CAP 11 Resolução Resistência dos Materiais Hibbeler 7ª edição

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663 
 
Capítulo 11 
 
 
 
 
Projeto de vigas e eixos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 664 
11.1 - PROBLEMAS 
11.1. A viga simplesmente apoiada é feita de madeira com tensão de flexão admissível σadm = 6,5 MPa e tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 500 kPa. Determine as dimensões da viga se ela tiver de ser retangular e apresentar 
relação altura/largura de 1,25. 
 
 
Figura 11.1 
 
 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ R1 + R2 − 64 = 0 ∴ R1 = R2 = 64/2 = 32 kN 
 
 
|Vmáx| = 16 kN e |Mmáx| = 16 kN.m 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
16 × 103
6,5 × 106
 = 0,00246154 m3 ∴ Sreq =
I
c
=
b(1,25b) 3
12
0,625b
 = 0,0246154 ∴ b = 0,21144 m = 211 mm 
 h = 1,25b = 1,25 × 211 = 264 mm 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
((16 × 103)(0,3125 × 0,21144 × 0,625 × 0,211442) )
[
(0,21144) ((1,25 × 0,21144)3)
12
](0,21144)
 = 429,5 kPa < τadm = 500 kPa Ok! 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 665 
11.2. As vigas do assoalho de um galpão de depósito devem ser selecionadas em função de vigas quadradas de madeira 
feitas de carvalho. Se cada viga tiver de ser projetada para suportar uma carga de 1,5 kN/m sobre um vão simplesmente 
apoiado de 7,5 m, determine a dimensão a de sua seção transversal quadrada com aproximação de múltiplos de 5 mm. 
A tensão de flexão admissível é σadm = 32 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm = 0,875 MPa. 
 
Figura 11.2 
 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ R1 + R2 −11,25 = 0 ∴ R1 = R2 = 11,25/2 = 5,625 kN 
 
 
↶ + ∑ M = 0 ∴ M(x) – 5,625x + (1,5x)(0,5x) = 0 ∴ M(x) = 5,625x – 0,75x² kN.m 
V =
d
dx
M(x) = 5,625 – 1,5x kN ∴ |Mmáx| = 10,547 kN.m e |Vmáx| = 5,625 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
10,547 × 103
32 × 106
 = 3,2959 × 10-4 m3 ∴ Sreq =
I
c
=
a × a3
12
0,5a
 = 3,2959 × 10-4 ∴ a = 0,12552 m 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(5,625 × 103)(0,25 × 0,12552 × 0,5 × 0,125522)
(
0,12552 × 0,125523
12
)(0,12552)
 = 0,535 MPa < τadm = 0,875 MPa Ok! 
Logo, a = 125,5 mm ≅ 130 mm 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 666 
11.3. A viga de madeira deve ser carregada como mostra a figura. Se as extremidades suportarem somente forças 
verticais, determine o maior valor de P que pode ser aplicado. σadm = 25 MPa, τadm = 700 kPa. 
 
Figura 11.3 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ 0,5P − V = 0 ∴ V = 0,5P 
↶ + ∑ M = 0 ∴ M – 0,5P × 4 = 0 ∴ M = 2P 
yCG =
60 × 120 × 40 + 135 × 30 × 150
120 × 40 + 30 × 150
 = 96,29032 mm (centroide da seção transversal) 
I = (
0,04 × 0,123
12
+ 0,04 × 0,012 × 0,036292) + (
0,15 × 0,033
12
+ 0,15 × 0,03 × 0,038712) = 1,9162016 × 10-5 m4 
σmáx =
Mc
I
=
2P × 0,09629032
1,9162016 × 10−5
 = 25 × 106 ∴ P =2,48753 KN = 2,49 kN 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(2,48753 × 103)(0,04814516 × 0,04 × 0,5 × 0,096290322)
(1,9162016 × 10−5)(0,04)
 = 301 kPa < τadm = 700 kPa Ok! 
*11.4. Selecione no Apêndice B a viga de aço de abas largas de menor peso que suportará com segurança a carga da 
máquina mostrada na figura. A tensão de flexão admissível é σadm = 168 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é 
98 MPa. 
 
 
 Figura 11.4 
 
 
Continua... 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 667 
 
|Mmáx| = 45 kN.m e |Vmáx| = 50 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
45 × 103
168 × 106
 = 2,67857 × 10-4 m3 = 268 × 103 mm³ 
Selecionado: W310 × 24 (Sx = 281 × 103 mm³, d = 305 mm, talma = 5,59 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
50 × 103
0,305 × 0,00559
 = 29,33 MPa < τadm = 98 MPa Ok! 
11.5. A viga simplesmente apoiada é feita de madeira com tensão de flexão admissível σadm = 7 MPa e tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 0,5 MPa. Determine as dimensões da viga se ela tiver de ser retangular e apresentar 
relação altura/largura de 1,25. 
 
 Figura 11.5 
 
75
y
=
2
x
 ∴ y = 37,5x kN/m ∴ P =
xy
2
=
(37,5x)(x)
2
 = 18,75x² kN 
 ↶ + ∑ M = 0 ∴ M(x) – 75x + (18,75x²)(x/3) = 0 ∴ M(x) = 75x – 6,25x³ kN.m (0 ≤ x ≤ 2 m) 
V =
d
dx
M(x)= 75 – 18,75x² kN ∴ |Mmáx| = 100 kN.m e |Vmáx| = 75 kN 
 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c
 ∴ 
100 × 103
7 × 106
=
b(1,25b)3
12
0,625b
 ∴ b = 0,38 m 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(75 × 103)(0,625 × 0,38 × 0,38 × 0,3125 × 0,38)
[
0,38(1,25 × 0,38)3
12
](0,38)
 = 0,623 MPa > τadm = 0,5 MPa, Portanto: 
0,5 × 106 =
VmáxQmáx
It
=
(75 × 103)(0,3125b × 0,625b × b)
[
b(1,25b)3
12
](b)
 ∴ b = 0,42426 m = 424,3 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 668 
11.6. A viga de madeira tem seção transversal retangular e é usada para suportar uma carga de 6 kN. Se a tensão de 
flexão admissível for σadm = 14 MPa e a tensão de cisalhamento admissível for τadm= 5 MPa, determine a altura h da 
seção transversal com aproximação de múltiplos de 5 mm, se ela tiver de ser retangular e ter largura b = 75 mm. 
Considere que os apoios em A e B exercem somente reações verticais sobre a viga. 
 
 
Figura 11.6 
 
 
Reações: 
↶ +∑MA = 0 ∴ 3RB – 6 × 1,2 = 0 ∴ RB = 2,4 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 2,4 – 6 = 0 ∴ RA = 3,6 kN 
 
 
|Mmáx| = 4,32 kN.m e |Vmáx| = 3,6 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c
 ∴ 
4,32 × 103
14 × 106
=
0,075h3
12
0,5h
 ∴ h = 0,1571 m = 157,1 mm ≅ 160 mm 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(3,6 × 103)(0,5 × 0,38 × 0,1571 × 0,075 × 0,25 × 0,1571)
(
0,075 × 0,15713
12
)(0,075)
 = 0,46 MPa < τadm = 5 MPa Ok! 
 
 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 669 
11.7. Resolva o Problema 11.6 se a seção transversal tiver largura desconhecida, mas tiver de ser quadrada, isto é, h = 
b. 
 
 
Figura 11.7 
 
 
Reações 
↶ +∑MA = 0 ∴ 3RB – 6 × 1,2 = 0 ∴ RB = 2,4 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 2,4 – 6 = 0 ∴ RA = 3,6 kN 
 
 
|Mmáx| = 4,32 kN.m e |Vmáx| = 3,6 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c
 ∴ 
4,32 × 103
14 × 106
=
b × b3
12
0,5b
 ∴ b = 0,12279 m = 122,79 mm ≅ 125 mm 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(3,6 × 103)(0,5 × 0,38 × 0,12279 × 0,12279 × 0,25 × 0,12279)
(
0,12279 × 0,122793
12
)(0,12279)
 = 0,36 MPa < τadm = 5 MPa Ok! 
 
 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 670 
*11.8. A viga simplesmente apoiada é composta por duas seções W310 × 33 montadas como mostra a figura. Determine 
a carga uniforme máxima w que ela suportará se a tensão de flexão admissível for σadm = 160 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível for τadm = 100 MPa. 
 
 
 Figura 11.8 
 
W310 × 33 (d = 313 mm, talma = 6,6 mm, A = 4,180 mm², Ix = 65 × 106 mm4) 
I = 2 [65 × 106 + 4.180 (
313
2
)
2
]= 334.755.210 mm4 = 3,3475521 × 10-4 m4 
0 ≤ x ≤ 8 m 
↶ +∑MA = 0 ∴ M(x) – 4wx + wx(0,5x) = 0 ∴ M(x) = 4wx – 0,5wx² 
V =
d
dx
M(x)= 4w – wx 
 
 
|Mmáx| = 8w e |Vmáx| = 4w 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c
 ∴ 
8w
160 × 106
=
3,3475521 × 10−4
0,313
 ∴ w = 21,391 kN/m = 21,39 kN/m 
τmáx =
VmáxA
=
4 × 21,391 × 103
2 × 6,6 × 313
 = 20,71 MPa <τadm = 100 MPa Ok! 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 671 
11.9. A viga simplesmente apoiada é composta por duas seções W310 × 33 montadas como mostra a figura. Determine 
se ela suportará com segurança uma carga w = 30 kN/m. A tensão de flexão admissível é σadm = 160 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível for τadm = 100 MPa. 
 
 
 Figura 11.9 
 
W310 × 33 (d = 313 mm, talma = 6,6 mm, A = 4,180 mm², Ix = 65 × 106 mm4) 
I = 2 [65 × 106 + 4.180 (
313
2
)
2
]= 334.755.210 mm4 = 3,3475521 × 10-4 m4 
0 ≤ x ≤ 8 m 
↶ +∑MA = 0 ∴ M(x) – (4)(30)(x) + (30)(x)(0,5x) = 0 ∴ M(x) = 120x – 15x² kN.m 
V =
d
dx
M(x)= 120 – 30x kN 
 
 
|Mmáx| = 240 kN.m e |Vmáx| = 120 kN 
σmáx =
Mc
I
=
(240 × 103)(0,313)
3,3475521 × 10−4
 = 224,4 MPa > σadm = 160 MPa 
τmáx =
Vmáx
A
=
120 × 103
2 × 6,6 × 313
 = 29,04 MPa < τadm = 100 MPa Ok! 
Falha por conta do critério da tensão de flexão. 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 672 
11.10. Selecione no Apêndice B a viga de aço de abas largas de menor peso que suportará com segurança as cargas 
mostradas na figura, na qual w = 100 kN/m e P = 25 kN. A tensão de flexão admissível é σadm = 160 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível é τadm = 100 MPa. 
 
 Figura 11.10 
 
↶ +∑MA = 0 ∴ 2,4R2 – 4,2 × 25 – 2,4 × 1,2 × 100 = 0 ∴ R2 = 163,75 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ R1 + 163,75 – 25 – 2,4 × 100 = 0 ∴ R1 = 101,25 kN 
 
 
|Mmáx| = 50,8 kN.m e |Vmáx| = 138,75 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
50,8 × 103
160 × 106
 = 3,175 × 10-4 m3 = 317,5 × 103 mm³ 
Selecionado: W310 × 33 (Sx = 415 × 103 mm3, d = 313 mm, talma = 6,60 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
138,5 × 103
313 × 6,60
 = 67,04 MPa < τadm = 100 MPa Ok! 
11.11. Selecione no Apêndice B a viga de aço de abas largas de menor peso e menor altura que suportará com segurança 
as cargas mostradas na figura, na qual w = 0 e P = 50 kN. A tensão de flexão admissível é σadm = 168 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível é τadm = 100 MPa. 
 
 Figura 11.11 
Continua... 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 673 
↶ +∑MA = 0 ∴ 2,4R2 – 4,2 × 50 = 0 ∴ R2 = 87,5 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ R1 + 87,5 – 50 = 0 ∴ R1 = 37,5 kN 
 
|Mmáx| = 90 kN.m e |Vmáx| = 50 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
90 × 103
168 × 106
 = 5,357143 × 10-4 m3 = 535,7 × 103 mm³ 
Selecionado: W310 × 39 (Sx = 547 × 103 mm3, d = 310 mm, talma = 5,84 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
50 × 103
310 × 5,84
 = 27,62 MPa < τadm = 100 MPa Ok! 
11.12. Determine com aproximação de múltiplos de 5 mm, a largura mínima da viga que suportará com segurança a 
carga P = 40 kN. A tensão de flexão admissível é σadm = 168 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm = 105 
MPa. 
 
 Figura 11.12 
 
Reações 
↶ +∑MB = 0 ∴ 40 × 4 – 2RA = 0 ∴ RA = 80 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ 80 – RB– 40 = 0 ∴ RB = 40 kN 
 
|Mmáx| = 80 kN.m e |Vmáx| = 40 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c
 ∴ 
80 × 103
168 × 106
=
b × 0,153
12
0,075
 ∴ b = 0,127 m =127 mm ≅ 130 mm 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(40 × 103)(0,0375 × 0,075 × 0,127)
(
0,127 × 0,153
12
)(0,127)
 = 3,15 MPa < τadm = 105 MPa Ok! 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 674 
11.13. Selecione no Apêndice B a viga de aço de abas largas de menor peso que suportará com segurança as cargas 
mostradas na figura. A tensão de flexão admissível é σadm = 168 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm = 
100 MPa. 
 
Figura 11.13 
 
↶ +∑MA = 0 ∴ 75 × 5 – 3R1 + (7,5 × 0,5)(3)(2/3)(3) = 0 ∴ R1 = 132,5 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ 132,5– R2 – 3(7,5 × 0,5) – 75 = 0 ∴ R2 = 46,25 kN 
|Mmáx| = 150 kN.m e |Vmáx| = 75 kN 
 
 
 
 
 
 
|Mmáx| = 150 kN.m e |Vmáx| = 75 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
150 × 103
168 × 106
 = 8,9286 × 10-4 m3 = 892,9 × 103 mm3 
Selecionado: W410 × 53 (Sx = 923 × 103 mm3, d = 403 mm, talma = 7,49 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
75 × 103
7,49 × 403
 = 24,85 MPa < τadm = 100 MPa Ok! 
Seção 1 (0 ≤ x1 ≤ 3 m) 
M(x1) = −46,25x1 − 0,4167x1
3 kN. m 
V =
d
dx1
M(x1) = −46,25 − 1,25x1
2 kN 
 
Seção 2 (3 m ≤ x2 ≤ 5 m) 
M(x2) = 375 − 75x2 kN. m 
V =
d
dx2
M(x2) = −75 kN 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 675 
11.14. Selecione no Apêndice B a viga estrutural de aço de abas largas de menor peso e menor altura que suportará 
com segurança a carga mostrada na figura. A tensão de flexão admissível é σadm = 168 MPa e a tensão de cisalhamento 
admissível é τadm = 100 MPa. 
 
Figura 11.14 
 
0 ≤ x ≤ 2 m 
↶ +∑MA = 0 ∴ M(x) = −10x³ kN.m ∴ V =
d
dx
M(x) = −30x2 kN 
 
|Mmáx| = 80 kN.m e |Vmáx| = 120 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
80 × 103
168 × 106
 = 4,762 × 10-4 m3 = 476,2 × 103 mm3 
Selecionado: W310 × 39 (Sx = 547 × 103 mm3, d = 310 mm, talma = 5,84 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
120 × 103
5,84 × 310
 = 66,28 MPa < τadm = 100 MPa Ok! 
11.15. Selecione no Apêndice B a viga de aço de abas largas mais curtas de menor peso que suportará com segurança 
as cargas mostradas na figura. A tensão de flexão admissível é σadm = 160 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é 
τadm = 84 MPa. 
 
Figura 11.15 
↶ +∑MB = 0 ∴ −4,8RA + 20 × 3,6 + 50 × 2,4 + 30 × 1,2 = 0 ∴ RA = 47,5 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ 47,5 – 20 – 50 – 30 + RB = 0 ∴ RB = 52,5 kN 
Continua... 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 676 
 
|Mmáx| = 90 kN.m e |Vmáx| = 52,5 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
90 × 103
160 × 106
 = 5,625 × 10-4 m3 ≅ 563 × 103 mm3 
Selecionado: W250 × 58 (Sx = 693 × 103 mm3, d = 252 mm, talma = 8 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
52,5 × 103
8 × 250
 = 26,25 MPa < τadm = 84 MPa Ok! 
*11.16. A viga é feita de um material cerâmico cuja tensão de flexão admissível é σadm = 5 MPa e tensão de cisalhamento 
τadm = 2,8 MPa. Determine a largura b da viga, se a altura for h = 2b. 
 
 Figura 11.16 
 
↶ +∑M1 = 0 ∴ 75 × 0,05 – 0,18 × 0,075 + 0,15R2 – 50 × 0,2 = 0 ∴ R2 = 41,76 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ R1 + 41,76 – 0,18 – 75 – 50 = 0 ∴ R1 = 83,42 kN 
 
|Mmáx| = 3,75 kN.m e |Vmáx| = 75 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c
 ∴ 
3,75 × 103
5 × 106
=
b (2b)3
12
b
 ∴ b = 0,104 m =104 mm 
τmáx =
1,5Vmáx
A
=
1,5 × 75 × 103
(104)(2 × 104)
 = 5,2 MPa > τadm = 2,8 MPa Não Ok! 
Logo: τmáx =
VmáxQmáx
It
 ∴ 2,8 × 106 =
(75 × 103)(b × b × 0,5b)
[
b(2b)3
12
](b)
 ∴ b = 0,14174 m ≅ 141,74 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 677 
11.17. A viga de aço em balanço foi montada com duas chapas como mostra a figura. Determine as cargas máximas P 
que podem ser suportadas com segurança pela viga, se a tensão de flexão admissível for σadm = 170 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível for τadm= 95 MPa. 
 
 
Figura 11.17 
 
 
↶ +∑M1 = 0 ∴ M – 2P – 4P = 0 ∴ M = 6P 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ V – P – P = 0 ∴ V = 2P 
yCG =
15 × 150 × 75 + 150 × 15 × 157,5
150 × 15 + 150 × 15
 = 116,25 mm (centroide da seção transversal) 
I = (
0,015 × 0,153
12
+ 0,015 × 0,15 × 0,041252) + (
0,15 × 0,0153
12
+ 0,15 × 0,015 × 0,04125²) = 1,1918 × 10-5 m4 
 
 
|Mmáx| = 6P e |Vmáx| = 2P 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 170 × 106 =
(6P)(0,11625)
(1,1918 × 10−5)
 ∴ P = 2,90 kN 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(2 × 2,90 × 103)(0,11625 × 0,015 × 0,058125)
(1,1918 × 10−5)(0,015)
 = 3,294 MPa < τadm = 95 MPa Ok! 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 678 
11.18. Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga W310 × 21 e verifique se ela suportará com 
segurança a carga mostrada na figura. A tensão de flexão admissível é σadm = 160 MPa e a tensão de cisalhamento 
admissível é τadm = 84 MPa. 
 
 
Figura 11.18 
 
 
Reações: 
↶ +∑M𝐴 = 0 ∴ 75 – 100 × 2 + 4RB = 0 ∴ RB = 31,25 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 31,25 − 100 = 0 ∴ RA = 68,75 kN 
W310 × 21 (Sx = 244 × 103 mm³, d = 303 mm, talma = 5,08 mm) 
 
 
|Mmáx| = 75 kN.m e |Vmáx| = 68,75 kN.m 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
75 × 103
160 × 106
 = 4,6875 × 10-4 m3 = 468,75 × 103 mm3 > Sx = 244 × 103 mm3 
τmáx =
Vmáx
A
=
68,75 × 103
5,08 × 303
 = 44,66 MPa < τadm = 84 MPa Ok! 
Falha por conta do critério de tensão de flexão. 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 679 
11.19. Selecione no Apêndice B a viga de aço de abas largas de menor peso que suportará com segurança as cargas 
mostradas na figura. A tensão de flexão admissível é σadm = 160 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm = 
84 MPa. 
 
 
Figura 11.19 
 
 
Reações: 
↶ +∑MA = 0 ∴ 75 – 100 × 2 + 4RB = 0 ∴ RB = 31,25 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 31,25 − 100 = 0 ∴ RA = 68,75 kN 
 
 
|Mmáx| = 75 kN.m e |Vmáx| = 68,75 kN.m 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
75 × 103
160 × 106
 = 4,6875 × 10-4 m3 = 468,75 × 103 mm3 
Selecionado: W360 × 33 (Sx = 475 × 103 mm³, d = 349 mm, talma = 5,84 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
68,75 × 103
5,84 × 349
 = 33,73 MPa < τadm = 84 MPa Ok! 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 680 
*11.20. A viga composta foi feita com duas seções unidas por pino em B. Use o Apêndice B e selecione a viga de abas 
largas leve que seria segura para cada seção, se a tensão de flexão admissível for σadm = 168 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível for τadm = 100 MPa. A viga suporta a carga de um tubo de 6 kN e 9 kN, como mostra a figura. 
 
 
 Figura 11.20 
 
↶ +∑MB = 0 ∴ 5,4RC – 9 × 2,4 = 0 ∴ RC = 4 kN 
↶ +∑MA = 0 ∴ MA – 6 × 1,8 – 9 × 6 + 9 × 4 = 0 ∴ MA = 28,8 kN.m 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 4 – 6 − 9 = 0 ∴ RA = 11 kN 
 
 
 
|Mmáx|AB = 28,8 kN.m e |Vmáx|AB = 11 kN.m 
Sreq =
(Mmáx)AB
σadm
=
28,8 × 103
168 × 106
 = 1,714286 × 10-4 m3 = 171,43 × 103 mm3 
Segmento AB: W250 × 18 (Sx = 179 × 103 mm3, d = 251 mm, talma = 5,83 mm) 
(τmáx)AB =
Vmáx
A
=
11 × 103
5,83 × 251
 = 7,52 MPa < τadm = 100 MPa Ok! 
|Mmáx|BC = 12 kN.m e |Vmáx|BC = 5 kN.m 
Sreq =
(Mmáx)AB
σadm
=
12 × 103
168 × 106
 = 7,143 × 10-5 m3 = 71,43 × 103 mm3 
Segmento BC: W150 × 14 (Sx = 91,2 × 103 mm3, d = 150 mm, talma = 4,83 mm) 
(τmáx)AB =
Vmáx
A
=
5 × 103
4,83 × 150
 = 6,90 MPa < τadm = 100 MPa Ok! 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 681 
11.21. A viga de aço tem uma tensão de flexão admissível σadm = 140 MPa e uma tensão de cisalhamento admissível 
τadm = 90 MPa. Determine a carga máxima que ela pode suportar com segurança. 
 
Figura 11.21 
 
↶ +∑M2 = 0 ∴ 4P – 2R1 = 0 ∴ R1 = 2P 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ −R2 + 2P − P = 0 ∴ R2 = P 
yCG =
20 × 150 × 75 + 120 × 20 × 160
20 × 150 + 20 × 120
 = 112,777 mm (centroide da seção transversal) 
I = (
0,020 × 0,1503
12
+ 0,020 × 0,150 × 0,037772) + (
0,120 × 0,0203
12
+ 0,120 × 0,020 × 0,047223²) = 1,533833×10-5 m4 
Qmáx = 0,112777 × 0,02 × 0,0563885 = 1,271865 × 10-4 m3 
 
 
|Mmáx| = 2P e |Vmáx| = P 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c
 ∴ 
2P
140 × 106
=
1,533833 × 10−5
0,112777
 ∴ P = 9,52 kN 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(9520 × 103)(1,271865 × 10−4)
(1,533833 × 10−5)(0,020)
 = 3,95 MPa < τadm = 90 MPa Ok! 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 682 
11.22. A viga de madeira tem seção transversal retangular. Se sua largura for 150 mm, determine a altura h de modo 
que atinja simultaneamente sua tensão de flexão admissível σadm = 10 MPa e uma tensão de cisalhamento admissível 
τadm = 0,35 MPa. Calcule também a carga máxima P que a viga pode suportar. 
 
 
 Figura 11.22 
 
↶ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + RB − P = 0 ∴ RA = RB = 0,5P 
 
 
|Mmáx| = 0,75P e |Vmáx| = 0,5P 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 10 × 106 =
(0,75P)(0,5h)
0,15h3
12
 ∴ P = 333.333,333h² [1] 
τmáx =
VmáxQmáx
It
 ∴ 0,35 × 106 =
(0,5P)(0,5h × 0,15 × 0,25h)
(
0,15h3
12
)(0,15)
 ∴ P = 70.000h [2] 
Igualando [1] e [2], tem-se: 333.333,333h² = 70.000h ∴ h = 0,210 m = 210 mm 
P = 70.000 × 0,210 = 14.700 N = 14,70 kN 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 683 
11.23. A viga será usada para suportar a máquina que tem peso de 80 kN e centro de gravidade em G. Se a tensão de 
flexão máxima nõ puder ultrapassar σadm = 160 MPa, determine a largura b exigida para as abas. Os apoios em B e C 
são lisos. 
 
 
Figura 11.23 
 
Reações: 
↶ +∑MA = 0 ∴ 6RD – 30 × 4,2 – 50 × 1,8 = 0 ∴ RD = 36 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 36 − 80 = 0 ∴ RA = 44 kN 
↶ +∑MB = 0 ∴ −0,9 × 80 + 2,4RC = 0 ∴ RC = 30 kN 
↶ + ∑ Fy = 0 ∴ RB + 30 − 80 = 0 ∴ RB = 50 kN 
 
 
 
|Mmáx| = 79,2 kN.m e |Vmáx| = 44 kN 
I = 2 (
b × 0,0123
12
+ 0,012 × b × 0,09352) + (
0,012 × 0,1753
12
) = [(2,10102 × 10-4)b + 5,359375 × 10-6] m4 [1] 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 160 × 106 =
(79,2 × 103)(0,0995)
I
 ∴ I = 4,92525 × 10-5 m4 [2] 
Igualando [1] e [2], tem-se: (2,10102 × 10-4)b + 5,359375 × 10-6 = 4,92525 × 10-5 ∴ b = 0,2089 m = 208,9 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 684 
*11.24. A largura das abas da viga é b = 200 mm. Se a tensão de flexão máxima não puder ultrapassar σadm = 160 MPa, 
determine o maior peso da máquina que a viga pode suportar. O centro de gravidade da máquina encontra-se em G e os 
apoios em B e C são lisos. 
 
 Figura 11.24 
 
↶ +∑MA = 0 ∴ 6RD – 2,7W = 0 ∴ RD = 0,45W 
O momento máximo ocorre na região AB, logo: 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA – W + 0,45W = 0 ∴ RA = 0,55W 
↶ +∑MB = 0 ∴ Mmáx – 0,55W × 1,8 = 0 ∴ Mmáx = 0,99W 
 
I = 2 (
0,2 × 0,0123
12
+ 0,2 × 0,012 × 0,09352) + (
0,012 × 0,1753
12
) = 4,7379775 × 10-5 m4 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 160 × 106 =
(0,99W)(0,0995)
4,7379775 × 10−5
 ∴ W = 76,96 kN 
11.25. A viga-caixão tem tensão de flexão admissível σadm = 10 MPa e tensão de cisalhamento admissível τadm = 775 
kPa. Determine a intensidade máxima w da cargadistribuída que ela pode suportar com segurança. Calcule também o 
espaçamento máximo seguro entre os pregos para cada terço do comprimento da viga. Cada prego pode resistir a uma 
força de cisalhamento de 200 N. 
 
 Figura 11.25 
 
Continua... 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 685 
 
 
↶ +∑M2 = 0 ∴ 6w × 3 – 6R1 = 0 ∴ R1 = 3w 
I =
0,210 × 0,253
12
−
0,15 × 0,1903
12
 = 1,877 × 10-4 m4 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 10 × 106 =
(4,5w)(0,125)
1,877 × 10−4
 ∴ w = 3,337 kN/m 
Qmáx = 2 × 0,125 × 0,03 × 0,0625 + 0,03 × 0,15 × 0,110 = 9,6375 × 10-4 m3 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(3 × 3,337 × 103)(9,6375 × 10−4)
(1,877 × 10−4)(0,06)
 = 856,67 kPa > 775 kPa (Não Ok!), logo: 
775 × 103 =
(3w)(9,6375 × 10−4)
(1,877 × 10−4)(0,06)
 ∴ w = 3.018,8 N/m = w = 3,02 kN/m 
Para: 0 ≤ x < 2 m 
V = 3w = 3 × 3.018,8 = 9.056,4 N 
q =
VQ
I
=
(9.056,4)(0,110 × 0,03 × 0,15)
1,877 × 10−4
 = 23.883,42 N/m 
q
2
=
F
s
 ∴ 
23.883,42
2
=
200
s
 ∴ s = 0,016748 m = 16,7 mm 
Para: 2 m < x < 4 m 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ 9.056,4 – 12.075,2 + V = 0 ∴ V = 3.018,8 N 
q =
VQ
I
=
(3.018,8)(0,110 × 0,03 × 0,15)
1,877 × 10−4
 = 7.961,14 N/m 
q
2
=
F
s
 ∴ 
7.961,14
2
=
200
s
 ∴ s = 0,05024 m = 50,2 mm 
Para: 4 m < x ≤ 6 m 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ 9.056,4 – 18.112,8 + V = 0 ∴ V = 9.056,4 N 
q =
VQ
I
=
(9.056,4)(0,110 × 0,03 × 0,15)
1,877 × 10−4
 = 23.883,42 N/m 
q
2
=
F
s
 ∴ 
23.883,42
2
=
200
s
 ∴ s = 0,016748 m = 16,7 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 686 
11.26. A viga foi construída com três tábuas como mostra a figura. Se cada prego puder suportar uma força de 
cisalhamento de 250 N, determine o espaçamento máximo entre os pregos, s, s’ e s’’, para as regiões AB, BC e CD, 
respectivamente. 
 
 
 Figura 11.26 
 
Reações: 
↶ +∑MB = 0 ∴ 4 × 1,5 – 6 × 1,5 + 3RD = 0 ∴ RD = 1 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RB + 1 – 4 − 6 = 0 ∴ RB = 9 kN 
 
yCG =
25 × 150 × 75 × 2 + 200 × 25 × 162,5
2 × 25 × 150 + 200 × 25
 = 110 mm (centroide da seção transversal) 
I = 2 (
0,025 × 0,1503
12
+ 0,025 × 0,150 × 0,0352) + (
0,2 × 0,0253
12
+ 0,2 × 0,025 × 0,0525²) = 3,7291667 × 10-5 m4 
Região AB: 
q =
VQ
I
=
2F
s
 ∴ 
(4 × 103)(0,025 × 0,2 × 0,0525)
(3,7291667 × 10−5)
=
2 × 250
s
 ∴ s = 0,01776 m = 17,76 mm 
Região BC: 
q =
VQ
I
=
2F
s′
 ∴ 
(5 × 103)(0,025 × 0,2 × 0,0525)
(3,7291667 × 10−5)
=
2 × 250
s′
 ∴ s’ = 0,01421 m = 14,21 mm 
Região CD: 
q =
VQ
I
=
2F
s′′
 ∴ 
(1 × 103)(0,025 × 0,2 × 0,0525)
(3,7291667 × 10−5)
=
2 × 250
s′′
 ∴ s’’ = 0,07103 m = 71,03 mm 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 687 
11.27. A viga foi construída com duas tábuas como mostra a figura. Se cada prego puder suportar uma força de 
cisalhamento de 1 kN, determine o espaçamento máximo entre os pregos, s, s’ e s’’ com aproximação de 25 mm para 
as regiões AB, BC e CD, respectivamente. 
 
 
 Figura 11.27 
 
Reações: 
↶ +∑MB = 0 ∴ 2,5 × 1,5 – 7,5 × 1,5 + 3RD = 0 ∴ RD = 2,5 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RB + 2,5 – 2,5 – 7,5 = 0 ∴ RB = 7,5 kN 
 
yCG =
25 × 150 × 75 + 200 × 25 × 162,5
25 × 150 + 200 × 25
 = 125 mm (centroide da seção transversal) 
I = (
0,025 × 0,1503
12
+ 0,025 × 0,150 × 0,0502) + (
0,2 × 0,0253
12
+ 0,2 × 0,025 × 0,0375²) = 2,369791667 × 10-5 m4 
Qmáx = (0,1625 – 0,125)(0,2 × 0,025) = 1,875 × 10-4 m3 
Região AB: 
q =
VQ
I
=
2F
s
 ∴ 
(2,5 × 103)(0,025 × 0,2 × 0,0525)
(2,369791667 × 10−5)
=
2 × 1.000
s
 ∴ s = 0,05056 m ≅ 55 mm 
Região BC: 
q =
VQ
I
=
2F
s′
 ∴ 
(5 × 103)(0,025 × 0,2 × 0,0525)
(2,369791667 × 10−5)
=
2 × 1.000
s′
 ∴ s’ = 0,0253 m ≅ 30 mm 
Região CD: 
q =
VQ
I
=
2F
s′′
 ∴ 
(2,5 × 103)(0,025 × 0,2 × 0,0525)
(2,369791667 × 10−5)
=
2 × 1.000
s′′
 ∴ s’’ = 0,05056 m ≅ 55 mm 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 688 
*11.28. Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo e determine, com aproximação de múltiplos 
de 5 mm, o diâmetro exigido se σadm = 50 MPa e τadm = 20 MPa. Os mancais em A e D exercem somente reações 
verticais sobre o eixo. A carga é aplicada às polias em B, C e E. Considere P = 550 N. 
 
Figura 11.28 
 
Reações: 
↶ +∑MA = 0 ∴ −400 × 0,35 – 550 × 0,85 + 1,225RD – 175 × 1,525 = 0 ∴ RD = 713,78 N 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA – 400 – 550 + 713,78 − 175 = 0 ∴ RA = 411,22 N 
 
 
|Mmáx| = 149,54 N.m e |Vmáx| = 538,78 N 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 50 × 106 =
149,54c
π
4
c4
 ∴ c = 0,0156159 m 
d = 2c = 2 × 15,6159 = 31,23 mm ≅ 35 mm 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(538,78)[
2
3
(0,0156159)3]
π
4
(0,0156159)4(0,03123)
 = 0,938 MPa < τadm = 20 MPa Ok! 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 689 
11.29. Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo e determine, com aproximação de múltiplos 
de 5 mm, o diâmetro exigido, se σadm = 50 MPa e τadm = 20 MPa. Os mancais A e D exercem somente reações verticais 
sobre o eixo. A carga é aplicada às polias em B, C e E. Considere P = 400 N. 
 
 
Figura 11.29 
 
Reações: 
↶ +∑MA = 0 ∴ −400 × 0,35 – 400 × 0,85 + 1,225RD – 175 × 1,525 = 0 ∴ RD = 609,69 N 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA – 400 – 400 + 609,69 − 175 = 0 ∴ RA = 365,31 N 
 
 
|Mmáx| = 127,83 N.m e |Vmáx| = 434,69 N 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 50 × 106 =
127,83c
π
4
c4
 ∴ c = 0,01482 m 
d = 2c = 2 × 14,82 = 29,64 mm ≅ 30 mm 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(434,69)[
2
3
(0,01482)3]
π
4
(0,01482)4(0,02964)
 = 0,840 MPa < τadm = 20 MPa Ok! 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 690 
11.30. A viga com avanço foi construída com duas peças de madeira de 50 mm por 100 mm escoradas como mostra a 
figura. Se a tensão de flexão admissível for σadm = 4,2 MPa, determine a maior carga P que pode ser aplicada. Calcule 
também o espaçamento máximo associado, s, entre os pregos ao longo da seção AC da viga, se cada um deles puder 
resistir a uma força de cisalhamento de 4 kN. Considere que a viga está unida por pinos em A, B e D. Despreze a força 
axial desenvolvida na viga ao longo de DA. 
 
 
Figura 11.30 
 
 
 
Mmáx = 0,9P 
σadm =
Mmáxc
I
=
0,9P × 0,05
0,1 × 0,13
12
 = 4,2 × 106 ∴ P = 777,8 N 
V = P 
q =
VQ
I
=
(777,777)(0,1 × 0,05 × 0,025)
0,1 × 0,13
12
 = 11.666,667 N/m 
smáx =
F
q
=
4 × 103
11.666,667
 = 0,34286 m = 342,9 mm 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 691 
11.2 - PROBLEMAS 
11.31. A viga mostrada na figura suporta uma força concentrada P em seu centro. Se for feita de uma chapa com largura 
constante b, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga. 
 
 Figura 11.31↶ + ∑ M = 0 ∴ M – 0,5Px = 0 ∴ M = 0,5Px 
h0
y
=
L
2x
 ∴ y =
2h0
L
x ∴ h = h0 + y =
h0
L
(L + 2x) 
σ =
Mc
I
=
(
P
2
x)(
h
2
)
bh3
12
=
3PL2x
bh0
2(L + 2x)²
, para que σ seja máxima, 
d
dx
σ = 0, logo: 
d
dx
[
3PL2x
bh0
2(L + 2x)2
] = 0; Resolvendo a derivada, obtem-se: x = L/2, sendo assim: σmáx =
(3PL2)(
L
2
)
bh0
2[L + 2(
L
2
)]²
=
𝟑𝐏𝐋
𝟖𝐛𝐡𝟎
𝟐 
*11.32. Determine a variação do raio r da viga em balanço que suporta a carga distribuída uniforme, de modo que ela 
tenha uma tensão de flexão máxima constante σmáx em todo o seu comprimento. 
 
 Figura 11.32 
S =
I
c
=
π
4
r4
r
=
π
4
r3 ∴ σmáx =
M
S
=
w
2
x2
π
4
r3
=
2wx2
πr3
 [1], para x = L e r = r0, tem-se: σmáx =
2wL2
πr03
 [2] 
Como a tensão de flexão máxima é constante, igualando [1] e [2], tem-se: 
2wx2
πr3
=
2wL2
πr03
 ∴ 𝐫𝟑 =
𝐫𝟎
𝟑
𝐋𝟐
𝐱𝟐 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 692 
11.33. Determine a variação na altura d de uma viga em balanço que suporta uma força concentrada P em sua 
extremidade, de modo que ela tenha uma tensão de flexão máxima constante σmáx em todo o seu comprimento. A viga 
tem largura constante b0. 
 
 Figura 11.33 
↶ + ∑ M = 0 ∴ Px − M = 0 ∴ M = Px 
S =
M
σadm
=
I
c
 ∴ 
Px
σadm
=
b0d
3
12
d
2
 ∴ σadm =
6Px
b0d2
[1], para x = L e d = d0 , tem-se: σadm =
6PL
b0d0
2 [2] 
Como a tensão de flexão máxima é constante, igualando [1] e [2], tem-se: 
6Px
b0d2
=
6PL
b0d2
 ∴ 𝐝 = 𝐝𝟎√
𝐱
𝐋
 
11.34. A viga tem a forma de um tronco de cone reto com diâmetro de 150 mm em A e de 300 mm em B. Se ela suportar 
uma força de 750 N em A, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e especifique sua localização x. 
 
 Figura 11.34 
 
↶ + ∑ M = 0 ∴ 750x − M = 0 ∴ M = 750x 
75
y
=
900
x
 ∴ y =
75
900
x = 0,08333x ∴ c = y + 0,006 = (0,08333x + 0,075) m 
σ =
Mc
I
=
(750x)(0,08333x + 0,075)
π
4
(0,08333x + 0,075)4
=
3.000x
π(0,08333x + 0,075)3
, para que σ seja máxima, 
d
dx
σ = 0, logo: 
d
dx
[
3.000x
π(0,08333x + 0,075)3
] = 0, resolvendo a derivada, obtem-se: x = 0,450 m = 450 mm 
Logo, a tensão de flexão máxima absoluta será: σmáx =
3.000 x 0,45
π(0,08333 × 0,45 + 0,075)3
 = 0,3018 MPa 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 693 
11.35. A viga tem largura w e altura que varia como mostra a figura. Se ela suportar uma força concentrada P em sua 
extremidade, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e especifique sua localização x. 
 
 Figura 11.35 
↶ + ∑ M = 0 ∴ Px − M = 0 ∴ M = Px 
b2 − b1
2L
=
y
x
 ∴ y = (
b2 − b1
2L
) x ∴ h = 2y + b1 = (
b2 − b1
L
) x + b1 
σ =
Mc
I
=
(Px)[0,5(
b2 − b1
L
)x + b1]
w
12
[(
b2 − b1
L
)x + b1]
3 =
6Px
w[(
b2 − b1
L
)x + b1]
2, para que σ seja máxima, 
d
dx
σ = 0, logo: 
d
dx
{
6Px
w[(
b2 − b1
L
)x + b1]
2} = 0, resolvendo a derivada, obtem-se: 𝐱 =
𝐛𝟏𝐋
𝐛𝟐 − 𝐛𝟏
 
Então a tensão de flexão máxima absoluta será: σmáx =
6P(
b1L
b2 − b1
)
w[(
b2 − b1
L
)(
b1L
b2 − b1
) + b1]
2 =
𝟑𝐏𝐋
𝟐𝐰𝐛𝟏(𝐛𝟐 − 𝐛𝟏)
 
*11.36. A viga mostrada na figura suporta uma carga distribuída uniforme w. Se for feita de uma chapa com largura 
constante b, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga. 
 
 
 Figura 11.36 
h − h0
x
=
h0
L
2
 ∴ h = h0 (
2
L
x + 1) ∴ I = bh0
3
12
(
2
L
x + 1)
3
 ∴ S =
I
c
=
bh0
3
12
(
2
L
x + 1)
3
h0
2
(
2
L
x + 1)
=
1
6
bh0
2 (
2
L
x + 1)
2
 
σ =
M
S
=
w
2
(Lx − x2)
1
6
bh0
2(
2
L
x + 1)
2 =
3w
bh0
2 [
Lx − x2
(
2
L
x + 1)
2], para que σ seja máxima, 
d
dx
σ = 0, logo: 
d
dx
{
3w
bh0
2 [
Lx − x2
(
2
L
x + 1)
2]} = 0, resolvendo a derivada, obtem-se: x = L/4 
Então a tensão de flexão máxima absoluta será: σmáx =
3w
bh0
2 [
L(
L
4
) − (
L
4
)
2
(
2
L
 x 
L
4
+ 1)
2 ] =
𝐰𝐋𝟐
𝟒𝐛𝐡𝟎
𝟐 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 694 
11.37. A viga afunilada simplesmente apoiada suporta a força concentrada P em seu centro. Determine a tensão de 
flexão máxima absoluta na viga. 
 
 
Figura 11.37 
 
 
 
↶ + ∑ M = 0 ∴ M −
P
2
x = 0 ∴ M =
P
2
x 
r0
L
=
y
x
 ∴ y = (
r0
L
) x ∴ c = y + r0 = (
r0
L
) x + r0 
σ =
Mc
I
=
(
P
2
x)[(
r0
L
)x + r0]
π
4
[(
r0
L
)x + r0]
4 =
2Px
π[(
r0
L
)x + r0]
3, para que σ seja máxima, 
d
dx
σ = 0, logo: 
d
dx
{
2Px
π[(
r0
L
)x + r0]
3} = 0, resolvendo a derivada, obtem-se: x =
L
2
 
Logo, a tensão de flexão máxima absoluta será: σmáx =
2P(
L
2
)
π[(
r0
L
)(
L
2
) + r0]
3 =
𝟖𝐏𝐋
𝟐𝟕𝛑𝐫𝟎𝟑
 
 
 
 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 695 
11.38. Os mancais em A e D exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo. Se τadm = 60 MPa, determine, 
com aproximação de 1 mm, o eixo de menor diâmetro que suportará a carga. Use a teoria da tensão de cisalhamento 
máxima. 
 
 Figura 11.38 
Reações: 
↶ + ∑ MA = 0 ∴ (−5k)(0,3i) + (−5j)(0,6i) + (Dy j – Dz k)(0,9i) = 0 ∴ (1,5 – 0,9Dz)j + (3 – 0,9Dy)k = 0 
1,5 – 0,9Dz = 0 ∴ Dz = 1,667 kN 
 3 – 0,9Dy = 0 ∴ Dy = 3,333 kN 
 
 
|My| = 1 kN.m, |Mz| = 0,5 kN.m e |T| = 0,25 kN.m 
M = √My
2 + Mz
2 = √12 + 0,52 = 1,118034 kN. m 
c = (
2
πτadm
√M2 + T2)
1
3 = (
2
π × 60 × 106
√1.118,0342 + 2502)
1
3
 = 0,023 m = 23 mm 
d = 2c = 2 × 23 = 46 mm 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 696 
11.39. Resolva o Problema 11.38 usando a teoria de falha da energia de distorção máxima com σmáx = 180 MPa. 
 
 
 Figura 11.39 
Reações: 
↶ + ∑ MA = 0 ∴ (−5k)(0,3i) + (−5j)(0,6 i) + (Dyj – Dzk)(0,9i) = 0 ∴ (1,5 – 0,9Dz)j + (3 – 0,9Dy)k = 0 
1,5 – 0,9Dz = 0 ∴ Dz = 1,667 kN 
 3 – 0,9Dy = 0 ∴ Dy = 3,333 kN 
 
 
|My| = 1 kN.m, |Mz| = 0,5 kN.m e |T| = 0,25 kN.m 
M = √My
2 + Mz
2 = √12 + 0,52 = 1,118034 kN. m 
c = [
4
π2σadm2
(4M2 + 3T2)]
1
6 = [
4
π2(180 × 106)2
(4 × 1.118,0342 + 3 × 2502)]
1
6
 = 0,02005 m = 20,05 mm 
d = 2c = 2 × 20,05 = 40,1 mm ≅ 41 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 697 
*11.40. Os mancais em A e D exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo. Se τadm = 60 MPa, 
determine, com aproximação de 1 mm, o eixo de menor diâmetro que suportará a carga. Use a teoria dafalha da tensão 
de cisalhamento máxima. 
 
 
 Figura 11.40 
 
Reações: 
↶ + ∑ MD = 0 ∴ (−2k)(0,35i) + (−3j)(0,75 i) + (Ayj + Azk)(0,95i) = 0 ∴ (0,95Az − 0,7)j + (2,25 – 0,95Ay)k = 0 
0,95Az – 0,7 = 0 ∴ Az = 0,7368 kN 
2,25 – 0,95Ay = 0 ∴ Ay = 2,3684 kN 
 
 
 
|My|= 147,4 N.m, |Mz| = 473,7 N.m e |T| = 150 N.m 
M = √My
2 + Mz
2 = √147,42 + 473,72 = 496,1 N. m 
c = (
2
πτadm
√M2 + T2)
1
3 = (
2
π × 60 × 106
√496,12 + 1502)
1
3
 = 0,0176 m = 17,6 mm 
d = 2c = 2 × 17,6 = 35,3 mm ≅ 36 mm 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 698 
11.41. Os mancais em A e D exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo. Se τadm = 60 MPa, determine, 
com aproximação de 1 mm, o eixo de menor diâmetro que suportará a carga. Use a teoria da energia de distorção 
máxima. σmáx = 130 MPa. 
 
 
 Figura 11.41 
 
Reações: 
↶ + ∑ MD = 0 ∴ (−2k)(0,35i) + (−3j)(0,75i) + (Ayj + Azk)(0,95i) = 0 ∴ (0,95Az − 0,7)j + (2,25 – 0,95Ay)k = 0 
0,95Az – 0,7 = 0 ∴ Az = 0,7368 kN 
 2,25 – 0,95Ay = 0 ∴ Ay = 2,3684 kN 
 
 
|My|= 147,4 N.m, |Mz|= 473,7 N.m e |T| = 150 N.m 
M = √My
2 + Mz
2 = √147,42 + 473,72 = 496,1 N. m 
c = [
4
π2σadm2
(4M2 + 3T2)]
1
6 = [
4
π2(130 × 106)2
(4 × 496,1 + 3 × 1502)]
1
6
 = 0,01713 m = 17,13 mm 
d = 2c = 2 × 17,13 = 34,26 mm ≅ 35 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 699 
11.42. As polias acopladas ao eixo estão carregadas como mostra a figura. Se os mancais em A e B exercem somente 
forças horizontais e verticais sobre o eixo, determine, com aproximação de 1 mm, o diâmetro exigido para o eixo usando 
a teoria de falha da tensão de cisalhamento máxima. τadm = 84 MPa. 
 
 
 Figura 11.42 
 
Reações: 
↶ + ∑ MB = 0 ∴ (−2.000j)(0,6i) + (−2.000k)(2,1i) + (Axj + Azk)(2,4i) = 0 
 (2,4Az − 4.200)j + (1.200 – 2,4Ax)k = 0 
2,4Az – 4.200 = 0 ∴ Az = 1.750 N 
 1.200 – 2,4Ax = 0 ∴ Ax = 500 N 
 
 
|Mx| = 150 N.m, |Mz| = 900 N.m e |T| = 6 N.m 
M = √Mx
2 + Mz
2 = √1502 + 9002 = 912,41 N. m 
c = (
2
πτadm
√M2 + T2)
1
3 = (
2
π × 84 × 106
√912,412 + 62)
1
3
= 0,019052 m = 19,052 mm 
d = 2c = 2 × 19,052 = 38,1 mm ≅ 39 mm 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 700 
11.43. As polias acopladas ao eixo estão carregadas como mostra a figura. Se os mancais em A e B exercerem somente 
forças horizontais e verticais sobre o eixo, determine, com aproximação de 1 mm, o diâmetro exigido para o eixo. Use 
a teoria de falha da energia de distorção máxima. σmáx = 140 MPa. 
 
 
 Figura 11.43 
 
Reações: 
↶ + ∑ MB = 0 ∴ (−2.000j)(0,6i) + (−2.000k)(2,1i) + (Axj + Azk)(2,4i) = 0 
 (2,4Az − 4.200)j + (1.200 – 2,4Ax)k = 0 
2,4Az – 4.200 = 0 ∴ Az = 1.750 N 
 1.200 – 2,4Ax = 0 ∴ Ax = 500 N 
 
 
|Mx|= 150 N.m, |Mz| = 900 N.m e |T| = 6 N.m 
M = √Mx
2 + Mz
2 = √1502 + 9002 = 912,41 N. m 
c = [
4
π2σadm2
(4M2 + 3T2)]
1
6 = [
4
π2(140 × 106)2
(4 × 912,41 + 3 × 62)]
1
6
 = 0,020245 m = 20,245 mm 
d = 2c = 2 × 20,245 = 40,5 mm ≅ 41 mm 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 701 
*11.44. O eixo está apoiado sobre mancais que não oferecem resistência a carga axial. Se a tensão normal admissível 
para o eixo for σadm = 80 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro do eixo que suportará a 
carga. Use a teoria de falha da energia de distorção máxima. 
 
 
 Figura 11.44 
 
 
 
|Mx| = 39,0625 N.m, |My| = 46,01 N.m e |T| = 15 N.m 
M = √Mx
2 + My
2 = √39,06252 + 46,012 = 60,354 N. m 
c = [
4
π2σadm2
(4M2 + 3T2)]
1
6 = [
4
π2(80 × 106)2
(4 × 60,354 + 3 × 152)]
1
6
 = 0,009942 m = 9,942 mm 
d = 2c = 2 × 9,942 = 19,88 mm ≅ 20 mm 
 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 702 
11.45. O eixo está apoiado sobre mancais que não oferecem resistência a carga axial. Se a tensão de cisalhamento 
admissível para o eixo for τadm = 35 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro do eixo que 
suportará a carga. Use a teoria de falha de cisalhamento máxima. 
 
 
 Figura 11.45 
 
 
 
|Mx| = 39,0625 N.m, |My| = 46,01 N.m e |T| = 15 N.m 
M = √Mx
2 + My
2 = √39,06252 + 46,012 = 60,354 N. m 
c = (
2
πτadm
√M2 + T2)
1
3 = (
2
π × 35 × 106
√60,3542 + 152)
1
3
 = 0,01042 m = 10,42 mm 
d = 2c = 2 × 10,42 = 20,84 mm ≅ 21 mm 
 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 703 
11.46. O eixo é suportado por mancais em A e B que exercem sobre o eixo somente as componentes da força nas 
direções x e z. Se a tensão normal admissível para o eixo for σadm = 105 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o 
menor diâmetro do eixo que suportará a carga da engrenagem. Use a teoria de falha da energia de distorção máxima. 
 
 Figura 11.46 
Reações: 
↶ + ∑ MB = 0 ∴ (−1.250i)(0,1j) + (−250k)(0,3i) + (Azk – Axi)(0,5j) + (1.000i)(0,7j) = 0 
 (75 − 0,5Az)i + (575 – 0,5Ax)k = 0 
75 – 0,5Az = 0 ∴ Az = 150 N 
 575 – 0,5Ax = 0 ∴ Ax = 1.150 N 
 
 
|Mx| = 0 N.m, |Mz| = 200 N.m e |T| = 100 N.m 
M = √Mx
2 + Mz
2 = √02 + 2002 = 200 N. m 
c = [
4
π2σadm2
(4M2 + 3T2)]
1
6 = [
4
π2(105 × 106)2
(4 × 200 + 3 × 1002)]
1
6
 = 0,013826 m = 13,826 mm 
d = 2c = 2 × 13,826 = 27,65 mm ≅ 28 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 704 
11.47. O eixo é suportado por mancais em A e B que exercem sobre o eixo somente as componentes da força nas 
direções x e z. Se a tensão normal admissível para o eixo for σadm = 105 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o 
menor diâmetro do eixo que suportará a carga da engrenagem. Use a teoria de falha da tensão de cisalhamento máxima 
com τadm = 42 MPa. 
 
 Figura 11.47 
 
↶ + ∑ MB = 0 ∴ (−1.250i)(0,1j) + (−250k)(0,3i) + (Azk – Axi)(0,5j) + (1.000i)(0,7j) = 0 
 (75 − 0,5Az)i + (575 – 0,5Ax)k = 0 
75 – 0,5Az = 0 ∴ Az = 150 N 
 575 – 0,5Ax = 0 ∴ Ax = 1.150 N 
 
 
|Mx| = 0 N.m, |Mz| = 200 N.m e |T| = 100 N.m 
M = √Mx
2 + Mz
2 = √02 + 2002 = 200 N. m 
c = (
2
πτadm
√M2 + T2)
1
3 = (
2
π × 42 × 106
√2002 + 1002)
1
3
 = 0,015021 m = 15,02 mm 
d = 2c = 2 × 15,02 = 30,04 mm ≅ 31 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 705 
*11.48. A polia acoplada à extremidade do eixo está sujeita à carga mostrada na figura. Se os mancais em A e B 
exercerem somente as componentes y e z da força sobre o eixo, determine o torque de equilíbrio T na engrenagem C e 
então determine, com aproximação de 1 mm, omenor diâmetro do eixo que suportará a carga. Use a teoria de falha da 
tensão de cisalhamento máximacom τadm = 60 MPa. 
 
 
 Figura 11.48 
 
50F = T ∴ F = T/50 ∴ T’ = 75F = (75)(T/50) = 1,5T 
↶ + ∑ M = 0 ∴ T’ – 150 = 0 ∴ 1,5T – 150 = 0 ∴ T = 100 N 
 
 
|My| = 225 N.m, |Mz| = 0 N.m e |T| = 150 N.m 
M = √My
2 + Mz
2 = √2252 + 02 = 225 N. m 
c = (
2
πτadm
√M2 + T2)
1
3 = (
2
π × 60 × 106
√2252 + 1502)
1
3
 = 0,01421 m = 14,21 mm 
d = 2c = 2 × 14,21 = 28,4 mm ≅ 29 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 706 
11.49. A polia acoplada à extremidade do eixo está sujeita à carga mostrada na figura. Se os mancais em A e B exercerem 
somente as componentes y e z da força sobre o eixo, determine o torque de equilíbrio T na engrenagem C e então 
determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro do eixo que suportará a carga. Use a teoria de falha de energia 
de distorção máxima com σmáx = 80 MPa. 
 
 Figura 11.49 
 
50F = T ∴ F = T/50 ∴ T’ = 75F = (75)(T/50) = 1,5T 
↶ + ∑ M = 0 ∴ T’ – 150 = 0 ∴ 1,5T – 150 = 0 ∴ T = 100 N 
 
 
|My| = 225 N.m, |Mz| = 0 N.m e |T| = 150 N.m 
M = √My
2 + Mz
2 = √2252 + 02 = 225 N. m 
c = [
4
π2σadm2
(4M2 + 3T2)]
1
6 = [
4
π2(80 × 106)2
(4 × 225 + 3 × 1502)]
1
6
 = 0,01605 m = 16,05 mm 
d = 2c = 2 × 16,05 = 32,1 mm ≅ 33 mm 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 707 
11.3 - PROBLEMAS DE REVISÃO 
11.50. Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo, em seguida, determine o diâmetro exigido 
com aproximação de 1 mm se σadm = 140 MPa e τadm = 80 MPa. Os mancais em A e B exercem somente reações 
verticais sobre o eixo. 
 
Figura 11.50 
 
 
↶ + ∑ MA = 0 ∴ 0,8RB – 1.500 × 0,725 – 800 × 0,125 = 0 ∴ RB = 1.484,4 N 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 1.484,4 – 800 – 1.500 = 0 ∴ RA = 815,6 N 
 
 
|Mmáx| = 111,33 N.m e |Vmáx| = 1.484,4 N 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 140 × 106 =
111,33c
π
4
c4
 ∴ c = 0,010041 m = 10,041 mm 
d = 2c = 2 × 10,041 = 20,082 mm ≅ 21 mm 
τmáx =
VmáxQmáx
It
=
(1.484,4)(
2
3
 × 10,0323)
(
π
4
 × 10,0324 × 20,064)
 = 6,26 MPa < τadm = 80 MPa Ok! 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 708 
11.51. A viga em balanço tem seção transversal circular. Se ela suportar uma força P em sua extremidade, determine 
seu raio y em função de x, de modo que seja submetida a uma tensão de flexão máxima constante σmáx em todo o seu 
comprimento. 
 
 Figura 11.51 
*11.52. A viga simplesmente apoiada é feita de madeira com tensão de flexão admissível σadm = 8 MPa e tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 750 kPa . Determine suas dimensões se ela tiver de ser retangular e a relação 
altura/largura tiver se ser h/b = 1,25. 
 
 Figura 11.52 
↶ + ∑ MA = 0 ∴ 6RB – 0,5 × 300 × 3 × 2 = 0 ∴ RB = 150 N 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 150 – 0,5 × 300 × 3 = 0 ∴ RA = 300 N 
 
 
|Mmáx| = 489,9 N.m e |Vmáx| = 300 N 
σadm =
Mmáxc
I
 ∴ 8 × 106 =
(489,9)(0,625b)
1
12
b(1,25b)3
 ∴ b = 0,06172 m = 61,7 mm 
h = 1,25b = 1,25 × 61,72 = 77,2 mm 
τmáx =
1,5Vmáx
A
=
1,5 × 300
61,72 × 1,25 × 61,72
 = 0,0945 MPa = 94,5 kPa < τadm = 750 kPa Ok! 
↶ + ∑ M = 0 ∴ M – Px = 0 ∴ M = Px 
σadm =
Mmáxc
I
=
(Px)y
π
4
y4
=
4Px
πy3
 ∴ 𝐲 = [
𝟒𝐏
𝛑𝛔𝐚𝐝𝐦
𝐱]
𝟏
𝟑
 
 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 709 
11.53. A viga tem a forma de um tronco de cone reto com diâmetro de 0,3 m em A e diâmetro de 0,6 m em B. Se 
suportar um momento de 12 kN.m em sua extremidade, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e 
especifique sua localização x. 
 
Figura 11.53 
 
↶ + ∑ M = 0 ∴ M – 12 = 0 ∴ M = 12 kN.m 
0,15 
y
=
1,8
x
 ∴ y = 0,08333x ∴ c = 0,15 + y = 0,15 + 0,08333x 
σ =
Mc
I
=
(12 × 103)(0,15 + 0,08333x)
π
4
(0,15 + 0,08333x)4
=
48 × 103
π(0,15 + 0,08333x)3
, para que σ seja máxima, 
d
dx
σ = 0, logo: 
d
dx
[
48 × 103
π(0,15 + 0,08333x)3
] = 0, como σ é uma função decrescente, a tensão máxima de flexão ocorre em x = 0. 
Sendo assim, a tensão de flexão máxima absoluta será: σmáx =
(48 × 103)
π(0,15 + 0,08333 × 0)
 = 4,527 MPa 
11.54. Selecione no Apêndice B a viga com avanço de abas largas de aço que tenha o menor peso e que suportará com 
segurança as cargas. Considere que o apoio em A é um pino e que o apoio em B é um rolete. A tensão de flexão admissível 
é σadm = 168 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm = 100 MPa. 
 
 Figura 11.54 
 
↶ + ∑ MA = 0 ∴ 2,4RB – 10 × 3 – 10 × 4,2 = 0 ∴ RB = 30 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ 30 − RA – 10 – 10 = 0 ∴ RA = 10 kN 
Continua... 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 710 
 
|Mmáx| = 24 kN.m e |Vmáx| = 20 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
24 × 103
168 × 106
 = 1,4286 × 10-4 m3 = 142,86 × 103 mm3 
Selecionado: W250 × 18 (Sx = 179 × 10³ mm³, d = 251 mm, talma = 4,83 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
20 × 103
251 × 4,83
 = 16,5 MPa < τadm = 100 MPa Ok! 
11.55. Os mancais em A e B exercem somente as componentes x e z das forças sobre o eixo de aço. Determine, com 
aproximação de 1 mm, o diâmetro do eixo, de modo que ele possa resistir às cargas das engrenagens sem ultrapassar 
uma tensão de cisalhamento admissível de τadm = 80 MPa. Use a teoria de falha da tensão de cisalhamento máxima. 
 
 Figura 11.55 
↶ + ∑ MB = 0 ∴ (−7,5k)(0,25j) + (−5i)(0,6j) + (Axi + Azk)(0,75j) = 0 
 (1,875 − 0,75Az)i + (0,75Ax – 3)k = 0 ∴ 1,875 – 0,75Az = 0 ∴ Az = 2,5 kN 
0,75Ax – 3 = 0 ∴ Ax = 4 kN 
 
 
M = √Mx
2 + My
2 = √1.2502 + 2502 = 1.274,75 N. m 
c = (
2
πτadm
√M2 + T2)
1
3 = (
2
π x 80 x 106
√1.274,752 + 3752)
1
3
= 0,02195 m = 21,95 mm 
d = 2c = 2 × 21,95 = 43,9 mm ≅ 44 mm 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 711 
*11.56. Os mancais em A e B exercem somente as componentes x e z das forças sobre o eixo de aço. Determine, com 
aproximação de 1 mm, o diâmetro do eixo, de modo que ele possa resistir às cargas das engrengens sem ultrapassar uma 
tensão de cisalhamento admissível τadm = 80 MPa. Use a teoria de falha da energia de distorção máxima com σadm =
200 MPa. 
 
 
 Figura 11.56 
 
↶ + ∑ MB = 0 ∴ (−7,5k)(0,25j) + (−5i)(0,6j) + (Axi + Azk)(0,75j) = 0 
 (1,875 − 0,75Az)i + (0,75Ax – 3)k = 0 ∴ 1,875 – 0,75Az = 0 ∴ Az = 2,5 kN 
 0,75Ax – 3 = 0 ∴ Ax = 4 kN 
 
 
 
 
|Mx| = 1.250 N.m, |My| = 250 N.m e |T| = 375 N.m 
M = √Mx
2 + My
2 = √1.2502 + 2502 = 1.274,75 N. m 
c = [
4
π2σadm2
(4M2 + 3T2)]
1
6 = [
4
π2(80 × 106)2
(4 × 1.274,75 + 3 × 3752)]
1
6
 = 0,02031 m = 20,31 mm 
d = 2c = 2 × 20,31 = 40,62 mm ≅ 41 mm 
 
Projeto de Vigas e Eixos 
Resolução: Steven Róger Duarte dosSantos, 2016 712 
11.57. Selecione no Apêndice B a viga de abas largas de aço que tenha o menor peso e que suportará com segurança as 
cargas mostradas. A tensão de flexão admissível é σadm = 160 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm = 84 
MPa. 
 
 
Figura 11.57 
 
 
Reações: 
↶ + ∑ MA = 0 ∴ 9RB – 40 × 6 – 50 × 4,5 – 40 × 3 = 0 ∴ RB = 65 kN 
↑ + ∑ Fy = 0 ∴ RA + 65 – 40 – 50 − 40 = 0 ∴ RA = 65 N 
 
 
|Mmáx| = 232,5 kN.m e |Vmáx| = 65 kN 
Sreq =
Mmáx
σadm
=
232,5 × 103
160 × 106
 = 1,453 × 10-3 m3 = 1.453 × 103 mm3 
Selecionado: W460 × 74 (Sx = 1.460 × 10³ mm³, d = 457 mm, talma = 9,02 mm) 
τmáx =
Vmáx
A
=
65 × 103
457 × 9,02
 = 15,77 MPa < τadm = 84 MPa Ok!