Lista de Exercícios de Geodesia

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LISTA DE EXERCÍCIOS
Cálculos em Geodesia
25 questões de aplicação • coordenadas • elipsoide • levantamentos •
altitudes • GNSS
NÍVEL TÉCNICO / SUPERIOR DIFICULDADE PROGRESSIVA
Nome: __________________________________________________________
Turma: ____________________________ Data: ______ / ______ / __________
Orientação: apresente o desenvolvimento dos cálculos, indique as unidades e arredonde apenas o resultado final
conforme solicitado.
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Orientações e dados de referência
1 Use calculadora científica e mantenha pelo menos oito casas decimais nos cálculos
intermediários.
2 Adote ângulos em radianos nas funções trigonométricas, salvo indicação em
contrário.
3 Nos azimutes, considere a origem no Norte, sentido horário, no intervalo de 0° a
360°.
4 Quando não houver indicação específica, expresse distâncias em metros e ângulos
em graus, minutos e segundos.
Constantes
Modelo Parâmetro Valor
Esfera Raio médio terrestre (R) 6 371 000 m
WGS 84 Semieixo maior (a) 6 378 137,000 m
WGS 84 Achatamento inverso (1/f) 298,257 223 563
Física Velocidade da luz no vácuo (c) 299 792 458 m/s
Relações úteis
Conversão angular: 1° = 60' = 3 600". | Arco: s = RΔσ. | Achatamento: f = (a - b)/a. | 
Excentricidade: e2 = 2f - f2.
Curvaturas: N = a/√(1 - e2sen2φ) e M = a(1 - e2)/(1 - e2sen2φ)3/2.
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1. Coordenadas e geometria da Terra
1
Converta as coordenadas geográficas 5° 05' 36,48" S e 42° 48' 12,60" W para
graus decimais. Use sinais negativos para Sul e Oeste e apresente seis casas
decimais.
2
Converta a longitude -41,732625° para graus, minutos e segundos, indicando
corretamente o hemisfério. Arredonde os segundos a duas casas decimais.
3
Em uma Terra esférica, dois pontos estão sobre o mesmo meridiano e diferem 0°
45' 30" em latitude. Calcule a distância do arco meridiano entre eles, usando s =
RΔφ e o raio médio fornecido.
4
Dois pontos situam-se no paralelo de latitude 10° S e diferem 1° 20' em longitude.
Adotando uma Terra esférica, calcule a distância ao longo do paralelo pela
expressão s = R cos φ · Δλ.
5
Considere A = (5° 05' 00" S; 42° 48' 00" W) e B = (5° 04' 30" S; 42° 47' 20" W). Pela
aproximação local, use ΔN = RΔφ, ΔE = R cos φm Δλ e Az = atan2(ΔE, ΔN). Calcule a
distância AB e o azimute de A para B.
2. Elipsoide de referência
6
Para o elipsoide WGS 84, calcule: (a) o achatamento f; (b) o semieixo menor b = a(1
- f); e (c) a primeira excentricidade ao quadrado e2 = 2f - f2. Apresente b em
metros, com três casas decimais.
7
Calcule o raio de curvatura da primeira vertical N no WGS 84 para a latitude
geodésica 5° S. Use N = a/√(1 - e2 sen2φ) e apresente o resultado ao milímetro.
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8
Calcule o raio de curvatura meridiana M no WGS 84 para a latitude 45° S. Use a
fórmula fornecida na página anterior e apresente o resultado ao milímetro.
9
Um ponto possui coordenadas geodésicas φ = 5° S, λ = 42° W e altura elipsoidal h
= 150,000 m. Calcule suas coordenadas cartesianas geocêntricas por: X = (N + h)
cos φ cos λ; Y = (N + h) cos φ sen λ; Z = [N(1 - e2) + h] sen φ. Use o WGS 84 e
arredonde ao centímetro.
10
Na latitude geodésica φ = 60°, calcule a latitude geocêntrica ψ pela relação tan ψ =
(1 - e2) tan φ. Determine também a diferença angular φ - ψ em minutos de arco.
3. Levantamentos e cálculos planimétricos
11
Em um sistema plano, A = (E = 742 350,420 m; N = 9 437 820,180 m) e B = (E =
743 125,860 m; N = 9 438 440,730 m). Calcule ΔE, ΔN, a distância horizontal AB
e o azimute de A para B.
12
A partir do ponto P (E = 500 000,000 m; N = 9 250 000,000 m), projeta-se uma
linha de 1 285,430 m com azimute 127° 35' 20". Calcule as coordenadas do ponto
Q usando ΔE = d sen Az e ΔN = d cos Az.
13
Uma estação total mediu distância inclinada D = 856,420 m e ângulo zenital Z =
87° 25' 40". Calcule a distância horizontal DH = D sen Z e o desnível geométrico v
= D cos Z. Desconsidere altura do instrumento e do prisma.
14
Em uma poligonal fechada com perímetro de 4 825,600 m, obtiveram-se ΣΔE =
+0,082 m e ΣΔN = -0,061 m. Calcule o erro linear de fechamento e = √[(ΣΔE)2 +
(ΣΔN)2] e a precisão relativa na forma 1:n, com n = perímetro/e.
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15
Calcule a área do polígono P1(100,00; 100,00), P2(260,00; 120,00), P3(310,00;
250,00), P4(180,00; 330,00) e P5(80,00; 240,00), em metros, usando a fórmula de
Gauss. Apresente o resultado em m2 e hectares.
4. Altitudes, nivelamento e gravidade
16
Em um marco geodésico, a altura elipsoidal é h = 186,742 m e a ondulação geoidal
é Ng = -8,315 m. Calcule a altitude ortométrica H pela relação h = H + Ng.
Interprete o sinal da ondulação geoidal.
17
Parte-se de uma referência de nível com H = 150,000 m. Em três lances, foram
observadas as leituras: ré = 1,425 m e vante = 0,865 m; ré = 1,735 m e vante =
2,210 m; ré = 0,955 m e vante = 1,180 m. Calcule o desnível total e a altitude do
ponto final.
18
Um circuito de nivelamento com extensão K = 6,25 km apresentou erro de
fechamento +24 mm. Para a tolerância T = 12√K mm, calcule a tolerância e
determine se o circuito deve ser aceito. Calcule ainda a correção uniforme por
quilômetro a ser aplicada se o circuito for ajustado.
19
No nivelamento trigonométrico, a distância horizontal é d = 2 400 m, o ângulo
zenital é Z = 88° 35' 20", a altura do instrumento é i = 1,650 m e a altura do
prisma é r = 2,000 m. Calcule ΔH = d cot Z + i - r + c, adotando c = (1 - k)d2/(2R), k
= 0,13 e R = 6 371 000 m.
20
A gravidade observada a 620 m de altitude é 978 120,45 mGal. Calcule a correção
de ar livre pela expressão ΔgAL = 0,3086h (mGal) e a gravidade reduzida ao nível
médio do mar, adotando g0 = gobs + ΔgAL.
5. GNSS, escalas e integração geodésica
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21
Um sinal GNSS apresentou tempo aparente de propagação Δt = 0,067 000 000 s.
O relógio do receptor possui viés de +80 ns, e o relógio do satélite já foi corrigido.
Calcule: (a) a pseudodistância aparente P = cΔt; e (b) a distância corrigida ρ = c(Δt
- 80 ns).
22
Em uma observação GNSS de dupla frequência, mediram-se P1 = 22 345 678,420
m e P2 = 22 345 684,960 m. Calcule a combinação livre da ionosfera PIF = (f12P1 -
f22P2)/(f12 - f22), usando f1 = 1 575,42 MHz e f2 = 1 227,60 MHz.
23
Entre dois vértices GNSS foram obtidos os componentes de linha de base ΔE = +1
250,430 m, ΔN = -844,210 m e ΔU = +42,650 m. Calcule o comprimento espacial
L = √(ΔE2 + ΔN2 + ΔU2) e o azimute plano do primeiro para o segundo vértice.
24
Uma solução GNSS apresenta HDOP = 1,8 e erro equivalente do usuário UERE =
0,65 m. Estime a incerteza horizontal de uma observação por σH = HDOP · UERE. Se
forem realizadas 25 observações independentes de igual qualidade, estime o erro
padrão da média por σm = σH/√n.
25
Uma linha possui distância UTM de quadrícula de 5 000,000 m e fator combinado
médio kc = 0,999650. Calcule a distância no terreno pela relação Dterreno =
Dgrade/kc. Depois, determine o comprimento dessa linha, em centímetros, em um
mapa na escala 1:50 000.
Fim da lista • Revise sinais, unidades, quadrantes e arredondamentos antes de entregar.