Geotecnologia e Topografia

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GEOTECNOLOGIA 
E TOPOGRAFIA
PROF.a BETINA LUDWIG NAVARRO 
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
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emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
05
18
31
45
57
65
76
87
103
119
131
144
155
171
183
INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA
INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TOPOGRAFIA
ORIENTAÇÃO PARA TRABALHOS 
TOPOGRÁFICOS 
ORIENTAÇÃO NORTE VERDADEIRO X 
MAGNÉTICO 
SISTEMAS DE COORDENADAS E REFERÊNCIAS
PLANIMETRIA DE POLIGONAL
PASSO A PASSO DO LEVANTAMENTO 
PLANIMÉTRICO
ALTIMETRIA
PLANIALTIMETRIA
DESENHO TOPOGRÁFICO 
REPRESENTAÇÃO DE PERFIS 
TERRAPLENAGEM E CÁLCULO DE VOLUME
LOCAÇÃO DE OBRA
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INTRODUÇÃO
Olá aluno e aluna!
Sejam bem vindos a este curso de Geotecnologia e Topografia! 
Neste curso você entenderá a importância e aplicação da geotecnologia e topografia 
na engenharia civil. Essa disciplina é muito abrangente e de fundamental importância 
para o reconhecimento de terrenos, levantamento de curvas de nível, cálculo de área 
e volume, quantificação de cortes e aterro, locação de obras civis, dimensionamento 
de barragens, perfis de rodovias, terraplenagem, levantamento cadastral, levantamento 
de detalhes arquitetônicos entre outras tantas finalidades. 
A partir da topografia e do georreferenciamento é possível determinar geometricamente 
objetos sobre a superfície terrestre de forma que estejam condizentes com a realidade. A 
precisão em que estes objetos serão projetados influenciará diretamente no andamento 
de projetos e obras de engenharia. 
Ao longo das aulas serão abordados conceitos gerais e específicos, entre eles, os 
equipamentos e metodologias para execução dos levantamentos em campo e cálculos 
em escritório. Esse material fornecerá uma base sólida para que, profissionalmente, 
tenham aptidão para atuar na área ou indiretamente usar os conhecimentos no dia a 
dia da topografia. A prática é uma forma de fixação do conteúdo, portanto, aproveite 
ao máximo esse material e realize as atividades propostas. 
Bons estudos, boa evolução de conhecimento e até as aulas! 
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AULA 1
INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA 
Antes de começarmos a aula é importante termos um conhecimento mais 
aprofundado da palavra topografia, que teve sua origem na língua grega, em que 
topos significa lugar, e graphein é traduzido para o português como descrever. 
A topografia é então uma ciência que estuda uma área limitada da superfície terrestre, 
tendo como objetivo conhecer a forma no entorno, o relevo/altitude, posição que 
a área ocupa no espaço geográfico e as benfeitorias que estão em sua superfície. 
Ela permite representar, em planta, os limites de uma propriedade e os detalhes em 
seu interior como: cercas, construções, campos, córregos, vales, entre tantos outros 
detalhes que encontramos na superfície terrestre (BORGES, 2013). 
 Conforme Tuler e Saraiva (2014) a topografia tem intenção de representar um local, 
tendo como conhecimento a geometria e a trigonometria plana. Para que esta ciência 
seja aplicada, são necessários métodos que possibilitem representar o terreno em 
forma de projetos, que podem ser interpretados e usados para diversas finalidades. 
A representação do terreno depende da adoção de métodos e equipamentos que 
possibilitem a obtenção da superfície plana e do plano topográfico. O plano topográfico 
é definido como um plano perpendicular à direção vertical do lugar, em direção à 
gravidade do planeta. Em resumo, podemos dizer que a topografia, para a representação 
de uma área, depende da geometria do terreno, do uso de equipamentos e métodos e, 
por fim, do desenho. A topografia, de forma elementar, é muito antiga, estando ligada 
à história da civilização. 
1.1 Histórico da topografia 
Para entender a fundo a topografia é preciso voltar à sua história e conhecer os 
conceitos envolvidos, assim como a história da topografia está diretamente ligada 
à da civilização (SILVA; SEGATINE, 2020). Se voltarmos ao início, quando o homem 
começou a busca por alimentos e moradia, ele precisava ter referências de sentidos 
de localização para que conseguisse se posicionar novamente, surgindo, assim, os 
rabiscos das posições, matas, pontos de referência e simbologia para indicá-los. 
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Adiante, com o início da organização social e política, quando a sociedade concebeu 
a divisão e os direitos às propriedades, deveria haver alguma forma de fazer essas 
limitações e divisões. Para realizar essas demarcações, era necessário conhecer as 
formas e dimensões da superfície terrestre. No início, antigas civilizações acreditavam 
que a Terra era plana, mas, com o passar dos anos essa teoria foi questionada e, a 
partir de cálculos e observações, provou-se o contrário. 
Segundo Silva e Segantine (2020) fontes históricas comprovam que os babilônios 
já praticavam, de alguma forma, a topografia, por volta de 2500 a.C. (antes de Cristo), 
e nesta mesma época existiram trabalhos na Índia e na China. Em meados de 1400 
a.C. foram descobertas evidências de que o Egito já praticava a topografia com 
demarcações de terras, para que pudesse quantificar a produção agrícola e, assim, 
realizar a cobrança de impostos. 
Por volta de 120 a.C. filósofos gregos desenvolveram a geometria, que foi aplicada à 
topografia por Heron, que ficou conhecido como um importante topógrafo (OLIVEIRA; 
PEREIRA (2018) apud GHILANI; WOLF (2013)). Ainda, conforme os autores, os romanos 
desenvolveram a topografia com equipamentos e técnicas de medição que serviam 
de suporte para a construção dos impérios. 
Os autores Oliveira e Pereira (2018) afirmaram que é possível observar que, no período 
entre os séculos XV e XIX, a topografia teve um avanço considerável e a busca por 
terras e limitações de fronteiras foi muito importante, pois frequentemente utilizada 
pelos países colonizadores, que precisavam demarcar suas terras e propriedades, 
desta forma, surgiu uma grande produção de mapas. 
Posteriormente à topografia, surge a geodésia que é uma ciência vinculada à 
topografia e que busca respostas para a forma e dimensão da Terra como um todo 
(TULER; SARAIVA, 2014). Essa ciência foi instaurada após o homem praticar a topografia 
e entender não somente o que enxergava, mas a forma e tamanho do planeta. 
Conforme Tuler e Saraiva (2014), foi em 350 a.C., que surgiu a teoria da esfericidade 
por Aristóteles que passou a ser o fundador da ciência geográfica e em anos posteriores 
o astrônomo e matemático Erastóteles determinou o raio da Terra com grande precisão. 
1.1.1. Cartografia 
A representação das terras e propriedades através de traçados em um plano 
horizontal era realizada por meio dos mapas e cartas topográficas, técnicas de 
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aplicação da cartografia. Atualmente,entende-se como cartografia a representação 
plana, simplificada e convencional de toda a superfície terrestre ou de parte dela 
através de mapas, cartas ou plantas (IBGE, 2021). 
Na Figura 1, pode-se observar a carta de autoria de Henri Abraham Chatelain, 
executada no ano de 1719, referente a uma divisão política com figuras de animais, 
alimentos e cenas de costume, localizada em Amsterdam. 
Título: Carta topográfica de Henri Abraham Chatelain 
Fonte: https://bityli.com/HCzeu 
Podemos observar retratos descrevendo o local nesta época, entretanto, dificilmente 
hoje essa localidade está da mesma forma. A cartografia está em constante mudança, 
com alterações dos dados, processamento, gráfico e desenho final. 
1.2. Conceitos fundamentais da Geodésia 
A geodésia é uma ciência muito similar à topografia e ambas se referem a 
levantamentos para representações de porções sobre a superfície da Terra. A topografia 
se limita a áreas particulares e descrição de áreas restritas da superfície. A geodésia 
parte para o geral, determinando a forma geométrica, tamanho da Terra e campo 
gravitacional. Desta forma, a geodésia constrói e apresenta pontos locais com uma 
referência global (TULER e SARAIVA, 2014). 
Conforme Silva e Segatine (2020) a geodésia compreende as operações para 
medições de campo, chamadas de levantamentos geodésicos, baseados em medições 
https://bityli.com/HCzeu
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angulares e lineares, gravimétricas e medições processadas a partir de informações 
emitidas pelos satélites artificiais. A geodésia considera a curvatura da Terra, e sua 
aplicação em grandes áreas é justificada, desta forma, evita-se o acúmulo de erros 
com controle dos pontos de locação. 
1.2.1. Superfícies de referência 
Algumas considerações podem ser feitas para representar as superfícies da Terra, 
tanto na geodésia como na topografia, sendo a Terra dividida em três superfícies: 
física terrestre, elipsoide e geoide. Para conseguir dividi-la desta forma é necessária a 
utilização do método de Superfície de Referência. Na figura abaixo podemos verificar 
a representação do planeta nestas 3 formas. 
Título: Superfícies de referência da geodésia 
Fonte: https://adenilsongiovanini.com.br/blog/geoide-e-elipsoide-o-que-sao-e-para-que-servem/ 
A primeira superfície que parte do geral da superfície e que mais se aproxima da 
forma da Terra é a geoide, na figura anterior representada pela cor cinza. A geoide 
é obtida pelo prolongamento do nível médio dos mares e obtida por uma infinidade 
de pontos em que a direção normal de cada ponto é formada a partir da gravidade 
terrestre (TULER e SARAIVA, 2014).
Em marrom, temos a representação da superfície física terrestre, que representa 
as elevações da Terra com posicionamentos dos pontos na sua superfície geométrica 
(SILVA e SEGATINE, 2020).
Na figura, a superfície em verde é chamada de elipsoide, ou então, elipsoide de 
revolução. Esta superfície é adotada como forma da Terra para cálculos de posição, 
distâncias, direções e geometria na cartografia, isto porque simplifica os cálculos 
ao adotar uma revolução girando em torno do eixo menor da Terra, conforme figura 
abaixo. Salienta-se que a origem geralmente coincide com o centro de massa da Terra 
(TULER e SARAIVA, 2014).
https://adenilsongiovanini.com.br/blog/geoide-e-elipsoide-o-que-sao-e-para-que-servem/
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Título: Elipsoide de revolução 
Fonte: TULER e SARAIVA (2014)
Na figura abaixo, representando as superfícies da Terra, podemos verificar como ela 
é realmente, chamada de geoide; a forma mais aproximada do geoide e que melhor 
se adapta à forma da Terra é a elipsoide achatada nos polos e que melhor representa 
a superfície. 
Título: Titulo: Globo do planeta Terra com superfícies geoide e elipsoide 
Fonte: http://apoiogeomatica.com.br/blog/2020/07/25/geoide-e-elipsoide-uma-dupla-inseparavel-da-topografia/ 
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1.3. Conceitos fundamentais da Topografia 
A Topografia considera levantar trechos de dimensões limitadas, sendo que 
a aproximação sugerida considera a Terra plana e despreza a curvatura terrestre. 
Além disso, considera-se a superfície terrestre como plana e a curvatura terrestre é 
desconsiderada, constituindo o chamado campo topográfico.
Segundo TULER e SARAIVA (2014) o campo topográfico é a área limite da superfície 
terrestre que pode ser representado topograficamente ao considerá-la esférica e 
desprezando a curvatura da Terra. A Terra é limitada pela grandeza de área, de forma 
que possa considerá-la como plana em determinada faixa de sua superfície, e a definição 
desta área é a função da precisão exigida para representar. Por exemplo, se adotar 
uma área muito extensa, a precisão vai diminuir e quanto menor, mais precisa seria. 
Surgem, assim, os limites de aplicação da topografia, por não considerar a curvatura, 
o plano topográfico é substituído por um arco e, desta forma, surge o erro de esfericidade 
em função do raio da terra. O erro de graficismo também deve ser considerado de 
acordo com a escala adotada.
As definições da ciência topográfica explicam o principal produto da topografia, 
que é a obtenção da planta topográfica. As plantas topográficas podem ser obtidas a 
partir dos levantamentos topográficos. Conforme a ABNT (1996, p.3) o levantamento 
topográfico é definido como: 
Conjunto de métodos e processos que, através de medições de 
ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais 
e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, 
primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, 
determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se 
relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação 
planimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação 
altimétrica por intermédio de curvas de nível, com equidistância 
também predeterminada e/ou pontos cotados.
1.3.1. Divisões da topografia 
Para o estudo da topografia, podemos dividir as operações topográficas em topometria 
e topologia. A topometria trata dos métodos e instrumentos para obtenção e análise 
das grandezas lineares e/ou angulares que, por sinal, definem os pontos topográficos, 
considerando os planos horizontal e vertical. 
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O que é o ponto topográfico? O ponto topográfico é o ponto do terreno que serve de 
apoio para a execução das medidas lineares e angulares, e que auxilia na representação 
desse espaço e nas demais informações que precisam ser cadastradas.
A topometria se divide em planimetria, altimetria e planialtimetria. A planimetria faz 
parte dos procedimentos, métodos e instrumentos de medida de ângulos e distâncias, 
ao considerar um plano horizontal; a altimetria estuda os procedimentos, métodos 
e instrumentos de distâncias verticais ou diferenças de níveis e ângulos verticais, 
sendo obtida pela execução do nivelamento; e a planialtimetria que aplica técnicas 
da planimetria com altimetria para construção de plantas com curvas de nível.
Podemos subdividir a topometria de acordo com sua forma de execução, utilizando 
equipamentos sobre e acima da superfície terrestre. Os equipamentos sobre a superfície 
são aqueles que possibilitam executar as operações planimétricas e altimétricas, sejam 
juntas ou separadas, através do processo de taqueometria. Atualmente, temos os 
aparelhos eletrônicos que também realizam estes trabalhos de obtenção de imagens 
terrestres por meio do laser e da fotogrametria terrestre.
Os equipamentos acima da superfície terrestre são aqueles que modernizaram alguns 
processos da topografia, e podem ser subdivididos emtécnicas do sensoriamento 
remoto, como, por exemplo, a fotogrametria aérea que utiliza fotografias aéreas e o 
sensoriamento remoto orbital que utiliza imagens digitais. A aerofotogrametria é o 
método de levantamento utilizado para grandes glebas de Terra, fornecendo fotografias 
orientadas da superfície da Terra em eixos verticais e inclinadas através de aviões. 
Atualmente, está sendo substituída pelas fotos de satélites artificiais, através do 
posicionamento de satélites dos sistemas GPS e GLONASS.
Título: Fotogrametria aérea para obtenção de imagens do relevo
Fonte: http://www.megatimes.com.br/2014/05/fotogrametria-ciencia-aplicada.html 
http://www.megatimes.com.br/2014/05/fotogrametria-ciencia-aplicada.html
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A outra divisão da topografia, topologia ou geomorfologia, cuida do estudo das formas 
relevo, da parte exterior do terreno através da sua formação, modificação no tempo e leis 
que a regem. É responsável por representar e interpretar uma planta do relevo do terreno, 
por meio dos pontos cotados, das curvas de nível ou de modelos em perspectiva. A 
principal aplicação da topologia se dá para a representação da cartografia dos terrenos. 
Título: Geomorfologia do solo com relevos acidentados, elevações, curvas de nível 
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/geografia/geomorfologia.htm 
Atualmente, no meio digital da altimetria é possível aplicar interpoladores com 
softwares de MDTs (Modeladores Digitais de Terreno) que possibilitam análises 
geomorfológicas para a área de interesse. A geomorfologia pode condicionar a 
ocorrência de escorregamentos de terras que tendem a ocorrer devido à forma, à 
orientação das encostas, à declividade e à altimetria do terreno. Com esta técnica é 
possível visualizar o relevo em perspectiva juntamente com a planta planialtimétrica 
que facilita a análise do problema de interesse. 
Título: Superfície MDT do relevo por meio digital 
Fonte: https://www.aerodronebrasil.com/mineracao/mdt/ 
https://brasilescola.uol.com.br/geografia/geomorfologia.htm
https://www.aerodronebrasil.com/mineracao/mdt/
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As demais divisões da topografia englobam a taqueometria que tem como objetivo 
realizar o levantamento de pontos do terreno utilizando triângulos retângulos e, desta 
forma, surgem as plantas cotadas ou com curvas de nível. Em terrenos altamente 
acidentados como morros, montanhas, vales, etc., oferece muitas vantagens em relação 
aos métodos topométricos, já que os levantamentos são realizados com maior rapidez 
e economia. Sendo então a parte da topografia que trata das medidas indiretas das 
distâncias horizontais e verticais.
Título: levantamento taqueométrico utilizando triângulos retângulos para obtenção das distâncias verticais e horizontais através do método indireto. Fonte: 
http://www.cartografica.ufpr.br/docs/nadal%20-%20topo%20d/nivelamento%20trigonom%C3%A9trico.pdf 
1.3.2. Importância e aplicações da Topografia 
A topografia tem grande importância e aplicação no dia-a-dia da sociedade, como 
vimos ela é responsável por projetar o terreno através do plano topográfico e, desta 
forma, gerar a planta topográfica. Nesta planta obtivemos uma representação detalhada 
de uma superfície terrestre, sendo utilizada para qualquer obra da arquitetura, engenharia 
ou agronomia, impõe-se o prévio levantamento topográfico do lugar onde deverá ser 
implantada. A topografia é aplicada em diferentes tipos de trabalhos e tem papel 
principal nas áreas de Engenharia, Arquitetura, Agronomia entre outras. 
Por isso, todos os engenheiros e técnicos que trabalham diretamente ou indiretamente 
com a Topografia devem ter conhecimento sobre os métodos de levantamento, 
aplicações dos métodos e equipamentos topográficos, pois definirão a qualidade e 
precisão de um levantamento através da modalidade adotada.
Entre as várias áreas da engenharia, a topografia está presente na construção civil; no 
urbanismo; na área de saúde, saneamento e meio ambiente, nas vias de comunicação 
e transporte; na geologia, geotecnia e mineração; nas ciências florestais e agrárias; 
na área industrial e defesa nacional com exploração e demarcação de áreas. 
http://www.cartografica.ufpr.br/docs/nadal%20-%20topo%20d/nivelamento%20trigonom%C3%A9trico.pdf
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Já parou para pensar na infinidade de áreas e aplicações que temos da topografia?
• Obras civis de estradas, aeroportos, ferrovias, metrôs, envolvem o corte/aterro, 
terraplenagem;
• Questões ambientais, cadastrais, judiciais, reflorestamento;
• Projetos de paisagismo, irrigação, drenagem, plantações, execução de curvas de 
nível;
• Planejamento urbano, conjunto habitacional, levantamento cadastral rural e 
urbano;
• Obras de arte como ponte, túnel, viaduto; 
• Construção de barragem, usina hidrelétrica;
• Linha de transmissão de força, telecomunicações;
• Qualquer edificação, indústria; 
• Perfuração de minas, demarcação de sítios arqueológicos; 
• Planejamento de redes, distribuição de água e esgoto, construção de aterros 
sanitários;
• Definição de perfis de rodovias, ferrovias, canais, rios e sua determinação de 
alturas;
• Obtenção de volumes e levantamento em áreas rurais;
• Análises de viabilidade, implantação de obras e locação de obras; 
• Carta topográfica e planta topográfica.
Estas são algumas aplicações da topografia, conseguem ver quão importante e 
presente elas estão no mundo da engenharia? 
FONTE: o autor
1.3.3. Estudo topográfico para a engenharia 
Para a execução de qualquer obra civil genérica é necessário, inicialmente, um 
planejamento. O planejamento de como será o projeto, parte do levantamento 
planialtimétrico, que leva em consideração as representações do terreno no plano 
vertical (altitude) e horizontal (plano). 
Com o serviço da topografia e representação do terreno é possível identificar a 
situação do terreno, com seus declives, aclives, imperfeições, necessidade de corte 
e aterro, tudo isso influencia no projeto e levantamento do orçamento. Muitas vezes 
a interferência no terreno será grande e o investimento financeiro para, por exemplo, 
uma regularização do terreno, acaba inviabilizando a execução. 
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Todo engenheiro se preocupa em planejar, projetar e reduzir os custos das obras. 
As etapas de uma obra civil genérica parte primeiro da representação do terreno que é 
possível graças ao levantamento topográfico, o projeto da obra no terreno, projeto com 
a modificação do terreno original e, por fim, a execução da obra, com a locação da obra. 
1.3.4. Normalização do levantamento topográfico
A normalização é o processo de estabelecer e aplicar regras a fim de abordar 
ordenadamente uma atividade específica e com a participação de todos os interessados 
e, em particular, de promover a otimização da economia, levando em consideração as 
condições funcionais e as exigências de segurança. No Brasil, seguimos as normas da ABNT 
– Associação Brasileira de Normas Técnicas, sendo então uma normatização nacional. 
Entretanto, sabemos que existem diversas normas no mundo, como, por exemplo, a ISO 
- International Organization for Standardization, que é uma normatização internacional.
As normas trazem diversos benefícios tanto para o engenheiro, cliente e sociedade, 
entre elas, pode-se listar:
• Economia: proporcionar a redução da crescente variedade de produtos e 
procedimentos; 
• Comunicação: proporcionar meios mais eficientes para a troca de informações 
entre o fabricante e o cliente, melhorando a confiabilidade das relações comerciais 
e serviços;
• Segurança: proteger a vida humana e a saúde;
• Proteção ao consumidor: prover a sociedade de meios eficazes para aferir a 
qualidade dos produtos;• Eliminação de barreiras técnicas e comerciais: evitar a existência de regulamentos 
conflitantes sobre produtos e serviços em diferentes países, facilitando assim, 
o intercâmbio comercial.
A figura abaixo apresenta um resumo das principais finalidades das normas.
Título: Principais finalidades das normas
Fonte: o autor 
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1.3.4.1 Etapas do estudo topográfico 
As etapas de um estudo topográfico englobam o levantamento dos dados em 
campo, processamento das informações topográficas, representação gráfica, memorial 
descritivo e projeto. Para a realização de um levantamento topográfico, seja para qual 
for sua finalidade, deve ter, no mínimo:
a) planejamento, seleção de métodos e aparelhagem; 
b) apoio topográfico; 
c) levantamento de detalhes; 
d) cálculos e ajustes; 
e) original topográfico; 
f) desenho topográfico final; 
g) relatório técnico.
Estas etapas devem ser realizadas embasadas na ABNT 13.133 intitulada execução 
de levantamento topográfico, em que ela fixa as condições exigíveis para a execução 
de levantamentos topográficos com objetivos destinados a obter (ABNT, 1994, p.1): 
• Conhecimento geral do terreno: relevo, limites, confrontantes, área, localização, 
amarração e posicionamento;
• Informações sobre o terreno destinadas a estudos preliminares de projeto;
• Informações sobre o terreno destinadas a anteprojetos ou projetos básicos;
• Informações sobre o terreno destinadas a projetos executivos;
• Compatibilizar medidas angulares, medidas lineares, medidas de desníveis;
• Fixar tolerâncias em função dos erros, relacionando métodos, processos e 
instrumentos para a obtenção de resultados compatíveis com a destinação do 
levantamento.
• Definições: onde são apresentadas as definições adotadas pela norma, como 
por exemplo, definições de croqui, exatidão, erro de graficismo, etc.;
• Aparelhagem: instrumental básico e auxiliar e classificação dos instrumentos;
• Condições gerais: especificações gerais para os trabalhos topográficos;
• Condições específicas: referem-se apenas às fases de apoio topográfico e de 
levantamento de detalhes que são as mais importantes em termos de definição 
de sua exatidão;
• Inspeção do levantamento topográfico;
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• Aceitação e rejeição: condições de aceitação ou rejeição dos produtos nas 
diversas fases do levantamento topográfico; 
• Anexos: exemplos de cadernetas de campo e monografias, convenções 
topográficas e procedimento de cálculo de desvio padrão de uma observação 
em duas posições da luneta.
Portanto, todo o levantamento topográfico deve ser realizado de acordo com as 
indicações apresentadas na NBR e, para tanto, ela deve ser sempre consultada.
ANOTE ISSO
A topografia utiliza diversos equipamentos, métodos, ferramentas e representações 
para a obtenção do levantamento topográfico. Os levantamentos topográficos são 
realizados conforme a NBR 13.133, sendo necessário compatibilizar as medidas 
angulares, medidas lineares, medidas de desnível e as respectivas tolerâncias 
em função dos erros. Estes serão os conteúdos a serem discutidos durante esta 
disciplina. 
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AULA 2
INSTRUMENTOS 
TOPOGRÁFICOS 
A realização de um levantamento topográfico é possível graças ao uso de diversos 
instrumentos e acessórios, que foram evoluindo ao longo do tempo até chegarem 
em concepções mais atuais e tecnológicas. No entanto, para que os instrumentos 
operem de forma eficiente, são necessários os acessórios, essenciais no campo para 
a execução do serviço topográfico, e em escritório para materializar e possibilitar a 
representação. Acredito que, para muitos, seja o primeiro contato com eles, portanto, 
apresentarei a aplicação dos instrumentos e acessórios.
2.1 Acessórios 
2.1.1 Escritório 
Podemos citar os instrumentos básicos utilizados no escritório para transposição dos 
dados levantados em campo, como: lapiseira, borracha, régua, transferidor, compasso, 
escalímetro, planímetros, papéis, mesa para desenho, computador, hardware, software, 
programas de processamento de dados, programas para desenhos, impressoras e 
plotter. 
2.1.2 Campo
Os acessórios utilizados em campo têm função de auxiliar durante o levantamento 
topográfico, sendo eles: piquete, estaca, tachinha, prego, martelo, marreta, facão, 
motosserra, pincel, tinta em lata, tinta spray, mangueira, guarda-sol, prancheta de 
mão, caderneta de campo para anotação, marco de concreto, baliza, prumo, trena, 
mira, tripé, bipé, prisma. Veremos os principais, mais utilizados e suas funções na 
topografia. 
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2.1.2.1 Piquete 
Os piquetes são necessários para marcar de maneira eficiente os extremos do 
alinhamento a ser medido. Apresentam como características:
• fabricados de madeira roliça ou de seção quadrada com a superfície plana no 
topo;
• assinalados (marcados) na sua parte superior com tachinhas de cobre, pregos 
ou outras formas de marcações que sejam permanentes;
• comprimento variável de 15 a 30 cm (dependendo do tipo de terreno em que 
será realizada a medição); 
• diâmetro variando de 3 a 5 cm; 
• são cravados no solo, mas cerca de 3 a 5 cm devem permanecer visíveis, sendo 
que sua principal função é a materialização de um ponto topográfico no terreno.
Título: Piquetes alinhados na horizontal
Fonte: https://adenilsongiovanini.com.br/blog/piquete-topografia-o-que-e-e-qual-sua-funcao/ 
Título: Piquetes cravado no chão na vertical com sua marcação 
Fonte: https://engenhariacivilfsp.files.wordpress.com/2013/03/aula-topo-5-instrumentos-de-topografia.pdf 
https://engenhariacivilfsp.files.wordpress.com/2013/03/aula-topo-5-instrumentos-de-topografia.pdf
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2.1.2.2. Estacas 
São semelhantes aos piquetes, entretanto, possuem maior comprimento que os 
piquetes, tendo comprimento variável de 15 a 40 cm e diâmetro variável de 3 a 5 cm. 
São utilizadas para facilitar a localização dos piquetes com cerca de 30 a 50 cm de 
distância. Ajudam na localização do ponto. Outra finalidade das estacas é concretizar 
alinhamentos, tendo distâncias constantes como em locação de eixo de estradas que 
estão posicionadas a cada 20 metros. 
2.1.2.3. Marcos de concreto 
O marco para topografia são peças de concreto armado, de alta resistência, devem 
ter alta durabilidade e implantados em locais afastados das obras para que tenham 
visibilidade e evitem que sejam destruídos. Estes pontos são chamados de pontos 
de referência ou RN – referência de nível e possuem informações de localização e 
altitude pré-determinadas. 
Título: Marco de concreto
Fonte: TULER e SARAIVA (2014) 
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2.1.2.4. Balizas 
A baliza tem como função elevar o ponto topográfico, tornando visível para se 
fazer medições de distâncias horizontais ou nivelamentos geométricos. Para evitar 
erros, esta deve ficar verticalmente em cima do piquete. São utilizadas também com 
auxílio do nível de cantoneira. Elas têm como características serem de madeira ou 
ferro, arredondados, sextavados ou oitavados; possuem ponta guarnecida de ferro; 
comprimento de dois metros e pintadas em branco e vermelho para permitir que 
sejam facilmente visualizadas à distância. 
Título: Baliza
Fonte: https://sites.google.com/site/monitoriaativa/home/topografia 
2.1.2.5. Nível de cantoneira 
A cantoneira é um acessório dotado de bolha circular, que permite a correta 
verticalização da baliza sobre o piquete ou alinhamento a se medir. 
Título: Nível de cantoneira utilizado na baliza
Fonte: https://adenilsongiovanini.com.br/blog/instrumentos-topograficos-o-guia-definitivo/nivel-de-cantoneira/https://sites.google.com/site/monitoriaativa/home/topografia
https://adenilsongiovanini.com.br/blog/instrumentos-topograficos-o-guia-definitivo/nivel-de-cantoneira/
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2.1.2.6. Mira 
A mira é uma régua de madeira, alumínio ou PVC, graduada em m, dm, cm e mm; 
utilizada na determinação de distâncias horizontais e verticais entre pontos. Ela possui 
4,00 metros de altura, graduada de centímetro em centímetro, destinada a ser lida 
através da luneta do aparelho. A mira é graduada de forma especial que permite a sua 
leitura mesmo que se possa ver apenas uma pequena parcela do seu comprimento.
Título: Mira estadimétrica
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Baliza_topogr%C3%A1fica 
A leitura da mira estadimétrica é realizada conforme descrição: 
O primeiro número, m (metro), é identificado na mira por algarismos romanos – I, 
II, III, posicionadas no início de cada metro correspondente, e por pontos vermelhos 
(um, dois, três ou quatro).
O segundo número, dm (decímetro), é identificado pelos algarismos arábicos 1,2, 
3, 4, ... 7, 8, 9. Representam a divisão do metro em dez partes iguais, 1 m = 10 dm.
O terceiro número, cm (centímetro), é identificado pela divisão do decímetro 
correspondente em dez partes iguais, (branca/preta). Onde a divisão branca, significa 
centímetro par (0,2,4,6,8) e a preta centímetro ímpar (1,3,5,7,9).
O quarto número, mm (milímetro): é identificado pela divisão do centímetro 
correspondente em dez partes iguais, e é feita por aproximação. Deve-se atentar para 
não cometer um erro de leitura maior que dois milímetros, para mais ou para menos.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Baliza_topogr%C3%A1fica
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2.1.2.7. Prisma refletor 
O prisma refletor é formado por um prisma de vidro utilizado como refletor para 
o sinal EDM. Ele é um auxiliar durante um levantamento com a Estação Total, e é 
utilizado quando se deseja medir grandes distâncias, assim a precisão será maior. 
Título: Estação total 
Fonte: https://engenhariaearquiteturablog923801639.wordpress.com/2019/03/25/o-que-e-estacao-total/ 
2.1.2.8. Tripé 
O tripé é um acessório que permite a fixação de instrumentos como teodolito, nível 
e estação total em sua base. Ele possui pernas telescópicas, permitindo a instalação 
do instrumento em diversas alturas, com ponteiras guarnecidas de ferro. 
Título: Tripé
Fonte: http://www.geotecnica.com.br/prod-acessorios.php 
https://engenhariaearquiteturablog923801639.wordpress.com/2019/03/25/o-que-e-estacao-total/
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Você sabe como utilizar e nivelar o tripé? Veja as indicações abaixo 
• Feche bem as travas do tripé; 
• Separe as três pernas do tripé. Dica: deixe uma perna bem afastada da outra, 
isto proporcionará um melhor equilíbrio do acessório;
• Pise nas ponteiras para posicionar as pernas do tripé firmemente no chão; 
• Solte as travas do tripé e ajuste sua altura, de modo que, a ocular do aparelho 
fique no nível do olho do operador; 
• Deixe a base do tripé o mais horizontal possível; 
• Coloque o nível automático sobre a base; 
• Utilize o parafuso preso à base do tripé para fixar o aparelho. Não solte o 
aparelho antes que este esteja bem fixo; 
• Gire os parafusos calantes até que a bolha de ar esteja centralizada com a 
marca do nível de bolha circular. 
• Gire o instrumento e verifique se a bolha se mantém no centro do nível para 
qualquer direção; 
• Depois de feito, você se certificará que o aparelho está nivelado; 
• Atendidos os passos anteriores, pode-se começar a medição. 
2.1.2.9. Caderneta de campo 
A caderneta de campo é utilizada para anotar todas as informações referentes ao 
levantamento de dados a campo. É uma ferramenta essencial para etapas pós-campo, 
feita para auxiliar não só você que a elaborou, mas também outros pesquisadores.
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Título: Exemplo de caderneta de campo 
Fonte: http://topfumec.blogspot.com/2014/06/caderneta-de-nivelamento.html 
2.2. Instrumentos topográficos 
São utilizados diferentes equipamentos para a realização do levantamento 
topográfico e, assim, obtenção das cotas, altitudes e desníveis. Entre eles, podemos 
citar: bússola, nível, teodolito, estação total, GPS de navegação, GPS de precisão.
2.2.1. Nível 
Título: Nível ótico topográfico 
Fonte:https://adenilsongiovanini.com.br/blog/nivel-topografico-o-que-e-e-quando-utilizar/ 
http://topfumec.blogspot.com/2014/06/caderneta-de-nivelamento.html
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Os níveis são classificados a partir do desvio-padrão de 1 km de duplo nivelamento, 
sendo: precisão baixa quando o desvio padrão for maior do que 10 mm/ km e precisão 
muito alta quando o desvio-padrão for menor ou igual a 1 mm/ km. Então, quanto 
mais baixo o desvio padrão, mais exato é o seu nivelamento.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Após realizar o nivelamento do tripé, podemos prosseguir com o nível: 
• Coloque o nível sobre a base; 
• Utilize o parafuso preso à base do tripé para fixar o aparelho. Não solte o 
aparelho antes que este esteja bem fixo; 
• Gire os parafusos calantes até que a bolha de ar esteja centralizada com a 
marca do nível de bolha circular. 
• Gire o instrumento e verifique se a bolha se mantém no centro do nível para 
qualquer direção; 
• Depois de feito, você se certificará que o aparelho está nivelado; 
• Atendidos os passos anteriores, pode-se começar a medição. 
2.2.2. Teodolito 
Os teodolitos são equipamentos que permitem realizar medições de ângulos verticais 
e horizontais, necessários para a determinação de ângulos externos ou internos de uma 
poligonal, prolongar linhas retas, realizar nivelamento, determinar rumos magnéticos, 
medir distâncias por estadimetria e determinar a posição de elementos irradiados em 
um levantamento.
O aparelho consta basicamente de um círculo graduado acoplado a uma luneta 
telescópica. Este conjunto é adaptado a um tripé e estacionado sobre o vértice do 
ângulo que se deseja medir, após ser nivelado. Depois de materializado um plano 
horizontal por meio dos níveis de bolha (esférico e/ou tubular), aplica-se a técnica de 
nivelamento taqueométrico, com uso dos fios estadimétricos de um teodolito.
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Título: Teodolito
Fonte: https://www.geotrackconsultoria.com.br/teodolito-eletronico-modelo-dgt-2gld 
Os teodolitos podem ser de precisão angular baixa, média e alta; podem ser utilizados 
em levantamentos topográficos, geodésicos e astronômicos; e a forma dele pode 
ser óptica-mecânica ou digital. Os elementos principais que compõem os teodolitos 
óptico-mecânicos e digitais são:
Título: Elementos principais do teodolito 
Fonte: https://www.passeidireto.com/arquivo/40818104/componentes-do-teodolito 
https://www.geotrackconsultoria.com.br/teodolito-eletronico-modelo-dgt-2gld
https://www.passeidireto.com/arquivo/40818104/componentes-do-teodolito
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Após realizar o nivelamento do tripé, podemos prosseguir com o teodolito: 
• Coloque sobre a base do tripé o teodolito. Procure coincidir a forma triangular do 
aparelho e da base; 
• Utilize o parafuso preso à base do tripé para fixar o aparelho. Não solte o 
aparelho antes que este esteja bem fixo; 
• Gire os parafusos calantes até que a bolha de ar esteja no centro do nível da 
bolha central. 
• Gire o instrumento e verifique se a bolha se mantém no centro do nível para 
qualquer direção; 
• Depois de feito, você se certificará que o aparelho está nivelado;• Use o prumo ótico para verificar se o aparelho está centralizado no piquete 
(ponto que marca a primeira estação). Caso não esteja, fixe bem uma das 
pernas do tripé e levante as outras duas buscando a centralização. Se a bolha 
central estiver fora do eixo, nivele novamente; 
• Alinhe o nível de bolha tubular paralelamente com dois parafusos calantes. Gire 
estes dois parafusos até a bolha estar no centro do tubo. Dica: gire estes dois 
calantes em direções opostas; 
• Depois gire o aparelho a 90º e alinhe o nível de bolha tubular com o terceiro 
parafuso calante, gire-o até que a bolha esteja centralizada; 
• Confirme, pelo prumo ótico, se o ponto topográfico está centralizado; 
• Atendidos os passos anteriores, pode-se começar a medição. 
ISTO ESTÁ NA REDE
Após conhecer um pouco melhor sobre o acessório tripé e como instalar os 
equipamentos nível e teodolito no tripé, você deve estar curioso para ver isso na 
prática. Assista ao vídeo abaixo para melhor visualização do passo a passo.
LINK: https://www.youtube.com/watch?v=Xu3peJyORb4 
Título: Instalação do teodolito 
Autor: Paulo César Poliseli 
2.2.3. Estação total
A estação total tem as mesmas características básicas do teodolito sendo composto 
de luneta com movimentos: vertical e horizontal, dois discos graduados, mas totalmente 
digital. Ela incorporou o teodolito eletrônico com o distanciômetro em um único aparelho. 
https://www.youtube.com/watch?v=Xu3peJyORb4
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Todas as informações coletadas com a ferramenta são armazenadas na memória 
interna do equipamento e os dados podem ser utilizados em programas específicos 
para realizar os cálculos topográficos e, posteriormente, podem ser manipulados e 
adicionados aos programas de CAD. Desta forma, os cálculos carregados em programa 
específico diminuem consideravelmente o trabalho e o tempo gasto no escritório. 
Título: Estação total 
Fonte: https://www.aleziteodolini.com/produtos/estacao-total-r25/ 
A estação total é capaz de medir ângulos horizontais e verticais, distâncias horizontais, 
verticais e inclinadas, além de exibir outras informações, tais como: condições do 
nivelamento do aparelho, número de pontos medidos, coordenadas UTM ou geográficas, 
altitude do ponto e altura do bastão. O prisma refletor é usado com a estação total. 
2.2.4. GPS
O GPS (Global System Position) permite obter a posição precisa e a localização 
geográfica de pontos em qualquer lugar da superfície terrestre por meio de satélites 
artificiais e em tempo real. Inicialmente, adotava-se o termo Global Navigation Satellite 
System (GNSS), ou seja, sistemas globais de navegação por satélite. 
Serve, principalmente, para levantamentos topográficos planos e altimétricos de 
estradas, adutoras, canais, linhas de transmissão, propriedades rurais, redes de esgotos, 
georreferenciamento de terrenos, determinação de curvas de nível.
No levantamento topográfico com GPS, um topógrafo pode fazer o trabalho de um 
time inteiro em uma fração do tempo necessário às técnicas convencionais. Outra 
vantagem está no fato de que o trabalho fica georreferenciado, isto é, todo amarrado 
na rede de triangulação geodésica nacional.
https://www.aleziteodolini.com/produtos/estacao-total-r25/
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Título: GPS 
Fonte: http://esferatopografia.com.br/ 
ANOTE ISSO
Abaixo, temos um resumo com as principais características dos instrumentos 
topográficos que são utilizados:
• Níveis que partem do princípio construtivo no fenômeno da gravidade, onde são 
feitas as medidas na régua graduada;
• Teodolito que é utilizado na leitura de ângulos horizontais e verticais e da régua 
graduada, também chamado de taqueômetros;
• Estação total que é o principal instrumento eletrônico utilizado para a medida de 
ângulos e distâncias de forma eletrônica;
• GPS é uma forma de obter distância pelas coordenadas dos pontos extremos 
de uma linha, por meio de um receptor de satélites GPS (após as devidas 
reduções para a distância topográfica horizontal).
http://esferatopografia.com.br/
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AULA 3
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
DE TOPOGRAFIA 
Na realização dos levantamentos topográficos são obtidos pontos topográficos 
que concretizam a determinação da superfície terrestre. Para isso, são realizadas 
medições que são essenciais para materializar a planta topográfica. Estas medidas 
podem ser: lineares e angulares.
As grandezas lineares são do tipo das distâncias horizontais, verticais ou diferenças 
de nível e inclinadas. Já as grandezas angulares são ângulos azimutais ou horizontais 
e ângulos zenitais ou verticais. As formas para a obtenção destas medições podem 
ser divididas em duas categorias: medidas diretas e indiretas.
Estas medições estão passíveis de erros que podem acontecer no dia-a-dia, devido 
ao instrumento, operador, clima etc. Para tanto, é necessário, nos levantamentos 
topográficos, evitá-los, garantindo assim uma representação mais fiel à realidade. A 
representação do levantamento topográfico é possível graças ao uso de escala, tema 
este que abordaremos nesta aula para relembrar o conceito!
3.1 Medições 
As medições podem ser designadas quanto à forma de observação propriamente dita 
pela ação ou pela forma de medição usando o equipamento apropriado. A adoção das 
medições apropriadas para cada levantamento depende da morfologia e da geometria 
do terreno, da área a ser levantada e da finalidade do levantamento topográfico. As 
formas para a obtenção destas medições podem ser divididas em duas categorias: 
medidas diretas e indiretas. 
3.1.1 Medidas diretas
A obtenção de medidas diretas surge quando se mede diretamente a grandeza que 
se pretende obter, obtendo o valor real. Estas medições são realizadas percorrendo 
o alinhamento.
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Os instrumentos usados para obtenção de medidas diretas são denominados 
diastímetros ou trenas, que nada mais é que uma fita métrica. Geralmente, as trenas 
são constituídas de uma fita de lona, de fibra de vidro, de aço, de nylon acondicionada 
e ficam envoltas em uma caixa circular. 
As trenas podem ser de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros. As fitas de aço temperado 
normalmente têm 5, 10, 20, 30, 50 e até 100 metros. Outros instrumentos também 
classificados como diastímetros são as trenas de roda e os pedômetros. 
Título: Trena de fibra de vidro 
Fonte: http://www2.uefs.br/geotec/topografia/apostilas/topografia(4).htm 
Título: Trena de roda
Fonte: https://images.tcdn.com.br/img/img_prod/702889/231_0_20190525103251.jpg 
Título: Pedômetro
Fonte: https://www.udesc.br/arquivos/cefid/imagens/pedometro_yamax_pw_610_1534172524944_557.jpg 
http://www2.uefs.br/geotec/topografia/apostilas/topografia(4).htm
https://images.tcdn.com.br/img/img_prod/702889/231_0_20190525103251.jpg
https://www.udesc.br/arquivos/cefid/imagens/pedometro_yamax_pw_610_1534172524944_557.jpg
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O nível de mangueira é considerado também um instrumento para obtenção de 
medidas diretas, entretanto, ele é um sistema com menor precisão. O nível de borracha, 
assim também chamado, tem como base o princípio físico da força da gravidade sobre 
os vasos comunicantes. Consiste em uma mangueira d’água transparente que permite, 
em função do nível de água das extremidades, proceder na obtenção da medida de 
distâncias com o diastímetro na posição horizontal.
Título: Mangueira de nível que permite a obtenção direta da diferença de níveis 
Fonte: https://3.bp.blogspot.com/-xEtszo0dNzM/VwevLI5VgJI/AAAAAAAAn_I/VCHr6QKCqOsaYuLkZjyZfwozVkCiUmxwA/s1600/
Como%2Bconstruir%2Bum%2BN%25C3%258DVEL%2Bcom%2Bmangueira%2B3.jpg 
Conforme Tuler e Saraiva (2014), na operação das medidaslineares, deve-se ter o 
cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos pontos considerados, já que as 
plantas topográficas são representadas pela projeção na horizontal. Em caso de terreno 
inclinado, a medida deve ser executada com uma das extremidades no ponto mais 
alto e a outra em um ponto mais baixo, com auxílio de duas (ou mais) balizas. Além 
disso, podem ser medidas obtidas em lance único ou com vários lances, conforme 
a figura abaixo.
Título: Processo de medição direta na horizontal do alinhamento A-B em pontos mais baixos.
Fonte: Tuler e Saraiva (2014). 
https://3.bp.blogspot.com/-xEtszo0dNzM/VwevLI5VgJI/AAAAAAAAn_I/VCHr6QKCqOsaYuLkZjyZfwozVkCiUmxwA/s1600/Como%2Bconstruir%2Bum%2BN%25C3%258DVEL%2Bcom%2Bmangueira%2B3.jpg
https://3.bp.blogspot.com/-xEtszo0dNzM/VwevLI5VgJI/AAAAAAAAn_I/VCHr6QKCqOsaYuLkZjyZfwozVkCiUmxwA/s1600/Como%2Bconstruir%2Bum%2BN%25C3%258DVEL%2Bcom%2Bmangueira%2B3.jpg
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A qualidade com que as distâncias são obtidas depende, principalmente, do dispositivo de 
medição utilizado, dos acessórios e dos cuidados tomados durante a operação. Os cuidados 
que se devem tomar quando da realização de medidas de distâncias com diastímetros 
são: manutenção do alinhamento ao medir; horizontalidade da trena e tensão uniforme 
nas extremidades.
Os processos diretos são classificados quanto a sua precisão, que podem ser: baixa, 
média e alta. A precisão do levantamento depende mais dos tipos de instrumentos utilizados 
do que dos erros executados. De acordo com o tipo de instrumento utilizado pode ser 
mais suscetível a ocorrência dos erros em campo, conforme serão listados. 
3.1.1.1 Erros na medida direta 
a) Erro no comprimento do diastímetro
Este erro também é conhecido como relativo ao comprimento da trena. Corresponde à 
diferença entre os tamanhos nominal e real da trena, isto significa que quando medimos a 
distância entre 2 pontos, pode acontecer de a a trena usada não possuir o comprimento 
necessário e o resultado estará errado. Para a correção, usa-se a regra de três inversa na 
correção analítica através da fórmula:
 lr= 
c x lm______
ln
Sendo:
lr = comprimento real da linha;
c = comprimento da trena, valor encontrado ao comparar com uma trena correta;
lm = comprimento medido com a trena não aferida;
ln = comprimento nominal da trena, representa o valor que ela deveria ter.
Vejamos o exemplo 1:
As distâncias da tabela abaixo foram medidas nominalmente com uma trena de 20 
metros, que se verificou ter somente 19,97 metros. Adotando a equação acima, façamos 
a correção dos valores.
LINHA DISTÂNCIA MEDIDA DISTÂNCIA CORRIGIDA
1 – 2 32,42 32,37
2 – 3 129,33 129,13
3 – 4 91,04 90,90
4 – 5 76,71 76,59
5 – 6 38,10 38,04
Tabela 1 – Valores obtidos da distância medida com a trena 
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As distâncias corrigidas (reais) serão conforme a equação : lr= 
c x lm______
ln
Linha 1 – 2: lr= 
19,97 x 32,42_____________
20,00
= 32,37m
Linha 2 – 3: lr= 
19,97 x 129,33______________
20,00
= 129,13m
Linha 3 – 4: lr= 
19,97 x 91,04______________
20,00
= 90,90m
Linha 4 – 5: lr= 
19,97 x 76,71______________
20,00 = 76,59m
Linha 5 – 6: lr= 
19,97 x 38,10______________
20,00
= 38,04m
b) Erro de dilatação do diastímetro
Este erro pode ser desprezado nas medidas atuais da topografia, mas em casos que 
se tenha grande diferença de temperatura de aferição aí devemos realizar a correção 
(TULER; SARAIVA, 2014). Adotando: 
e= L * α * (T – t)
tendo:
e = erro; 
L = distância medida; 
α = coeficiente de dilatação; 
T = temperatura ambiente;
t = temperatura de aferição (± 20 ºC).
Vejamos o exemplo 2:
Uma trena de aço com 10 metros é aferida na temperatura de 20 ºC. Qual será o 
seu comprimento quando utilizada a 30ºC? Adote o coeficiente de dilatação do aço 
igual a 12x10-6/ºC.
Substituindo na equação:
e= L * α * (T – t)
e= 10 * 12x10-6 * (30º- 20º)
e= 0,0012 m
Ou seja, a trena terá 10,0012 m
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c) Falta de horizontalidade do diastímetro
A obtenção da medida entre 2 pontos deve ser sempre projetada em um plano 
horizontal e, caso ocorra uma inclinação do diastímetro, a distância tomada será 
sempre maior do que a real. Isso deve ser evitado, por exemplo, com auxílio de uma 
terceira pessoa verificando a posição do diastímetro. 
Título: Erro de horizontalidade da trena
Fonte: TULER e SARAIVA (2014) 
d) Erro de catenária
É o erro cometido devido ao peso do diastímetro, mais conhecido como barriga 
na trena. Para evitá-lo, deve-se esticar o diastímetro nas extremidades, medir trechos 
menores ou adotar escoras intermediárias. 
Título: Erro de catenária.
Fonte: TULER e SARAIVA (2014). 
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e) Desvio vertical da baliza
É um erro típico e que ocorre por as balizas não estarem perfeitamente na vertical, 
a distância medida poderá ser maior ou menor do que a distância real AB. O desvio 
vertical pode ser evitado, por exemplo, com a utilização de um nível de cantoneira na 
baliza (acessório que será visto adiante).
Título: Erro de verticalidade 
Fonte: TULER e SARAIVA (2014) 
f) Erro de desvio lateral do diastímetro
Para o levantamento de dois pontos topográficos, a distância horizontal entre eles 
deve ser tomada materializando um alinhamento único, ou seja, um segmento formado 
pela interseção do terreno com apenas um plano vertical, que contenha estes pontos. 
Este erro pode ser evitado, por exemplo, com a técnica de balizamento (com ou sem 
equipamento de visada, que auxilie a materialização deste alinhamento).
Título: Desvio lateral da trena 
Fonte: TULER e SARAIVA (2014) 
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g) Enganos
Este erro acontece pela inabilidade do operador e são citados como erro grosseiro, 
por exemplo: não posicionamento do zero no diastímetro, erro de leitura, omissão de 
trenadas (quando os levantamentos são em vários lances e esquece-se de anotar a 
quantidade), anotação errada. 
3.1.2. Medidas indiretas
As medidas indiretas são grandezas determinadas sem percorrer o alinhamento e 
surgem a partir de uma outra grandeza observada no campo. São obtidas por meio 
de visadas ou pelas coordenadas de suas extremidades. As grandezas se relacionam 
através de modelos matemáticos previamente conhecidos e é necessário realizar 
alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo para se obter indiretamente 
o valor da distância. 
A técnica de taqueometria ou estadimetria é feita através do retículo ou estádia 
do teodolito e da régua graduada, que são obtidas as leituras necessárias ao cálculo 
das distâncias horizontais e verticais entre dois pontos.
A taqueometria adota o princípio de triangulação para obtenção da distância 
horizontal conforme as figuras abaixo, em que as leituras Fs, Fm e Fi são obtidas 
nas miras. Estas leituras podem ocorrer na horizontal e também na vertical com 
obtenção do valor do ângulo. 
Título: Taqueometria com plano horizontal e vertical
Fonte: TULER e SARAIVA (2014)
Os medidores eletrônicos de distâncias (MEDs) têm tido um aumento significativo 
de produção nas medições topográficas e também consideram as grandezas, ângulos 
e distâncias para obter as medidas topográficas. O princípio destes equipamentos 
consiste na emissão e recepção de sinais luminosos ou de micro-ondas. A estação 
total é o equipamento mais frequente na topografia e que mede as grandezas de 
forma eletrônica. 
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3.2. Erros
Para representar a superfície do levantamento topográfico são obtidas medidas 
de grandezas como direções, distâncias e desníveis. Essas medidas estão sujeitas 
a erros que prejudicam o projeto, sendo queesses erros podem ocorrer por motivos 
variados, como, por exemplo, instrumentais e profissionais. 
Os erros instrumentais ocorrem devido às imperfeições dos equipamentos; manuseio 
de instrumentos devido à calibração, verificação, ajustes; condições ambientais como 
chuvas, ventos, temperaturas, neblinas. Os erros do profissional englobam a falha 
humana, falta de treinamento, falta de atenção.
Sempre se procura eliminar algumas das causas dos erros e reduzir os valores dos 
que restam, mas, como não é possível fazê-los desaparecer completamente, torna-
se necessário calcular o valor mais provável da grandeza, o qual é obtido através 
dos resultados das observações efetuadas. Os erros podem ser classificados em 
grosseiros sistemáticos, acidentais e de colimação.
3.2.1. Erros grosseiros 
Os erros grosseiros são causados por engano na medição, devido à leitura errada nos 
instrumentos, identificação de alvo, etc., normalmente estão vinculados à desatenção 
do observador ou a uma falha no equipamento. 
Cabe ao observador tomar os devidos cuidados para evitar a sua ocorrência ou 
detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros.
• Vejamos alguns exemplos de erros grosseiros:
• Anotar 196 ao invés de 169;
• Engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena
3.2.2. Erros sistemáticos
Os erros sistemáticos são aqueles que aparecem com constância e este erro pode 
ser eliminado quando a causa for definida. Estes erros podem ser eliminados através 
de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a aplicação 
de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho.
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Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas 
específicas:
• Efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico 
de distância;
• Correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura;
• Força extrema ao puxar a trena;
• Erro de graduação ou retificação errada da trena. 
Conforme Veiga, Zanetti e Faggon (2012), um exemplo clássico apresentado na 
literatura, referente a diferentes formas de eliminar e ou minimizar erros sistemáticos 
é através do posicionamento do nível a igual distância entre as miras durante o 
nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais. Desta forma, segundo os 
autores, proporciona a minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento 
e na falta de paralelismo entre a linha de visada e o eixo do nível tubular.
ISTO ESTÁ NA REDE
Leia mais sobre os erros sistemáticos na reportagem: “6 erros que você precisa 
evitar em medições de distâncias na topografia” disponibilizado no site: https://
alemdainercia.com/2016/02/18/topografia-erros-sistematicos/ 
3.2.3. Erros acidentais ou aleatórios 
Os erros acidentais ou também denominados aleatórios são aqueles que permanecem 
após os erros sistemáticos terem sido eliminados. São erros que devido a ações 
simultâneas e independentes de causas diversas e desconhecidas. São erros que 
não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a 
se neutralizar quando o número de observações é grande.
Estes erros acidentais podem ser devido à imperfeição da vista ou de outros defeitos 
que tornam impossíveis as leituras exatas, variação no instrumento e pequenas 
mudanças de temperatura durante a mesma operação. Além disso, podemos subdividir 
os erros acidentais em peculiares e precisão e acurácia. 
https://alemdainercia.com/2016/02/18/topografia-erros-sistematicos/
https://alemdainercia.com/2016/02/18/topografia-erros-sistematicos/
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3.2.3.1 Erros acidentais: peculiaridades
São caracterizados por erros pequenos, que ocorrem mais freqüentemente do que 
os grandes, sendo mais prováveis; erros positivos e negativos do mesmo tamanho e 
acontecem com igual freqüência, ou são igualmente prováveis; a média dos resíduos 
é aproximadamente nula; e conforme aumenta o número de observações, aumenta 
a probabilidade de se chegar próximo ao valor real.
São exemplos de erros acidentais:
• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida;
• Erro de pontaria na leitura de direções horizontais.
3.2.3.2 Erros acidentais: precisão e acurácia
A precisão está ligada à repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições 
semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios. Já a acurácia expressa 
o grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, estando 
vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos (VEIGA; ZANETTI; FAGGON, 2012). 
Para melhor definir a diferença deste erro, os autores Veiga, Zanetti e Faggon (2012) 
trazem o seguinte exemplo conforme a figura abaixo:
Título: Exemplo do erro de precisão e acurácia 
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggon (2012)
Um jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti e ele chuta a bola 10 vezes 
e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente 
preciso. Seus resultados não apresentaram nenhuma variação em torno do valor que 
se repetiu 10 vezes. Em compensação, sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar 
o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez.
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3.2.4. Erro de colimação 
O erro de colimação está relacionado ao eixo do instrumento, o teodolito, e ocorre 
quando existe defeito na geometria deles. A verificação da verticalidade do eixo principal 
é extremamente importante, pois nenhum procedimento de campo na coleta dos dados 
elimina este erro. Além disso, é necessário verificar o eixo de visada em relação ao 
eixo secundário, denominado erro de colimação horizontal.
Eles ocorrem quando existe um defeito de geometria entre eles, cujos efeitos alteram 
os valores das observações angulares e não podem, por isso, ser desconsiderados 
sem o risco de gerar dados angulares inconsistentes. 
Título: Erro de colimação e a cura terrestre 
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggon (2012)
3.2.5. Cuidados para evitar os erros 
Para evitar os erros topográficos, durante a realização do levantamento topográfico, 
são a escolha de métodos e instrumentos que depende:
• Do grau de precisão de cada instrumento;
• Do método empregado e do conhecimento dos limites permissíveis
• Dos erros encontrados.
Para que se possa realizar a correção, é necessário que o trabalho seja bem conduzido 
e bem sistematizado. A escolha de métodos estará ligada à precisão exigida pela 
finalidade a que se destina o trabalho topográfico, ao tempo disponível e ao custo 
permissível.
Avaliando os possíveis erros pode-se estabelecer um método seguro e conveniente 
para ter maior aceitabilidade e se tornar mais próximo de zero erros. 
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ISTO ESTÁ NA REDE
Leia mais na reportagem: “ Como reduzir erros em um Levantamento Topográfico?” 
através do link: https://www.gtalevantamentos.com.br/como-reduzir-erros-em-um-
levantamento-topografico/ 
3.3 Escala 
Após a execução das medições no terreno e o posterior tratamento matemático dos 
dados, é necessário, na maioria das vezes, apresentar os resultados em uma forma 
gráfica impressa em papel (SILVA; SEGATINE, 2020). Para isso, adota-se a escala, que 
corresponde à relação constante entre as distâncias medidas no terreno (objeto – o) 
e sua representação no papel (imagem – i). 
Na topografia a escala é considerada como um dos passos e conhecimentos 
indispensáveis para a representação de qualquer superfície terrestre. Geralmente, 
as escalas adotadas são de redução para que seja possível o desenho em folhas de 
papel tamanho padrão como A0, A1, A2, A3 e A4.
A escala é apresentada na forma de fração ou de proporção: 1/100 ou 1:100 e 
também em escala gráfica. 
A equação abaixo daescala relaciona a dimensão do desenho no papel (imagem 
– i) com o seu tamanho real no terreno (objeto – o). 
E=
i__
o
 ou 
1__
M
sendo:
E = escala ou razão escolhida;
o = unidades medidas no terreno (objeto);
i = unidades que devem ser colocadas no papel para representar
M é denominado de módulo da escala. 
A escala é representada por uma fração do tipo 1/M, dado que o = i * M. 
A expressão o = i * M permite estimar a medida real de um terreno a partir do 
conhecimento da escala da planta e sua respectiva medida.
Vejamos um exemplo aplicativo da equação:
https://www.gtalevantamentos.com.br/como-reduzir-erros-em-um-levantamento-topografico/
https://www.gtalevantamentos.com.br/como-reduzir-erros-em-um-levantamento-topografico/
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Exemplo 3: considere uma distância medida no terreno igual a 453,279 metros. 
Considere que se deseja desenhá-la na escala 1/2.000. Calcular o seu comprimento 
no desenho (SILVA; SEGATINE, 2020).
A partir da equação E=
i__
o
 ou 
1__
M
Tem-se:
o = 453,279m
E = 1/2000
E=
1_____
2000
 ou 
i________
453,279
 i = 
453,279________
2000
=0,227m ou 22,70cm
Para escala 1:2000 este terreno com 453,279m será desenhado com 22,70cm. 
3.3.1 Precisão Gráfica 
A precisão gráfica de uma escala é denominada a menor grandeza susceptível de 
ser representada num desenho, através desta escala. As normas de desenho aceitam 
como 1/5 de milímetro (0,2mm ou 0,0002m) a menor grandeza gráfica possível de 
ser visualizada a olho nú, denominada erro de graficismo. Deste modo, conhecendo a 
escala do desenho, pode-se calcular o erro admissível nas operações gráficas através 
da equação: 
e = 0,0002 ×M
sendo:
M= denominador da escala do desenho
Exemplo 4: verificar nas escalas indicadas abaixo os erros gráficos:
Escala: 1/500 e o erro de graficismo será: e= 0,0002 * 500 = 0,10m ou 10cm 
Escala: 1/1000 e o erro de graficismo será: e = 0,0002 * 1000 = 0,20m ou 20cm
Escala: 1/2000 e o erro de graficismo será: e = 0,0002 * 2000 = 0,40m = 40cm
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AULA 4
ORIENTAÇÃO PARA TRABALHOS 
TOPOGRÁFICOS 
Na topografia existem três passos indispensáveis para a representação de uma 
porção qualquer da superfície terrestre. Sendo estes passos:
a) Adoção de escala: geralmente de redução
b) Orientação da representação que é materializado pelo meridiano e/ou determinado 
o ângulo que o meridiano forma com uma direção perfeitamente definida no 
campo(azimute), para evitar a rotação da representação.
c) Identificação da posição, as coordenadas de um dos pontos devem ser 
referenciadas ao modelo adotado, com coordenadas arbitradas no plano 
topográfico, geodésico ou UTM para que evite translação da representação
Ainda com relação ao passo b, da palavra orientação, conforme o dicionário este 
representa uma ação ou efeito de orientar, determinar, indicar uma direção ou caminho 
a seguir. Já em outros sentidos podemos conectar com a procura da direção do Oriente 
(onde o sol nasce) e em sentido mais amplo, consiste na fixação de um rumo qualquer 
na superfície terrestre. Portanto nestas ciências podemos determinar um ponto com 
posição exata sobre a terra e também localizar utilizando bússola e mapas.
Nesta aula estaremos aprendendo sobre os ângulos horizontais, ângulos verticais, 
azimutes e rumos. 
4.1 Ângulos horizontais 
O ângulo horizontal é definido como o ângulo formado pelo afastamento de dois 
planos verticais, considerando um eixo. Os ângulos horizontais de acordo com a direção 
ou alinhamento de origem podem ser azimutais ou goniométricos. 
Na figura temos um exemplo de ângulo horizontal, ao qual os pontos A, B ,C são 
denominados pontos topográficos. E o local onde é colocado o instrumento de medição 
é denominado estação. 
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Título: Ângulo horizontal
Fonte: https://www.profsanches.com.br/pluginAppObj/pluginAppObj_237_02/Apostila_5_TOPO_Leituras-Angulares.pdf 
Os ângulos apresentam nomenclaturas para os pontos visados de acordo com o 
alinhamento. Ao lado esquerdo, a leitura na estação 1 é chamada de ré, pois foi feita 
primeiramente no levantamento. A segunda leitura é chamada vante que é utilizada 
para todos os demais pontos que não seja o primeiro. 
Além disso os ângulos topográficos no plano horizontal podem ser geométricos, 
determinados como ângulo internos, externos, por deflexão, irradiados ou geográficos 
que são os ângulos chamados azimutes ou rumos. 
4.1.1 Ângulos horizontais azimutais 
Os ângulos horizontais azimutais têm origem na direção norte-sul e são denominados 
azimutes e rumos. Estes ângulos tem extensão, sentido e orientação para materializar 
2 pontos de um alinhamento topográfico. 
4.1.1.1 Azimutes 
É o ângulo horizontal formado entre a direção norte-sul (meridiano que passa pelos 
pontos) e um alinhamento. O ângulo é medido a partir do Norte tendo como origem 
o sentido do norte e variável entre 0 º e 360º, sempre na direção à direita.
https://www.profsanches.com.br/pluginAppObj/pluginAppObj_237_02/Apostila_5_TOPO_Leituras-Angulares.pdf
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Título: Azimutes de diversos alinhamentos 
Fonte: https://moodle.ufsc.br/pluginfile.php/2029992/mod_resource/content/1/5_Orientacao_TOPO-1_2016_1.pdf 
O azimute recíproco de um alinhamento A para B (vante) é o azimute deste 
alinhamento em sentido contrário (contra-azimute), isto é, o azimute de B para A (ré), 
os quais diferem de 180º.
Desta forma o azimute do alinhamento BA é igual ao Azimute AB somado 180º, 
conforme observamos na figura abaixo. 
 
Título: Azimute recíproco 
Fonte: Tuler e Saraiva (2014) 
4.1.1.2 Rumos 
É o menor ângulo formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo como 
origem a direção norte ou sul e desta forma o ângulo varia entre 0º e 90º. O sistema 
expressa também ângulo em função do quadrante que se encontra, como por exemplo 
NE, SE, SW e NW. Na sigla dos quadrantes a primeira letra indica a origem que parte 
a contagem e a segunda, direção do giro ou então quadrante. Além disso, a letra N 
https://moodle.ufsc.br/pluginfile.php/2029992/mod_resource/content/1/5_Orientacao_TOPO-1_2016_1.pdf
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indica norte, S de sul, E de leste e W de oeste. Na figura pode-se entender um pouco 
melhor dos rumos. 
Título: Rumos 
Fonte: https://moodle.ufsc.br/pluginfile.php/2029992/mod_resource/content/1/5_Orientacao_TOPO-1_2016_1.pdf 
4.1.1.3 Rumos x azimutes
Muitas vezes temos a necessidade de realizar a conversão do valor levantado no 
campo do azimute para rumo. Os rumos e os azimutes são referidos a uma mesma 
direção, então podem ser convertidos entre si. 
Na figura estão indicadas as conversões entre rumos e azimutes de cada quadrante.
Título: Conversão rumo x azimute
Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/aula-3-escalas-rumos-e-azimutes.pdf
https://moodle.ufsc.br/pluginfile.php/2029992/mod_resource/content/1/5_Orientacao_TOPO-1_2016_1.pdf
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/aula-3-escalas-rumos-e-azimutes.pdf
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Na tabela abaixo são representadas as conversões de cada quadrante entre o rumo 
e o azimute. 
Quadrante Direção Ângulo em azimute Conversão Azimute em Rumo Conversão Rumo em Azimute
1º NE 0º a 90º R1 = Az1 = R1 Az1 = R1 = Az1
2º SE 90º a 180º R2 = 180º - Az2 Az2 = 180º - R2
3º SW ou SO 180º a 270º R3 = Az3 – 180º Az3 = 180º + R3
4º NW ou NO 270º a 360º R4 = 360º - Az4 Az4 = 360º - R4
Tabela 1 – Conversão rumo x azimute
Fonte: O autor 
4.1.1.4 Cálculo dos azimutes
Nos levantamentos topográficos é determinado o azimute inicial no primeiro 
alinhamentoda poligonal com o objetivo de orientar o levantamento. Nos próximos 
pontos a seguir do levantamento são utilizadas as conversões dos ângulos em função 
dos seus alinhamentos, podendo utilizar o rumo, o ângulo horário (interno ou externo) 
ou a deflexão. Como também muitas vezes é necessário calcular os demais azimutes 
de cada alinhamento.
Para encontrar o valor do azimute dos ângulos defletido à direita é necessário 
somar o azimute do alinhamento anterior + ângulo defletido. Para os ângulos com 
deflexão à esquerda, deve-se subtrair do azimute do alinhamento anterior. Considerando 
o primeiro alinhamento 1-2, vemos que no caso de deflexão à direita ou deflexão à 
esquerda seria obtido o valor do próximo azimute de: 
AZ2-3 = AZ1-2 + Deflexão à direita;
AZ2-3 = AZ1-2 - Deflexão à esquerda.
Nas figuras abaixo serão indicadas as representações dos ângulos horários interno 
ou externo, a deflexão e exemplos de cálculos dos azimutes. 
Título: Indicação de ângulos horários internos e externos 
Fonte: Tuler e Saraiva (2014) 
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Título: Indicação de deflexões à esquerda e à direita 
Fonte: Tuler e Saraiva (2014) 
Uma outra forma de realizar o levantamento topográfico é pelos ângulos irradiados 
que são medidos no campo de forma acumulada, zerando o equipamento somente 
no primeiro vértice e medindo os demais. O aparelho é localizado em um ponto onde 
se consegue enxergar todos os demais, conforme figura abaixo. 
Título: Ângulos irradiados
Fonte: http://www.portalagrimensura.com/cloud/download/dXBsb2Fkcy9hcG9zdGlsYXMvdG9wb2dyYWZpYS0yMDA5LVVGU00ucGRm/h/935767e903c9b429c6
382c7880db889e 
ANOTE ISSO
• No cálculo do azimute do alinhamento posterior (Az 2-3) e ângulo externo 
medido no sentido horário (α) é dado por: Az 2-3 = Az 1-2 + α – 180º
• Para ângulos medidos no sentido anti-horário, deve-se somar 180º e subtrair o 
valor de α do azimute, sendo: Az 2-3 = Az 1-2 - α + 180º
• Quando no cálculo do azimute, resultar um valor superior a 360º, deve-se 
subtrair deste valor 360º. Se o valor resultar negativo, deve-se somar a este 
valor 360º.
http://www.portalagrimensura.com/cloud/download/dXBsb2Fkcy9hcG9zdGlsYXMvdG9wb2dyYWZpYS0yMDA5LVVGU00ucGRm/h/935767e903c9b429c6382c7880db889e
http://www.portalagrimensura.com/cloud/download/dXBsb2Fkcy9hcG9zdGlsYXMvdG9wb2dyYWZpYS0yMDA5LVVGU00ucGRm/h/935767e903c9b429c6382c7880db889e
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Exemplo 1:
Calcule o azimute do alinhamento B-C a partir do rumo fornecido da reta B-C. Dado 
que: AZa-b = 120º 10’ 15” e Rb-c = 54º 32’ 30” SO. 
Título: Exemplo de conversão azimute para rumo
Fonte: Tuler e Saraiva (2014)
Resposta exemplo 1: 
O rumo do alinhamento B-C foi dado igual a Rb-c = 54º 32’ 30” SO, indicando que 
este alinhamento está no terceiro quadrante, então para a conversão consultar a 
tabela 1 seria Az3 = 180º + R3.
Portanto AZb-c= 180º + 54º 32’ 30” = 234º 32’ 30” 
Exemplo 2:
Calcule o azimute do alinhamento B-C a partir da deflexão à direita fornecida da 
reta B-C. Dado que: AZa-b = 130º 25’ 18” e Deflexão b-c = 113º 22’ 34” D. 
Título: Exemplo do azimute calculado a partir da deflexão 
Fonte: Tuler e Saraiva (2014)
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Resposta exemplo 2: 
O azimute B-C foi dado igual AZa-b = 130º 25’ 18” e a deflexão b-c = 113º 22’ 34” 
D. Então para encontrar o AZb-c devemos somar o azimute do alinhamento anterior 
com o ângulo defletido à direita. 
 indicando que este alinhamento está no terceiro quadrante, então para a conversão 
consultando a tabela 1, seria Az3 = 180º + R3.
Portanto AZb-c= 130º25’18” + 54º32’30” = 285º 57’ 48” 
Exemplo 3:
Obter o valor do azimute da reta b-c a partir do ângulo horário dado de 310º 18’ 
35” e o Azimute do primeiro alinhamento anterior Aza-b de 100º 09’ 25”. 
Título: Exemplo do azimute calculado a partir dos ângulos 
Fonte: Tuler e Saraiva (2014)
Resposta exemplo 2: 
Considerando que o ângulo externo está sendo dado no sentido horário, conforme 
a imagem, o valor de AZb-c = Aza-b + Ângulo externo -180º
AZb-c =100º09’25” + 310º18’35” – 180º = 230º28’00”
4.1.2. Verificação em campo do ângulo medido 
O ângulo horizontal medido deverá ser verificado em campo sendo que não é 
admitido a leitura isolada de um ângulo sem a respectiva verificação. Em geral, nos 
levantamentos topográficos são empregados 5 processos de medição de ângulos 
horizontais:
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Medida simples (utilizado como apoio para a medição do ângulo duplo): leitura 
normal do ângulo 
Ângulo duplo: mesmo procedimento do ângulo simples, entretanto faz a visada do 
ângulo no sentido contrário, obtendo o valor dobrado. Desta forma é possível fazer 
verificação do valor obtido e sua precisão. 
Título: Ângulo duplo
Fonte: Pastana (2010)
Fechamento em 360º: Consiste em medir o ângulo horário e o seu respectivo 
replemento para também a conferência. 
Título: Ângulo de fechamento 360º
Fonte: Pastana (2010)
Repetição: o processo da repetição para a medida de ângulos horizontais admite a 
existência de erros de graduação do limbo, resultantes das imperfeições do processo 
de gravação do círculo graduado. Este processo ameniza estes erros, ao prever uma 
série de medições do ângulo pela utilização de regiões sucessivas do limbo graduado. 
Mesmo procedimento do ângulo duplo, sendo repetido 5 vezes a operação. 
• Reiteração: consiste em medir cada ângulo em partes diferentes do limbo, 
atenuando assim prováveis erros que possam ocorrer na graduação dos limbos. 
O método consiste em observar todas as direções a partir da estação, uma após 
outra, no sentido horário e em referir-se todas as direções observadas a uma 
dentre estas direções, escolhida como origem ou referência. 
GEOTECNOLOGIA E 
TOPOGRAFIA
PROF.a BETINA LUDWIG NAVARRO
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 54
Título: Reiteração de ângulos 
Fonte: Pastana (2010)
4.2 Ângulos verticais 
O ângulo vertical é formado entre a linha do horizonte (plano horizontal) e a linha 
de visada medido no plano vertical que contém os pontos. O ângulo vertical varia de 
0º até 90º acima do horizonte e abaixo varia de 0º a - 90º. De acordo com a origem 
para medição do ângulo, ele pode ser de inclinação ou zenital. A transformação entre 
essas grandezas muitas vezes é aplicada. 
4.2.1 Ângulo de inclinação 
O ângulo de inclinação fornece o ângulo vertical entre a linha do horizonte e o 
alinhamento do ponto considerado, veja na figura abaixo o ângulo α que pode estar 
acima da linha do horizonte como abaixo, limitado pelo valor de + ou – 90º. 
Título: Ângulo de inclinação 
Fonte: Tuler e Saraiva (2014)
GEOTECNOLOGIA E 
TOPOGRAFIA
PROF.a BETINA LUDWIG NAVARRO
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 55
4.2.2 Ângulo zenital
O ângulo zenital é fornecido entre a linha do zênite (linha que acompanha a vertical 
do ponto neste local), com origem no sentido contrário ao centro de massa da terra e 
o alinhamento do ponto considerado, ou linha do horizonte (TULER; SARAIVA, 2014).
Título: Ângulo zenital
Fonte: http://www.portalagrimensura.com/cloud/download/dXBsb2Fkcy9hcG9zdGlsYXMvdG9wb2dyYWZpYS0yMDA5LVVGU00ucGRm/h/935767e903c9b429c6
382c7880db889e 
Conforme na figura podemos observar que o pode obter os ângulos entre os quatro 
sentidos de ângulos 0º, 90º, 180º, 270º até 360º. 
Título: Ângulo zenital
Fonte: Tuler e Saraiva (2014)
4.2.3 Ângulo de inclinação x zenital
Muitas vezes é necessário realizar a transformação dos resultados entre os ângulos 
zenital e de inclinação, para isso podemos adotar as equações onde α= ângulo de 
inclinação e Z=ângulo zenital:
No caso de 0° < Zenital < 90° adotar α = 90° – Z: resulta em valor positivo (+) 
No caso de 270° < Zenital < 360°adotar α = Z – 270° (+): resulta em valor negativo (-)
No caso de 180° < Zenital < 270°adotar