Apostila de Concreto Armado - Capítulo 7 e 8 - Cisalhamento

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Capítulo 7 
CISALHAMENTO EM VIGAS 
 
7.1 – Introdução 
 
 Uma viga submetida a cargas transversais está sujeita a momentos fletores e forças 
cortantes. Em cada ponto da viga esses esforços causam tensões normais (x) e tensões de 
cisalhamento (, a partir das quais obtêm-se as tensões principais. As direções das tensões 
principais numa viga feita de material homogêneo estão representadas na Figura 7.1, onde se 
observam tensões de tração ao longo do bordo inferior e tensões de compressão ao longo do 
bordo superior, paralelas a esses bordos (trecho central da viga). Na alma da viga, as tensões 
principais são inclinadas; ao longo do eixo baricêntrico essa inclinação é de 45o (trechos entre a 
carga e o apoio). 
 
 
Figura 7.1 – Direção das tensões principais numa viga carregada transversalmente 
 
Conhecidas as tensões normais e tangenciais num determinado ponto, as tensões 
principais, assim como suas direções, podem ser obtidas a partir das equações da Resistência dos 
Materiais, ou com o auxílio do círculo de Mohr (Fig. 7.2). 
 
 
(a) No eixo da peça (b) Ponto qualquer acima do eixo 
Figura 7.2 - Círculo de Mohr para obtenção das tensões principais 
 
 
Como se pode verificar da Figura 7.2.a, no eixo da peça as tensões principais (𝜎1 𝑒 𝜎2) 
possuem valor igual, em módulo, às tensões cisalhantes (𝜏). 
 
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 Numa viga de concreto armado, a fissuração ocorre quando as tensões principais de 
tração excedem a resistência à tração do concreto (Fig. 7.3). Dois tipos de fissuras podem ser 
observados. As verticais são denominadas fissuras de flexão, que são causadas pelas tensões 
normais de flexão. Essas fissuras são as primeiras a surgirem e se iniciam no bordo tracionado 
da viga. As fissuras inclinadas são devidas à combinação das tensões de cisalhamento e tensões 
normais, e são denominadas fissuras de cisalhamento. Após a formação das fissuras, as tensões 
de tração, antes suportadas pelo concreto, são transferidas para as armaduras que, 
preferencialmente, são dispostas perpendicularmente à provavel direção das fissuras. Assim, ao 
longo do bordo inferior da viga representada na Figura 7.3 haverá uma armadura longitudinal, 
denominada armadura de flexão, cuja função é combater os momentos fletores. Na alma da 
viga, onde as fissuras são inclinadas, deve-se dispor de uma armadura transversal, ou armadura 
de cisalhamento, com a função de combater as forças cortantes. 
 
 
 
Figura 7.3 – Fissuras causadas pelas tensões principais de tração 
 
Este capítulo trata da verificação do estado limite último de vigas sujeitas força cortante. 
Inicialmente são descritos os mecanismos de transferência da força cortante e os modos de 
ruptura, estabelecendo-se assim as situações correspondentes ao esgotamento da capacidade 
resistente à força cortante. Em seguida são formulados os métodos de cálculo preconizados em 
norma para o dimensionamento. 
 
 
7.2 – Tensão de cisalhamento na viga fissurada 
 
 
Da Resistência ds Materiais,sabemos que o esforço cotante é numericamente igual à 
derivada do momento fletor. 
 
𝑉 = 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
 Eq. 7.1 
 
Seja um trecho de uma viga de concreto armado situado entre duas fissuras, tal como o 
representado na Figura 7.4. 
 
 
 
Figura 7.4 – Tensões de cisalhamento num trecho de uma viga entre duas fissuras 
T T + T
C + CC
z z


x
M M+MV
V
a b
c d
 
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Em um lado atuam as forças C de compressão e T de tração, causadas pelo momento 
fletor M. No outro lado atuam as forças C+C e T+T , causadas pelo momento fletor M+M. 
O diagrama de corpo livre da região abcd mostra que, para haver o equilíbrio deste corpo, é 
necessário que T seja transferida para o concreto de tal forma que 
 
T + x .  bw = T + T 
 
de onde se obtém 
 
wbx
T


  Eq. 7.2 
 
onde  é a tensão de cisalhamento na superfície a-b, e bw é a largura da seção transversal da viga. 
Da figura 7.4, T = M / z, e sabendo-se que V = M /x então tem-se: 
 
𝜏 = 
Δ𝑀
Δ𝑥. 𝑏𝑤. 𝑧
= 
𝑉
𝑏𝑤. 𝑧
 
 
zb
V
w
 Eq. 7.3 
 
 A tensão de cisalhamento ( atua não apenas no plano horizontal, mas também no plano 
vertical, de acordo com a lei da reciprocidade das tensões de cisalhamento (Figura 7.2.a). Essa 
tensão se distribui conforme o indicado na Figura 7.4, quando a viga já está fissurada. 
 
 
 
7.3 – Modos de ruptura por força cortante 
 
Os dois principais modos de ruptura por força cortante são (Figura 7.5): 
 
 Ruptura por tração diagonal, ou por força cortante-tração, que ocorre em vigas sem 
armadura transversal ou com armadura transversal insuficiente; 
 Ruptura por compressão diagonal, ou por força cortante-compressão, que ocorre devido 
ao esmagamento da diagonal comprimida de concreto; este modo de ruptura é mais 
comum em vigas com alma esbelta (seções T, I etc). 
 
 
 a) Ruptura por tração diagonal b) Ruptura por compressão diagonal 
 
Figura 7.5 – Modos de ruptura por força cortante 
 
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7.4 – Analogia da treliça clássica de Mörsch 
 
 
Ainda no início do século XX foi idealizado um modelo de cálculo para vigas sujeitas a 
momento fletor e força cortante, e tal modelo ainda é hoje o que melhor retrata o comportamento 
de vigas de concreto armado. Trata-se do modelo da treliça de Ritter-Mörsch, o qual sofreu 
alguns ajustes ao longo do tempo, de modo a levar em conta os resultados de ensaios mais 
recentes. Este modelo de cálculo também é utilizado por grande número de normas estrangeiras 
e internacionais. 
 
(a) Barras inclinadas a 45º (b) Estribos verticais 
Figura 7.6 – Analogia da treliça de Mörsch (Leonhardt) 
 
 
O modelo de treliça proposto por Mörsch permite reproduzir o comportamento de uma 
viga solicitada por momento fletor e força cortante depois de fissurada. 
O modelo é constituído de uma barra horizontal, comprimida pela flexão, na parte 
superior da treliça, e um tirante tracionado, também horizontal, representando a armadura 
longitudinal requerida. Barras inclinadas, com um ângulo de 45º com a horizontal, representam 
as bielas comprimidas de concreto. Na alma, outras barras, com ângulo que pode variar (45º ≤
 𝛼 ≤ 90º), representam a armadura transversal. 
 
 
Figura 7.7 – Treliça de Mörsch (Montoya) 
 
 
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 A partir do equilíbrio de forças nos nós da treliça, podemos obter os esforços e as tensões 
nas diagonais comprimidas de concreto (bielas) e nas diagonais tracionadas, assim como a 
quantidade de armadura transversal necessária. 
 
 
Tabela 7.1 - Forças, tensões e armaduras transversais de acordo 
com a treliça clássica de Mörsch 
SITUAÇÃO 𝜶 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝜶 = 𝟒𝟓º 𝜶 = 𝟗𝟎º 
Força na biela 
comprimida 
𝑉𝑆𝑑 √2 𝑉𝑆𝑑 √2 𝑉𝑆𝑑 √2 
Tensão na biela 
comprimida 
2 . 𝑉𝑆𝑑
𝑏𝑤. 𝑧(1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼)
 
𝑉𝑆𝑑
𝑏𝑤 . 𝑧
 
2 . 𝑉𝑆𝑑
𝑏𝑤. 𝑧
 
Força na diagonal 
tracionada 
𝑉𝑆𝑑
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
2 . 𝑉𝑆𝑑
√2
 
𝑉𝑆𝑑 
Tensão na diagonal 
tracionada 
𝑉𝑆𝑑 . 𝑠
𝑧. 𝐴𝑠𝑤,𝛼(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)
 
𝑉𝑆𝑑 . 𝑠
𝑧. 𝐴𝑠𝑤,45 . √2
 
𝑉𝑆𝑑 . 𝑠
𝑧. 𝐴𝑠𝑤,90
 
Armadura transversal 
𝐴𝑠𝑤,𝛼
𝑠⁄ 
 
𝑉𝑆𝑑
𝑧. 𝑓𝑦𝑤𝑑(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)
 
 
𝑉𝑆𝑑
𝑧. 𝑓𝑦𝑤𝑑√2
 
 
𝑉𝑆𝑑
𝑧. 𝑓𝑦𝑤𝑑
 
 
O modelo da treliça clássica de Mörsch ainda é a base para o dimensionamento à força 
cortante, porque é relativamente simples e conduz a resultados satisfatórios. Entretanto, faz-se 
necessário pequeno ajuste, de modo que haja maior convergência com os resultados de ensaios 
à ruptura de modelos em laboratório, pois ficou comprovado que a armadura transversal 
calculada com o modelo da treliça clássica de Mörsch é maior que a efetivamente necessária. 
 
 
 
7.5 – Dimensionamento a esforço cortante segundo a NBR 6118/2014 
 
O cálculo de vigas pararesistir a esforço cortante é tratado nos itens 17.4 
(dimensionamento no estado limite último) e 18.3.3 (armadura transversal para esforço cortante) 
da norma. 
As prescrições do item 17.4 se aplicam a elementos lineares armados ou protendidos, 
submetidos a forças cortantes, eventualmente combinadas com outros esforços solicitantes. Não 
se aplicam a elementos de volume, lajes, vigas-parede e consolos curtos, que têm tratamento 
específico diverso. Dentre outras considerações, a norma permite que se adote um ângulo entre 
30º e 45º para as bielas comprimidas. 
 
 
7.5.1 – Verificação do Estado Limite Último 
 
 
7.5.1.1 – Cálculo da resistência do elemento estrutural 
 
A resistência do elemento estrutural, em uma determinada seção transversal, deve ser 
considerada satisfatória, quando verificadas simultaneamente as seguintes condições (item 
17.4.2.1 da norma): 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 Eq. 7.4 
 
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e 
 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 Eq. 7.5 
onde 
VSd – força cortante solicitante na seção, de cálculo. 
VRd2 – força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de 
concreto. 
VRd3 = Vc + Vsw – força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal 
(armadura), onde uma parcela é devida à armadura transversal (Vsw) e a outra a 
mecanismos complementares ao da treliça (Vc). 
 
Esta parcela (Vc), que se soma àquela resistida pela armadura, e que é denominada 
“parcela devida a mecanismos complementares da treliça” tem como origem os seguintes 
fenômenos (vide também a figura a seguir): 
 
 Na faixa de concreto do banzo superior da viga, comprimido pela flexão, surgem tensões 
cisalhantes que contribuem para a resistência ao esforço cortante. 
 O banzo comprimido não é horizontal, mas sim inclinado, à medida que se aproxima do 
apoio, região dos maiores cortantes; sendo inclinada, uma componente vertical contribui para 
a resistência ao esforço cortante. 
 As bielas de concreto possuem certo engastamento no banzo superior comprimido. 
 Há um engrenamento promovido pelo agregado graúdo ao longo das fissuras inclinadas. 
 A armadura longitudinal tracionada tende a ser desviada de sua retilineidade na fissura, mas, 
tendo em vista seu diâmetro, opõe reação a este movimento (efeito de pino). 
 
Figura 7.8 – Fenômenos que contribuem para a parcela devida a 
“mecanismos complementares da treliça” - Vc (Montoya) 
 
Os valores a serem utilizados para esta parcela (Vc) foram obtidos a partir de inúmeros 
ensaios à ruptura de vigas sem armadura transversal. 
A norma prevê a possibilidade de utilização de dois diferentes modelos de cálculo, 
dependendo da inclinação das diagonais comprimidas do elemento estrutural (inclinação que 
pode variar de 30º a 45º), como será visto a seguir. 
 
 
 
 
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7.5.1.2 – Modelo de cálculo I 
 
O modelo de cálculo I (item 17.4.2.2) supõe as diagonais comprimidas com um ângulo 
𝜃 = 45º com o eixo da peça, ou seja, seguindo o modelo clássico de Mörsch. Admite este modelo 
que a parcela complementar Vc tenha valor constante, independentemente de VSd. Neste caso 
tem-se: 
 
 Verificação da tensão na biela de concreto 
Para assegurar que não ocorre ruptura por compressão diagonal no concreto, o cortante 
deve ser limitado a 
 
VRd2 = 0,27 . 𝛼v2 . fcd . bw . d Eq. 7.6 
 
onde 𝛼v2 = (1 – fck/250) Eq. 7.7 
 (fck em MPa) 
 
O baixo valor de tensão de compressão na biela admitida pela norma se deve ao fato de 
que na diagonal comprimida há a atuação concomitante de tensões de tração no outro sentido 
(tensões principais de tração, combatidas pela armadura transversal), ou seja, há um estado 
múltiplo de tensões, e com tensões de tração. 
 
 Determinação da armadura transversal 
a) A parcela complementar Vc pode assumir os seguintes valores. 
 
Vc = zero (elementos tracionados, com linha neutra fora da seção) Eq. 7.8 
 
Vc = Vco = 0,6 . fctd . bw . d (flexão simples e flexo-tração com LN cortando a seção) Eq. 7.9 
 
Vc = Vco (1 + 
𝑀𝑜
𝑀𝑆𝑑,𝑚á𝑥
⁄ ) ≤ 2. 𝑉𝑐𝑜 (flexo-compressão) Eq. 7.10 
 
Onde 
𝑀𝑜 – momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada 
por 𝑀𝑠𝑑,𝑚á𝑥), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com Vsd. 
𝑀𝑆𝑑,𝑚á𝑥 – momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise. 
 
- Para concretos até classe C50: 
 fctd = fctk,inf / c = 0,7 fctm / c = 0,7 x 0,3 √𝑓𝑐𝑘
23 / c (MPa) 
 
- Para concretos acima da classe C50 até classe C90: 
 fctd = fctk,inf / c = 0,7 fctm / c = 0,7 x 2,12 ℓ𝑛(1 + 0,11 . 𝑓𝑐𝑘)/ c (MPa) 
 
b) Parcela do cortante resistida pela armadura transversal Vsw 
 
Adotando-se 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑆𝑑 𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑆𝑑 − 𝑉𝑐 Eq. 7.11 
 
 
 
 
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c) Armadura transversal 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9 .𝑑 .𝑓𝑦𝑤𝑑 .(𝑠𝑒𝑛 𝛼+cos 𝛼)
 Eq. 7.12 
Onde 
𝛼 − â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 (geralmente 90º, 45º ou 60º) 
 
Se toda a armadura transversal for composta de estribos verticais, tem-se: 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9 .𝑑 .𝑓𝑦𝑤𝑑 
 Eq. 7.13 
 
Nas expressões acima, as tensões nas armaduras devem ser limitadas a (item 17.4.2.2): 
 Estribos: fywd ≤ 435 MPa 
 Barras dobradas: 0,7.fywd ≤ 435 MPa 
Logo, mesmo que a armadura transversal seja de aço CA-60 (tipo de aço que tem fios de 
pequeno diâmetro, usual em estribos), o cálculo será efetuado como se fosse aço CA-50, tendo 
em vista a limitação de tensão imposta pela norma. 
 
 
Exercício 1 
 
Seja uma viga contínua, com dois vãos de 7,0 metros, carregamento uniforme de 41,3 kN/m. 
Calcular a armadura para esforço cortante na seção mais solicitada. 
 
Dados: 
Concreto classe C30 Aço CA-50 
Seção da viga 15x70 cm2 Adotar modelo de cálculo I, estribos verticais 
 
SOLUÇÃO 
 
Esforços solicitantes: 
 
M- = 41,3x7,02/8 = - 253 kN.m 
Vmáx = 41,3x7,0/2 + 253/7,0 = 180,7 kN Vd = 1,4x180,7 = 253 kN 
 
Verificação da diagonal do concreto: 
 
VRd2 = 0,27 . 𝛼v2 . fcd . bw . d 
onde 𝛼v2 = (1 – fck/250) (fck em MPa) 
v2 = 1 – fck / 250 = 1 – 30/250 = 0,88 
 
VRd2 = 0,27 . v2 . fcd . bw . d = 0,27 x 0,88 x 30.000 x 0,15 x 0,62 / 1,4 = 473 kN 
 
Vd = 253 kN < VRd2 = 473 kN Biela de compressão OK 
 
 
 
 
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Cálculo da armadura transversal: 
 
Vc = Vco = 0,6 . fctd . bw . d (flexão simples e flexo-tração com LN cortando a seção) 
 
fctd = 0,7 x 0,3 x fck 
2/3 / 1,4 = 1,448 MPa = 1.448 kN/m2 
 
Vc = 0,6 x 1.448 x 0,15 x 0,62 = 80,8 kN 
 
Vsw = Vd – Vc = 253 – 80,8 = 172,2 kN 
 
Estribos verticais: Asw / s = Vsw / (0,9 . d . fywd) 
 
Asw / s = 172,2 / (0,9 x 0,62 x 43,5) = 7,1 cm
2 / m 
 
Quantidade de barras por metro: 7,1/(2x0,31) = 11,5 6,3 c/ duas pernas 
 
Espaçamento dos estribos de duas pernas: 1,00 m/11,5 estr.= 0,087 m = 8,7 cm 
 
Adotado 6,3 c. 75 cm 
 
 
7.5.1.3 – Modelo de cálculo II 
 
O modelo de cálculo II (item 17.4.2.3) admite as diagonais comprimidas com um ângulo 
de 𝜃 que pode variar entre 30º e 45º em relação ao eixo da peça (treliça generalizada). Admite 
ainda que a parcela complementar Vc sofra uma redução com o aumento de VSd. 
 
 Verificação da tensão na biela de concreto 
Para a verificação da compressão diagonal no concreto o cortante deve ser limitado a 
 
VRd2 = 0,54 . 𝛼v2 . fcd . bw . d . 𝑠𝑒𝑛2𝜃 . (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃) Eq. 7.14 
 
onde 𝛼v2 = (1 – fck/250) Eq. 7.15 
 (fck em MPa) 
 
 Determinaçãoda armadura transversal 
a) Parcela complementar Vc 
 
Vc = zero (elementos tracionados, com linha neutra fora da seção) Eq. 7.16 
 
Vc = Vc1 (flexão simples e flexo-tração com LN cortando a seção) Eq. 7.17 
 
Vc = Vc1 (1 + 
𝑀𝑜
𝑀𝑆𝑑,𝑚á𝑥
⁄ ) ≤ 2. 𝑉𝑐1 (flexo-compressão) Eq. 7.18 
 
 
 
 
 
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Valores de 𝑉𝑐1: Eq. 7.19 
 
 
Vc1 = Vco = 0,6 . fctd . bw . d quando 𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑐𝑜 
 
interpolando-se linearmente para valores intermediários 
 
Vc1 = zero quando 𝑉𝑆𝑑 = 𝑉𝑅𝑑2 
 
 
 
A interpolação acima é dada por (válida para Vco < VSd < VRd2): 
 
Vc1 = Vco x 
𝑉𝑅𝑑2− 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2− 𝑉𝑐𝑜
 Eq. 7.20 
 
O gráfico com os valores de Vc1 está mostrado em seguida. 
 
Figura 7.9 – Representação gráfica de Vc1 no modelo de cálculo II 
 
De modo a dar uma melhor noção da faixa destas grandezas, a tabela a seguir fornece 
valores usuais de (Vco) e de (VRd2), para diferentes classes de concreto, ângulos da armadura 
transversal e das diagonais comprimidas. 
 
 
Tabela 7.2 - Valores de [Vco/(bw.d)] e de [VRd2/(bw.d)] 
 
VRd2 
 
fck 
 
Vco 
Estr. 90º 
Biela 45º 
Estr. 45º 
Biela 45º 
Estr.60º 
Biela 45º 
Estr. 90º 
Biela 30º 
Estr. 45º 
Biela 30º 
Estr. 60º 
Biela 30º 
20 0,663 3,548 7,097 5,597 3,073 4,847 4,097 
25 0,769 4,339 8,678 6,844 3,758 5,927 5,010 
30 0,869 5,091 10,182 8,031 4,409 6,955 5,879 
35 0,963 5,805 11,610 9,156 5,027 7,929 6,703 
40 1,053 6,480 12,960 10,221 5,612 8,852 7,482 
45 1,139 7,116 14,232 11,225 6,163 9,721 8,217 
50 1,222 7,714 15,428 12,168 6,681 10,538 8,907 
Obs: Valores da tabela dados em MN/ m2, a serem multiplicados por (bw.d) em m2 
 
b) Parcela do cortante resistida pela armadura transversal Vsw 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑆𝑑 − 𝑉𝑐 Eq. 7.21 
 
 
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c) Armadura transversal 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9 .𝑑 .𝑓𝑦𝑤𝑑 .(𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼+𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃) .𝑠𝑒𝑛 𝛼
 Eq. 7.22 
 
Limitando-se fywd como no modelo de cálculo I 
 
Onde 
Biela comprimida: ângulo 𝜃 entre 30º e 45º 
Armadura transversal: ângulo 𝛼 (geralmente 90º, 60º ou 45º) 
 
Se toda a armadura transversal for composta de estribos verticais, tem-se: 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9 .𝑑 .𝑓𝑦𝑤𝑑 .𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 
 Eq. 7.23 
 
Para uma inclinação de 45º da biela comprimida, a armadura transversal (estribos verticais) será: 
𝐴𝑠𝑤,90
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9 .𝑑 .𝑓𝑦𝑤𝑑 
 Eq. 7.24 
 
Para uma inclinação de 30º da biela comprimida, a armadura transversal (estribos verticais) será: 
𝐴𝑠𝑤,90
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
1,56 .𝑑 .𝑓𝑦𝑤𝑑
 Eq. 7.25 
 
 
Exercício 2 
 
Na mesma seção do exercício anterior, calcular a armadura transversal adotando o modelo 2, e 
ângulos de inclinação da biela comprimida de 45º e de 30º. 
 
SOLUÇÃO 
 
Verificação da diagonal do concreto: 
VRd2 = 0,54 . 𝛼v2 . fcd . bw . d . 𝑠𝑒𝑛2𝜃 . (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃) 
onde 𝛼v2 = (1 – fck/250) = 0,88 (fck em MPa) 
VRd2 = 0,54 x 0,88 x (30.000/1,4)x 0,15 x 0,62 x 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (0 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃) 
Para 𝜽 = 45º 
VRd2 = 0,54 x 0,88 x (30.000/1,4)x 0,15 x 0,62 x 0,5 𝑥 (0 + 1,0) = 473 𝑘𝑁/𝑚2 
Vd = 253 kN < VRd2 = 473 kN Biela de compressão OK 
Não alterou 
Para 𝜽 = 30º 
VRd2 =0,54x0,88x(30.000/1,4)x 0,15 x 0,62 x 0,25 𝑥 (0 + 1,73) = 410 𝑘𝑁/𝑚2 
Vd = 253 kN < VRd2 = 410 kN Biela de compressão OK 
 
 
 
 
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Cálculo da armadura transversal: 
 
Vc = Vc1 (flexão simples e flexo-tração com LN cortando a seção) 
Vc1 = Vco = 0,6 . fctd . bw . d quando 𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑐𝑜 
Valores de 𝑉𝑐1: interpolando-se linearmente para valores intermediários 
Vc1 = zero quando 𝑉𝑠𝑑 = 𝑉𝑅𝑑2 
Vco = 80,8 kN (já calculado) < Vd = 253 kN 
Necessário interpolar 
Para 𝜽 = 45º 
VRd2 = 473 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Vc1 = Vco x 
𝑉𝑅𝑑2− 𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑅𝑑2− 𝑉𝑐𝑜
 = 80,8 x 
473−253
473−80,8
= 45,3 kN 
 𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐 = 253 – 45,3 = 207,7 kN 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 . 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 
 = 
207,7
0,9 . 0,62 . 43,5 . 1,0 
= 8,56 𝑐𝑚2 𝑚⁄ 
Para 𝜽 = 30º 
VRd2 = 410𝑘𝑁/𝑚2 
 
Vc1 = Vco x 
𝑉𝑅𝑑2− 𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑅𝑑2− 𝑉𝑐𝑜
 = 80,8 x 
410−253
410−80,8
= 38,5 kN 
 𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐 = 253 – 38,5 = 214,5 kN 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 . 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 
 = 
214,5
0,9 . 0,62 . 43,5 . 1,73 
= 5,11 𝑐𝑚2 𝑚⁄ 
 
CONCRETO ARMADO 
83 
83 
A tabela a seguir dá um comparativo entre as três situações: 
Tabela 7.3 –Comparação entre grandezas nos modelos I e II 
 
Modelo I Modelo II 
Grandeza 𝜃 = 45º 𝜃 = 30º 
VRd2 (kN) 473 473 410 
Vc (kN) 80,8 45,3 38,5 
𝑉𝑠𝑤 (kN) 172,2 207,7 214,5 
Asw / s (cm
2/m) 7,1 8,56 5,11 
 
 
 
 
7.5.1.4 – Armadura mínima 
 
 
De modo a impedir uma ruptura brusca por tração devida ao esforço cortante, deve ser 
disposta uma quantidade de armadura transversal capaz de resistir às tensões de tração liberadas 
pelo concreto, quando da abertura da primeira fissura inclinada na alma. 
 
A armadura transversal mínima, constituída por estribos, deve ter uma taxa geométrica 
de (item 17.4.1.1.1): 
𝜌𝑤 = 
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤.𝑠.𝑠𝑒𝑛𝛼
 ≥ 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,2 
𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
 Eq. 7.26 
onde 
 
𝐴𝑠𝑤 - área da seção transversal dos estribos. 
s - espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural. 
𝛼 - inclinação dos estribos. 
 
Para concretos até classe C50: 
 
 fct,m = 0,3 √𝑓𝑐𝑘
23 (MPa) 
 
Para concretos acima da classe C50 até classe C90: 
 
fct,m = 2,12 ℓ𝑛(1 + 0,11 . 𝑓𝑐𝑘) (MPa) 
 
A armadura transversal mínima será então (estribos verticais): 
𝐴𝑠𝑤,90,𝑚𝑖𝑛
𝑠
= 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 . 𝑏𝑤 Eq. 7.27 
 
 
A tabela a seguir mostra os valores de (ρw,min) para tipos usuais de concreto, com aço CA-50: 
 
Tabela 7.4 – Valores de 𝛒𝐬𝐰,𝐦𝐢𝐧 (%) 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55 C60 C70 C80 C90 
0,09 0,10 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,17 0,18 0,19 0,20 
 
 
CONCRETO ARMADO 
84 
84 
Não estão sujeitos aos valores mínimos acima indicados, de acordo com a norma 
(17.4.1.1.2): 
 Elementos estruturais lineares com bw > 5 d (tratados como laje). 
 Nervuras de lajes nervuradas. 
 Pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à 
compressão, atendidas as condições específicas. 
 
Caso sejam usadas barras dobradas para o combate ao esforço cortante, estas podem 
suportar no máximo 60% de Vsw (item 17.4.1.1.3). 
 
 
7.5.1.5 – Armadura de cisalhamento ao longo do vão 
 
Dependendo da intensidade dos esforços cortantes, e da importância da viga, geralmente 
são calculadas as armaduras de cisalhamento para os cortantes máximos no vão, nas suas duas 
extremidades. Caso ambos sejam superiores àquele que corresponde ao uso da armadura mínima, 
é possível delimitar três trechos ao longo da viga: um, central, com armadura transversal mínima, 
e dois outros, com armadura acima da mínima, como mostrado na figura a seguir. A fixação do 
número de trechos vai depender da importância da viga em análise, pois, em alguns casos, pode-
se optar por prescrever a maior armadura transversal em todo o vão da viga, o que facilita 
execução (não só do desenho de armação, mas também da execução da viga na obra em si – e 
diminui a possibilidade de erro). Já em outras vigas, como nas de pontes, um vão pode ser 
dividido em mais de três trechos, tendo em vista a grande quantidade de armadura transversal 
próximo aos apoios, e a necessidade de se ter um projeto econômico. 
 
Figura 7.10 – Diagrama de cobertura da armadura de cisalhamento 
 
Para o modelo de cálculo I (𝜃 = 45º) e estribos a 90º, o valor de esforço cortante que 
conduz à necessidade de armadura mínima será: 
 
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑏𝑤 . 𝑑 . (0,9 . 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 0,09 . √𝑓𝑐𝑘
23 ) (MPa)𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑏𝑤 . 𝑑 . (0,9 . 0,2 
𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 0,09 . √𝑓𝑐𝑘
23 ) = 𝑏𝑤 . 𝑑 . (0,9 . 0,2 
0,3 √𝑓𝑐𝑘
23
𝑓𝑦𝑤𝑘
 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 + 0,09 . √𝑓𝑐𝑘
23 ) 
 
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑏𝑤 . 𝑑 . (0,137 . √𝑓𝑐𝑘
23 ) (𝑓𝑐𝑘 em MPa) Eq. 7.28 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
85 
85 
Obs: expressão válida somente para o modelo de cálculo I, toda a armadura composta de 
estribos verticais, concretos até a classe C50, coeficientes (𝜸𝒄 = 𝟏, 𝟒 e 𝜸𝒔 = 𝟏, 𝟏𝟓). 
 
Com a expressão acima, de esforço cortante correspondente à armadura transversal 
mínima, pode ser elaborada a tabela a seguir, que fornece os valores de [𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛/(bw.d)] para 
várias classes de concreto. 
 
Tabela 7.5 – Valores de [𝑽𝒔𝒅,𝒎𝒊𝒏/(bw.d)] para diferentes classes de concreto (kN/m
2) 
 
Concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛/(bw.d) 1010 1170 1320 1465 1600 1730 1860 
 
Nota: modelo de cálculo I, bielas comprimidas com 45º e estribos verticais, concretos até a 
classe C50, coeficientes (𝜸𝒄 = 𝟏, 𝟒 e 𝜸𝒔 = 𝟏, 𝟏𝟓). 
Para obter (𝑽𝒔𝒅,𝒎𝒊𝒏), em kN, multiplicar os valores da tabela por (bw.d), em metros. 
 
 
7.5.2 – Disposições construtivas 
 
 
7.5.2.1 – Estribos 
 
 
São admitidas armaduras constituídas por estribos, combinados ou não com barras 
dobradas ou barras soldadas. Os estribos devem ser fechados (através de um ramo horizontal) na 
região de apoio das diagonais, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e 
ancorados na face oposta (itens 17.4.1.1.3 e 18.3.3.2). 
Os estribos para resistir ao esforço cortante devem ter a forma indicada na figura a seguir, 
podendo ser abertos somente quando ancorados em zona comprimida pela flexão (item 18.3.3.2). 
 
 
Figura 7.11 – Ancoragem dos estribos para esforço cortante 
 
Preconiza a norma, em seu item 18.3.3.2, quanto aos estribos para esforço cortante: 
 
 Diâmetro da armadura transversal: 
 
 5 mm 
∅𝑡 ≥ 
 4,2 mm (telas soldadas, c/ precauções contra corrosão) 
 
CONCRETO ARMADO 
86 
86 
 
 
bw/10 
∅𝑡 ≤ 
 12 mm (se barra lisa) 
 
 
 Espaçamento longitudinal: 
 
smin – suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo bom adensamento do concreto. 
 
 
 
 0,6 d ≤ 30 cm (se Vd ≤ 0,67 VRd2) 
 smáx ≤ 
 0,3 d ≤ 20 cm (se Vd > 0,67 VRd2) 
 
 
 
Caso a viga tenha armadura dupla (barras comprimidas), devem ser respeitadas as restrições de 
espaçamento máximo de estribos em pilares, de modo a evitar a flambagem das barras comprimidas (item 
18.4.3). 
 
 Espaçamento transversal entre ramos sucessivos de estribos: 
 
 d ≤ 80 cm (se Vd ≤ 0,20 VRd2) 
st,máx ≤ 
 0,6 d ≤ 35 cm (se Vd > 0,20 VRd2) 
 
Para atender a esta última limitação, pode haver necessidade de uso de estribos múltiplos 
(4, 6, 8 pernas) em vigas largas – vide figura a seguir. 
 
 
Figura 7.12 – Espaçamento máximo – estribos múltiplos (4 pernas) 
 
Tal exigência se deve ao fato de que os estribos de duas pernas proporcionam suporte 
adequado para as bielas comprimidas somente nos dois pontos próximos aos dois ramos 
verticais. Em vigas de pequena largura estas duas pernas podem ser suficientes. 
 
 
CONCRETO ARMADO 
87 
87 
 
Figura 7.13 – Estribos de 2 pernas (Leonhardt) 
 
Se a viga for muito larga, os estribos de duas pernas não seriam suficientes, necessitando de mais 
ramos verticais para proporcionar suporte adequado para as bielas comprimidas. 
 
 
Figura 7.14 – Estribos de 4 pernas (Leonhardt) 
 
 
7.5.2.2 – Barras dobradas 
 
De acordo com o item 17.4.1.1.3, as barras dobradas não podem suportar mais de 60% 
do esforço total resistido pela armadura. 
 
O trecho reto de ancoragem deve ser maior ou igual a (ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐). 
 
O espaçamento longitudinal entre barras dobradas deve ser: 
smáx = 0,6 . d (1 + cotg 𝛼) 𝛼 - inclinação da barra dobrada 
 
Barras dobradas, para resistir a esforço cortante, são muito pouco usadas em edificações, 
tendo em vista que seu comportamento mostra-se menos eficiente em ensaios do que o 
apresentado pelos estribos: dificuldade de execução, barras de grande diâmetro, má limitação da 
fissuração nas faces laterais da viga, concentração de tensões e fendilhamento do concreto no 
ponto de dobramento da barra, más condições de suporte das bielas comprimidas de concreto etc 
(vide figura a seguir). Mas ainda podem ser usadas (associadas aos estribos) em peças com 
esforço cortante muito elevado, como é o caso de vigas de pontes, por exemplo. 
 
 
Figura 7.15 – Más condições de apoio das bielas em barra dobrada (Leonhardt) 
 
CONCRETO ARMADO 
88 
88 
 
 
 
7.5.3 – Outras disposições de norma relativas ao esforço cortante em vigas 
 
 
Havendo cargas próximas aos apoios diretos (carga e reação de apoio aplicadas em faces 
opostas do elemento estrutural), valem as seguintes prescrições quanto ao cálculo da armadura 
transversal (item 17.4.1.2.1): 
 Para carga uniformemente distribuída, a força cortante pode ser considerada 
constante no trecho até uma distância d/2 da face do apoio. 
 Para carga concentrada aplicada a uma distância (𝑎 ≤ 2𝑑) do eixo teórico do 
apoio, o esforço cortante dela decorrente pode ser reduzido, multilplicando-o por 
[a/(2d)]. 
 
 
Figura 7.16 – Redução do esforço cortante próximo aos apoios 
 
Estas prescrições são só para o cálculo da armadura transversal, e não podem ser usadas 
para a verificação da compressão na diagonal comprimida de concreto. Também não é permitido 
se for apoio indireto. 
Em elementos estruturais com altura variável, o esforço cortante deve ser corrigido, de 
acordo com o que consta de item mais adiante. 
Havendo protensão, a componente vertical da força de protensão pode ser computada no 
dimensionamento a esforço cortante (item 17.4.1.2.2). 
 
 
Exercício 3 
Prosseguir o exercício 1, calculando as armaduras transversais no restante do vão. 
 
SOLUÇÃO 
Esforços solicitantes – seção de extremidade da viga: 
Vmáx = 41,3x7,0/2 - 253/7,0 = 108,4 kN Vd = 1,4x108,4 = 155,8 kN 
 
Verificação da diagonal do concreto: 
Vd = 155,8 kN < VRd2 = 473 kN Biela de compressão OK 
 
Cálculo da armadura transversal: 
Vc = 80,8 kN 
Vsw = Vd – Vc = 155,8 – 80,8 = 71 kN 
 
Estribos verticais: Asw / s = Vsw / (0,9 . d . fywd) 
 
CONCRETO ARMADO 
89 
89 
Asw / s = 71 / (0,9 x 0,62 x 43,5) = 2,93 cm
2 / m 
 
Quantidade de barras por metro: 2,93/(2x0,31) = 4,7 6,3 c/ duas pernas 
 
Espaçamento dos estribos de duas pernas: 1,00 m/4,7 estr.= 0,21 m = 21 cm 
Adotado 6,3 c. 20 cm 
 
Armadura mínima 
sw,min = 0,12% (tabela) = = 
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛
𝑏𝑤.𝑠.𝑠𝑒𝑛𝛼
 
Asw,min = sw,min. bw.s.sen  = 0,0012 x15 cmx100 cmx1,0 = 1,80 cm
2 / m (<2,93 cm2 / m) 
OK 
Quantidade de barras por metro: 1,80/(2x0,31) = 2,9  c/ duas pernas 
 
Espaçamento dos estribos de duas pernas: 1,00 m/2,9 estr.= 0,34 m = 34 cm 
 
smáx ≤ 0,6 d ≤ 30 cm (se Vd ≤ 0,67 VRd2) 
 
Vd = 253 < 0,67x 473 = 317 OK 
 
smáx ≤ 0,6 d = 0,6 x 0,62 = 0,37 m ≤ 30 cm (se Vd ≤ 0,67 VRd2) 
 
Adotado  c. 30 cm 
 
Trecho com armadura mínima: 
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛/(bw.d) = 1320 (tabela com concreto C30) 
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 1320 x 0,15 x 0,62 = 122,7 kN 
Supondo que os apoios da viga tenham 20 cm de largura, a distribuição de armaduras transversais 
no vão poderia ser a abaixo mostrada: 
 
CONCRETO ARMADO 
90 
90 
 
Figura 7.17 - Distribuição das armaduras transversais no vão 
 
7.5.4 – Lajes sem armadura transversal 
 
Como já visto anteriormente, quando do estudo da armadura transversal mínima, certos 
elementos estruturais não se submetem a tais restrições, de acordo com a norma (17.4.1.1.2), 
dentre os quais: 
 Elementos estruturais lineares com bw > 5 d (tratados como laje). 
 Nervuras de lajes nervuradas. 
Tendo em vista esta orientação, é praxe, nas lajes de edificações, principalmente nas lajes 
maciças de pequena espessura, não se usar armaduras para esforço cortante.Tal dispensa da 
armadura transversal, entretanto, submete-se a determinadas condições, como se verá a seguir. 
Verifica-se que, nas lajes maciças, especialmente nas de pequena espessura, forma-se um 
mecanismo resistente diverso daquele observado nas vigas (treliça de Mörsch). Na ausência de 
armadura transversal, forma-se um modelo resistente como mostrado a seguir, com um 
comportamento semelhante ao de um arco atirantado, através do qual as cargas aplicadas são 
transmitidas aos apoios. 
 
 
Figura 7.18 – Arco atirantado em lajes finas 
 
CONCRETO ARMADO 
91 
91 
 
Na verdade, mesmo nas vigas, até certa intensidade do carregamento, não haveria a 
necessidade de armaduras de cisalhamento, pois, como já comentado, a parcela redutora da 
armadura transversal (parcela Vc) é um valor obtido a partir de inúmeros ensaios à ruptura de 
vigas sem armadura transversal. Mas a norma estabelece uma armadura transversal mínima para 
as vigas, que deve ser respeitada. Para as lajes, entretanto, há a permissão para que o esforço 
cortante seja totalmente resistido pelo concreto, sem armadura transversal. 
 
Nas lajes, para que o modelo de arco atirantado se forme, há a necessidade de que seja 
levada até o apoio uma quantidade razoável de armadura longitudinal, capaz de resistir aos 
elevados esforços a que estará submetida, como mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
Figura 7.19 – Equilíbrio de forças no apoio da laje sem armadura transversal 
 
De acordo com o item 19.4.1 da norma, as lajes maciças ou nervuradas podem prescindir 
de armadura transversal quando a força cortante de cálculo, VSd, a uma distância “d” da face do 
apoio, atender ao limite: 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 Eq. 7.29 
onde 
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑 . 𝑘 (1,2 + 40 . 𝜌1) + 0,15 . 𝜎𝑐𝑝] 𝑏𝑤 . 𝑑 Eq. 7.30 
 
com 
𝜌1 = 𝐴𝑠1 (𝑏𝑤 . 𝑑)⁄ ≤ 0,02 (2%) Eq. 7.31 
𝜎𝑐𝑝 = 𝑁𝑆𝑑 𝐴𝑐⁄ Eq. 7.32 
 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 . 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25 . 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 𝛾𝑐⁄ Eq. 7.33 
 
 Para concretos até classe C50, resulta: 
𝜏𝑅𝑑 = √𝑓𝑐𝑘
23 26,7⁄ Eq. 7.34 
 
 Para concretos a partir da classe C55, resulta: 
𝜏𝑅𝑑 = 0,265 . ℓ𝑛(1 + 0,11 . 𝑓𝑐𝑘) Eq. 7.35 
 
k é um coeficiente que pode assumir os seguintes valores: 
 k = 1, quando menos de 50% da armadura longitudinal inferior chega ao apoio. 
 
CONCRETO ARMADO 
92 
92 
 k = (1,6 – d) ≥ 1 , quando pelo menos 50% da armadura longitudinal inferior chega ao 
apoio (d em metros). 
𝜏𝑅𝑑 - é a tensão resistente de cálculo do concreto 
𝐴𝑠1 – área da armadura tracionada que se estende até (𝑑 + ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐) além da seção considerada, 
como mostrado na figura a seguir. 
𝑁𝑆𝑑 – força normal na seção do elemento, devida à protensão ou ao carregamento (compressão 
positiva) 
𝑏𝑤 – largura mínima da seção ao longo da altura útil, d. 
 
 
Apoio extremo Apoio intermediário 
Figura 7.20 – Seção de cálculo e armadura As1 
 
 
Exercício 4 
Verificar se há necessidade de armadura para esforço cortante para a reação de apoio de uma laje 
maciça, com os dados abaixo, e, caso seja necessária, determine-a. 
 
Espessura da laje: h = 10 cm d = 7,5 cm 
Concreto classe C20 Aço CA-50 
Armadura levada até os apoios (50% As,long):  c. 20 cm (0,98 cm2/m) 
Reação no apoio 1: V1k = 6,5 kN/m 
 
SOLUÇÃO 
 
Apoio 1: 
Vsd = 1,4 x 6,5 = 9,1 kN/m 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 
 
Onde 𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑 . 𝑘 (1,2 + 40 . 𝜌1) + 0,15 . 𝜎𝑐𝑝] 𝑏𝑤 . 𝑑 
 
 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 . 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25 . 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 𝛾𝑐⁄ 
 
Para concretos até classe C50: 𝜏𝑅𝑑 = √𝑓𝑐𝑘
23 26,7⁄ = √202
3
26,7⁄ = 0,276 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜌1 = 𝐴𝑠1 (𝑏𝑤 . 𝑑)⁄ = 0,98 (100𝑥7,5) = 0,13% ⁄ ≤ 0,02 (2%) 
 
 
 k = 1, quando menos de 50% da armadura longitudinal inferior chega ao apoio. 
 
CONCRETO ARMADO 
93 
93 
 k = (1,6 – d) ≥ 1 , quando pelo menos de 50% da armadura longitudinal inferior chega 
ao apoio (d em metros). 
 
k = (1,6 – d) = (1,6 – 0,075) = 1,525 ≥ 1 
 
𝑉𝑅𝑑1 = [276 𝑥1,525 (1,2 + 40𝑥0,0013)] 1,0𝑥0,075 = 39,5 𝑘𝑁 
 
𝑉𝑆𝑑 = 9,1 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 = 39,5 𝑂𝐾 
 
Não precisa armadura transversal 
 
 
 
7.5.5 – Lajes com armadura transversal 
 
Caso a condição acima apresentada (𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1) não seja atendida, é necessário calcular 
a armadura transversal da laje, seguindo os mesmos procedimentos preconizados para as vigas, 
com as seguintes limitações para a resistência dos estribos (item 19.4.2): 
 
 Lajes com espessura até 15 cm: 𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 250 𝑀𝑝𝑎 
 Lajes com espessura superior a 35 cm: 𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 435 𝑀𝑝𝑎 
Para valores intermediários de espessura da laje, interpola-se linearmente, através da 
expressão a seguir, com a espessura em centímetros: 
 
𝑓𝑦𝑤𝑑 = 
ℎ−15
35−15
 𝑥 185 + 250 (MPa) Eq. 7.36 
 
No mais, o cálculo das armaduras transversais nas lajes deve seguir o item 17.4.2 da 
norma, ou seja, adotam-se os mesmos procedimentos de cálculo já estudados para as vigas. 
 
 
Exercício 5 
 
Verificar se há necessidade de armadura para esforço cortante para a reação de apoio de uma laje 
maciça em prédio industrial, com os dados abaixo, e, caso seja necessária, determine-a. 
 
Espessura da laje: h = 25 cm d = 22 cm 
Concreto classe C20 Aço CA-50 
Armadura levada até os apoios (> 50% As,long):  c. 15 cm (5,23 cm2/m) 
Reação no apoio 1: V1k = 135 kN/m 
 
SOLUÇÃO 
Apoio 1: 
Vsd = 1,4 x 135 = 189 kN/m 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 
 
Onde 𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑 . 𝑘 (1,2 + 40 . 𝜌1) + 0,15 . 𝜎𝑐𝑝] 𝑏𝑤 . 𝑑 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
94 
94 
𝜏𝑅𝑑 = √𝑓𝑐𝑘
23 26,7⁄ = √202
3
26,7⁄ = 0,276 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜌1 = 𝐴𝑠1 (𝑏𝑤 . 𝑑)⁄ = 5,23 (100𝑥22) = 0,24% ⁄ ≤ 0,02 (2%) 
 
 
k = (1,6 – d) = (1,6 – 0,22) = 1,38 ≥ 1 
 
𝑉𝑅𝑑1 = [276 𝑥1,38 (1,2 + 40𝑥0,0024)] 1,0𝑥0,22 = 108,6 𝑘𝑁 
 
𝑉𝑆𝑑 = 189 kN/m > 𝑉𝑅𝑑1 = 108,6 𝑘𝑁 
 
Precisa armadura transversal (estribos verticais) 
 
𝑓𝑦𝑤𝑑 = 
ℎ−15
35−15
 𝑥 185 + 250 = 
25−15
35−15
 𝑥 185 + 250 = 342,5 𝑀𝑃𝑎 
 
Será adotado o modelo de cálculo I 
 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 
 
VRd2 = 0,27 . 𝛼v2 . fcd . bw . d 
 
𝛼v2 = (1 – fck/250) = (1 – 20/250) = 0,92 (fck em MPa) 
 
VRd2 = 0,27 . 0,92 . 30.000 . 1,0 . 0,22 / 1,4 = 1.171 kN/m 
 
𝑉𝑆𝑑 = 189 kN/m < 𝑉𝑅𝑑2 =1.171 kN/m OK compressão biela 
 
 
Vc = Vco = 0,6 . fctd . bw . d (flexão simples e flexo-tração com LN cortando a seção) 
 
Vc = 0,6x0,7x0,3 √𝑓𝑐𝑘
23 /c x bw x d = 0,6 . 0,7 x 0,3 √202
3
 /  . 1,0 . 0,22 = 0,146 MN 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 
 = 
189 − 146
0,9 . 0,22 .34,25 
= 6,34 𝑐𝑚2 𝑚⁄ 
 
 
 
7.5.6 – Armadura de costura de mesas de vigas T 
 
Como já estudado na flexão simples, as lajes do pavimento, além de trabalharem como 
placas, recebendo as cargas verticais de utilização, também possuem um comportamento de 
chapa, ao resistirem, juntamente com as almas das vigas, aos esforços de compressão gerados 
pelos momentos fletores positivos (funcionando como mesas comprimidas de viga T). 
A introdução de esforços de compressão na região da mesa comprimida de uma viga T 
se faz progressivamente, a partir da alma e no sentido da mesa. Se analisarmos a ligação alma-
mesa, ao longo desta superfície surgem tensões cisalhantes (𝜏𝑐𝑑), através das quais a compressão 
 
CONCRETO ARMADO 
95 
95 
na mesa se instala, como mostrado na figura que segue, que representa uma viga, no trecho que 
vai do apoio ao meio do vão. 
 
 
Figura 7.21 – Transmissão de esforços de compressão para a mesa de viga T (Süssekind) 
 
Pode-se constatar que, num elemento de área (dx por dy) da mesa, mostrado na figura 
acima, atuam as tensões normais e cisalhantes, mostradas a seguir. 
 
 
Figura 7.22 – Tensões atuantes num elemento da mesa de viga T0 
 
Se calcularmos as tensões principais, constataremos que, em determinada direção, 
surgem tensões principais de tração (𝜎1),as quais exigiriam uma determinada quantidade de 
armadura, suficiente resistir a estas tensões de tração. 
 
Figura 7.23 – Tensões principais de tração e de compressão 
 
A figura a seguir mostra como, a partir do apoio da viga T, as tensões vão se distribuindo 
também pela mesa da viga. Observar, na seção transversal mostrada, que as ligações da alma 
com a mesa são pontos perigosos, pois neles há transmissão de tensões importantes para um 
comportamento estrutural adequado. 
Tais seções de ligação alma-mesa devem ser convenientemente armadas, com uso de 
armadura de costura, perpendicular à seção a ser costurada. 
 
 
CONCRETO ARMADO 
96 
96 
 
Figura 7.24 – Transmissão de esforços de compressão para a mesa de viga T (Leonhardt) 
 
Seja uma viga, onde há um acréscimo de momentos fletores (∆𝑀𝑑) entre duas seções 
distantes “dx” entre si. 
 
Figura 7.25 – Esforços na área comprimida e na aba da viga T 
 
A variação de forças entre as seções distando “dx” entre si é dada por: 
∆𝑅𝑐𝑑
𝐴𝑡𝑜𝑡
= 
∆𝑅𝑐𝑑,𝑎
𝐴𝑎
 ∆𝑅𝑐𝑑,𝑎 = ∆𝑅𝑐𝑑 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
 Eq. 7.37 
 
O esforço cortante é igual à variação do momento fletor na viga: 
𝑉𝑑 = 
∆𝑀𝑑
𝑑𝑥
 ∆𝑀𝑑 = 𝑉𝑑 . 𝑑𝑥 
 
Assim, fazendo as operações algébricas adequadas (e assumindo z = d/1,15): 
∆𝑅𝑐𝑑 = 
∆𝑀𝑑
𝑧
= 
1,15.∆𝑀𝑑
𝑑
= 
1,15.𝑉𝑑 .𝑑𝑥
𝑑
 Eq. 7.38 
 
Substituindo este valor de (∆𝑅𝑐𝑑) na expressão que calcula (∆𝑅𝑐𝑑,𝑎), vem: 
∆𝑅𝑐𝑑,𝑎 = ∆𝑅𝑐𝑑 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
= 
1,15.𝑉𝑑 .𝑑𝑥
𝑑
 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
 Eq. 7.39 
 
 
CONCRETO ARMADO 
97 
97 
Esta variação do esforço de compressão na aba decorre das tensões cisalhantes na ligação 
“aba-mesa”. 
∆𝑅𝑐𝑑,𝑎 = 𝜏𝑐𝑑 . ℎ𝑓 . 𝑑𝑥 Eq. 7.40 
 
Pela figura a seguir, que mostra a treliça formada na mesa de viga T, constata-se que a 
variação de força de compressão na aba (∆𝑅𝑐𝑑,𝑎) é igual à força de tração despertada entre a aba 
e a alma (𝑅𝑠𝑑,𝑎), num comprimento “dx”. 
 
Figura 7.26 – Esforços na treliça formada na aba da viga T (Süssekind) 
 
𝑅𝑠𝑑,𝑎 = ∆𝑅𝑐𝑑,𝑎 Eq. 7.41 
 
𝑅𝑠𝑑,𝑎 =
1,15.𝑉𝑑 .𝑑𝑥
𝑑
 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
 Eq. 7.42 
 
 
A armadura (𝐴𝑠𝑤) necessária num comprimento “dx” da aba, perpendicular à superfície 
de ligação “alma-aba” será igual a: 
 𝐴𝑠𝑤 = 
𝑅𝑠𝑑,𝑎
𝑓𝑦𝑤𝑑
 =
1,15.𝑉𝑑 .𝑑𝑥
𝑑.𝑓𝑦𝑤𝑑
 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
 Eq. 7.43 
 
Fazendo dx = s (espaçamento da armadura), podemos determinar a armadura por unidade 
de comprimento de aba. 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
1,15.𝑉𝑑
𝑑.𝑓𝑦𝑤𝑑
 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
 Eq. 7.44 
 
A armadura deverá ser perpendicular à superfície de ligação “alma-aba”, como mostrado 
na figura a seguir. 
 
Figura 7.27 – Armadura de costura de mesa de viga T 
 
CONCRETO ARMADO 
98 
98 
 
De acordo com o item 18.3.7 da norma, as armaduras de flexão da laje, existentes no 
plano de ligação “alma-aba” podem ser consideradas como parte da armadura de ligação, quando 
devidamente ancoradas, complementando-se com a diferença, se necessário. Dispõe ainda a 
norma uma armadura mínima de costura, se estendendo por toda a largura útil da aba, e 
devidamente ancorada, cuja quantidade seja igual a: 
 
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛
𝑠
= 1,5 𝑐𝑚2 𝑚⁄ Eq. 7.45 
 
A tensão de compressão na biela comprimida da treliça da mesa também deve ser 
verificada, o que pode ser feito através da expressão: 
 
𝑉𝑑,𝑎 = 𝑉𝑑 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
 ≤ 0,27 . (1 – fck/250). fcd . hf . d (fck em MPa) Eq. 7.46 
 
 
De modo idêntico, no caso de vigas com talão, ou mesa de viga T na região tracionada, 
em que parte da armadura seja posicionada fora da alma, haverá necessidade de uma armadura 
de costura, como indicado a seguir. 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
1,15.𝑉𝑑
𝑑.𝑓𝑦𝑤𝑑
 𝑥 
𝐴𝑠1
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡
 Eq. 7.47 
 
 
 
Figura 7.28 – Viga com parte da armadura tracionada no talão 
 
 
Exercício 6 
 
Calcular a armadura de costura para a laje de viga T. 
 
Dados: 
Vk = 220 kN 
bf = 0,8 m hf = 0,08 m 
bw = 0,25 m h = 0,5 m 
𝑥 = 0,22 𝑚 
Concreto C25 Aço CA-50 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
99 
99 
SOLUÇÃO 
d = 0,9 . h = 0,9 . 0,50 = 0,45 m 
y = 0,8 . x = 0,8 x 0,22 = 0,176 m 
 
 
𝐴𝑎 = 8𝑥27,5 = 220 𝑐𝑚
2 𝐴𝑡𝑜𝑡 = 8𝑥80 + 25𝑥9,6 = 880 𝑐𝑚
2 
 
Armadura de costura da mesa 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
1,15. 𝑉𝑑
𝑑. 𝑓𝑦𝑤𝑑
 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
= 
1,15𝑥1,4𝑥220
0,45.43,5
 𝑥 
220
880
= 4,54 𝑐𝑚2 𝑚⁄ 
 
4,54/(2x0,31) = 7,3  6,3 mm 1,0/7,3 = 0,136 m 2 6,3 c. 12,5 cm 
 
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛
𝑠
= 1,5 𝑐𝑚2 𝑚⁄ 𝑂𝐾 
 
 
 
Verificação da biela da concreto 
𝑉𝑑,𝑎 = 𝑉𝑑 𝑥 
𝐴𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡
 ≤ 0,27 . (1 – fck/250). fcd . hf . d 
 
𝑉𝑑,𝑎 = 1,4𝑥220 𝑥 
220
880
= 77 𝑘𝑁 
 
0,27(1 – fck/250). fcd.hf.d = 0,27(1–25/250). 17.857 . 0,08 . 0,45 = 156,2 kN 
 
𝑉𝑑,𝑎 = 77 𝑘𝑁 < 156,2 kN OK 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
100 
100 
7.5.7 – Apoio indireto e armadura de suspensão 
 
A norma aborda a armadura de suspensão no item 18.3.6. Com base no modelo de treliça 
de Mörsch, ao estudar-se o comportamento resistente nos apoios indiretos (apoio de uma viga 
em outra), constata-se que a reação de uma viga na outra se faz na parte inferior desta última, 
como mostrado na figura a seguir (a diagonal comprimida introduz a carga na parte inferior da 
viga de apoio). Mas, para que se possa aplicar o modelo da a treliça de Mörsch na viga V2, é 
indispensável promover a suspensão da reação de apoio (Rd). 
 
 
Figura 7.29 – Carga inferior transmitida à viga em caso de apoio indireto 
 
Sendo as alturas das vigas V1 e V2, respectivamente hI e hII, (figura a seguir) a quantidade 
de armadura de suspensão será dada pela expressão: 
 
𝐴𝑠,𝑠𝑢𝑠𝑝 = 
𝑅𝑑
𝑓𝑦𝑤𝑑
 𝑥 
ℎ𝐼
ℎ𝐼𝐼
 Eq. 7.48 
 
 
Tal armadura (geralmente composta de estribos verticais) deverá ser disposta como 
mostrado na figura a seguir, de cruzamento das vigas. Segundo Leonhardt, não é necessária 
armadura de cisalhamento adicional nesta região, devendo ser adotada a maior das duas 
armaduras. (Süssekind recomenda que 70% de 𝐴𝑠,𝑠𝑢𝑠𝑝 seja colocado na viga que recebe a reação 
da outra – na figura, viga V2). Nesta região de interseção são os estribos da V2 que seguem 
diretos, com os estribos da viga V1 parando na face da viga V2, como mostrado na figura. 
 
 
 
Planta Corte A-A 
Figura 7.30 – Distribuição da armadura de suspensão no encontro das vigas 
 
Neste caso, sendo o apoio indireto, não podem ser utilizadas as reduções do esforço 
cortante nas regiões próximas aos apoios, para fins de determinação da armadura transversal, 
como visto anteriormente, tendo em vista que tal redução só é permitida para apoios diretos (item 
17.4.1.2.1). 
 
CONCRETO ARMADO 
101 
101 
Armaduras de suspensão serão necessárias também quando a viga receber uma reação de 
apoio de lajes em sua parte inferior (caso de lajes rebaixadas ou de vigas invertidas). Esta 
armadura deve ser disposta em toda a extensão da viga, ou da carga distribuída inferior (caso 
atue somente em parte do vão). A área de aço necessária, por unidade de comprimento da viga, 
será: 
𝐴𝑠,𝑠𝑢𝑠𝑝
𝑠
= 
𝑝𝑑
𝑓𝑦𝑤𝑑
 Eq. 7.49 
 
𝑝
𝑑
 – é a reação de apoio da laje rebaixada, de cálculo, por unidade de comprimento. 
 
Figura 7.31 – Reação de laje agindo na parte inferior da viga – necessidade 
de suspensão da carga 
 
Tanto no caso de vigas, como também no de lajes, a armadura longitudinal do elemento 
que se apoia sobre o outro deve passar sobre a armadura longitudinal da viga que lhe dá apoio, 
como mostrado na figura a seguir: 
 
Figura 7.32 – Detalhe da ancoragem das armaduras quando há necessidade da suspensão da 
carga 
 
 
Tais detalhes devem constar dos desenhos de armação, em corte, de modoa evitar uma 
execução errada na obra. A execução na forma errada das figuras pode conduzir a um colapso 
prematuro da estrutura, pela eventual fissuração em uma superfície ausente de armadura 
suficiente. 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
102 
102 
7.5.8 – Empuxo no vazio 
 
Algumas vezes as mudanças de direção da peça e/ou nas armaduras longitudinais podem 
levar à tendência de trações transversais tendentes à expulsão de parte do elemento, seja na região 
comprimida pela flexão, seja na tracionada. Uma das possiblidades de se resolver o problema é 
através da colocação de estribos que impeçam tal tipo de ruína. 
Em peças com curvatura contínua, o empuxo decorre da curvatura que os banzos 
(tracionado e/ou comprimido) fazem, por imposições da geometria do elemento, como mostrado 
na figura a seguir. Há uma força, distribuída em certo comprimento da peça, decorrente do 
empuxo no vazio. 
Os estribos para o combate do empuxo no vazio devem estar bem ancorados na região 
comprimida pela flexão (ancoragem a partir da linha neutra). 
 
 
Figura 7.33 – Empuxo no vazio em peças com curvatura contínua 
 
O empuxo no vazio também pode surgir onde há pontos de mudança brusca de direção 
de uma das faces da peça. Neste caso, a força que tende a arrancar parte da peça é concentrada, 
e não mais uma carga distribuída, como nos casos anteriores. Algumas possibilidades, assim 
como as armaduras recomendadas parta evitar uma ruína prematura estão mostradas na figura a 
seguir. 
 
Figura 7.34 – Empuxo no vazio em peças com mudança de direção pontual 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
103 
103 
7.5.9 – Vigas com altura variável 
 
 
Caso a altura da viga seja variável, tal situação influenciará o dimensionamento a esforço 
cortante (NBR 6118/14, item 17.4.1.2.3). 
Se a altura aumentar à medida que o momento fletor também aumenta, o esforço cortante 
poderá ser reduzido, para fins de dimensionamento. Sendo (𝛾) o ângulo da face inferior da viga 
(e da armadura longitudinal) com a horizontal, tem-se (vide figura a seguir, à esquerda): 
 
𝑅𝑠𝑑 = 
𝑀𝑑
𝑧 .cos 𝛾
≅ 
𝑀𝑑
𝑑 .cos 𝛾
 ∆𝑉𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 . sen 𝛾 Eq. 7.50 
 
 
Logo: 
∆𝑉𝑑 = 
𝑀𝑑 . sen 𝛾
𝑑 .cos 𝛾
= 
𝑀𝑑
𝑑
 . tg 𝛾 Eq. 7.51 
 
O dimensionamento deve ser feito para o cortante reduzido: 
 
𝑉𝑟𝑑 = 𝑉𝑑 − ∆𝑉𝑑 Eq. 7.52 
 
A figura a seguir mostra como fica a composição de forças na seção transversal, em que 
resulta um esforço cortante para fins de dimensionamento (𝑉𝑟𝑑), diferente do esforço cortante 
(𝑉𝑑) obtido no diagrama de esforços da viga. 
 
(a) Mesmo sentido (redução) (b) Sentidos opostos (acréscimo) 
Figura 7.35 – Influência da variação de altura no dimensionamento a esforço cortante 
 
Se o aumento de altura da viga estiver no sentido da diminuição do momento fletor, então 
ocorrerá o efeito contrário, ou seja, um acréscimo no esforço cortante para fins de 
dimensionamento (vide figura anterior, à direita). 
 
𝑉𝑟𝑑 = 𝑉𝑑 + ∆𝑉𝑑 Eq. 7.53 
 
CONCRETO ARMADO 
104 
104 
Capítulo 8 
ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO 
 
 
8.1 – Tensão de aderência na flexão 
 
As barras da armadura de um elemento estrutural de concreto armado deformam-se 
juntamente com o concreto que as envolve quando o elemento estrutural está sujeito a 
carregamento. Numa viga como a representada na Figura 8.1, por exemplo, a armadura 
longitudinal colocada ao longo do bordo inferior é solicitada à tração, alongando-se, como 
mostrado na Figura 8.1a. Se não houvesse aderência entre a armadura e o concreto, a situação 
seria como a indicada na Figura 8.1b, na qual as barras de aço deslizariam em relação ao 
concreto, permanecendo livres de tração. Neste caso, apenas o concreto estaria tracionado ao 
longo do bordo inferior, e a viga romperia imediatamente após a formação das primeiras fissuras 
no concreto. A aderência é, portanto, de fundamental importância nas estruturas de concreto 
armado. 
 Numa viga de concreto armado, as tensões de aderência surgem em trechos solicitados 
por força cortante. A Figura 8.2 mostra um trecho de uma viga entre duas fissuras, sujeito a um 
momento M de um lado e M+M do outro. Havendo aderência entre a barra da armadura e o 
concreto, a tensão de aderência  é obtida a partir do equilíbrio das forças horizontais que 
solicitam a barra. Assim, da Figura 8.2 obtém-se 
 
 
 
Figura 8.1 – Deformações na armadura longitudinal, com aderência e sem aderência, numa 
viga de concreto armado 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
105 
105 
 
 
 
Figura 8.2 – Tensões de aderência  entre a barra da armadura e o concreto 
 
 
Txu   
 
onde u é o perímetro da barra (ou barras) e T é o acréscimo de força na armadura causado pelo 
acréscimo de momento M. Ainda da Figura 8.2, 
 
z
M
T

  
 
Substituindo-se esta expressão na expressão anterior, e tendo em vista que (V=M/x), obtém-
se 
 
zu
V
 (8.1) 
 
 Tensões de aderência entre a armadura e o concreto estão presentes não apenas em vigas, 
que foi o caso aqui analisado. Elas estão presentes também em lajes, pilares, tirantes, etc. 
 
 
8.2 – Tensão de aderência 
 
Um dos ensaios utilizado na determinação da tensão de aderência entre barras de aço e o 
concreto é o ensaio de arrancamento (Fig. 8.3). Consiste numa barra imersa num corpo de prova 
de concreto, sujeita a uma força de tração numa das extremidades (Fig. 8.3a). Na extremidade 
oposta são medidos os deslocamentos relativos ( ) entre a barra e o concreto. A relação entre a 
tensão média () de aderência e o deslizamento (, obtida neste ensaio é a mostrada na Figura 
8.3b. Para valores baixos de () o deslocamento ( ) na extremidade livre é nulo. O deslocamento 
( ) só se inicia quando a adesão é vencida. A adesão é o primeiro mecanismo por meio do qual 
a força P é transferida da barra para o concreto. A adesão é de natureza físico-química, e é 
devida a forças moleculares desenvolvidas na superfície de contato entre o aço e o concreto. 
Uma vez vencida a adesão, os próximos mecanismos de transferência de força são o atrito e a 
aderência mecânica. Esta última é a mais importante e é devida à penetração da pasta de cimento 
nas irregularidades da superfície das barras. Na Figura 8.3b observa-se que a aderência das 
barras nervuradas é mais eficiente do que a das barras lisas. 
 
 
CONCRETO ARMADO 
106 
106 
 
 
Figura 8.3 – Ensaio de arrancamento 
 
 
 Quando a tensão ( ) atinge valores elevados, inicia-se o arrancamento da barra, com o 
rompimento da aderência. 
 
 
a) Forças exercidas pela barra de aço sobre o concreto 
 
 
 
 b) Tensões em torno da barra de aço 
 
 
 
c) Possíveis modos de ruptura do cobrimento de concreto 
 
Figura 8.4 – Tensões no concreto que envolve a barra de aço e modos de ruptura do concreto 
 
 
Concreto Barra de aço
r
ct
r = tensão radial, de compressão,
 exercida pela barra sobre o 
 concreto
ct = tensão circunferencial,
 de tração
 
CONCRETO ARMADO 
107 
107 
Numa barra nervurada, por exemplo, as forças exercidas pela barra sobre o concreto que 
a envolve estão mostradas na Figura 8.4a. Essas forças inclinadas têm uma componente radial 
que causa tensões r sobre o concreto (Fig. 8.4b), e também tensões circunferenciais ct que, 
dependendo da espessura do concreto, podem causar um dos modos de ruptura indicados na 
Figura 8.4c, o que deve ser evitado. 
 
 
Fatores que influenciam a tensão de aderência 
 
 Os principais fatores que influenciam a tensão de aderência são: 
 Resistência do concreto 
 Conformação superficial da barra 
 Posição da barra na ocasião da concretagem (situações de boa e má aderência). 
 
Devido à segregação do concreto, nas camadas superiores pode haver acúmulo de água 
sob as barras horizontais, e, após endurecimento, formação de vazios e poros, o que diminui a 
aderência da barra (Figura 8.5). 
 
Figura 8.5 – Vazios e poros no concreto,sob as barras de armadura (Leonhardt) 
 
A Figura 8.6 mostra a grande variação das tensões de aderência, em função da posição e 
inclinação da barra quando da concretagem. 
 
 
 
Figura 8.6 – Variação das tensões de aderência (𝑓𝑏𝑑 𝑓𝑐𝑘⁄ ) 
em função da posição da barra (Leonhardt) 
 
 
CONCRETO ARMADO 
108 
108 
Em decorrência de tal variabilidade das tensões de aderência, a norma define duas 
diferentes situações de aderência, “zona de boa aderência” e “zona de má aderência”, as quais 
estão representadas na Figura 8.7. 
 
São zonas de boa aderência (item 9.3.1 da norma) as barras: 
 Com inclinação superior a 45º com a horizontal (a). 
 Horizontais, ou com inclinação inferior a 45º, se: 
 Em elementos estruturais com altura (ℎ < 60 𝑐𝑚), localizados no máximo 30 
cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais 
próxima (b, c, e). 
 Em elementos estruturais com altura (ℎ ≥ 60 𝑐𝑚), localizados no mínimo 30 
cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais 
próxima (d, f). 
 
 
 
Figura 8.7 – Zonas de boa e de má aderência na estrutura (Promon) 
 
 
Os trechos das barras em outras posições, e quando são empregadas formas deslizantes, 
devem ser consideradas em má situação quanto a aderência (item 9.3.1). 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
109 
109 
8.3 – Resistência de aderência de cálculo (NBR 6118/14, 9.3.2.1) 
 
A resistência de aderência de cálculo entre as barras da armadura e o concreto nos trechos 
de ancoragem é dada por 
 
fbd = 1 2 3 fctd (8.2) 
 
onde: 1 = 1,0 para barras lisas (CA-25) 
 1 = 1,4 para barras dentadas (CA-60) 
 1 = 2,25 para barras nervuradas CA-50) 
 
 2 = 1,0 para situações de boa aderência 
 2 = 0,7 para situações de má aderência 
 
 3 = 1,0 para  < 32 mm ( é o diâmetro da barra) 
 3 = (132-) / 100 para  > 32 mm 
 
 
A resistência de cálculo à tração do concreto vale, para o cálculo de (𝑓𝑏𝑑): 
 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 𝛾𝑐⁄ = 0,7 . 𝑓𝑐𝑡,𝑚 𝛾𝑐⁄ 
 
onde 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 √𝑓𝑐𝑘
23 - até C50 ou 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 ℓ𝑛 (1 + 0,11 . 𝑓𝑐𝑘) – a partir de C55 
 
(tensões em MPa) 
 
 
 
8.4 – Ancoragem das armaduras (NBR 6118/14, item 9.4) 
 
8.4.1 - Comprimento de ancoragem básico 
 
O comprimento de ancoragem básico, (ℓ𝑏), é o comprimento reto, de uma barra de 
armadura passiva, necessário para ancorar a força máxima ( Asfyd) nessa barra, admitindo, ao 
longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a ( fbd ). O comprimento 
(ℓ𝑏) é obtido a partir da condição de equilíbrio das forças mostradas na Figura 8.1. 
 
 
 
 
Figura 8.8 – Forças e tensões na ancoragem da barra de aço 
 
CONCRETO ARMADO 
110 
110 
 
 
 
ℓ𝑏 . 𝜋 . ∅ . 𝑓𝑏𝑑 = 𝑃 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑 = 
𝜋. ∅2
4
 . 𝑓𝑦𝑑 
Tirando-se 
ℓ𝑏 = = 
𝜋. ∅2
4 . 𝜋 . ∅ . 𝑓𝑏𝑑
 . 𝑓𝑦𝑑 
 
Logo, o comprimento de ancoragem básico vale, de acordo com o item 9.4.2.4 da norma: 
 
ℓ𝑏 = 
∅
4
 .
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
 . ≥ 25 . ∅ (8.3) 
 
 
 
8.4.2 - Comprimento de ancoragem necessário 
 
Há situações em que pode haver uma quantidade de armadura superior à necessária, ou optar-se 
por adotar gancho na extremidade da ancoragem. Nestes casos, o comprimento de ancoragem 
necessário pode ser reduzido, sendo calculado por: 
 
 
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝛼 . ℓ𝑏 .
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒𝑓
 . ≥ ℓ𝑏,𝑚𝑖𝑛 (8.4) 
onde 
 1,0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 
 
 0,7 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 
 (𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ≥ 3 . ∅) 
𝛼 = 
 0,7 ℎ𝑎𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑖𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑖𝑡𝑒𝑚 9.4.2.2) 
0,5 ℎ𝑎𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑖𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 
(𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ≥ 3 . ∅) 
 
 
 
 
Figura 8.9 - Ancoragem com barras transversais soldadas 
 
CONCRETO ARMADO 
111 
111 
 
 
 Nestes casos, o comprimento de ancoragem mínimo a ser respeitado vale: 
 
0,3 . ℓ𝑏 
 
ℓ𝑏,𝑚𝑖𝑛 ≥ 10 . ∅ 
 
 100 mm 
 
 
As ancoragens de barras por aderência devem ser (9.4.2.1): 
 
 Obrigatoriamente com gancho nas barras lisas tracionadas. 
 Obrigatoriamente sem gancho nas barras comprimidas (e nas que tenham 
alternância de solicitação, tração e compressão) – vide Figura 8.10. 
 Sem gancho nas barras tracionadas com (∅ > 32𝑚𝑚). 
 
 
 
 
Figura 8.10 - Possíveis problemas com ancoragem de barras comprimidas (Leonhardt) 
 
 
Com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência 
devem ser confinadas (9.4.1.1): 
 
 Pelo próprio concreto, quando o cobrimento da barra ancorada for (𝑐 ≥ 3∅), e a 
distância entre barras ancoradas for (𝑠 ≥ 3∅). 
 Por armaduras transversais, de acordo com o item 9.4.2.6 (as barras transversais 
já existentes podem ser computadas como contribuindo: estribos existentes, por 
exemplo). 
 
 
CONCRETO ARMADO 
112 
112 
Geralmente, em vigas e pilares normais de edificações, as barras já existentes, 
transversais à ancoragem (estribos, por exemplo), são suficientes para absorver estes esforços de 
fendilhamento. 
 
8.4.3 – Ancoragem com ganchos 
 
 Os ganchos nas extremidades da ancoragem de barras tracionadas podem ser: 
 
 
a ≥ 5cm para gancho de estribo a ≥ 5cm para gancho de estribo a ≥ 7cm para gancho de estribo 
Figura 8.11 - Possíveis tipos de ganchos 
 
 
Para as barras longitudinais tracionadas, os diâmetros de dobramento dos ganchos devem 
atender aos limites a seguir (Tabela 9.1 da norma): 
 
Tabela 8.1 - Diâmetro de pinos de dobramento dos ganchos (D) 
 
 
 
Para os estribos, os diâmetros de dobramento dos ganchos devem atender aos limites a 
seguir (Tabela 9.2 da norma): 
 
Tabela 8.2 - Diâmetro de pinos de dobramento dos ganchos de estribos (D) 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
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8.4.4 – Ancoragem em apoios de extremidade 
 
De acordo com o item 18.3.2.4.1 da norma, o comprimento de ancoragem mínimo nos 
apoios de extremidade deve atender aos limites (Figura 8.12): 
 
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 
 
ℓ𝑏,𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝑟 + 5,5 . ∅ 
 
 60 mm 
 
 
Figura 8.12 - Comprimento de ancoragem mínimo nos apoios extremos (Fusco) 
 
Caso a largura do apoio seja insuficiente, será necessário promover uma curva da 
armadura, antes do final da ancoragem. Neste caso, o comprimento de ancoragem terá um 
segmento horizontal e outro vertical (ℓ𝑏 = 𝑎 + 𝑏), como mostrado na figura a seguir. 
 
Figura 8.13 - Ancoragem em apoio direto estreito 
 
 
Neste caso, para evitar o fendilhamento do concreto decorrente da curvatura (vide figura 
acima), o diâmetro de dobramento deverá atender aos limites da tabela abaixo (item 18.2.2 da 
norma). 
 
 
CONCRETO ARMADO 
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Figura 8.14 - Plano de fendilhamento devido às tensões devidas à curvatura 
 
 
Tabela 8.3 - Diâmetro de dobramento de barras curvadas 
 
Aço Diâmetro (D) 
CA-25 10 . ∅ 
CA-50 15 . ∅ 
CA-60 18 . ∅ 
 
8.4.5 – Ancoragem em apoios intermediários 
 
Em apoios intermediários, sempre que não haja qualquer possibilidade de ocorrência de 
momentos positivos (inclusive decorrentes de recalques diferenciais, vento etc), o comprimento 
de ancoragem pode ser igual a (item 18.3.2.4.1): 
 
ℓ𝑏 = 10∅ 
 
 
 
8.4.6 - Ancoragem de feixes de barras por aderência 
 
Considera-se o feixe como uma barra de diâmetro equivalente dado por 
 
nn   (8.5) 
 
onde n é o número de barras. 
As barras constituintes de feixes devem ter ancoragem reta, sem ganchos, e atender às 
seguintes condições: 
a) quando o diâmetro equivalente do feixe for menor ou igual a 25 mm, o feixe pode ser tratado 
como uma barra única, de diâmetro iguala n; 
b) quando o diâmetro equivalente for maior que 25 mm, a ancoragem deve ser calculada para 
cada barra isolada, distanciando as suas extremidades de forma a minimizar os efeitos de 
concentrações de tensões de aderência; a distância entre as extremidades das barras do feixe não 
deve ser menor que 1,2 vezes o comprimento de ancoragem de cada barra individual; 
c) quando, por razões construtivas, não for possível proceder como recomendado em (b), a 
ancoragem pode ser calculada para o feixe, como se fosse uma barra única, com diâmetro 
equivalente n. A armadura transversal adicional deve ser obrigatória e obedecer ao estabelecido 
em 9.4.2.6 da norma, conforme n seja menor, igual ou maior que 32 mm. 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
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8.5 – Emendas de barras da armadura (NBR 6118/14, item 9.5) 
 
 
Geralmente as barras de armadura possuem comprimentos da ordem de 12 metros. Caso 
a armadura de determinado elemento estrutural tenha comprimento superior a este, deverá ser 
feita uma emenda das barras, capaz de transmitir os esforços de uma para a outra. As emendas 
podem ser (item 9.5.1 da norma): 
 Por traspasse (∅ ≤ 𝟑𝟐𝒎𝒎). 
 Por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas. 
 Por solda. 
 Por outros dispositivos devidamente justificados. 
 
8.5.1 - Comprimento de traspasse de barras tracionadas, isoladas 
 
 
Sendo a distância livre entre barras emendadas (0 ≤ 𝑠 ≤ 4∅) o comprimento de 
traspasse deve ser: 
ℓ𝑜𝑡 = 𝛼𝑜𝑡 . ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝛼𝑜𝑡 . ℓ𝑏 .
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒𝑓
≥ ℓ𝑜𝑡,𝑚𝑖𝑛 (8.6) 
 
Os valores de (𝛼𝑜𝑡) são dados na tabela a seguir, em função da proporção de barras 
emendadas numa mesma seção, proporção esta que é limitada pela norma (Tabela 8.4). 
 
Tabela 8.4 – Valores de (𝜶𝒐𝒕) 
 
 
 
0,3 . 𝛼𝑜𝑡 . ℓ𝑏 
 
ℓ𝑜𝑐,𝑚𝑖𝑛 ≥ 15 . ∅ 
 
 200 mm 
 
Tabela 8.5 - Proporção máxima de barras tracionadas emendadas numa seção 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
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Na emenda de barras tracionadas devem ser previstas armaduras transversais, de acordo 
com o item 9.5.2.4.1 da NBR 6118/14. Estas armaduras transversais devem ser dispostas como 
mostrado na Figura seguinte 8.14 (item 9.5.2.4). 
 
 
Figura 8.15 - Armadura transversal nas emendas por traspasse - barras tracionadas 
 
 
8.5.2 - Comprimento de traspasse de barras comprimidas, isoladas 
 
A norma permite que todas as barras comprimidas sejam emendadas na mesma seção da 
peça (item 9.5.2.1). Nas emendas por traspasse de barras comprimidas, temos (item 9.5.2.3): 
 
ℓ𝑜𝑐 = ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = ℓ𝑏 .
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒𝑓
≥ ℓ𝑜𝑐,𝑚𝑖𝑛 (8.7) 
 
0,6 . ℓ𝑏 
 
ℓ𝑜𝑐,𝑚𝑖𝑛 ≥ 15 . ∅ 
 
 200 mm 
 
Devem ser previstas armaduras transversais, como mostrado na Figura 8.15 (item 
9.5.3.4): 
 
 
 
Figura 8.16 - Armadura transversal nas emendas por traspasse - barras comprimidas 
 
Geralmente, em vigas e pilares normais de edificações, as barras já existentes, 
transversais à ancoragem (estribos, por exemplo), são suficientes para absorver estes esforços de 
fendilhamento. 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
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8.5.3 - Emendas por solda e emendas com dispositivos especiais 
 
 
Para barras de grande diâmetro, as emendas por traspasse podem levar a grande perda de 
material, tendo em vista os comprimentos exigidos por norma. Além disso, há a necessidade de 
se prever armaduras transversais em maior densidade, o que dificulta os trabalhos de armação e 
de concretagem. Para barras de diâmetro (∅ > 32𝑚𝑚), a emenda por traspasse nem mesmo é 
admitida. 
Nestes casos, é comum a adoção de emendas mecânicas ou por solda. Alguns destes tipos 
estão mostrados na Figura 8.15. 
 
 
 
Figura 8.17 - Emendas com dispositivos especiais 
 
As emendas por solda podem ser: 
 
 De topo, por caldeamento, para bitolas (∅ ≥ 10𝑚𝑚) 
 De topo, com eletrodo, para bitolas (∅ ≥ 20𝑚𝑚) 
 Por traspasse com pelo menos dois cordões de solda longitudinais, cada um deles 
com comprimento não inferior a (5∅), afastados no mínimo (5∅) 
 Com outras barras justaposta (cobrejuntas), com cordões de solda longitudinais. 
 
 
CONCRETO ARMADO 
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Figura 8.18 - Emendas por solda