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Calculo Diferencial e Integral II 				Profª Maria Helena Campanelli
Integração						
Introdução.
Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida, e o objetivo é encontrar a função original.
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado “antiderivação” ou integração.
Primitiva (ou antiderivada)
Uma função f(x) é chamada de primitiva (ou anti-derivada) da função f(x) se, e somente se f’(x) = f(x), para todo x do domínio de f.
Exemplo:
Verifique se f(x) = é uma primitiva de f(x) x2+5
f’(x) = 
como f’(x) = f(x), então f(x) é primitiva de f(x).
“Toda função admite uma infinidade de primitivas”.
f(x) = x3 é primitiva de f(x) = 3x2, pois f’(x) = 3x2 = f(x)
g(x) = x3+1 é primitiva de f(x) = 3x2, pois g’(x) = 3x2=f(x)
h(x) = x3-5 é primitiva de f(x) = 3x2, pois h’(x) = 3x2=f(x)
Portanto, as primitivas de uma função diferem entre si por uma constante.
Se f(x) é g(x) são primitivas de f(x), então existe uma constante c tal que g(x) = f(x) + c.
Notação de Integral.
Escrevemos para expressar todas as primitivas de f(x).
 é chamado de sinal de integração
f(x): é chamado de integrando.
c: constante de integração
dx: indica que x é a variável em relação à qual a integração deve ser executada.
Exemplo: .
Integral indefinida
A integração é o inverso da derivação. Assim muitas regras de integração podem ser obtidas pelas regras de derivação correspondentes.
4.1 A regra da potência para integrais 
De fato, pois 
4.2 Integral de 
Se x > 0 
Se x < 0 
Exemplos:
4.3 Integral de ex .
4.4 Integral de senx
 
4.5 Integral de cosx
4.6 Regra do produto por uma constante para integrais
 para qualquer constante c.
4.7 Regra de soma para integrais
Exemplos:
Encontre uma função f(x) cuja tangente tem inclinação 3x2 + 1 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (2, 6).
Solução:
Para x = 2 temos f(2)=6
Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa cidade estará variando a uma taxa de pessoas por mês. A população atual é de 5000. Qual será a população daqui a 9 meses?
Solução: 
mas P(0) = 5000, logo P (0) = 2.0 = 4.0 +c
5000 = c
Assim temos: P(x) = 2x + 4x+5000
P(9) = 2.9 + 4.9.
P(9) = 18 + 108+5000=5126
Após a aplicação dos freios um carro desacelera a uma taxa constante de 22m/s2. Se o carro está viajando a 66 m/s no momento em que os freios são acionados, que distancia ele percorre antes de parar por completo.
Solução:
a(t) = -22 (o sinal de negativo indica que o carro está diminuindo a velocidade)
a(t) = 
O automóvel para quando v=0
v(t) - -22t + 66
0 = -33t + 66
22t = 66
T= 3
Método de integração por substituição.
Dada uma integral não imediata, podemos transformá-la através de uma substituição de variável conveniente, numa integral imediata.
Exemplos:
 
 
 
O Processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a derivada de uma dada função nos queremos descobrir a função. Podemos obter uma tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das funções elementares.
Exemplos:
1º) Sabemos que (sem x)’ = cos x, então 
2º) (cos x )’ = - sem x 3º) 
Tabela de Integrais imediatas.
F (1) = 
F(2) = 
F(3) = 
F(4) = 
F(5) = 
F(6) = 
F(7) = 
F(8) = 
F(9) = 
F(10) = 
F(11) = 
F(12) = 
F(13) = 
F(14) = 
Exercícios.
Calcular:
1º) 
2º) 
3º) 
4º) 
5º) 
6º) 
7º) 
8º) 
9º) 
10º) 
F(15) = 
11º) 
F(16) = 
12º) 
13º) 
F(17) = 
F(18) = 
15º) 
16º) 
F(19) = 
17º) 
F(20) = 
F(21) = 
18º) 
19º) 
20º) 
21º) 
22º) 
23º) 
Integração de uma função do tipo f(ax+b).
F(22) = 
Dem:
 
Exemplos:
1º) 
2º) 
3º) 
4º) 
5º) 
6º)