5 Solicitacoes Tangenciais Cisalhamento e Torcao

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113 
CAPÍTULO 5 
SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS – 
CISALHAMENTO E TORÇÃO 
 
Serão analisadas seções sujeitas à força cortante (V) e a momento torçor (T) que geram 
tensões de cisalhamento (τ). 
 
5.1 Tensões principais numa viga de comportamento elástico linear 
 
Considere-se uma viga biapoiada sujeita a duas cargas concentradas de valor P, 
simetricamente dispostas no vão à distância a dos apoios, conforme mostra a Figura 5.1. 
 
 
Figura 5.1 Diagrama de esforços em viga biapoiada 
 
O trecho inicial da viga compreendido entre o apoio e a carga concentrada, está sujeito a 
momento fletor e a força cortante. Nesta região, a um ponto C situado na linha neutra (LN), 
Figura 5.2, correspondem tensões principais σ1 e σ2 inclinadas de 45; em um ponto S situado 
acima da (LN), o ângulo entre o eixo da viga e a direção da tensão principal de tração σ1 é maior 
do que 45 e, num ponto I, posicionado abaixo da (LN), este ângulo é menor do que 45. 
No trecho compreendido entre as cargas concentradas, sujeito a flexão simples, a direção 
das tensões principais de tração é paralela ao eixo da viga. As trajetórias de tensões principais 
estão esquematizadas na Figura 5.2. 
 
 114 
 
Figura 5.2 Trajetórias de tensões principais 
 
5.2 Arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto armado 
 
Como se sabe, o concreto é um material de boa resistência à compressão (fcc), porém, de 
baixa resistência a tração (fct). Dessa forma, se a viga da Figura 5.1 fosse de concreto armado ela 
tenderia a apresentar fissuras perpendiculares à tensão principal de tração (σ1), ou seja, fissuras 
paralelas à tensão principal de compressão (σ2). Pode-se notar que na flexão simples (trecho 
compreendido entre as cargas concentradas) as fissuras tendem a ser perpendiculares à LN; e na 
flexão combinada com cisalhamento (trecho compreendido entre a carga concentrada e o apoio) 
as fissuras tendem a se inclinar devido à força cortante. Neste caso diz-se que ocorre uma 
fissuração diagonal. 
A ideia básica do concreto armado está na associação de dois materiais, concreto e 
armadura, de modo que esta última supra a deficiência à tração do primeiro. Para isso, a 
armadura deve ser posicionada de modo a “costurar” as fissuras de tração e, quando possível, 
paralelamente às tensões de tração. As trajetórias de tensões de tração (Figura 5.2) sugerem os 
seguintes arranjos práticos de armadura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 115 
a) armadura longitudinal (reta + dobrada) + armadura transversal (estribo), Figura 5.3; 
 
 
Figura 5.3 Arranjo de armaduras 
 
b) armadura longitudinal (reta) + armadura transversal (estribo), Figura 5.4. 
 
 
Figura 5.4 Configuração de armaduras 
 
O estribo nunca é dispensado nas vigas devido, principalmente, a razões de ordem 
construtiva. O primeiro dos arranjos citados parece ser melhor porque a armadura longitudinal 
acompanha, relativamente bem, as trajetórias de tensões principais de tração; os ensaios, 
contudo, tem mostrado o bom comportamento do segundo arranjo onde os estribos, distribuídos 
com pequeno espaçamento entre si, têm a função de “costurar” as possíveis fissuras 
perpendiculares às tensões principais de tração. Este último arranjo, associado às facilidades 
construtivas decorrentes, constitui esquema muito prático e de uso bastante comum; a armadura 
longitudinal tem a função de resistir à flexão e os estribos, ao cisalhamento. 
 
 
 116 
5.3 Modos de ruptura 
 
Considere-se a viga de Figura 5.4 com o arranjo das armaduras constituído de barras 
longitudinais retas e estribos. 
Considerando-se o carregamento crescente da viga, nota-se, inicialmente, a formação de 
fissuras perpendiculares ao eixo da viga, no trecho compreendido entre as cargas concentradas. 
Estas fissuras são devidas ao efeito do momento fletor, Figura 5.5. 
 
 
Figura 5.5 Fissuras ocasionadas pelo efeito do momento fletor 
 
Com o aumento da carga, essas fissuras avançam pela alma da viga em direção à zona 
comprimida e aparecem, também, fissuras diagonais no trecho sujeito a força cortante, Figura 
5.6. Esta fissuração progride até ocorrer a ruptura localizada em alguma região da viga. O modo 
particular de ruptura vai depender do arranjo, da quantidade, e da proporção relativa das 
armaduras, longitudinal e transversal. 
 
 
Figura 5.6 Fissuras formadas pela presença de força cortante e momento fletor 
 
 
 
 117 
São vários os modos possíveis de ruptura: 
 
a) ruptura momento-compressão, Figura 5.7, característico da flexão simples: ruptura por 
esmagamento do concreto e, em geral, escoamento da armadura tracionada; 
 
 
Figura 5.7 Ruptura por esmagamento do concreto 
 
b) ruptura cortante-tração, Figura 5.8, que pode ocorrer por causa da deficiência de armadura 
transversal, separando a viga em duas partes; 
 
 
Figura 5.8 Ruptura cortante-tração 
 
c) ruptura momento-cortante-compressão, Figura 5.9, provocada por deficiência de armadura 
transversal em região sujeita à solicitação combinada, força cortante com momento fletor. Neste 
caso, a insuficiência (ou arranjo inadequado) de estribos provoca o avanço exagerado das 
fissuras diagonais, levando à ruptura da seção por causa da redução da zona comprimida 
necessária ao equilíbrio da flexão; 
 
 
Figura 5.9 Ruptura momento-cortante-compressão 
 118 
d) ruptura cortante-compressão, Figura 5.10, provocada por esmagamento diagonal do concreto 
junto à alma da viga; esta ruptura pode ocorrer em vigas de alma muito fina, geralmente, de 
seção “T”; 
 
 
Figura 5.10 Ruptura cortante-compressão 
 
e) ruptura por escorregamento da armadura longitudinal junto aos apoios extremos, Figura 5.11, 
por causa da sua ancoragem insuficiente e, da fissuração diagonal que provoca uma translação do 
diagrama de resultante de tração na armadura longitudinal (decalagem). 
 
 
Figura 5.11 Ruptura por escorregamento 
 
Os modos de ruptura, bem como, os panoramas de fissuração foram ilustrados na viga 
simples de concreto armado. Contudo, eles ocorrem, em vigas gerais de concreto estrutural 
apresentando as mesmas características observadas na viga simples. 
 
5.3.2 Verificação da segurança para solicitações tangenciais 
 
Com relação aos diversos modos de ruptura, devem ser verificados os estados limites 
últimos para os casos a, b, d e e; o caso c é contornado através de cuidados especiais na 
distribuição dos estribos (utilização de estribos finos com pequeno espaçamento entre eles). 
 
 
 
 119 
5.4 Método de verificação 
 
5.4.1 Modelo simplificado para o comportamento da viga (treliça clássica ou treliça de 
Mörsch) 
 
O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, sugere um 
modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (Figura 5.12). Esta treliça é constituída 
de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto, e banzo inferior 
tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de 
concreto inclinadas de 45 (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura 
transversal. Esta armadura é, em geral, constituída de estribos distanciados de s e posicionados 
ao longo da viga, perpendicularmente ao seu eixo. As cargas atuantes na viga são substituídas 
por forças concentradas equivalentes aplicadas aos “nós” da treliça. 
 
 
Figura 5.12 Modelo da treliça de Morsch 
 
Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de uma treliça mais simples, 
isostática, Figura 5.13, dita treliça clássica ou treliça de Mörsch. Cada pendural nesta treliça 
representa (z/s) estribos, da treliçaoriginal, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida. 
 
 
Figura 5.13 Treliça clássica 
 120 
5.4.1.2 Solicitações nos elementos da treliça 
 
Do equilíbrio do ponto J, Figura 5.14, tem-se: 
Rswd = Vd e Rcwd = Vd√2 
 
 
Figura 5.14 Equilíbrio de esforços internos 
 
5.4.1.3 Translação do diagrama de tração na armadura longitudinal (decalagem al) 
 
Considere-se a viga esquematizada na Figura 5.15 sujeita à carga uniforme pd. 
 
 
Figura 5.15 Esforços internos 
 
 121 
Admita-se que no trecho de comprimento z, a partir da abscissa x0, os estribos estejam 
posicionados com espaçamento z/n (no caso, n=4). A Figura 5.15 (a) apresenta os esforços 
atuantes sobre este trecho. Observa-se que a força cortante Vd é integralmente transferida através 
dos estribos. 
O momento em relação ao ponto O é dado por 
Mod + Vod ∙ z −
pd ∙ z
n
∙
z
n
∑ i
n−1
1
−
Vd
n
∙
z
n
∑ i
n−1
1
− Rsd ∙ z = 0 
Sendo 
Vd = Vod − pd ∙ z 
∑ i
n−1
1
=
n(n − 1)
2
 
resulta 
Rsd =
Mod +
Vod ∙ z
2 (1 +
1
n)
z
 
Para n = 1 tem-se: 
Rsd =
Mod +
Vod ∙ z
2
z
=
Md
z
 
ou seja, a força de tração na armadura longitudinal no ponto S1 é determinado com o momento 
fletor no ponto S2, mostrando a existência de um deslocamento (decalagem) al = z, entre os dois 
diagramas. 
Para n   tem-se: 
Rsd =
Mod +
Vod ∙ z
2
z
=
M̅d
z
 
como na abscissa xo + z/2 o momento fletor vale (Mod + Vod.z/2 – pd.z2/8), pode-se concluir que 
Md corresponde a uma seção situada além deste ponto, resultando em decalagem al > z/2. 
Dessa forma, a decalagem está compreendida entre os extremos z/2 e z: 
z
2
≤ al ≤ z. 
Normalmente, comportamento dos estribos é eficiente quando o seu espaçamento é 
menor do que z/2. 
A Figura 5.16 apresenta, esquematicamente, o diagrama de momento fletor dividido por 
z (Md/z) e, também, o diagrama da resultante de tração no banzo tracionado (armadura de 
flexão). 
Devido à fissuração diagonal, existe, então, uma translação (decalagem) para o lado 
desfavorável. Em particular, na seção sobre o apoio extremo, fica evidenciada a presença de 
 122 
força de tração na armadura, apesar de ser nulo o momento fletor. Este efeito explica a 
possibilidade de ocorrência de ruptura por escorregamento da armadura sobre os apoios 
extremos da viga. 
 
 
Figura 5.16 Decalagem 
 
5.4.1.4 Tensões médias nos elementos da treliça 
 
a) Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto) 
 
 
Figura 5.17 Tensão média na diagonal comprimida 
 
Conforme a Figura 5.17, pode-se escrever: 
σcwd =
Rcwd
bwh1
=
Vd√2
bw
z
√2
=
2Vd
bwz
 
 123 
Como z = 0,9d, tem-se, também: 
σcwd =
Rcwd
bwh1
=
Vd√2
bw
z
√2
=
2Vd
bwz
≅
2Vd
bw ∙ 0,9d
= 2,22
Vd
bwd
 
 
b) Tensão média no estribo 
 
 
Figura 5.18 Tensão média no estribo 
 
Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2 
ramos: 
Asw = 2 As1 (As1 = área da seção da armadura do estribo). 
Conforme a Figura 5.18, tem-se: 
σswd =
Rswd
z
s Asw
=
Vd
zAsw
s ∙
bw
bw
=
Vd
bwz
Asw
bws
=
Vd
0,9dbwρw
 
ou 
σswd =
Rswd
z
s Asw
≅
Vd
0,9dAsw
s
=
Vd
0,9dAsw
s ∙
bw
bw
=
Vd
bw0,9d
Asw
bws
=
Vd
0,9dbwρw
 
onde 
z / s = número de estribos no comprimento z de viga e 
𝜌𝑤 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤𝑠
 = taxa geométrica de armadura transversal. 
 
5.4.2 Dimensionamento (Critérios NBR 6118/2014) 
 
As verificações são feitas em termos de forças atuantes nas bielas de concreto e armadura 
transversal e não mais nas tensões. Admitem-se dois modelos de cálculos alternativos: 
 124 
 Modelo I: considera as diagonais de compressão inclinadas de θ = 45º em relação ao eixo 
longitudinal do elemento estrutural, em que Vc é suposto constante. 
 Modelo II: considera as diagonais inclinadas em um intervalo de 30º a 45º e considera-se a 
parcela de Vc com valores menores. 
 
5.4.2.1 Verificação do estado limite último 
 
A resistência da peça em uma determinada seção transversal é satisfatória quando 
verificadas simultaneamente as seguintes condições: 
Vsd < VRd2 
Vsd < VRd3 = Vc+Vsw 
Onde: 
Vsd – força cortante solicitante de cálculo 
VRd2 – força cortante resistente de cálculo 
VRd3 = Vc+ Vsw , Vc parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de 
treliça e Vsw a parcela absorvida pela armadura transversal. 
 
5.4.2.1.1 Modelo de Cálculo I 
 
A resistência da peça é assegurada pela verificação da compressão diagonal do concreto 
pela seguinte expressão: 
VRd2 = 0,27αv2fcdbwd > Vsd αv2 = 1 −
fck
250
 fck em MPa 
 
Cálculo da armadura transversal: 
Vsd < VRd3 = Vc + Vsw 
Vsw = (
Asw
s
) 0,9 ∙ d ∙ fywd(senα + cosα) 
Onde: 
 - inclinação dos estribos, entre 45° ≤  ≤90º; 
Vc = 0; nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção; 
Vc = Vc0; na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; 
Vc = Vc0 (1 +
M0
Msd,máx
) ≤ 2Vc0 na flexo-compressão 
Vc0 = 0,6 ∙ fctd ∙ bwd ∙ d; 
Sendo: 
 125 
M0 – momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção; 
Msd,máx – momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise. 
fctd =
fctk,inf
γc
 
fctk,inf = 0,7fctm 
fctm = 0,3fck
2 3⁄
 
Asw
s
=
Vsw
0,9 ∙ d ∙ fywd
 
Obs.: segundo a NBR 6118 deve-se limitar fywd em 434,8 MPa para as armaduras de 
cisalhamento. 
 
5.4.2.1.2 Modelo de Cálculo II 
 
Este modelo admite diagonais de compressão com θ variando de 30º a 45º. 
Neste modelo a resistência da peça é assegurada também pela verificação da compressão 
diagonal do concreto, porém dada com esta expressão: 
VRd2 = 0,54αv2fcdbwd(sen
2θ)(cotgα + cotgθ) > Vsd 
Onde: 
 - inclinação dos estribos; 
 - inclinação das bielas. 
 
Cálculo da armadura transversal: 
Vsd < VRd3 = Vc + Vsw 
Vsw = (
Asw
s
) 0,9 ∙ d ∙ fywd(cotgα + cotgθ)senα 
Onde: 
Vc = 0; nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção; 
Vc = Vc1; na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; 
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐1 (1 +
𝑀0
𝑀𝑠𝑑,𝑚á𝑥
) ≤ 2𝑉𝑐1 na flexo-compressão com: 
Vc1 = Vc0 quando Vsd ≤ Vc0 e 
Vc1 = 0 quando Vsd = VRd2 
Asw
s
=
Vsw
0,9 ∙ d ∙ fywd(cotgα + cotgθ)senα
 
Obs.: segundo a NBR 6118 deve-se limitar fywd em 434,8 MPa para as armaduras de 
cisalhamento. 
 126 
 
5.4.2.2 Arranjos das armaduras 
 
Para o dimensionamento ao cisalhamento deve-se respeitar as seguintes condições: 
a) Armadura transversal mínima (estribo mínimo) 
ρsw,mín =
Asw
bw ∙ s ∙ senα
≤
0,2fctm
fywk
 
b) Tipo de estribo 
Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, 
envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração e ancorados na face oposta. 
c) Diâmetro dos estribos (t) 
5 mm ≤ θt ≤
bw
10
 
d) Espaçamento dos estribos (s) 
Recomenda-se obedecer às seguintes condições: 
espaçamento máximo entre estribos, segundo o eixo longitudinal da peça 
- se Vd ≤ 0,67VRd2, então smax = 0,6d ≤ 300 mm; 
- se Vd > 0,67VRd2, então smax = 0,3d ≤ 200 mm. 
O espaçamento mínimo entre estribos deve ser suficiente para permitir a passagem do 
vibrador. 
 
5.5 Complementos 
 
5.5.1 Seções próximas aos apoios 
 
Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode ser menor 
do que aquele indicado pelo cálculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga (próxima aos 
apoios) pode se dirigirdiretamente aos apoios, portanto, sem solicitar a armadura transversal. 
A NBR-6118 propõe as regras seguintes para o cálculo da armadura transversal, quando 
a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a: 
a) no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face deste apoio, a força cortante 
oriunda de carga distribuída poderá ser considerada constante e igual à desta seção (Figura 5.19); 
 
 127 
 
Figura 5.19 Seções próximas aos apoios 
 
b) a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a ≤ 2d do centro do 
apoio poderá, neste trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por [a/(2d)], Figura 
5.20. 
Convém frisar que estas reduções só podem ser feitas para o cálculo da armadura 
transversal. A verificação do concreto (τwd) deve ser feita com os valores originais, sem redução. 
 
 
Figura 5.20 Força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a. 
 
5.5.2 Elementos estruturais de altura variável 
 
A força cortante que é resistida pela alma das vigas de altura variável pode ser avaliada 
por: 
|𝑉𝑠𝑑| − |𝑉𝑠𝑑,𝑟𝑒𝑑|
= [|𝑀𝑠𝑑 𝑧⁄ | − |𝑉𝑠𝑑,𝑟𝑒𝑑|(𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃)/2]𝑡𝑔𝛽𝑐 + [|𝑀𝑠𝑑 𝑧⁄ | − |𝑉𝑠𝑑,𝑟𝑒𝑑|(𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃)/2]𝑡𝑔𝛽𝑡 
 128 
onde: 
Vsd,red é a força cortante reduzida, considerando o efeito de altura variável 
c é o ângulo entre o banzo de compressão e o eixo longitudinal do elemento estrutural 
t é o ângulo entre a armadura de tração e o eixo longitudinal do elemento estrutural 
 é o ângulo de inclinação das bielas de compressão consideradas no dimensionamento à força 
cortante 
z é o braço de alavanca das forças resultantes internas 
Os sinais de c e t devem ser obtidos considerando o sentido das forças finais de 
compressão e de tração da flexão com a força cortante concomitante. 
A expressão acima considera a redução da força de compressão na flexão quando existe 
força cortante concomitante. 
 
5.6 Exemplos 
 
5.6.1 Exemplo 1 
 
Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na 
Figura 5.21. Dados: P = 65 kN, fck = 25 MPa, aço CA50 e admitir d = 46 cm para a altura útil da 
seção. 
 
 
Figura 5.21 Exemplo 1 
 
 
 129 
fctm = 0,3(fck)
2
3⁄ = 0,3(25)
2
3⁄ = 2,56 MPa 
fctk,inf = 0,7fctm = 0,7 ∙ 2,56 = 1,80 MPa 
fctd =
fctk,inf
γc
=
1,80
1,4
= 1,28 MPa 
 
a) Verificação do concreto 
Vsd = γfV = 1,4 ∙ 65 = 91 kN 
αv2 = 1 −
fck
250
= 1 −
25
250
= 0,9 
VRd2 = 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d = 0,27 ∙ 0,9 ∙ 1,78 ∙ 12 ∙ 46 = 238,76 kN 
Assim, 
Vsd < VRd2 
 
b) Cálculo do estribo 
Vc = Vc0 = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d = 0,6 ∙ 0,128 ∙ 12 ∙ 46 = 42,39 kN 
Vsw = Vsd − Vc = 91 − 42,4 = 48,6 kN 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fywd 
Portanto, 
(
Asw
s
) =
2,7cm2
m
 (Trecho I e III) 
ρsw,mín = 0,2 ∙
fctm
fywk
= 0,2 ∙
2,56
500
= 0,10% 
(
Asw
s
)
mín
= bw ∙ ρsw,mín = 12 ∙ 0,10% = 0,012
cm2
cm
= 1,2
cm2
m
 (Trecho II) 
- para o diâmetro dos estribos (t) 
5 mm ≤ θt ≤
bw
10
= 12 mm 
- para o espaçamento entre estribos (s) 
7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30 cm (sendo que Vsd ≤ 0,67VRd2) 
0,6d = 0,6.46 = 27,6 cm (adota-se o menor espaçamento de 27 cm) 
As bitolas usuais de armaduras para estribos são as seguintes: 
 (mm) 5 6,3 8 10 12,5 
As1 (cm²) 0,2 0,31 0,51 0,79 1,23 
onde As1 = área da seção transversal de uma barra. 
Para (Asw/s) = 2,7 cm²/m temos: 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. 
 130 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 14 
A distância da face interna do apoio até a carga é de 144 cm (150 – 6 = 144 cm). 
Portanto, tem-se 144/14 = 10,3 portanto 11 estribos neste trecho. 
 
Trecho entre as cargas concentradas (V = 0) 
(
Asw
s
)
mín
= 1,2 cm2 m⁄ 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 33 > smáx = 27 
Deve-se adotar, então 5 c/ 27. O comprimento do trecho é de 160 cm. Portanto, tem-se 
160/27 = 5,9  6 estribos neste trecho. 
 
c) Arranjo dos estribos 
A Figura 5.22 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se 
cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm. 
 
 
Figura 5.22 Detalhamento dos estribos 
 
5.6.2 Exemplo 2 
 
Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na 
Figura 5.23. Dados: p = 30 kN/m, fck = 25 MPa, aço CA50 e admitir d = 46 cm para a altura útil 
da seção. 
 
 131 
 
Figura 5.23 Exemplo 2 
 
fctm = 0,3(fck)
2
3⁄ = 0,3(25)
2
3⁄ = 2,56 MPa 
fctk,inf = 0,7fctm = 0,7 ∙ 2,56 = 1,80 MPa 
 
a) Verificação do concreto 
Vsd = γfV = 1,4 ∙ 69 = 96,6 kN 
αv2 = 1 −
fck
250
= 1 −
25
250
= 0,9 
VRd2 = 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d = 0,27 ∙ 0,9 ∙ 1,78 ∙ 12 ∙ 46 = 238,76 kN 
Assim, 
Vsd < VRd2 
 
b) Cálculo do estribo 
Vc = Vc0 = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d = 0,6 ∙ 0,128 ∙ 12 ∙ 46 = 42,39 kN 
ρsw,mín = 0,2 ∙
fctm
fywk
= 0,2 ∙
2,56
500
= 0,10% 
(
Asw
s
)
mín
= bw ∙ ρsw,mín = 12 ∙ 0,10% = 0,012 cm
2 cm⁄ = 1,2 cm2 m⁄ 
Vsd
∗ = Vc + (
Asw
s
)
mín
∙ 0,9 ∙ d ∙ fywd = 42,39 + 0,012 ∙ 0,9 ∙ 46 ∙ 43,5 = 64 kN 
Por semelhança de triângulos chega-se à distância onde ocorre o valor de Vsd
*, ou seja, 
78 cm. 
 
 
 132 
 trecho B de estribo mínimo 
(
Asw
s
)
mín
= 1,2 cm2 cm⁄ 
- espaçamento entre estribos (s) 
7 cm < s < 0,6d ou 30 cm (sendo que Vsd ≤ 0,67VRd2) 
0,6d = 0,6.46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27 cm) 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. A tabela seguinte mostra uma 
possível opção. 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 33 > smáx = 27 
Deve-se adotar, então 5 c/ 27. O comprimento do trecho é de 160 cm. O trecho central 
de estribo mínimo deve estar sujeito a força cortante menor do que Vsd
*. 
Desta forma, o trecho central de estribo mínimo (trecho B) tem comprimento de 
4,6 - 2 x 0,78 = 3,04 m centrado no vão. Neste trecho tem-se: 304 / 27 =11,3  12 estribos. 
 
 trecho A junto aos apoios (Vsd = 96,6 kN) 
Restam dois trechos de 0,78 m junto aos apoios (trecho A) que podem ser armados com 
estribo constante calculado para a máxima força cortante de cálculo no trecho igual a 96,6 kN. 
- taxa geométrica 
Vsw = Vsd − Vc = 96,6 − 42,4 = 54,2 kN 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fywd 
Portanto, 
(
Asw
s
) = 3,0 cm2 m⁄ 
- espaçamento entre estribos (s) 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. A tabela seguinte mostra as 
possíveis opções. 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 13 
6,3 0,315 0,63 21 
Pode-se adotar, por exemplo, 5 c/ 13. O comprimento de cada trecho medido a partir da 
face interna do apoio é de 78 – 6 = 72 cm; portanto, tem-se 72/13 = 5,5  6 estribos neste 
trecho. 
 
 
 
 133 
c) Arranjo dos estribos 
A Figura 5.24 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se o 
cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm. 
 
 
Figura 5.24 Detalhamento dos estribos 
 
5.6.3 Exemplo 3 
 
Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na 
Figura 5.25 e na Figura 5.26. Dados: fck = 25 MPa, aço CA50 e admitir d = 46 cm para a altura 
útil da seção. 
 
 
 134 
Figura 5.25 Exemplo 3 
 
Figura 5.26 Carregamento 
 
 
Figura 5.27 Diagrama de esforço cortante de cálculo 
 
a) Verificação do concreto 
Como a seção da viga é constante, basta verificar o concreto para a força cortante de 
cálculo máxima Vsd = 158,4 kN junto aos apoios internos. 
αv2 = 1 −
fck
250
= 1 −
25
250
= 0,9 
VRd2 = 0,27 ∙ αv2 ∙fcd ∙ bw ∙ d = 0,27 ∙ 0,9 ∙ 1,78 ∙ 15 ∙ 46 = 298,45 kN 
Assim, 
Vsd < VRd2 
 
b) Cálculo do estribo 
Vc = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d = 0,6 ∙ 0,128 ∙ 15 ∙ 46 = 53 kN 
ρsw,mín = 0,2 ∙
fctm
fywk
= 0,2 ∙
2,56
500
= 0,10% 
(
Asw
s
)
mín
= bw ∙ ρsw,mín = 12 ∙ 0,10% = 0,012 cm
2 cm⁄ = 1,2 cm2 m⁄ 
Vsd
∗ = Vc + (
Asw
s
)
mín
∙ 0,9 ∙ d ∙ fywd = 53 + 0,012 ∙ 0,9 ∙ 46 ∙ 43,5 = 74,6 kN 
 
 
 
 135 
 Primeiro trecho 
Por semelhança de triângulos chega-se à distância onde ocorre o valor de Vsd
*, ou seja, 
73,5 cm. 
Vsw = Vsd − Vc = 100,6 − 53 = 47,6 kN 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fywd 
Portanto, 
(
Asw
s
) = 2,64 cm2 m⁄ 
- espaçamento entre estribos (s) 
7 cm  s  0,6d ou 30 cm (sendo que Vsd < 0,67VRd2) 
0,6d = 0,6.46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27 cm) 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. A tabela seguinte mostra uma 
possível opção. 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 15 
Deve-se adotar, então 5 c/ 15. O comprimento de cada trecho medido a partir da face 
interna do apoio é de 73,5 – 10 = 63,5 cm. Portanto, tem-se: 63,5 / 15 =4,2  5 estribos neste 
trecho. 
Em complementação ao primeiro trecho utiliza-se armadura mínima a partir do 
comprimento calculado em ocorrência a Vsd
*. 
(
Asw
s
)
mín
= 1,2 cm2 m⁄ 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. A tabela seguinte mostra uma 
possível opção. 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 33 > smáx = 27 
Deve-se adotar, então 5 c/ 27. O comprimento de cada trecho medido a partir da face 
interna do apoio é de 267,5 – 73,5 = 194 cm. Portanto, tem-se 194 / 27 = 7,2  8 estribos neste 
trecho. 
 
 Segundo trecho 
Por semelhança de triângulos chega-se à distância onde ocorre o valor de Vsd
*, ou seja, 
237 cm. 
Vsw = Vsd − Vc = 158,4 − 53 = 105,4 kN 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fywd 
 136 
Portanto, 
(
Asw
s
) = 5,85 cm2 m⁄ 
- espaçamento entre estribos (s) 
7 cm  s  0,6d ou 30 cm (sendo que Vsd < 0,67VRd2) 
0,6d = 0,6.46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27 cm) 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. A tabela seguinte mostra uma 
possível opção. 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
6,3 0,315 0,63 10 
Deve-se adotar, então 6,3 c/ 10. O comprimento de cada trecho medido a partir da face 
interna do apoio é de 237 – 25 = 212 cm. Portanto, tem-se 212 / 10 = 21,2  22 estribos neste 
trecho. 
Em complementação ao segundo trecho utiliza-se armadura mínima a partir do 
comprimento calculado em ocorrência a Vsd
*. 
(
Asw
s
)
mín
= 1,2 cm2 m⁄ 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. A tabela seguinte mostra uma 
possível opção. 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 33 > smáx = 27 
Deve-se adotar, então 5 c/ 27. O comprimento de cada trecho medido a partir da face 
interna do apoio é de 267,5 – 237 = 30,5 cm. Portanto, têm-se 30,5 / 27 = 1,1  2 estribos neste 
trecho. 
 
 Terceiro trecho 
Por semelhança de triângulos chega-se à distância onde ocorre o valor de Vsd
*, ou seja, 
128 cm. 
Vsw = Vsd − Vc = 123,3 − 53 = 70,3 kN 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fywd 
Portanto, 
(
Asw
s
) = 3,90 cm2 m⁄ 
- espaçamento entre estribos (s) 
7 cm  s  0,6d ou 30 cm (sendo que Vsd < 0,67VRd2) 
0,6d = 0,6.46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27 cm) 
 137 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. A tabela seguinte mostra uma 
possível opção. 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 10 
Deve-se adotar, então 5 c/ 10. O comprimento de cada trecho medido a partir da face 
interna do apoio é de 128 – 25 = 103 cm. Portanto, têm-se 103 / 10 = 10,3  11 estribos neste 
trecho. 
Em complementação ao terceiro trecho utiliza-se armadura mínima a partir do 
comprimento calculado em ocorrência a Vsd
*. 
(
Asw
s
)
mín
= 1,2 cm2 m⁄ 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2As1. A tabela seguinte mostra uma 
possível opção. 
 (mm) As1 (cm²) Asw = 2As1 s (cm) 
5 0,2 0,4 33 > smáx = 27 
Deve-se adotar, então 5 c/ 27. O comprimento de cada trecho medido a partir da face 
interna do apoio é de 482,5 – 128 – 7,5 = 347 cm. Portanto, têm-se 347 / 27 = 12,8  13 estribos 
neste trecho. 
 
c) Arranjo dos estribos 
A Figura 5.28 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se o 
cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm. 
 
 
Figura 5.28 Detalhamento dos estribos 
 138 
5.7 Armadura de costura nas abas das seções transversais 
 
5.7.1 Introdução 
 
Normalmente, as abas das seções transversais estão submetidas a solicitações 
tangenciais. Junto à ligação (aba-alma) das seções das vigas esta solicitação atinge o valor 
máximo. Esta solicitação exige, no concreto armado, uma armadura de costura. 
Em vigas usuais de edifícios, podem ocorrer duas situações onde estas armaduras são 
necessárias, como mostrado na Figura 5.29. A primeira situação corresponde às seções dos vãos 
com abas comprimidas de seções T (flexão nos vãos das vigas normais) e, a outra, às seções de 
apoios internos das vigas contínuas, onde a armadura de flexão é distribuída também nas lajes 
(abas tracionadas). 
 
 
Figura 5.29 Situações usuais 
 
5.7.2 Aba comprimida 
 
A Figura 5.30 apresenta a situação típica correspondente à seção T submetida à flexão. 
 
 
Figura 5.30 Aba comprimida 
 139 
Considere-se a aba lateral de dimensão b’ e comprimento ds, Figura 5.31. 
 
 
Figura 5.31 Esforços na aba comprimida 
 
A resultante de compressão na seção transversal é Rcd. Na aba de dimensão b’ tem-se 
Rfd =
b′
bf
Rcd 
Como Rcd =
Md
z
, tem-se Rfd =
b′
bf
∙
Md
z
. 
O acréscimo dRfd é dado por: dRfd =
b′
bf
∙
dMd
z
. 
Como dMd = Vsd.ds , tem-se: dRfd =
b′
bf
∙
Vsd
z
ds. 
Esta variação da resultante de tensões normais de flexão é equilibrada pela resultante das 
tensões de cisalhamento τfo atuando na área elementar (hf.ds), isto é: 
dRfd = τfohfds. 
Portanto, 
τfo =
b′
bf
Vsd
hfz
=
Vfd
hfz
=
Vfd
hf ∙ 0,9d
 (a) 
onde 
Vfd =
b′
bf
Vsd ou Vfd =
Asf̅̅ ̅̅
As
Vsd 
Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça 
clássica) com a expressão (a), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd 
atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no 
modelo da treliça clássica, é dada por: 
 140 
ρ
f
=
τfo
fywd
 
onde 
ρ
f
=
Asf̅̅ ̅̅
hf
 
sendo 
Asf̅̅ ̅̅ =
Vfd
0,9d ∙ fywd
 
Asf̅̅ ̅̅ = a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de 
comprimento, Figura 5.32. 
 
 
Figura 5.32 Disposição da armadura na aba 
 
Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para 
garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-se, também, verificar 
Vfd ≤ 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ hf ∙ d (verificação da compressão na biela diagonal) 
e 
ρ
f
≥ 0,2 ∙
fctm
fywk
 (taxa mínima de armadura transversal). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 141 
5.7.2.1 Exemplo 
 
Como exemplo, considere-se a viga da Figura 5.33, que tem .fck de 20MPa 
 
Figura 5.33 Exemplo de cálculo de armadura de costura 
 
Junto aos apoios, onde a força cortante é máxima, tem-se: 
Vsd = 1,4 x 51,0 = 71,4 kN 
Portanto, 
Vfd =
b′
bf
Vsd =
46
104
∙ 71,4 = 31,6 kN 
 
Verificação da biela 
Vfd ≤ 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ hf ∙ d = 0,27 ∙ (1 −
20
250
) ∙
2,01,4
∙ 8 ∙ 46 = 130,58𝑘𝑁 𝑂𝐾! 
Portanto 
Asf̅̅ ̅̅ =
Vfd
0,9d ∙ fywd
=
31,6
0,9 ∙ 46 ∙ 43,5
= 0,0175 cm² cm⁄ = 1,75 cm² m⁄ 
ou 
ρ
f
=
Asf̅̅ ̅̅
hf
=
0,0175
8
= 0,0022 = 0,22% 
Esta armadura pode ser conseguida através de duas camadas de 5 c/20, uma junto à 
borda superior e, outra, junto à borda inferior; em 1 m de extensão tem-se 5 barras por camada 
totalizando 
2 x 5 x 0,2 = 2,0 cm² > Asf̅̅ ̅̅ 
ρ
f
≥ 0,2 ∙
fctm
fywk
= 0,2 ∙
0,221
50
= 8,84 ∙ 10−4
= 0,088% (taxa mínima de armadura transversal). 
 
A Figura 5.34 apresenta, esquematicamente, a solução obtida. 
 142 
 
Figura 5.34 Detalhamento das armaduras 
 
5.7.3 Aba tracionada 
 
A Figura 5.35 apresenta a situação usual, correspondente a seções de apoio interno de 
vigas contínuas (momento fletor tracionando a borda superior), com armadura tracionada de 
flexão distribuída, também, nas abas. 
 
 
Figura 5.35 Aba tracionada 
 
Considere-se a aba lateral de comprimento ds, indicada na Figura 5.36. 
 
 
Figura 5.36 Esforços na aba tracionada 
 143 
A resultante de tração na seção transversal é Rsd. Na aba considerada é dada por 
Rsfd =
Asf
As
Rsd 
onde Asf = área da seção de armadura de flexão contida na aba. 
Como Rsd =
Md
z
, tem-se Rsfd =
Asf
As
∙
Md
z
. 
O acréscimo dRsfd é dado por: dRsfd =
Asf
As
∙
dMd
z
. 
Como dMd = Vsd.ds , tem-se: dRsfd =
Asf
As
∙
Vsd
z
ds. 
Esta variação da resultante é equilibrada pela resultante das tensões de cisalhamento τfo 
atuando na área elementar (hf.ds), isto é: 
dRsfd = τfohfds. 
Portanto, 
τfo =
Asf
As
Vsd
hfz
=
Vfd
hfz
=
Vfd
hf ∙ 0,9d
 (b) 
onde 
Vfd =
Asf
As
Vsd 
Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça 
clássica) com a expressão (b), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd 
atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no 
modelo da treliça clássica, é dada por: 
ρ
f
=
τfo
fywd
 
onde 
ρ
f
=
Asf̅̅ ̅̅
hf
 
sendo 
Asf̅̅ ̅̅ =
Vfd
0,9d ∙ fywd
 
Asf̅̅ ̅̅ = a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de 
comprimento. 
Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para 
garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-se, também, verificar 
Vfd ≤ 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ hf ∙ d (verificação da compressão na biela diagonal) 
e 
 144 
ρ
f
≥ 0,2 ∙
fctm
fywk
 (taxa mínima de armadura transversal). 
 
5.7.3.1 Exemplo 
 
Como exemplo, considere-se a viga da Figura 5.37. 
 
 
Figura 5.37 Exemplo de cálculo de armadura de costura 
 
Junto aos apoios, onde a força cortante é máxima, tem-se: 
Vsd = 1,4 x 63,8 = 89,3 kN 
Portanto, 
Vfd =
Asf
As
Vsd =
1,5
5,5
∙ 89,3 = 24,4 kN 
Logo 
τfo =
Vfd
hf ∙ 0,9d
=
24.4
8 ∙ 0,9 ∙ 46
= 0,08 kN/cm² 
Portanto 
ρ
f
=
τfo
fywd
=
0,08
50 1,15⁄
= 0,00184 > 0,14% 
Ou 
Asf = hfρf = 8 x 0,00184 = 0,0147 cm² cm⁄ = 1,47 cm² m⁄ 
Esta armadura pode ser conseguida através de uma camada de 5 c/ 13 ou de duas 
camadas de 5 c/ 20 (com folga). 
 
 
 
 
 145 
5.8 Armadura de suspensão 
 
5.8.1 Introdução 
 
Normalmente, os apoios das vigas são constituídos pelos pilares. Neste caso, diz-se que 
os apoios são do tipo direto. Algumas vezes as vigas se apoiam em outras vigas; constituem os 
apoios do tipo indireto. Conforme ilustra a Figura 5.38, nos apoios diretos as reações são 
transferidas diretamente aos pilares. 
 
 
Figura 5.38 Apoios diretos 
 
Nos apoios indiretos ilustrados na Figura 5.39, as reações da viga devem ser transferidas 
para a viga de apoio. Portanto, no modelo da treliça clássica, utilizado no estudo do 
cisalhamento, as reações da treliça, que simula a viga, devem ser suportadas pela treliça que 
simula a viga de apoio. Estas reações, aplicadas junto à face inferior da viga, devem ser levadas 
para os nós superiores da treliça de apoio. Para isso são necessárias as armaduras de suspensão. 
 
 
Figura 5.39 Transferência de reações para a viga de apoio 
 
 146 
Quando as reações são aplicadas junto à face superior da viga de apoio, não existe a 
necessidade de armadura de suspensão. Esta situação é ilustrada na Figura 5.40. 
 
 
Figura 5.40 Viga de pequena altura apoiada sobre uma viga de grande altura 
 
A Figura 5.41 mostra, para o caso de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio 
(ha), a necessidade de armadura de suspensão para a reação total, isto é, Zd = Rd. 
 
 
Figura 5.41 Vigas altas 
 
Numa situação intermediária, ilustrada na Figura 5.42, observa-se a necessidade de 
suspender apenas parte da reação, uma vez que o restante pode ser transferido para a treliça, que 
simula a viga de apoio, através do esquema usual. 
 
 
Figura 5.42 Vigas de altura intermediária 
 
 
 
 147 
5.8.2 Força (Zd) e armadura de suspensão (Asusp) 
 
Sendo Rd a reação de apoio, a força de suspensão pode ser estimada em 
Zd = Rd ∙
h
ha
≤ Rd 
onde 
h = altura da viga apoiada 
ha = altura da viga de apoio. 
A armadura de suspensão será dada por 
Asusp =
Zd
fywd
 
 
5.8.3 Zona de suspensão 
 
A armadura de suspensão Asusp pode ser distribuída na zona de suspensão (definida na 
Figura 5.43), junto ao cruzamento das vigas. 
 
 
Figura 5.43 Zona de suspensão 
 
Deve-se observar que a zona de suspensão já contém alguns estribos normais das vigas. 
Estes estribos podem ser contados na armadura de suspensão. 
 
5.8.4 Exemplo 
 
Considere-se o esquema de forma da Figura 5.44, onde a viga V1 se apoia 
(indiretamente) na viga V2. 
 
 148 
 
Figura 5.44 Exemplo de cálculo de armadura de suspensão 
 
Os estribos da viga V1, junto aos apoios, é de 5 c/ 12; os estribos da viga V2, junto ao 
cruzamento das vigas, é de 5 c/ 20. As duas vigas têm a mesma altura; portanto, a força de 
suspensão 
Zd = Rd ∙
h
ha
= Rd = γf ∙ R = 1,4 ∙ 60 = 84 kN 
A armadura utilizada é CA50; portanto 
Asusp =
Zd
fywd
=
84
43,48
= 1,93 cm² 
A zona de suspensão junto à viga V1 tem o comprimento de 19 cm 
h
2
−
bw
2
=
50
2
−
12
2
= 19 cm 
Neste comprimento tem-se, em média, 1,6 estribos de 5 mm (19/12 = 1,6), totalizando 
1,6 x 2 x 0,2 = 0,64 cm² de armadura. 
A zona de suspensão junto à viga V2 tem o comprimento de 50 cm (2 x ha/2 = ha = 50 
cm). Neste comprimento tem-se, em média, 2,5 estribos de 5 mm (50/20 = 2,5), totalizando 
2,5 x 2 x 0,2 = 1,0 cm² de armadura. 
O total de estribos na zona de suspensão é de 
0,64 + 1,0 = 1,64 cm² < Asusp = 1,93 cm². 
Portanto, existe a necessidade de armadura adicional de suspensão. 
Na prática, isto é conseguido através da redução do espaçamento dos estribos das vigas 
(em geral, é suficiente a diminuição do espaçamento numa das vigas apenas), de modo que se 
consiga o total necessário à suspensão. 
Deste modo, se reduzirmos o espaçamento dos estribos da viga V2 de 20 cm para 15 cm 
tem-se 50/15 = 3,3 estribos de 5 mm, totalizando 1,3 cm² de armadura (3,3 x 2 x 0,2 = 1,3). O 
novo total passa a ser de 
0,64 + 1,3 = 1,94 cm², atendendo, portanto, a necessidade de suspensão. 
 149 
5.9 Torção 
 
O momento torçor em vigas usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos: 
momento torçor de equilíbrio e momento torçor de compatibilidade. 
 
 
Figura 5.45 Torção de equilíbrio 
 
 
Figura 5.46 Torção de compatibilidade5.9.2 Torção de Saint Venant 
 
Considere-se um trecho de viga de seção retangular sujeito a momento torçor T (Figura 
5.47). As extremidades A e B apresentam rotações em sentidos opostos e as seções transversais 
deixam de ser planas. Diz-se que há empenamento da seção devido à torção. Quando a torção 
ocorre com empenamento livre tem-se o que se chama torção de Saint Venant e aparecem 
tensões de cisalhamento na seção transversal que, naturalmente, equilibram o momento torçor 
aplicado. 
 
 150 
 
Figura 5.47 Viga sujeita a momento torçor 
 
Normalmente, as vigas estão sujeitas a restrições parciais ao livre empenamento por 
causa das interferências das lajes, outras vigas e pilares de apoio, Desse modo, aparecem tensões 
normais (longitudinais) adicionais que se somam às tensões devidas à flexão. Nas vigas de 
concreto armado, essas tensões adicionais costumam ser pequenas e tendem a diminuir com a 
fissuração do concreto (estádio II). Essas restrições ao empenamento provocam, também, 
pequenas alterações nas tensões de cisalhamento de Saint Venant. 
Normalmente, desprezam-se essas alterações provenientes do impedimento parcial do 
empenamento. Assim, o dimensionamento à torção pode ser feito conforme a teoria de torção de 
Saint Venant. 
Usualmente, adota-se a disposição das armaduras compostas de estribos e barras 
longitudinais que, além da facilidade construtiva, se mostrou bastante adequada para resistir à 
torção. Os estribos devem apresentar espaçamentos pequenos e as barras longitudinais devem ser 
distribuídas uniformemente ao longo do perímetro da seção transversal. 
 
5.9.3 Arranjo usual das armaduras 
 
Também devem ser observadas as seguintes recomendações: 
 
a) Armadura longitudinal 
 Diâmetro da armadura longitudinal maior ou igual ao diâmetro do estribo (não menor do que 
10 mm); 
 Garantir uma ancoragem efetiva das barras longitudinais, junto às extremidades do trecho 
sujeito à torção, pois a tração é constante ao longo da barra; 
 Distribuição uniforme da armadura longitudinal no perímetro da seção. 
 
 
 151 
b) Armadura transversal (estribos) 
st ≤ {
d 3⁄
20 cm
 
 
5.9.4 Comportamento da viga de concreto armado sujeita à torção 
 
Os ensaios mostram que a resistência à torção é mobilizada, quase que integralmente, 
junto à capa externa da seção transversal. A Figura 5.48 e Figura 5.49 ilustram esses resultados. 
A Figura 5.48 apresenta, qualitativamente, as respostas de duas vigas de seção retangular 
sujeitas a torção: a primeira de seção maciça e a outra de seção vazada com o mesmo contorno 
da primeira, ambas com as mesmas armaduras de torção. As duas seções apresentam momentos 
torçores últimos praticamente iguais; apenas, como era de se esperar, o momento torçor 
correspondente ao início da fissuração é menor na seção vazada. 
 
 
Figura 5.48 Comportamento de vigas sujeitas à torção 
 
A Figura 5.49 apresenta, qualitativamente, resultados correspondentes à variação da 
rigidez efetiva de torção para seções retangulares, de mesma área de concreto e mesma armadura 
de torção, em função da relação entre seus lados. 
 
 
Figura 5.49 Variação da rigidez efetiva de torção 
 152 
Pode-se notar que, variando a relação h/b entre 1 e 6, a rigidez efetiva à torção e a 
resistência são praticamente as mesmas no estado limite último. Estes resultados ajudam a 
comprovar que a resistência à torção é obtida junto à capa externa da seção transversal. 
 
5.9.5 Geometria da seção resistente 
 
A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede 
equivalente he dada por (Figura 5.50): 
he ≤
A
u
 e he ≥ 2 ∙ c1 
onde 
A – área da seção cheia 
u – perímetro da seção cheia 
c1 – distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural 
 
 
Figura 5.50 Definição da área e espessura equivalente 
 
Caso A/u resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = A/u ≤ bw − 2c1 e a superfície média 
da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras do canto (respeitando o 
cobrimento exigido nos estribos). 
 
5.9.6 Dimensionamento 
 
A viga de concreto armado deve ser dimensionada para resistir integralmente ao 
momento torçor de equilíbrio. O momento torçor de compatibilidade que aparece junto ao 
cruzamento das vigas (apoios indiretos) é, normalmente, pequeno e pode ser ignorado. Admite-
se satisfeita a resistência da peça, numa dada seção, quando se verificarem simultaneamente as 
seguintes condições: 
 153 
{
Tsd ≤ TRd2
Tsd ≤ TRd3
Tsd ≤ TRd4
 
 
5.9.6.1 Verificação da compressão diagonal do concreto 
 
TRd2 = 0,50 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ Ae ∙ he ∙ sen(2θ) 
onde 
Ae – área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a 
parte vazada 
he – espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. 
 – ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30°    45°. 
 
5.9.6.2 Cálculo das armaduras 
 
a) Resistência decorrente dos estribos normais ao eixo da peça 
TRd3 = (
A90
s
) ∙ fywd ∙ 2 ∙ Ae ∙ cotgθ 
onde 
A90 – área da seção transversal do número de ramos de um estribo, contidos na parede 
equivalente 
s – afastamento entre eixos dos estribos 
 
b) Resistência decorrente das armaduras longitudinais 
TRd4 = (
Asl
ue
) ∙ fywd ∙ 2 ∙ Ae ∙ tgθ 
onde 
Asl – soma das áreas das seções das barras longitudinais 
ue – perímetro de Ae 
 
5.9.6.3 Solicitações combinadas 
 
a) Flexão e Torção 
Nos elementos estruturais submetidos a torção e a flexão simples ou composta, as 
verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais 
 154 
A armadura de torção é acrescentada à armadura necessária para as solicitações normais. 
No banzo comprimido a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos 
esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de comprimento 
correspondente à barra. 
 
b) Força cortante e Torção 
O ângulo de inclinação das bielas de concreto a ser considerado deve ser o mesmo para 
os dois esforços. A armadura transversal é dada pela soma das armaduras calculadas 
separadamente. Deve-se verificar também a resistência à compressão diagonal do concreto: 
Vsd
VRd2
+
Tsd
TRd2
≤ 1 
 
5.9.7 Exemplo 
 
Considere a viga da Figura 5.51. 
 
Figura 5.51 Exemplo de dimensionamento à torção 
 
a) Cortante 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 ∙ 81 = 113,4 𝑘𝑁 
αv2 = 1 −
fck
250
= 0,9 
VRd2 = 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d = 0,27 ∙ 0,9 ∙ 1,78 ∙ 40 ∙ 46 = 795,9 kN 
Vsd ≤ VRd2 
 155 
Armadura 
Vsd ≤ VRd3 = Vc + Vsw 
fctm = 0,3 ∙ (fck)
2 3⁄ = 2,56 MPa 
fctk,inf = 0,7 ∙ fctm = 1,79 MPa 
fctd =
fctk,inf
γc
= 1,28 MPa 
Vc = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d = 0,6 ∙ 0,128 ∙ 40 ∙ 46 = 141,3 kN > Vsd 
Armadura mínima 
ρsw = 0,2
fctm
fywk
= 0,001 = 0,1% 
Asw
s
= bw ∙ ρsw = 40 ∙ 0,1% = 0,04 cm² cm⁄ = 4 cm² m⁄ 
2 ramos  cada ramo 2 cm²/m 
 
b) Flexão 
M = 121,5 kN.m  Md = 17010 kN.cm 
x = 1,25d [1 − √1 −
Md
0,425bd2fcd
] = 8,23cm 
x23=0,259d=0,259∙46=11,9 cm 
x34=0,628d=0,628∙46=28,9 cm 
xlim=0,45d=0,45∙46=16,2 cm 
Portanto, domínio 2, pois x < x23 e sd = fyd = 43,48 kN/cm². 
As =
Md
fyd(d − 0,4x)
=
17010
43,48(46 − 0,4 ∙ 8,23)
= 9,16 cm² (5 ∅16mm) 
 
c) Torção 
Tsd = 1,4 ∙ 21 = 29,4 kN. m = 2940 kN. cm 
he ≤
A
u
 e he ≥ 2 ∙ c1 
A = 40 ∙ 50 = 2000 cm² 
u = 2 ∙ 40 + 2 ∙ 50 = 180 cm 
c1 = 4 cm 
he ≤
A
u
=
2000
180
= 11,1
he ≥ 2 ∙ c1 = 2 ∙ 4 = 8
} he = 10 cm 
Ae= 30 ∙ 40 = 1200 cm² 
 156 
TRd2 = 0,50 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ Ae ∙ he ∙ sen(2θ) = 0,50 ∙ 0,9 ∙ 1,78 ∙ 1200 ∙ 10 ∙ sen(2θ)
= 9612 kN. cm 
Vsd
VRd2
+
Tsd
TRd2
=
113,4
795,9
+
2940
9612
= 0,45 < 1 
 
Estribos 
Tsd ≤ TRd3 
TRd3 = (
A90
s
) ∙ fywd ∙ 2 ∙ Ae ∙ cotgθ → (
A90
s
) =
Tsd
fywd ∙ 2 ∙ Ae ∙ cotgθ 
= 
2940
43,48 ∙ 2 ∙ 1200 ∙ 1
= 0,028 cm² cm⁄ = 2,8 cm² m⁄ 
(
A90
s
) = 2 + 2,8 = 4,8 cm² m⁄ (resistente à cortante e torção) 
Pode-se utilizar, por exemplo: 10 c/16 cm 
 
Armaduras longitudinais 
Tsd ≤ TRd4 
TRd4 = (
Asl
ue
) ∙ fywd ∙ 2 ∙ Ae ∙ tgθ → (
Asl
ue
) =
Tsd
fywd ∙ 2 ∙ Ae ∙ tgθ 
= 
2940
43,48 ∙ 2 ∙ 1200 ∙ 1
= 0,028 cm² cm⁄ = 2,8 cm² m⁄ 
ue = 2 ∙ 30 + 2 ∙ 40 = 140 cm = 1,4 m 
Asl = 1,4 ∙ 2,8 = 3,92 cm² (4 ∅12,5mm) 
 
d) Detalhamento 
 
 
Figura 5.52 Detalhamento