Cap 7

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BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 
Estatística para Cursos de Engenharia e 
Informática 
Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia 
São Paulo: Atlas, 2008 
Cap. 7 - Distribuições Amostrais 
e Estimação de Parâmetros 
 
 
Departamento de Informática e Estatística (INE/CTC/UFSC) 
 
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 
Amostragem e Inferência estatística 
POPULAÇÃO: todos 
os possíveis 
consumidores 
AMOSTRA: um 
subconjunto dos 
consumidores 
inferência 
amostragem 
Ex. 
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Conceitos 
• Parâmetro: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, 
etc.) dos valores x1, x2, x3,..., associados à população. 
 
• Amostra aleatória simples: conjunto de n variáveis aleatórias 
independentes {X1, X2, ..., Xn}, cada uma com a mesma distribuição 
de probabilidades de uma certa variável aleatória X. Esta distribuição 
de probabilidades deve corresponder à distribuição de freqüências dos 
valores da população (x1, x2, x3, ...). 
 
• Estatística: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, 
etc.) das variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, associadas à amostra 
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Parâmetros e Estatísticas 
N
 atributo o com elementos de no
p
Amostra 
(X1, X2, ..., Xn) 
População 
(x1, x2, x3,..., xN) 
n
 atributo o com elementos de no^
p



N
i
ix
N 1
1
 


n
i
ix
n
X
1
1
 


N
i
ix
N 1
22 1   




n
i
i xx
n
S
1
22
1
1
Variância 
Média 
Proporção 
Estatísticas Parâmetros 
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Estatística 
• Uma estatística é uma variável aleatória e a sua 
distribuição de probabilidades é chamada de 
distribuição amostral. 
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Atividade ex1 - pg173 – Seja a população dos 4 ônibus e a variável aleatória X. 
X= Número de vezes que o ônibus teve um defeito grave. 
• População: {2, 3, 4, 5} 
 
 
• Parâmetros: 
  5,35432
4
11
1
 

N
i
ix
N

    25,1)5,35()5,34()5,33()5,32(
4
11 2222
1
22  

N
i
ix
N

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Distribuição da média amostral (Ex.7.2 - pg173) 
X
116 
216 
316 
416 
316 
216 
116 
2,0 
2,5 
3,0 
3,5 
4,0 
4,5 
5,0 
(2, 2) 
(2, 3), (3, 2) 
(2, 4), (3, 3), (4, 2) 
(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) 
(3, 5), (4, 4), (5, 3) 
(4, 5), (5, 4) 
(5, 5) 
Probabilidade Amostras possíveis 
• Amostragem aleatória simples de tamanho n = 2 com reposição. 
 
 Tabela1: Construção da distribuição amostral da média: 
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Distribuição da média amostral (Ex. 7.2) 
)(xp
x 2 3 4 5 x 
p(x) 
2 3 4 5 
Distribuição da 
população 
Distribuição da 
média amostral 
E(X) = 3,5 
5,3)( XE
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Média e variância da média amostral - p173 
Amostragem com reposição 
  5,3
16
1
5
16
2
5,4
16
3
4
16
4
5,3
16
3
3
16
2
5,2
16
1
2 









































XE
 
625.0)5.3(875.12)]([)()(
625,0
16
1
)5,35(...
16
2
)5,35,2(
16
1
)5,32()(
222
222


xExEXV
ou
XV
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Distribuição amostral da média 
Amostra: 
(X1, X2, ..., Xn) 
 População: N elementos 
X : variável quantitativa 
Parâmetros: 
 = E(X), 2 = V(X) 
Estatísticas: 
 
 
Amostragem 
aleatória 
simples 
X pode ser vista como uma variável 
aleatória se considerar a distribuição de 
freqüências da população como uma 
distribuição de probabilidades – a 
distribuição da população. 



n
i
iX
n
X
1
1
 




n
i
i XX
n
S
1
22
1
1
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Média e variância da média amostral )(XE
 
n
XV
2
)(


 
 se a amostragem for com reposição, 
ou N muito grande ou infinito 
1
)(
2



N
nN
n
XV

se a amostragem for sem reposição e 
N não muito grande, N < 20n 
• Seja a população com média  e variância 2. 
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Distribuição da média amostral 
• (Teorema limite central) Se o tamanho da amostra for 
razoavelmente grande, então a distribuição amostral da 
média pode ser aproximada pela distribuição normal. 
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Distribuição amostral da proporção 
Amostra: 
(X1, X2, ..., Xn) 
População: elementos 
A 
0 ou 1 
(0 = sem o atributo; 
 1 = com o atributo) 
A
Parâmetro: 
p = proporção dos elementos 
que têm o atributo A 
AA
NNN 
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Distribuição da população (caso de proporção) 
 
Média e variância: 
x P(x) 
0 1-p 
1 p 
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pg-171- Em um estudo sobre emissões de CO2, definiu-se uma população 
como sendo composta por 4 ônibus de uma companhia de transporte urbano. 
Um ônibus estava com alto índice de emissão de CO2, e o restante dentro 
dos padrões. 
 
 Variável aleatória - X: Número de ônibus c/ alto índice de emissão de CO2 
 
x=0 (sem atributo) e x=1 (com atributo); logo 
População = {1,0,0,0}. 
p: proporção de elementos com o atributo. 
 
a) Calcular a proporção populacional (p). 
 x=0 (sem atributo) e x=1 (com atributo) 
 p = ¼ da frota fora dos padrões 
 
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X P(x) 
0 0.5625 
1 0.3750 
2 0.0625 
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 Retirar as amostras n=2; e montar o espaço amostral 
 
Ω = [(1, 1) (1, 02) (1, 03) (1, 04) 
 (02, 1) (02, 02) (02, 03) (02, 04) 
 (03, 1) (03, 02) (03, 03) (03 ,04) 
 (04 ,1) (04, 02) (04, 03) (04, 04)] 
 
X: Número de ônibus c/ alto índice de emissão de CO2, entre 2 ônibus 
 selecionados ao acaso 
 
Para X=0 temos 9 pares logo p= 9/16 
Para X=1 temos 6 pares logo p= 6/16 
Para X=2 temos 1 par logo p= 1/16 
X P(x) 
0 0.5625 
1 0.3750 
2 0.0625 
 
 
Distribuição de probabilidades 
 
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0 0.5625 
½ 0.3750 
1 0.0625 
0.25 
0.09375 
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Média e variância da proporção amostralpPE )ˆ(
n
pp
PV
)1(
)ˆ(


se a amostragem for com reposição, ou N 
muito grande ou infinito 
1
)1(
)ˆ(





N
nN
n
pp
PV
ou: 
se a amostragem for sem reposição e N 
não muito grande, N < 20n 
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Distribuição da proporção amostral 
• Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, 
então a distribuição amostral da proporção pode ser 
aproximada pela distribuição normal. 
 
• OBS. Se n for pequeno, a distribuição exata é binomial ou 
hipergeométrica (dependendo se a amostragem for com 
ou sem reposição) 
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universo do estudo (população) 
O raciocínio indutivo da estimação de parâmetros 
dados observados 
Estimação de Parâmetros 
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AMOSTRA 
 
POPULAÇÃO 
 
p = ? 
X1 X2 X3 ... Observações: 
pˆ
p = ± erro amostral 
pˆ
Estimação de Parâmetros 
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Estimação de parâmetros: 
intervalo de confiança para proporção 
= proporção na população (parâmetro que se quer estimar) 
 
= proporção na amostra (pode ser calculada com base na 
amostra) 
= erro-padrão da proporção, que para amostra aleatória simples 
com reposição (ou sem reposição, mas com N >> n), pode 
ser estimado por: 
P
p
p
ˆ
ˆ

n
pp
s
P
)ˆ1(ˆ
ˆ


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Estimação de parâmetros: 
intervalo de confiança para proporção 
•
n
pp
zppIC
)ˆ1(ˆ
ˆ)1,(
2

 
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Estimação de parâmetros: 
intervalo de confiança para proporção 
 
 
 
0 Z - Z 
nível de 
confiança 
desejado 
( = 1-) 
2 
2 
 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 z 
 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0.995 0,998  
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Ativ. 7B: Ex3 – pg186 
Dois sistemas computacionais A e B, selecionadas 400 cargas de 
trabalho. O sistema A foi melhor que o B em 60% dos casos. 
Construir o I.C para proporção (proporção de vezes que o sistema 
A foi melhor que o B) 
 
 
n
pp
zppIC
)ˆ1(ˆ
ˆ)1,(
2

 
%]8.64%;2.55[%)95,(
048.06.0%)95,(
400
)6.01(6.0
)96.1(6.0%)95,(




pIC
pIC
pIC
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Estimação de parâmetros: 
intervalo de confiança para média 
= média na população (parâmetro que se quer estimar) 
 
= média na amostra (pode ser calculada com base na amostra) 
 
= erro-padrão da média. 
X
x


n
X

 
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Estimação de parâmetros: 
intervalo de confiança para média 
Caso o desvio padrão (populacional) seja conhecido: 
n
zxIC
 
2
)1,( 
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Ativ.7B–Ex6-pg188 
Em uma indústria de cerveja, a quantidade de cerveja inserida em 
latas tem média 350ml e desvio padrão populacional de 3ml. 
Retirou-se uima amostra de 20 latas acusou média de 346ml. 
Construir o IC para a verdadeira média. 
 
 I.C para média 
]31.347;69.344[%)95,(
31.1346%)95,(
20
3
)96.1(346%)95,(
)1,(
2








 
IC
mlIC
IC
n
zxIC
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Estimação de parâmetros: 
intervalo de confiança para média 
Caso o desvio padrão (populacional) não seja conhecido: 
 
uso da distribuição t de Student. 
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A distribuição t de Student 
• Supondo a população com distribuição normal, a 
estatística 
 
 
 
tem distribuição de probabilidades conhecida como 
distribuição t de Student, com gl = n – 1 graus de 
liberdade. 
n
S
X
T


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A distribuição t de Student 
t com gl =  (normal padrão) 
t com gl = 3 
t com gl = 1 
x 
f(x) 
0 
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Estimação de parâmetros: 
intervalo de confiança para média 
Caso o desvio padrão (populacional) não seja conhecido: 
n
s
txIC
2
)1,(  
s = desvio padrão calculado na amostra 
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Como usar a Tabela t (Tab. IV do Apêndice) 
• Ilustração com gl = 9 e nível 
de confiança de 95%. 
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Tiv. 7B –Ex8 – pg190 
Para avaliar a dureza esperada μ do aço produzido sob um novo processo 
de têmpera. Uma amostra de dez corpos de prova de aço produziu os 
seguintes resultados, em HRc: {36.4, 35.7, 37.2, 36.5, 34.9, 35.2, 36.3, 
35.8, 36.6, 36.9}. Construir o I.C. para a verdadeira média com alfa de 
5%. 
 
I.C para média 
 
 
 
]68.36;62.35[%)95,(
53.015.36%)95,(
10
7352.0
)262.2(15.36%)95,(
)1,(
2







 
IC
IC
IC
n
s
txIC