Funções Quadráticas ou Polinomial do 2º Grau

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Funções Quadráticas ou 
Polinomial do 2º Grau
Sumário
Funções Quadráticas ou Polinomial do 2º Grau
Objetivos ..................................................................... 03
Introdução .................................................................... 04
1 Funções Quadráticas .......................................... 05
1.1 Gráfico da Função Quadrática ............................. 06
1.2 Zero da Função Quadrática ................................ 10
1.3 Máximo e Mínimo da Função Quadrática ........... 14
1.4 Construção da Parábola ...................................... 17
1.5 Estudo Final da Função Quadrática .................... 18
Referências Bibliográficas .............................................. 23
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Objetivos 
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de: 
• Identificar o domínio;
• Conceituar razão, proporção, proporcionalidade direta 
e inversa;
• Solucionar problemas utilizando a regra de três simples 
e composta.
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Introdução
Originalmente, a noção de função quadrática associa-se, à 
ideia de equações do 2º grau. Há registros deixados pelos babilônios, 
há aproximadamente 4000 anos, de problemas envolvendo equações 
quadráticas com três termos. Esses estudos demonstram uma grande 
flexibilidade existente na Álgebra.
O estudo de funções quadráticas surge com o objetivo de 
descrever diferentes fenômenos físicos, químicos e biológicos. O 
mais comum é modelar, por meio de uma função polinomial do 2º 
grau, a trajetória de uma bola lançada em um jogo de basquete, até 
mesmo de futebol.
Outro exemplo clássico é a descrição de uma função horária 
que fornece o espaço percorrido em relação ao tempo: sua representação 
gráfica é uma parábola, ou seja, uma função polinomial do 2º grau.
Iniciaremos nossos estudos pensando em uma situação na qual 
podemos aplicar tal conceito. Em seguida, definiremos uma função 
polinomial do 2º grau, analisando seus pontos de máximo e mínimo, 
bem como as suas principais propriedades e os procedimentos a fim de 
solucionar problemas que envolvam esse tipo de função. 
Bons estudos! 
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1 Funções Quadráticas 
Iniciaremos os nossos estudos com as funções polinomiais do 2º 
grau ou funções quadráticas. Para isso, vamos pensar na seguinte situação:
Um campeonato de futebol vai ser disputado por 12 equipes, 
pelo sistema em que todos jogam contra todos, em dois turnos. Sendo 
assim, quantos jogos serão realizados?
Solução:
Iniciaremos a nossa resolução contando o número de jogos que 
cada clube “fará” em casa, ou seja, no seu campo: 11 jogos. Como são 
12 equipes, teremos:
Número total 
de equipes
Número total 
de equipes (menos 1) Total de partidas
 12 * 11= 132
Se, assim como no Brasileirão, o campeonato fosse disputado 
por 20 clubes, poderíamos calcular quantos jogos seriam realizados 
utilizando o mesmo raciocínio:
Número total 
de equipes
Número total 
de equipes (menos 1) Total de partidas
 20 * 19 = 380
Generalizando, para cada número de clubes (x), é possível 
calcular o número de jogos do campeonato (y). Então, podemos dizer 
que o valor de y é função de x, e a lei que define essa função é:
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Número total 
de equipes
Número total 
de equipes (menos 1) Total de partidas
 x * (x-1) = y
Ou seja, 
y= f(x) =x.(x-1)= x² - x
Esse é um exemplo de função polinomial do 2º grau ou 
função quadrática.
Chama-se função quadrática ou polinomial do 2º grau qualquer 
função f de em dada por uma lei da forma f (x) = ax2 + bx + c, em que 
a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
Veja alguns exemplos:
f (x) = 3 x2 -15x + 18, sendo a = 3, b = -15 e c = 18
f (x) = x2 - x, sendo a = 1, b = -1 e c = 0
f (x) = -x2 + 2, sendo a = -1, b = 0 e c = 2 
1.1 Gráfico da Função Quadrática
 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau dada por 
y= ax² + bx + c, com a≠ 0 é uma curva chamada de parábola. 
Exemplo:
1. Vamos construir o gráfico da função y = - x2 
Solução:
Inicialmente, atribuiremos a x alguns valores. Depois, 
calcularemos o valor correspondente de y e, em seguida, ligaremos os 
pontos obtidos.
 
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x -x2 y
-3 -(-3)² -9 A= (-3; -9)
-2 -(-2)² -4 B = (-2; -4)
-1 -(-1)² -1 C = (-1; -1)
0 -0² -0 D = (0; 0)
1 -1² -1 E = (1; -1)
2 -2² -4 F = (2; -4)
3 -3² -9 G = (3; -9)
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2. Vamos construir o gráfico da função f(x) = x²
Solução:
Inicialmente, atribuiremos a x alguns valores. Depois, 
calcularemos o valor correspondente de y e, em seguida, ligaremos os 
pontos obtidos:
x x2 y
-3 (-3)² 9 A= (-3; 9)
-2 (-2)² 4 B = (-2; 4)
-1 (-1)² 1 C = (-1; 1)
0 0² 0 D = (0; 0)
1 1² 1 E = (1; 1)
2 2² 4 F = (2; 4)
3 3² 9 G = (3; 9)
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A figura a seguir mostra as duas possibilidades existentes 
para a parábola como uma curva originária de uma função quadrática: 
concavidade para cima (figura 1) ou para baixo (figura 2):
 a > 0 a < 0
Figura 1 Figura 2
Ao construir o gráfico de uma função quadrática dada por y= 
ax² + bx + c, notamos sempre que:
• Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Exemplo:
Os gráficos das funções dadas pelas leis seguintes são parábolas. 
Diante disso, quais são côncavas para cima e quais são côncavas para baixo?
1. f(x) = 3x2 -15x+18
2. f(x) = x2 - x
3. f(x) = - x2 + 2
4. f(x) = -2x2 
Solução: 
Nas funções dadas acima, temos:
Concavidade voltada para cima:
 
1. f(x) = 3x2 -15x+18 
2. f(x) = x2 - x; 
pois a = 3 e a = 1 respectivamente;
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Concavidade voltada para baixo:
3. f(x) = - x2 + 2
4. f(x) = -2x2; 
pois a = -1 e a = -2 respectivamente.
Desenvolveremos alguns conceitos, organizando-os de modo a 
tornar a construção do gráfico mais simples.
1.2 Zero da Função Quadrática 
Chamam-se raízes ou zeros da função polinomial do 2º 
grau dada por f(x) = ax2+ bx +c, os números reais x1 e x2, tais que 
f(x1) = 0 e f(x2) = 0. Portanto, os zeros são as raízes da equação do 2º 
grau ax2 + bx + c= 0.
Relembrando: para resolvermos uma equação do 2º grau, 
podemos utilizar a fórmula de Bháskara, dada por:
 
Δ= b² - 4.a.c, 
Vamos ver alguns exemplos:
1. Quais os zeros da função f(x) = x² - 5x + 6 ?
Vamos dividir a resolução em três etapas:
1. Destacar os coeficientes;
2. Calcular o discriminante; 
3. Calcular as raízes.
Etapa 1
a = 1, b = -5, c = 6
 
2.
bx
a
− ± ∆
=
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Etapa 2
Δ= b² - 4.a.c=(-5)² - 4.1.6 =25 - 24=1
Etapa 3
 
Logo, as raízes da função são 2 e 3.
Discussão das raízes 
A existência das raízes de uma função quadrática fica 
condicionada ao fato da . Assim, temos três casos:
1º caso: Δ > 0 (positivo)
Quando Δ > 0, a função apresentará duas raízes reais distintas.
 e 
2º caso: Δ =0 (nulo)
Neste caso, . Assim temos que:
3º caso: Δ < 0 (negativo)
Quando Δ< 0, a função não apresentará raízes.
( ) 5 1 5 1 
2. 2.1 2
bx
a
− − ±− ± ∆ ±
= = =
1
 5 1 6 3
2 2
x += = =
2
 5 1 4 2
2 2
x −= = =
 R∆ ∈
1
 
2.
bx
a
− + ∆
= 2
 
2.
bx
a
− + ∆
=
_
 0∆ =
1 2 2.
bx x
a
= =−
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Graficamente, podemos representar esses três casos da 
seguinte forma:
Relações entre coeficientes e raízes
Sendo x1 e x2 as raízes de uma função do 2º grau do tipo 
f(x) = ax² + bx + c, com a≠0, podemos afirmar que:
Estas relações são chamadas Relação de Girard e podem ser 
utilizadas para encontrar as raízes da equação do 2º grau, simplificando:
• Soma das raízes: S = -b/a 
• Produto das raízes: P = c/a 
A função quadrática tem suaforma fatorada dada por 
f(x) = a(x -x1)(x-x2), onde x1 e x2 são as raízes da equação do 2º grau. 
 1 .2 2 1 bx
a a
xx x ce+ == −
 Fundamentos da Matemática | 13
Exemplos:
1. Quais são as raízes da função f(x) = x2 - 5x + 6 ? Determine 
a forma fatorada da equação desta função.
Solução: 
O primeiro passo é descobrir a soma e o produto da função:
• Soma das raízes: S = -b/a => S = -(-5)/1 = 5
• Produto das raízes: P = c/a => P = 6/1 = 6
Agora, precisamos pensar em quais são os números cuja soma 
é igual a 5 e o produto é igual a 6.
Os números procurados são 2 e 3.
Encontradas as raízes, vamos à determinação da forma 
fatorada da função. 
Como na função quadrática, sua forma fatorada dada por 
f(x) = a(x -x1)(x-x2), onde são as raízes da equação do 2º grau, logo 
a forma fatorada é f(x) = (x - 2)(x - 3).
2. Encontre a função quadrática que tem seus zeros iguais 
2 e -3 e f(0) = 30.
Como os zeros são iguais a 2 e -3, usando a forma fatorada da 
função quadrática, teremos:
f (x) = a (x - 2) (x - ( -3))
f (x) = a (x - 2) (x + 3)
Substituindo f(0)=30, ficamos com:
f (x) = a (0 - 2) (0 + 3)
Aplicando a distributiva e substituindo f(0) por 30, teremos:
30 = - 6a
a = - 5
Logo, f (x) = -5 (x - 2) (x + 3) ou f (x) = 5x2 - 5x + 30
a = - 30
6
14 | Fundamentos da Matemática
1.3 Máximo e Mínimo da Função Quadrática
Agora, vamos imaginar a seguinte situação:
O lucro (ou prejuízo) L de uma empresa é calculado pela 
diferença entre a receita (R) e o custo (C). Nessa empresa, a receita 
e o custo são dados, respectivamente, pelas funções R(x)= 180x - x² 
e C(x)= 30x + 1200, em reais, sendo que x representa a quantidade 
vendida mensalmente de determinados itens. Diante disso, qual é o 
lucro máximo, em reais, dessa empresa? 
Em situações como esta, em que procuramos encontrar o valor 
de máximo ou de mínimo em funções quadráticas, precisamos conhecer 
o seu ponto de máximo/mínimo ou as coordenadas do vértice.
Considere o gráfico abaixo da função polinomial do 2º grau 
definida por f(x) = ax² + bx + c:
O ponto V da função quadrática é chamado de vértice da 
parábola, podendo ser ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto 
de mínimo (quando a >0). Como já sabemos, um ponto requer duas 
coordenadas, em particular, quando queremos determinar as coordenadas 
do vértice da parábola que será representado por V (xv; yv), onde:
V( )-, y
2 4v v
bx
a a
− ∆
= =
 Fundamentos da Matemática | 15
Demonstração:
Observe que somente x é variável. Logo, concluímos que o 
valor de máximo/mínimo da parábola ocorre quando x = -b/(2a), pois o 
termo ao quadrado é sempre maior ou igual a zero.
A fatoração da função quadrática é denominada forma 
canônica. Além de ser utilizada para demonstrar o ponto de máximo/
mínimo da parábola, também pode ser utilizada para demonstrar a 
fórmula que permite resolver a equação do 2 º grau.
Exemplos:
1. Agora que já sabemos como encontrar o vértice da função, 
vamos retomar a situação inicial:
O lucro (ou prejuízo) L de uma empresa é calculado pela 
diferença entre a receita (R) e o custo (C). Nessa empresa, a receita e 
o custo são dados, respectivamente, pelas funções R(x)= 180x - x² e 
C(x)= 30x + 1200, em reais, em que x representa a quantidade vendida 
mensalmente de determinados itens. Diante disso, qual é o lucro 
máximo dessa empresa em reais?
Solução:
Para encontrarmos o lucro máximo, precisamos definir a 
função lucro (L). No enunciado, foi dito que a função lucro (L) é 
calculada pela diferença entre a receita (R) e o custo (C), ou seja:
2
2
( ) ²
( ) ( ² )
( ) ²
4 ² 4 ²
( )
2 4 ²
( )
2 4 ²
f x ax bx c
b cf x a x x
a a
b b b cf x a x x
a a a a
b b cf x a x
a a a
bf x a x
a a
= − +
= + +
 = + + − + 
 
  = + − +  
   
 ∆ = + −  
   
16 | Fundamentos da Matemática
Lucro = Receita - Custo
L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = (180x - x²) - (30x + 1200)
L(x) = 180x -x² - 30x - 1200
L(x) = -x² + 150 x - 1200
Definida a função Lucro, precisamos encontrar yv. Como a função 
Lucro é L(x) = -x² + 150 x - 1200, teremos a = -1, b = 150 e c = 1200.
Logo, o lucro máximo será de R$4425,00.
2) Determine as coordenadas do vértice da parábola que 
representa graficamente a função f(x) = x² – 4x + 3.
Solução:
Então, V( 2, -1)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
² ² 4. . [ 150 4 . 1 . 1200 
4. 4. 4. 1
 22500 4800 17700 4425
4 4
v
b a c
y
a a
− − − − − −−∆
= = =
−
− −
= = =
4 2
2 2
² 4 ( 4)² 4.1.3 1
4 4.3
v
v
bx
a
b acy
a
−
− = − = −
− − −
− = − = −
=
=
- (-4)=
__
2
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1.4 Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função quadrática sem 
montar a tabela de pares (x; y). Para isso, basta obedecer à seguinte sequência:
• O valor do coeficiente define a concavidade da parábola;
• O vértice V indica a localização do ponto de mínimo ou 
máximo da parábola;
• Os zeros reais definem o(s) ponto(s) em que a parábola 
intersecta o eixo x;
• A parábola intersecta o eixo das ordenadas, no ponto (0; c);
• A reta vertical que passa por V é o eixo de simetria da 
parábola.
Agora que já aprendemos a construir o gráfico de forma mais 
rápida, vamos a alguns exemplos:
1. Construa o gráfico da função f(x) = x2 -6x+5, utilizando o 
roteiro acima.
Solução:
Seguindo o roteiro apresentado acima, sabemos que:
• A parábola tem concavidade voltada para cima, pois a = 1;
• O vértice da parábola pode ser obtido pela fórmula:
• Os zeros da função podem ser obtidos pela fórmula:
1 1
( 6) (( 6)² 4.1.5).
2.1 4
 y
.1
(x 3, 4)
v
v
− − − − − =  
 
= = = −
1 2
( 6) ( 6)² 4.1.5
2.1
 
6
 
16
2
5 1
x
x
x e x
− − ± − −
=
±
=
= =
18 | Fundamentos da Matemática
• E o ponto em que a função intersecta o eixo y é facilmente 
obtido, fazendo f(0).
f (0)= 02 - 6.0 + 5 = 5 (0,5)
 Eixo de Simetria
1.5 Estudo Final da Função Quadrática
Consideremos uma função quadrática dada por y=f(x)= ax² 
bx + c. Vamos determinar os valores de x para os quais y é negativo e 
de x para os quais y é positivo.
Para analisarmos de forma prática o sinal da função 
quadrática, iremos:
1. Igualar a função a zero e calcular as raízes ou zeros da função.
2. Marcar, na reta numérica, as raízes encontradas.
1 2
( 6) ( 6)² 4.1.5
2.1
 
6
 
16
2
5 1
x
x
x e x
− − ± − −
=
±
=
= =
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3. Fora das raízes tem o mesmo sinal do coeficiente de a. E 
dentro, isto é, entre as raízes, a função terá sinal contrário 
ao coeficiente de a.
De acordo com o valor do discriminante Δ= b² - 4.a.c , podem 
ocorrer três casos:
1. Se Δ>0, a função admitirá duas raízes reais distintas (x1≠x2) 
e a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos. O sinal 
da função é indicado nos gráficos abaixo:
quando a>0 quando a<0
y>0⇔ (x<x1 ou x>x2) y<0⇔ x1<x<x2
y<0⇔ x1<x<x2 y<0⇔ (x<x1 ou x>x2)
Se Δ = 0, a função quadrática admite duas raízes reais iguais 
(x1=x2). Neste caso, a parábola tangencia o eixo Ox. O sinal da função é 
indicado nos gráficos a seguir:
quando a>0 quando a<0
y>0⇔ 1x x∀ ≠ y<0⇔ 
Não existe x tal que y<0 Não existe x tal que y>0
1x x∀ ≠
20 | Fundamentos da Matemática
2. Se Δ< 0, a função quadrática não admite raízes reais. Sendo 
assim, a parábola não intercepta o eixo Ox. O sinal da 
função é indicado nos gráficos abaixo:
Exemplos:
Vamos estudar o sinal da função: f(x)=x²-4x+3
Solução: 
O primeiro passo é calcularmos as raízes da função f(x)=x²-4x+ 3. 
Por meio da relação de Girard, obtemos:
• Soma das raízes: S = -b/a => S = -(-4)/1 = 4
• Produto das raízes: P = c/a => P = 3/1 = 3
Logo, as raízes são 3 e 1.
Agora, iremos marcar as raízes na reta e analisar:
Observe que, para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que y > 0, 
já que estes pontos estão acimado eixo das abscissas.
 Fundamentos da Matemática | 21
Para x = 1 ou x = 3, a função é nula, isto é, f(x) = 0.
Para x > 1 e x < 3, vemos no gráfico que y < 0, visto que estes 
pontos estão abaixo do eixo das abscissas.
Então, para a função f(x)=x²-4x+3, temos:
A função é negativa para {x | x>1 e x<3};
A função é nula para {x | x=1 ou x=3}; 
A função é positiva para {x | x<1 ou x>3} ;
A representação também pode ser assim realizada:
• {x | 1<x<3} => f(x)<0
• {x | x=1 ou x=3} => f(x)=0
• {x | x<1 ou x>3} => f(x)>0
Aplicações do estudo do sinal da função
Retomemos ao exemplo do item 1.4, onde estudamos o ponto 
de máximo e de mínimo:
O lucro (ou prejuízo) L de uma empresa é calculado pela diferença 
entre a receita (R) e o custo (C). Nessa empresa, a receita e o custo são 
dados, respectivamente, pelas funções R(x)= 180x - x² e C(x)= 30x + 1200, 
em reais, em que x representa a quantidade vendida mensalmente de 
determinados itens. Diante disso, qual é o lucro máximo dessa empresa 
em reais?
Suponhamos que agora, ao invés do lucro máximo, a pergunta 
seja a seguinte:
Após obter lucro máximo, a partir de qual quantidade essa 
empresa começa a ter prejuízo?
Solução: 
Vimos que a função Lucro encontrada a partir da diferença 
entre a função receita e a função custo, foi L(x)=-x²+150x-1200.
∈
∈
∈
∈
∈
∈
22 | Fundamentos da Matemática
Para fazermos essa análise, precisamos primeiramente encontrar 
as raízes dessa função, para, depois, fazermos o estudo do sinal. 
Calculando as raízes por Bháskara, temos:
Δ=(150)² - 4.(-1).(-1200)
Δ=22500 -4800
Δ= 17700
x1 8,5 e x2 141,52
Agora, vamos marcar essas raízes para fazermos o estudo do sinal:
Observe que, a partir de 142 unidades, a empresa começa a ter 
prejuízo. Isto significa que, a partir de 142 unidades, seria necessário que 
essa empresa fizesse uma alteração na forma como ela produz.
Com esse exemplo, podemos ver o quanto o conceito de 
funções polinomiais pode auxiliar em diferentes situações, como ajudar 
a prever prejuízos em empresas, além de compreender a forma como 
uma função polinomial de 2º grau se comporta.
Agora que você já estudou os conceitos e suas aplicações, 
vamos aos exercícios!
 150 17700 
 2
x − ±=
−
( )
 150 17700 
2. 1
x − ±=
−


 Fundamentos da Matemática | 23
Referências Bibliográficas
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São 
Paulo: Scipione, 2004.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática 
comercial e financeira. 3 ed. Curitiba: IBPEX, 2010.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo 
A: funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006.
GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática aplicada: economia, 
administração e contabilidade. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
IAN, Jacques. Matemática para economia e administração. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010
IEZZI, G. MURAKAMI; C. MACHADO, N. J. Fundamentos de 
matemática elementar. Volume 1. Editora Atual, 1993.
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Volume 1. 
Sociedade Brasileira de Matemática, 1997.
MACHADO, ANTÔNIO DOS SANTOS. Matemática temas e metas. 
Volume 1 – Conjuntos Numéricos e Funções. Editora Atual, 1988.
	Funções Quadráticas ou 
Polinomial do 2º Grau
	Objetivos 
	Introdução
	1	Funções Quadráticas 
	1.1 	Gráfico da Função Quadrática
	1.2	Zero da Função Quadrática 
	1.3 	Máximo e Mínimo da Função Quadrática
	1.4 	Construção da Parábola
	1.5	Estudo Final da Função Quadrática
	Referências Bibliográficas