Pontes com duas longarinas

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INSTITUTO MAUÁ DE TECNOLOGIA 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
ETC 307 - PONTES I 
Exemplo – Pontes com duas longarinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Sander David Cardoso 
 
 
Março de 2015 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 1 
2. DOCUMENTOS DE REFERÊNCIA .............................................................................................. 1 
3. DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA ..................................................................................................... 1 
4. MATERIAIS ...................................................................................................................................... 3 
5. AÇÕES CONSIDERADAS ............................................................................................................... 3 
5.1 Cargas permanentes (g) ............................................................................................................... 3 
5.2 Cargas móveis (q) ....................................................................................................................... 3 
5.3 Cargas nos passeios (q’) .............................................................................................................. 5 
5.4 Frenagem e aceleração (Hf) ......................................................................................................... 5 
5.5 Empuxo de solo (Es) ................................................................................................................... 5 
5.6 Empuxo de solo provocado pela carga de multidão (Ep) ............................................................ 6 
5.7 Carregamento devido ao vento (w) ............................................................................................. 6 
5.8 Variação uniforme de temperatura (T) ..................................................................................... 6 
5.9 Retração (Tcs) ............................................................................................................................ 6 
6. COMBINAÇÃO DE AÇÕES ........................................................................................................... 7 
6.1 Combinações últimas das ações .................................................................................................. 7 
6.2 Combinações de serviço das ações ............................................................................................. 8 
6.3 Coeficientes de ponderação das ações ........................................................................................ 8 
6.4 Fatores de combinação das ações variáveis ................................................................................ 8 
7. DIMENSIONAMENTO DAS LONGARINAS ............................................................................... 9 
7.1 Carregamento permanente .......................................................................................................... 9 
7.2 Carregamento móvel ................................................................................................................. 11 
7.3 Diagrama de esforços ................................................................................................................ 18 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Este texto apresenta um exemplo completo de uma ponte em concreto armado sobre duas 
longarinas, ajudando os estudantes e profissionais de engenharia civil a compreender as etapas e 
considerações evolvidas na elaboração do projeto da estrutura. 
 
 
2. DOCUMENTOS DE REFERÊNCIA 
- Normas técnicas: 
[1] ABNT NBR 6118:2014 - Projeto de estruturas de concreto – Procedimento; 
[2] ABNT NBR 7187: 2003 - Projeto de pontes de concreto armado e de concreto 
protendido – Procedimento; 
[3] ABNT NBR 7188:2013 – Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, 
viadutos, passarelas e outras estruturas; 
[4] ABNT NBR 8681:2004 - Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. 
 
 
3. DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA 
A ponte possui um comprimento total de 49,50 m, composto por um vão central de 33 m e dois 
balanços de 8,25 m nas extremidades. A estrutura é composta por duas vigas longarinas e o 
tabuleiro tem uma largura total de 15,40 m. A superestrutura está apoiada em quatro pilares por 
meio de aparelhos de apoio tipo neoprene. 
As figuras 3.1 a 3.3 seguir mostram respectivamente uma planta, uma seção transversal e 
uma elevação do tabuleiro. 
 
 
Figura 3.1: Planta do tabuleiro 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2: Seção transversal (Corte A-A) 
 
 
 
 
Figura 3.3: Elevação longitudinal 
 
 
Figura 3.4: Detalhes do muro de ala, cortina, laje de aproximação e guarda-rodas 
 
 
 
 
 
4. MATERIAIS 
Materiais utilizados: 
 Concreto estrutural: C30 (fck ≥ 30 MPa) 
Módulo de elasticidade: 
0,85 5600 26071 csE E fck MPa    
 
Módulo de elasticidade transversal: 
0,4 10429 csG E MPa  
 
 
 Armadura passiva: CA50 (fyk≥ 500 MPa) 
Módulo de elasticidade: 
sE 210 GPa
 
 
5. AÇÕES CONSIDERADAS 
5.1 Cargas permanentes (g) 
 Peso próprio da estrutura: 
0 , com 25 / ³c c cg V kN m   
 
 Revestimento: 
1, 0,135 24 2,0 5,24 ²k revg esp sc kN m       
 Revestimento laje de aprox.: 
1, 0,07 24 2,0 3,68 ²k revg esp sc kN m       
 Guarda Rodas: 
2, 0,22 25 5,5k c cg A kN m    
 
 
5.2 Cargas móveis (q) 
De acordo com a NBR 7188, foi considerado o veículo tipo padrão TB450 (Figura 5.1), com carga 
concentrada Q e carga distribuída q, definidas abaixo: 
 Q P q p    
 
 Sendo: 
 P = 75 kN, é a carga concentrada por roda; 
 p = 5 kN / m², é a carga uniformemente distribuída (carga de multidão); 
 = CIV × CNF × CIA, é o coeficiente de ponderação das cargas móveis; 
 CIV o coeficiente de impacto vertical; 
 CNF o coeficiente de número de faixas; 
 CIA o coeficiente de impacto adicional, aplicável somente para o dimensionamento de 
 elementos de juntas estruturais e extremidade da obra. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1: Disposição de cargas TB450 
 
 
- Coeficiente de impacto vertical (CIV) 
Pelo fato das cargas atuarem com certa velocidade, o efeito das mesmas é maior do que se fossem 
aplicadas estaticamente. Estes efeitos dinâmicos podem ser considerados multiplicando o valor 
da carga estática por um fator CIV, dado pela seguinte expressão: 
1,35 para 10
20
1 1,06 para 10 200 
50iv
CIV m
CIV m m
L
 
 
    
 
 
Com Liv é o vão teórico do elemento analisado, dado em metros: 
Liv é o comprimento do próprio vão para estruturas isostáticas; 
Liv é a média aritmética dos vãos nos casos de estrutura contínua; 
Liv é o comprimento do próprio balanço para estruturas em balanço; 
Liv é o menor vão para lajes com vínculos os quatro bordos. 
 
- Coeficiente de número de faixas (CNF): 
As cargas móveis devem ser multiplicadas pelo coeficiente de número de faixas do tabuleiro, 
dados por: 
1 0,05( 2) 0,9CNF n   
 
sendo: 
n é número (inteiro) da razão b/3,5; 
b é largura do tabuleiro rodoviário transversalmente contínuo em 
 metros, a ser carregado para uma determinada hipótese de carga. 
 
 
 
 
Este coeficiente não se aplica ao dimensionamento de elementos estruturais transversais ao 
sentido do tráfego (lajes, transversinas, etc.). 
 
- Coeficiente de impacto adicional (CIA): 
As cargas móveis devem ser majoradas por CIA para o dimensionamento de lajes e transversinas 
em regiões com uma distânciahorizontal inferior a 5,0 m de juntas estruturais e extremidades da 
obra. Sendo este coeficiente dado por: 
CIA = 1,25, para obras em concreto ou mistas; 
CIA = 1,15, para obras em aço. 
 
5.3 Cargas nos passeios (q’) 
Deve ser adotado uma carga uniformemente distribuída de 3 kN/m² nos passeios das pontes e 
viadutos. Esta carga deve estar na posição mais desfavorável, concomitante com a carga móvel 
rodoviária e não deve ser ponderada pelos coeficientes CIV, CNF e CIA. 
5.4 Frenagem e aceleração (Hf) 
Forças horizontais ao longo do eixo da ponte calculadas como uma fração das cargas móveis 
verticais. É o maior entre 5% da multidão ou 30% do veículo de 450 kN (135 kN): 
00,05 143,4 135fH p B L CNF kN kN      
 
Onde: 
 p é a carga distribuída de 5 kN/m²; 
 B0 = 12,20 m, é a largura efetiva da carga distribuída de 5 kN/m²; 
 L = 49,50 m, é o comprimento concomitante da carga distribuída. 
 CNF = 0,95, calculado de acordo com o item 5.2. 
 
5.5 Empuxo de solo (Es) 
 
 
 
 
2. .
. 334,7 
2
a s
s
K h
E B kN

 
 
Sendo: 
 Ka = 0,33, o coef. de empuxo ativo do solo; 
 s = 18,0 kN/m³, o peso específico do solo; 
 h = 2,75, altura do encontro; 
 B = 14,90 m, a largura do encontro. 
 
Figura 5.2: Empuxo Es 
 
 
 
 
5.6 Empuxo de solo provocado pela carga de multidão (Ep) 
 
 
 
 
 
. . .
0,33 5,0 2,75 14,90 67,6
p a
p
E K p h B
E kN

    
 
Figura 5.3: Empuxo Ep 
 
5.7 Carregamento devido ao vento (w) 
 
Figura 5.4: Carregamento devido ao vento na ponte carregada e descarregada 
 
5.8 Variação uniforme de temperatura (T) 
De acordo com o item 11.4.2.1 da NBR 6118, de maneira genérica pode ser adotado valores entre 
10ºC e 15ºC, para estruturas cuja a menor dimensão não exceda a 50 cm. Neste exemplo foi 
adotado o limite superior de T = ± 15ºC. 
 
5.9 Retração (Tcs) 
A tabela 5.1 fornece valores para deformação específica de retração cs (t, to) em função da 
umidade média ambiente e da espessura fictícia 2Ac/u, sendo Ac a área da seção transversal e u o 
perímetro da seção em contato com a atmosfera (). 
 
 
 
 
Tabela 5.1: Valores característicos superiores da cs (adaptado NBR 6118) 
 
 
 
Figura 5.5: Disposição de cargas TB450 
 
Espessura fictícia: 
2 2 7,29
0,59 59 
24,68
c
fic
A
h m cm
u
 
   
 
Idade de desforma da obra: 
30ot 
dias (adotado) 
Umidade média ambiente: 75% (adotado) 
Deformação específica de retração: 
0,31cs  
‰ 
 
- Variação de temperatura equivalente a retração: 
3
5
0,31 10
 31º
10
c cs cs
L
T T C
L
  

  
       
 
 
 
6. COMBINAÇÃO DE AÇÕES 
A seguir são apresentadas as combinações de esforços solicitantes para os estados limites último 
e de serviço, obtidas de acordo com a NBR 8681. 
 
6.1 Combinações últimas das ações 
As combinações últimas normais são dadas pela seguinte expressão: 
, 1, 0 ,
1 2
m n
d g Gi k q Q k j Qj k
i j
F F F F  
 
 
   
 
 
 
Onde: 
 
,G kF
 é o valor característicos das ações permanentes; 
 
1,Q kF
 é o valor característicos da ação variável admitida como principal; 
20 60 20 60 20 60 20 60
5 -0,53 -0,47 -0,48 -0,43 -0,36 -0,32 -0,18 -0,15
30 -0,44 -0,45 -0,41 -0,41 -0,33 -0,31 -0,17 -0,15
60 -0,39 -0,43 -0,36 -0,40 -0,30 -0,31 -0,17 -0,15
75 90
 cs (t, t o) ‰
Umidade média ambiente %
Espessura fictícia 2A c /u (cm)
t o 
(dias)
40 55
 
 
 
 
 
,Qj kF
 é o valor característicos das ações variáveis secundárias. 
 
6.2 Combinações de serviço das ações 
A seguir são definidas as cominações em serviço: 
 
- Combinação quase permanente: 
, 2 ,
1 1
m n
CQP Gi k j Qj k
i j
F F F
 
  
 
 
- Combinação frequente: 
, 1 1, 2 ,
1 2
m n
CF Gi k Q k j Qj k
i j
F F F F 
 
   
 
 
- Combinação rara: 
, 1, 1 ,
1 2
m n
CR Gi k Q k j Qj k
i j
F F F F
 
   
 
 
6.3 Coeficientes de ponderação das ações 
Os valores dos coeficientes de ponderação das ações considerados são apresentados na Tabela 6.1 
e 6.2, respectivamente para ações permanentes e variáveis. 
 
Tabela 6.1: Coeficiente de ponderação das ações permanentes 
 
 
Tabela 6.2: Coeficiente de ponderação das ações variáveis 
 
 
6.4 Fatores de combinação das ações variáveis 
Os fatores de combinação das ações variáveis são apresentados na Tabela 6.3. 
 
Tabela 6.3: Fatores de combinação das ações variáveis 
 
(*) Nas pontes rodoviárias, o fator 1 para combinação frequente de fadiga deve ser considerado igual a 0,5 para as 
vigas, 0,7 para as transversinas e 0,8 para as lajes do tabuleiro. 
Ações permanentes Desfavoráveis Favoráveis
Permanente diretas agrupadas 1,35 1,0
Retração 1,2 0.9
Ações variáveis
Pontes rodoviárias
Ação do vento 
Efeito de temperatura
Coeficiente de ponderação
1,5
1,4
1,2
Ações 0 1 2
Pontes rodoviárias 0,7 0,5* 0,3
Ação do vento 0,6 0,3 0
Efeito de temperatura 0,6 0,5 0,3
 
 
 
 
7. DIMENSIONAMENTO DAS LONGARINAS 
 
 
Figura 7.1: Seções na S0 a S7 nas longarinas 
 
7.1 Carregamento permanente 
7.1.1 Cargas uniformemente distribuídas (g) 
 
1,
2,
.
2
7,29 25,0 5,24 12,2
5,5
2
128,59 /
c c k p
k k
k
k
A g
g Rv g
g
g kN m
  
  
  
 

 
Figura 7.2: Cargas permanentes na seção transversal 
 
7.1.2 Cargas concentradas (Gt e Ge) 
- Transversina intermediária (Gt): 
,
. 0,4 2,1 7,4 25,0
77,70 /
2 2
c c
t k
V
G kN m
   
  
 
 
- Encontro (Ge): 
 - Cortina: 
 
,
. 0,868 14,90 25,0
161,67 
2 2
c c
e cortina
V
G kN
  
  
 
 
 - Muro de ala: 
, . 9,06 0,25 25,0 56,63 e muro de ala c cG V kN     
 
 
 
 
 
 - Laje de aproximação: 
 
, .
. 0,30 2,0 14,90 25
111,75 
2 2
c c
e laje de aprox
V
G kN
   
  
 
 
 - Revestimento da laje de aproximação: 
 
, .
. 3,68 2,0 14,90
54,83 
2 2
c c
e laje de aprox
V
G kN
  
  
 
 
 
, 161,67 56,63 111,75 54,83 384,88 e kG kN    
 
 
7.1.3 Resumo das cargas permanentes 
 
Figura 7.3: Cargas permanentes atuantes nas longarinas 
 
 
 
 
 
 
7.2 Carregamento móvel 
 
 
Figura 7.4: Posição do veículo tipo para máxima reação vertical na longarina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 1,23 75 0,98
165,75 
k
k
P
P kN
   

 
 
,
,
0,92 7,35
5,0
2
16,91 /
i k
i k
p
p kN m

 

 
Figura 7.5: Determinação das sobrecargas Pk e pi,k (Seção Si) 
 
 
 
,
,
1,26 10,10
5,0
2
31,82 /
e k
e k
p
p kN m

 

 
Figura 7.6: Determinação da sobrecarga pe,k (Seção Se) 
 
 
 
 
 
 
 
7.2.1 Cálculo do coeficiente de impacto para as longarinas 
- Coeficiente de impacto vertical (CIV): 
20 20
1 1,06 =1 1,06 1,32
50 16,50 50iv
CIV
L
   
      
   
 
Com Liv = (8,25 + 33,00 + 8,25) / 3 = 16,5 m, é média aritmética dos vãos. 
 
- Coeficiente de número de faixas (CNF): 
1 0,05( 2) 1 0,05(2 2) 1,00CNF n      
 
Sendo n = 2,0, é a parte inteira da razão entre a largura carregada do tabuleiro (10,10 m) por 3,5. 
 
- Carregamento móvel resultante: 
, ,
, ,
 . 1,32 165,75 218,79 
 . 1,32 16,91 22,32 /
 . 1,32 31,82 42,00 /
k
i ki k
e k e k
Q P kN
q p kN m
q p kN m



   
   
   
 
 
7.2.2 Sobrecarga nos passeios (q’) 
 
1,46 1,31
' 3,0 1,20
2
' 4,99 /
k
k
q
q kN m
 
   
 

 
Figura 7.7: Determinação da sobrecarga no passeio q’k 
 
 
 
 
 
7.2.3 Sobrecarga nas lajes de aproximação dos encontros (Qe) 
.
5,0 2,0 14,90
74,50 
2
eQ kN
 
 
 
 
7.2.4 Resumo das cargas móveis 
 
 
Figura 7.8: Cargas móveis atuantes nas longarinas 
 
7.2.5 Cálculo dos esforços para as cargas móveis 
 
,
,
0
2263
q max
q min
M
M kN m

 
 
 
,
,
0
6113
q max
q min
M
M kN m

 
 
 
 
 
 
 
 
,
,
3843
5723
q max
q min
M kN m
M kN m

 
 
 
,
,
6792
5333
q max
q min
M kN m
M kN m

 
 
 
,
,
8883
4943
q max
q min
M kN m
M kN m

 
 
 
,
,
10164
4553
q max
q min
M kN m
M kN m

 
 
 
 
,
,
10598
4163
q max
q min
M kN m
M kN m

 
 
Figura 7.9: Cálculo dos momentos máximos e mínimos para cargas móveis 
 
 
 
 
 
 
,
,
0
293
q max
q min
V
V kN m

 
 
 
,
,
0
844
q max
q min
V
V kN m

 
 
 
,
,
0
1030
q max
q min
V
V kN m

 
 
 
,
,
1386
185
q max
q min
V kN m
V kN m

 
 
 
,
,
1182
193
q max
q min
V kN m
V kN m

 
 
 
 
 
 
 
,
,
994
216
q max
q min
V kN m
V kN m

 
 
 
,
,
821
283
q max
q min
V kN m
V kN m

 
 
 
,
,
663
394
q max
q min
V kN m
V kN m

 
 
 
,
,
521
521
q max
q min
V kN m
V kN m

 
 
Figura 7.10: Cálculo dos cortantes máximos e mínimos para cargas móveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3 Diagrama de esforços 
 
Figura 7.11: Envoltória de momentos fletores 
 
M g M q,max M q,min M CF,max M CF,min M d,max M d,min
0 0 0 0 0 0 0 0
4.13 -2680 0 -2263 -2680 -3812 -2680 -7013
8.25 -7542 0 -6113 -7542 -10599 -7542 -19351
11.55 -1129 3843 -5723 793 -3991 4636 -10109
14.85 3887 6792 -5333 7283 1221 15435 -4113
18.15 7506 8883 -4943 11948 5035 23458 92
21.45 9729 10164 -4553 14811 7453 28380 2900
24.75 10556 10598 -4163 15855 8475 30148 4312
28.05 9729 10164 -4553 14811 7453 28380 2900
31.35 7506 8883 -4943 11948 5035 23458 92
34.65 3887 6792 -5333 7283 1221 15435 -4113
37.95 -1129 3843 -5723 793 -3991 4636 -10109
41.25 -7542 0 -6113 -7542 -10599 -7542 -19351
45.38 -2680 0 -2263 -2680 -3812 -2680 -7013
49.50 0 0 0 0 0 0 0
Abcissa 
(m)
MOMENTO (kN.m)
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
Envoltória: Momento Fletor de cálculo (kN.m)
Md,max
Md,min
 
 
 
 
 
Figura 7.12: Envoltória de esforços cortantes 
 
 
 
V g V q,max V q,min V CF,max V CF,min V d,max V d,min
0 -385 0 -293 -385 -532 -385 -959
4.13 -914 0 -844 -914 -1336 -914 -2500
8.25 -1443 0 -1030 -1443 -1958 -1443 -3493
8.25 2154 1386 -185 2847 2062 4987 1877
11.55 1731 1182 -193 2322 1635 4110 1442
14.85 1308 994 -216 1805 1200 3257 984
18.15 885 821 -283 1296 744 2426 461
21.45 462 663 -394 794 265 1618 -129
24.75 39 521 -521 300 -222 834 -743
28.05 -462 394 -663 -265 -794 129 -1618
31.35 -885 283 -821 -744 -1296 -461 -2426
34.65 -1308 216 -994 -1200 -1805 -984 -3257
37.95 -1731 193 -1182 -1635 -2322 -1442 -4110
41.25 -2154 185 -1386 -2062 -2847 -1877 -4987
41.25 1443 1030 0 1958 1443 3493 1443
45.38 914 844 0 1336 914 2500 914
49.50 385 293 0 532 385 959 385
Abcissa 
(m)
CORTANTE (kN )
-10000
0
10000
Envoltória: Esforço cortante de cálculo (kN)
Vd,max
Vd,min