PLANIMETRIA material auxiliar

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Topografia I GEO05501 Prof Patricia Scalco Adaptado das notas de aula dos professores 
do departamento de Geodésia da UFRGS (citados na capa) 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Geociências
Departamento de Geodésia
 
Planimetria
Adaptado das notas de aula dos Professores
Andréa Jelinek
Jorge Barbosa
Ricardo Baitelli
 Jair Weschenfelder
Prof. Patrícia Andréia Paiola Scalco
2008
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Topografia I GEO05501 Prof Patricia Scalco Adaptado das notas de aula dos professores 
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AZ I M U T E & R U M O
A Z I M U T E
É o ângulo que o alinhamento forma com a direção norte-sul 
tendo a ponta norte como origem.
O azimute varia de 0° a 360°, contado no sentido horário.
N
N
N
N
N
1
2
3
4
5
Az 2-3
Az 1-2
Az 3-4
Az 4-5
Az 5-6
6
N
N
N
N
N
1
2
3
4
5
Az 2-1
Az 1-2
Az 3-2
Az 4-3
Az 5-4
6
Az 6-5
2
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Fórmula para o cálculo do azimute
onde: Azn = azimute do alinhamento
Azn-1 = azimute do alinhamento anterior
an = ângulo horizontal (sentido horário)
se Azn-1 + an > 180°⇒ subtrai-se 180°
Azn-1 + an < 180°⇒ soma-se 180°
Exemplo: Az1-2 = 74°36'12"
an = 212°26'39"
Az2-3 = ?
N
N
1
2Az1-2 3
Az2-3
an
AZn = Azn-1 + an ± 180°
AZ2-3 = Az1-2 + an ± 180°
Az2-3 = 74°36'12" + 212°26'39" ± 180°
Az2-3 = 287°02'51" - 180°
Az2-3 = 107°02'51"
Azn = Azn-1 + an ± 180°
3
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Quando, no cálculo do azimute, resultar um valor superior a 360°, 
deve-se subtrair deste valor 360°.
Exemplo: Az1-2 = 340°16'43"
an = 330°10'14"
Az2-3 = ?
AZ2-3 = Az1-2 + an ± 180°
AZ2-3 = 340°16'43" + 330°10'14" ± 180°
AZ2-3 = 670°26'57" - 180°
AZ2-3 = 490°26'57"
AZ2-3 = 490°26'57" - 360°
AZ2-3 = 130°26'57"
RU MO
O rumo de um alinhamento é o ângulo que este forma com a 
direção norte ou sul (a que estiver mais próxima).
O rumo varia de 0° a 90°, contados a partir do:
Norte para a direita → NE
(NORDESTE)
Norte para a esquerda → NW (NOROESTE)
Sul para a direita → SE (SUDESTE)
Sul para a esquerda → SW
(SUDOESTE)
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Quadrantes Topográficos
N = 0°
E = 90°
S = 180°
W = 270°
NW
SW
NE
SE
O rumo deverá constar de um valor numérico, de 0° a 90°, e 
duas letras.
A primeira letra deverá ser N ou S que indicará a origem e a 
segunda letra deverá ser E ou W.
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A
N
E
S
W O
R
N
E
S
W O
B
R
N
E
S
W O
C R
N
E
S
W O
D
R
R = 50° NEO-A R = 50° SEO-B
R = 50° SWO-C R = 50° NWO-D
TRANSFORMAÇÃO DE RUMO EM AZIMUTE e vice-versa
Quadrante NE → Rumo = Azimute
Azimute = Rumo
Quadrante SE → Rumo = 180° - Azimute
Azimute = 180° - Rumo
Quadrante SW → Rumo = Azimute - 180°
Azimute = 180° + Rumo
Quadrante NW → Rumo = 360° - Azimute
Azimute = 360° - Rumo
A seqüência de figuras a seguir, mostra o rumo e o azimute nos 
diversos quadrantes.
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N
E
S
W O
B
R
N
E
S
W O
C R
N
E
S
W O
D
R
Quadrante SW
Quadrante NE Quadrante SE
Quadrante NW
Az A
N
E
S
W O
R
Az
Az
Az
Exemplos:
Converter em AZIMUTE os seguintes RUMOS
(a) 49°56'33" NW
Az = 360° - Rumo
Az = 360° - 49°56'33"
Az = 310°03'27"
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(b) 36°29'48" SE
Az = 180° - Rumo
Az = 180° - 36°29'48"
Az = 143°30'12"
(c) 21°19'38" SW
Az = 180° + Rumo
Az = 180° + 21°19'38"
Az = 201°19'38"
Converter em RUMO os seguintes AZIMUTES
(a) 310°03'27"
270° à 360° ⇒ Quadrante NW
R = 360° - Azimute
R = 360° - 310°03'27"
R = 49°56'33" NW
(b) 143°30'12"
90° à 180° ⇒ Quadrante SE
R = 180° - Azimute
R = 180° - 143°30'12"
R = 36°29'48" SE
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Ex. Ângulo Interno
EST. PV ÂNGULO 
HORIZONTAL
DISTÂNCIA
HORIZONTAL 
1 2 90º14’00” 139,460 m
2 3 89º44’40” 31,170 m
3 4 90º04’40” 137,510 m
4 1 89º54’40” 29,870 m
 Soma dos ângulos internos:
∑Ai = 180º.(n-2)
No nosso exemplo: n = 4 , então ∑Ai = 360º.
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Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Geociências
Departamento de Geodésia
Topografia
 
Levantamento 
Planimétrico
Notas de aula adaptadas das apostilas dos Professores:
Andréa Jelinek
Ricardo Baitelli
 Jair Weschenfelder
Prof. Patrícia Andréia Paiola Scalco
2008
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Levantamento Planimétrico
Levantamento planimétrico é o conjunto de operações que tem por 
objeto a determinação da posição relativa de feições naturais ou artificiais na 
superfície terrestre destinada à determinação da projeção horizontal. 
Nos levantamentos planimétricos pode-se considerar duas fases 
distintas. A inicial é constituída pelos trabalhos de campo. A outra é formada 
pelos trabalhos de escritório incluindo entre outras operações a elaboração de 
um planejamento do trabalho a realizar, a elaboração dos cálculos, a 
elaboração de plantas e a elaboração de relatórios.
Na fase dos trabalhos de campo, nos levantamentos planimétricos, 
deve-se considerar o instrumental a ser utilizado no levantamento, os métodos 
existentes de levantamento e o problema da orientação do trabalho. 
 Métodos de levantamento planimétrico
Os levantamentos planimétricos, de um modo geral, tem por objetivo:
a) determinar a situação de determinados detalhes na configuração do 
terreno; 
b) a sinalização ou a locação de pontos ou de distâncias e azimutes de 
alinhamentos dados, que haverão de servir de base para o projeto de certas 
obras.
Pode ser que um mesmo levantamento planimétrico satisfaça aos dois 
objetivos anteriores.
São em número de três os métodos usados para o levantamento 
planimétrico de um polígono topográfico: 
- método do caminhamento perimétrico
- método das coordenadas polares ou irradiação;
- método das coordenadas bipolares ou intersecção;
.
 
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Métododo caminhamento perimétrico
O método do caminhamento perimétrico consiste em percorrer o 
polígono efetuando-se a medida de cada um dos lados, e dos ângulos 
horizontais em cada um dos vértices. 
Quanto à forma as poligonais podem ser classificadas em:
(a) poligonais fechadas, que iniciam e finalizam nos mesmos pontos. 
Estas poligonais são controladas com erro angular e linear, podendo 
ter as coordenadas dos vértices ajustadas; 
(b) poligonais apoiadas ou fechadas em bases diferentes, partem de 
pontos com coordenadas conhecidas e chegam em pontos com 
coordenadas também conhecidas; 
(c) poligonais abertas, aquelas que partem de pontos conhecidos por 
suas coordenadas e terminam em pontos de coordenadas não 
conhecidas.
Quanto à precisão, as poligonais são classificadas como:
(a) principal: é a que constitui o arcabouço do levantamento, geralmente 
posicionada nos limites da área a ser levantada.
(b) Secundária: são poligonais apoiadas ou que se desenvolvem entre 
dois vértices da poligonal principal.
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É o método de levantamento de poligonais mais utilizado na prática, por 
ser o mais preciso. Quando a poligonal é eletrônica, ou seja, a medição das 
distâncias é feita pelo distanciômetro eletrônico, a precisão do levantamento 
aumenta consideravelmente.
Método das coordenadas polares ou irradiação
O método consiste na escolha de um ponto de situação dominante, que 
seja intervisível a partir de todos os vértices da poligonal. Este ponto será a 
estação (0), e será ligado a todos os vértices da estação.
A partir da estação medem-se dois lados e o ângulo por eles 
compreendido, pois o método baseia-se na decomposição da área em 
triângulos.
O ponto estação pode ser fora ou dentro da área a ser levantada.
Assim, tem-se como observações, considerando a figura, as distâncias 
dos alinhamentos OA, OB, OC, OD e OE e os ângulos AÔB, BÔC, CÔD, DÔE 
e EÔA.
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É um método de levantamento simples, empregado para pequenas 
áreas e relativamente planas, apresentando precisão razoavelmente boa, mas 
considerando que não permite controle dos erros que possam ocorrer, fica na 
dependência da experiência e cuidados do operador. Tem como inconveniente 
gerar polígonos descobertos e impedir o controle dos resultados com 
verificação.
Se houver necessidade de calcular o comprimento dos lados do 
polígono pode-se conseguir com o teorema de Carnot, onde:
AB2 = OA2 + OB2 - 2.OA.OB.cos AÔB
obtém-se, por exemplo, o quadrado do lado AB.
Para o cálculo das coordenadas de cada um dos pontos pode-se obter 
por:
XA = XO + OB.sen AzOA 
YA = YO + OB.cos AzOA 
que fornece as coordenadas do ponto A, desde que se conheça ou arbitre as 
coordenadas do ponto O e o azimute do alinhamento OA.
Método das coordenadas bipolares ou intersecção
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O método de intersecção é o único método que se pode utilizar quando 
alguns vértices da poligonal são inacessíveis.
É um método que também não apresenta a possibilidade de controle de 
erros.
O método tem seu princípio de funcionamento baseado na construção 
de um triângulo em que se conhecem um lado e seus dois ângulos adjacentes. 
A representação da posição do ponto topográfico é determinada pela 
intersecção das direções determinadas pelos dois ângulos formados.
A condição de aplicação do método é que se escolham dois pontos 
dentro ou fora da área a ser levantada, o alinhamento AB pode ser também um 
dos lados do polígono ou uma diagonal), a partir dos quais se possa visar todos 
os vértices da poligonal. Deve-se conhecer a distância entre estes dois pontos 
e a sua orientação. A distância entre esses dois pontos deve ser proporcional 
ao tamanho da área, para que a direção dos vértices obtenha uma boa 
condição de intersecção.
Assim, considerando-se a figura, mede-se uma base AB, e a partir de 
cada um dos vértices da base se medem os ângulos gerados com o 
alinhamento formado entre o vértice da base e o ponto que se pretende 
levantar. Desta forma, os pontos a levantar representam o vértice de um 
triângulo que se conhece uma base e os seus ângulos adjacentes. Neste tipo 
de levantamento planimétrico deve-se evitar ângulos inferiores a 30º e 
superiores a 150º. Em tais circunstâncias, mesmo que as observações sejam 
de alta precisão, pode gerar valores errados. 
O processo de intersecção constitui o método básico de levantamento 
geodésico em triangulações de 1ª, 2ª e 3ª ordens.
Para o cálculo da área do polígono, os triângulos devem ser re-
arranjados em função dos lados conhecidos.
Procedimentos de campo
Para realizar um caminhamento perimétrico com medição dos ângulos 
internos, deve-se orientar o caminhamento da poligonal no sentido contrário a 
graduação do limbo, a fim de se ter a leitura direta dos ângulos.
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A medida dos ângulos, geralmente é feita pelo método do ângulo duplo 
ou da reiteração, sempre no sentido horário.
A medida das distâncias é normalmente feita de forma direta, com a 
trena, ou então com distanciômetro eletrônico.
É necessário, ainda, orientar um dos alinhamentos da poligonal. Orientar 
um alinhamento é assegurar sua posição em respeito a alguma direção inicial. 
As linhas que representam a direção inicial em topografia são as linhas do 
meridiano verdadeiro e do meridiano magnético, assim como a imagem de um 
meridiano central de um fuso.
Um meridiano verdadeiro é a linha traçada sobre a superfície da Terra 
por um plano passando ao longo de um ponto dado e o eixo de rotação da 
Terra.
Um meridiano magnético é dado por um plano vertical através dos pólos 
da agulha magnética em um ponto dado.
Um meridiano central é o que passa através do meio do fuso.
A linha do meridiano verdadeiro é estabelecida a partir de observações 
astronômicas. Alternativamente pode ser encontrada fazendo-se uso de 
teodolitos giroscópios, desde que se conheçam suas constantes de calibração.
A linha do meridiano magnético é estabelecida pelo eixo da agulha de 
uma bússola.
Os meridianos verdadeiro e magnético em um mesmo ponto da 
superfície terrestre dificilmente coincidem, e formam entre si um ângulo δ 
denominado de declinação magnética.
A declinação magnética será negativa se o meridiano magnético deflete 
a oeste do verdadeiro e será positiva em caso contrário.
Para que um trabalho fique orientado, torna-se necessário determinar o 
azimute de um alinhamento. O azimute pode ser medido em relação ao 
meridiano verdadeiro ou magnético, devendo ser acrescido esses termos à 
palavra azimute. Assim, pode-se ter azimute verdadeiro ou azimute magnético.
Cálculo de poligonais
Poligonal aberta
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O cálculo analítico de uma poligonal aberta consiste em calcular o 
azimute, projeções e coordenadas; a partir dos ângulos horizontais e distâncias 
horizontais, que são extraídos da caderneta de campo.
As fórmulas são:
(a) Azimute:
Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º
onde:
Azn é o azimute do alinhamento;
Azn-1 é o azimute do alinhamento anterior; e
Ai é o ângulo interno. 
Se o caminhamento for à direita ou no sentido anti-horário: 
Azn = Azn-1 + Ai ± 180º
Se o caminhamento for à esquerda ou no sentido horário:
 Azn = Azn-1 - Ai ± 180º
Se Azn-1 ± Ai < 180º
 Azn = Azn-1 + Ai + 180º
 Se Azn-1 ± Ai > 180º
 Azn = Azn-1 + Ai - 180º
(b) Projeções:
As projeções são calculadas da seguinte forma:
∆Y = DH.cos Az
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∆X = DH.sen Az
Onde:
∆Y é a projeção no eixo y; 
∆X é a projeção no eixo x; e
Az é o azimute do alinhamento.
(c) Coordenadas:
As coordenadas são obtidas por soma algébrica das projeções, partindo 
das coordenadas do ponto inicial:
Xn = Xn-1 + ∆X 
Yn = Yn-1 + ∆Y
Onde:
 Xn é a abcissa do ponto;
 Yn é a ordenada do ponto;
 Xn-1 é a abcissa do ponto anterior;
 Yn-1 é a ordenada do ponto anterior;
 ∆X é a projeção compensada no eixo x; e
 ∆Y é a projeção compensada no eixo y. 
Poligonal fechada
Para o cálculo de uma poligonal fechada são necessários os seguintes 
elementos: ângulo interno (horizontal); distância horizontal; azimute do 
alinhamento inicial e coordenadas do ponto inicial.
Roteiro de cálculo:
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(a) Erro angular:
O erro angular é determinado pela fórmula: 
ε = ∑Ai - [ 180.(n-2) ]
Onde:
 ε é o erro angular;
 ∑Ai é o somatório dos ângulos internos lidos;
[ 180.(n-2) ] é o somatório dos ângulos internos (calculado);
n é o número de vértices da poligonal; e
Ai é o ângulo interno.
(b) Distribuição do erro angular:
Normalmente o erro angular é distribuído por vértice, em quantidades 
iguais, embora a prática tem demostrado que nas maiores distâncias os erros 
angulares são menores.
(c) Ângulo compensado:
O ângulo compensado é determinado pela adição ou subtração do erro 
no ângulo lido.
O somatório do erro por vértice deverá ser igual ao erro total da 
poligonal. O sinal da correção deverá ser contrário ao do erro.
(d) Azimute:
 Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º
fórmula esta já conhecida do cálculo da poligonal aberta.
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(e) Projeções calculadas:
∆X’ = DH.sen Az
∆Y’ = DH.cos Az
(f) Erro linear:
O erro linear é determinado pela fórmula:
 ______________ 
 EL = √ (∑∆X’)2 + (∑∆Y’)2 
onde:
EL é o erro linear;
∑∆X’ é o somatório das projeções do eixo x; e
∑∆Y’ é o somatório das projeções do eixo y. 
(g) Precisão:
A precisão é determinada pela fórmula:
PRECISÃO = PERÍMETRO / EL
(h) Correção:
A correção do erro linear, nos eixos x e y, é dada pela fórmula:
CX = DH.∑∆X’ / perímetro
CY = DH.∑∆Y’ / perímetro
Onde: 
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DH é a distância horizontal do alinhamento; e
∑∆X’ e ∑∆Y’ são os somatório das projeções nos eixos x e y.
O sinal da correção é contrário ao sinal do erro.
(i) Projeção compensada:
A projeção compensada é calculada adicionando ou subtraindo o erro na 
projeção calculada:
∆X = ∆X’ + CX
∆Y = ∆Y’ + CY
(j) Coordenadas:
As coordenadas são calculadas por soma algébrica das projeções 
compensadas, partindo das coordenadas do ponto inicial:
Xn = Xn-1 + ∆X 
Yn = Yn-1 + ∆Y
Onde:
 Xn é a abcissa do ponto;
 Yn é a ordenada do ponto;
 Xn-1 é a abcissa do ponto anterior;
 Yn-1 é a ordenada do ponto anterior;
 ∆X é a projeção compensada no eixo x; e
 ∆Y é a projeção compensada no eixo y. 
Verificação:
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A planilha é calculada em etapas, cada qual com a sua devida 
verificação.
(a) Ângulo compensado:
A soma dos ângulos compensados deverá satisfazer a condição:
∑Ai = 180º.(n-2)
(b) Azimute:
O azimute final deverá ser igual ao azimute inicial.
(c) Correções lineares:
O somatório das correções deverá ser igual ao erro, com sinal contrário.
(d) Projeções compensadas:
O somatório das projeções compensadas deverá ser igual a zero.
(e) Coordenadas:
As coordenadas finais deverão ser iguais as coordenadas iniciais.
Exemplo:
Supondo-se um poligonal de vértices 1,2,3 e 4, onde foi realizado um 
levantamento planimétrico pelo método do caminhamento perimétrico à direita, 
os cálculos desenvolvidos até obter-se as coordenadas dos vértices da 
poligonal são:
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1) Transcrição da caderneta de campo:
EST. PV ÂNGULO 
HORIZONTAL
DISTÂNCIA
HORIZONTAL 
1 2 90º14’00” 139,460 m
2 3 89º44’40” 31,170 m
3 4 90º04’40” 137,510 m
4 1 89º54’40” 29,870 m
Azimute inicial: Az12 = 346º23’53” 
2) Soma dos ângulos internos:
∑Ai = 180º.(n-2)
No nosso exemplo: n = 4 , então ∑Ai = 360º.
3) Erro angular:
ε = ∑Ai - [180º.(n-2)]
ε = 359º58’00” - 360º ε = - 02’ 
Distribuição do erro angular: ε / n = -02’ / 4 = 30” por vértice
4) Cálculo do ângulo compensado:
ângulo compensado = ângulo lido + erro 
5) Cálculo do azimute:
Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º
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Az23 = Az12 + Ai ± 180º
Az23 = 346º23’53” + 90º14’30” ± 180º = 256º09’03” 
Az34 = 256º09’03” + 89º45’10” ± 180º = 166º14’13” 
Az41 = 166º14’13” + 90º05’10” ± 180º = 76º09’23” 
Az12 = 76º09’23” + 89º55’10” ± 180° = 346°23’53” 
6) Cálculo das projeções:
∆X’ = DH.sen Az
∆Y’ = DH.cos Az
∆X’12 = DH12.sen Az12 = 139,460.sen 346º23’53” = - 32,797
∆Y’12 = DH12.cos Az12 = 139,460.cos 346º23’53” = 135,548
∆X’23 = 31,170.sen 256º09’03” = - 30,264
∆Y’23 = 31,170.cos 256º09’03” = - 7,461
∆X’34 = 137,510.sen 166º14’13” = 32,715
∆Y’34 = 137,510.cos 166º14’13” = - 133,562
∆X’41 = 29,870.sen 76º09’23” = 29,002
∆Y’41 = 29,870.cos 76º09’23” = 7,147
7) Soma das projeções:
∑∆X’ = - 1,344
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∑∆Y’ = 1,672
8) Erro linear:
 ______________
 EL = √ (∑∆X’)2+ (∑∆Y’)2
∑∆X’ = - 1,344 EL = 2,145
∑∆Y’ = 1,672
9) Precisão:
P = perímetro / EL (perímetro = ∑DH)
P = 338,010/ 2,145 → P = 1: 157,58
A precisão indica o perímetro de levantamento para se obter o erro de 
um metro.
10) Cálculo das correções:
Cx = DH.∑∆X’ / perímetro
Cx12 = 139,460.(- 1,344) / 338,010 = - 0,554
Cx23 = 31,170.(- 1,344) / 338,010 = - 0,124
Cx34 = 137,510.(- 1,344) / 338,010 = - 0,547
Cx41 = 29,870.(- 1,344) / 338,010 = - 0,119
 
∑Cx = - 1,344
Cy = DH.∑∆Y’ / perímetro
Cy12 = 139,460.1,672 / 338,010 = 0,690
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Cy23 = 31,170.1,672 / 338,010 = 0,154
Cy34 = 137,510.1,672 / 338,010 = 0,680
Cy41 = 29,870.1,672 / 338,010 = 0,148
∑Cy = 1,672
11) Projeção compensada:
∆X = ∆X’ + Cx 
∆Y = ∆Y’ + Cy
Deve-se no cálculo das projeções compensadas, observar o sinal das 
projeções e do erro.
∆X12 = - 32,797 + (- 0,554) = - 32,243
∆X23 = - 30,264 + (- 0,124) = - 30,140
∆X34 = 32,715 + (- 0,547) = 33,262
∆X41 = 29,002 + (- 0,119) = 29,121
∑∆X = 0,000
∆Y12 = 135,548 - 0,690 = 134,858
∆Y23 = - 7,461 - 0,154 = - 7,615
∆Y34 = - 133,562 - 0,680 = - 134,242
∆Y41 = 7,147 - 0,148 = 6,999
∑∆Y = 0,000
12) Cálculo das coordenadas:
Xn = Xn-1 + ∆X
Yn = Yn-1 + ∆Y
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As coordenadas X1 e Y1, quando não possuem valores conhecidos, 
pode-se arbitrar um valor qualquer, neste exemplo, arbitrou-se X1 = 0,000 e Y1 
= 0,000:
X2 = X1 + ∆X12 = 0,000 + (- 32,243) = - 32,243
Y2 = Y1 + ∆Y12 = 0,000 + 134,858 = 134,858 
X3 = - 32,243 + (- 30,140) = - 62,383
Y3 = 134,858 + (-7,615) = 127,243
X4 = - 62,383 + 33,262 = - 29,121
Y4 = 127,243 + (- 134,242) = - 6,999
X1 = - 29,121 + 29,121 = 0,000
Y1 = - 6,999 + 6,999 = 0,000
Métodos combinados de levantamento
Para a representação em planta, de uma área onde devem figurar os 
acidentes nela existentes, não é possível a utilização de um único método de 
levantamento planimétrico, mas sim a combinação de vários métodos.
Em geral, o contorno da área é definido por uma poligonal fechada onde 
aplica-se o método do caminhamento perimétrico. As coordenadas 
compensadas dos seus vértices garantem a precisão desejada para sua 
representação em planta.
O levantamento de detalhes, tais como rios, lagos, florestas, lavouras, 
obras de engenharia, planos industriais, urbanísticos e viários, acidentes 
naturais, etc. é feito a partir dos vértices da poligonal principal; pelos métodos 
de irradiação e intersecção.
Contudo, pelas características particulares de cada método, em certas 
situações particulares uns são mais indicados que outros. Se o ponto de 
interesse é inacessível, o processo da intersecção é o mais indicado; quando 
os elementos de interesse se distribuem em torno de um ponto central, com 
visibilidade garantida, sem dúvida o processo da irradiação deve ser utilizado. 
O método do caminhamento perimétrico é utilizado também no levantamento 
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de detalhes, principalmente quando os elementos de interesse se encontram 
afastados do local do levantamento. Há situações em que se faz necessário o 
uso de métodos combinados para a determinação do detalhe. É interessante 
frisar que, na prática, muitas vezes o bom censo do profissional definirá qual o 
melhor procedimento a ser adotado.
Um problema comum, é ter de realizar o levantamento de um prédio, 
estando ele já construído. Como os vértices da poligonal de interesse são 
inacessíveis (os limites do prédio), cria-se uma poligonal de apoio, que deverá 
ter os seus alinhamentos aproximadamente paralelos aos da poligonal de 
interesse. 
Por exemplo, na figura, sendo os limites do prédio, a poligonal ABCD, 
criou-se a poligonal de apoio 1234. Neste caso, as medidas de ângulos 
horizontais e distâncias serão feitos sobre a poligonal de apoio. E ainda, deverá 
ser realizada a leitura dos ângulos horizontais 1, 2, 3 e 4 e as distâncias dos 
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vértices da poligonal de apoio até os vértices da poligonal de interesse (1A, 2B, 
3C e 4D) para futuros cálculos.
As coordenadas dos vértices 1, 2, 3 e 4 da poligonal de apoio são 
obtidos pelo cálculo analítico da planilha para poligonais fechadas. Após isto, 
para obter-se as coordenadas dos vértices da poligonal de interesse (A, B, C e 
D), realizam-se os seguintes cálculos:
Dados: ângulos 1, 2, 3 e 4; e 
 distâncias 1A, 2B, 3C e 4D.
(a) Cálculo do azimute:
Azn = Azn-1 ± Ain ± 180º
Az1A = Az41 ± Ai1 ± 180º
Az2B = Az12 ± Ai2 ± 180º
Az3C = Az23 ± Ai3 ± 180º
Az4D = Az34 ± Ai4 ± 180º
 (b)Cálculo das projeções:
∆X1A = D1A.sen Az1A ∆Y1A = D1A.cos Az1A
∆X2B = D2B.sen Az2B ∆Y2B = D2B.cos Az2B
∆X3C = D3C.sen Az3C ∆Y3C = D3C.cos Az3C
∆X4D = D4D.sen Az4D ∆Y4D = D4D.cos Az4D
c) Cálculo das coordenadas:
XA = X1 + ∆X1A XC = X3 + ∆X3C
YA = Y1 + ∆Y1A YC = Y3 + ∆Y3C
XB = X2 + ∆X2B XD = X4 + ∆X4D
YB = Y2 + ∆Y2B YD = Y4 + ∆Y4D
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Reconstituição de poligonais
É possível, a partir das coordenadas dos vértices de uma poligonal, 
calcular os seus elementos:
(a) Cálculo da distância horizontal:
 _________________
DH12 = √ (X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2 
(b) Cálculo de azimutes:
arc tg R12 = (X2 - X1) / (Y2 - Y1)
Definição do quadrante:
+/+ → NE Az = R
+/- → SE Az = 180º - R
-/- → SW Az = 180º + R
-/+ → NW Az = 360º - R
Após a definição do quadrante, transforma-se o rumo em azimute.
(c) Cálculo dos ângulos internos:
Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º
Ai = Azn - Azn-1 ± 180º 
Tolerância e precisão
No Brasil, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística estabelece na 
resolução presidencial nº 22 de 21/07/1983 que as especificações para 
poligonação para fins topográficos deve ser:
(a) Valor máximo para o erro padrão em coordenadas após a 
compensação em azimute deve ser: __
 0,8 m.√ L
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onde L é o comprimento da poligonal em km.
(b) Erro padrão relativo máximo aceitável entre quaisquer duas estações após 
o ajustamento deve ser 1 / 5.000.
A diretoria do Serviço Geográfico em seu Manual Técnico intitulado “Normas 
Gerais para operações geodésicas, astronômicas, topográficas, fotogramétricas e 
cartográficas” estabelece e diz que as organizações cartográficas nacionais ficam 
obrigadas, por lei, ao fiel cumprimento das referidas normas. E, parapoligonais 
topográficas estabelece:
(a) Tolerância linear e = L / 500;
 __
(b) Tolerância angular εa = 1,5’.√ n
onde L representa o desenvolvimento total da poligonal, em metros, e n o número de 
estações da poligonal.
Independentemente do que se apresente em termos de tolerâncias e precisões 
para poligonais topográficas, deve-se ter presente que a precisão de uma poligonal 
depende de dois fatores primordiais: a precisão nominal dos instrumentos utilizados 
nas medições da poligonal e a geometria da poligonal implantada.
Quanto às tolerâncias de uma poligonal, deve-se considerar que elas resultam 
da aplicação das leis de propagação de erros estabelecendo os limites toleráveis.
O estabelecimento de especificações técnicas deveria, contudo, resultar no 
projeto próprio do experimento, isto é, a escolha da técnica de observação, 
instrumentos usados e geometria do problema conduziriam aos limites da tolerância 
permitida.
É usual requerer que as especificações sejam prescritas em um caminho como 
encontrar os limites de tolerância com uma probabilidade de aproximadamente 0,99. 
Espera-se que os erros acidentais sigam uma função de densidade de probabilidade 
Gaussiana, os resultados atuais corresponderiam a uma tolerância:
T ≤ 3.σ
onde T é a tolerância e σ representa o erro médio quadrático obtido pela lei de 
propagação dos erros ou da matriz variância-covariância para as condições do 
experimento.
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Croqui para anotações – aula prática - CÁLCULO ANALÍTICO DAS COORDENADAS DOS 
VÉRTICES DA POLIGONAL (PRÉDIO) E CÁLCULO DE ÁREA
Planilha cedida pelo Prof Jorge Barbosa
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Exercício:
CÁLCULO ANALÍTICO DAS COORDENADAS DOS VÉRTICES DA POLIGONAL E ÁREA
Dados:
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PLANILHA PARA O CÁLCULO ANALÍTICO DAS COORDENADAS DOS VÉRTICES DA POLIGONAL
PLANILHA CEDIDA PELOS PROFESSORES RICARDO BAITELLI E JAIR WESCHENFELDER
ELEMENTOS ANGULARES DISTÂNCIAS
VÉRTICES PONTOS ÂNGULOS INTERNOS AZIMUTES MEDIDAS (m)
VISADOS LIDOS CORREÇÃO COMPENSADOS CALCULADOS ( L )
I II III IV V VI
- - - - - - G M S - - - G M S G M S - - -
SOMATÓRIOS  - - - - - - - - -
PROJEÇÕES DIRETAS OU NATURAIS PROJEÇÕES
SOBRE O EIXO X SOBRE O EIXO Y CORREÇÕES (m) COMPENSADAS COORDENADAS
x' = L × SEN AZ (m) y' = L × COS AZ (m) EIXO x EIXO y ABSCISSAS ORDENADAS
VII VIII IX X
E (+) W (-) N (+) S (-) Cx Cy E(+) W(-) N(+) S(-) X Y
 Σ = Σ = Σ = Σ = Σ = Σ = Σ = Σ = - - - - - -
 ÁREA = m
2
1
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	Planimetria
	RUMO
	Converter em AZIMUTE os seguintes RUMOS
	Converter em RUMO os seguintes AZIMUTES