Aulas Marcos 2016 (1)

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Marcos Roberto Gonzaga
Departamento de Demografia e Ciências Atuariais - UFRN
Teoria do Risco e Credibilidade
Bibliografia Básica:
1) Modern Actuarial Risk – Using R
2) Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo
3) Non-Life Insurance Mathematics
Modelos de Risco Individual e Coletivo
Objetivo:
Modelar um componente importante no processo de precificação do 
prêmio de um seguro de curto prazo (nonlife insurance).
Em ambos os modelos o valor total de sinistros pagos em uma 
carteira em 1 ano (S) é a v.a. de interesse.
Desejamos conhecer as propriedades estatísticas de S.
Modelos de Risco Individual e Coletivo
a) Modelo de Risco Individual
Onde:
X1X2...Xn e Xi = Ii Bi
Sendo:
Sind  v.a. “valor total das indenizações na carteira em 1 ano” ou 
“valor do sinistro agregado da certeira em 1 ano”;
n  número de apólices;
Xi  v.a. associada ao sinistro da apólice i em 1 ano;
Ii  v.a. “ocorrência do sinistro da apólice i em 1 ano”
Bi  v.a. “valor do sinistro da apólice i dado que o sinistro ocorreu 
em 1 ano”.
n
ind XXXS  21
- Questão central: encontrar a distribuição de probabilidade de S
- Hipóteses:
a) Xi: independentes, mas não iid.
b) Xi: nem sempre são puramente discretas ou contínuas
- Técnicas:
a) Convolução
b) Transformadas (fgm)
c) Aproximação Normal (TCL)
d) Aproximações Refinadas (Gamma Transformada)
e) Modelo de risco coletivo: métodos recursivos
Modelos de Risco Individual
Modelos de Risco Individual
Modelos de Risco Individual
Exemplo 1: Uma seguradora procura por um resseguro ótimo para uma carteira 
de 20.000 vidas cujas apólices têm vigência de 1 ano, agrupadas como segue:
Modelos Compostos e Riscos
- A probabilidade de morte em um ano é qk = 0,01 para cada segurado.
- As apólices são independentes.
- A seguradora deseja otimizar a probabilidade de cumprir sua obrigações 
financeiras e decide procurar pela melhor retenção (valor máximo do sinistro por 
apólice), sendo que o excedente será pago pelo resseguro.
- Com o recebimento dos prêmios a seguradora adquire um capital B do qual ela 
tem que pagar os sinistros e o prêmio do resseguro (assume-se que esse prêmio 
supera o prêmio líquido em 20%.
- Assumindo uma retenção igual a 2, calcule o valor esperado e a variância para a 
indenização total S da seguradora.
Exemplo 1 (continuação): 
a) Qual a probabilidade de que o custo S mais o prêmio de resseguro exceda um 
capital disponível B?
Modelos Compostos e Riscos
b) Modelo de Risco Coletivo
Xi é uma v.a. representando a quantia resultante do i-ésimo sinistro .
N representa a v.a. número de sinistros.
O modelo é de risco coletivo para S pelo fato de que existe um 
termo na soma para cada sinistro e não para cada apólice.
NXXS  1
Modelos de Risco Coletivo
Neste modelo, assumimos que:
- X1, X2,..., são v.a. iid e 
- Xi  N na soma.
N é uma v.a. que, geralmente, segue uma Distribuição Poisson, mas 
pode ser modelada por outras distribuição, como Binomial ou 
Binomial Negativa.
No modelo de risco coletivo modelamos S como uma distribuição 
combinada (Compounded Distribution). 
Modelos de Risco Coletivo
Seja N a v.a. “números de sinistros ocorridos em 1 ano”.
Então, pelo modelo de risco individual, se a carteira possuiu n 
apólices, definimos N como sendo:
Distribuições para o número de sinistros no modelo individual
Sob o pressuposto de que o valor do sinistro é constante e igual a 1 e 
que as probabilidades de sinistros também são constantes e iguais a 
q, temos que a v.a. “números de sinistros” se confunde com a v.a. 
“valor total dos sinistros”, pois:
Sabemos que Sind segue uma distribuição Binomial (n, q) – porque?
Logo,
Distribuições para o número de sinistros no modelo individual
Então:
Sendo este o modelo probabilístico utilizado nos seguros de vida, 
onde o número médio de mortes ocorridas em 1 ano (dx) é estimado 
por:
onde:
Distribuições para o número de sinistros no modelo individual
apólices
Se n é muito grande, temos que a distribuição de N pode ser 
aproximada por uma Normal.
Exercício 1
Considere uma carteira de seguros com 10.000 apólices, onde cada 
apólice possui probabilidade anual de sinistro igual a 0,01.
a) Calcular o número esperado de sinistros em 1 ano e o respectivo 
desvio-padrão.
b) Aproximando a distribuição de N por uma Normal, qual é a 
probabilidade de o número de sinistros em 1 ano ser superior a 
120
Distribuições para o número de sinistros no modelo individual
Principais resultados para trabalhar com o modelo de risco coletivo:
• Todos esses resultados dependem das distribuições (paramétricas 
ou não) de X e N.
• Para X já vimos algumas distribuições paramétricas aplicáveis 
(capítulo 4).
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Vamos ver agora algumas distribuições aplicáveis a N:
• Poisson
• Binomial Negativa
Distribuição Poisson para N:
A v.a. “número de sinistros” segue um processo Poisson quando:
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Para entender as condições anteriores, vamos lembrar da 
distribuição Poisson como aproximação para a distribuição 
binomial.
Suponha que temos a seguinte situação: uma segurara recebe a 
notificação de um sinistro a todo instante de tempo.
Suponha que em um período de 3 horas (180 minutos) ocorra um 
total de 270 sinistros, ou seja, 270/180=1,5 sinistros por minuto.
Observando este fenômeno é razoável concluir que, a qualquer 
instante k, um sinistro é tão provável ocorrer como em qualquer 
outro instante. Então, a probabilidade de ocorrência de 1 sinistro 
permanece constante de momento a momento.
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Vamos reduzir o intervalo de tempo de forma que possamos tratar 
este fenômeno com um processo Bernoulli:
Vamos reduzir o intervalo de três horas para três minutos e 
subdividi-lo em k = 9 intervalos de 20 segundos cada um.
Veja que podemos tratar cada um desses k = 9 intervalos como uma 
prova de Bernoulli, durante a qual observaremos NENHUM sinistro 
(sucesso) ou UM sinistro (falha), com p(falha) = q = 0,5.
Ignorando a possibilidade de ocorrência de mais de um sinistro no 
intervalo experimental de 20 segundos, qual a probabilidade de 2 
sinistros durante o intervalo de 3 minutos? Calcule E(N).
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Um problema com essa aproximação é que se for possível mais de 1 
sinistro no intervalo de 20 segundos, a binomial não se aplicaria, 
pois não estaríamos considerando a dicotomia: ocorre ou não ocorre 
um sinistro.
Uma forma de assegurarmos que no máximo 1 sinistro ocorrerá 
durante um certo intervalo de tempo é fazer esse intervalo cada vez 
menor. 
Então, ao invés de considerarmos k = 9 intervalos de 20 segundos, 
vamos considerar k = 18 intervalos de 10 segundos. Neste caso, 
temos um experimento com 18 provas de Bernoulli. Digamos, 
agora, que a p(falha) = q = 0,25 .
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Recalculando P(2 sinistros durante 3 minutos), temos:
𝑃 𝑁 = 𝑛 =
18
2
0,25 2 0,75 16
Observe que esta binomial é diferente da anterior. Agora temos 𝑘 =
18, 𝑞 = 0,25 e antes tínhamos 𝑘 = 9, 𝑞 = 0,5.
Calcule agora a E(N)!
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Conclusão, o número esperado de sinistros continua o mesmo (4,5).
Veja que, se continuarmos aumentando o número de subintervalos 
(k), faremos decrescer a p(falha) de tal maneira que E(N)=kq fique 
constante.
Então, o que acontece com as probabilidade binomiais
𝑃 𝑁 = 𝑛 =
𝑘
𝑛𝑞𝑛 1 − 𝑞 𝑘−𝑛
se 𝑘 → ∞ e 𝑞 → 0 de tal maneira que kq permaneça constante?
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Na Binomial:
𝑃 𝑁 = 𝑛 =
𝑘
𝑛
𝑞𝑛 1 − 𝑞 𝑘−𝑛
fazendo:
𝑘𝑞 = 𝜆 , 𝑞 =
𝜆
𝑘
, 1 − 𝑞 = 1 −
𝜆
𝑘
=
𝑘−𝜆
𝑘
depois, tomando lim
𝑘→∞
𝑃 𝑁 = 𝑛 matendo 𝑘𝑞 = 𝜆, temos que:
lim
𝑘→∞
𝑃 𝑁 = 𝑛 =
𝑒−𝜆𝜆𝑛
𝑛!
→ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Comentários:
a) A conclusão anterior diz, essencialmente, que podemos obter 
uma aproximação das probabilidades binomiais com as 
probabilidades da distribuição Poisson toda vez que k for grande 
e q for pequeno.
b) Se N tiver uma distribuição bimonial (k,q), E(N)=kq. Se N tiver 
uma distribuição Poisson(), E(N)= .
c) O parâmetro  da distribuição Poisson representa o número 
esperado de falhas (sinistros) por unidade de tempo.
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Assim,
Ou seja,
No modelo de risco anual:
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Se N ~ Poisson (), temos que:
A FGM para N é:
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Se T representa a v.a. “intervalo de tempo entre 2 sinistros”, temos 
que:
pois,
onde: = tempo médio entre dois sinistros.
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Distribuição Binomial Negativa para N:
Em sucessivas realizações independentes de um experimento 
Bernoulli (p), onde p é constante, a distribuição do número de 
fracassos (ou falhas) até atingir o r-ésimo sucesso é Binomial 
Negativa (r, p).
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Propriedades importantes da Distribuição Binomial Negativa 
para N:
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Exercício 1:
O coeficiente de sinistralidade sobre o prêmio puro para um 
conjunto de apólices num período é definido por:
R=S/P, onde S representa o sinistro agregado e P o prêmio puro 
agregado no período.
Suponha que:
a) P = E(X)E(N)(1+);
b) Todas as apólices iniciam sua vigência no início do período e 
terminam suas vigências no final do período.
Achar uma expressão para E(R) e V(R).
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Exercício 2:
Obter uma expressão para V(R) quando N ~ Poisson ().
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Exercícios fixação para Prova da Unidade II:
Observação: entregar os resolvidos (valendo ponto de participação)
Parte I:
Todos os exercícios no final das unidades III (pág. 44), IV (pág. 57) 
e V (pág. 71) do livro do Paulo Pereira Ferreira.
Distribuições para o número de sinistros no modelo coletivo
Veremos ver as principais distribuições para o 
sinistro agregado e as principais características 
dessas distribuições.
Veremos também algumas aproximações, com 
destaque para distribuição Normal.
Distribuições para o sinistro agregado 
Distribuição Poisson Composta para Scol
Se N ~ Poisson ()  Scol ~ Poisson Composta (, P(x)):
Onde:
Distribuições para o sinistro agregado 
Na prática não teremos uma quantidade relevante de dados para 
estimar uma distribuição empírica adequada para N. A Poisson é a 
primeira escolha por sua utilidade para descrever eventos raros (Kaas
et al, 2009).
Função Geratriz de Momentos da Poisson Composta para Scol
Sabemos que a FGM de Scol é:
Sabemos, também, que a FGM da Poisson é:
Logo, a FGM da Poisson Composta para Scol é:
Distribuições para o sinistro agregado 
Momentos da Poisson Composta para Scol
Já vimos que:
Encontre a E[S], V[S] e o terceiro momento central para S se N ~ 
Poisson ().
Distribuições para o sinistro agregado 
Solução:
Se N ~ Poisson (), temos que E[N] =  = V[N]. Logo:
Distribuições para o sinistro agregado 
Exercício 1 (Exemplo 1 pág. 74 modificado):
Considere uma carteira de seguros que produz 0, 1 ou 2 sinistros, 
sendo que a probabilidade de ocorrência de n sinistros segue uma 
distribuição Poisson (=2), e sendo a distribuição de X idêntica à do 
exemplo 1 do capítulo 3. Calcule:
Distribuições para o sinistro agregado 
Distribuições para o sinistro agregado 
Propriedades da Poisson Composta
Teorema 1:
Distribuições para o sinistro agregado 
Propriedades da Poisson Composta
Consequências:
Distribuições para o sinistro agregado 
Teorema 2:
Distribuições para o sinistro agregado 
Teorema 2:
Distribuições para o sinistro agregado 
Aplicabilidade e operacionalização dessas propriedades:
Exercício 2:
Distribuições para o sinistro agregado 
Distribuição Binomial Negativa Composta para Scol
Se N ~ BinNeg (r,p)  Scol ~ BinNeg Composta (r,p, P(x)):
Onde:
Distribuições para o sinistro agregado 
Função Geratriz de Momentos da BinNeg Composta para Scol
Sabemos que a FGM de Scol é:
Sabemos, também, que a FGM da Binomial Negativa é:
Logo, a FGM da Binomial Negativa para Scol é:
Distribuições para o sinistro agregado 
Momentos da Binomial Negativa Composta para Scol
Já vimos que:
Encontre a E[S], V[S] para S se N ~ Binomial Negativa (r,p).
Distribuições para o sinistro agregado 
Aproximação Normal para Scol
Sabemos que:
Sendo X ~ iid e o número de sinistro suficientemente grande, S terá 
distribuição aproximadamente normal com média E(S) e variância 
V(S):
Como já vimos, esse resultado viabiliza o cálculo do prêmio puro 
total de modo que:
Distribuições para o sinistro agregado 
O valor de P pode ser visualizado graficamente por:
Distribuições para o sinistro agregado 
Aproximação Normal quando Scol ~ Poisson Composta (, P(x))
Sabemos que:
Então:
=
Distribuições para o sinistro agregado 
Exercício 3:
A distribuição da variável aleatória “valor de 1 sinistro” (X) de três 
carteiras é:
Distribuições para o sinistro agregado 
c) Compare a variabilidade de X entre as carteiras
Distribuições para o sinistro agregado 
Aproximação Normal quando Scol ~ BinNeg Composta (r,p, P(x))
Sabemos que:
Então:
=
Distribuições para o sinistro agregado 
Distribuições para o sinistro agregado 
Exercício 4:
Distribuições para o sinistro agregado 
Exercício 5:
Distribuições para o sinistro agregado