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Aula 04 Cálculos usando propriedades dos limites 20180327
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Aula 04 - Cálculos usando propriedades dos limites.ppsx
EFB105
Cálculo Diferencial e Integral I
1º Bimestre – Aula 04
Cálculos usando propriedades dos limites
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Parte A – Atividade
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
+ Exemplos
Item 1
2
1
4
Parte A – Atividade
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
+ Exemplos
Item 2
3
1
Parte A – Atividade
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Item 3
2
2
Propriedades dos limites
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
+ Exemplos
Parte A – Atividade
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Item 6
Item 5
5
5
5
5
2
-2
0
1
Parte A – Atividade
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
+ Exemplos
Item 7
Item 8
2
2
Propriedades dos limites
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Propriedades dos limites
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Extra: Calcule:
Pense um pouco!
Propriedades dos limites
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Exemplos Resolvidos: Calcule:
Extra: Calcule os limites:
Propriedades dos limites
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(p. 98) Calcule:
(Ex. 48, p. 99) Seja
Propriedades dos limites
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(Extra) Use propriedades dos limites para encontrar o limite indicado, ou justifique por que o limite não existe.
Teorema do Confronto
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Exemplos: Calcule:
EFB105
Cálculo Diferencial e Integral I
1º Bimestre – Aula 04
Cálculos usando propriedades dos limites
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Aula 04 - Flipped Classroom - Atividade.pdf
EFB105 – Cálculo Diferencial e Integral I
1 EFB105 – 2018
Aula 04 – Cálculos usando propriedades dos limites
Atividade Flipped Classroom
Parte A:
1. Na Figura 01, são vistos os gráficos de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 1, 𝑔(𝑥) = √𝑥 e ℎ(𝑥) = 2𝑓(𝑥) = 2(3𝑥2 − 1).
Figura 01
Calcule:
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) =
lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) =
lim
𝑥→1
ℎ(𝑥) =
2. Considere, na Figura 02, os gráficos das combinações de funções 𝑖(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 1 + √𝑥
e 𝑗(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 1 − √𝑥 .
Figura 02
Calcule:
lim
𝑥→1
𝑖(𝑥) =
lim
𝑥→1
𝑗(𝑥) =
EFB105 – Cálculo Diferencial e Integral I
2 EFB105 – 2018
3. Considere, na Figura 03, os gráficos de 𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = √𝑥 (3𝑥2 − 1) e 𝑙(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
3𝑥2−1
√𝑥
.
Figura 03
Calcule:
lim
𝑥→1
𝑘(𝑥) =
lim
𝑥→1
𝑙(𝑥) =
4. CONCLUSÃO:
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =
lim
𝑥→𝑎
[𝑐𝑓(𝑥)] =
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] =
lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] = , se lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0.
5. Considerando a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 1 (vide gráfico na Figura 01) e as conclusões do item anterior,
calcule:
lim
𝑥→1
[𝑓(𝑥)]2 =
CONCLUSÃO: lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = , em que 𝑛 é um inteiro positivo.
EFB105 – Cálculo Diferencial e Integral I
3 EFB105 – 2018
6. Calcule:
lim
𝑥→2
5 = lim
𝑥→−2
5 = lim
𝑥→0
5 = lim
𝑥→1
5 =
lim
𝑥→2
𝑥 = lim
𝑥→−2
𝑥 = lim
𝑥→0
𝑥 = lim
𝑥→1
𝑥 =
CONCLUSÃO:
lim
𝑥→𝑎
𝑐 = lim
𝑥→𝑎
𝑥 =
7. Com base nos resultados dos itens 5 e 6, conclua:
lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 = , em que 𝑛 é um inteiro positivo.
8. Considere, na Figura 04, os gráficos das funções 𝑚(𝑥) = 3𝑥 − 2 e 𝑛(𝑥) = √3𝑥 − 2.
Figura 04
Calcule:
lim
𝑥→2
𝑛(𝑥) =
√lim
𝑥→2
𝑚(𝑥) =
CONCLUSÃO: lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛 = , em que 𝑛 é um inteiro positivo e se 𝑛 for par e lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) > 0.
Parte B (resolva em seu caderno):
Propriedade de Substituição Direta:
Se 𝑓 for uma função polinomial ou racional e 𝑎 estiver no domínio de 𝑓, então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
EFB105 – Cálculo Diferencial e Integral I
4 EFB105 – 2018
(Extra) Calcule:
lim
𝑥→3
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= lim
𝑥→4+
(6𝑥 − 21)3
𝑥 − 4
= lim
ℎ→0
√16 + ℎ − 4
ℎ
= lim
𝑥→−1
𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥
𝑥4 + 𝑥3 + 2𝑥 + 2
=
(Extra) Calcule:
lim
𝑥→3
𝑥2 − 𝑥 − 6
𝑥2 − 9
= lim
𝑥→−3
√1 − 𝑥 − 2
𝑥 + 3
= lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥3 − 8
=
lim
𝑥→2
1
𝑥 −
1
2
𝑥 − 2
=
lim
𝑥→2
𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 8
𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥 − 2
=
(Ex. 48, p. 99) Seja 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 1, se 𝑥 < 1
(𝑥 − 2)2, se 𝑥 ≥ 1
(a) Encontre lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥).
(b) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) existe?
(c) Esboce o gráfico de 𝑓.
(Extra) Use propriedades dos limites para encontrar
o limite indicado, ou justifique por que o limite não
existe.
(a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2−9
𝑥−3
, se 𝑥 ≠ 3
5, se 𝑥 = 3
(a.1) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) (a.2) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) (a.3) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥)
(b) 𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥, se 𝑥 < 1
2, se 𝑥 = 1
𝑥2 + 2, se 𝑥 > 1
(b.1) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) (b.2) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) (b.3) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)
Teorema do Confronto:
Se 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) para 𝑥 → 𝑎 e lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿,
então lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿.
Calcule:
lim
𝑥→0
𝑥4 cos (
𝜋
𝑥
) = lim
𝑥→0+
𝑒−
1
𝑥 sen (
2𝜋
𝑥
) =
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