível de metro em metro
Perfil longitudinal do terreno, ao longo do eixo do traçado, numa extensão tal que exceda 50m, em cada extremidade, o comprimento provável da obra
Seções transversais do rio a ser transposto, a cada 5m, com indicação das cotas de fundo
Elementos hidrológicos
Cotas de máxima enchente e estiagem observadas
indicação das épocas, freqüência e período dessas ocorrências
verificação dos meses mais convenientes para a execução das fundações
Direção e velocidade da correnteza
Existência e tipo de erosão do fundo e das margens do rio
Arraste de material sólido
Gabarito de navegação
Espaçamento mínimo entre pilares
Elementos geotécnicos
Estudos preliminares
sondagens à percussão no local da obra de arte; mínimo de 4 furos
Estudos complementares
1 furo de sondagem sob cada fundação
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Viga simplesmente apoiada
insensível a recalques, estrutura isostática
encontros são mais caros do que a ponte  utilização para os seguintes vãos:
pontes rodoviárias  L ≤ 25m
pontes ferroviárias  L ≤ 15m
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Viga simplesmente apoiada com os extremos em balanço
L ≤ 50m
L/5 < a < L/2
a = L/4 é a mais usada
grandes balanços são inadequados
grandes variações de momentos devidos à carga móvel
para carga permanente, balanço reduz momento positivo no meio do vão  melhor distribuição dos esforços 
balanços não são utilizados em pontes ferroviárias
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Viga simplesmente apoiada com os extremos em balanço (cont.)
caso seja impossível aumentar o balanço (por razões construtivas)  usar contra-peso no balanço 
carga concentrada  “pontes compensadas“
economicamente viável
pontes rodoviárias: L = 30m
pontes ferroviárias: L = 25m
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Pontes em viga Gerber
II-24.1  escorar todo o volume compreendido sob o tabuleiro da ponte  difícil, caro, arriscado
II-24.2  viga Gerber
execução em separado dos trechos ABE, EF, FCD 
redução do volume de escoramento a quase 1/3 
redução de forças horizontais nos pilares devidas a variações de temperatura e à retração do concreto
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Pontes em viga Gerber
viga isostática
diagrama de momentos pode ser alterado de acordo com a escolha das articulações
critérios para escolha da posição das articulações:
1o) articulações serão lançadas dentro do maior vão  diminuição esforços solicitantes  melhor distribuição dos esforços
2o) a = 0,15 a 0,20 L2
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Pontes em viga Gerber
dentes Gerber  pontos mais fracos da viga
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Viga contínua
90% das pontes no Brasil; comprimento > 50m
escolha dos vãos (distância entre apoios) depende: tipo de fundação e custos
1o) vãos limites
Llim ≤ 30m, vigas com inércia constante
Llim > 30m, vigas com inércia variável
2o) fundações rasas em sapatas ou blocos
15m ≤ L ≤ 20m e inércia constante
3o) fundações profundas (tubulões até 20m)
20m ≤ L ≤ 30m e inércia constante
4o) fundações profundas (tubulões ~ 40m)
60m ≤ L ≤ 70m e inércia variável
pontes ferroviárias  L ≤ 40m e inércia variável
 
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Viga contínua
1o) L > 100m  juntas de dilatação
atenuar efeitos de retração do concreto e temperatura
vigas principais simétricas
2o) melhor estética  número ímpar de vãos
não deve prevalecer sobre aspecto econômico
3o) viga contínua de 2 vãos:
L1 = L2
a = L/4
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Juntas de dilatação
Viga contínua (cont.)
Viga contínua de 3 vãos
0,6L2 < L1 < 0,8L2
a = L1 /4
se L2 > 60m  L1 = 0,65L2 e inércia variável
Viga contínua (cont.)
Viga contínua de 4 vãos
0,6L2 < L1 < 0,8L2
a = L1 /4
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Pontes em quadros rígidos
vencer grandes vãos
pilares de grande altura e seção vazada (h>20m)
Parâmetros iniciais para projeto de pontes em viga reta de concreto armado
Pontes em arco
eram usadas para vencer grandes vãos
3 tipos básicos
Pontes em arco (cont.)
f
L
se f/L ≥ 1/5  não se pode utilizar articulações
se f/L < 1/5  pode-se utilizar articulações
desvantagens:
empuxos elevados nas fundações
cimbramento caro
dificuldade de construção
Parâmetros iniciais para projeto de pontes de concreto 
Seções transversais mais comuns
Pontes em viga reta
com 2 vigas principais
quando não há restrição de altura da seção
concretagem realizada “in situ” 
H
viga longitudinal
laje
transversina
Pontes em viga reta
Com 2 vigas principais
altura das vigas: L/12 < H < L/10
concreto armado:
inércia constante: Hvão = Hapoio = L/10 a L/12
inércia variável: Hvão = L/15 a L/20; Hapoio = L/12 a L/18
concreto protendido:
inércia constante: Hvão = Hapoio = L/15 a L/17
inércia variável: Hvão = L/30 a L/40; Hapoio
= L/15 a L/20
Pontes em viga reta
3 ou mais vigas (vigas múltiplas)
grelhas
pouco utilizadas  pequenas rigidez à torção do tabuleiro 
Quando se dispõe de pequenas alturas para vigas
L/30 < H < L/20 
H
Ponte em viga reta (cont.)
Seções celulares (viga caixão)
quando se dispõe de pequenas alturas para vigas
L/40 < H < L/20 
grande rigidez à torção
grande esbeltez da estrutura
utilizada para vencer grande vãos
seção estética  muito empregada nas cidades
células múltiplas
unicelular
Ponte em viga reta (cont.)
Caixão unicelular
Seções celulares (cont.)
com altura constante
Lmáx ≤ 50m
L/25 > H > L/30
com altura variável
Lmáx ≥ 60m
no apoio: L/20 > H > L/25
no meio do vão: L/35 > H > L/40
As pontes rodoviárias, quanto à situação geográfica, podem ser divididas em urbanas e rurais
Pontes urbanas
possuem pistas de rolamento com largura igual à da rua ou avenida onde se localiza a obra, e passeios correspondentes às calçadas da rua
Pontes rurais
são construídas com a finalidade de escoar o tráfego das rodovias
possuem pistas de rolamento com a largura total da estrada (pistas + acostamentos)  trecho da ponte apresenta a mesma capacidade e segurança da estrada com acostamento
Cálculo da superestrutura de uma ponte em viga reta contínua com duas vigas principais
I. Memorial descritivo
O exercício trata do dimensionamento de uma ponte classe 45 com 85,45m de extensão, visando a travessia de um rio. A superestrutura é composta de uma laje superior com espessura de 0,30m e largura total de 13m, que se apoia sobre duas vigas principais com 0,40m de largura e 2,10m de altura. 
As vigas apresentam três vãos. Os vãos extremos têm 20,60m de extensão, o vão central tem 25,75m e os balanços nas extremidades têm 5,15m. 
Cálculo da superestrutura de uma ponte em viga reta contínua com duas vigas principais
Memorial descritivo
Há nas extremidades da ponte, lajes de transição com 4,10m de comprimento. As vigas se apoiam sobre pilares octogonais por meio de aparelhos de apoio de neoprene nos pilares extremos e de aparelhos de freyssinet nos pilares intermediários.
Os pilares se apoiam em fundações compostas por tubulões (fundação profunda).
O projeto obedecerá às normas da ABNT NBR 6118, NBR 7187, NBR 7189 e NBR 8681.
Em anexo seguem a memória de cálculo, as formas, cortes, elevações e detalhes sobre o projeto.
O material a ser utilizado é: concreto fck = 18MPa e aço CA-50.
Cálculo da superestrutura de uma ponte em viga reta contínua com duas vigas principais
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Elevação e cortes longitudinais
transversinas
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Seção transversal
Laje 
elemento de suporte direto da pista de rolamento e, eventualmente, dos passeios
podem ser moldadas in situ, ou pré-moldadas
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Espessuras das lajes maciças (NBR 7187:2003)
lajes destinadas à passagem de tráfego ferroviário: h ≥ 20 cm
lajes destinadas à passagem de tráfego rodoviário: h ≥ 15 cm
demais casos: h ≥ 12 cm
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Barreira lateral
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Elevação longitudinal
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Laje de transição
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Laje do tabuleiro
Aparelhos de apoio
Pilares
Alargamento da viga principal
Transversinas
Cortinas e Abas Laterais
abas laterais proporcionam a contenção lateral do aterro
Viga principal
3ª aula
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Laje do tabuleiro
Aparelhos de apoio
Pilares
Alargamento da viga principal
Transversinas
Cortinas e Abas Laterais
abas laterais proporcionam a contenção lateral do aterro
Viga principal
3ª aula
Articulações fixas
1. Freyssinet
2. de chumbo (em desuso)
3. metálica  custo elevado
Articulações móveis
rolo metálico
neoprene  mais usada
neoflon (neoprene + teflon)
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Detalhes dos aparelhos de apoio
Neoprene 
Freyssinet
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Detalhes dos aparelhos de apoio
Neoprene
Cálculo da viga principal
Aparelhos de apoio
Carga estimada (kN/m)
A – ponte classe 30
B – ponte classe 45
Caso I – passeio com largura ≤ 75cm
Caso II – passeio com largura > 75cm 
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Laje do tabuleiro
Aparelhos de apoio
Pilares
Alargamento da viga principal
Transversinas
Cortinas e Abas Laterais
abas laterais proporcionam a contenção lateral do aterro
Viga principal
3ª aula
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Alargamento da viga
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Alargamento da viga
Neoprene 
Freyssinet
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Alargamento da viga no apoio extremo
Alargamento da viga no apoio intermediário
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Laje do tabuleiro
Aparelhos de apoio
Pilares
Alargamento da viga principal
Transversinas
Cortinas e Abas Laterais
abas laterais proporcionam a contenção lateral do aterro
Viga principal
3ª aula
Transversinas
São vigas secundárias, transversais às vigas principais e que nelas se apoiam
Funções:
interligar vigas principais dando-lhe maior rigidez
apoio às lajes, diminuindo o seu vão
diminuir tensões de torção na viga principal
Classificação:
transversina ligada à laje
transversina independente da laje
transversina de entrada ou de extremidade; ou cortina (solidária à laje; serve p/ arrimar aterro)
transversina de apoio
transversina intermediária
Transversinas
Transversinas de apoio e intermediárias  solidárias ou desligadas da laje 
Transversinas
Transversinas nos apoios 
utilizadas como elemento de pórtico sobre pilares individuais para
absorver esforços devidos ao vento
como enrijecimento à torção das vigas principais
Espaçamento máximo entre transversina: 
c ≤ 2e1 (e1 = distância entre eixos das vigas principais)
c ≤ 10m
Espessura mínima
20cm
40cm (pontes nas quais é feita previsão de troca dos aparelhos de neoprene)
Altura ≈ 75% da altura das vigas principais
Transversinas 
Transversinas de extremidade ou cortina
nos apoios extremos
diminuir a carga de impacto sobre a laje e arrimar o aterro
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Laje do tabuleiro
Aparelhos de apoio
Pilares
Alargamento da viga principal
Transversinas
Cortina e abas laterais
abas laterais proporcionam a contenção lateral do aterro
Viga principal
3ª aula
Cortina e aba lateral (ponte em balanço)
Comprimento da aba lateral:
Pré-dimensionamento dos elementos da superestrutura
Laje do tabuleiro
Aparelhos de apoio
Pilares
Alargamento da viga principal
Transversinas
Cortinas e Abas Laterais
abas laterais proporcionam a contenção lateral do aterro
Viga principal
Cálculo da viga principal
Levantamento da carga permanente
Cargas devidas ao peso próprio da superestrutura
Cargas devidas ao peso próprio da laje de transição
Carga devida à previsão de recapeamento
Esquema estrutural (1ª e 2ª hipóteses)
Cálculo dos esforços solicitantes (VIGACON)
Cálculo da viga principal
Levantamento da carga permanente
Resumo das cargas:
Cargas de peso próprio da estrutura
uniformemente distribuídas: g1=84,3kN/m
lineares junto aos apoios:
apoios extremos: g2 = 20,3kN/m
apoios intermediários: g3 = 27,0kN/m
concentradas:
transversinas intermediárias: P1 = 22,5kN
transversinas de apoios extremos: P2 = 39,2kN
transversinas de apoios intermediários: P3 = 23,6kN
cortina de extremidade: P4 = 164,9kN
Cálculo da viga principal
Levantamento da carga permanente
Resumo das cargas:
Cargas devidas ao peso próprio da laje de transição
uniformemente distribuídas: g4 = 80,1kN/m
Carga devida à previsão de recapeamento
uniformemente distribuída: g5 = 12,2kN/m
Cálculo da viga principal
Esquema estrutural
1a Hipótese: placa de transição totalmente apoiada sobre o aterro
2a Hipótese: placa de transição com uma extremidade apoiada no aterro e outra no dente da cortina
Cálculo da viga principal
Uso do programa VIGACON
modelo estrutural
...
modelo estrutural
Uso do programa VIGACON
corrigir A e I
arquivo sem laje de transição
modelo estrutural
Uso do programa VIGACON
corrigir A e I
arquivo com laje de transição
NB-6 - Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre. ABNT 
Definições:
Carga móvel  Sistema de cargas representativo dos valores característicos dos carregamentos provenientes do tráfego a que a estrutura está sujeita em serviço (trem-tipo).
Trens-tipo 
ponte classe 45 – a base do sistema é um veículo-tipo de 450kN de peso total;
ponte classe 30 – a base do sistema é um veículo-tipo de 300kN de peso total;
ponte classe 12 – a base do sistema é um veículo-tipo de 120kN de peso total;
Trens-tipo
Trens-tipo 
Passarelas de pedestres
Classe única, na qual a carga móvel é uma carga uniformemente distribuída (5kN/m2) não majorada pelo coeficiente de impacto.
Veículo, orientado na direção do tráfego, é colocado na posição mais desfavorável para o cálculo de cada elemento, não se considerando a porção do carregamento que provoque a redução de solicitações.
Os guarda-rodas e as barreiras, centrais ou extremos, são verificados para uma força horizontal concentrada de intensidade p = 60kN, aplicada em sua aresta superior, sem coeficiente de impacto.
NB-6
As pontes devem possuir em lugar bem visível, em ambas as cabeceiras, ou em todos os acessos, uma placa com as seguintes indicações:
NBR 7187:2003. Projeto de pontes em concreto armado e protendido
Estados limites de durabilidade da estrutura
Estados limites últimos (ELU)  colapso ou qualquer outra forma de ruína da estrutura  dimensionamento
Estados limites de serviço (ELS)  relacionados com a durabilidade e a boa utilização funcional das estruturas (aparência e conforto)  fadiga
NBR 7187:2003. Projeto de pontes em concreto armado e protendido
Unidades
Sistema Internacional  kN, kN/m, kN/m2, kN/m3, MPa, MN/m2, kN.m, MN.m
Ações a considerar
permanentes
variáveis 
excepcionais
Ações permanentes 
Ações cujas intensidades podem ser consideradas constantes ao longo da vida útil da construção. 
Também são consideradas ações permanentes as que crescem no tempo, tendendo a um valor limite constante.
Ações permanentes na superestrutura
As ações permanentes compreendem:
peso próprio dos elementos estruturais
peso da pavimentação, dos trilhos, dos dormentes, dos lastros, dos revestimentos, das barreiras, dos guarda-rodas e de dispositivos de sinalização
empuxos de terra e de líquidos
as forças de protensão
Ações permanentes na superestrutura 
Peso próprio dos elementos estruturais (viga, laje, transversina, laje de transição)
concreto simples: g  24kN/m3
concreto armado ou protendido: g  25kN/m3
Pavimentação
 g  24kN/m3
previsão de recapeamento:
2kN/m2
Lastro ferroviário, trilhos e dormentes
 g  18kN/m3
lastro deve atingir o nível superior dos dormentes; na ausência de indicações precisas  considera-se carga dos dormentes, trilhos e acessórios  8kN/m por via
Ações permanentes na superestrutura
Empuxo de terra
depende da natureza do empuxo, das características do terreno e inclinações dos taludes
como simplificação, pode ser suposto que o solo não tenha coesão e que não haja atrito entre o terreno e a estrutura, desde que as solicitações assim determinadas estejam a favor da segurança
- g (solo úmido)  18kN/m3;
ângulo de atrito interno  30º
Ações variáveis na superestrutura
Ações de caráter variável que compreendem, entre outras:
cargas móveis
cargas de construção
cargas de vento
variações de temperatura
Ações variáveis na superestrutura
Cargas móveis
Efeito dinâmico das cargas móveis analisado pela teoria da dinâmica das estruturas ou considerando as cargas móveis como cargas estáticas multiplicadas pelo coeficiente de impacto
No caso de pontes com duas vigas principais, é usual se desprezar a resistência à torção das vigas principais passando a funcionar a laje como amplamente apoiada nas vigas principais 
Ações excepcionais
Aquelas cuja ocorrência se dá em situações anormais:
choques de objetos móveis
explosões
fenômenos naturais pouco frequentes (ventos e enchentes catastróficos e sismos)
Verificação somente em construções especiais, à critério do proprietário da obra
Disposição das cargas móveis
Disposição das cargas móveis
Disposição das cargas móveis
Carga em V1 segundo o corte B-B (passa pelo veículo) 
Disposição das cargas móveis
Carga em V1 segundo o corte B-B (passa pelo veículo) 
1
Disposição das cargas móveis
Carga em V1 segundo o corte A-A (não passa pelo veículo)
Cálculo do coeficiente de impacto
Cálculo do valor de l:
 viga biapoiada 
ℓ = distância entre apoios
 viga em balanço
 viga contínua: 
TREM-TIPO atuante em V1
trem-tipo simplificado
Corte que passa pelo veículo
Corte que não passa pelo veículo
Exemplo 1
Coeficiente de impacto:
Cálculo do valor de l:
 viga biapoiada 
ℓ = distância entre apoios
 viga em balanço
 viga contínua: 
Exemplo 1
Coeficiente de impacto:
Exemplo 1 - Corte B-B (passa pelo veículo)
Reações em V1:
R1 = 2 x φ x P x b1 / l1 = 2 x 1,255 x 75 x 7,7/6,2 = 233,8kN 
r2 = φ x p x a2 x b2 / l1 = 1,255 x 5 x 6,2 x 3,1/6,2 = 19,5kN/m
Exemplo 1 - Corte A-A (não passa pelo veículo):
Reações em V1:
r = φ x p x (a1 + a2)2 /2 x l1 = 1,255 x 5 x 9,22 / (2 x 6,2) = 42,8kN
Trem-tipo atuante em V1:
Q = 233,8kN
q1 = r = 42,8kN/m
q2 = r2 = 19,5kN/m
Trem-tipo simplificado:
Q’ = Q – (q1 – q2) x 6 / 3 = 187,2kN
q = q1 = 42,8kN/m
Determinação dos esforços devidos à carga móvel
Traçado da linha de influência + aplicação do trem-tipo
Linha de influência
Carga unitária se deslocando de um extremo a outro da viga da ponte, provoca esforços diferentes em uma seção considerada, em função das diversas posições ocupadas pela carga
Linhas de influência são diagramas que permitem definir as posições mais desfavoráveis do trem-tipo e ainda calcular os respectivos valores das solicitações
Traçados das L.I. 
Sistemas isostáticos 
Exercício 2
Determinar os valores dos momentos fletores máximos positivo e negativo na seção S produzidos pelo seguinte carregamento:
peso próprio: g=10kN/m
carga acidental móvel (trem-tipo):
Adorar gperm = 1,35; 1,0 e gcmóvel = 1,5; 0
Traçados das L.I.
Sistemas hiperestáticos 
Utilização das tabelas de Anger para a obtenção das L.I. de vigas contínuas.
L.I. de Momentos Fletores
L.I de Esforços Cortantes 
L.I de Reações de Apoio
As L.I são apresentadas calculadas para:
décimos de vão 
esforços máximos
Tem-se tabelas para:
vigas sobre 3 apoios (2 vãos) – desde a relação 1:1 (e1: e2) até a relação 1:2,5
vigas sobre 4 apoios (3 vãos) – desde a relação 1:1:1 (e1: e2) até a relação 1:2:1
vigas sobre 5 apoios (4 vãos) – desde a relação 1:0,8:0,8:1 (e1: e2) até a relação 1:2:2:1
Exemplo 2 (continuação do exemplo 1): Obter a L.I. de momento fletor na seção S5 e posicionar o trem-tipo.
4,22
S5
S14
-1,13
0,2575
S25
L.I. momentos fletores vãos
Exemplo 2 (continuação do exemplo 1): Obter a L.I. de momento fletor na seção S5 e posicionar o trem-tipo.
L.I. momentos fletores balanços
1kN
5,15
0,194l1 = 4m
0,271l1 = 5,6m
hi
X2
X1
Gráf2
		0
		5.15
		-1.241
		0.345
		0
Plan1
				Seção 5		l1 (m)=		20.6
		Posição da carga		Anger		LI
		0		0		0
		1		0.0381		0.78486
		2		0.077		1.5862
		3		0.1172		2.41432
		4		0.1597		3.28982
		5		0.205		4.223
		6		0.1539		3.17034
		7		0.1071		2.20626
		8		0.0654		1.34724
		9		0.0295		0.6077
		10		0		0
		11		-0.027		-0.5562
		12		-0.0442		-0.91052
		13		-0.0529		-1.08974
		14		-0.0547		-1.12682
		15		-0.051		-1.0506
		16		-0.0431		-0.88786
		17		-0.0327		-0.67362
		18		-0.0211		-0.43466
		19		-0.0097		-0.19982
		20		0		0
		21		0.0057		0.11742
		22		0.0096		0.19776
		23		0.0119		0.24514
		24		0.0128		0.26368
		25		0.0125		0.2575
		26		0.0112		0.23072
		27		0.0091		0.18746
		28		0.0064		0.13184
		29		0.0033		0.06798
		30		0		0
		
		
		LI momentos fletores balanços
		
		
		-2.5		0
		0		5.15
		10		-1.241
		20		0.345
		30		0
Plan1
		0
		0.78486
		1.5862
		2.41432
		3.28982
		4.223
		3.17034
		2.20626
		1.34724
		0.6077
		0
		-0.5562
		-0.91052
		-1.08974
		-1.12682
		-1.0506
		-0.88786
		-0.67362
		-0.43466
		-0.19982
		0
		0.11742
		0.19776
		0.24514
		0.26368
		0.2575
		0.23072
		0.18746
		0.13184
		0.06798
		0
Plan2
		
Plan3
		
		
Exemplo 2 (continuação do exemplo 1): Obter a L.I. de momento fletor na seção S5 e posicionar o trem-tipo.
L.I. momentos fletores balanços
hf
X2
X1
0,194l1 = 4m
0,272l1 = 5,6m
1kN
5,15
Gráf5
		0
		0.345
		-1.241
		5.15
		0
Plan1
				Seção 5		l1 (m)=		20.6
		Posição da carga		Anger		LI
		0		0		0
		1		0.0381		0.78486
		2		0.077		1.5862
		3		0.1172		2.41432
		4		0.1597		3.28982
		5		0.205		4.223
		6		0.1539		3.17034
		7		0.1071		2.20626
		8		0.0654		1.34724
		9		0.0295		0.6077
		10		0		0
		11		-0.027		-0.5562
		12		-0.0442		-0.91052
		13		-0.0529		-1.08974
		14		-0.0547		-1.12682
		15		-0.051		-1.0506
		16		-0.0431		-0.88786
		17		-0.0327		-0.67362
		18		-0.0211		-0.43466
		19		-0.0097		-0.19982
		20		0		0
		21		0.0057		0.11742
		22		0.0096		0.19776
		23		0.0119		0.24514
		24		0.0128		0.26368
		25		0.0125		0.2575
		26		0.0112		0.23072
		27		0.0091		0.18746
		28		0.0064		0.13184
		29		0.0033		0.06798
		30		0		0
		
		
		LI momentos fletores balanços
		
		
		-2.5		0
		0		5.15
		10		-1.241
		20		0.345
		30		0
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		0		0
		10		0.345
		20		-1.241
		30		5.15
		32.5		0
Plan1
		0
		0.78486
		1.5862
		2.41432
		3.28982
		4.223
		3.17034
		2.20626
		1.34724
		0.6077
		0
		-0.5562
		-0.91052
		-1.08974
		-1.12682
		-1.0506
		-0.88786
		-0.67362
		-0.43466
		-0.19982
		0
		0.11742
		0.19776
		0.24514
		0.26368
		0.2575
		0.23072
		0.18746
		0.13184
		0.06798
		0
Plan2
		
Plan3
		
		
		
Exemplo 2 (continuação do exemplo 1): Obter a L.I. de momento fletor na seção S5 e posicionar o trem-tipo.
L.I. momentos fletores
trechos retos nos balanços e lajes de transição (isostático)
1,95
4,22 (S5)
-1,13 (S14)
Por aproximação linear: hi = 2,11 e hf = 0,129 
0,175
Gráf7
		0
		-1.95
		0
		0.78486
		1.5862
		2.41432
		3.28982
		4.223
		3.17034
		2.20626
		1.34724
		0.6077
		0
		-0.5562
		-0.91052
		-1.08974
		-1.12682
		-1.0506
		-0.88786
		-0.67362
		-0.43466
		-0.19982
		0
		0.11742
		0.19776
		0.24514
		0.26368
		0.2575
		0.23072
		0.18746
		0.13184
		0.06798
		0
		-0.173
		0
Plan1
				Seção 5		l1 (m)=		20.6
		Posição da carga		Anger		LI
		-4.5				0
		-2.5				-1.95
		0		0		0
		1		0.0381		0.78486
		2		0.077		1.5862
		3		0.1172		2.41432
		4		0.1597		3.28982
		5		0.205		4.223
		6		0.1539		3.17034
		7		0.1071		2.20626
		8		0.0654		1.34724
		9		0.0295		0.6077
		10		0		0
		11		-0.027		-0.5562
		12		-0.0442		-0.91052
		13		-0.0529		-1.08974
		14		-0.0547		-1.12682
		15		-0.051		-1.0506
		16		-0.0431		-0.88786
		17		-0.0327		-0.67362
		18		-0.0211		-0.43466
		19		-0.0097		-0.19982
		20		0		0
		21		0.0057		0.11742
		22		0.0096		0.19776
		23		0.0119		0.24514
		24		0.0128		0.26368
		25		0.0125		0.2575
		26		0.0112		0.23072
		27		0.0091		0.18746
		28		0.0064		0.13184
		29		0.0033		0.06798
		30		0		0
		32.5				-0.173
		37				0
		LI momentos fletores balanços
		
		
		-2.5		0
		0		5.15
		10		-1.241
		20		0.345
		30		0
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		0		0
		10		0.345
		20		-1.241
		30		5.15
		32.5		0
Plan1
		
Plan2
		
Plan3
		0
		0.345
		-1.241
		5.15
		0
		
		
Exemplo 2 (continuação do exemplo 1): Obter a L.I. de momento fletor na seção S5 e posicionar o trem-tipo.
L.I. momentos fletores
Gráf7
		0
		-1.95
		0
		0.78486
		1.5862
		2.41432
		3.28982
		4.223
		3.17034
		2.20626
		1.34724
		0.6077
		0
		-0.5562
		-0.91052
		-1.08974
		-1.12682
		-1.0506
		-0.88786
		-0.67362
		-0.43466
		-0.19982
		0
		0.11742
		0.19776
		0.24514
		0.26368
		0.2575
		0.23072
		0.18746
		0.13184
		0.06798
		0
		-0.173
		0
Plan1
				Seção 5		l1 (m)=		20.6
		Posição da carga		Anger		LI
		-4.5				0
		-2.5				-1.95
		0		0		0
		1		0.0381		0.78486
		2		0.077		1.5862
		3		0.1172		2.41432
		4		0.1597		3.28982
		5		0.205		4.223
		6		0.1539		3.17034
		7		0.1071		2.20626
		8		0.0654		1.34724
		9		0.0295		0.6077
		10		0		0
		11		-0.027		-0.5562
		12		-0.0442		-0.91052
		13		-0.0529		-1.08974
		14		-0.0547		-1.12682
		15		-0.051		-1.0506
		16		-0.0431		-0.88786
		17		-0.0327		-0.67362
		18		-0.0211		-0.43466
		19		-0.0097		-0.19982
		20		0		0
		21		0.0057		0.11742
		22		0.0096		0.19776
		23		0.0119		0.24514
		24		0.0128		0.26368
		25		0.0125		0.2575
		26		0.0112		0.23072
		27		0.0091		0.18746
		28		0.0064		0.13184
		29		0.0033		0.06798
		30		0		0
		32.5				-0.173
		37				0
		LI momentos fletores balanços
		
		
		-2.5		0
		0		5.15
		10		-1.241
		20		0.345
		30		0
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		0		0
		10		0.345
		20		-1.241
		30		5.15
		32.5		0
Plan1
		
Plan2
		
Plan3
		0
		0.345
		-1.241
		5.15
		0
		
		
L. I. de Esforço cortante
Tabelas de Anger  Valores para l1 (Q0) e l2(Q10)
valores (+): para cima; (-) : para baixo
L. I. de Esforço cortante
Q10e=Q0-1
Manual reduzido do VIGACON
Manual reduzido do VIGACON
modelo estrutural
Uso do programa VIGACON para carga móvel
corrigir A e I
arquivo sem laje de transição
nr carregamentos
nr trens-tipo
rodoviário
soma dos esf concentrados do veículo
comprimento do veículo
esf distrib min
esf distrib trecho do veículo
esf distrib máximo
intervalo no posic trem-tipo
nr envoltórias/ concomitância
env. cortante/ env. mom fletor
7ª aula - Trem-tipo de flexão para pontes rodoviárias de seções transversais dotadas de vigas múltiplas sem laje inferior
Grelha de malha ortogonal
Trem-tipo de flexão para pontes rodoviárias de seções transversais dotadas de vigas múltiplas sem laje inferior
Determinação do trem-tipo de
flexão
Distribuição transversal do trem-tipo em função da rigidez transversal do tabuleiro  rigidez de nula a infinita
Rigidez nula do tabuleiro  vigas lado a lado sem conexão entre elas
veículo-tipo e multidão colocados apenas sobre a viga em estudo; cargas atuantes resistidas unicamente pela viga em estudo
Trem-tipo de flexão para pontes rodoviárias de seções transversais dotadas de vigas múltiplas sem laje inferior
Rigidez transversal finita, não nula do tabuleiro
deformada transversal não linear porque existe um vínculo pequeno que une as vigas  exemplo: protensão transversal na laje superior 
carregamento atuante distribui-se entre as vigas  LI repartição transversal para cada viga
estudos de Guyon (1946), Massonnet (1950), Rowe (1956), Cusens e Pama (1969) 
Trem-tipo de flexão para pontes rodoviárias de seções transversais dotadas de vigas múltiplas sem laje inferior
Rigidez transversal infinita
deformada transversal reta, sem inflexões, nem curvatura
estudos de Engesser e Courbon (década de 40)
Trem-tipo de flexão para pontes rodoviárias de seções transversais dotadas de vigas múltiplas sem laje inferior
Coeficientes de distribuição transversal pelo método de Guyon-Massonet
tabuleiro com diversas vigas dispostas de forma longitudinal e transversal  estrutura intermediária entre laje ortotrópica e grelha com vinculação rígida à torção entre os seus elementos componentes
método é uma simplificação destinada a prescindir do cálculo completo de uma grelha
Trem-tipo de flexão para pontes rodoviárias de seções transversais dotadas de vigas múltiplas sem laje inferior
Método de Guyon-Massonnet
LI de reação de apoio da viga VA
Método de Guyon-Massonnet
Coeficientes de repartição transversal – LI da viga VA:
nAA = reação de apoio na viga VA quando a carga unitária está sobre VA
nAB = reação de apoio na viga VA quando a carga unitária está sobre VB
nAC = reação de apoio na viga VA quando a carga unitária está sobre VC
nAD = reação de apoio na viga VA quando a carga unitária está sobre VD
Método de Guyon-Massonnet
LI de reação de apoio da viga VB
Método de Guyon-Massonnet
Coeficientes de repartição transversal – LI da viga VB:
nBA = reação de apoio na viga VB quando a carga unitária está sobre VA
nBB = reação de apoio na viga VB quando a carga unitária está sobre VB
nBC = reação de apoio na viga VB quando a carga unitária está sobre VC
nBD = reação de apoio na viga VB quando a carga unitária está sobre VD
Método de Guyon-Massonnet
Se a carga aplicada é unitária, então:
nAA + nAB + nAC + nAD = 1
nBA + nBB + nBC + nBD = 1
Valores numéricos dos coeficientes de repartição transversal estão tabelados para as mais variadas relações de rigidez à flexão e à torção e para o número de longarinas e transversinas que compõem o tabuleiro
Método de Guyon-Massonnet
Parâmetro de rigidez à flexão
Jfv = momento de inércia à flexão da viga principal
Jft = momento de inércia à flexão da transversina
Lv = vão das vigas principais
Lt = comprimento da transversina
Método de Guyon-Massonnet
Parâmetro adicional de rigidez à torção
EJft = rigidez à flexão da transversina que une as vigas principais
GJtv = rigidez à torção das vigas principais
Com os parâmetros Kf e Kt  tabelas com os parâmetros de repartição transversal, que levam em conta o número de longarinas e transversinas e a aplicação da carga unitária sobre cada ponto nodal da grelha
Método de Guyon-Massonnet
Exemplo 1: Calcular o trem-tipo de flexão classe 45 para a ponte rodoviária em vigas múltiplas dotada de quatro vigas principais. Os coeficientes de repartição transversal para as vigas já estão calculados pelo método de Guyon-Massonnet-Rowe.
Exemplo 1
Cálculo do trem-tipo de flexão para a viga VA
Análise do corte A-A que passa dentro da faixa do veículo-tipo
Cálculo do trem-tipo de flexão para a viga VA
Análise do corte B-B que passa fora da faixa do veículo-tipo
Exemplo 1
Cálculo do trem-tipo de flexão para a viga VB
Análise do corte A-A que passa dentro da faixa do veículo-tipo
Cálculo do trem-tipo de flexão para a viga VB
Análise do corte B-B que passa fora da faixa do veículo-tipo
Trem-tipo de flexão para pontes rodoviárias de seções transversais dotadas de vigas múltiplas sem laje inferior
Outros métodos de distribuição transversal que objetivam determinar as parcelas que a carga sobre a laje impõe sobre cada longarina
Leonhardt – não leva em conta momento de inércia à torção das vigas principais; considera uma transversina fictícia apoiada no meio dos vãos das diversas longarinas
Homberg & Weinmeister – leva em conta a torção
Engesser & Courbon – considera rigidez à flexão infinita das transversinas
Trem-tipo de flexão para pontes rodoviárias de seções transversais dotadas de vigas múltiplas sem laje inferior
Método de Engesser-Courbon
Considera rigidez à flexão infinita das transversinas
Deformada transversal sob uma carga atuante qualquer permanece reta, sem inflexões, nem curvaturas
Método de Engesser-Courbon
A equação do eixo da transversina na forma deformada se escreve por:
y = a + bx
a e b  constantes a determinar
Método de Engesser-Courbon
Esquema transversal abaixo  1 transversina cortada por n longarinas e carga P excêntrica é aplicada a uma distância d qualquer do eixo de simetria do conjunto 
ELEVAÇÃO
Método de Engesser-Courbon
As reações nos pontos de cruzamento das longarinas com as transversinas, para uma carga genérica P, se escrevem como:
Tomando-se:
e = distância entre vigas
n = nr de vigas
P = excentricidade da carga
Método de Engesser-Courbon
Para uma carga unitária, obtém-se o coeficiente de repartição transversal:
n = nr de vigas
i = nr da viga
Método de Engesser-Courbon
Consideração de rigidez infinita das transversinas
ponte de pequena largura e grandes vãos (vão/largura ≥ 2)
Só deve ser aplicado quando:
L = comprimento da ponte
l = largura do tabuleiro
N = no de vigas principais
n = no de transversinas
JL = momento de inércia de uma viga principal
JT = momento de inércia de uma transversina
Método de Engesser-Courbon
Quando o coeficiente k for maior que 0,3, deve ser levada em conta a deformabilidade das transversinas, efetuando o cálculo do estrado como grelha elástica
Podem ser aplicados os processos da hiperestática (Método das Forças ou Método dos Deslocamentos)
No caso de 1 só transversina no centro do vão, o emprego do método das forças leva ao processo denominado Leonhardt
Método de Engesser-Courbon
Exemplo 2: Determinar os coeficientes de repartição transversal nos cruzamentos entre transversinas e longarinas para uma ponte em vigas múltiplas, constituída de 4 longarinas, para quando a carga concentrada unitária transitar nos pontos de interseção nas vigas i = 1, i = 2, i = 3 e i = 4. Sabe-se que todas as longarinas possuem a mesma inércia e estão igualmente espaçadas entre si.
Método de Engesser-Courbon – Exemplo 2
n = 4
i = 1
Estudo da viga V1 - Carga P = 1 sobre a viga i =1
Método de Engesser-Courbon – Exemplo 2
n = 4
i = 1
Estudo da viga V1 - Carga P = 1 sobre a viga i= 2
Método de Engesser-Courbon – Exemplo 2
n = 4
i = 1
Estudo da viga V1 - Carga P = 1 sobre a viga i= 3
Pode-se obter coeficiente por semelhança de triângulos
Método de Engesser-Courbon – Exemplo 2
n = 4
i = 1
Estudo da viga V1 - Carga P = 1 sobre a viga i= 4
Pode-se obter coeficiente por semelhança de triângulos
Método de Engesser-Courbon – Exemplo 2
n = 4
i = 1
Coeficientes de repartição transversal para a viga i =1
Método de Engesser-Courbon – Exemplo 2
n = 4
i = 2
Estudo da viga V2 - Carga P = 1 sobre a viga i =1
Método de Engesser-Courbon – Exemplo 2
n = 4
i = 2
Estudo da viga V2 - Carga P = 1 sobre
a viga i= 2
Método de Engesser-Courbon – Exemplo 2
Por semelhança de triângulos:
Carga P = 1 sobre a viga i= 3  r2,d = +0,20 
Carga P = 1 sobre a viga i= 4  r2,d = +0,10 
Método de Engesser-Courbon
Exemplo 3: Calcular os trem-tipos de flexão para a ponte rodoviária em vigas múltiplas classe 45 para as vigas i = 1 e i = 2.
Trem-tipo de flexão para a viga i = 1
Exemplo 3
b) Análise do corte B-B (fora da faixa do veículo-tipo)
Exemplo 3
Trem-tipo de flexão para a viga i = 2
a) Análise do corte A-A (dentro da faixa do veículo-tipo)
Exemplo 3
Trem-tipo de flexão para a viga i = 2
b) Análise do corte B-B (fora da faixa do veículo-tipo)
7ª aula - NBR 8681:2003 - Ações e Segurança nas Estruturas 
Estado limite de uma estrutura  Estado a partir do qual a estrutura apresenta desempenho inadequado às finalidades de construção.
Estados limites últimos:
Estados que determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção.
perda de equilíbrio, admitida a estrutura como um corpo rígido;
ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;
transformação da estrutura em um sistema hipostático;
instabilidade por deformação;
instabilidade dinâmica.
NBR 8681:2003 - Ações e Segurança nas Estruturas
Estados limites de serviço
Estados que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da construção, ou que são indícios de comprometimento de sua durabilidade.
danos que comprometem a estética e a durabilidade;
deformações excessivas;
vibração excessiva ou desconfortável.
NBR 8681:2003 - Ações e Segurança nas Estruturas
Combinações normais de ações no estado limite último
Fgi,k = valor característico das ações permanentes
Fq1,k = valor característico da ação variável considerada principal
0j.Fqj,k = valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis
Valores dos coeficientes de ponderação para as ações permanentes
Valores dos coeficientes de ponderação para as ações variáveis 
Valores dos coeficientes de ponderação para as ações variáveis
Valores dos fatores de combinação (0) e de redução (1 e 2) para as ações variáveis
0  ELU
1  ELS (combinação freqüente – média duração)
2  ELS (combinação quase permanente – longa duração)
Exemplo: ELU e combinação normal: 
Combinações de utilização das ações (estado limite de serviço)
média duração
longa duração
curta duração, duração instantânea
Fatores de redução para comb. freqüente aplicável à verificação de fadiga 
Exemplo: Fadiga (ELS) 
viga longitudinal atém 100m
Estado Limite último de resistência à fadiga
Comportamento à fadiga do aço das armaduras não protendidas
deve ser determinado por meio de ensaios de flexão à fadiga de vigas de concreto armado
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura
com H ≥ 0,80m, temos:
T1=15,5oC;
T2=3oC;
T3=2,5oC;
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura
Seção simplificada
Cálculo do CG:
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura
Seção simplificada
Cálculo do momento de inércia:
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura
h1= 0,3H ≤ 0,15m
0,3 x 2,10 = 0,63 > 0,15
h1 = 0,15m
h2= 0,3H ≥ 0,10m e ≤ 0,25m
h2 = 0,25m
h3= 0,3H ≤ h – h1 – h2 e ≤ 0,10 +hpav
2,10 – 0,15 – 0,25 = 1,70m
0,10 +0,07 = 0,17m
h3 = 0,17m
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura
b(y) = largura da seção na área considerada
T(y) = somatório das áreas do diagrama de temperaturas
y = distância entre o CG das áreas e o CG da viga
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura 
(seção no meio do vão)
0,17
2/3x0,08+0,02=0,00113
3,47
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura (seção no meio do vão)
bw = 0,40 m 
Somatório 
A1 = 1,009 oC m3
A2 = 1,89 oC m3
A3 = 0,24 oC m3
A4 = 0,196 oC m3
A5 = 0,00113 oC m3
A6 = 0,138 oC m3
 Ai = 3,47 oC m3
Temperaturas 
Te (y = 0,42) =0,42/0,79 x 3,47 = 1,84 oC 
Te (y = -1,68) =1,68/0,79 x 3,47 = -7,38 oC 
DT = 1,84-(-7,38) = 9,22oC
1,84ºC
7,38oC
Processo de Cross
Processo de Cross
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura (seção do apoio extremo)
bw = 0,60 m, hf = 0,3328m e I = 1,08m4
Somatório 
A1 = 1,272 oC m3
A2 = 2,35 oC m3
A3 = 0,389 oC m3
A4 = 0,258 oC m3
A5 = 0,005 oC m3
A6 = -0,1955 oC m3
 Ai = 4,47 oC m3
Temperaturas 
Te (y = 0,51) =0,51/1,08 x 4,47 = 2,11 oC 
Te (y = -1,59) =1,59/1,08 x 4,47 = -6,58 oC 
DT = 2,11-(-6,58) = 8,69oC
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura (seção no apoio extremo)
Processo de Cross
Momentos de engastamento:
barras 1 e 3: 1353,81kN.m
barra 2: 902,54
Coeficientes de distribuição: 0,48 e 0,52
Mte = 1061,1kN.m
Mte II= 0,65 x 1061,1 = 689,72kN.m e V = 689,72/20,6 = 33,48kN
Esforços solicitantes devidos ao gradiente de temperatura (seção no apoio intermediário)
bw = 0,90 m
A seção no apoio intermediário apresenta maior inércia, acarretando os maiores esforços devidos à temperatura.
À favor da segurança, considerar, neste projeto, esta seção para cálculo dos esforços decorrentes do efeito de temperatura.
Dimensionamento de armadura de flexão
Cálculo da envoltória de momentos
Determinação da largura efetiva da mesa de compressão nas seções com momento positivo
Determinação da largura total da mesa de compressão
Esquema longitudinal da ponte:
viga simplesmente apoiada
Determinação da largura total da mesa de compressão
viga c/ momento negativo em uma das extremidades 
Determinação da largura total da mesa de compressão
viga com momento negativo nas 2 extremidades 
Determinação da largura total da mesa de compressão
viga com extremidade em balanço 
Dimensionamento de armadura de flexão
Dimensionamento da armadura de flexão no Estádio III – concreto plastificado; esmagamento iminente
Dimensionamento de armadura de flexão
Domínios
Dimensionamento de armadura de flexão
Dimensionamento de armadura de flexão
(NBR 6118:2003)
Dimensionamento de armadura de flexão
(NBR 6118:2014)
Dimensionamento de armadura de flexão
(NBR 6118:2014)
Dimensionamento de armadura de flexão
Verificação da mesa de compressão (posição da linha neutra)
Dimensionamento com armadura dupla para momentos em que:
x > xlimD3/D4 
Md ≤ 1,5 Md lim
Armadura lateral de distribuição: Asl = 0,10%bwh; espaçamento ≤ 20cm
Dimensionamento de armadura de flexão
Seção 8
Mg = -1738,0kN.m (s/ laje de transição) e -1774,9kN.m (c/ laje de transição)
 jMq = 1449,9kN.m e -1883,0kN.m
Mte = 541,53kN.m
fck = 20MPa, bw = 40cm
Envoltória:
Md = 1,0 x (-1738,0) + 1,5 x 1449,9 + 1,2 x 0,6 x 541,53 = 826,75kN.m 
Md = 1,35x (-1774,9) + 1,5 x (-1883,0) = -5220,6kN.m 
Alargamento da viga no apoio extremo
Alargamento da viga no apoio intermediário
S0 = S30
S10 = S20
Dimensionamento de armadura de flexão
Seção 10
Mg = -5986,2kN.m (s/ laje de transição) e -5803,1kN.m (c/ laje de transição)
 jMq = 892,5kN.m e -3303,9kN.m
Mte = 676,91kN.m
fck = 20MPa, bw = 90cm
Envoltória:
Md = 1,35 x (-5986,2) - 1,5 x 3303,9 = -13037,22kN.m 
Md = 1,0x (-5803,1) + 1,5 x (892,5) + 1,2 x 0,6 x 676,91 = -3976,97kN.m 
Dimensionamento de armadura de flexão
Seção 5
Mg = 1354,5kN.m (s/ laje de transição) e 987,9kN.m (c/ laje de transição)
 jMq = 3242,4kN.m e -1693,5kN.m
Mte = 494kN.m
fck = 20MPa , bw = 40cm
Envoltória:
Md = 1,35 x 1354,5 + 1,5 x 3242,4 + 1,2 x 0,6 x 494 = 7047,9kN.m 
Md = 1,0x987,9 + 1,5 x (-1693,5) = -1552,4kN.m 
Verificação da fadiga
fctd, inf = fctk/gc
Verificação da fadiga
Verificação da fadiga
Coeficiente de fadiga da armadura
Método simplificado
Armadura de flexão
Aço CA-50 e f = 25mm:
Coeficiente de fadiga da armadura
Método simplificado
M1 e M2 têm sinais contrários; /M1/ > /M2/
M1 e M2 têm mesmo sinal; /M1/ > /M2/
Coeficiente de fadiga da armadura
Exemplo:f= 25mm e barras retas 
Coeficiente de fadiga da armadura
Método simplificado
Armadura de cisalhamento
Q1 e Q2 têm sinais contrários; /Q1/ > /Q2/
Tomar Q2 =0
Q1 e Q2 têm mesmo sinal; /Q1/ > /Q2/
Coeficiente de fadiga da armadura
Cálculo das tensões nas armaduras – Estádio II
Detalhamento da armadura longitudinal (flexão) na seção transversal 
A quantidade de barras e seu arranjo (posição dentro da seção transversal da viga) deve atender às prescrições da NBR6118:2014
Durante as operações de lançamento e adensamento do concreto, o espaçamento entre as armaduras devem permitir que o concreto penetre com facilidade em todos os vazios da viga e que as agulhas dos vibradores possam ser introduzidas entre as barras
Detalhamento da armadura longitudinal (flexão) na seção transversal
O engenheiro da obra deve assegurar a homogeneidade do concreto (sem ninhos de concretagem – regiões só com pedras, ie, com pouca ou nenhuma nata de cimento) e o cobrimento mínimo da armadura
Armadura longitudinal mínima
deve ser colocada a fim de evitar rupturas bruscas (frágeis) da seção, pois o aço faz com que ela apresente uma deformação razoável antes de entrar em ruína
útil para absorver pequenos esforços não considerados no cálculo
Armadura longitudinal mínima
wmín = taxa mecânica mínima de Aslong de flexão p/ vigas (Asmín.fyd)/(Ac.fcd)
Armadura longitudinal máxima
A soma das armaduras de tração e de compressão (As + As´) não deve ser superior a 4% da área de concreto da seção (Ac), calculada em região fora da zona de emendas
Armadura concentrada 
Para que a armadura longitudinal, comprimida ou tracionada, possa ser calculada admitindo-a concentrada em seu centro de gravidade, a NBR6118:2003 estabelece que distância do CG das armaduras até a armadura mais afastada da LN, medida normalmente a esta, deve ser menor que 10% h
Caso contrário, deve-se considerar a def. específica do aço de cada camada
Armadura longitudinal
Espaçamento entre as armaduras
Espaçamento mínimo livre entre as faces das barras, medido horizontalmente (ah) e verticalmente (av) deve ser, em cada direção, o maior entre os 3 valores:
ah ≥ av ≥
Nas barras com mossas ou saliências, segundo Fusco (1995), deve-se acrescentar ao diâmetro das mesmas o valor 0,04, ie, 
Armadura longitudinal
Para feixes de barras, deve-se considerar como diâmetro do feixe, , sendo n = no barras 
	do feixe;  = diâmetro da barra
Os valores mínimos de espaçamento devem ser obedecidos também em regiões em que houver emendas por transpasse das barras
Armadura longitudinal
Armadura longitudinal
Classificação usual das britas (dmáx, agregado)
Armadura longitudinal
Proteção e cobrimento (item 7.4.7 da NBR6118:2003)
Durabilidade das estruturas de concreto armado depende da qualidade e da espessura do concreto de cobrimento das armaduras
Cobrimento: proteger as barras da corrosão e da ação do fogo
concreto protendido: 
obras correntes:
casos de rigoroso controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução da obra: 
Armadura longitudinal
Proteção e cobrimento da armadura longitudinal 
concreto armado:
no caso de feixes:
Dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto:
Armadura longitudinal
Classe de agressividade x Cnom para
face superior de lajes e vigas revestidas c/ argamassa contrapiso, carpetes, madeira, argamassa de revestimento etc: , Cnom ≥ 15mm 
(2) faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, ETA, ETE, ambientes quimica// agressivos etc: 
Armadura longitudinal
Classe de agressividade ambiental
Armadura de pele
Minimizar os problemas decorrentes de fissuração, retração e variação de temperatura
Diminuir abertura de fissuras de flexão na alma das vigas
Deve ser colocada em cada face da alma da viga, com área em cada face não menor que:
Deve ser composta por barras de alta aderência (coeficiente de conformação superficial de armadura passiva h1 ≥ 2,25 (item 9.2.3.1 da NBR6118:2003)
Armadura de pele
Espaçamento
d = altura útil da viga
Em vigas com altura igual ou inferior a 60cm não é necessária a colocação desta armadura 
Distribuição das armaduras de flexão de acordo com a seção transversal da ponte 
Seção transversal em caixão celular
A análise quanto às cargas é feita para a seção integral, portanto, a armadura calculada é distribuída pelas n almas que compõem seção, e algumas para a laje inferior
Distribuição das armaduras de flexão de acordo com a seção transversal da ponte
Seção transversal sem laje inferior
A análise quanto às cargas é feita para cada viga separadamente, portanto a armadura calculada é distribuída apenas para a viga em análise.
Exemplo
Dimensionar à flexão as seções de meio de vão e de apoio de uma longarina de uma ponte rodoviária em c. a., de sistema estrutural isostático, cuja tabela de envoltórias é apresentada a seguir:
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Tabela de momentos fletores (kN.m):
Dados: Aço CA-50, concreto C-22, estribos de 10mm e cobrimento de 2,5cm. Diâmetro do agregado de 1,6cm e altura útil d = 190cm.
Dimensionamento da seção do meio do vão
Cálculo da mesa de compressão
bw = 0,40m
Detalhamento de seções negativas
A armadura negativa pode ser distribuída da seguinte forma: 75% com bitolas maiores (25, 20, 16mm) e 25% nas lajes com bitolas mais finas (10 e 12,5mm) a fim de combater a fissuração.
2
Armadura na laje
Aslaje ≤ 25% Aslong
 flaje ≤ 1/10 espessura da laje
largura de distribuição de armadura da laje (de cada lado) 
≤ 0,25bf
≤ 85cm
Ancoragem por aderência da armadura longitudinal
Aderência entre concreto e aço
Aderência  permite o funcionamento do concreto armado como material estrutural
Sem aderência as barras não seriam submetidas a esforços de tração, pois deslizariam dentro da massa de concreto
Aderência faz com que os 2 materiais, de resistências diferentes, tenham a mesma deformação e trabalhem juntos
É composta por 3 parcelas (Leonhardt, 1977):
adesão: natureza físico-química; colagem provocada pela nata de cimento na superfície do aço;
atrito: força que ocorre na superfície de contato entre 2 materiais
engrenamento: resistência mecânica ao arrancamento devida à conformação superficial das barras (mossas e saliências funcionam como peças de apoio, aplicando forças de compressão no concreto)
Ancoragem por aderência da armadura longitudinal
Regiões favoráveis ou desfavoráveis quanto à aderência (item 9.3.1 da NBR6118:2003)
boa situação quanto à aderência  trechos de barras em uma das seguintes posições:
inclinação > 45º com a horizontal
inclinação < 45º com a horizontal, desde que:
localizados no máximo 30cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (elem. estrut. c/ h < 60cm)
localizados no mínimo 30cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (elem. estrut. c/ h ≥ 60cm)
Ancoragem por aderência da armadura longitudinal
Ancoragem por aderência da armadura longitudinal
Ancoragem por aderência da armadura longitudinal
Trechos das barras situados em outras posições e qdo. forem utilizadas fôrmas deslizantes  má situação quanto à aderência
Se inclinação < 45º com a horizontal , qdo altura elemento > 60cm, mas for concretado em trechos de no máximo 30cm de altura, faz-se o adensamento
de cada camada e espera-se até que o concreto atinja consistência tal que, ao colocar nova camada, não haja fuga de nata de concreto de uma camada para outra  considerar todas as armaduras da peça em condição de boa aderência
Ancoragem das barras (item 9.4.2)
Podem ser ancoradas com comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura
Deve ser:
obrigatoriamente com gancho para barras lisas
sem gancho nas que tenham alternância de solicitação (tração e compressão)
com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado gancho para  > 32mm ou para feixe de barras
Barras comprimidas só poderão ser ancoradas sem gancho
Ancoragem com gancho das barras tracionadas (item 9.4.2)
Ancoragem das barras (item 9.4.2)
Comprimento reto básico de ancoragem (lb)
Necessário para ancorar a força-limite As. fyd em uma barra de diâmetro , da armadura passiva, admitindo, ao longo desse comprimento, tensão de aderência uniforme (fbd) 
Ancoragem por aderência da armadura longitudinal
Valores das resistências de aderência 
Tensão última de aderência entre a armadura passiva e o concreto (item 9.2.3.1):
valor de cálculo da resistência à tração do concreto (MPa)
(barras lisas – CA-25)
(barras entalhadas – CA-60)
Ancoragem por aderência da armadura longitudinal
(barras de alta aderência – CA-50)
(situações de boa aderência)
(situações de má aderência)
( < 32mm)
( > 32mm)
Ancoragem das barras (item 9.4.2)
Comprimento necessário de ancoragem
Situações em que a armadura existente (detalhada) é maior que a necessária calculada, o comprimento de ancoragem necessário (lb, nec) pode ser reduzido (item 9.4.2.5)
(barras sem gancho)
(barras sem gancho)
(barras tracionadas com gancho e comprimento no plano normal ao do gancho > 3)
Ancoragem das barras (item 9.4.2)
As, cal = área de armadura calculada para resistir ao esforço solicitante
As, ef = área de armadura efetiva (existente)
lb,mín = maior valor entre
Emendas das barras
Freqüentemente é preciso emendar uma barra de aço, seja pela necessidade de um comprimento maior que 12m, ou por outro motivo
Devem ser respeitadas as prescrições do item 9.5 da norma
Podem ser: por transpasse, por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas, por solda
Emendas por transpasse:
Não são permitidas para barras de bitola > 32mm, nem em tirantes e pendurais
Devem ser evitadas em regiões de momentos elevados
Emendas das barras
Emendas por transpasse:
Proporção barras emendadas em uma mesma seção
Considera-se na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas em menos de 20% do comprimento do trecho de transpasse.
Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento de transpasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro 
Emendas das barras
Proporção máx. barras tracionadas emendadas na mesma seção
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras podem ser emendadas na mesma seção.
Comprimento de transpasse de barras isoladas
Barras tracionadas (item 9.5.2.2)
quando distância livre entre barras emendadas (a) estiver compreendida entre 0 e 4, o comprimento do trecho de transpasse deve ser:
l0t,mín = maior valor entre
quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4, ao comprimento calculado no item anterior deve ser adicionada a distância livre entre barras emendadas 
Comprimento de transpasse de barras isoladas
Valores de 0t:
a = distância livre entre emendas
Emenda de transpasse
Emenda de transpasse
Emenda de transpasse
Comprimento de transpasse de barras isoladas
Barras comprimidas (item 9.5.2.3)
l0c,mín = maior valor entre 
Deslocamento do diagrama de momentos fletores (Decalagem)
Comprimentos das barras da armadura longitudinal em uma viga  medidas efetuadas no diagrama de momentos fletores (valores de ai) + comprimento de ancoragem de cada barra + decalagem al
Deslocamento do diagrama de momentos fletores (Decalagem)
Modelo da treliça de Mörsch – viga fissurada próxima à situação de colapso
Equilíbrio de momentos em torno do ponto K:
Md = Fs.z = R.a - P1.(a1+ a2) - P2.a2
Md = (fyd.As).z 
As = Md/(z.fyd)
Fs atuante em J
Md na seção que contém J < Md na seção que contém K
Fs (seção contém J) < Fs (seção contém K)  transladar diagrama de momentos fletores para compensar 
Deslocamento do diagrama de momentos fletores
Cálculo da armadura transversal para estabelecer o valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores
Modelos de cálculo:
Modelo I  admite diagonais de compressão (bielas comprimidas) com  = 45º em relação ao eixo longitudinal da peça e que parcela Vc tem valor constante
Modelo II  admite diagonais de compressão (bielas comprimidas) com 30º ≤  ≤ 45º e que parcela Vc sofre redução com o aumento de Vsd
Deslocamento do diagrama de momentos fletores
Deslocamento do diagrama de momentos fletores de acordo com o modelo I
 = ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal da peça, podendo-se tomar 45º ≤  ≤ 90º
VSd, máx = força cortante de cálculo na seção mais solicitada
Deslocamento do diagrama de momentos fletores
Vc = parcela da força cortante absorvida pelo concreto comprimido (concreto íntegro entre as fissuras)
(flexão simples)
fck em MPa
para estribos verticais:  =90º , então:
Deslocamento do diagrama de momentos fletores
Deslocamento do diagrama de momentos fletores de acordo com o modelo II
…
Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios (item 18.3.2.4)
Torna-se necessário ancorar a biela de concreto na região inferior da viga
Na parte superior, o concreto comprimido é responsável pela ancoragem
Comprimento das armarduras
Comparar diagrama original + decalagem com diagrama fadigado
fadigado
fadigado
Comprimento das armarduras
Comprimento das armarduras
Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios (item 18.3.2.4)
Armaduras longitudinais que devem resistir aos esforços de tração:
p/ momentos positivos  as armaduras obtidas por meio do dimensionamento da seção
em apoios extremos (p/ garantir a ancoragem da diagonal de compressão)  armaduras capazes de resistir a uma força de tração dada por:
Vd = força cortante no apoio
al = valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores
Nd = força de tração eventualmente existente
Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios (item 18.3.2.4)
Armaduras longitudinais que devem resistir aos esforços de tração: 
Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios (item 18.3.2.4)
Para apoios extremos com momentos negativos ou nulos, as barras dessas armaduras deverão ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos ≥ ao maior dos seguintes valores:
1)
2) r + 5,5, r = raio de curvatura interno do gancho e  = diâmetro da barra
3) 60mm
Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios (item 18.3.2.4)
Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido normalmente ao plano do gancho, ≥ 70mm e as ações acidentais não ocorrerem com freqüência com seu valor máximo, a condição 1) não precisa ser verificada.
Para apoios intermediários, o comprimento de ancoragem pode ser igual a 10, desde que não haja qualquer possibilidade de ocorrência de momentos positivos nesta região (tais como vento e recalques de apoio). Quando esta possibilidade existir  barras contínuas ou emendadas sobre o apoio
Estádios
Estádio I (estado elástico)
Sob ação de momento fletor MI de pequena intensidade, a tensão de tração do concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração (ftk)
Tensões proporcionais à deformações
Diagrama de tensão normal linear
Fissuras não visíveis
Estádios
Estádio II (estado
de fissuração)
Aumentando o valor do momento fletor para MII, as tensões de tração na região tracionada terão valores superiores ao da resistência característica do concreto à tração (ftk)
Considera-se que apenas o aço passa a resistir ao esforço de tração
Admite-se que tensão de compressão no concreto continue linear
Fissuras visíveis
Estádios
Estádio III
Aumenta-se o momento fletor até um valor próximo da ruína (Mu)
Fibra mais comprimida do concreto começa a escoar (3,5%0)
Diagrama de tensões do concreto tende a ficar uniforme, com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão máxima (acima de 2%0) 
Peça bastante fissurada (fissuras se aproximando da LN)
Estádios
Região comprimida do concreto (distância x da LN à borda mais comprimida no Estádio III < Estádio II < Estádio I
Estádio I e II
Correspondem a situações de serviço (quando atuam as ações reais)
Estádio III
Corresponde ao Estado Limite Último (ações majoradas, resistências minoradas), que só ocorreria em situações extremas
Cálculo da armadura transversal em vigas
Viga submetidas a um carregamento vertical qualquer, com ou sem esforço normal estão submetidas a flexão simples ou composta não pura.

Momento fletor variável e esforço cortante ≠ 0

Atuam na seção tensões normais e tensões tangenciais que equilibram o esforço cortante
Estudo de vigas (l/d ≥ 2)  seções transversais permanecem planas após a deformação
Na alma da viga as tensões de compressão são resistidas pelo concreto comprimido, que se mantém íntegro entre as fissuras (bielas comprimidas) e as tensões de tração são resistidas por uma armadura transversal (armadura de cisalhamento)
Cálculo da armadura transversal em vigas
Procedimento de cálculo → admitir que a contribuição das armaduras transversais e do concreto comprimido na resistência ao esforço cortante pode ser obtida por meio de analogia da treliça de Ritter-Mörsh
As peças fletidas devem ser dimensionadas de modo que, se atingirem a ruína, esta se dê por ação do momento fletor (grandes deformações), antes da ruptura por cisalhamento
O perfeito funcionamento das peças fletidas de concreto pode ser garantido verificando-se em cada seção transversal as condições de utilização (fissuração) e de ruptura (escoamento da armadura de tração e esmagamento do concreto)
Cálculo da armadura transversal em vigas
 Verificação do Estado Limite Último
Modelo de Cálculo I
Diagonais de compressão são inclinadas de q = 45º em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural
Parcela complementar Vc tem valor constante
Verificação das tensões de compressão nas bielas de compressão diagonal do concreto
Cálculo da armadura transversal em vigas
 Verificação do Estado Limite Último
 = força cortante solicitante de cálculo
 = força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas do concreto (modelos I ou II)
 = força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal
Cálculo da armadura transversal em vigas
 Verificação do Estado Limite Último
 = parte do esforço cortante absorvido na zona de concreto comprimido (concreto íntegro entre as fissuras)
 = parte do esforço cortante absorvido pela armadura transversal, de acordo com os modelos I e II
Cálculo da armadura transversal em vigas
Verificação das tensões de compressão nas bielas de compressão diagonal do concreto
fck em MPa
Cálculo da armadura transversal em vigas
Cálculo da armadura transversal
flexão simples e flexo-compressão
Detalhamento da armadura transversal
As armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração provocados por forças cortantes podem ser constituídas por estribos ou barras dobradas
Quantidade mínima de estribos
Elementos lineares submetidos à força cortante, com exceção de:
 elementos em que bw > 5d (tratados como laje)
nervuras de lajes nervuradas espaçadas de menos de 60cm
alguns casos particulares de pilares e elementos de fundação
Detalhamento da armadura transversal
Vigas
Asw = área da seção transversal dos estribos
s = espaçamento entre os estribos, medido segundo o eixo longitudinal da peça
a = inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da peça
bw = largura média da alma
fywk = valor característico da resistência ao escoamento do aço da armadura transversal
considerando fck = 20 MPa;  = 90º, aço CA-50:
(resistência média à tração do concreto)
Detalhamento da armadura transversal
Diâmetro mínimo do estribo: 5mm ≤  ≤ bw/10
barra lisa:  ≤ 12mm
Espaçamento entre elementos da armadura transversal
espaçamento longitudinal entre estribos:
espaçamento transversal entre pernas de estribos:
VRd2 = força resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto
Detalhamento da armadura transversal
Cargas próximas aos apoios:
considerar a força cortante oriunda da carga distribuída, no trecho entre o apoio e a seção situada a uma distância d/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção
reduzir a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada à distância a ≤ 2d do centro do apoio, neste trecho de comprimento a, multiplicando-a por a/2d
as reduções não se aplicam:
 na verificação da resistência à compressão diagonal do concreto (comparação de VSd com VRd2)
no caso de apoios indiretos
 
Detalhamento da armadura transversal
Cargas próximas aos apoios:
considerar a força cortante oriunda da carga distribuída, no trecho entre o apoio e a seção situada a uma distância d/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção
reduzir a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada à distância a ≤ 2d do centro do apoio, neste trecho de comprimento a, multiplicando-a por a/2d
as reduções não se aplicam:
 na verificação da resistência à compressão diagonal do concreto (comparação de VSd com VRd2)
no caso de apoios indiretos
 
Fusco, 2000
Cálculo da armadura transversal em vigas
Exemplo 1 : Calcular, usando o modelo de cálculo I da NBR6118:2014, o espaçamento de estribos verticais necessários para uma viga de seção retangular submetida a um esforço cortante Vs = 1300kN. Dados: bw = 70cm; d = 200cm; fck = 26MPa; aço CA-50; f = 12,5mm 
Exemplo 2: Calcular, com o modelo I da NBR 6118:2014, a armadura transversal da viga V101. Dados: aço CA-50; fck = 20MPa; estribos de  6,3mm (0,32cm2); bw = 0,25m; h = 0,90m; d = 0,80m; p = 51,1kN/m (carga uniforme atuante na viga); Vs,máx = 255,5kN. 
Detalhamento de estribos
Análise de fissuração em peças de concreto armado
Fissuração excessiva pode comprometer durabilidade
Qdo de sua ocorrência há grande risco de degradação rápida do concreto e de sua armadura
Outros fatores: porosidade do concreto, cobrimento insuficiente da armadura, presença de produtos químicos, fatores agressivos etc interferem na durabilidade da estrutura
Projetista deve evitar que peça sofra fissuração excessiva, devida à flexão, detalhando adequadamente a armadura
Análise de fissuração em peças de concreto armado
Estados limites referentes à fissuração: 
estado limite de formação de fissuras (ELS-F): se inicia a formação de fissuras
estado limite de abertura de fissuras (ELS-W): fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados
Controle de fissuração (item 17.3.3 da NBR6118:2003)
Análise de fissuração em peças de concreto armado
Fissuras:
em estruturas de c.a. em que existam tensões de tração resultantes de carregamento direto ou por restrição a deformações impostas
retração térmica
expansão devida a reações químicas internas do concreto nas primeiras idades
devem ser evitadas ou limitadas por meio de cuidados tecnológicos (definição traço do concreto e cuidados durante a cura)
Análise de fissuração em peças de concreto armado
Abertura máxima de fissuras características (wk) para elementos de c.a., ELS-W, combinação