Lista 4

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Lista 4. 
Livro: Noções de Probabilidade e Estatística. (Magalhães e Lima) 
Seção 5.3 , exercícios 3,9,12,13,15,16 e 20. 
 
3) 
Ferro (X) Carga (Y) 
 % peso ton/m² Xi * Yi X² Y² sum xi 76,3 
5,4 2,1 11,34 29,16 4,41 sum yi 29,3 
6,8 2,2 14,96 46,24 4,84 sum xi² 592,15 
6,9 2,9 20,01 47,61 8,41 sum yi² 87,71 
7,3 2,9 21,17 53,29 8,41 sum xi*yi 227,51 
7,7 3 23,1 59,29 9 Media (X) 7,9 
8,1 3,1 25,11 65,61 9,61 Media (Y) 3,05 
8,2 3,1 25,42 67,24 9,61 numerador -13,44 
8,5 3,1 26,35 72,25 9,61 denominador 13,03128 
8,5 3,4 28,9 72,25 11,56 Covariancia -1,03136 
8,9 3,5 31,15 79,21 12,25 
 
Correlação entre variáveis= -1,03136 ≈ -1 
9)a) 
S\D 1 2 3 TOTAL 
0 3 3 2 8 
1 3 9 1 13 
2 2 3 2 7 
3 0 1 1 2 
TOTAL 8 16 6 30 
b) porcentagem de cada ocorrência conjunta em relação ao total de casos. 
P(0,1) = 3 * 1/30 * 1/100 = 10% 
P(0,2) =3 * 1/30 * 1/100 = 10% 
P(0,3) = 2 * 1/30 * 1/100 = 6,67% 
P(1,1) =3 * 1/30 * 1/100 = 10% 
P(1,2) = 9 * 1/30 * 1/100 = 30% 
P(1,3) = 1 * 1/30 * 1/100 = 3,33% 
P(2,1) = 2 * 1/30 * 1/100 = 6,67% 
P(2,2) = 3 * 1/30 * 1/100 = 10% 
P(2,3) = 2 * 1/30 * 1/100 = 6,67% 
P(3,1) = 0 * 1/30 * 1/100 = 3,33% 
P(3,2) = 1 * 1/30 * 1/100 = 3,33% 
P(3,3) = 1 * 1/30 * 1/100 = 3,33% 
c) porcentagem em relação ao total de colunas. 
P(0,1) = 3/8 * 1/100 = 37,5% 
P(0,2) = 3/16 * 1/100 = 18,75% 
P(0,3) = 2/6 * 1/100 = 33,333% 
P(1,1) =3/8 * 1/100 = 37,5% 
P(1,2) = 9/16 *1/100 = 56,25% 
P(1,3) = 1/6 * 1/100 = 16,667% 
P(2,1) =2/8 * 1/100 = 25% 
P(2,2) = 3/16 * 1/100 = 18,75% 
P(2,3) = 2/6 * 1/100 = 33,333% 
P(3,1) = 0/8* 1/100 = 0% 
P(3,2) = 1/16 *1/100 = 6,25% 
P(3,3) = 1/6 * 1/100 = 16,667% 
d) 
 
12) 
a) 
V \ A 1 2 3 total 
1 110 80 60 250 
2 150 300 0 450 
3 40 120 140 300 
total 300 500 200 1000 
b) porcentagens em relação ao total de coluna 
P(1,1) % 36,6666667 
P(2,1) % 50 
P(3,1) % 13,3333333 
P(2,2) % 16 
P(3,2) % 60 
P(3,2) % 24 
P(1,3) % 30 
P(2,3) % 0 
P(3,3) % 70 
 
c) As variáveis são independentes? Justifique. 
Os eventos não são independentes. 
E(A)=1,9 
E(V)=2,05 
E(AV)=4,05 
E(AV) ­ E(A) * E(V) = 4,05 ­ 1,9 * 2,05 = 1,55 
Como a Esperança do produto entre A e V é diferente do produto das Esperanças de A e V os 
eventos não são independentes. 
13) 
a) 
U\G 2 4 6 8 total 
8 3 3 0 0 6 
10 1 7 6 0 14 
12 1 0 5 4 10 
total 5 10 11 4 30 
 
b) 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6 8 10 12 14
An
os
 d
e 
Ga
ra
nt
ia
 (G
)
Vida Útil do Equipamento (U)
U x G
c) vida útil média para cada subgrupo de valor da garantia. 
P(U/2) = 8* 3/15 + 10 * 1/5 + 12 * 1/5 = 9,2 
P(U/4) = 8*3/10 + 10 * 7/10 +12*0= 9,4 
P(U/6) = 8* 0 + 10 * 6/11 + 12*5/11 =10,909 
P(U/8) = 8*0 + 10 * 0 + 12 +4/4 = 12 
 
15) 
a) Calcule P(1 <= X <=2 , y >= 1) e P(X = 1, Y >1). 
P(1 <= X <=2 , y >= 1) = 1/18 + 1/9 + 1/6 +1/18 = 7/18 
P(X = 1, Y >1) = 1/9 
b) Determine E(X), E(Y) e Cov(X,Y) 
E(X) = 1/3 * 0 + 5/18 * 1 + 7/18 * 2 = 19/18 
E(Y) = 1/3*1 + 1/3*2 = 1 
E(XY) = 1/18 * 1 + 5/18 * 2 + 1/18 * 4 = 15/18 
Cov(XY) = E(XY) ­ E(X)*E(Y) = 15/18 ­ 1* 19/18 = -4/18 
 
c) X e Y são independentes? Justifique. 
Não são independentes porquê a Cov(X,Y) é diferente de zero. 
16) 
a) Verifique se E(XY) = E(X)E(Y). 
E(X) = ­3/8 +3/8 = 0 
E(Y) = ­3/8 + 3/8 = 0 
E(XY) = 2/8 * 1 + 2/8 *(­1) = 0 
E(XY)­ E(X)*E(Y) = 0 
Portanto E(XY) = E(X)*E(Y) 
b) X e Y são independentes? Comente. 
Não é possível determinar se X e Y são independentes com a informação obtida no item a, pois 
para variaveis que são independentes E(XY) = E(X)E(Y), porém esse não é um critério para ser 
independente. 
20) 
a) 
X 1 2 3 P(X=x) 
-1 1/30 1/10 1/30 1/6 
0 1/15 1/5 1/15 1/3 
1 1/10 3/10 1/10 1/2 
P(Y=y) 1/5 3/5 1/5 1 
 
b) 
E(X) =1/6 * (­1) + 2/6 * 0 + 3/6* (1) =1/3 
E(Y) = 1/5 * 1 + 3/5 * 2 + 1/5* 3 = 2 
Cov(XY) = 0 
 
c) 
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) 
E(X²) = 5/30 *(­1)² + 10/30 * 0² + 15/30 *1² = 2/3 
E(Y²) = 6/30 * 1² + 18/30 * 2² + 6/30 * 3² = 22/5 
Var(X+Y) = [2/3 ­ (1/3)²)] + (22/5 ­ 2²) = 43/45