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Matéria: Matemática Assunto: Função de 2o grau Prof. Dudan www.enemquiz.com.br Matemática 3 FUNÇÃO DE 2º GRAU Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. f(x)=ax2+bx+c O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola. Exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = - 4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0 → Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo www.enemquiz.com.br4 → Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente “c” na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o corta. → A análise do coeficiente "b" pode ser orientada pela analise de uma reta “imaginária” que passa pelo “c” e pelo vértice. Assim: Nos exemplos acima se a reta “imaginária” for crescente, b > 0 caso contrário b < 0 e no caso em que o vértice e o “c” coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em relação ao eixo Y. Atenção! A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ∆ , chamado discriminante: Se ∆ > 0, há duas raízes Se ∆ = 0, há duas raízes Se ∆ < 0, não há raiz real. reais e distintas; reais e iguais; Matemática – Prof. Dudan www.enemquiz.com.br 5 Exemplo: 1. Complete as lacunas: www.enemquiz.com.br6 2. Determine o valor de K para que a função f(x) = x² - kx + 9 tenha raízes reais e iguais. Zero ou Raiz da Função Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de Bhaskara: = − ± − = −x b b ac a sendo b ac4 . 2 , 4. . 2 2 Exemplo: 3. Encontre as raízes de x² - 5x +6. SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas: Matemática – Prof. Dudan www.enemquiz.com.br 7 4. Determine a soma e o produto das raízes das funções abaixo. a) f(x) = x² + 5x + 6 b) y = -x² - 4 c) f(x) = 6x² - 4x + 1 Vértice da Parábola O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe: Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando a > 0): V(XV,YV) a2 bxv −= a4 yv ∆ −= Atenção: Xv é o ponto médio das raízes reais. www.enemquiz.com.br8 Exemplo: 5. Determine o vértice da parábola f(x) = 2x² - 8x + 5. 6. A função que define o lucro de uma empresa é L(x) = -2x² + 32x + 10, sendo x o número de peças vendidas e L o lucro em milhares de reais. Determine: a) Qual o lucro na venda de 10 peças? b) Quantas peças devem ser vendidas para obter o lucro máximo? c) Qual o lucro máximo? 7. A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é: a) f(x) = –2x2 – 2x + 4 b) f(x) = x2 + 2x – 4 c) f(x) = x2 + x – 2 d) f(x) = 2x2 + 2x – 4 e) f(x) = 2x2 + 2x – 2 8. Considere a função f: ℜ → ℜ definida por O valor de f(π) + f( 2 ) - f(1) é a) π2+2 π -2 b) 2π + 2 2 - 2 c) π2 - 2 d) 2π + 1 e) 2 2 - π + 1 Matemática – Prof. Dudan www.enemquiz.com.br 9 9. Baseado no gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, e c , pode-se afirmar que: a) a> 0, Δ < 0 b) a> 0, Δ = 0 c) a> 0, Δ > 0 d) a< 0, Δ > 0 e) a< 0, Δ = 0 10. A função f(x) = Ax2 + Bx + C, A 0 tem como gráfico a figura abaixo. Podemos então concluir que: a) A > 0, B2 < 4AC, C > 0 b) A > 0, B2 = 4AC, C > 0 c) A > 0, B2 > 4AC, C > 0 d) A < 0, B2 < 4AC, C < 0 e) A > 0, B2 < 4AC, C < 0 11. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y= - 40x2+200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a: a) 6,25 m, 5s b) 250 m, 0s c) 250 m, 5s d) 250 m, 200s e) 10.000 m , 5s 12. Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Gabarito: 7. D 8. C 9. C 10. C 11. C 12. A
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