Exercícios gerais de matemática

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EXERCÍCIOS 
 
CONJUNTOS 
 
01. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 6}, B = {1 , -2 , -3 
, 4, 5, 6} e C = {0, - 2, 4}, calcule: 
a) A – B= 
b) A ∪ B = 
c) (A ∩ B) – C= 
 
02. (F.I. Anápolis-GO) – Dados os conjuntos: A = {0, 1, 
3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, o conjunto M = B 
– (A ∪C) é: 
a) {1, 3, 5} b) {0, 8, 9} c) {7} 
d) {1, 5, 7} e) {7, 5, 8, 9} 
 
03. Sendo A = {1, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5, 7, 8} e C = {4, 
5, 6, 7, 8}, calcule o valor de: 
a) (A – B) ∩ C 
b) (C ∪ A) ∩ (B – A) 
c) [(A – B) ∩ (A ∪ C)] – (A – C) 
 
04. Sendo A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, {1, 2}}, assinale 
V ou F: 
( ) A ∪ B = A ( ) A ∩ B = B 
( ) {1} = B ( ) {1} ⊂ B 
( ) {1, 2, 3} ⊂ B ( ) 1, 2 ∈B 
( ) φ ∈ A ( ) φ ⊂ A 
( ) {1,2} ⊂ A ( ) {{1, 2}} ⊂ B 
 
05. (ITA 2005) – Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, 
T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações: 
I. {0} ∈ S e S ∩ U ≠ φ. 
II. {2} ⊂ S \ U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}. 
III. Existe uma função f : S → T injetiva. 
IV. Nenhuma função g : T → S sobrejetiva. 
Então, é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) 
apenas II e III. e) apenas III e IV. 
 
06. (FATEC – SP) Se A={2;3;5;6;7;8}, B={1;2;3;6;8} e 
C={1;4;6;8}, então: 
a) (A – B) ∩ C={2} b) (B – A) ∩ C={1} 
c) (A – B) ∩ C={1} d) (B – A) ∩ C={2} 
e) nda 
 
07. (ITA/2004) - Considere as seguintes afirmações sobre 
o conjunto { }0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9U = : 
I. U∅∈ e ( ) 10n U = . 
II. U∅⊂ e ( ) 10n U = . 
III. 5 U∈ e { }5 U⊂ . 
IV. { } { }0,1, 2,5 5 5=I . 
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I e III. b) apenas II e IV. 
c) apenas II e III. d) apenas IV. 
e) todas as afirmações. 
 
08. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}, B = {2, 
- 1, 6, 3} e C = {3,- 4, 6, 9} e D={ x ∈ Z / 1 < x < 4}, 
coloque V ou F: 
( ) 2 ∉ A 
( ) A ⊄ C 
( ) A∩B∩C∩D = {2, 3} 
( ) {3}∈ B 
( ) 3 ∈ C 
( ) {9, - 4} ⊄ C 
( ) 2 ∈ C 
( ) 7 ∈ A 
( ) 2 ⊂ D 
( ) D ⊂ A 
( ) A – B = {4, 5} 
( ) A – D = φ 
 
09. (OSEC – SP) – Dados os conjuntos A={a; b; c}, 
B={b; c; d} e C={a, c, d; e}, o conjunto (A – C) ∪ (C – 
B) ∪ (A ∩ B ∩ C) é: 
a) {a;b;c;e} b) {a;c;e} c ) A d) {b;d;e} e) nda 
 
10. Se um conjunto possui 32 subconjuntos, quantos 
elementos ele tem? 
 
11. (FGV - SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O 
número total de subconjuntos de A : 
a) 8 b)6 c) 256 d) 128 e) 100 
 
12. (CEFET – PR) – Sendo A={0;1;2;3}, B={2;3;4;5} e 
C={4;5;6;7}, então o conjunto (A – B) ∩ C é: 
a) {0;1} b) {2;3} c) {6;7} d) {4;5} e) ∅ 
 
13. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 5, 7, 9}, B = {3, 4, 
5, 6} e C = {5, 8, 9}, determine (B – A) ∩ (C – A). 
 
14. Dados os conjuntos A = {- 2, 3, 4, 5}, B = {2, - 1, 6, 
3} e C = {3, 4, 6, 9}, coloque V ou F: 
( ) 2 ∈ A ( ) A ⊄ C 
( ) {3}∈ B ( ) 3 ∈ C 
( ) 2 ∉ C ( ) 7 ∈ A 
( ) C ⊂ A ( ) A ∩ B = 3 
 
15. Quantos são os subconjuntos do conjunto A = {2, 4, 
6, 8, 10, 12, 14}? 
 
16. (USS – RJ) – Se A e B são conjuntos, A ∪ B = A se e 
somente se: 
a) A = B b) A ⊂ B c) B ⊂ A d) A = φ e) B = φ 
 
17. (UFPI) – Considerando os conjuntos A, B e C na figura 
abaixo, a região hachurada representa: 
 
a) B – (A – C) 
b) B ∩ ( A – C) 
c) B ∪ (A ∩ C) 
d) B ∩ (A ∪ C) 
e) B – (A ∪ C) 
 
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18. (F.M. Itajubá-MG) – Com relação a parte 
sombreada do diagrama, é correto afirmar que: 
 
a) A – (B – C) 
b) A – (B ∪ C) 
c) A – (B ∩ C) 
d) A – (C – B) 
e) Nenhuma das respostas anteriores. 
 
19. (PUC-RS) Com relação à parte hachurada do 
diagrama, é correto afirmar que: 
 
a) C – (A ∩ B) 
b) (A ∩ B) – C 
c) A – (B ∩ C) 
d) (B ∩ C) – A 
e) (A ∩ B) – (B ∪ C) 
 
20. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = 
{2, 4, 5, 6}, analise os itens a seguir: 
(I) 3 ⊂ A 
(II) A ∩ B = {2, 4, 6} 
(III) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A 
Pode-se afirmar que: 
a) apenas I está correto 
b) apenas II está correto 
c) apenas III está correto 
d) II e III estão corretos 
e) I e III estão corretos 
 
21. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {1, 3, 
4, 5} e C = {1, 2, 3,7}, analise os seguintes 
itens: 
I – (A ∪ B) ∩ C = C 
II – A tem 16 subconjuntos 
III – A ∩ B = 3 
IV – A ⊂ B 
Podemos afirmar que: 
a) Somente I é verdadeiro 
b) Somente II é verdadeiro 
c) Somente IV é verdadeiro 
d) e) I e III são verdadeiros 
e) II e III são verdadeiros 
 
22. (UFV/PASES) – A escola Cantinho Feliz possui 
1200 alunos e oferece dança e futebol como 
atividades extracurriculares. Sabendo que neste 
ano há 590 alunos inscritos em dança, 570 
inscritos em futebol e 270 alunos inscritos em 
ambas as atividades, o número de alunos que 
NÃO se inscreveram em qualquer destas 
atividades é: 
a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 
 
23. (UEL) – Uma universidade está oferecendo três 
cursos de extensão para a comunidade externa 
com a finalidade de melhorar o condicionamento 
físico de pessoas adultas, sendo eles: 
 Curso A: Natação 
 Curso B: Alongamento 
 Curso C: Voleibol 
As inscrições dos cursos se deram de acordo com 
a tabela seguinte: 
Curs
o 
Apenas 
A 
Apenas 
B 
Apenas 
C 
A e 
B 
A e C B e C A, B e C 
Aluno 9 20 10 13 8 18 3 
Analise a s afirmativas seguintes com base nos 
dados apresentados: 
I – 33 pessoas se inscreveram em pelo menos 
dois cursos. 
 II – 52 pessoas não se inscreveram no curso A. 
 III – 48 pessoas se inscreveram no curso B. 
IV – O total de inscritos no curso foi de 88 
pessoas. 
 As afirmações corretas são: 
 a) I e II b) I e III c) III e 
IV 
d) I, II e III e) II, III e IV 
 
24. Em uma pesquisa sobre programas de TV que 
habitualmente assistem, as pessoas responderam 
sobre a preferência de três programas A, B e C. 
Os resultados da pesquisa indicaram que: 
• 400 assistem ao programa A. 
• 350 assistem ao programa B. 
• 250 assistem ao programa C. 
• 20 aos três programas. 
• 70 assistem aos programas A e B. 
• 50 assistem aos programas A e C. 
• 60 assistem aos programas B e C. 
 Pergunta-se: 
a) Quantas pessoas foram entrevistadas? 
b) Quantas pessoas assistem somente ao 
 programa B? 
c) Quantas pessoas assistem dois programas? 
d) Quantas pessoas não assistem ao programa 
 A? 
 
25. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram 
entrevistadas várias pessoas acerca de suas 
preferências em relação a três produtos A, B e C. 
Os resultados da pesquisa indicaram que: 
• 210 compram o produto A. 
• 210 compram o produto B. 
• 250 compram o produto C. 
• 20 compram os três produtos. 
• 60 compram os produtos A e B. 
• 70 compram os produtos A e C. 
• 50 compram os produtos B e C. 
Quantas pessoas foram entrevistadas? 
 
26. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram 
entrevistadas várias pessoas acerca de suas 
preferências em relação a três produtos A, B e C. 
Os resultados da pesquisa indicaram que: 
• 200 compram o produto A. 
• 200 compram o produto B. 
• 250 compram o produto C. 
• 10 compram os três produtos. 
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• 50 compram os produtos A e B. 
• 70 compram os produtos A e C. 
• 30 compram os produtos B e C. 
Pergunta-se: 
a) Quantas pessoas foram entrevistadas? 
b) Quantas pessoas compram somente o 
produto A? 
c) Quantas pessoas compram os produtos C ou 
B? 
d) Quantas pessoas compram os produtos A e 
B? 
 
27. (UNIFAL/2006)– Em uma cidade com 40.000 
habitantes há três clubes recreativos: Colina, 
Silvestre e Campestre. Feita uma pesquisa, 
foram obtidos os seguintes resultados: 20% da 
população freqüenta o Colina; 16% o Silvestre; 
14% o Campestre; 8% o Colina e o Silvestre; 5% 
o Colina e o Campestre; e 4% o Silvestre e o 
Campestre. Somente 2% freqüentam os três 
clubes. O número de habitantes que não 
freqüentam nenhum destes três clubes é: 
a) 26000 b) 30000 c) 28000 d) 32000 e) 34000 
 
28. Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 
delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de 
samba e rock. Quantas não gostam nem de 
samba, nem de rock? 
a) 430 d) 450 c)330 d)250 e) 470 
 
29. (PUC_PR) – Em uma pesquisa feita com 120 
empregados de uma firma, verificou-se o 
seguinte: 
- têm casa própria: 38 
- têm curso superior: 42 
- têm plano de saúde: 70 
- têm casa própria e plano de saúde: 34 
- têm casa própria e curso superior: 17 
- têm curso superior e plano de saúde: 24 
- têm casa própria, plano de saúde e curso 
superior: 15 
Qual a porcentagem dos empregados que não se 
enquadram em nenhuma das situações 
anteriores? 
a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e)45% 
 
30. (UFPA) – A Câmara dos Deputados reuniu-se 
extraordinariamente para decidir sobre a instalação 
de duas Comissões Parlamentares de Inquéritos 
(CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos 320 
deputados presentes, 190 votaram a favor da 
instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação 
da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da instalação 
das duas comissões e X deputados foram contrários 
à instalação das CPIs. O número X de deputados que 
votaram contra a instalação das CPIs é: 
a) 160 b) 90 c) 70 d) 50 e) 20 
 
31. (UERJ) – Em um posto de saúde foram 
atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com 
a mesma doença, apresentando, pelo menos, os 
sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, 
isoladamente ou não. A partir dos dados 
registrados nas fichas de atendimento dessas 
pessoas, foi visto que: 
 
Diarréia: 62 casos 
Febre: 62 casos 
Dor no corpo: 72 casos 
Diarréia e febre: 14 casos 
Diarréia e dor no corpo: 8 casos 
Febre e dor no corpo: 20 casos 
Diarréia, febre e dor no corpo: x casos 
Nos dados, x corresponde ao número de pessoas 
que apresentaram, ao mesmo tempo os três 
sintomas. Pode-se concluir que X é igual 
a:__________. 
 
32. (UFF) – Dentre as espécies ameaçadas de 
extinção na fauna brasileira, há algumas que 
vivem somente na Mata Atlântica, outras que 
vivem somente fora da Mata Atlântica e, há 
ainda, aquelas que vivem tanto na Mata Atlântica 
como fora dela. Em 2003, a revista Terra 
publicou alguns dados sobre espécies em 
extinção na fauna brasileira: havia 160 espécies 
de aves, 16 de anfíbios, 20 de répteis e 69 de 
mamíferos, todas ameaçadas de extinção. Dessas 
espécies, 175 viviam somente na Mata Atlântica 
e 75 viviam somente fora da Mata Atlântica. 
Conclui-se que, em 2003, o número de espécies 
ameaçadas de extinção na fauna brasileira, 
citadas pela revista Terra, que vivem tanto na 
Mata Atlântica como fora dela, corresponde a: 
a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 
 
33. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as 
únicas matérias dadas são matemática e 
português, 240 alunos estudam matemática e 
180 alunos estudam português. O número de 
alunos que estudam matemática e português é: 
a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) 210 
 
34. (PUC – PR) – Em uma pesquisa com um turma 
de alunos, apurou-se o seguinte: 45% dos 
alunos são homens. Sabe-se também que 60% 
dos alunos jogam futebol e que destes 70% são 
homens. Que percentual de alunos, que não 
jogam futebol, são mulheres? 
a) 42% b) 37% c) 16% d) 45% e) 60% 
 
35. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X 
e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 
comeram a sobremesa X, 7 comeram a 
sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas 
não comeram nenhuma ? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 
 
36. (UF-BH) – Um colégio ofereceu cursos de inglês e 
francês, devendo os alunos se matricularem em 
pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma 
classe, 13 resolveram estudar tanto inglês 
quanto francês; em francês, matricularam-se 22 
alunos. Quantos alunos se matricularam em 
inglês? 
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37. (UPF/2002) – Feita uma pesquisa com 600 
estudantes sobre as universidades em que 
pretendem prestar vestibular, observou-se que 
245 pretendem prestar vestibular na 
universidade A; 270, na universidade B; 285, na 
universidade C; 130, nas universidades A e B; 
120, nas universidades A e C; 110, nas 
universidades B e C; e 50, nas três universidades 
citadas (A, B e C). Com base na pesquisa, é 
incorreto o que se afirma na alternativa: 
a) 230 estudantes pretendem prestar vestibular 
apenas em uma universidade. 
b) 110 estudantes não pretendem prestar 
vestibular nas três universidades. 
c) 80 estudantes pretendem prestar vestibular 
apenas na universidade B. 
d) 70 estudantes pretendem prestar vestibular 
apenas na universidade C. 
e) 210 estudantes pretendem prestar vestibular 
em duas das três universidades citadas. 
 
38. (ESPM/2004) – Uma pesquisa envolvendo 800 
habitantes de uma cidade revelou que 35% deles 
lêem diariamente o jornal A; 60% lêem o jornal 
B e que 120 entrevistados não lêem nenhum dos 
dois jornais. O número de pessoas entrevistadas 
que lêem os dois jornais é: 
a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 
 
39. Um levantamento efetuado entre 600 filiados do 
INPS, mostrou que muitos deles mantinham 
convênio com 2 empresas particulares de 
assistência médica, conforme o quadro: 
A B INPS 
430 160 60 
Quantas pessoas são filiadas simultaneamente às 
duas empresas? 
 
40. Numa sociedade existem: 
 - 35 homens; 
 - 18 pessoas que usam óculos; 
 - 15 mulheres que não usam óculos; 
 - 7 homens que usam óculos. 
Qual é o número de pessoas que compõe a 
sociedade? 
 
41. (FGV - SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. 
O número total de subconjuntos de A : 
 a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100 
 
42. O número dos conjuntos X que satisfazem {1, 2} 
⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} é: 
 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
43. (UDESC) Uma pesquisa foi realizada junto a 930 
pessoas a respeito da prática dos esportes 
futebol e vôlei: foi constatado que o vôlei era 
praticado por 340 pessoas e que 65 praticavam 
ambos os esportes. Foi constatado ainda que 15 
pessoas não praticavam nenhum desses 
esportes. O número de pessoas que praticavam 
apenas o futebol é: 
 a) 565 b) 525 c) 535 d) 510 e) 575 
 
44. Se A, B e C são conjuntos tais que: 
n[A - (B ∪ C)] = 15, 
n[B - (A ∪ C)] = 20, 
n[C - (A ∪ B)] = 35 e 
n(A ∪ B ∪ C) = 120 
então n[(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] é igual a: 
a) 14 b) 50 c) 35 d) 56 e) 26 
 
45. Dado o conjunto A = {1, 4, 7, 9}, quantos são 
seus subconjuntos? 
 
46. (FCC - BA) Consultadas 500 pessoas sobre 
emissoras de TV a que habitualmente assistem, 
obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas 
assistem ao canal A, 250 pessoas assistem ao 
canal B e 70 assistem aos outros canais, distintos 
de A e B. O número de pessoas que assistem a A 
e não assistem a B é? 
 
47. (PUC - PR) Em um levantamento com 100 
vestibulandos da PUC, verificou-se que o número 
de alunos que estudou para as provas de 
Matemática (M), Física (F) e Português (P) foi o 
seguinte: M - 47, F- 32, P - 21, M e F - 7, M e P - 
5, F e P – 6, M, F e P - 2. Quantos, dos 100 
alunos incluídos no levantamento, não estudaram 
nenhuma das matérias? 
 
48. (PUC – PR) – Sejam A, B e C 3 conjuntos finitos. 
Sabendo-se que A ∩ B tem 20 elementos, B ∩ C 
tem 15 elementos e A∩ B ∩ C tem 8 elementos, 
então o número de elementos de (A ∪ C) ∩ B é: 
 a) 28 b) 35 c) 23 d) 27 e) 13 
 
49. (UEL – PR) – Em um certo concurso vestibular, 
na prova de Língua Estrangeira, o candidato pode 
optar por Inglês, francês ou Espanhol. Sabe-se 
que 5% do total de inscritos optaram por 
Espanhol e, do número restante, 20% 
escolheram Francês. Se 15 200 candidatos 
optaram por Inglês, o total de candidatos 
inscritos nesse concurso é: 
a) 17 800 b) 18 000 c) 20 000 
d) 20 800 e)21 000 
 
50. USP-SP - Depois de n dias de férias, um 
estudante observa que: 
• choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
• quando chove de manhã não chove à tarde; 
• houve 5 tardes sem chuva; 
• houve 6 manhãs sem chuva. 
Podemos afirmar então que n é igual a: 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
51. Escreva os intervalos abaixo na forma de 
conjuntos (usando os símbolos <, >, ≤ ou ≥) 
a) [1, 2] b) ]-1, 3] c) ]2, 5] ∪ [6, + ∞[ 
d) ] - ∞, 2[ ∪ [5, 8] 
 
52. Use os símbolos ∈ ou ∉ para relacionar as 
alternativas abaixo: 
a) – 3 N 
b) ¾ Z 
c) - 2 Z 
d) √3 Q 
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e) 10/2 N 
f) 0,333... Q 
g) 5,6 R 
 
53. Coloque V ou F conforme a sentença seja 
verdadeira ou falsa, respectivamente: 
( ) 4 é um número natural 
( ) –1 é um número irracional 
( ) √64 é um número inteiro 
( ) 2/7 é um número racional 
( ) –0,6666... é um número irracional 
( ) 7 ∈ Z 
( ) 1 ∈ Q 
( ) √3 ∈ R 
( ) 2 ∉ Z 
( ) – 1 ∉ I 
( ) √8 ∉ N 
( ) 6/2 ∈ N 
( ) 72 ∈ N 
( ) 0,7777... ∈ Z 
 
54. Dados os conjuntos: A = [- 1, 3] e B = ]2, 7], 
calcule A ∪ B e A ∩ B. 
 
55. (EPCAR) Qual das proposições abaixo é falsa? 
a) Todo número real é racional. 
b) Todo número natural é inteiro. 
c) Todo número irracional é real. 
d) Todo número inteiro é racional. 
e) Todo número natural é racional. 
 
56. (UEMT) – Dados os intervalos A = (-2, 1] e B = 
[0, 2], então A ∩ B e A ∪ B, são, 
respectivamente; 
a) (0, 1) e (-2, 2) b) [0, 1] e (-2, 2] c) [0, 1) e 
[-2, 2] d) (0, 1] e (-2, 2] e) [0, 1) e [-2, 2) 
 
57. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}, B = 
{1, 3, 7, 8} e C = {4, 6, 9, 10} e D={ x ∈ Z / - 
1 < x < 3}, Calcule: 
a) A – B 
b) (B – C) ∪ D 
c) (D ∩ A) – C 
d) (A – D) ∪ B 
 
58. Escreva os intervalos abaixo em forma de 
colchetes: 
a) {x ∈ R / x > 3} 
b) {x ∈ R / x < 12} 
c) {x ∈ R / x ≥ 5} 
d) {x ∈ R / 1 < x < - 5}. 
 
59. Escrever os intervalos abaixo em forma de 
colchetes: 
a) {x ∈ R / x ≥ - 5} 
b) {x ∈ R / x < - 8} 
c) {x ∈ R / x ≤ 13} 
d) {x ∈ R / - 3 < x < 0} 
e) {x ∈ R / 2 ≤ x < 0} 
f) {x ∈ R / 2 < x < 7 ou x > 10 e x ≠ 13} 
 
60. Analise a veracidade das proposições abaixo: 
( ) - 3√-64 ∉ I 
( ) 0 / -5 ∈ (Z - N) 
( ) √-25 ∈ R 
 
61. (CEFET) - Se A = ]7/2 , √40] ∩ [π, 16/3[, o 
número que pertence ao conjunto A é: 
a) 7/2 b) √40 c) π d) 19/4 e) 25/4 
 
62. (FUVEST) Na figura estão representados 
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. 
Qual a posição do número xy: 
 
 
a) à esquerda de 0 b) entre 0 e x 
c) entre x e y d) entre y e 1 
e) à direita de 1 
 
63. Observe os seguintes números. 
I. 2,212121... II. 3,212223... III. π / 5 
 IV. 3,1416 V. 4− 
Assinale a alternativa que identifica os números 
 irracionais. 
a) I e II c) I e IV e) II e III 
b) II e V d) III e V 
 
64. (UNIOESTE) Considere os conjuntos: 
A = {x ∈ R / -1 < x < 4 } e 
B = {x ∈ R / -4 < x < 1}. É correto afirmar que: 
01) √5 ∈ A 
02) 6-2 ∈ A 
04) 50 ∈ B 
08) - 7 / 3 ∈ B 
16) 3,2 x 10-3 ∉ B 
32) A ∩ B = { x ∈ R / -1 < x < 1} 
64) A ∪ B = { x ∈ R / x < 4} 
 
65. Do número α sabe-se que: 
I - é raiz da equação x4 - 5x2 + 4 = 0 
II- α ∈ (R - Z-) 
III - α ∉ ]-7, 3/2] ∩ [0, 5[ 
Nessas condições, determine α. 
 
66. (UFSM) Dados os conjuntos 
A = {x ∈ N/ x é ímpar} 
B = {x ∈ Z/ -2 < x ≤ 9} 
C = {x ∈ R/ x ≥ 5}, 
O produto dos elementos que formam o conjunto 
(A ∩ B) – C é igual a: 
a) 1 b) 3 c) 15 d) 35 
 
67. (UFC) – Sejam M e N conjuntos que possuem um 
único elemento em comum. Se o número de 
subconjuntos de M é igual ao dobro do número de 
subconjuntos de N, o número de elementos do 
conjunto M ∪ N é: 
a) o triplo do número de elementos de M. 
b) o triplo do número de elementos de N. 
c) o quádruplo do número de elementos de M. 
d) o dobro do número de elementos de M. 
e) o dobro do número de elementos de N. 
 
68. Dados os intervalos A = [1, 4[, B = [3, 7] e C = 
]- 3, 6[, calcule: 
a) (A ∪ B) ∩ C 
b) C – A 
 
Matemática Prof. Júlio 
598 
69. (UFS-2004/Seriado) – Considere os conjuntos: 
A = {x ∈ R / 1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6} 
B = { x ∈ R / 1 ≤ x < 5 e x ≠ 3} 
C = { x ∈ R / 2 < x ≤ 4} 
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras 
ou falsas. 
( ) A ∩ C = ]2, 3] 
( ) C ⊂ B 
( ) B – C = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x < 5} 
( ) A ∪ B = [1, 6] 
 
70. Assinale a alternativa incorreta: 
a) 2 é racional e inteiro 
b) –3 é inteiro e real 
c) 5/2 não é irracional 
d) 4,5 não é inteiro mas é racional e real 
e) –7,3 é negativo e irracional. 
 
GABARITO 
 
01. a) {3} b) {-2, -3, 1, 3, 4, 5, 6} c) (1, 5, 6} 
02. C 03. a) {6} b) {7. 8} c) {6} 
04. (F) (F) 05. B 06. B 07. C 
 (F) (V) 08. F,V,F,F,V,F.F.F,F,V,F,F 09. A 
 (F) (V) 10. 5 11. C 12. E 13. ∅ 
 (F) (V) 14. (F) (V) 15. 128 
 (V) (V) (F) (V) 16. C 17. E 18. E 
 (F) (F) 19. B 20. C 21. B 
 (F) (F) 22. B 23. B 
24. a) 840 b) 240 c) 140 d) 440 25. 510 
26. a) 510 b) 90 c) 420 d) 50 27. A 28. A 
29. A 30. E 31. 6 32. D 33. B 34. B 35. 1 
36. 36 37. D 38. B 39. 50 40) 61 41. B 42. B 
43. E 44. B 45. 16 46. 180 47. 16 48. D 
49. C 50. C 51. a) { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2} 
 b) { x ∈ R / - 1 < x ≤ 3} 
 c) { x ∈ R / 2 < x ≤ 5 ou x ≥ 6} 
 d) { x ∈ R / x < 2 ou 5 ≤ x ≤ 8} 
52. ∉,∉,∈,∉,∈,∈,∈ 53. V,F,V,V,F,V,V,V,F,V,V,V,V,F 
54. A∪B=[-1,7] A∩B=]2,3] 
55. A 56. B 
57. a) {3,4} b) {0,1,2,3,7,8} c) {2} d) {1,3,4,7,8} 
58. a) ]3, ∞[ b) ] -∞, 12[ c) [5, ∞[ d) ]1,5[ 
59. a) [-2,∞[ b) ]-∞,-8[ c) ]-∞,13] d) ]-3,0[ e) ]-2,0[ 
 f) ]2,7[ ∪ ]10, ∞[ - {13} 
60. V,F,F 61. D 62. B 
63. E 64. 01,02,08,32 
65. 2 66. B 67. E 
68. a) [1,6[ b) ]-3,1[ 69. F,V,V,V 70. E 
 
FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
01. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: 
a) (1 – x)3 = 
b) (1 + 3x)2 = 
c) (3x – 4)(3x + 4) = 
d) (3 + x)2 + (3 – x)2 = 
 
02. Desenvolvendo a expressão: (x – 3)2 + (x + 3)2, 
obteremos o seguinte resultado: 
a) x2 + 12x + 18 b) x2 – 9 
c) 2x2 + 18 d) x2 + 18 e) 14x + 18 
 
03. Fatore a expressão 4x3y4 + 12x2y – 20ax5y7 – 
16x3y2. 
 
04. Fatore as expressões: 
4x2 – 12xy + 9y2 = 
100x2y2 – 4 = 
25x2 + 4x2y2 = 
2x – 4xy + 6x2y = 
2xa2 – 6x2a + 10x3a4 = 
3abc – 15a2b2c3 + 9ab5 = 
 
05. Assinale quais as expressões abaixo são trinômios 
quadrados perfeitos e em seguida, fatore-os. 
( ) x2 + 2xy + y2 = 
( ) x2 + 4xy + 4 = 
( ) 9x2 – 12xa + 4a2 = 
( ) a2 – 14a + 49 = 
( ) 25x2 + 30x + 9 = 
 
06. Sendo x - y = 40 e xy = 10 , calcule o valor de x2 
+ y2. 
 
07. Sendo x + y = 70 e xy = 500 , calcule o valor de 
x2 + y2. 
 
08. Sendo x + y = 50 e x2 + y2 = 20 , calcule o valor 
de x . y. 
09. Sendo 8
2
=+
x
x , calcule o valor de 
2
2 4
x
x + . 
10. Sendo x + y = 20 e xy = 50 , calcule o valor de 
x2 + y2. 
 
11. Sendo xy = 40 e x2 + y2 = 10 , calcule o valor de 
(x + y)2. 
 
12. Sendo x +y = 30 e x – y = 60, calcule o valor de 
x2 – y3 
 
 
13. Sendo x + y = 130 e x – y = 20, calcule o valor 
de x2 – y2 
 
14. Sendo x + y = 200 e x2 + y2 = 150 , calcule o 
valor de 2xy. 
15. Sendo 12
3
=+
x
x , calcule o valor de 
2
2 9
x
x + . 
16. Sendo x + y = 40 e x – y = 50 e xy = – 225 , 
calcule o valor de (x2 – y2) + (x2 + y2). 
 
17. A expressão 9x2 – 12xya + 4y2a2 é equivalente à: 
a) (3x – 4)2 b) (3x + 4ya)2 
c) (3x – 2ya)2 d) (3x2 – 4y2a2)2 e) (3x + 2y)2 
 
18. Fatore: 
a) 27 – x3 = f) 1 + t3 = 
b) 8a3 + 125x3 = g) 1 + x3 = 
c) 1 – t3 = h) 27a3 + x3 = 
d) 8 – x3 = i) 1 + 8t3 = 
e) a3 + 64x3 = 
 
19. Simplifique as frações abaixo: 
Matemática Prof. Júlio 
599 
a) =
−
+−
⋅
−
−
62
12
22
9 22
x
xx
x
x
 
b) =
+
−
x
x
216
64 2
 
 
20. Fatore as expressões: 
a) x2 – 6xy + 9y2 = 
b) 81x2y2 – 16 = 
 
21. Dois números x e y são tais que x2 + y2 = 92 e 
que x + y = 19. Então o valor de xy é: 
a) 271/2 b) 453/2 c) 269/2 
d) 269/4 e) 227/2 
 
22. Fatore e simplifique cada expressão abaixo: 
a) =
−
−
66
1
x
x
 b) =
−
−
19
13
2x
x
 c) =
−
−
xx
x
4
2
 
d) =
+
−+
8
24
3
2
x
xx
 e) =
−
++
4
44
2
2
x
xx
 
f) =
+−
−
10010025
105
2 xx
x
 
 
23. Simplifique as frações abaixo: 
a) =
−
+−
⋅
−
−
82
12
22
16 22
x
xx
x
x
 b) =
−
−
x
x
218
81 2
 
 
=
−
−
⋅
+
−
⋅
+−
−
⋅
−
−
225
32
25
425
9124
32
62
3
)
2
2 x
x
x
x
xx
x
x
x
c 
 
24. Fatore e simplifique cada expressão abaixo: 
a) =
−
−
36
12
x
x
 b) =
−
−
14
12
2x
x
 
 c) =
−
++
9
96
2
2
x
xx
 d) =
−
−
1
13
x
x
 
e) =
−
−
328
4
x
x
 f) =
−
−
125
25
3
2
x
x
 
g) =
+−
−
9124
32
2 xx
x
 h) =
−
+
49
23
2x
x
 
i) =
−
−
99
99 2
x
x
 j) =
+
−
216
64 2
x
x
 k) =
−
−
22
1
x
x
 
l) =
−
−
36
936 2
x
x
 m) =
−
+−
⋅
−
−
26
12
22
9 22
x
xx
x
x
 
n) =
−
−
⋅
−
−
18
2412
36
12
3x
x
x
x
 o) =
+−
−
244
2
xx
x
 
 
25. Com relação à expressão 
22
.
2
2
22
22
+
−
+−
+
⋅
+
−
b
aba
baba
aab
ba
ba
: 
b) Dê sua forma mais simples. 
c) Calcule seu valor numérico para a = 20 e b = 
9,12. 
 
26. Fatore as seguintes expressões algébricas: 
a) 7a - 7b = d) a3 - a2 = 
b) 3x2 + 12x5 - 15x3 = e) 64 - a2 = 
c) 9x2 - 1 = f) m2n2 - 2mnpz 
+ p2z2 = 
 
27. Simplifique: 
a) _x2 - x_ b) ___a + 2___ c) (x + y)2_ 
 x - 1 a2 + 4a + 4 x2 - y2 
 
28. (FAAP - SP) Simplificando a expressão a seguir: 
______ax - ay______ , obtemos: 
 x ( x - y) - y (x - y) 
a) a b) 1 / (x - y) c) a / (x - y) 
d) a / (x + y) e) nda 
 
29. (UNICAMP) A expressão que segue abaixo: 
 _a2 + 2ab + b2_ ÷ _a - b_, para a ≠ ± b, é igual: 
 a2 – b2 a + b 
a) 1 / (a + b)2 c) (a + b)3 / (a2 + b2) 
b) [(a + b) / (a – b)]2 e) (2a2b + 2ab2) / (a – b) 
c) d) 1 / (a – b) 
 
30. (MED. SANTOS) Calculando o valor da expressão 
9342872 – 9342862, obtemos: 
a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 e) nda 
 
31. (UNIMEP – SP) Se m + n + p = 6 ; mnp = 2 e 
mn + mp + np = 11, podemos dizer que o valor 
de _m2 + n2 + p2_, é:______. 
 mnp 
 
 
32. (FGF – SP) Simplificando-se 
obtemos: 
a) 1/ (ab) 
b) ab 
c) (a +b) / (– a – b) 
d) – ab 
e) nda 
 
33. Dê o valor numérico da expressão 
44
2
2
4
2
22
+−
−
⋅
+
−
xx
xx
x
x
 para x = 12,5. 
 
34. Simplificando a expressão 
xy
yx
yxyx
yx
yx −
+
⋅
++
⋅





−
22
33
22 2
11
, obtém-se: 
a) xy b) 1 c) 0 d) – x e) 1/x 
 
35. A expressão que segue 
)(
1
)2)((
42
44 22
44
yxxyx
x
yx
yx
−
⋅
++
+
⋅
+
−
 é 
equivalente a: 
 a) 2 b) x + y c) ½ d) x – y e) 1 
 
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600 
GABARITO 
 
01. a) 1 – 3x + 3x2 + x3 
 b) 1 + 6x + 9x2 
 c) 9x2 – 16 
 d) 18 + 2x2 
02. C 03. 4x2y (xy3 + 3 – 5ax3y6 – 4xy) 
04. a) (2x + 3y)2 05. (x) 
 b) (10xy + 2)(10xy – 2) ( ) 
 c) (5x + 2xy)( 5x – 2xy) (x) 
 d) 2x(1 – 2y + 3xy) (x) 
 e) 2xa(a – 3x + 5x2a3) (x) 
06. 1620 07. 3900 08. 1240 09. 60 
10. 300 11. 90 12. 1800 
13. 2600 14. 39850 15. 138 
16. 3150 17. C 
18. a) (3 – x)(9 + 3x + x2) 
 b) (2a + 5x)(4a2 – 10ax + 25x2 
 c) (1 - t)(1 + t + t2) 
 d) (2 – x)(4 + 2x + x2) 
 e) (a + 8x)(a2 – 8xa + 64x2) 
 f) (1 + t)(1 – t + t2) 
 g) (1 + x)(1 – x + x2) 
 h) (3a + x)(9a2 - 3ax + x2) 
 i) (1 + 2t)(1 – 2t + 4t2) 
19. a) (x+3)(x-1)/4 b) (8 – x)/2 
20. a) (x – 3y)2 b) (9xy + 4)(9xy – 4) 21. C 
22. a) 1/6 b) 1/(3x + 1) c) 1/(2 + x) 
 d) 1/(x + 2) e) (x + 2)/(x – 2) 
 f) 1/(5x – 10) 
23. a) (x + 4)(x – 1)/4 b) (9 + x)/2 c) ½ 
24. a) 1/3 b) 1/(2x + 1) c) (x + 3)/(x – 3) 
 d) 1/(x2 + x + 1) e) 1/8 
 f) (x + 5)/(x2 + 5x + 25) g) 1/(2x – 3) 
 h) 1/(3x – 2) i) x + 1 
 j) (8 – x)/2 k) 1/2 l) 6x + 3 
 m) (x + 3)(x – 1)/4 n) 1/3 q) 1/(2 – x) 
25. a) a2/2 b) 200 
26. a) 7(a – b) b) 3x2(1 + 4x3 – 5x) 
 c) (3x + 1)(3x – 1) d) a2(a – 1) 
 e) (8 + a)(8 – a) f) (mn – pz)2 
27. a) x b) 1/(a + 2) c) (x + y)/(x – y) 
28. C 29. B 
30. C 31. 7 
32. B 33. 12,5 
34. A 35.C 
 
POTENCIAÇÃO 
 
01. Calcule o valor das seguintes potências: 
a) 24 = b) 3 – 2 = c) =2
1
16 
d) =







4
2
1
7 e) =





−3
5
1
 
 
02. Calcule o valor das expressões: 
 a) E = ( )2125
0
8581
2253
1125
−++−+




 −
 
 b) E = 3
2
14125
2
27
3
2
501
2
1
+




−+−+





−
 
 
03. O valor numérico da expressão 
4102
1
231254 +⋅+−= −E é: 
 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 
 
04. Calcule o valor das expressões abaixo: 
a) =
+
+
−22
3
22,0
2712
 b) =
−
+ −−
4
21
1616
23
 
 
05. Dada a expressão abaixo, seu valor é: 
a) – 38/5 
b) 52/5 
c) 26/5 
d) 41/5 
e) – 34/5 
 
06. Passe os número abaixo para notação científica 
a) sobre o planeta Terra: 
- velocidade de translação: 29,79 km/s = 
_______________ 
- volume: 1083 000 000 km3 = 
_________________ 
- circunferência polar: 40 009m = 
_______________ 
b) 12,5 . 107 = ______________ 
0,00032 . 109 = _____________ 
3140,3 . 10 –7 = ____________ 
0,0035 . 10 –10 = ______________ 
 
07. O Número 0,000 000 0045, escrito na forma 
científica, é: 
a) 4,5 x 10-9 b) 4,5 x 109 
c) 4,5 x 10-8 d) 4, 5 x 10-10 e) 0,45 x 10-9 
 
08. Qual é o valor numérico da expressão: 
 a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 20 
 
 
 
09. Calcule o valor da expressão abaixo, deixando da 
forma mais simples possível. 
 
 
 
 
 
 
10. Qual é o valor numérico da expressão: (mostrar 
resolução) 
a) 10 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 20 
 
11. Calcule o valor da expressão abaixo, deixando da 
forma mais simples possível. 
 
3
2
18
1
3
1
216,0 +




−+=
−
−E
2 3
1
2
1
64
2
1
464 +




−+
−
( )
( ) ( ) 12
2
5,04,0
2,081
−
−
−
+
321264
2
1
464 3
1
2
1
−++




−+
−
( )
( ) ( ) 12
2
09,02,0
1,0
−
−
−
Matemática Prof. Júlio 
601 
 
 
 
12. Resolva as expressões abaixo: 
 
 a) =
+
+
−159
2,081
 b) =
+−
++
−
−
52
1
3222,5
46,025
 
 c) 
2
23
3,02
4008,0
−
−
+−
+
 
 
13. Se 10m = 64, então o valor de 10m/3 é: 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 
 
14. (FATEC – SP) Se A = (-3)2 - 22, B = -32 + (-2)2 e 
C = (-3 – 2)2, então C + A x B é igual a: 
 a) –150 b) –100 c) 50 d) 10 e) 0 
 
15. (CESCEM – SP) Simplificando a expressão [29 : 
(22 . 2)3]-3, obteremos: 
 a) 2-30 b) 1 c) 2-6 d) 236 e) 2 
 
16. (S.ANDRÉ – SP) Simplificando a expressão 
obtém-se: 
 
 
 
 
 a) 2n + 1 – 1/8 b) 7/8 c) –2n + 1 
 d) 1 – 2n e) 7/4 
 
17. Classifique como verdadeiro ou falso: 
( ) 27 . 22 = 29 
( ) 39 : 34 = 35 
( ) 45 : 4-3 = 42 
( ) 75 – 73 = 72 
( ) 5x – 3 = 5x : 53 
( ) (73)2 = 75 
( ) (5 + 2)2 = 52 + 22 
( ) 103 / 105 = 10-2 
 
18. Sendo 23x = 27 calcule o valor de y na expressão 
y = 22x + 2-x 
 
19. (UFSM – RS) Efetuando a divisão ex : ex – 2, 
teremos: 
 a) e2 b) e-2 c) e2x d) e2x – 2 e) nda 
 
20. (PUC – SP) (0,5)4 é igual a: 
 a) 0,125 b) 0,625 c) 0,00625 d) nda 
 
21. (FGV – SP) A expressão (1/2)-3 + (1/2)-5 é 
igual a: 
 a) (1/2)-8 b) 40 c) 1/40 d) –40 e) nda 
 
22. (EFOA – MG) Qual dos números abaixo é igual a 
0,000000375? 
 a) (0,175 + 0,2) . 10-7 b) (3/8) . 10-5 
 c) (3 + 3/4) . 10-7 d) 375 / 10-6 
 e) (375 . 109) 
 
23. (STA. CASA – SP) Para x = 0,1, o valor da 
expressão _x3 - 1_ é: 
 1 - x 
 a) –11,11 b) –1,11 c) –0,111 d) 1,11 e) 11,1 
 
24. (ACAFE – SC) Sendo a = 1, b = ½ e c = -2, 
calcule e valor numérico da expressão que 
segue:_c2 + b_ _ _2a – c2_ 
 b – a2 b3 
 a) –25 b) –7 c) 7 d) 11 e) 25 
 
25. Se x = 10-3, então calcular a expressão abaixo 
em função de x. 
 _(0,2) . (0,001) . 10-1_ 
 10 . (0,0001) 
 
26. (OSEC – SP) Sabendo-se que a2 = 56, b3 = 57 e c4 
= 58 e que a e c são dois números reais de 
mesmo sinal, ao escrever (a b c)9 como potência 
de base 5, qual o valor do expoente? 
 
27. (CESCRANRIO – RJ) O número de algrismos do 
produto 517 x 49 é igual a: 
 a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) 35 
 
28. (UNOPAR – PR) A expressão 
 
 
 
 
é igual a: 
 a) 1 b) 3 c) 5 d) 3√2 e) 5√2 
 
GABARITO 
 
01. a) 16 b) 1/9 c) 4 d) 49 e) 125 
02. a) 11/5 b) 113/9 
03. B 04. a) 2500/29 b) 5/12 
05.A 
06. a) 2,979x10 - 1,083x109 - 4,0009x104 
 b) 1,25x108 – 3,2x105 – 3,1403x10- 4 – 3,5x10- 13 
07. A 08. A 
09. -425/23 10. A 
11. - 7500/243 
12. a) 1 b) 117/139 c) 189/6560 
13. C 14. E 
15. B 16. B 
17. V, V, F, F, V, F, F, V 
18. 28/3 19. A 
20. E 21. B 
22. C 23. B 
24. C 25. 200x 
26. 66 27. B 
28. A 
 
RADICIAÇÃO 
 
01. Resolva as expressões abaixo: 
 
 
 
 
 
 
=
+
−
=
=+
=+−
9
2
3
5,025
)
5)
205185)
232824)
3 6
d
c
b
a
Matemática Prof. Júlio 
602 
3 4096
3
x
y
y
x
549 +
 
 
 
 
 
 
02. (Fuvest) 
 
(a) (b) 
(c) (d) (e) 
 
03. Marque a alternativa INCORRETA: 
 
04. Racionalizando a fração , 
encontraremos: 
a)√7 
b) 2 + √7 
c) 2√7 + 2√5 
d) √5 
e) √7 + √5 
 
05. Simplificar os radicais, fatorando-os. 
 
 
 
 
 
 
 
06. Resolvendo a expressão abaixo, obtém-se o 
valor: 
 
 
 
a)¾ b) 7 c) 7/4 d) 2√30 e) √30 
 
07. Simplifique os radicais abaixo: 
a) =3600 b) =3 648 c) =5 3200 
 
 
 
 
08. Resolva: 
 
09. (CESULON – PR) Qual o valor de x, se x é igual a: 
 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) –2 
 
10. (SANTA CASA) A diferença 80,666... – 90,5 é igual 
a: 
 a) 2 b) 1 c) √2 – 3 d) –2 e) -2√2 
 
11. (UFMG) O valor da expressão algébrica 
 x –2 - __1__ + x 3/2 + √ x, para x = 4 é: 
 x – 1 
 a) 23 / 3 b) 35 / 3 c) 3√16 + 91 / 48 
 d) 457 / 48 e) 467 / 48 
 
12. (UFBA) – A expressão é igual a: 
 
 
 
 
 a) 3√x / y b) 6√x / y c) 6√y / x 
 d) √ y / x e) √xy 
 
13. (UFCE) Simplificando a expressão : 3√2 - 2√18 + 
3√72, obteremos: 
 a) 3√2 b) 24√2 c) 15√2 d) - 15√2 
 
14. (UFMG) O quociente (7√3 - 5√48 + 2√192) : 3√3 
é igual a: 
 a) 2 b) 1 c) 3√3 d) 2√3 
 
15. (UECE) – O valor da expressão 12[(√2)-2 – (√3)-2] 
é igual a: 
a) 2 b) √3 c) 3 d) √2 e) 6 
 
16. (UI) – Simplificando a expressão obtém-se: 
a) 2 + 3√5 
b) 3 + √5 
c) 3 + 2√5 
d) 2 + √5 
e) 2 + 2√5 
 
17. (UFRGS) – A expressão √(3/5) + √(5/3) é igual a: 
a) 8/15 b) 3/5 c) 1 d) √(34/15) e) (8√15)/15 
 
18. Racionalize as frações abaixo: 
a) =
53
2
 b) =
+ 24
3
 c) =
53
2
 
d) =
+ 24
3
 e) =
7
2
 f) =
+ 53
38
 
g) 
3
3
2
43
= h) 
2
1
= i) 
32
2
−
= 
 
GABARITO 
 
01. a) - √2 b) 15√2 + 10√5 c) 36 5 d) 1 
02. 1 03. C 04. E 
05. a) 3 1810 b) 4 102 c) 1052 d) 3 2002 e) 
4 602 f) 3622 
06. C 07. a) 60 b) 3 36 c) 5 102 
3 43
32
43
333
93)
832)
54)
1073)
852)
=
=
<
<<
<<
e
d
c
b
a
57
2
−
420)
160)
18000)
4
3
c
b
a
1448)
960)
1600)
4
3
f
e
d
302120480216 2 −−+− −
2
1
42 481316 +−+ −
Matemática Prof. Júlio 
603 
08. 10/9 09. B 10. B 
11. C 12. A 13. C 
14. B 15. A 16. D 
17. E 
18. a) 2√15/5 b) (4√3 - √6)/14 c)2√5/15 d) (4√3 - 
√6)/14 e) 2√7/7 f) 4√15 – 12 g) 3 23 h) √2/2 
i) 4 + 2√3 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
01. (FUVEST – SP) – A soma de um número com sua 
quinta parte é 2. Qual é o número? 
 
02. Resolva as equações abaixo: 
 
 a) b) 
 
 c) 
5
2
3
3
4
32
=
+
−
− xx
. 
03. Resolva as equações abaixo: 
 a) 3(x – 4) + 5(x + 3) = 2(3x – 5) – 6 
 b) (x – 4) + 5(x – 3) = 2(3x – 5) 
 
04. Resolva as equações abaixo e responda qual a 
condição de existência dec cada uma delas. 
a) 
3
2
12
4
=
+
−
x
x
 b)
xxxx 2
52
2
4
2 −
=+
−
 
c) 
3
22
=
−
x
x
 d)
xxx 3
12
1
4
=+
−
 
e) 
3
2
1
2
=
+
−
x
x
 f)
xxx 3
52
2
4
=+
−
 
g) 
2
431
2
2
−
+=+
− xxxx
 
 
05. O acionista de uma empresa vendeu, no início de 
janeiro, 1/3 das ações que possuía. Np início de 
fevereiro, vendeu 1/3 das ações que restaram 
após a venda feita em janeiro. Repetiu o mesmo 
procedimento em março, abril, maio e junho, 
quando, após a venda, possuía 256 ações. 
Calcule quantas ações este acionista vendeu no 
início de abril .05.06. (Unicamp/2004) – Em uma empresa, 1/3 dos 
funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 
tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários 
têm mais de 40 anos. 
a) Quantos funcionários têm a referida empresa? 
b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos? 
 
07. Dois ciclistas partem simultaneamente de uma 
cidade em direção reta. Sabendo que: 
I – o primeiro parte na direção leste com 
velocidade de 15 km/h; 
II – o segundo parte na direção norte com 
velocidade de 22,5 km/h. 
Então, duas horas após a partida, a distância, em 
km, que os separa é: 
 a) 32 b) 15√13 c) 75 d) 225√13 e) 2925 
 
08. A diferença entre um número e os seus 3 / 5 é 
igual a 10. Qual é esse número? 
 
09. A soma de dois números ímpares consecutivos é 
244. Quais são esses números? 
 
10. Em um colégio, 20% dos professores ensinam 
Matemática. Sabendo que o colégio ainda tem 24 
professores que ensinam as outras matérias, 
quantos professores há, ao todo, nesse colégio? 
 
11. (UEL – PR) O número que satisfaz a igualdade 
_x_ _ _5x - 7_ = _x - 4_ é: 
 3 2 6 
 a) – 9/4 b) – 3/4 c) – 1/4 d) 25/14 e) 9/4 
 
12. (UNESP – SP) Duas empreiteiras farão 
conjuntamente a pavimentação de uma estrada, 
cada um trabalhando a partir de uma das 
extremidades. Se uma delas pavimentar dois 
quintos da estrada e a outra os 81 km restantes, 
a extensão dessa estrada é de: 
a) 125km b) 135km c) 142km 
d) 145km e) 160km 
 
13. (FGV – SP) A soma de três números inteiros e 
consecutivos é 60. Assinale a afirmação 
verdadeira: 
a) O quociente do maior pelo menor é 2 
b) O produto dos três números é 8000 
c) Não existem números nessa condição 
d) Falta informação para encontrar os 3 números 
e) O produto dos três números é 7980 
 
14. Sejam N um número natural de dois algarismos 
não-nulos e M o número obtido invertendo-se a 
ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N – M = 
45. Então, quantos são os possíveis valores 
de N? 
a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3 
 
15. (UPF/2004) – Se for adicionado um número 
inteiro b a sua quarta parte e o resultado for igual 
a 15, pode-se dizer que b é um número 
a) múltiplo de 2 e de 3. 
b) múltiplo de 2 apenas. 
c) múltiplo de 5 apenas. 
d) primo. 
e) múltiplo de 3 e de 5. 
 
16. (UNICAMP) - Em uma sala há uma lâmpada, uma 
televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado 
[AC]. O consumo da lâmpada equivale a 2/3 do 
consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 
vezes o consumo da TV. Se a lâmpada, a TV e o 
AC forem ligados simultaneamente, o consumo 
total de energia será de 1,05 quilowatts hora 
[kWh]. Pergunta-se: 
a) Se um kWh custa R$0,40, qual será o custo 
para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados 
por 4 horas por dia durante 30 dias? 
b) Qual é o consumo, em kWh, da TV? 
 
6
2
4
53
3
2 xxx −
=
+
+
−
1
2
52
5
3
=
+
+
− xx
Matemática Prof. Júlio 
604 
17. (UFPB) - Dois amigos, Paulo e Elmiro, 
desejam, juntos, comprar um terreno. Paulo 
tem 
1
5
 do valor do terreno e Elmiro 
1
7
. Se 
juntarem, ao que possuem, R$ 3.450,00, 
teriam o valor exato do terreno. Quanto 
custa o terreno? 
 
18. (ACAFE) – Dois tonéis, A e B, contêm juntos 1400 
litros de vinho. Se fossem acrescentados 250 
litros de vinho ao reservatório A, este ficaria com 
a metade do vinho contido em B. A quantidade de 
vinho no reservatório B, em litros, é: 
a) 850 b) 1150 c) 575 d) 950 e) 1100 
 
19. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular, um 
usuário escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 
68,00 mensais, com direito a utilizar 100 minutos 
em ligações, assumindo o compromisso de pagar 
R$ 1,02 por minuto excedente. No mês passado, 
o usuário pagou, nesse plano, R$ 113,90. Quanto 
tempo o telefone foi utilizado nesse mês? 
 a) 1 h 52 min b) h 25 min c) 2 h 35 min 
 d) 2 h 45 min e) 2 h 52 min 
 
GABARITO 
 
01. 5/3 
02. a) -21/8 b) -1/5 c) 129/10 
03. a) -19/2 b) ∅ 
04. a) 10/7 b) 3/2 c) 6/5 d) 5/17 e) 4/5 f) 2/13 g) 1 
05. 288 06. a) 96 b) 64 
07. B 08. 25 
09. 121 e 123 10. 30 
11. D 12. B 
13. E 14. B 
15. A 16. a) 50,4 b) 0,09kwh 
17. R$ 5520,00 18. E 
19. B 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES 1º GRAU 
COM 2 INCÓGNITAS 
 
01. Resolva os sistemas abaixo: 



=−
=+
52
4
)
yx
yx
a
 



=−
=−

4
143
)
yx
yx
b
 
 
 
02. Resolva os sistemas abaixo: 



=−
=+



=−
=+
8
1
)
8
102
)
yx
yx
b
yx
yx
a 
 
03. Resolva o sistema 




=+
=+
5
2
112
y
x
yx
 
 
04. (EFOA/2005) – Em determinado concurso, os 
candidatos fizeram uma prova contendo 25 questões. 
Pelas normas do concurso, os candidatos não poderiam 
deixar questões em branco e, na correção da prova, 
seriam atribuídos (+2) a cada resposta certa e (- 1) a 
cada resposta errada. A nota da prova seria a soma dos 
valores atribuídos às questões. Se um candidato obteve 
nota 17, o número de questões que ele acertou foi: 
a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) 14 
 
05. (EFOA/2004) – No Parque de Diversões Dia Feliz, os 
ingressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 6,00 para 
crianças. No último domingo, com a venda de 400 
ingressos, a arrecadação foi de R$ 3.000,00. A divisão 
entre o número de adultos e crianças pagantes foi: 
a) 52 / b) 43 / c) 53 / d) 32 / e) 54 / 
 
06. Resolva o sistema 




=+
=+
2
15
2
92
y
x
yx
 
 
07. No terreiro de uma fazenda havia 65 animais entre 
galinhas e porcos. Sabendo que o total de pés eram 180, 
quantos porcos e quantas galinhas havia neste terreiro? 
 
08. Resolva o sistema 



=+
=−
25
52
yx
yx
 
 
09. (UNESP/1999) – Um clube promoveu um show de 
música popular brasileira ao qual compareceram 200 
pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor 
arrecadado foi R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram o 
ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi de R$ 
10,00 e que cada sócio pagou a metade desse valor, o 
número de sócios presentes ao show é: 
a) 80 b) 100 c) 160 d) 140 e) 120 
 
10. (UNITAU – SP) A solução do sistema de equações 
algébricas lineares



=+
=−
12
2
yx
yx
é dada por: 
a) x = 1 e y = 1 b) x = -1 e y = 1 
c) x = y = 0 d) x = 1 e y = -1 
e) x = -1 e y = -1 
 
11. A soma de dois números é igual a 45 e a diferença 
entre eles é 37. Quais são estes dois números? 
 
12. (PUCCAMP – SP) – Um artesão está vendendo 
pulseiras ( a x reais a unidade) e colares ( a y reais a 
unidade). Se 3 pulseiras e 2 colares custam R$ 17,50 e 2 
pulseiras e 3 colares custam R$ 20,00, o preço de cada 
pulseira é: 
a) R$ 3,20 b) R$ 3,00 c) RS 2,70 
d) R$ 2,50 e) R$ 2,00 
 
13. Responda: 
a) No sítio de Paulo há gatos e gansos. Sabendo que a 
soma de gatos e gansos é 16 e que a soma das patas 
Matemática Prof. Júlio 
605 
desses animais é 42, quantos gatos e quantos gansos há 
no sítio de Paulo? 
b) Se morressem 2 gatos e 2 gansos, ao somar a 
quantidade de patas desses animais, que número Paulo 
obteria? 
 
14. (EFEI – MG) Dois números naturais são tais que a sua 
soma é igual a 209 e o quociente do maior deles pela 
diferença entre eles é igual a 6. Encontre esses números. 
 
15. (PUC – SP) Um certo número de alunos fazia prova 
em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da 
sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao 
dobro do número de moças. Em seguida,retiraram-se 31 
rapazes, ficando na sala igual número de moças e 
rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era: 
a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 
 
16. (UNI-RIO – RJ) Num concurso, a prova de Matemática 
apresentava 20 questões. Para cada questão respondida 
corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e, para cada 
questão respondida erradamente ou não respondida, 
perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado 
deveria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 
pontos, o menor número de questões respondidas 
corretamente para que o candidato fosse aprovado era 
de: 
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 
 
17. (ESPM – SP) – José, João e Pedro foram juntos à 
padaria. José tomou duas médias e comeu três pães com 
manteiga, pagando R$ 1,74. João tomou três médias e 
comeu dois pães com manteiga, pagando R$ 1,96. Pedro 
tomou uma média e comeu dois pães com manteiga. 
Quanto pagou Pedro? 
a) R$ 1,00 b) R$ 1,04 c) R$ 1,08 
d) R$ 1,12 e) R$ 1,16 
 
18. (UEL – PR) Num bar paga-se R$ 5,80 por 5 pastéis e 
3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastéis e 2 
copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada 
copo de refrigerante custa: 
a) R$ 0,70 
b) R$ 0,50 
c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel 
d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel 
e) R$ 0,20 a menos de que o preço de cada pastel 
 
19. (FUVEST – SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho 
tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada 
filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número 
de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
20. (UFF – RJ) Um baleiro vende n balas, por R$ 0,30 
cada uma, e obtém L reais. Se vender 15 balas a menos, 
por R$ 0,45 cada uma, obterá os mesmos L reais. 
Determine o valor de n. 
 
21. (UNICAMP – SP) Em um restaurante, todas as 
pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal 
e uma mesma sobremesa. Com o prato principal, o grupo 
gastou R$ 56,00 e com a sobremesa, R$ 35,00; cada 
sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato 
principal. 
a) Encontre o número de pessoas neste grupo 
b) Qual o preço do prato principal? 
 
22. (MÉD. CATANDUVA – SP) Eu tenho o dobro da idade 
que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. 
Quando você tiver a idade que eu tenho, a soma das 
nossas idades será 72 anos. A minha idade é: 
a) 24 anos b) 32 anos c) 8 anos 
d) 40 anos e) 16 anos 
 
GABARITO 
 
01. a) {(3,1)} b) {(5, 1)} 
02. a) {(6,2)} b) {(9/2, -7/2)} 
03. {(4,3)} 04. E 
05. C 06. {(1,7)} 
07. 25 porcos e 40 galinhas 
08. {(10,15)} 09. E 
10. D 11. 41 e 4 
12. D 13.a) 5 gatos e 11 gansos b) 30 
14. 95 e 114 15. C 
16. A 17. A 
18. E 19. E 
20. 45 21. a) 7 b) R$ 8,00 22. B 
 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
01. Dê o conjunto solução de cada uma das equações 
abaixo, sendo os reais o conjunto universo. 
a) x2 – 20x = 0 
b) x2 – 16 = 0 
c) 2x2 – 3x – 2 = 0 
d) 3x2 – 10x + 3 = 0 
e) x2 – 7x + 12 = 0 
f) x2 – 225 = 0 
g) x2 + 3x = 0 
h) x2 + 6x + 8 = 0 
i) 2x2 – 8 = 0 
j) x2 + 8x = 0 
k) 2x2 – x – 1 = 0 
l) 2x2 – 10 = 0 
m) 3x2 – 5x + 9 = 0 
n) 3x2 + 8x = 0 
o) 2x – 4 = 20 
p) 5x – 8 = 32 
q) x2 – 10x + 21 = 0 
r) 4x2 – 8x = 0 
 
02. Calcular o discriminante de cada equação e dizer 
quantas soluções diferentes cada equação possui. 
a) x² + 9 x + 8 = 0 
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 
c) x² - 2 x + 4 = 0 
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 
 
03. O produto de um número inteiro positivo pelo seu 
consecutivo é 20. Qual é o número? 
 
04. A diferença entre o quadrado de um número e o seu 
triplo é igual a 4. Qual é esse número? 
 
05. (CESGRANRIO-RJ) - A maior raiz da equação – 2x2 + 
3x + 5 = 0 vale: 
Matemática Prof. Júlio 
606 
a) -1 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) (3 + √9)/4 
 
06. A equação de segundo grau 2x2 – 5x + 7 = 0: 
a) Não possui solução real; 
b) Possui duas soluções reais iguais; 
c) Possui duas soluções reais diferentes; 
d) Tem o discriminante positivo. 
e) Tem uma solução igual a 2. 
 
07. (PUC – SP) – Quantas raízes tem a equação 2x2 –2x 
+ 1 = 0 ? 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nda 
 
08. Resolvendo a equação x2 – 8x + 12 = 0, 
encontraremos como solução: 
 a) S = {2, 6} b) S = {- 2, 6} c) S = {2, - 6} 
 d) S = {- 2, - 6} e) S = {1/2, 1/6} 
09. Resolvendo a equação , 
encontraremos como solução os números: 
 a) 1/7 e – 2 b) 6 e 2 c) 7 e – 2
 d) 1/7 e 2 e) -3 e 1/7 
 
10. Resolver a equação (x – 1)2 + (x + 2)2 = 9 
 
11. (UFOP) – Resolva a equação fracionária: 
 
 
 
12. (UFV)- Dada a equação (m – 1) x2 + 2mx – (m+1) = 
0, determine “m” de forma que a equação tenha uma raiz 
real dupla. 
 
13. Calcule o valor de “a” de forma que a equação ax2 + 
(a+1)x = 0 tenha duas raízes reais iguais. 
 
14. A diferença entre o quadrado de um número e o seu 
nônuplo é igual a 10. Estes números podem ser: 
 a) 1 e 10 b) – 2 e – 10 c) 2 e 10 
 d) – 1 e 10 e) 1 e – 20 
 
15. O quadrado de um número somado com seu 
quádruplo é igual a 5. Qual é este número? 
 
16. Sabendo que x’ e x” são as raízes da equação do 2º 
grau 2x2 + 10x – 8 = 0, calcule o valor de: x’. x” + 3(x’+ 
x”) 
17. Resolva as equações: 
a) (x – 3)2 = 5x + 9 
b) x2 – 6x + 9 = 0 
 
18. Sabe-se que uma equação do 2º grau, depois de 
resolvida, resultou no seguinte conjunto-solução: S = {3, 
-1}. Qual foi a equação que deu origem à este conjunto-
solução? 
 
19. Resolva: 
 
20. Em um terreno retangular foi construída uma casa 
que mede 50m por 30m. Em volta desta casa foi plantada 
grama ocupando uma largura de x metros, conforme a 
figura. Calcule esta largura sabendo que o terreno tem 
área igual a 2400m2. 
a) 2m 
b) 3m 
c) 4m 
d) 5m 
e) 6m 
21. A diferença entre o quadrado de um número e o seu 
quíntuplo é igual a – 4. Qual é esse número? 
 
22. Calcule dois números naturais e consecutivos tais que 
a soma de seus quadrados seja 85. 
 
23. Resolva: 
a) _x - 2_ + _x - 3_ = 1 
 x + 1 x – 1 
b) 6x -2 – 17x - 1 + 12 = 0 
c) (2 – x)2 = 2 – x 
 
24. Sabe-se que o número 2 é raiz da equação ax2 – 6x 
= 0. Obtenha a outra raiz. 
 
25. Em um quadrado, o número que expressa a área é 
igual ao número que expressa o perímetro. Sendo x, a 
medida do lado desse quadrado, determine o valor de x. 
 
26. (PUC – SP) – Uma das raízes da equação 0,1 x2 – 
0,7x + 1 = 0 é: 
 a) 0,2 b) 0,5 c) 7 d) 2 e) nda 
 
 
27. (FUVEST – SP) – Se x . (1 – x) = 1 / 4, então x é 
igual a: 
 a) 1 b) 1/2 c) 0 d) 1/4 e) 3 
 
28. (UFSE) – A equação _x – 3_ + _1_ = - 3 em R, 
 2 x 
 é verdadeira, se x2 for igual a: 
 a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4 e)nda 
 
29. Calcule os valores de m na equação x2 –mx + 9 =0 
para que esta equação tenha uma raiz dupla. 
 
30. Obtenha a soma dos itens associados a afirmações 
corretas: 
01) A equação x2 + x = 0 possui duas raízes reais 
distintas. 
02) A equação x2 + 4 = não possui raiz real. 
04) As raízes da equação - x2 + 25 = 0 são números 
opostos. 
08) Para m = 2 a equação x2 +3x – 4m = 0 possui duas 
raízes reais distintas. 
 
31. (UFRGS) – Um valor de x na equação ax2 –(a2 + 3)x 
+ 3a = 0 é: 
 a) 3a b) a/3 c) – a/3 d) 3/a e) - 3/a 
 
32. (PUC – SP) – Considere o seguinte problema: “Achar 
um número que, somado com 1, seja igual ao seu 
inverso”. Qual das equações representa este problema? 
 a) x2 – x + 1 = 0 b) x2 + x – 1 = 0 c) x2 – x 
– 1 = 0 d) x2 + x + 2 = 0 e) nda 
 
33. Calcule a soma e o produto das raízes das equações 
abaixo: 
a) x2 – 5x + 6 = 0 
b) x2 + 7x + 40 = 0 
c) x2 – 8x + 4 = 0 
d) 3x2 - 27x -3 √5 = 0 
x
x
−
=+
3
5
3
1
2
1
1
1
112
2
=+
−
+
−
−
+ xx
x
x
x
Matemática Prof. Júlio 
607 
e) 2x2 – x – 1 = 0 
f) x2 – 2x = 0 
g) 4x2 – 7x + 1 = 0 
 
34. Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes 
da equação 2x2 – 10x + 6 = 0, calcule o valor de S – P. 
35. Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes 
da equação 3x2 – 12x + 6 = 0, calcule o valor de S – 2P. 
 
36. A soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 
2 = 0 são, respectivamente: 
a) 10 e – 5 
b) 1/10 e 1/5 
c) – 1/10 e – 1/5 
d) 1/10 e – 1/5 
e) 1/5 e – 5 
 
37. (FEI)- Na equação do 2º grau 4x2 + px +1 = 0, a 
soma dos inversos das raízes é –5. Calcule o valor de p. 
 
38. (Fuvest) – Sejam x’e x”as raízes da equação 10x2 + 
33x – 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5 
. x’. x” + 2(x’+ x”) é: 
a) – 33 b) – 10 c)– 7 d) 10 e) 33 
 
39. Determine mentalmente as raízes das equações: 
a) x2 – 9x + 8 = 0 b) x2 + 7x – 8 = 0 
c) x2 + 4x + 4 = 0 d) x2 + 9x – 10 = 0 
 
40. Sendo α e β as raízes da equação 7x2 – 13x + 5 = 0, 
calcule o valor de: 
a) α + β b) α . β c) α2 + β2 c) 1 / α + 1 / β 
 
41. Determine a correspondente equação do 2º grau, com 
coeficientes inteiros e irredutíveis, a partir das raízes: 
a) raízes 2 e –3 b) raízes –4 e 4 c) raízes 0 e 1 
 
42. (PUC – PR) – A soma e o produto das raízes da 
equação x2 + x – 1 = 0 são respectivamente: 
a) –1 e 0 b) 1 e –1 c) –1 e 1 
d) –1 e –1 e) nda 
 
43. (CESESP) – Qual deve ser o valor de m na equação 
2x2 – mx – 40 = 0 para que a soma de suas raízes seja 
igual a 8 ? 
a) 8 b) – 8 c) 16 d) – 16 e) nda 
 
44. (UFAM) – Quais os valores de b e c para que a 
equação x2 + bx + c = 0 tenha como raízes 5 e –3 ? 
a) - 2 e – 15 b) 5 e –3 c) 15 e 3 
d) –5 e 3 e) nda 
 
45. (UFG – SP) – Para que a soma das raízes da equação 
(k – 2)x2 - 3kx + 1 = 0 seja igual ao seu produto, 
devemos ter: 
 a) k = ± 1/ 3 b) k = - 1/3 c) k = 1/3 d) k = 
√3 e) k = √3/3 
 
46. (ESAL – MG) – A soma e o produto das raízes da 
equação (m – 1)x2 + 2nx + n – 8 = 0 são – 6 e – 5 
respectivamente. Os valores de m e n são: 
a) m = 3 e n = 2 
b) m = 4 e n = 1 
c) m = 1 e n = 4 
d) m = 2 e n = 1 
e) m = 2 e n = 3 
 
47. (PUCCAMP – SP) – Se v e w são as raízes da equação 
x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então 
v2 + w2 é igual a: 
a) a2 – 2b 
b) a2 + 2b 
c) a2 – 2b2 
d) a2 + 2b2 
e) a2 – b2 
 
48. (FEI – SP) – Sendo a e b as raízes da equação 2x2 - 
5x + m = 3 então, se 1/a + 1/b = 4/3, o valor de m é: 
a) 3/4 b) – 4/3 c) 27/4 d) 0 e) nda 
 
49. (UFPR) – Se as raízes da equação x2 + bx – 29 = 0 
são inteiros, calcular b. 
 
50. (ESAAP – SP) – A soma dos quadrados de dois 
números positivos é 27 e a soma dos inversos de seus 
quadrados é 3. Determine o produto dos dois números. 
a) 81 b) 27 c) 9 d) 3 e) 1 
 
51. (PELOTAS – RS) – A soma de dois números 
consecutivos é igual ao oito quintos do primeiro mais os 
três sétimos do segundo. Os números são: 
a) 160 e 161 b) 90 e 91 c) 125 e 126 
d) 20 e 21 e) 55 e 56 
 
52. Calcule o valor de β, para o qual a soma dos 
quadrados das raízes da equação x2 + (ββββ - 2)x + ββββ - 3 = 
0 seja igual a 10: 
 
53. Se a e b são raízes da equação 2x2 – 5x + 4 = 0, 
então o valor de a3 + b3 é: 
a) 3/8 b) 5/8 c) 7/8 d) 2 e) 3 
 
54. A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 
e a soma dos inversos dos seus quadrados é 1. 
Determine: 
a) o produto dos dois números; 
b) a soma dos dois números. 
 
GABARITO 
 
01. a) {0,20} b) {-4,4} c) {2,-1/2} 
d) {3,1/3} e) {3,4} f) {-5,5} 
g) {0,-3} h) {-2,-4} i) {-4,4} 
j) {0,-8} k) {1,-1/2} l) {-√5,√5} 
m) ∅ n) {0,-8/3} o) {12} 
p) {8} q) {3,7} r) {0,2} 
02. a) 49, duas raízes distintas b) 0, duas raízes iguais 
c) -12, não tem raiz real d) 81, duas raízes distintas 
e) 3856, duas raízes distintas 
03. 4 04. 4 05. D 
06. A 07. A 08. A 
09. A 10. {-2,1} 11. 3 ± √6 
12. ±√2/2 13. – 1 14. D 
15. -5 e 1 16. – 19 17. a) {0,11} b) {3} 
18. x2 – 2x – 3 = 0 19. ± 2 
20. D 21. 1 e 4 22. 6 e 7 
23. a) {0,5}b) {2/3,3/4} c) {1,2} 
24. 3 25. 2 26. D 
27. B 28. D 29. m = ± 6 
30. V,V,V,V 31. B 32. A 
Matemática Prof. Júlio 
608 
33. a) S = 5 e P = 6 
b) S = -7 e P = 40 
c) S = 8 e P = 4 
d) S = 9 e P = -√5 
e) S = 1/2 e P = -1/2 
f) S = 2 e P = 0 
g) S = 74 e P = ¼ 
34. 2 35. 0 36. C 
37. 5 38. B 
39. a) {1,8} b) {-8,1} c) {-2} d) {-10,1} 
40. a) 13/7 b) 5/7 c) 99/49 d) 13/5 
41. a) x2 + x – 6 = 0 b) x2 – 16 = 0 c) x2 – x = 0 
42. D 43. C 44. A 
45. C 46. E 47. A 
48. C 49. 28 50. D 
51. D 52. {0,6} 53. B 
54. a) 2 b) √6 
 
FUNÇÃO 
 
01. Na função f: A → B representada abaixo escrever seu 
domínio, sua imagem e seu contra-domínio. 
 
 
 
02. (UFMG) – Das figuras abaixo, a única que representa 
o gráfico de uma função real y = f(x), x ∈ [a, b], é: 
 a) b) c) 
 d) e) 
 
03. (UFRGN) Sejam E o conjunto formado por todas as 
escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado 
pelos números que representam a quantidade de 
professores de cada escola do conjunto E. Se f: E em P é 
a função que a cada escola de E associa seu número de 
professores, então: 
a) f não pode ser uma função bijetora. d) f 
não pode ser uma função injetora 
b) f é uma função sobrejetora. e) f é 
necessariamente uma função injetora. 
c) f é necessariamente uma função bijetora 
 
04. Se f(x) = 3x + 5, o valor de f(2) + f(4) é: 
 a) 26 b) 27 c) 28 
 d) 29 e) 30 
 
05. (PUC – MG) – Considere as funções f(x) = 2x – 1 e 
g(x) = x + m. Se f(2) + g(- 1) = 7, o valor de m é: 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
06. Sendo f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x – 3, calcule o valor 
de: 
a) f(3) 
b) f(1) 
c) f(5) 
d) g(6) 
e) f(- 2) 
f) g(3) 
g) f(1) – g(1) 
h) 3f(4) – g(- 5) 
i) g(3) – f(- 6) 
j) f(1/3) – g(1/2) 
 
07. (FUVEST) - Uma função f de variável real satisfaz a 
condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor 
da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir 
que f(5) é igual a: 
a) 1/2 b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10 
 
08. (UDF) – Sabendo que f(x) = x/2 - 2/3, determinar o 
valor de f(1/2) + f(-2/3): 
a) -17/12 b) 0 c) -5/12 d) -1 e) nda 
 
09. Seja f uma função de R em R tal que f(x) = 3x2 – 5, o 
valor de f(3) é: 
a) 17 b) – 17 c) 22 d) 34 e) 32 
 
10. Seja f uma função de A em B tal que f(x) = x + 2. Se 
A = {-1, 2, 3, 5}, podemos concluir que o conjunto 
imagem desta função é: 
a) Im(f) = {1, 4, 5, 7} 
b) Im(f) = {0, 2, 5, 7} 
c) Im(f) = {- 1, 2, 3, 5} 
d) Im(f) = {2, 3, 4, 5} 
e) Im(f) = {1, 4, 5, 7, 8} 
 
11. (UEL - PR) Seja a função f(x) = ax3 + b. Se f(-1) = 2 
e f(1) = 4, então a e b valem, respectivamente: 
a) -1 e -3 b) -1 e 3 c) 1 e 3 
d) 3 e -1 e) 3 e 1 
 
12. (INATEL) – Seja f a função definida por f(x) = 4x2. O 
valor de f(x + h) – f(x) é: 
a) 8x + 4h2 b) 8x + h2 c) 2xh + 4h2 
d) 8xh + 4h2 e) NRA 
 
13. (UFV/2003) – O gráfico abaixo ilustra a evolução da 
temperatura )( CT o , em uma região, ao longo de um 
período de 24 horas. 
 
 Determine: 
MatemáticaProf. Júlio 
609 
a) os horários em que a temperatura atinge Co0 . 
b) o intervalo de variação da temperatura ao longo das 
24 horas. (Dizer quais são os intervalos em que a 
temperatura cresce e quais são os intervalos que ela 
decresce) 
c) os intervalos de tempo em que a temperatura é 
positiva. 
 
14. (UFJF) – O consumo de combustível de um automóvel 
é medido pela quantidade de quilômetros que percorre 
gastando 1 litro do combustível (km/L). O consumo 
depende, dentre outros fatores, da velocidade 
desenvolvida pelo automóvel. O gráfico abaixo indica o 
consumo, em km/L, em função da velocidade 
desenvolvida por certo automóvel, em km/h, em um 
determinado percurso. A análise do gráfico mostra que, 
para velocidades entre 40 e 100 km/h: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) o maior consumo se dá aos 60km/h; 
b) quanto maior a velocidade menor é o consumo; 
c) o consumo é diretamente proporcional à velocidade; 
d) o menor consumo se dá aos 60km/h; 
e) o consumo é inversamente proporcional à velocidade. 
 
15. (UFLA/2006) – Seja a função 





<∈
≥∈−
∉+
=
1,3
1,1
,1
)(
2
xeQxse
xeQxsex
Qxsex
xf , o valor de f(5) + 
f( 2− ) + f(- ½) é o mesmo de: 
a) f(11) b) f(3) c) f(-5) d) f(0) 
 
16. Sendo uma função f: R →→→→ R definida por f(x) = 2 - x, 
assinale a alternativa correta: 
a) f(-2) = 0 b) f(-1) = -3 c) f(0) = -2 
d) f(1) = 3 e) f(-3) = 5 
 
17. (UFPA) – Dada a função f: A → B onde A = {1, 2, 3} 
e f(x) = x - 1, o conjunto-imagem de f é: 
a) {1, 2, 3} b) {0, 1, 2} c) {0, 1} 
d) {0} e) nda 
 
18. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 
2, 3, 4, 5}, assinale a alternativa que define uma função 
de A em B: 
a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} 
b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} 
c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} 
d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} 
e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)} 
 
19. (PUC - MG) Suponha-se que o número F(x) de 
funcionários necessários para distribuir, em um dia, 
contas de luz entre x por cento de moradores, numa 
determinada cidade, seja dado pela função: f(x) = 
(300x) / 150 – x. Se o número de funcionários 
necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz 
foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: 
a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50 
 
20. Obtenha a soma dos itens que são corretos: 
01) O conjunto-imagem da função f: A → A, onde A = 
{0, 1, -1, -2} definida por f(x) = -x2 possui apenas 
dois elementos. 
02) Se f(x) = 1 - x2, então f(0) > f(1). 
04) Se f(x) = x, a soma f(-10) + f(10) = 4 f(-5). 
08) Se f(x) = x + √x2, então f(-2) + f(2) = f(0). 
16) f(4) = 5 quando a função f é definida por f(x) = √5 + 
2√x. 
 
21. (FUVEST – SP) – A função que representa o valor a 
ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma 
mercadoria é: 
a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x 
c) f(x) = 1,3x d) f(x) = – 3 x e) f(x) = 1,03x 
 
22. (UFF) - Uma função real de variável real f é tal que 
f(1/2) = √π e f(x+1) = x.f(x) para todo x ∈R. O valor de 
f(7/2) é: 
a) π b) 7 √π c) π/2 d) (15 √π)/8 e) (π√7)/15 
 
23. Seja a função f(x – 4) = x3 + 1, calcule o valor de f(-
3) + 4.f(5) – f(0). 
 
24. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) 
= 4 e f(x+1)=3f(x)-2. Calcule o valor de f(0). 
 
25. (UI – MG) – Observe o gráfico: 
 
Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, exceto: 
a) D = { x ∈ R / - 2 ≤ x ≤ 5} 
b) f(x) é crescente ∀x ∈ R/ 2 ≤ x ≤ 3 
c) Im = { y ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 2} 
d) f(x) é decrescente ∀x ∈ R/ -1 ≤ x ≤ 2 
e) Para 3 ≤ x ≤ 5, y ≥ 0. 
 
26. Seja a função f(x + 2) = x3 + 3f(x) e f(1) = 3, calcule 
o valor de f(5). 
 
27. Coloque (S) se a função for sobrejetora, (I) se for 
injetora, (B) se for bijetora e (N) se for nem sobrejetora, 
nem injetora: 
( ) f: R em R tal que f(x) = 2x + 5 
( ) f: R em R tal que f(x) = x2 – 3x + 4 
( ) f: {1, 2, 3} em {2, 6}, tal que f(1) = 2, f(3) = 6, 
f(2) = 6 
( ) 
Matemática Prof. Júlio 
610 
 
( ) f: [a, b] em [c, d], tal que: 
 
 
 
 
28. Dadas as funções f(x) = 3x + 5; g(x) = x2 - 2 e h(x) 
= 3x, calcule: 
 a) f(2) b) g(5) - h(3) c) 2.f(0) - g(8) 
 
29. (UFF-RJ) – O gráfico da função f está representado 
na figura abaixo. Sobre a função f é falso afirmar que: 
 
a) f(1) = f(2) = f(3) 
b) f(2) = f(7) 
c) f(3) = 3f(1) 
d) f(4) – f(3) = f(1) 
e) f(2) + f(3) = f(5) 
 
30. (Cefet-RJ) – Uma função f(x), de domínio |R, está 
representada no plano XOY, como mostra a figura. Então: 
 
a) f(–3) = f(2) 
b) f(x) = x, para x < –3 
c) a função é inversível 
d) f(x) = x + 6, para x < – 4 
e) f(0) = 3 
 
GABARITO 
 
01. D=A, CD=B e Im={3,4,-7,9,-1} 
02. B 03. B 
04. C 05. A 
06. a)8 b)2 c)14 d)9 e)-7 f)3 g)3 h)46 i)22 j)2 
07. C 08. A 
09. C 10. A 
11. E 12. D 
13. a)2h,8h e 24h b) T cresce: 4<t<12 e T decresce: 
0<t<4 ou 12<t<24 c) 0<t<2 ou 8<t<24 
14. A 15. A 
16. E 17. B 
18. C 19. B 
20. 02 e 04 21. B 
22. D 23. 2857 
24. 2 25. D 
26. 57 27. B,N,S,I,I 
28. a) 11 b) – 4 c) -52 
29. E 30. D 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
01. Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e 
f(5) = 13, calcule o valor de f(-1). 
 
02. Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5? 
 
03. Calcule a(s) raiz(es) das funções abaixo: 
b) f(x) = 3x + 4 
c) f(x) = 3x + 6 
d) f(x) = - 2x +8 
e) f(x) = - x - 48 
f) f(x) = x + 43 
g) f(x) = 5x – 40 
h) f(x) = - 3x + 20 
i) f(x) = - 6x + 44 
 
04. Para cada função do 1º grau abaixo, diga quem é o 
coeficiente angular e o coeficiente linear. 
a) f(x) = 3x – 6 
b) f(x) = - x + 3 
 
05. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem 
o gráfico esboçado abaixo. O coeficiente linear e a raiz da 
função são, respectivamente: 
 
a) 3 e 3 
b) 5 e 3 
c) 3 e 5 
d) 5 e 5 
e) 5/3 e 3/5 
 
 
06. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no 
ponto de ordenada 3. Determine o valor de m. 
 
07. (UNAMA) – O ATAQUE DOS ALIENS 
“Caramujos africanos, medindo 12 centímetros de 
comprimento e pesando 200 gramas na fase adulta, 
trazidos para substituir o caro e requintado escargot, 
viraram praga em 23 Estados do Brasil. Donos de uma 
capacidade reprodutiva impressionante, pois são 
hermafroditas e botam 2 400 ovos por ano cada um. Em 
Casimiro de Abreu, no estado do Rio, onde também se 
tentou criar o caramujo para fins alimentícios, a prefeitura 
chegou a oferecer 1 real para cada quilo de molusco 
recolhido. O alienígena da vez é o caramujo africano.” 
Veja, São Paulo: Abril, 22 set. 2004. Adaptação. 
 
Matemática Prof. Júlio 
611 
Se dois moradores de Casimiro de Abreu ganharam juntos 
R$ 90,00 num dia, recolhendo caramujos africanos 
adultos e a razão entre o número de caramujos recolhidos 
por esses dois moradores é de 5 para 4, então o morador 
que mais recolheu conseguiu: 
a) 35 b) 45 c) 50 d) 60 e) 65 
 
08. (FATEC – SP) – Uma pessoa, pesando atualmente 
70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha 
que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento 
de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a 
pessoa alcançará seu objetivo ao fim de quantas 
semanas? 
a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 
 
09. (PUC-PR) – Sejam as funções reais definidas por f(x) 
= x-1, g(x) = ax + b e f(g(x)) = -2x, o gráfico de g(x) é: 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
10. (CEFET-PR) – Newton quer imprimir folhetos com a 
propaganda de sua empresa. Na gráfica A, o custo para a 
montagem deste folheto é de R$ 120,00 e ovalor da 
impressão por unidade é R$ 0,20. A gráfica B cobra R$ 
80,00 para a montagem e R$ 0,25 para impressão de 
cada unidade. Após análise cuidadosa, Newton concluiu 
que: 
a) é vantagem fazer a encomenda na gráfica B para 
qualquer quantidade de folhetos. 
b) a gráfica A oferece um custo menor que a B para um 
número de folhetos menor que 800. 
c) se encomendar 1.000 folhetos da gráfica B, irá gastar 
R$ 320,00. 
d) se desejar 1.000 folhetos gastará menos se 
encomendar da empresa A. 
e) para a quantidade de 800 folhetos, o custo de 
qualquer das empresas é igual a R$ 290,00. 
 
11. (UFF/2004) - Um grande poluente produzido pela 
queima de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido 
deenxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e 
publicada na revista “ Science” em 1972 concluiu que o 
número (N) de mortes por semana, causadas pela 
inalação de SO2 , estava relacionado com a concentração 
média (C), em mg/m3, do SO2 conforme o gráfico 
abaixo: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o 
segmento de reta da figura.Com base nos dados 
apresentados, a relação entre e C (100 ≤ C ≤ 700) pode 
ser dada por: 
 
a) N = 100 – 700 C d) N = 94 + 0,03 C 
b) N = 97 + 0,03 C e) N = 115 – 94 C 
c) N = 97 + 600 C 
 
12. (UFMG/2008) – Uma concessionária de energia 
elétrica de certo estado brasileiro possui dois planos de 
cobrança para consumo residencial: 
• o Plano I consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 
24,00, que permite o consumo de até 60 kWh, e, a partir 
desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 0,90; 
• o Plano II consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 
40,00, que permite o consumo de até 80 kWh, e, a 
partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 
1,10. 
a) ESBOCE, no sistema de coordenadas abaixo, os 
gráficos das funções que representam o custo para o 
consumidor, em função do consumo de energia elétrica, 
no Plano I e no Plano II. 
 
b) Determine a faixa de consumo em que o Plano II é 
mais vantajoso para o consumidor. 
 
13. (UNICAMP – SP) – O preço a ser pago por uma 
corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada 
bandeirada, e uma parcela que depende da distância 
percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e dada 
quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: 
a) o preço de uma corrida de 11km; 
b) a distância percorrida por um passageiro que pagou 
R$ 21,50 pela corrida. 
 
14. (UI - MG) – O gráfico da função f(x) = ax + b) passa 
pelos pontos (1, 2) e (0, -1). Pode-se afirmar que a2 . b1/3 
é: 
a) – 4 b) 4 c) – 9 d) 9 e) 5 
 
15. (UFPE) – Sabendo que os pontos (2, - 3) e (-1, 6) 
pertencem ao gráfico da função f: R em R definida por 
f(x) = ax + b, determine o valor de b - a. 
 
Matemática Prof. Júlio 
612 
16. (UEL – PR) - Se f é uma função do primeiro grau tal 
que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a: 
a) 400 b) 590 c) 760 d) 880 e) 920 
 
17. (FAAP – SP) – Admitindo que em uma determinada 
localidade uma empresa de táxi cobra R$ 2,00 a 
bandeirada e R$ 2,00 por km rodado, e outra empresa 
cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada, 
determine o número de km rodados num táxi da empresa 
que não isenta a bandeirada, sabendo-se que o preço da 
corrida apresentado foi de R$ 30,00: 
a) 10km b) 18km c) 16km d) 14km e) 22km 
 
18. (FAAP)– Medições realizadas mostram que a 
temperatura no interior da Terra aumenta, 
aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. 
Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura 
é de 25ºC. Nessas condições, podemos afirmar que a 
temperatura a 1500m de profundidade é: 
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC 
 
19. (FAAP – SP) – Considerando o mesmo enunciado 
acima, encontrando-se uma fonte de água mineral a 
46ºC, a profundidade dela será igual a: 
a) 700m b) 600m c) 800m d) 900m e)500m 
 
20. (UEL – PR) – Se uma função f, do primeiro grau, é tal 
que f(1) = 190 e f(50) = 2 052, então f(20) é igual a: 
a) 901 b) 909 c) 912 d) 937 e) 981 
 
21. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular, um usuário 
escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 68,00 mensais, 
com direito a utilizar 100 minutos em ligações, assumindo 
o compromisso de pagar R$ 1,02 por minuto excedente. 
No mês passado, o usuário pagou, nesse plano, R$ 
113,90. Quanto tempo o telefone foi utilizado nesse mês? 
d) 1 h 52 min d) 2 h 25 min 
e) 2 h 35 min e) 2 h 45 min 
f) 2 h 52 min 
 
22. Num posto de gasolina, a lavagem de um carro médio 
custa R$ 10,00 e cada litro de gasolina custa R$ 1,90. 
Responda: 
a) Qual é a equação que representa a quantia paga por 
uma pessoa, dona de um carro médio) em função da 
quantidade de gasolina que irá comprar no mencionado 
posto? (Considere que será feita também a lavagem do 
automóvel). 
b) Calcule quanto pagará a pessoa se lavar seu carro e 
colocar 15 litros de gasolina no seu automóvel. 
 
23. A respeita da função f(x) = ax + b representada 
no gráfico abaixo, assinale a alternativa correta: 
 
a) a > 0 
b) b < 0 
c) f não tem raiz 
d) f possui valor mínimo 
e) a . b < 0 
 
GABARITO 
 
01. 1 02. 1 
03. a)-4/3 b)-2 c)4 d)-48 e)-43 f)8 g)20/3 h)22/3 
04. a) CA=3 e CL=-6 b) CA=-1 e CL=3 
05. C 06. 4 07. C 
08. D 09. B 10. D 
11. D 
12. a) b) 77<x<90 
 
 
 
 
 
 
13. a)$12,9 b) 21km 14. C 15. 6 
16. C 17. D 18. E 
19. A 20.C 21. D 
22. a)P=1,9x b) 26,9 23. E 
 
 
FUNÇÕES DO 2º GRAU 
 
01. Calcule as raízes das funções abaixo: 
j) f(x) = x2 – 4x + 3 
k) f(x) = x2 + 6x + 5 
l) f(x) = 2x2 – 6x 
m) f(x) = x2 – 16 
n) f(x) = x2 – 5x + 8 
o) f(x) = x2 – 5x + 9 
p) f(x) = 2x2 – 7x + 3 
 
02. A função real f, dada por f(x) = 2ax2 – 4x + 2a, 
tem um valor máximo e admite duas raízes reais 
iguais. Assim, o valor de f(- 1) é: 
a) 0 b) c) d) 3 e) 4 
 
03. (UFMG) O trinômio y = ax2 + bx + c está 
representado na figura. A afirmativa certa é: 
 
a) a > 0; b > 0; c < 0 
b) a < 0; b < 0; c < 0 
c) a < 0; b > 0; c < 0 
d) a < 0; b > 0; c > 0 
e) a < 0; b < 0; c > 0 
 
 
 
04. (UFCE) – Considere a função f: R → R, definida 
por f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmar 
corretamente que: 
a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4); 
b) f possui dois zeros reais e distintos; 
c) f atinge um máximo para x = 1; 
d) f é tangente ao eixo das abscissas. 
Matemática Prof. Júlio 
613 
e) O gráfico de f é uma reta. 
 
05. Determine, em cada função do 2º grau a seguir, 
as coordenadas dos vértices das parábolas 
correspondentes: 
a) y = 2x2 – 4x + 1 
b) f(x) = - 2x2 + 4x 
c) f(x) = 2x2 – 32x + 6 
d) f(x) = x2 + 10x – 40 
e) f(x) = x2 – 4x + 5 
f) f(x) = - x2 – 8x + 4 
 
06. Seja f(x) = x2 – 4x + 5, calcule: 
 a) f(3) b) f(6) c) f(- 4) d) f(0) e) f(√5) 
 
07. Se a função f(x) = x2 – mx + 4n possui o vértice 
formado pelo ponto (2, 5), calcule os valores de 
m e n. 
 
08. Desenhe o gráfico das funções f(x) = 5x + 10 e 
g(x) = x2 + 2x – 3 e responda num mesmo plano 
cartesiano e responda: em quantos pontos estes 
gráficos se cruzam? 
 
09. (PUC – MG) – O ponto V (vértice) da função 
quadrática f(x) = x2 – 6x + 8 é: 
a) um máximo, sendo V = (3, - 1) 
b) um mínimo, sendo V = (- 3, 1) 
c) um máximo, sendo V = (- 3, 1) 
d) um mínimo, sendo V = (3, 1) 
e) um mínimo, sendo V = (3, -1) 
 
10. (UEL – PR) – Se x e y são as coordenadas do 
vértice da parábola y = 3x2 – 5x + 9, então x + y 
é igual a: 
a) 5/6 b) 31/14 c) 83/12 
d) 89/18 e) 93/12 
 
11. Seja a função do segundo grau f(x) = x2 - 8x + 
7. Sobre f(x) coloque V se verdadeiro e F se 
falso: 
 ( ) f(x)tem a parábola voltada para cima; 
 ( ) f(x) tem ponto máximo; 
 ( ) f(x) não possui raízes reais; 
 ( ) f(x) corta o eixo x em dois pontos 
 diferentes; 
 ( ) O vértice tem abscissa igual a 4; 
 ( ) Seu gráfico é uma reta; 
 ( ) Seu gráfico não corta o eixo y. 
 ( ) Seu gráfico corta a eixo y no ponto – 8. 
 
12. Se f(x) = x2 – 3x e g(x) = 3x – 6 calcule o valor 
de f(2) – g(5). 
 
13. (UFLA 2005) – Ao adicionar certa quantidade x de 
fertilizante nitrogenado ao solo, plantas de uma 
determinada espécie reagem a esse fertilizante, 
apresentando um desenvolvimento em altura y, 
conforme representado ao lado. O valor p 
corresponde à altura das plantas quando 
nenhuma quantidade de fertilizante é adicionada, 
e m é a quantidade de fertilizante com a qual as 
plantas atingem altura máxima. Acima de m, o 
fertilizante passa a ter ação tóxica, sendo que em 
n, as plantas não chegam a crescer. Supondo que 
a relação entre y e x se dá através da função y = 
- 0,02x2 + 0,2x + 1,5, sendo y expresso em 
metros e x, em dezenas de quilos por hectare, 
então, os valores de p, m e n são, 
respectivamente: 
a) –5 ; 5 ; 15 
b) 0 ; 10 ; 20 
c) 1,5 ; 5 ; 15 
d) 0 ; 7,5 ; 15 
e) 1,5 ; 5 ; 20 
 
 
 
 
 
 
14. A respeito da função f(x) = x2 – 6x + 9, assinale 
V ou F: 
( ) o gráfico é uma reta 
( ) o gráfico não toca no eixo y 
( ) o gráfico toca no eixo x apenas uma vez 
( ) tem x do vértice igual a – 3 
( ) não possui y do vértice 
( ) o gráfico é uma parábola voltada para cima 
 
15. A função f: R em R definida por f(x) = x2 + 5x + 
6: 
a) é uma reta; 
b) é uma parábola de concavidade para baixo; 
c) possui coeficiente angular igual a 5; 
d) não possui raiz real; 
e) é uma parábola que intercepta o eixo x em 
 dois pontos. 
 
16. Obtenha os valores de x para os quais f(x) = 2x2 
– 5x + 3 se anula. 
 
17. Seja a função f(x) = ax + b e a função g(x) = cx2 
+ dx + t, ambas representadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando os gráficos é possível afirmar que: 
a) b + c < 0 
b) a = b = c = d = t 
c) a / c > 0 
d) a.b.c.d.t < 0 
e) a, b e t são negativos 
 
18. (UFMG/2001) 
 a) DETERMINE o vértice da parábola de equação 
 
 
 e os pontos onde ela intercepta os eixos 
coordenados. 
b) Num plano cartesiano, TRACE essa parábola e 
INDIQUE todos os pontos determinados no 
subitem A. 
 
Matemática Prof. Júlio 
614 
19. (PUC – MG) – O lucro L, em reais, de uma fábrica 
de autopeças é dado pela função abaixo em que p 
é o número de peças fabricadas por dia. Então, 
pode-se afirmar que o lucro máximo ocorre 
quando p é igual a: 
a) 16 b) 20 c) 22 d) 32 
 
 
 
 
20. (UFOP/2003) - Os valores de b e c para que o 
gráfico de f (x) = x2 + 2bx + (4c – 8) seja 
tangente ao semi-eixo positivo das abscissas e 
corte o eixo das ordenadas no ponto 8 são: 
a) b = – 2 e c = 4 c) b = 2 e c = 4 
b) b = – 2 e c = 8 d) b = 2 e c = 8 
 
21. (UFV) – Uma indústria pode produzir, por dia, até 
20 unidades de um determinado produto. O custo 
C (em R$) de produção de x unidades desse 
produto é dado por: 




≤<+−
≤≤−+
=
201040
2
3
100125
xx
xxx
xC
 se 
 se )(
)( 
a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades 
e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o 
custo de produção das 24 unidades. 
b) Determine a produção que corresponde a um 
custo máximo. 
 
22. (UNRGS) - O gráfico da função f(x) = x² + px + 1 
intercepta o eixo das abscissas em dois pontos 
distintos, se e somente se: 
 a) p < -2 b) p > 0 c) – 2 < p < 2 
 d) p < 0 ou p > 2 e) p < - 2 ou p > 2 
 
23. (UFOP/2006/2) – O gráfico abaixo representa 
uma função f definida por partes. A primeira 
parte, restrita ao intervalo [-4,-2], é um 
segmento de reta, e a segunda parte, para o 
intervalo [2,+ ∞[ é um arco de parábola de eixo 
vertical cujo vértice é (0, 2) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escreva, na notação abaixo, as equações das 
partes que definem esta função. 
 
 
 
 
 
 
 
24. (CRA) – Seja f: R em R uma função do 2º grau 
dada por f(x) = ax2 + bx + c, representada pelo 
gráfico: 
 Pode-se afirmar que: 
a) a função não possui raízes. 
b) o discriminante da função é nulo. 
c) a . c < 0 
d) a função possui um ponto mínimo. 
e) A função possui duas raízes positivas. 
 
 
 
 
 
 
 
25. (MACK) – O ponto (k, 3k) pertence à curva dada 
por f(x) = x2 – 2x + k, então k pode ser: 
 a) –2 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
26. Obtenha o conjunto-imagem das seguintes 
funções do 2º grau, na variável x: 
a) y = = x2 – 4 
b) y = f(x) = - 2x2 + x – 1 
c) f(x) = x2 + 2x + 1 
d) f(x) = - x2 + 7x – 1 
e) f(x) = x2 
 
27. (ACAFE – SC) – A função f(x) = x2 – 2x + 1 tem 
mínimo no ponto em que x vale: 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
28. (UFCE) – Considere a função f: R → R, definida 
por f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmar 
corretamente que: 
a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4); 
b) f possui dois zeros reais e distintos; 
c) f atinge um máximo para x = 1; 
d) f tangente ao eixo das abscissas. 
 
29. (UFGO) – Se f(x) = x – 3, o conjunto de valores 
de x tais que f(x2) = f(x) é: 
a. {0; 1} d) {–1; 0} 
b. {1} e) {-2; 3} 
c. {3; 4} 
 
30. (UEM – PR) – A trajetória de um corpo 
obliquamente, desprezados os efeitos do ar, é 
uma parábola. O corpo é lançado a partir do solo 
(figura) descreve uma parábola de equação y = 
120x – 4x2, x e y em metros. O alcance e a altura 
máximos atingidos pelo corpo são: 
 
 
 
 
 
 
a) alcance 10m e altura 30m; 
Matemática Prof. Júlio 
615 
b) alcance 30m e altura 10m; 
c) alcance 15m e altura 900m; 
d) alcance 30m e altura 900m. 
 
31. (UFV – Modificado) – Seja a função real f 
definida por : 
 



>+
≤−
=
1 se, )1( 2
1 se, 4
)(
2
xx
xx
xf 
 
a) Esboce o gráfico de f . 
b) Determine 
2
)1()3( ff −
. 
 
32. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, a reta 
 intercepta a parábola y = x2 nos 
pontos A e B. 
 
a) Determine as coordenadas dos pontos A e B. 
b) Seja C = (a, b) um ponto da parábola distinto 
de A e B. Calcule a área do triângulo ABC, 
comprovando que seu valor é 
unidades de área. 
c) Calcule os valores de a para os quais a área 
do triângulo ABC seja igual a 15 unidades de 
ar 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. a){1,3} b){-1,-5} c) {0,3} d){-4,4} e)∅ f)∅ 
 g){3,1/2} 
02. A 03. B 04. A 
05. a)(1,-1) b)(1,2) c) (8,-122) d)(-5,-65) e)(2,1) f)9-
4,20) 
06. a)2 b)17 c)37 d)5 e)10-4√5 
07. m=4 e n=9/4 
08. Se cruzam em dois pontos 
09. E 10. E 11. V,F,F,V,V,F,F,F 
12. -11 13. C 14. F,F,V,F,F,V 
15. E 16. {3/2,1} 17. D 
18. a) V=(1/2,25/4} e as raízes são 3 e -2 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. A 20. A 21. a)49,5 b)41 
22. D 23. 3x/2 + 6 e x2/4 + 2 
24. C 25. E 
26. a) Im={y∈R/y≥-4} b) Im={y∈R/y≤7/8} 
 c) Im={y∈R/y≥-1} d) Im={y∈R/y≤-43/4} 
 e) Im={y∈R/y≥0} 
27. B 28. A 29. A 
30. D 31.a)grafico b) 52 
32. a)A=(-3,9) e B=(2,4) b) demonstracao c)-4,0,1,3 
 
INEQUAÇÕES E CÁLCULO DO 
DOMÍNIO 
 
01. Resolva as inequações abaixo apresentado o 
conjunto-solução: 
a) x2 – 3x + 2 < 0 
b) – 3x2 – 6x < 0 
c) x2 – 5x – 50 ≥ 0 
d) 2x – 4 > 0 
 
02. Resolvendo a inequação x2 – 5x + 4 > 0, 
obtemos o seguinte conjunto solução: 
a) S = {x ∈ R / x < 1 ou x > 4} 
b) S = {x ∈ R / x < - 1 ou x > 4} 
c) S = {x ∈ R / 1 < x < 4} 
d) S = {x∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 4} 
e) S = {x ∈ R / x < 2 ou x > 3} 
 
03. A solução do sistema de inequações 3 – 2x ≤ 3x – 
1 ≤ 5 é: 
a) {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 2} 
b) {x ∈ R / 4/5 ≤ x ≤ 2} 
c) {x ∈ R / x ≤ 2} 
d) {x ∈ R / x ≤ 1} 
e) {x ∈ R / x ≥ 1} 
04. Calcule α para que a função f(x) = 2x2 - αx + 1 
seja positiva para todo x ∈ R. 
 
05. (CESGRANRIO) – O conjunto-solução da 
inequação x2 – 3x – 10 < 0 é: 
a) ( - ∞; - 2) 
b) ( - ∞,; -2) ∪ (5, ∞) 
c) (- 2; 5) 
d) (0; 3) 
e) (3; 10) 
 
06. (UEL – PR) – O conjunto dos valores reais de x, 
que tornam verdadeira a sentença 2x2 – x < 1 é: 
a) {x ∈ R / - 1/2 < x < 1} 
b) {x ∈ R / x > 1 ou x < - 1/2} 
c) {x ∈ R / x < 1} 
d) {x ∈ R / 1/2 < x < 1} 
e) {x ∈ R / x < - ½} 
 
07. (CESCEM) – A solução do sistema de inequações 
é: 
 
Matemática Prof. Júlio 
616 
 
 
a) 0 < x < 5 b) – 5 < x ≤ - 4 
c) - 4 ≤ x ≤ - 2 d) x ≤ - 2 
e) x < - 5 
 
08. (UNESP) – Os valores de x ∈ R que satisfazem o 
sistema: 
 
 
 
são tais que: 
a) 1 < x < 3 b) – 3 < x < - 2 
c) 0 < x <2 d) 5 < x < 7 
e) - 2 < x < 0 
 
09. (CESCEM – SP) A solução do sistema de 
inequações é: 
 
 
 
 
a) 0 < x < 2 
 b) –1 < x ≤ 0 ou 2 ≤ x < 3 
 c) x < - 1 ou x > 3 
 d) nenhum x 
 e) qualquer x 
 
10. (UFV – MG) A solução do sistema de 
desigualdade: 
 
 
 
 
a) 2 < x < 6 b) 0 < x < 5 
c) 1 < x < 5 d) 5 < x < 7 
e) 2 < x < 5 
 
11. Quais são os valores de p de modo que a equação 
2x2 – px + 8 = 0 tenha raízes reais e distintas? 
 
12. (PUC – MG) – A solução da inequação x2 ≤ x é o 
intervalo real: 
a) (- ∞, - 1) 
b) [- 1, ∞) 
c) [- 1, 0] 
d) [- 1, 1] 
e) [0, 1] 
 
13. (UEL – PR) – Considere o seguinte problema: “ 
Em um cofre, existem apenas moedas de 50 
centavos e de 10 centavos, num total de 60 
unidades. Se a quantia T (em reais) existente no 
cofre é tal que R$ 24,00 < T < R$ 26,00, quantas 
são as moedas de 50 centavos?”. 
O número de soluções que esse sistema admite 
é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
14. O conjunto solução da desigualdade abaixo é S = 
{x ∈ R / x < a}. O valor de a é: 
a) – 2 
b) – 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
15. (UFJF/2006) – Os valores de x que satisfazem à 
inequação pertencem a: 
 
 
16. (UFMG) – O número real x satisfaz 
Assinale a alternativa em que estão incluídas 
todas as possibilidades para x.. 
 a) – 1 < x < 5/2 b) x < - 1 ou x > 5/2 
 c) x > 5/2 d) x < -1 
 
17. Encontrar os valores de x que satisfazem a 
inequação (2x – 4) ( x2 – 5x + 6) < 0 
 
18. (PUC – PR) – A solução da inequação (x – 2) (- x2 
+ 3x + 10) > 0 é: 
a) x < - 2 ou 2 < x < 5 
b) – 2 < x < 2 ou x > 5 
c) – 2 < x < 2 
d) x > 2 
e) x < 5 
 
19. (PUC – BA) – O conjunto-solução da inequação 
( )( )( )
0
4
221
2
>
−
+−+
x
xxx
é 
a) {x ∈ R / x > - 1} 
b) {x ∈ R / x > 2} 
c) {x ∈ R / x > -1 e x ≠ 2} 
d) {x ∈ R / - 1 < x < 2} 
e) {x ∈ R / x < - 2 ou x > 2} 
 
 
20. Resolva as seguintes inequações do tipo produto: 
a) (2x – 4) (- x + 5) ≥ 0 
b) (- x2 + 4) (x2 – 16) < 0 
c) (x2 – 2x + 1) ( -x2 + 4x – 4) ≥ 0 
d) (x2 – x + 9) (- x2 + 4x) ≤ 0 
e) (x2 – 6x + 9) ( - 2x + 6) ≥ 0 
 
21. Determine o conjunto-solução de cada inequação 
a seguir na variável x: 
a) x – 1 ≤ 0 
 -2x + 6 
b) - x2 + 4x – 3 > 0 
 x – 2 
c) - x2+ 2x + 15 < 0 
 x2 – 6x + 5 
d) 2 – x ≤ 0 
 x2 – 6x + 9 
 
0
)1(
)2)(63(
>
−
−−
x
xx
Matemática Prof. Júlio 
617 
22. (MACK – SP) – O conjunto-solução da inequação 
(x2 + 1) ( - x2 + 7x – 15) < 0 e: 
a) φ b) [3, 5] c) R d) [- 1, 1] e) R+ 
 
23. (FGV – SP) – A inequação x(x + 2) > 0 tem 
como solução: x2 + 1 
a) x < -2 ou x > 1 ou –1 < x < 0 
b) x < - 2 ou x ≥ 1 
c) x ≤ - 2 ou x > 1 
d) x ≤ - 2 ou x ≥ 1 
 
24. (PUC – SP) – Os valores de x que verificam a 
inequação 0
2
652
<
−
+−
x
xx
 são expressos por : 
a) x < 3; 
b) 2 < x < 3 
c) x < 2 ou x > 3 
d) x ≠ 2 
e) x < 3 e x ≠ 2 
 
25. (CESGRANRIO) – Resolvendo a inequação (4x2 + 
1) x3 (5 – 3x) > 0, obtemos: 
a) 0 < x < 4 
b) 5/3 < x < 4 
c) 0 < x < 5/3 
d) x < 0 ou x > 5/3 
e) x = 0 ou x > 5/3 
26. (CESGRANRIO) – O conjunto de todos os 
números reais x que satisfazem a inequação 2 / 
(x – 1) < 1, no universo R é: 
a) {0} 
b) – 1 < x < 1 
c) x < 1 ou 3 < x < 2 
d) x < 0 
e) nda 
27. (UFMG) – A solução da inequação 2
1
≤+
x
x é: 
a) x ≤ - 1 ou x = 1 
b) x < 0 ou x = 1 
c) x = 1 
d) x ≤ 1 
e) x < 0 
 
28. (UNIFOR – CE) – A solução da inequação 
Q + 1 > 0 é: 
 Q - 1 
a) Q < - 2 ou Q > 0 
b) Q > - 1 ou Q < -2 
c) Q > 1 ou Q < - 1 
d) Q < - 2 ou Q > 1 
e) Q < 0 ou Q > 1 
 
29. (FGV – SP) – O conjunto-solução da inequação 
0
322
2
≥
−+
−
xx
xx
 é: 
 
a) x < - 3 ou x ≥ 0 e x > 1 
b) x < - 3 ou x > 1 
c) – 3 < x < 1 
d) – 3 < x ≤ 0 
e) – 3 < x ≤ 0 ou x ≥ 1 
 
30. (UNICAMP) – A solução da inequação (x2 – 4) ( 
5x2 + x + 4) ≥ 0 é: 
a) x ≥ 0 
b) qualquer número real 
c) – 2 ≤ x ≤ 2 
d) x ≤ - 2 ou x ≥ 2 
e) 1 ≤ x ≤ 2 
 
31. Sendo A e B os conjuntos-soluções das 
inequações (I) e (II), onde 
 
 
 
 
 
 
 
Determine A ∩ B. 
 
32. (ACAFE – SC) – Os valores de x para os quais a 
desigualdade 
4
48
2
3
3
xx −
>− é satisfeita são: 
a) x > 2 b) x < 2 c) x < 5/13 
d) x > 5/13 e) x > 13/3 
 
 
33. (CEFET – PR) O domínio da função y = 1 / √(x2 + 
x + 1) é: 
 a) φ b) R* c) R*+ d) R+ e) R 
 
 
34. (OSEC – SP) – O domínio de definição da função 
32)( 2 ++−= xxxf , com valores reais é um 
dos conjuntos abaixo. Assinale-o: 
a) {x ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 3} 
b) {x ∈ R / - 1 < x < 3} 
c) {x ∈ R / x ≤ - 1 ou x ≥ 3} 
d) {x ∈ R / - 3 ≤ x ≤ 1} 
e) {x ∈ R / x ≤ - 3 ou x ≥ 1} 
 
35. (CEFET – PR) – O domínio da função real de 
variável real f(x) = (x2 + 2x – 15) – 1 / 2 é dado 
pelo conjunto: 
a) {x ∈ R / x < - 5 ou x > 3} 
b) {x ∈ R / x ≤ - 5 ou x ≥ 3} 
c) {x ∈ R / - 5 < x < 3} 
d) {x ∈ R / x ≤ - 3 ou x ≥ 5} 
e) {x ∈ R / x < - 3 ou x > 5} 
 
36. (PUC – MG) – O valor de y na função 
3 2 82 −−= xy é real se: 
 a) x ≤ 4 b) x < 4 c) 0 ≤ x ≤ 5 
 d) – 5 ≤ x ≤ 3 e) – 4 ≤ x ≤ 4 
 
37. (CEFET – PR) – A função f(x) = ax2 + 5x – 10 
possui concavidade voltada para cima. O valor de 
f(1), sabendo que “a” é um número inteiro 
pertencente ao domínio da função 
( )82/1)( 2 +−−= xxxg é: 
Matemática Prof. Júlio 
618 
 a) 10 b) – 10 c) 4 d) –6 e) – 4 
 
38. (UFOR – MG) – O domínio da função real definida 
por xxxf ++= 42)( é: 
a) [-2, ∞) b) (- 2, ∞) c) (0, ∞) d) [0, ∞) 
 
39. O Domínio da função abaixo é: 
a) x > 5 e x ≠ 11 
b) x > 5 e x ≠ 1/3 
c) x < 11 
d) x > 1/3 e x ≠ 11 
e) x ≥ - 1/3 e x ≠ 11 
40. (UEMG) – O domínio da função é 
o intervalo real: 
 
 
41. (INATEL) – Sabendo-se que o domínio da função 
f(x) representada abaixo é o conjunto D = {x ∈ R 
/ x ≠ 1}, o valor de a é: 
 a) 0 b) 2 c) 1 
 d) –1 e) –2 
 
GABARITO 
 
01. a){x∈R/1<x<2} b) {x∈R/x<-2 ou x>0} 
 c){x∈R/-5≤x≤10} d){x∈R/x>2} 
02. A 03. B 
04. α<-2√2 ou α>2√2 05. C 
06. A 07. E 
08. C 09.B 
10. E 11. p<-8 ou p>8 
12. E 13. E 
14. D 15. A 
16. B 17. {x∈R/x>3} 
18. A 19. A 
20. a){x∈R/2≤x≤5} b){x∈R/x<-4 ou -2<≤x<≤2 ou x>4}c){1,2} d){x∈R/x≤0 ou x≥4} e){x∈R/x≤3} 
21. a){x∈R/x≤1 ou x>3} b){x∈R/x<1 ou 2<x<3} 
c){x∈R/x<-3 ou x>5} d){x∈R/2≤x≤3} 
22. C 23. A 
24. C 25. D 
26. E 27. C 
28. C 29. D 
30. D 31. [2,4] 
32. B 33. E 
34. B 35. A 
36. E 37. E 
38. E 39. C 
40. D 41. E 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 
02. Sendo f(x) = 3x e g(x) = 2x – 6. obtenha: 
a) fog(x) = 
b) gof(x) = 
c) g(f(g(x))) = 
 
03. Sendo f(x) = 3x + 2 e g(x) = x – 1, obtenha as 
seguintes funções compostas: 
a) gof(x) = d) fog(x) = g) gog(x) = 
b) fof(x) = e) g(f(2)) = h) f(g(1)) = 
c) f(f(2)) = f) g(f(3)) = 
 
04. Sendo f(x) = 2x – 4 e g(x) = 3x + 1, obtenha as 
seguintes funções compostas: 
a) gof(x) = b) fog(x) = c) gog(x) =] 
d) fof(x) = e) g(f(0)) = f) f(g(- 4)) = 
g) f(f(5)) = h) g(f(2)) = 
 
05. Sendo f(x) = x2 + 3 e g(x) = 5x – 1, obtenha: 
a) gof(x) = c) g - 1(x) = 
b) f(g(2)) = d) g(f(-3)) = 
 
06. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x, qual o valor numérico 
da expressão f - 1(3) + g(f(2). 
 
07. (UERGS) – Sejam f e g funções definidas por f(x) = 
2x + 1 e g(x) = 2x+1. O valor de g[f(1)] + f[g(0)] é: 
a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 
 
08. Dadas as funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x – 1, a lei 
de formação da função fog(x) e gof(x) são 
respectivamente: 
a)fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 5x 
b) fog(x) = 2x + 2 e gof(x) = 2x + 3 
c) fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 2x 
d) fog(x) = 2x + 4 e gof(x) = 3x + 3 
e) fog(x) = 3x + 3 e gof(x) = 2x + 3 
 
09. (EFOA 2005) – Considere as funções f : IR em IR e 
g : IR em IR, definidas por f(x) = x2 + a e g(x) = f 
(2x + 1), onde a é um número real. Encontre os 
valores de a , tais que ( f o g)(2) = −13. 
 
10. Dada a função f(x) = 4x – 1 e g(x + 5) = x2 – 8, 
calcule: 
a) f(2) – 3f(1). 
b) g(3) 
c) f(f(2)) 
d) a domínio do número 7, na função f(x). 
 
11. Dadas as funções f(x) = 6x – a e g(x) = 2x e 
sabendo que g(f(2)) = 8, o valor de a é: 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) – 20 
 
12. (UNIFAL/2006) – Sejam 
 onde a e b são números reais. 
a) Determine fog(x). 
b) Calcule os valores de a e b para os quais os 
números 0 e 1 sejam raízes da equação fog(x) = 
0 
x
x
fx
−
+
=
11
13
)
ax
x
xf
+
−
=
2
14
)(
Matemática Prof. Júlio 
619 
c) Esboce o gráfico da função fog para os valores 
não-nulos de a e b encontrados no item anterior. 
 
13. (UFU/Julho2007) – Sejam f: [0, 6] em R a função 
quadrática definida por f(x) = x2 – 6x + 5 e g: [- 
5, 5] em R a função cujo gráfico está esboçado 
abaixo. 
 
 
 
Sabendo-se que gof denota a composição da 
função g com f, resolva a equação (gof)(x) = 0, 
na variável x. 
 
14. Sendo f(x) = 4x e g(x) = 3x2, obtenha: 
a) (fog)(x) 
b) (gof)(x) 
c) (fof)(x) 
d) (gog)(x) 
 
15. (UFMS) – Dada a função f(x) = x2 -3, determine 
f(f(3)). 
 
16. (INATEL) – Sendo f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x + 4, 
a função fog é: 
a) 9x2 + 20x + 24 
b) x2 + 30x + 24 
c) 9x2 + 30x + 24 
d) x2 + 20x + 24 
e) x2 + 10x 
 
17. Considere as funções f, g: R → R tais que g(x) = 
2x + 1 e g(f(x))= 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7). 
 
18. (UFPR) – Para cada valor real de x, sejam f(x) = 
x2 e g(x) = f(f(x)). Calcule o valor de 
[f(g(3))]/g(3). 
 
19. Sendo f(x) = 5x2 e g(x) = 5 – x, obtenha: 
a) (fof)(2) c) (gof)(3) 
b) (fog)(-1) d) (gog)(1) 
 
20. (ESAL – MG) – Se f(x) = x2 + 1 então f(f(x)) é 
igual a: 
a) x4 + 2x2 + 2 
b) x4 + 2 
c) x4 + 1 
d) x + 1 
e) 1 
 
21. (PUC – PR) – Sejam f: R → R e g: R → R duas 
funções dadas por f(x) = x2 – 1 e g(x) = x – 1. A 
diferença entre as funções compostas (gof)(3) – 
(fog)(3) é igual a: 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
 
22. (UECE) – Sejam f e g funções de R em R tais que 
f(x) = 3x – 2 e g(x) = - 2x + 1. Se f(g(m – 1)) – 1 
= 3m – g(f(m + 1)), então f(m) + g(m) é igual a: 
a) – 2/3 b) – 1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) - 4/5 
 
23. (UFSC) – Dadas as funções xxf −= 5)( e g(x) 
= x2 – 1, o valor de (gof)(4) é: 
 
24. (UFMG) – Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e f: A → A 
uma função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f(4) = 
1. O número x ∈ A tal que (f o f o f o f)(x) = 2 é: 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
25. (CESGRANRIO) – Sejam A = {1, 2, 3} e f: A → A 
definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f(3) = 2. O 
conjunto-solução da f(f(x)) = 3 é: 
 a) {1} b) {2} c) {3} d) {1, 2, 3} e) φ 
 
 
26. Sendo f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x2, calcule: 
a) f(2). 
b) g(f(2)) 
c) A função composta f(fx)). 
d) f(g(f(1))). 
 
27. (UFU – MG) – Sejam as funções fog(x) = x2 + 2 e 
f(x) = 2x + 4. Qual o valor de g(2)? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
28. Dadas as funções reais f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + 
b, se f[g(x)] = 8x + 7, o valor de a + b é: 
 a) 13 b) 12 c) 15 d) 6 e) 5 
 
29. Seja a função f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x – 4. O 
valor de g(f(2)) – f(g(3)) é: 
 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
 
30. (FAVIC) – Sendo f(x) = x4 e g(x) = x - 1, a função 
composta (fog)(x) é definida por: 
a) x4 + x – 1 
b) x5 - x4 
c) x4 – 1 
d) x4 + 4x³ - 6x2 + 4x – 1 
e) x4 - 4x³ + 6x² - 4x + 1 
 
31. Sejam f e g funções definidas em R por f(x) = 2x + 
1 e g(x) = x - 3. O valor de g[f(3)] é: 
 a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
GABARITO 
 
01. a)fog(x)=6x-18 b)gof(x)=6x-6 c)g(f(g(x)))=12x-42 
02. a)gof(x)=3x+1 b)fof(x)=9x+8 c)f(f(2))=26 d) 
 d)fog(x)=3x-1 e)g(f(2))=7 f)g(f(3))=10 
 g)gog(x)=x-2 h)f(g(1))=2 
03. a)gof(x)=6x-11 b)fog(x)=6x-2 
 c)gog(x)=9x+4 d)fof(x)=4x-12 e)g(f(0))=-11 
 f)f(g(-4))=-26 
04. a)gof(x)=5x2+14 b)f(g(2))=84 
Matemática Prof. Júlio 
620 
 c)g- 1(x)=(x-1)/5 d)g(f(-3))=59 
05. 15 06. C 
07. B 08.-29 ou -22 
09. a)-2 b)-4 c) 27 d)2 10. D 
11. a)fog(x)=(ax+b)2 -2(ax+b) b)b={0,2} e a={0,2,-2} 
c)Parábola para cima passando o eixo x no pontos 0 e 
1. 
12. S={0,2,4,6} 
13. a)12x2 b)48x2 c)16x d)27x4 
14. 33 15.C 
16. 56 17. 81 
18. a)2000 b)180 c)-40 d)1 19. A 
20. D 21. E 
22. 0 23. x=2 
24. A 25. a)11 b)242 c)9x+20 d)389 
26. A 27. D 
28. D 29. E 
30. E 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
01. Se f(x) = 2x + 3, calcule o valor de f – 1 (7). 
 
02. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x, qual o valor numérico 
da expressão f - 1(3) + g(f(2)). 
 
03. Obtenha a função inversa das seguintes funções: 
a) f(x) = 3x – 2 
b) f(x) = x – 7 
c) f(x) =3x – 6 
d) f(x) = 2x – 1 
e) f(x) =5x + 3 
 
04. Se f(x) = 3x + 6, calcule o valor de f – 1 (3). 
 
05. Se f(x) = 5x – 2, calcule o valor de f – 1 (8). 
 
06. Seja f(x) = x3 e g(x) = 2x. Calcule o valor de f – 1 (27) 
+ g – 1 (10) 
 
07. (UFRRJ) – Seja f: R em R uma função definida por 
f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos 
A(1, 2) e B(2, 3), a função f -1 é: 
a) f -1 (x) = x + 1 
b) f -1 (x) = - x + 1 
c) f -1 (x) = x – 1 
d) f -1 (x) =x + 2 
e) f -1 (x) = - x + 2 
 
08. Seja f –1 (x) a função inversa de f(x) = 2x – 3. O valor 
de x para que seja verdadeira a igualdade 2f –1(x) + f(- 2) 
= 0, é: 
 a) 4 b) c) 0 d) –2 e) –4 
 
09. (UFV) – Seja f a função real tal que f(2x – 9) = x para 
todo x real. A igualdade f(c) = f-1(c) se verifica para c 
igual a: 
 a) 5 b) 7 c) 3 d) 9 e) 1 
 
10. (UERGS) – Seja a função definida abaixo, o domínio 
da função inversa de f(x) é: 
 
a) {x ∈ R / x ≠ 2}. 
b) {x ∈ R / x > 2}. 
c) {x ∈ R / x < 2}. 
d) {x ∈ R / x ≤ 2}. 
e) {x ∈ R / x ≥ 2}. 
 
11. Dada a função f(x) = (3x – 2)/3, encontre f-1(x) e em 
seguida calcule o valor de f(3) – f-1(4). 
 
12. (ESPM) – Sendo f(x) = 2x -1, f: R em R, então calcule 
f -1 (x). 
 
13. (FESO– RJ) – Se f -1 é a função inversa de f e f(x) = 
2x + 3, o valor de f -1(2) é de: 
 a) 1/2 b) 1/7 c) 0 d) – 1/7 e) -1/2 
 
14. (UNIFOR – CE) – Calcule a função inversa da função 
bijetiva definida por f(x) = 2x/3–1. 
 
15. (AMAN – RJ) Dê a função inversa da função y = 5x + 
3. 
 
16. (ACAFE – SC) – Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) - x2 – x, 
o valor de f(g(-1)) – f -1(-5) é: 
 a) – 3 b) – 2 c) 2 d) 8 e) 4 
 
 
17. (PUCCAMP- SP) – Seja f a função R em R, dada pelo 
gráfico a seguir: 
 
É correto afirmar que: 
a)f é sobrejetora e não injetora 
b) f é bijetora 
c) f(x) = f( -x) para todo x real 
d) f(x) > 0 para todo x real 
e) o conjunto-imagem de f é ]- ∞; 2]. 
 
18. (UFSC) – Dada a função f: R → R+, definida por f(x) = 
x2 + 1, determine a soma dos números associados às 
afirmações verdadeiras: 
 01) a função é sobrejetora 
 02) a imagem da função é R+ 
04) a função é bijetora 
08) para x = √5, temos f(x) = 6 
16) o gráfico da função é uma reta 
32) a função é par. 
 
19. (MACKENZIE) - Dada a função f:R em R, bijetora 
definida por f(x) = x3 + 1, sua inversa f-1: R em R é 
definida por: 
a) 3
31 1)( +=− xxf 
Matemática Prof. Júlio 
621 
 b) 
3 3
1
1
1
)(
+
=−
x
xf 
 c) 
1
1
)(
3
1
+
=−
x
xf 
 d) 3
1 1)( −=− xxf 
 e) nda 
 
GABARITO 
 
01. 2 02. 15 
03. a)(x+2)/3 b)x+7 c)(x+6)/3 d)(x+1)/2 e)(x-3)/5 
04. -1 05. 2 06. 8 
07. C 08. A 09. D 
10. A 11. 7 12. (x+1)/2 
13. E 14. (3x+3)/2 15. (x-3)/5 
16. B 17. A 18. F,F,V,F,V 
19. D 
 
MÓDULO 
 
01. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: 
 a) 2 b) - 4 c) 2 - √5 d)3 - √5  e) - 3  
 
02. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: 
a) - 2 = 
b) 2 - √3 = 
c) - 13  = 
d) 6 - √2 = 
e)  74 = 
f) 3 - √3 = 
g) 13 + √5 = 
 
03. Qual é o valor da soma das raízes da equação. 
 
 
04. Se f(x) = 2x – 4 –2 x+3, calcule o valor de f(5) – 
f(–3). 
 
05. Resolva as seguintes equações modulares: 
a) - 3x – 5 = 7 
b) 2x - 1 = 2 
c) 2x - 3 = x – 5 
 
06. Resolva as seguintes equações modulares: 
a) - 4x – 5 = 17 
b) 2x - 2 = 10 
c) x - 4 =  x + 5  
 
07. Seja a função f(x) = 3x – 5, calcule o valor de f(0) – 
f(4) + f(1). 
 
08. (UNIPA) – Seja a função definida no intervalo ]-1, 1[ 
por 
x
xf
−
=
1
1
)( então f(-1/2) é: 
a) ½ b) ¼ c) – ½ d) – 1 e) 2 
 
09. Resolva as equações abaixo: 
215)
633)
+=−
=−
xxb
xa
 
 
10. A solução da equação abaixo está no intervalo: 
5472 −=− xx 
a) [-2, 0 ] 
b) [0, 5] 
c) [3, 10] 
d) [-5, -2] 
e) [6, 13] 
 
11. Resolva as seguintes equações modulares: 
a) x2 – 4x – 1 = 4 d) 4x - 3 = 3x – 4 
b) x2 - 2 x - 8 = 0 e) x - 3 = 0 
c) x - 1 = 2 
 
12. (ACAFE – SC) – Se a - b = 6 e a + b = 2, o valor 
de a4 – 2a2b2 + b4 é: 
 a) 8 b) 12 c) 24 d) 64 e) 144 
 
13. Resolva as inequações modulares 
a) 2x - 4 < 6 
b) x - 1 > 2 
c) 2x + 5 > 1 
 
14. (UPF – RS) – A soma das raízes da equação 2x + 5 
= 6 é: 
 a) –5 b) 9 c) 4,5 d) 6 e) 0,5 
 
15. (UEL – PR) O conjunto solução da inequação x < 3, 
tendo como universo o conjunto dos números inteiros, é: 
a) {-3, 3} 
b) {-1, 0, 1} 
c) {-2, -1, 0; 1, 2} 
d) {-3, -2, -1, -, 1, 2, 3} 
e) {0, 1, 2, 3} 
 
16. (ACAFE – SC) A equação modular abaixo admite, 
como solução, somente: 
 
a) uma raiz positiva e uma negativa; 
b) duas raízes negativas; 
c) duas raízes positivas; 
d) uma raiz positiva; 
e) uma raiz negativa. 
 
17. (UEPG – PR) – No conjunto R, a desigualdade x - 5 
< 7 é verdadeira para: 
a) {x ∈ R / x < 12} 
b) { x ∈ R / x > - 12} 
c) {x ∈ R / - 2 < x < 12} 
d) {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 12} 
e) nda. 
 
18. (PUC – MG) – O par ordenado (5/2, b) pertence ao 
gráfico de f(x) = x – 1 – x . O valor de b é: 
 a) – 4 b) – 1 c) 1 d) 4 e) 6 
 
453 =−x
Matemática Prof. Júlio 
622 
19. (UFGO) – Os zeros da função 
3
5
12
)( −
−
=
x
xf são: 
a) – 7 e – 8 b) 7 e – 8 c) 7 e 8 
d) – 7 e 8 e) – 7 e 11 
 
 
20. (ULBRA) – A função representada no gráfico abaixo 
é: 
 
a) f(x) = x – 4 
b) f(x) = x - 4 
c) f(x) = x2 – 4 
d) f(x) = x2 - 4 
e) f(x) = 1/x 
 
 
 
21. (PUC – BA) a figura abaixo pode representar o 
gráfico da função f: R em R, definida por: 
 
a) f(x) = x + 2 
b) f(x) = x - 2 
c) f(x) = x + 2 
d) f(x) = x - 2 
e) f(x) = x + 2 
 
22. Seja a função f: R em R representada abaixo, calcule 
f(3) – f(-2). 
 
 
 
GABARITO 
 
01. a)2 b)4 c)-2+√5 e)3 
02. a)2 b)2-√3 c)13 d)6-√2 e)74 f)3-√3 g)13+√5 
03. 10/3 04. 0 
05. a){-4,2/3} b){3/2,-1/2} c){-2,8/3} 
06. a){-11/2,3} b){-4,6} c){-1/2} 
07. -10 08. E 
09. a){-1,3} b){3/4} 10. B 
11. a){-1,1,3,5} b){-2,2} c){-3,3} d)∅ e){-3,3} 
12. E 
13. a){x∈R/-1<x<5} b){x∈R/x<-1 ou x>3} c){x∈R/x<-
3 ou x>-2} 
14. A 15. C 
16. D 17. C 
18. C 19. D 
20. B 21. D 
22. -1 
 
EXPONENCIAL 
 
01. Resolva as seguintes equações exponenciais: 
a) 82 =x b) 42
2
=x c) 
5
1
5 3 =−x d) 42 44 −= xx 
02. (CESGRANRIO – RJ) Se 8x = 32, então x é igual a: 
 a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4 
 
03. Marque com D as funções que têm gráfico crescente e 
com C as funções que têm gráfico decrescente: 
( ) f(x) = 3X 
( ) f(x) = (1/3)X 
( ) f(x) = (4/3)X 
( ) f(x) = 0,3X 
( ) f(x) = πX 
( ) f(x) = (2/7)X 
( ) f(x) = 0,999X 
( ) f(x) = (0,999...)X 
 
04. Resolva a equação 
9
27
81
1
3
2
4
xx
x =




⋅
−
−
. 
05. (PUC) – Sendo 
2
3
2
3
3
2
2
=





⋅





kk
, qual o valor de 
k−






3
1
? 
 
06. (ESPM) – Uma empresa de publicidade estima que o 
número N de visitantes diários a uma exposição varia com 
o número x de dias em que sua propaganda é veiculada 
pela TV segundo a equação N = k.20,4x, na qual k é uma 
constante. Os organizadores verificaram que,s em 
nenhuma propaganda de TV, cerca de 200 pessoas 
visitam diariamente essa exposição. Se a agência de 
publicidade estiver correta na sua estimativa, com 5 dias 
de propaganda o número de visitantes diários será de: 
a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200 e) 1600 
 
07. Resolver: 
a) 5(3x – 1 ) > 1 
b) (1/5) 2x – 3 ≤ 1/5 
08. (PUC – SP) Se 3x
2 – 3x = 1 / 9, então os valores de x 
são: 
a) 1 e 3 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 1 e 4 e) 2 e 4 
 
09. (PUC – MG) O valor de x que satisfaz a equação 33x – 1 
. 92x + 3 = 273 – x é: 
a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5 
 
10. (PUC – RS) – Se 3 x - 3 2 – x = 2 3, então 15 – x 2 vale: 
a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 6 
 
11. (UFRN) – Se 2 x = 2048, então, x vale: 
 a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19 
 
12. (UEPG – PR) – Se 8 x – 9 = 16 x / 2, então 3√x é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) nda 
 
14)( −−= xxxf
Matemática Prof. Júlio 
623 
13. (UEPG – PR) – A soma das raízes da equação 32x – 
12.3x + 27 = 0 pertence ao intervalo: 
a) [10,12] 
b) [0,3] 
c) [1,2] 
d) (10,12] 
e) (1,3) 
 
14. Resolva as seguintes equações exponenciais: 
a) 2562 =x 
b) 82 13
2
=−+ xx 
c) 
25
1
5 2 =−x 
d) 
42 279 −= xx 
15. Resolvendo a equação 44
3
3
33 =−x
, encontraremos 
um certo valor para x. Calcule o valor de  3x -6 . 
 
16. Resolva a equação 
4
8
16
1
2
2
2
xx
x =




⋅
−
−
. 
 
17. (UFJF/2006) – Dada a equação 
1123 482 −+− =⋅ xxx , 
podemos afirmar que sua solução é um número: 
a) natural. d) maior que 1. 
b) de módulo maior do que 1. e) par. 
c) de módulo menor do que 1. 
 
18. Resolver a inequação 
688
9
1
3
1
+−





≤





xx
. 
19. Resolva a equação e a inequação propostas abaixo: 
 
a) b) 
 
 
 
20. Num laboratório é realizada uma experiência com um 
material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida 
pela sua massa, em gramas, que decresce em função do 
tempo t, em horas, de acordo com a fórmula abaixo. 
Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas 
dispõem para utilizar este material antes que ele se 
volatilize totalmente é: 
a)inferior a 15 minutos 
b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos 
c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos 
d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos 
e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos 
 
 
21. (UFPB) – Em uma comunidade de bactérias, há 
inicialmente 106 indivíduos. Sabe-se que após t horas (ou 
fração de hora) haverá Q(t)= 106 x 32t indivíduos. Neste 
caso, para que a população seja o triplo da inicial, o 
tempo, em minutos, será: 
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 
 
22. (FUVEST) – Seja f(x) = 22x+1. Se a e b são tais que 
f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que: 
 a) a + b = 2 b) a + b = 1 c) a – b = 3 
 d) a + b = 3 e) a – b = 1 
 
23. (PUC-RJ/2004) - Uma das soluções da equação 
é: 
 a) x = 1 b) x = 0 c) 
 d) x = -2 e) x = 3 
 
24. (UFJF 2005) – As raízes da equação 2x + 1/2x = 17/4 
são: 
a) iguais em módulo. 
b) ambas negativas. 
c) ambas positivas. 
d) quaisquer números reais. 
e) nulas. 
 
25. (UFOP/2005) – A curva c, a seguir, é gráfico da 
função f (x) = 2x . A equação da reta r que passa pelos 
pontos P e Q é: 
 
 
 
 
26. (UFOP/2005) – Com relação à equação exponencial: 
 
 pode-se afirmar que ela admite: 
 a) duas raízes inteiras e positivas. 
 b) duas raízes irracionais e positivas. 
 c) duas raízes racionais e duas irracionais. 
d) duas raízes inteiras e positivas e duas raízes irracionais 
e negativas. 
 
27. (UCSal) - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a: 
 a) -2 b) -1 c) 1/2 d) 1 e) 2 
 
 
2
1
23
125
25
5
+
−
− =
x
x
x
3212
9
4
3
2
−−





>





xx
10833 12 +−−= +ttm
Matemática Prof. Júlio 
624 





 −
=





−
−
=





=
40
22
,
15
23
,
34
51
CBA
28. Dar o domínio da função real definida por: 
 
29. (FUVEST – SP) – S endo x = (22) 3 , y = 22
3
 e z = 
23
2
, calcule x . y . z: 
a) 221 b) 210 c) 223 d) 24 e) 220 
 
30. (FCC) – A solução da equação 0,5 2x = 0,251 – x é um 
número tal que: 
a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 
c) 2 < x < 3 d) x > 3 
e) x < 0 
 
31. (FIC/FACEM) – A produção de uma indústria vem 
diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil 
unidades de seu principal produto. A partir daí, a 
produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9) x. 
O número de unidades produzidas no segundo ano desse 
período recessivo foi de: 
 a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 
 
32. (MAUÁ) Resolver o sistema: 
 
 
 
 
 
33. Se 0,5x
2 – 4x 
> 0,5 x, então seu conjunto verdade, 
em R, é: 
a)V = { x ∈ R / 0 < x < 5} 
b) V = { x ∈ R / x < -1 ou x < 5} 
c) V = { x ∈ R / x > -1 e x > 5} 
d) V = { x ∈ R / x > 5} 
e) V = φ 
 
34. (UFPA) – A raiz da equação (7 x - 2√10) . (7 x + 2√10) 
= 9 é um número: 
a)irracional negativo 
b) irracional positivo 
c) par 
d) inteiro negativo 
e) inteiro positivo 
 
35. (UFBA) O conjunto solução da equação 2 x - 2 – x = 5(1 
- 2 – x ) é: 
 a) {1, 4} b) {1, 2} c) {0, 1} d) {0, 2} e) φ 
 
36. (UFCE) a soma das raízes da equação x f (x) = 1, onde 
x > 0 e f(x) = x 2 – 7x + 12, é igual a: 
 a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 
 
37. (PUCCAMP) Considere a sentença a 2x + 3 > a 8, na 
qual x é uma variável real e a é uma constante real 
positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo, 
a)x = 3 e a = 1 
b) x = -3 e a > 1 
c) x = 3 e a < 1 
d) x = -2 e a < 1 
e) x = 2 e a > 1 
 
38. (Cefet-PR) – O produto das raízes da equação 32x + 1 – 
10.3x + 3 = 0 é: 
 a) 2 b) 2 c) 1 d) –1 e) 0 
 
GABARITO 
 
01. a)3 b)-√2 ou √2 c)2 d)-4 
02. B 
03. D, C, D, C, D, C, C, * 
04. 5 05. 3 06. B 
07. a){x∈R/x>1/3} b) {x∈R/x ≥ 3/2} 
08. C 09. E 10. D 
11. B 12. E 13. B 
14. a)7 b)-4 ou 1 c)0 d)-12 
15. 3 16. 4 17. C 
18. 3 19. a)-3/2 b) {x∈R/x>5/2} 
20. D 21. C 22. E 
23. A 24. A 25. A 
26. C 27. C 28. {x∈R/x<-2 ou x>2} 
29. E 30. A 31. D 
32. x=-1 e y=1 33. A 
34. E 35. D 36. C 
37. D 38. D 
 
MATRIZES 
 
INTRODUÇÃO – SOMA E INGUALDADE DE MATRIZES 
 
01. Se 





=
35
12
A e 





−
=
14
32
B , calcule: 
a) A + B = 
b) A . B = 
c) 2A – B = 
 
02. Dadas as matrizes 
obtenha: 
a) A + B – 2C 
b) A +2Bt +I2 
c) Encontre X tal que 2X – A – B = C 
 
03. Dadas as matrizes 
 obtenha: 
a) A + B – 2C 
b) A . Bt – I2 
c) Encontre X tal que X – A + B = Ct 
 
04. Dada a igualdade abaixo, calcule x + y + z + t. 
 





=





−+
−+
18
42
132
421
tz
yx
 
 
05. Dadas as matrizes 
 obtenha: 
a) 4A + B – 2C 





 −
=





−
−
=





−
=
410
21
,
75
21
,
30
53
CBA





 −
=





−
−
=





=
40
25
,
25
21
,
04
21
CBA
Matemática Prof. Júlio 
625 






=






−
=





−
=
134
250
272
134
,
614
512
C
BA






=






−
=





−
=
134
250
272
134
,
614
512
C
BA





 −
=





=
32
37
,
91
11
BA






−
−
=





=
15
21
,
13
01
BA



=−
=+
BYX
AYX
a)



+=−⋅
⋅−⋅=+
BAYX
BAYX
b
2
45
)





 −
=




−
=





−
=
12
14
,
01
21
,
13
12
CBA
C
XBAX
+
+
=
−
32






























322
128
)
330
128
)
325
128
)
323
128
)
324
128
)
ed
cba






=





−
+





tz
yx 23
10
2
21
1
d) A – Bt +I2 
e) Encontre X tal que 2X – A + B = Ct 
 
06. Seja A = (aij)2 x 2 uma matriz quadrada tal que aij 
= i2 + j2. A soma de todos os elementos da 
matriz A é igual a: 
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 
 
07. Sendo A uma matriz de ordem 3x3, cujos 
elementos são dados pe função 



≠+
=−
=
jiseji
jiseji
aij ,2
,
, a soma dos elementos 
da diagonal principal é: 
a) 5 b) 6 c) – 6 d) 4 e) 0 
 
08. Dadas as Matrizes 
 
 
 
Calcule: 
a) A + B – Cb) A + 2 . B – 3 . C 
c) (A + B)t 
 
09. O elemento a23 da matriz A, tal que 3A + 






−−
−
=




 −
221
102
120
311
, é: 
a) 3 b)2 c) 0 d) -1 e) –3 
 
10. Dada a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = i – 2j se i = 
j e aij = 3i + j se i ≠j, calcule e valor de a14 + a22 
– a34. 
 
11. Dadas as Matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
a) A + B – C 
b) A + 2 . B – 3 . C 
c) A + B 
d) (A + B)t 
e) At + Bt 
 
12. Dadas as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij = i + j e 
B = (bij)2x2 tal que bij = i – j, calcule o valor de a21 
+ b21 – a22 – b22 
 
13. Determine X na equação 2 . A – 5 . X = Bt 
sabendo-se que 
 
 
 
 
14. Dadas as matrizes 
 
 
 
 
 
 Determine X e Y em cada sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. (PUC) Se 
 
 
 
 
então a matriz X, de ordem 2, tal que 
 
 
 
 
é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Dada a equação matricial abaixo, encontre x, y, 
z e t: 
 
 
. 
 
 
17. 20.Calcule os números a, b, x e y que tornam 
verdadeira a igualdade 
 
 
18. (FGV) – A organização econômica Merco é 
formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de 
negócios realizados entre os três parceiros é 
representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 
colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j 
informa quanto o país i exportou para o país j, 
em bilhões de dólares. 
 
 então o país que mais exportou e o que mais 
 importou no Merco foram, respectivamente: 
a) 1 e 2 c) 2 e 2 
b) 3 e 2 d) 3 e 1 
c) 2 e 3 






−
=





−
−
⋅+





⋅
21
10
1
1
0
1
x
y
b
y
x
a
Matemática Prof. Júlio 
626 






=





−
=
13
9
,
31
12
BA






=
43
12
A






=












−
=
0521
1434
23
11
45
21
BeA








=





=
1000log)18,12(
...222.081
)12,8(216
...777,016log 2
1
3
2
mdc
Be
mmc
A






=






=
26
25
13
12
B
A






=
43
12
A






=
12
11
A
 
19. Sejam as matrizes 
 
 
 
 
 
 
onde mmc(a,b) indica a mínimo múltiplo comum 
entre a e b e mdc(a,b) indica o máximo divisor 
comum entre a e b. Se C = A + B, podemos 
afirmar que a soma dos elementos da matriz C é 
igual a: 
a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56 
 
20. Determine o elemento c22 da matriz C = A . B 
sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal 
que bij = j. 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 
 
21. Sejam as matrizes A e B representadas abaixo. 
Sendo A = B, qual o valor da expressão E = 2x – 
3y + z? 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
22. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Considere as matrizes A, B e C abaixo com x, y e 
z reais. Se A . B = C, calcule a soma dos 
elementos da matriz A. 
 





=





=





=
4536
54
,
11
21
,
1
CB
zy
x
A 
 
24. Uma matriz quadrada A é denominada matriz 
ortogonal se I== AAAA tt onde tA denota a 
transposta da matriz A e I é a matriz identidade 
de ordem n . Verifique se 





=
31
52
B é 
ortogonal. 
 
25. Dadas as matrizes 
 
 
 
 
 Obtenha a matriz X tal que A.X = B. 
 
26. Sejam as matrizes 



==
==
i
x
j
x
jbijbijB
iaijaijA
,)(
,)(
43
34
 Se C 
= AB, então c22 vale: 
 a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258 
 
27. Dada a matriz A, calcule A2: 
 
 
 
 
28. Dadas as matrizes A e B abaixo e seja C = A x B, 
então pode-se afirmar que o elemento c23 é igual 
a: 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
d) 55 
e) 60 
 
 
 
29. O elemento b21 da matriz B = A2 sendo 
 é: 
 a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1 
 
30. Determine a matriz X dadas as matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 sabendo que A . X + B = 0 
31. Dada a matriz A, calcule A2: 
 
 
 
 
 
32. Se 





=





=





=
y
x
XeBA
1
2
,
10
21
, determine 
X, tal que AX = B. 
 
33. Sejam as matrizes 



==
==
i
x
j
x
jbijbijB
iaijaijA
,)(
,)(
43
34
 Se C 
= AB, então c22 vale: 
a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258 
 
34. Determine o elemento c22 da matriz C = A . B 
sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal 
que bij = j. 
 a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 





 −
=





−
−
=
45
21
,
43
352 z
B
x
y
A
Matemática Prof. Júlio 
627 



≠⇔−=
=⇔−=
jijia
jijia
ij
ij
23
2
532
321
0
3
22
2xx
x
x
=
−
−






−
=





+
=
xy
z
B
zy
x
A
4
,
2
02









 −
254
11
1
z
yx
cc
bdc
ab
ba
ba
1
11
111
)
121
132
113
)
)
31
25
)
−
−
1
1
3
)
1
31
5
)
=
−
=
xx
x
b
x
a
0
26
312
11
=
x
x
1
1
110
01
11
x
x
x
x
−






=





=
x
Be
x
A
1
12
1
11
 
35. O elemento c32 da matriz C = A . B sabendo-se 
que A = (aij)3x3 tal que aij = i + j e B = (bij)3x2 tal 
que bij = 1 – i, é: 
a) – 10 b) 2 c) 15 d) – 17 e) 9 
 
DETERMINANTES 
 
01. Calcule os seguintes determinantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Resolva as seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Calcule o valor real de x em: 
 
 
 
 
 
 
04. Simplifique: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. (PUC) A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2 
com: 
 
 
 
 
O determinante de A é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 9 
 
06. Resolver em R, a equação: 
 
 
 
 
 
 
07. Dadas as matrizes 










=




 −
01
03
56
010
321
BeA , o determinante 
da matriz produto A . B é: 
a) 5 
b) -5 
c) 15 
d) -15 
e) 10 
 
08. (UNICENTRO) – Sendo A e B duas matriz 2x2 
dadas abaixo, pode-se afirmar que o maior valor 
do determinante matriz AB é igual a: 
a) 2 
b) 1 
c) 1/2 
d) 1/8 
e) 0 
 
09. (UNIFEI – 2003) – O determinante abaixo é 
múltiplo de: 
a) 9 
b) 7 
c) 5 
d) 3 
e) 2 
 
10. Seja A uma matriz de ordem 3x3 tal que aij = i – 
j. Calcule o determinante da matriz A. 
 
11. (UFOP 2005/2) –A matriz A, , dada a seguir, é 
igual à oposta da sua transposta, ou seja, A = - 
At . 
 
Seu determinante vale: 
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) – 1 
 
12. (UNESP) Considere as matrizes reais 
 
 
 
 
Se A = Bt (transposta de B), o determinante da 
matriz: 
 
 
 
 
 
É igual a: 
a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 
 
13. Calcule x na equação 
0
101
142
00
004
212
01
=
−−
−+−
xx
 é: 
 
Matemática Prof. Júlio 
628 
2000
3202
2121
0001
16
2000
302
211
000
=
x
x
x
16
2000
302
211
000
=
x
x
x












− 00121141
0412
0512
1234
1123
1112
0101










=
114
231
132
A
1002
2013
4321
1111
),
0123
1113
1112
2003
) ba
00004
11231
10002
11111
23123
111
1 ba
zyx
A =
000006
000050
000400
003000
020000
100000
50000
04000
00300
00020
00001
+










−
−=
423
021
431
A
14. (FEI) - O valor de x que satisfaz a equação 
0
103
122
10
204
312
01
=
−−
−+−
xx
 é: 
 a) -4/7 b) -2 c) 4/7 d) 5 e) 2 
 
15. Obtenha o co-fator do elemento a12 da matriz 
 
 
 
16. Obtenha o co-fator do menor elemento da 
matriz: 
 
 
 
17. Calcule os determinantes: 
 
 
 
18. Calcule o valor do determinante: 
 
 
 
 
19. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i2 + j2: 
a) Calcule o valor do co-fator do elemento a31 
da matriz A. 
b) Calcule o co-fator do elemento a11 da matriz 
A. 
20. Dada a matriz 
 
 
 
 
 
Sabe-se que os co-fatores de x, y e a são 
respectivamente iguais a 3, 5 e –8, então 
podemos afirmar que a soma a + b é: 
a) 10 b) 12 c) 15 d) 3 e) – 3 
 
21. Resolva a soma abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. Somando-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtém-se: 
a) 840 b) – 840 c) 600 d) - 600 e) 0 
23. Resolva o determinante 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. Calcule o determinante 
 
 
 
 
 
 
 
25. (MACK) – O valor de 
1111
3352
2331
1311
é: 
 
 
26. Calcule o determinante da matriz abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. Calcular o valor do determinante abaixo: 
 
2481
3202
2416
5132
−
−
 
28. Se a é a raiz da equação, então o valor de a2 é: 
a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64 
 
 
 
 
=
−
−
−
+
−−
200000
910000
321000
645200
9854120
654321
4021
3201
1113
2000
Matemática Prof. Júlio 
629 
dc
ba
D =
2
22
22
)
))
)1
1
1
)
D
dc
ba
e
D
ab
cd
dD
cd
ab
c
D
ba
dc
bD
c
a
a
=
==
=−=
Q
Q
10000
24120
1110
0000
0000
x
x
x
222 )700(log)70(log)7(log
700log70log7log
111
 
 
 
 
29. Sabendo-se que f(x) é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos afirmar que f(-2) é: 
a) – 8 b) - 16 c) 16 d) 8 e) 4 
 
30. Sendo A uma matriz de ordem 3x3 e det(A) = 2, 
calcule o valor da expressão det(A) + det(3A) – 
det(At). 
 
31. (ITA) – Sendo A uma matriz real quadrada de 
ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o 
valor de x na equação det(2A . At) = 4x. 
 
32. Sendo X e Y duas matrizes de ordem 2 e detX = 
3, calcule detY sendo det(X.Xt) = det(2Y) 
 
33. (UNIFAL/2006) – Sejam X e Y matrizes de ordem 
2 que satisfazem a equação X3Y = 2X , sendo X3 
= X.X.X . Se o determinante de X é igual a 3, é 
CORRETO afirmar que o determinante da matriz 
Y é igual a: 
a) 4/9 b) 2/9 c) 1/9 d) 1/3 e) 5/9 
 
34. (UEL) Seja o determinante 
 
 
 
 
É verdade que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35. (UEL) – Se A é a matriz 





−− 63
126
o 
determinante da matriz A2 é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 4 d)9 e) 25 
 
36. Se a é uma matriz 3x3 de determinante 5, então 
calcule o valor do det (A + A). 
 
 
37. 38. Sendo , calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38. Sejam duas matrizes quadradas A e B de ordem 
2. Sendo 3.det(A) = 15 e que det(At) + det(2A) 
= 4.det(B), podemos afirmar que o det(B) é igual 
a: 
a) 25/4 d) 25/2 
b) 13/4 e) 15/4 
c) 15/2 
 
39. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 2i - j: 
a) Calcule o valor do co-fator do elemento a22 da 
matriz A. 
b) Calcule o co-fator do maior elemento da matriz 
A. 
c) Calcule o determinante da matriz. 
 
40. (UNIFAL/2006) – Seja definida por 
, então o maior 
valor de f é: 
 a) – 11 b) – 10 c) – 13 d) – 12 e) – 15 
 
41. (UFOP/2005) – Considere a matriz A = [aij ]2x2 
com 
 a) Calcule det A . 
 b) Calcule AB , sendo 
 
42. Calcule o determinante abaixo: 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
Ângulos e Triângulos 
 
01. Em cada figura, calcule o valor de x, y e dos 
demais ângulos. 3=
fed
cba
zyx
=
−
−
−
=
=
fcz
eby
dax
c
cba
fed
zyx
b
fed
zyx
cba
a
)
333
222
)
)
Matemática Prof. Júlio 
630 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Duas retas paralelas cortadas por uma 
transversal formam ângulos colaterais internos 
representados por 6x e 3x. Calcule x. 
 
03. Dois ângulos colaterais internos  e Ê são tais 
que  = 3x + 70º e Ê = 2x + 35º. Calculando os 
valores de  e Ê, concluímos que  – Ê é: 
 a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º 
 
04. Dois ângulo alternos internos são dados por 4x – 
70º e 2x + 50º. Calcule x e o valor dos dois 
ângulos. 
 
05. Duas retas paralelas cortadas por uma 
transversal formam ângulo alternos externos 
dados por 4x – 70 e – 5x + 280º. Calcule x. 
 
06. Duas retas paralelas cortadas por uma 
transversal formam ângulos colaterais internos 
iguais a 3x + 70º e 2x + 30º. Calcule o valor de 
5x. 
 
07. Analise as afirmações abaixo: 
 I - a soma dos ângulos internos de um triângulo é 
 igual a 180º. 
 II - ângulos colaterais têm a mesma medida. 
 III – ângulos alternos têm a mesma medida. 
 IV – a soma dos ângulos externos de um 
 triângulo é igual a 360º. 
 Sendo V as afirmativas verdadeiras e F as 
 alternativas falsas, a seqüência correta é: 
a) I – V, II – V, III – V, IV – V. 
b) I – V, II – V, III – F, IV – V. 
c) I – V, II – F, III – V, IV – F. 
d) I – V, II – V, III – F, IV – F. 
e) I – V, II – F, III – V, IV – V. 
 
08. Calcule x e a em cada caso: 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
09. Considere as retas r, s, t e u todas num mesmo 
plano, r//u. O valor em graus de x é: 
 
 
 
 
 
 
 
10. A razão entre dois ângulos suplementares é igual 
a 2/7. Determine o complemento do menor 
ângulo. 
 
11. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu 
complemento dá 210º. 
 
12. Determine o valor de x, sendo r//s 
 
 
 
 
 
 
 
13. Determine o valor de α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Se então β + α 
vale: 
 
a) 30º b) 50º c) 150º d) 80º e) nda 
 
15. (PUC) – Se r//s, então α vale: 
a) 90º 
b) 100º 
c) 110º 
d) 120º 
e) nda 
r 
s 50
30
x 
a+x 
a 
r//s 
x 
x 
20° 
120° 
r 
u 
60
° 
x 
t 
s 
r 
3α 
t 
s 
r 2α 
r//s 
150° 
160° 
 α 
β 
10° 
α 
r 
s 
Matemática Prof. Júlio 
631 72° 
A 
B 
C 
M N 
P 
30° 30° 
A 
B C 
E D 
A 
B D 
F 
E 
C 
 
16. Na figura abaixo, tem-se r//s e t//u. Calcule o 
valor de a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Calcule o suplemento de (90º- x). 
 
18. O dobro da medida do complemento de um 
ângulo aumentado de 40º é igual à medida de 
seu suplemento. Qual a medida do ângulo? 
 
19. Da medida de um ângulo tira-se sua terça parte e 
depois a metade da medida do suplemento do 
que restou e obtém-se 60º. Qual a medida do 
ângulo? 
 
20. (STA CASA) – Os triângulosABC e DEC são 
congruentes. Os lados do último medem 5cm, 
4cm e 3cm, respectivamente. O perímetro da 
figura ABDECA mede: 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 
 
21. Na figura AB ≡ AC, Â = 80º. Calcular o ângulo 
BÊC. 
 
 
 
 
 
 
22. Na figura AB = AC, O é o ponto de encontro das 
bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo BÔC é o 
triplo do ângulo A, então a medida de  é: 
 
 
 
 
 
 
 a) 18º b) 12º c) 24º d) 36º e) 15º 
23. Na figura seguinte, o triângulo MNP é equilátero e 
BM = BN. Calcule as medidas dos ângulos do 
triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. Calcule o ângulo  indicado na figura, sabendo 
que as bissetrizes internas dos ângulos de vértice 
B e C formam um ângulo de 110º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. ABC é um triângulo eqüilátero de lado 18 cm e C 
é ponto médio do segmento BD. Sejam E um 
ponto sobre o lado AC e F ponto médio de AB, de 
tal forma que F, E e D estejam alinhados. 
Determine a medida do segmento CE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. Num triângulo ABC, onde AC = 10 e AB = 12, 
tomou-se os pontos D e E sobre os lados AB e 
AC, respectivamente, de tal forma que DE//BC. 
Seja O o incentro do triângulo ABC, de tal forma 
que O, D e E estejam alinhados. Calcule o 
perímetro do triângulo ADE. 
 
27. (UEL – PR) Na figura abaixo, as retas r e s são 
paralelas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A medida de y é igual a: 
 a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º 
 
 
28. (VUNESP) – Os ângulos internos de um triângulo 
estão em progressão aritmética e o menor deles 
é a metade do maior. O maior ângulo do 
triângulo mede: 
a) 60º b) 75º c) 80º d) 90º e) 120º 
 
29. (FUVEST/98) – As retas t e s são paralelas. A 
medida do ângulo x, em graus, é: 
a) 30º 
b) 40º 
c) 50º 
d) 60º 
A 
C 
B 
 O 
 
α α 
110° 
B C 
θ θ 
Matemática Prof. Júlio 
632 
60
30º 
40 
αααα 
r 
s 
A 
B 
d) 70º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano 
que contém as retas paralelas r e s. 
Assinale o valor de αααα . 
a) º30 
b) º50 
c) º40 
d) º70 
e) º60 
 
 
 
 
31. Num retângulo, uma diagonal forma com um dos 
lados um ângulo de 17º. Calcular a medida do 
ângulo obtuso formados pelas diagonais. 
 
32. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e ABM é 
um triângulo equilátero. Então quanto mede o 
ângulo CMD? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semelhança de Triângulos 
 
33. Calcule x e y nas figuras abaixo: 
 
34. Calcule x e y nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
35. Na planta de um loteamento, está faltando a 
medida do lado dos fundos do lote B, conforme a 
figura: 
 
 Calcule sua medida, em metros. 
 a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 15 
 
36. Nas figuras abaixo, calcule o valor de x (as retas 
a, b e c são paralelas). 
 
37. Encontre x e y na figura: 
 
38. A planta abaixo mostra as medidas de dois 
terrenos. Calcule as medidas de suas frentes, 
sabendo que as laterais são paralelas e que a 
medida de AB é 90 metros. 
 
 
39. Observe o desenho abaixo e descubra qual deve 
ser o comprimento da ponte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Prof. Júlio 
633 
 
 
40. Na figura, a medida do ângulo B é igual à medida 
do ângulo D, BC = 10 m e DE = 5 m, calcular 
valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41. (UFJF/MG) Seja o triângulo de base igual a 10 m 
e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, 
tendo um lado contido na base do triângulo. O 
lado do quadrado é, em metros, igual a: 
 a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 
 
42. (PUC-MG 2005) – Uma lâmpada colocada da no 
alto de um poste, de altura AB = 5m, projeta no 
solo a sombra de um homem. Esse homem está 
de pé a uma distância AD = 2,56m do poste e 
sua sombra projetada é DC = 1,44m. Então, 
pode-se afirmar que a altura DE desse homem, 
em metros, é igual a: 
a) 1,80 
b) 1,82 
c) 1,84 
d) 1,85 
 
43. (PUC-MG) - Na figura, as medidas de 
comprimento são indicadas em metros e os 
triângulos são retângulos. Então, o comprimento 
do segmento DE, em metros, é: 
a) 2,10 
b) 2,25 
c) 2,50 
d) 2,65 
 
 
 
 
44. (VUNESP) – Na figura, a medida do ângulo ABC é 
igual à medida do ângulo ADE. Calcule o valor de 
y, em metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45. (UNEB) – Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e MC 
= 3. Se MN é paralelo a AB, calcule a medida real 
do segmento BM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46. (UNOPAR) – Um homem caminha em direção a 
um prédio vertical de 18m de altura, que projeta 
uma sombra de 12m. Quando o homem se 
encontra a 10,8m do prédio, verifica que nesse 
momento se encontra totalmente dentro da 
sombra do prédio. Então, a altura do homem é 
igual a: 
 a) 1,80m b) 1,75m c) 1,70m d) 1,65m e) 1,60m 
 
47. (UFSM – RS) - Na figura, a reta r é paralela ao 
lado AB do triângulo retângulo ABC. O 
comprimento do lado AB, em centímetros é: 
 a) √5/5 b) √5 c) 3√5 d) √55 e) 4√5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48. Nas figuras abaixo, determine os valores de x e 
y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49. (FURG – RS) – O valor do segmento AD na figura 
abaixo é: (mostrar resolução) 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50. (Unicamp/2004) – Um homem, de 1,80m de 
altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30º, 
conforme mostra a figura. No ponto A está um 
poste vertical de 5 metros de altura, com uma 
lâmpada no ponto B. Pede-se para: 
a) Calcular o comprimento da sombra do homem 
depois que ele subiu 4 metros ladeira acima. 
Matemática Prof. Júlio 
634 
b) Calcular a área do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51. (UFV/PASES) – Para se deslocar para o trabalho, 
uma pessoa que reside em uma cidade, cuja 
disposição das ruas está representada na figura 
abaixo, percorre o menor trajeto de A até E , 
passando por D. 
 
 Sabendo que 
 
 é CORRETO afirmar que a distância percorrida, 
 em metros, foi de: 
 a) 120 b) 125 c) 130 d) 135 140 
 
52. (UFMG/2003) - Nesta figura, o quadrado ABCD 
está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e 
AN medem, respectivamente, m e n. 
 
 
 
 
 
 
 
Então o lado do quadrado mede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53. (Unifei/2003) No retângulo ABCD da figura ao 
lado os lados medem cmAB 12= e cmAD 16= . 
Toma-se um ponto P sobre o lado AD , de modo 
que cmxAP = . Por esse ponto P traça-se o 
segmento PQ , paralelo à diagonal AC . 
 Calcule a medida de PQ em função de x. 
 
 
Triângulo Retângulo 
 
54. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 
10cm e um dos catetos é duas unidades maior 
que o outro. O perímetro do triângulo é: 
 a) 22cm b) 24cm c) 26cm d) 28cm e) 30cm 
 
55. Determine o valor de x na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
56. (PUC – BA) – Na situação abaixo deseja-se 
construir uma estrada que ligue a cidade A à 
estrada BC, com o menor comprimento possível. 
Essa estrada medirá, em quilômetros: 
 a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57. (Unesp-SP) – A área de um triângulo retângulo é 
de 12 dm2 . Se um dos catetos é 2/3 do outro, 
a medida da hipotenusa desse triângulo é: 
a) 2√ 3 b) 3√5 c) 4√6 d) 2√13 e) √15 
 
58. (UFMA) – Num triângulo retÂngulo, as projeções 
dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e1cm respectivamente. A área desse triângulo 
mede: 
a) 2cm2 b) 5√2cm2 c) 4cm2- d) 5cm2 e) 10cm2 
 
59. (UEPG) – Num triângulo retângulo com um 
ângulo agudo igual a 45º e a hipotenusa igual a 
6√2 cm tem como área, em cm2, um valor igual 
a: 
a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24 
 
60. Encontre o valor de x nas figuras a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
)
4
)
8
)
)
22
mn
d
nm
c
nm
b
nm
mn
a
+
+
+
Matemática Prof. Júlio 
635 
 
61. Quanto mede a diagonal de um quadrado se um 
de seus lados mede √2 m? 
 
62. Calcule o valor de x na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63. (ENERJ) – Entre duas torres de 13m e 37m de 
altura existe na base uma distância de 70m. Qual 
a distância entre os extremos sabendo-se que o 
terreno é plano? 
 
64. O triângulo representado abaixo tem medidas 
dadas em centímetros. Ache as medidas dos 
lados deste triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65. Num triângulo retângulo, a altura relativa à 
hipotenusa mede 12 (h=10) e o menor dos 
segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 
4 (n = 4). Calcule o menor cateto deste triângulo. 
(Ver figura) 
 
 
 
 
 
 
66. Dada a figura: 
 
 Calcule: 
 
67. Calcule o valor de x e de y na figura, no tamanho 
do desenho, dando a resposta na formas mais 
simplificada possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68. Uma árvore foi partida pelo vento conforme 
mostra a figura abaixo. Sabendo que a distância 
da base da árvore até o topo é de 24m e que a 
parte quebrada mede 26m, qual era o tamanho 
total, em m, da árvore antes de ser partida pelo 
vento? 
 
 
 
 
 
 
 
69. Calcule x na figura abaixo e o valor de ângulo a 
na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70. (UFMG/2006) – Esta figura representa o 
quadrilátero ABCD: 
 
 
Sabe-se que 
AB = 1cm e AD = 2cm ; 
o ângulo ABC mede 120º ; e 
o segmento CD é perpendicular aos segmentos 
 D e BC. 
Então, é CORRETO afirmar que o comprimento 
do segmento BD é 
a) √3 cm b) √5/2 cm c) √6/2 cm d) √2 cm 
 
71. (UFJF) – Considere o quadrado ABCD de lado √2 
cm , na figura abaixo. Determine a área do 
triângulo ABP, sabendo-se que a medida do 
segmento CP é √2 cm. 
 
Matemática Prof. Júlio 
636 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72. (F.I. Vitória-ES) – Num retângulo cuja medida da 
base é o dobro da medida da altura, foram 
diminuídos 5 cm da altura e 10 cm de base, 
obtendo-se assim uma redução de 350 cm2 na 
sua área inicial. A área do retângulo original era: 
a) 800 cm2 d) 750 cm2 
b) 700 cm2 e) 650 cm2 
c) 400 cm2 
 
Polígonos 
 
73. Calcule o número de diagonais dos polígonos 
abaixo: 
a) Pentágono b) Heptágono 
b) Dodecágono c) Hexágono 
 
74. (ACAFE) – Diagonal de um polígono é o segmento 
de reta que une dois vértices não consecutivos do 
polígono. Se um convexo tem 9 lados, qual o 
número total de diagonais? 
a) 18 b) 20 c) 24 d) 27 e) 36 
 
75. (PUC – SP) – Qual é o polígono em que o número 
de diagonais é o dobro do número de lados? 
a) Dodecágono d) pentágono 
b) Octógono e) heptágono 
c) hexágono. 
 
76. (PUC – SP) – Cada ângulo interno de um 
decágono regular mede: 
a) 36º b) 60º c) 72º d) 120º e) 144º 
 
77. (PUC – PR) – A soma dos ângulos internos de um 
hexágono regular é: 
a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º 
 
78. O número de diagonais e a soma dos ângulos 
internos de um decágono convexo valem, 
respectivamente: 
a) 35 e 1440º d) 70 e 1440º 
b) 40 e 1260º e) 45 e 1860º 
c) 35 e 1480º 
 
79. O polígono convexo cuja a soma dos ângulos 
internos mede 1440º tem, esatamente: 
a) 15 diagonais d) 20 diagonais 
b) 25 diagonais e) 30 diagonais 
c) 35 diagonais 
 
80. (MACK - SP) – Os ângulos externos de um 
polígono regular medem 20º. Então, o número de 
diagonais desse polígono é: 
a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 
 
81. (FUVEST – SP) – Dois ângulos internos de um 
polígono convexo medem 130º cada um e os 
demais ângulos internos medem 128º cada um. O 
número de lados do polígono é: 
a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e)17 
 
82. (ITA) – A soma dos ângulos internos de um 
polígono regular é 2 160º. O número de diagonais 
desse polígono que não passa pelo seu centro é: 
a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 
83. O número de diagonais de um polígono que 
possui a soma dos ângulos internos igual a 3240º 
é: 
 a) 140 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180 
 
84. A soma dos ângulos internos de um polígono 
convexo de n lados é 720, então calcule o valor 
de n. 
 
85. Calcule a soma dos ângulo assinalados na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
Área de Polígonos 
 
86. A área, em cm2, de um triângulo equilátero de 
lado 10cm é: 
a) 25√3 b) 25 c) 100√3 d) 20√3 e) 10 
 
87. Calcule a área do desenho e a real das seguintes 
figuras: (Escala: 1:3) 
 
 
 
 
 
 
 
88. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que 
tem altura cmh 32= . 
 
89. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que 
tem altura cmh 38= . 
 
90. Se um retângulo possui os lados representados 
por x + 4 e x – 6 e tem área igual a 56, calcule o 
valor de x. 
 
91. Um triângulo ABC tem lados AB = 10 cm, AC = 
8 cm e BC = 7 cm. Determine a sua área e a 
medida da altura relativa ao maior lado. 
 
92. (UFRGN) - Um terreno de 72m2 de área é 
formado por 8 quadrados congruentes (veja 
figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
Matemática Prof. Júlio 
637 
 
 A cerca que delimita o terreno (em negrito na 
 figura) mede: 
a) 51m b) 36m c) 48m d) 27m e) 62m 
 
93. (VUNESP – SP) – O menor país do mundo em 
extensão é o Estado do Vaticano, com uma área 
de 0,4km2. Se o território do Vaticano tivesse a 
forma de um quadrado, então a medida dos seus 
lados estaria entre: 
a) 200m e 201m d) 220m e 221m 
b) 401m e 402m e) 632m e 633m 
c) 802m e 803m 
 
94. (UFCE) – Quantos azulejos quadrados, medindo 
15cm de lado, são necessários para revestir uma 
área retangular que mede 90cm de comprimento 
e 120cm de largura? 
 
95. Um triângulo ABC tem lados AB = 13 cm, AC = 
12 cm e BC = 15 cm. Determine a sua área e a 
medida da altura relativa ao maior lado. 
 
96. (FUVEST) – Aumentando-se os lados a e b de um 
quadrado de 15% e 20% respectivamente, a área 
do quadrado é aumentada em: 
 a) 35% b) 30% c) 3,5% d) 3,8% e) 38% 
 
97. (FUVEST) Aumentamos a altura de um triângulo 
em 10% e diminuímos a sua base em 10%. Então 
a área do triângulo 
a) aumenta 1% d) aumenta 0,5% 
b) decresce 0,5% e) decresce 1% 
c) não se altera 
 
98. (UFSC) – A base de um triângulo mede 132 m e 
sua altura, em metros, é h. Se a base for 
aumentada em 22 m e a altura, em 55m, obtém-
se um novo triângulo cuja área á o dobro da área 
do primeiro. Calcule o valor de h. 
 
99. (UNICAMP – SP) – Na planta de um edifício em 
construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões de 
uma sala retangular são 10 cm e 8cm. Calcule em 
m2 a área real da sala projetada. 
 
100. (FUVEST – SP) – Os lados de um retângulo de 
área 12 m2 estão na razão 1 : 3. Qual o 
perímetro do retângulo? 
a) 8m b) 12m c) 16m d) 20m e) 24m 
 
101. (UEL) – Dois quadrados, com os lados 
respectivamente, paralelos, interceptam-se como 
mostra a figura a seguir. Se AM = MD, HM = ME 
e as áreas desses quadrados são 100 m2 e 144 
m2, a área do quadrilátero MDNE, em centímetros 
quadrados, é igual a:a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) 120 
 
102. (FUVEST ) – Dos irmãos herdaram um terreno 
com a seguinte forma e as seguintes 
dimensões: 
AD = 20 m 
AB = 60 m 
BC = 16 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para dividir o terreno em duas partes de mesma 
área, eles usaram uma reta perpendicular a AB. 
Para que a divisão seja feita corretamente, a 
distância dessa reta ao ponto A, em metro, 
deverá ser: 
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 
 
103. Calcule a área de um hexágono regular que 
possui o lado igual a 2 m. 
 
104. Calcule a área da região hachurada na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105. (INATEL – MG) – A figura abaixo é a planta de 
um salão na escala 1 : 20. A área deste salão é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 5 600 cm2 b) 56 m2 c) 72 m2 
 d) 36 m2 e) 24 m2 
 
106. (UFJF 2005) – Considere um outdoor de uma 
propaganda publicitária, construído em formato 
retangular, com área de 104 m² e com um dos 
lados 5m maior do que o outro. Sobre a medida x 
do maior dos lados deste outdoor, pode-se 
afirmar: 
a) 9 ≤ x ≤ 11. b) 6 ≤ x ≤ 8. 
c) 12 ≤ x ≤ 14. c) x ≥ 26. 
Matemática Prof. Júlio 
638 
e) x ≤ 6. 
 
107. Calcule a área da figura abaixo, sendo as 
medidas dadas em cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
108. (PUC – PR) A área do retângulo DEFB é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 120 b) 20 c) 180 d) 24 e) 160 
109. Determine a área do trapézio retângulo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 696 b) 576 c) 466 d) 786 e) 236 
 
110. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos um 
retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, 
e duas faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e 
JK de mesma medida. Se a área da região 
sombreada e a da região do retângulo ABCD 
exterior à área sombreada são iguais, qual a 
medida de EF? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 1,8 b) 1,9 c) 2,0 d) 2,1 e) 2,2 
 
111. (UECE) – Na figura o retângulo ABCD foi divido 
em quatro regiões X, Y, Z e W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se X e Y são quadrados de 81m2 e 144m2, 
 respectivamente, e Z é um triângulo com 102m2 
 de área, então a área da região W é: 
a) 327m2 d) 319m2 
b) 309m2 e) 282m2 
c) 331m2 
 
112. (Fatec-SP) – Comprei um terreno de forma 
retangular que tem 15 m de frente por 40 m de 
profundidade. Nesse terreno, construí uma casa 
que tem a forma de um losango, com diagonais 
medindo respectivamente 12 m e 24 m, uma 
piscina de forma circular com 4 m de raio e um 
vestiário, com a forma de um quadrado, com 
3,5 m de lado. Todo o restante do terreno será 
gramado. Se o metro quadrado da grama custa 
R$ 2,40, a quantia gasta para comprar a grama 
será, aproximadamente: 
a) R$ 645,10 
b) R$ 1005,50 
c) R$ 795,60 
d) R$ 1376,20 
e) R$ 944,40 
113. Num retângulo, cuja área é 65 m2, a base é 3 
metros menor que o dobro da sua altura. A sua 
base mede: 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 8 e) 4 
 
114. (UNIFAL/2006) – Na geometria plana, quando 
são conhecidos os lados a , b e c de um triângulo 
qualquer, é possível calcular a área S , sem 
necessidade da determinação de qualquer ângulo, 
através da fórmula , 
onde 2p = a + b + c. Considere um terreno 
triangular de lados 2x – 1, x + 1, x , conforme a 
figura abaixo, cuja área e perímetro são iguais 
em valor numérico. 
 
 É correto afirmar que a área do terreno é igual a: 
 a) 30 b) 32 c) 34 d) 38 e) 36 
 
115. (USF) – Um terreno na forma abaixo foi 
deixando como herança para duas pessoas. 
Matemática Prof. Júlio 
639 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deverá, portanto, ser dividido em duas partes de 
áreas iguais por uma reta EF, paralela ao lado AB. 
Sendo AD = 60m, BC = 100m e CD = 50m, DE 
medirá, em metros 
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 
 
116. (UFMG) – Um mapa está desenhado em uma 
escala em que 2 cm correspondem a 5 km. Uma 
região assinalada nesse mapa tem a forma de um 
quadrado de 3 cm de lado. A área real dessa 
região é de: 
 a) 37,50 km2 b) 56,25 km2 
 c) 67,50 km2 d) 22,50 km2 
 
117. (UFMG) – O comprimento de uma mesa 
retangular é o dobro de sua largura. Se a mesa 
tivesse 45cm a menos de comprimento e 45 cm a 
mais de largura, seria quadrada. Assim sendo, a 
área da mesa é de: 
a) 1,62m2 b) 1,45m2 c) 1,58m2 
b) 1,82m2 e) 1,94m2 
 
118. (UFJF/2006) – Seja o triângulo de base igual a 
10 m e altura igual a 5 m com um quadrado 
inscrito, tendo um lado contido na base do 
triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual 
a: 
 a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 
119. (UFJF/2006) – Uma empresa trabalha com 
placas de publicidade retangulares, de lados 
iguais a x + 3 e 2x – 4 metros. 
 a) Determine os valores de x, para que a área da 
 placa varie de 12 m2 a 28 m2. 
 b) Determine as medidas dos lados da placa de 
 28 m2. 
 
Círculo e Circunferência 
120. Dada uma circunferência de raio igual a 3cm, 
Calcule o seu comprimento. (Usar π = 3,14). 
 
121. Um círculo de diâmetro igual a 16cm, Calcule a 
sua área. (Usar π = 3,14). 
 
122. Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo 
equilátero de lado 3cm. 
 
123. Uma praça circular tem 200 m de raio. Quantos 
metros de grade serão necessários para cercá-
la? 
 
124. Calcule a área e o comprimento de uma 
circunferência que tem um diâmetro igual a 
10cm. (Considere π = 3,1) 
 
125. Num círculo de raio 4cm inscreve-se um 
quadrado e circunscreve-se um triângulo 
equilátero. Calcule a razão entre a diagonal do 
quadrado e o lado co triângulo. 
 
126. (UEL 2004) – Dois círculos concêntricos têm 
raios 3 e 5 centímetros. Desenha-se um 
segmento de reta, com maior comprimento 
possível, inteiramente contido na região interna 
ao círculo maior e externa ao círculo menor. 
Qual o comprimento desse segmento? 
 
127. O comprimento da linha do equador da Terra 
tem aproximadamente 40.000 km. Qual é o 
raio da Terra? Qual é o diâmetro da Terra? Uma 
pessoa que anda na linha do equador 
percorrendo 10 km por dia, quantos séculos 
demoraria para dar uma volta completa no 
planeta Terra? 
 
128. Na figura abaixo tem-se um quadrado de lado 
4m e uma parte de um círculo nele inscrito. 
Determinar a área da superfície pintada. 
(Considere π = 3,1). 
 
 
 
 
 
 
 
129. a) Calcule a área de um triângulo eqüilátero 
que tem altura cmh 36= . 
 b) Se o triângulo do item a) for inscrito em um 
 círculo, qual será o diâmetro desse círculo? 
 c) Se o círculo do item b) inscrito num 
 quadrado qual será a medida da diagonal 
 desse quadrado? 
 
130. Se a roda juntamente com o pneu de uma 
motocicleta tem um diâmetro de 50cm, calcule 
quantas voltas completas ela dará se esta 
motocicleta percorrer 150km. 
 
131. Determine a área hachurada em função de r. 
 
 
 
 
 
 
 
132. Uma pista de ciclismo tem formato circular de 
raio 25m. Numa determinada competição Paulo 
dará 40 voltas completas nesta pista. Sabendo 
que sua bicicleta tem pneus circulares iguais de 
raio 40cm, quantas voltas completas terá dado 
o pneu da bicicleta de Paulo quando ele 
terminar a prova? (Use π = 3). 
 
133. Considerando um triângulo eqüilátero de lado 
igual a 8cm. Calcule: 
a) sua área; 
b) sua altura; 
r r 
Matemática Prof. Júlio 
640 
c) o raio da circunferência inscrita no triângulo. 
 
134. Joaquim comprou um terreno que tem a forma 
de um círculo de diâmetro igual a 120m. 
Joaquim deseja plantar gramas em seu terreno 
e, fazendo um pesquisa de preço constatouque 
gastará R$ 10,50 por m2 de grama. Qual a 
quantia total, em reais, que Joaquim gastará 
para gramar seu terreno? 
 
135. (UEL-PR) - Calcular o perímetro, em 
centímetros, de um hexágono regular, sabendo 
que nele está inscrito um círculo de 5cm de 
raio. 
 
136. João comprou um terreno que tem a forma de 
um círculo de diâmetro igual a 20m. Para 
cercar seu terreno, João precisava comprar 
arames afim de montar a cerca. Na loja, cada 
metro do arame custa R$ 2,00. Sabendo que 
João deverá dar duas voltas completas de 
arame no seu terreno, quanto gastará na loja? 
 
137. Calcule a área do círculo nas figuras abaixo. 
 
 
138. Calcule a área da região indicada, sendo as 
medidas dadas em cm: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
139. Calcule o valor da área pintada nas figuras 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
140. Calcule o valor da área pintada nas figuras 
abaixo: 
 
141. (Unifor-CE) – Na figura abaixo têm-se dois 
círculos concêntricos, de raios iguais a 4 cm e 8 
cm, e a medida de um ângulo central, em 
radianos, igual a π/10. A área da superfície 
sombreada, em centímetros quadrados, é igual 
a: 
 
 
142. (UNICAMP 2005/2ªFase) – Sejam A, B, C e D 
os vértices de um quadrado cujos lados medem 
10cm cada. Suponha que a circunferência C 
passe pelos pontos C e D, que formam o lado 
CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto 
M, ao lado oposto AB. 
a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são 
C, D e M. 
b) Calcule o raio da circunferência C. 
 
143. (UNESP) A figura representa um canteiro de 
forma circular com 5 metros de raio. O canteiro 
tem uma região retangular que se destina à 
plantação de flores e uma outra região, 
sombreada na figura, na qual se plantará 
grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é 
o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD 
mede 8 metros. 
 
a) Determine a medida do lado BD e a área da 
região retangular destinada à plantação de flores. 
b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama 
custa R$ 3,00, determine quantos reais serão 
gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a 
aproximação π = 3,2). 
 
144. Na figura a seguir, tem-se 3 círculos 
concêntricos em O. Sabendo-se que o diâmetro 
do círculo maior é o triplo do diâmetro do 
círculo menor, que o diâmetro do círculo do 
meio vale 6m e que soma desses diâmetros é 
18m, calcular a área da região hachurada, em 
cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Prof. Júlio 
641 
A B 
D C 
O 
 
 
145. (UFLA 2005/2ª Fase) – Uma das faces de uma 
medalha circular tem o desenho ao lado. A 
região hachurada é de ouro e a não-hachurada 
é de prata. Sabendo que os contornos das 
áreas hachuradas são semicírculos, as áreas 
das superfícies de ouro e de prata são, 
respectivamente, em cm2:_________ e 
__________ 
 
146. Um retângulo de 28cm de perímetro está 
inscrito em uma circunferência de 10πcm de 
perímetro. A área do retângulo, em cm2, mede: 
a) 48 b) 96 c) 100 d) 171 
 
147. Calcule a área, em cm2, de um hexágono 
regular circunscrito numa circunferência de 
área igual a 8π cm2. 
 
148. (UFJF/2006) – Testes efetuados em um pneu 
de corrida constataram que, a partir de 
185.600 voltas, ele passa a se deteriorar, 
podendo causar riscos à segurança do piloto. 
Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, 
ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, 
aproximadamente: 
a) 93 km. b) 196 km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 366 km. d) 592 km. 
e) 291 km. 
 
149. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, tem-se um 
círculo de 3 cm de raio e quatro triângulos 
equiláteros com vértices no centro desse 
círculo. 
 
A área da região hachurada, em cm2 é: 
a) 4π b) 6π c) 2π d) 5π e) 3π 
 
150. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, as três 
circunferências têm 1 cm de raio e são 
tangentes entre si e aos lados do triângulo 
ABC. 
 
a) O triângulo ABC é eqüilátero? Justifique sua 
resposta. 
b) Determine as medidas do lado e da altura do 
triângulo ABC. 
c) Girando o triângulo ABC de um ângulo de ° 
180 em torno da altura relativa ao lado BC , 
obtém-se um cone. Calcule o volume desse 
cone. 
 
151. (EFOA/2004) – Suponha que uma mancha de 
óleo sobre a superfície da água tenha a forma 
de um disco de raio r (em cm). Se o raio cresce 
em função do tempo t(em min), obedecendo à 
relação r(t) = 15t + 0,5, a área ocupada pela 
mancha, depois de 2 minutos, em cm2, será: 
a) 940,25π d) 420,25π 
b) 450,25π e) 930,25π 
c) 910,25π 
 
152. (FMTM/2003) - Um círculo tem seu centro em 
um vértice de um triânguloeqüilátero de lado 2 
de tal maneira que metade da área do triângulo 
está no interior do círculo. A área desse círculo 
vale: 
 Dados: ATriângulo Equilátero = L2√3/4 
 L – lado do triângulo 
 a) 3√3 b) 2π c) 6√3 d) 4π e) 9√3 
 
153. (UFMG 2005) – Observe esta figura: 
 
Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como 
vértices os pontos médios dos lados do retângulo 
EFGH, que, por sua vez, está inscrito em uma 
Matemática Prof. Júlio 
642 
circunferência. O segmento AC e o raio dessa 
circunferência medem, respectivamente, 12 cm e 
7 cm . Assim sendo, é CORRETO afirmar que a 
área do quadrilátero ABCD, em cm2 , é 
 a) 6√13 b)8 √13 c)12√13 d)4√13 
 
154. (UNESP/2005) - Em um jogo eletrônico, o 
“monstro” tem a forma de um setor circular de 
raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que 
falta no círculo é a boca do “monstro”, e o 
ângulo de abertura mede 1 radiano. O 
perímetro do “monstro”, em cm, é: 
a) π - 1 
b) π + 1 
c) 2π - 1 
d) 2π 
e) 2π + 1 
 
 
 
155. (Fuvest-SP/2000) - Na figura seguinte, estão 
representados um quadrado de lado 4, uma de 
suas diagonais e uma semicircunferência de 
raio 2. Então, a área da região hachurada é: 
a) π + 2 
 2 
b) π + 2 
c) π + 3 
d) π + 4 
e) 2π + 1 
 
 
 
156. (FUVEST) Na figura abaixo, ABC é um triângulo 
eqüilátero de lado igual a 2. MN, NP e PM são 
arcos de circunferência com centro nos vértices 
A, B e C, respectivamente e, de raios todos 
iguais a 1. A área da região sombreada é: 
 
 
 
 
 
 
 
157. (UFMG/2003) - Nesta figura, o triângulo 
equilátero ABC está inscrito numa 
circunferência de raio 2: 
Então, a área da região hachurada é: 
 
 
 
 
 
 
 
158. (FAAP – SP) – Na campanha eleitoral para as 
recentes eleições realizadas no país, o 
candidato de um determinado partido realizou 
um comício que lotou uma praça circular com 
10 metros de raio. Supondo que, em média, 
havia 5 pessoas/m2, uma estimativa do número 
de pessoas presentes a esse comício é de, 
aproximadamente: 
a) 78 500 d) 100 000 
b) 127 000 e) 10 000 
c) 157 000 
 
159. (PUC-PR) Um setor circular com arco de 36º e 
raio igual a 1m tem como área: 
a) π/2 m2 b) πm2 c) π/10m2 
d) 2πm2 e) π/5m2 
 
160. (CEFET-PR) Se um setor circular tem raio α e 
área S, o ângulo do setor vale: 
a) 2S b) S_ c) πa2 
 a2 a2 
d) 2πa2 e) 2πSa2 
 S 
 
161. (UFV – MG) Aumentando-se 1 m no raio r de 
uma circunferência o comprimento e a área, 
respectivamente, aumentam: 
a) 2π m e 2 (r + 1)π m2 d) 2π m e (2r + 1)π m2 
b) 2π2 m e (2r + 1)π m2 e) 2π m e (2r2 + 1)π m2 
c) 2π m2 e (r2 + 1)π m2 
 
162. (FEI – SP) Três circunferências de raio r estão 
dispostas no interior de outra circunferência de 
raio R, conforme a figura a seguir. Qual o valor 
da razão K = R/r? 
 a) 2√3 b) 1 + 2√3 c) 2 + 2√3 
 3 3 3 
 d) 3 + 2√3 e) 1 + 3√3 
 33 
 
163. (UNIJUÍ – SP) O comprimento da circunferência 
representada na figura é: 
a) 49π unidades de comprimento; 
b) 2π√3 unidades de comprimento; 
c) 14π unidades de comprimento; 
d) 7π√3 unidades de comprimento; 
e) 14π√3 unidades de comprimento. 
3
323
)
3
343
)
3
332
)
3
334
)
−−
−−
ππ
ππ
dc
ba
Matemática Prof. Júlio 
643 
 
 
164. (UFPE) Num círculo, inscreve-se um quadrado 
de lado 7 cm. Sobre cada lado do quadrado, 
considera-se a semicircunferência exterior ao 
quadrado com centro no ponto médio do lado e 
raio 3,5 cm, como na figura a seguir. Calcule a 
área da região hachurada: 
 
 
165. (UFMA) O comprimento da curva representada 
pela figura é: 
 a) 53π b) 60π c) 120π d) 43π e) 96π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
166. (UFMT) – A etiqueta do CD mostrado na figura 
tem a forma de uma coroa circular cujo 
diâmetro da circunferência externa mede 11,8 
cm e da circunferência interna 3,6 cm. 
Considerando π = 3,14, determine o número 
inteiro mais próximo da medida (em cm2) da 
área da etiqueta. 
 
 
167. (PUC-PR) – Sendo O o centro da circunferência 
de raio unitário, a área do triângulo retângulo 
ABC que tem o cateto AC no diâmetro, vale: 
 
 
168. Calcular o comprimento, em cm, de um arco 
de 36º e de raio igual a 40cm 
 
Ângulos na Circunferência 
 
 
169. Calcule o valor de x na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
170. Calcule x na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 110º b) 65º c) 70º d) 50º e ) 55º 
171. Complete os valores indicados em cada figura 
abaixo: 
 
Matemática Prof. Júlio 
644 
172. (CESGRANRIO – RJ) Um quadrilátero convexo 
está inscrito em um círculo. A soma, em 
radianos, dos ângulos a e b mostrados na 
figura é: 
a) π/4 
b) π/2 
c) π 
d) 3π/2 
e) 2π 
 
 
 
173. Calcule o valor de x na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 70º b) 35º c) 50º d) 55º e) 65º 
 
174. (CESGRANRIO – RJ) – Em um círculo está 
inscrito um quadrilátero ABCD. Sobre a soma 
cos ângulos opostos BAD e BCD, podemos 
afirmar que vale: 
a) 5x180º b) 3x180º c) 2x180º 
d) 180º e) 90º 
 
175. (UFG – GO) – Se a corda AB da figura é um 
lado de um triângulo equilátero inscrito na 
circunferência de centro C, a medida do ângulo 
a, em radianos, é: 
a) 2π/3 
b) 3π/2 
c) 3π/4 
d) π/3 
e) π/6 
 
 
 
176. Na figura abaixo, a valor de x, em graus, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 150 b) 30 c) 120 d) 130 e) 160 
 
177. Calcule o valor de x na figura a seguir: 
178. Dê a medida, em graus, dos ângulo x e y 
assinalados na figura, sendo AB o diâmetro da 
circunferência. 
 
 
 x = 
 
 
 
 
 
 y = 
 
 
179. Dê a medida, em graus, dos ângulo x e y 
assinalados na figura, sendo AB o diâmetro da 
circunferência. 
 
 
 x = 
 
 y = 
 
 
 
 
 
Potência de Pontos na Circunferência 
 
180. Calcule x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
181. Na figura abaixo, temos os segmentos PA e PB 
ambos tangentes à circunferência. Pode-se 
dizer que o valor de x é: 
 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
182. Determine o valor de x na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
Matemática Prof. Júlio 
645 
 
183. Determine x nos casos a seguir, onde os 
segmentos são tangentes às circunferências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
184. Na figura abaixo, AT é tangente ã 
circunferência de raio r. Sabendo-se que AT 
= 2r, então o valor de AC é: 
 
a) (√5 + 1) r 
b) 1 + 2r 
c) r2 
d) √5r 
e) (√5 – 1) r 
 
 
185. Na figura abaixo, são dadas AE/EC = 1/3, BE = 
8 cm e ED = 6 cm. O comprimento de AC, em 
cm, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 
 
186. (UFG – GO) – Uma corda AB de um círculo 
mede 6 cm e a distância desse coda ao centro 
do círculo é de 3 cm. O raio do círculo, em cm, 
é: 
a) 5√3 b) 3√2 c) 8 d) 3√5 e)6 
 
187. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD, de uma 
circunferência, se interceptam num ponto P 
sendo PB o dobro de AP, CP igual a AB e DP = 
4cm. A medida de CD, em cm, é: 
a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22 
 
188. (MACK – SP) – A área do trapézio da figura é 
12√2. A área da parte sombreada é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π 
 
189. Calcule x na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
190. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD, de uma 
circunferência, se interceptam num ponto P sendo 
PB o dobro de AP, CP igual a AB e DP = 4cm. A 
medida de CD, em cm, é: 
a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22 
 
 
GABARITO 
 
1) a) x = 36º e y = 108º b) x = 10º e y = 35º 
 c) x = 30º e y = 20º d) x = 10º e y = 5º 
 e) x = 50º e y = 150º f) x = 18º e y = 27º 
 
2) 20º 3) B 4) x = 60º e cada ângulo é 170º 
5) 38,88...º 6) 80º 7) C 8) a) 140º b) 39,5º c) 80º 
9) 100º 10) 50º 11) 30º 12) 120º 
13) 36º 14) B 15) B 16) 130º 
17) 90+x 18) 40º 19) 150º 
20) C 21) 100º 22) D 
23) A=C= 48º e B=84º 24) 40º 25) 6cm 
26) 22cm 27) C 28) A 29) E 
30) D 31) 146º 32) 150º 
33) a) x = 4/7 b) x = 1/2 e y = 90 
34) y = 6 e x = 8/3 b) x = 5/2 e y = 13 
35) D 36) a) 2,8 b) 16/5 37) x = 2/3 e y = 16 
38) x = 36 e y = 54 39) 20m 40) 6m 41) A 
42) B 43) B 44) 3m 45) 45 46) A 47) C 
48) x = 2 e y = 8 49) C 50) a) 2,25m b) 13,8 m2 
51) C 52) A 53) 5(16 – x)/3 54) B 55) 4 56) A 
57) D 58) D 59) C 60) a) 5 b) 5√5 c) 4√11 d) √105 
61) 2m 62) 2√15 63) 74m 64) 6, 8 e 10 
65) 4√10 66) a) 3√34/34 b) 5√34/34 67) 20√2 
68) 36m 69) x = 1 e α = 30º 
70) A 71) 2 - √2 72) A 73) a) 5 b) 54 c) 14 d) 9 
74) D 75) E 76) E 77) E 78) A 79) C 
80) D 81) B 82) D 83) D 84) 6 85) 360º 86) A 
87) a) 10cm2 e 90 cm2- b) 14 cm2 e 126 cm2 c) 6 cm2 e 54 cm2 
88) 4√3cm2 89) 64√3cm2 90) 10 91) A = 15√55/4 e 
h = 3√55/4 92) C 93) E 94) 48 95) A = 20√14 e h 
= 8√14/3 96) E 97) E 98) 77m 99) 20m2 
100) C 101) A 102) D 103) 6√3cm2 104) 56u.a. 
105) C 106) C 107) 16 108) A 109) A 110) C 111) E 
112) E 113) B 114) E 115) C 116) B 117) A 118) A 
119) a) 3 ≤ x ≤4 b) 4 e 7 
120. 12,84 121. 200,96 122. √3/2 123. 400m 
124. A=77,5cm; C=31cm 125. √3/3 126. 8 
127. R=20.000/ π; D = 40.000/ π; 0,109 século 
128.16-4π 129. a) 62√3;b)8√3; c)8√6 
130) 300.000/π 131. r2(2- π/2) 132. 62,5 
133. a)16√3 b)4√3 c) R=(4√3)/3 
134. 37.800π 135. 20√3 136. 80 π 
137. a) 2 π; b) 25 π/4 138. 42 - 4 π 
139. a)2 π; b) 50π;c) 2π-1 
Matemática Prof. Júlio 
646 
140. a) 64(4-π); b) 50 π;c)128 π 141. C 
142. a)50;b)25/3 143. a) BD=3;A=24; b) 168 
144. 81 π/2 145. 1,47;294 146. A 147. 32√3 
148. A 149. E 
150. a)demonstração; h=r(3+√3). l= 2(1+√3) c) v= 
(18+10√3) πR/3 
151. E 152. A 153. C 154. C 155. B 
156. √3-π/2 157. A 158. C 159. C 160. A 
161. D 162. D 163. C 164. A=39 165. A 
166. 99 167. E 168. 8π 169. 75° 170. C 
171. a) 75/;b)60;c)24e48;d)66;f)90;g)30 172. C 
173. B 174. D 175. E 176. A 177. 75 
178. x=55°;y=35° 179. x=140°;y=20° 180.15/4 
181. C 182. E 183. a)15;b)2 184. E 185. c 
186. B 187. E 188. D 189. 10/3 190. E 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 
 
01. (UFPR) Considerando o triângulo retângulo a 
seguir, pode-se afirmar que sen β vale: (mostrar 
resolução) 
 a) 0,4 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,7 e) 0,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Considerando o triângulo retângulo abaixo, 
calcule senx, cosx e tgx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Uma escada deverá ser apoiada no topo de um 
prédio de 60 m de altura formando com o solo 
um ângulo de 60º. Determine quantos metros de 
comprimento precisa ter a escada. 
 
04. (UFSC) – Uma escada de 8 m de comprimento 
forma um ângulo de 30º com um muro vertical 
em que se apoia (no topo). Sendo o solo plano, 
então a altura do muro em que a escada está 
apoiada vale: 
 (Dado: sen 30º = 1/2, cos 30º = √3/2, tg 30º = 
 √3/3) 
 a) 2√3m b) 3√2m c) 4√3m d) 5m e) nda 
 
05. Num triângulo ABC, retângulo em a, a hipotenusa 
mede 4 e o ângulo C vale 30º. Calcule a medida 
dos catetos deste triângulo. 
 
06. Um foguete é lançado sob um ângulo constante 
de 30º. Quantos metros terá percorrido, em linha 
reta, quando atingir a altura de 3km? 
 
07. Um pessoa de 1,50m de altura, situada a 100m 
de uma torre, avista seu topo sob um ângulo de 
60º com a horizontal. Então a altura da torre é 
igual a: (Dados: sen 60º = 0,86, cos 60º = 0,50 
e tg 60º = 1,73) 
 a) 174,5 b) 173,2 c) 86,6 d) 50,0 e) 17,45 
 
08. Na figura abaixo calcule a medida do lado AB, 
sabendo que AC = 6cm e o ângulo B = 15º. 
(sen15º = 0,26; cos 15º = 0,96; tg 15º = 0,27). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. (EFOA 2005/2) – Uma maneira rudimentar e 
eficiente para se medir o ângulo de inclinação de 
uma rua R, em relação à horizontal H , é 
construir um triângulo retângulo, como mostra a 
figura abaixo, onde e 
o segmento OA é perpendicular ao segmento AB . 
 
 A tangente do ângulo α vale: (mostrar resolução) 
 a) 0,95 b) 0,85 c) 0,75 d) 0,65 e) 0,55 
 
 
10. (UFMG/2001) - No triângulo ABC, o ângulo ABC é 
reto, BC = 5√6 e cos ( BÂC ) = 
15
3
 . 
Considerando esses dados, CALCULE o 
comprimento do cateto AB. 
 
11. (CESGRANRIO) – Na figura acima está 
representado o retângulo ABCD. Sobre o lado DC 
foi marcado o ponto P, de modo que a medida de 
DP corresponde ao triplo do lado AD, enquanto a 
medida de CP vale o dobro de BC. O ângulo APB 
mede, em radianos: 
a) π/2 
b) 2π/3 
c) 3π/4 
d) 5π/6 
e) 8π/9 
 
12. Determinar, na figura, a medida do segmento 
BD: 
 
 
 
Matemática Prof. Júlio 
647 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto 
distante 5m do solo, forma com essa parede um 
ângulo de 30º. Qual é o comprimento da escada, 
em metros? 
 
14. Na figura abaixo, calcule x em função de R e α 
 
15. (UNIFAL/2006) – Um passageiro em um avião 
avista duas cidades A e B sob ângulos de 15º e 
30º, respectivamente, conforme a figura abaixo. 
 
 Se o avião está a uma altitude de 3 km, a 
 distância entre as cidades A e B é: 
 a) 7 km b) 5,5 km c) 5 km d) 6,5 km e) 6 km 
 
16. (UNESP) - Três cidades, A, B e C, são interligadas 
por estradas, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB 
 é de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC 
 tem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30º, 
 e que o triângulo ABC é retângulo em C, a 
 quantidade de quilômetros da estrada que será 
 asfaltada é: 
 a) 30√3 b) (10√3)/3 c) 10√3 d) 8√3 e) (3√3)/2 
 
17. Uma árvore partida pelo vento, mantém seu 
tronco perpendicular ao solo formando com ele 
um triângulo retângulo. Se a parte quebrada faz 
um ângulo de 60º com o solo e se o topo da 
árvore está agora distanciado 10 m de sua base, 
qual era aproximadamente a altura original da 
árvore? 
 
Arcos e Ângulos 
 
18. (USP) Convertendo-se 30º15’ para radianos, (π = 
3,14) obtém-se: 
 a) 0,53 b) 30,15 c) 1,10 d) 3,015 e) 0,26 
 
19. (ITA) Transformar 12º em radianos. 
 
20. (FUVEST) Quantos graus mede, 
aproximadamente, um arco de 0,105 rad. 
 
21. (PUC) Dar o ângulo formado pelos ponteiros de 
um relógio às 12h e 15 min. 
 
22. Obter o ângulo formado pelos de um relógio às 
8h e 20min 
 
23. (MAUÁ) Quantos radianos percorre o ponteiro das 
horas de um relógio de um relógio de 1h e 5min 
até 2h e 45min. 
 
24. (OSEC) Dar o menor ângulo formado pelos 
ponteiros de um relógio às duas horas e 15 min. 
 
25. (FUVEST) O ângulo formado pelos ponteiros de 
um relógio à 1h e 12 min é: 
 a) 27º b) 30º c) 36º d) 42º e) 72º 
 
26. Quais são os arcos positivos menores que 1500º, 
côngruos (mesma extremidade) de – 60º. 
 
27. Determinar o comprimento do arco AB, tomando 
na circunferência de centro O. (adotar π = 3,14) 
 
 
 
 
 
 
 
28. Qual é o raio da circunferência, sabendo que o 
comprimento do arco AB indicado é igual a 12cm? 
 
 
 
 
 
 
Lei do Senos e Lei dos Cossenos 
 
29. Na figura abaixo, calcule o valor de BC sabendo 
que O ângulo A = 45º o ângulo B = 30º e AC = 
10cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Prof. Júlio 
648 
30. Na figura abaixo, calcule o valor do lado AB 
sabendo que AB = 8, BC = 7 e o ângulo B = 60º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
31. (UNICAMP – SP) A água utilizada na casa de um 
sítio é captada e bombeada do rio pra uma caixa-
d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de 
distância da caixa-d’água e o ângulo formado 
pelas direções caixa d’água-bomba e caixa-
d’água-casa é de 60º. Se a idéia é bombear água 
do mesmo ponto de captação até a casa, quantos 
metros de encanamento são necessários? 
 a) 80m b) 70m c) 50m d) 90m e) 60m 
 
32. Num triângulo ABC, o ângulo BCA mede 60º e o 
lado AC mede 12cm. Calcule a altura referente 
ao lado BC. 
 
33. (FEI – SP) No triângulo da figura seguinte, a = 4, 
b = 3√2 e C = 45º. Então a medida c vale: 
 a) 10 b) 2√10 c) √10 d) 2√5 e) nda 
 
34. (FGV – SP) No triângulo da figura abaixo, a 
medida de x é igual a: 
 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
 
 
 
 
 
35. (CESCEA – SP) Num triângulo ABC onde AB = 
2cm, AC = 3cm e o ângulo A é 60º, o quadrado 
do lado BC, em cm2, vale: 
 a) 7 b) √7 c) 7√7 d) 72 e) 0,7 
 
36. (UEPG – PR) Na figura abaixo o valor de b é: 
a) 1/2 
b) 2 
c) 1 
d) 4 
e) 1/4 
 
 
 
37. O raio da circunferência que contém três pontos 
A, B e C, sabendo que BC = 15 m e BÂC = 150º, 
vale: (sen 150º = sen 30º) 
 a) 25 b) 15 c) 30 d) 45 e) 35 
 
38. (UFSC) Num triângulo ABC, o ângulo A mede 85º 
e a medida do ângulo B é 2 / 5 da medida do 
ângulo A. A medida do ângulo C é igual a: 
 a) 34º b) 61º c) 119º d) 13º e)59º 
 
39. (PUC – SP) A diagonal de um paralelogramo 
divide um dos ângulos internos em dois outros, 
um de 60º e outro de 45º. A razão entre os lados 
menor e maior do paralelogramo é: 
a) √3 / 6 
b) √2 / 2 
c) 2√3 / 9 
d) √6 / 3 
e) √3 / 3 
 
40. Um navio, navegando em linha reta, passa 
sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando o 
navio está em A, o comandante observa o farol 
em L, e calcula o ângulo LAC = 30º. Após 
navegar 4 milhas até B, verifica-se o ângulo LBC 
= 75º. Quantas milhas separa o farol do ponto B? 
 
41. (UFPR) De um triângulo, dá-se um lado de 
comprimento igual a 2 e os ângulos adjacentes a 
esse lado que valem 30º e 135º. Os 
comprimentosdos outros dois são: 
 (sen 135º = sen 45º) 
a) 2(√3 + 1) e √3 + 1 
b) √2 (√3 – 1) e 2 (√3 + 1) 
c) √2 (√3 + 1) e 2 (√3 + 1) 
d) √ (√3 – 1) e 2 (√3 – 1) 
e) nda 
 [Obs.: sen 15º = √2(√3 – 1) / 4] 
 
42. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre 
duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. 
Sabe-se que AB=80km e AC=120km, onde A é 
uma cidade conhecida, como mostra a figura 
acima. Logo, à distância entre B e C, em km, é: 
a) menor que 90 
b) maior que 90 e menor que 100 
c) maior que 100 e menor que 110 
d) maior que 110 e menor que 120 
e) maior que 120 
 
 
43. (UFJF 2005) – Dois lados de um triângulo medem 
8 m e 10 m, e formam um ângulo de 60°. O 
terceiro lado desse triângulo mede: 
 a) 2 √21 m. b) 2 √31 m. 
 c) 2 √41 m. d) 2 √51 m. 
 e) 2 √61 m. 
 
44. (UFV/PASES) – Em um triângulo isósceles 
obtusângulo, o lado oposto ao ângulo de 120º 
mede 6 cm. A área desse triângulo, em cm2 
mede: 
 a) 2√3 b) 6√3 c) 4√3 d) 3√3 e) 5√3 
 
Relações Trigonométricas Principais e Secundárias 
– Funções Trigonométricas 
 
 
45. (UFGO) Simplificando a expressão tg a + tg b_; 
obtém-se: cotga + cotgb 
a) tg a . tg b 
b) b) cotg a . cotg b 
c) c) tg (a + b) 
d) b) cotg (a + a) 
e) e) tga . cotg b 
 
46. (MACK-Modificado) O valor da expressão: M = 
_cos 45º_ + _cos 45º_ . _sen 0º_ é: 
sen 45º sen 60º cos 15º 
a) par 
Matemática Prof. Júlio 
649 
b) divisível de 2 
c) divisor de 3 
d) primo 
e) negativo 
 
47. Calcule o valor numérico da expressão abaixo: 
 
 
 
 
48. (FATEC – SP) – Sejam x, y ∈ R. encontre o valor 
de y sabendo que: 
a) sec2x 
b) tgx 
c) 0 
d) 1 
e) cossec2x 
 
49. (UFLA/2003) – O valor da expressão 
1 
)x(cos - 1
1
 - 
)x(tg
1
2
2
+





 é de 
 a) sen2(x) b) cos2(x) c) 0 d) 1 e) sec(x) 
 
50. (FAENQUIL – SP) – Simplificando a expressão 
abaixo, obtém-se: 
a) tga 
b) cotga 
c) seca 
d) cosseca 
e) sena 
 
51. (UFSJ 2005) – 
Se em que a, 
b e q são as respectivas medidas dos ângulos 
internos de um triângulo retângulo, então E2 é 
igual a: 
a) 1/4 
b) 
c) 1 
d) 
 
52. A expressão abaixo, é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
53. (VUNESP) Se x, y são números tais que: 
 
 
 
 
a) y = sec2x b) y = tg2 x c) y = cos2 x 
d) y = cossec2 x e) y = sen2 x 
 
54. (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, 
então podemos afirmar que 
A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a: 
 a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2 
 
55. Sendo cos = 1 / 3, calcular y=cossecx – sec x_ 
 cotg x – 1 
 
56. Os quadrantes que se encontram os ângulos 
2040º, 2170º e – 2920º são respectivamente: 
_____, ____ e ____. 
 
57. Coloque V para verdadeiro e F para falso: 
 ( ) sen 315º = 1/2 
 ( ) cos 120º = - 1/2 
 ( ) tg 210º = -√3/3 
 ( ) tg 45º + tg 135º = 0 
 ( ) sem 120º > cos 120º 
 
58. Coloque V se verdadeiro ou F se falso justificando 
sua resposta. 
( ) sen 55º > sen 45º 
( ) cos 135º > 0 
( ) cos 1400º < 0 
( ) sen 2π + cos 2π = 4π 
( ) (sen 20º).(cos200º) < 0 
( ) Se cos x = 0, então x = 0º ou x = 180º, 
considerando uma volta no ciclo trigonométrico. 
( ) cos 1 = cos 1º 
 
59. Calcule o valor numérico da expressão E = sen 
90º - cos 120º + tg225º 
 
60. Qual o valor numérico da expressão 
π
π
π
ππ
2cos8
2
3
4
2
cos3cos
−
+−
sen
sen
 
 
61. Se sen x = 1/4 e x é do 2º quadrante, qual o 
valor de cos x? 
 
62. Sendo cosx = 1/3 e x é um arco do 4º quadrante, 
calcule o valor de secx – 4cossecx. 
63. Se senx = 3/7 e x é um arco do 1º quadrante, 
ache o cosx. 
 
64. Considerando que a tgx = 1/3 e que x é um arco 
do 1º quadrante, ache o valor da sec x – 3.cosx. 
 
65. Se sen x = ½ e x é do 2º quadrante, ache o valor 
da expressão cos2x . tgx. 
 
66. Calcule o valor numérico da expressão 
º1650
º0º330º1920cos
sen
tgsen
−
−+
. 
 
67. (FUVEST) – A soma das raízes da equação sen2x 
– 2 cos4x = 0, que estão no intervalo [0, 2π ], é: 
 a) 2π b) 3π c) 4π* d) 6π e) 7π 
 
=
+⋅
⋅⋅⋅
xxxx
xxgxtgx
2222
22
sec2).cos(sencos2
senseccoscot4
2
1
seccotcos
seccossen






⋅⋅
⋅⋅
agaa
atgaa
.sec
seccos.cos
1
2 2
22
x
xx
y −+=
º180cosº30sen
º180sen5º270cosº90sen
−
+−
Matemática Prof. Júlio 
650 
68. (UFSJ 2005) - No intervalo [0, 2π], a soma de 
todos os valores de x, tais que sen 2x = cos x, é 
igual: 
 a) 2π b) π c) 3π d) 4π 
 
69. (UFJF/2006) – Dois ângulos distintos, menores 
que 360º, têm, para seno, o mesmo valor 
positivo. A soma desses ângulos é igual a: 
 a) 45º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º 
 
70. (UFJF/2006) – Um ângulo do segundo quadrante 
tem seno igual a 12/13. O cosseno desse ângulo 
é igual a: 
 a) 5/13 b) 1/13 c) – 5/13 d) – 1/13 e) – 12/13 
 
71. Resolver a equação 2cosx – 3secx = 5, para 0º < 
x < 360º 
 
72. (CRA) – Resolva a equação tg x = -1 sendo 0 < 
x < π. 
 a) π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/4 e)5π/4 
 
73. Esboçar o gráfico da função y = sen x, dar seu 
domínio, imagem e período. 
 
74. (UNIMEP) Os valores de x que satisfazem a 
equação sen(3x – 30º) = 1 são: 
a) 90º + n . 120º, n ∈ Z 
b) 40º + n . 180º, n ∈ Z 
c) 40º + n . 120º, n ∈ Z 
d) 120º + n . 360º, n ∈ Z 
e) 40º + n . 90º, n ∈ Z 
 
75. Resolver as equações abaixo, no intervalo 0º ≤ x 
≤ 360º: 
a) 2 sen x = 1 
b) 2 sen x = -1 
c) 2 sen x = √ 2 
 
76. (USP) Calcular sen 1920º. 
 
77. (F. CARLOS CHAGAS) O menor valor que assume 
a expressão (6 – sen x); para “x” variando de 0º 
a 360º é: 
 a) 7 b) 6 c) 5 d) 1 e) –1 
 
78. Se x = π / 3, então achar o valor da expressão: 
 E = sen2x – sen x + 3 sen 3x – sem3x 
 
 
 
 
79. Esboçar o gráfico da função y = cos x, dar seu 
domínio, imagem e período. 
 
80. Para que valores de m é possível a igualdade: 
cos x = 1 – 3m. 
 
81. Considere a equação 2 . sen2x = 3 . cos x. 
 Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que 
 pertencem ao intervalo [0, 4π] é: 
 a) 10π b) 8π c) 6π d) 4π e) 2π 
 
82. (FAAP) Resolver, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, a 
equação 1 – sen x + cos2x = 0. 
 
83. (FUVEST) Quais as raízes da equação do 2º grau 
x2sen αααα - 2x cos αααα - sen αααα = 0 , onde 0 < α < π/2. 
 
84. (FEI) Calcular sen (7ππππ/2) . cos (31ππππ) 
 
85. (MACK) O menor valor positivo de x, para o qual 
9-cos x = 1 / 3, é: 
 a) π / 6 b) π / 4 c) π / 3 d) π / 2 e) 2π / 3 
 
86. Simplificar a expressão: 
_3 sen 0º + 5 cos 180º - 7 sen 270º_ 
sen2 90º + cos2 180º 
 
87. Obter o valor da expressão: _sen 3x + cos 5x_ 
 sen 4x 
para x = 30º. 
 
88. Calcular o valor de y = _sen 155º - sen 205º_ 
 cos 65º 
 
89. (MACK) O menor valor positivo de x, para o qual 
9- cosx = 1 / 3 é: 
 a) π/6 b) π/4 c) π/3 d) π/2 e) 2π/3 
 
90. Calcular o valor de cos 2850º 
 
91. Sabendo que cos x = - 1 / 3 e π < x < 3π/2, 
determinar sen x. 
 
92. Resolver a equação 2 cos x = 1, com: 
 √√√√3 
 
a) 0 ≤ x ≤ 180º; 
b) x ∈ R. 
 
93. Esboçar o gráfico da função y = tg x, dar seu 
domínio, imagem e período. 
 
94. Sendo 0º < x < 90º, determinar um dos valores 
de x para o qual a função y = tg (2x – 30) não é 
definida. 
 
95. Resolver as equações, em R. 
a) sen x = 1 / 2 
b) cos x = - √3 / 2 
c) sen x . cosx = 0 
d) cos2x = 1 / 2 
e) tg x = √ 3 
 
96. (PUC) Determinar m para que π / 3 seja raiz da 
equação tg2x – m . cos2x + sen2x = 0. 
 
 
97. (F.CARLOS CHAGAS) Os quadrantes onde estão 
os ângulos α, β e γ tais que: 
 sen α < 0 e cos α < 0 
 cos β < 0 e tg β < 0 
 sen γ > 0 e cotg γ > 0 são respectivamente: 
 a) 3º, 2º, 1º b) 2º, 1º, 3º c) 3º, 1º, 2º 
 d) 1º, 2º, 3º e) 3º, 2º, 2º 
 
98. (FATEC) A expressão 
 
 
Matemática Prof. Júlio 
651 
 
 tem valor igual a: 
 a) – 5√2 / 3 b) - 5 / 6 c) – 1 / 3 d) 1 / 2 e)1 
 
99. Sendo sem x + cos x = a, obter o valor de: 
_sec x + cossec x_ 
tg x + cot x 
 
 
100. Determinar o valor de tg (-A), sabendo que tg 
A = t. 
 
101. Se tg x + cotg x = 3 então sen x . cos x, vale: 
 a) 1 b) 1 / 2 c) – 1 d) 1 / 3 e) – 1 / 2 
 
 
102. (CRA) – Considere f: R em R uma função dada 
por f(x) = 2.sen x – 3. Qual é o maior valor que 
esta função pode assumir? 
a) –1 b) –2 c) 1 d) – 4 e) – 5 
 
 
Variações de Período e Imagem das Funções 
Trigonométricas 
 
103. Esboçar o gráfico da função y = 2 . sen (x / 
2). 
 
104. Esboçar, em um período, o gráfico da função 
y = sen (x - ππππ / 4). 
 
105. Estudar a variação da função f, tal que f(x) = 
3 sen (x / 2). 
 
106. Esboçar, de 0 a 2π, o gráfico da função y = 
sen 2x. 
 
107. Esboçar, de - 2π a 2π, o gráfico da função y = 
sen x. 
 
108. (F. CARLOS CHAGAS) A função que melhor se 
adapta ao gráfico abaixo é: 
a) y = sen (x / 2) 
b) y = cos (x / 2) 
c) y = sen (2x) 
d) y = cos (2x) 
e) y = sen x 
 
 
109. (UFES/2004) – O período e a imagem da 
função abaixo, com x ∈ R, são, 
respectivamente, 
a) 2π e [- 1, 1] 
b) 2π e 2, 8] 
c) 2π2 e [2, 8] 
d) 2π e [- 3, 3] 
e) 2π2 e [- 3, 3] 
 
Soma de Arcos e Inequações 
 
110. Calcule o valor de: 
a) sen 75º 
b) cotg 150º 
 
111. Sendo sec x = 3 e 0 < x < 90º, calcule o valor 
numérico da expressão sen (x + 180º) + cos 
(x – 90º). 
 
112. Se cosx = - 1/9 e 450º < x < 540º, calcule o 
valor numérico da expressão sen(π + x) – 
cos(3π/2 –x). 
 
113. Sendo cosx = 1/3, calcule o valor de cos(x + 
30º). 
 
114. Sendo tga = 2 e tgb = 3, calcule a tg(a + b) e 
a tg(a – b). 
 
115. O valor de sen 55º cos 35º + sen 35º cos55º 
é: 
a) –1 b) – 0,5 c) 0 d) 0,5 e) 1 
 
116. Resolva a equação trigonométrica 
 
 
 
 
 
117. (VUNESP) Para todo x ∈ R, a expressão cos 
(ππππ/2 + x) – sen (ππππ - x) é equivalente a: 
 a) cos x b) 0 c)- sen x – cos x 
 d) 2 sen x e) – 2 sen x 
 
118. Simplificar a expressão: sen ππππ/2 + sen (ππππ - x) 
. cos (ππππ/2 + x). 
 
119. (POLI) Calcular y = sen 105º - cos 75º. 
 
120. Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg de y é 
igual a: 
 a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6 
 
121. Resolver as inequações com 0 < x < 2π 
a) sen x ≥ 1 / 2 
b) sem x ≤ √ 2 / 2 
c) cos x < √ 3 / 3 
d) tg x < 1 
 
122. Resolver (sen x + cos x)2 < 1, para 0 < x < 2π. 
 
123. Dar a expressão (em 0 ≤ x ≤ 2π) que contém 
as respostas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
4
sen
4
sen =




 −+




 +
ππ
xx
Matemática Prof. Júlio 
652 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
Arco Duplo 
 
124. Sabendo que cos x = 3/5, calcule o valor de 
sen(2x). 
 
125. Sabendo que senx = -4/7 e x é do quarto 
quadrante, calcule sen(2x) e cos(2x). 
 
126. Determinar o período da função y = sen x . 
cos x. 
 
127. A expressão y = sen a . cos3a + sen3a . cos 
a, para todo a real é igual a: 
a) sen 3a b) cos 3a c) sem(2a)/2 
 d) 1 e) cos 2a 
 
128. Provar que: 
 4 . sen a . sen (a + ππππ/3) . sen (a + 2ππππ/3) = 
sen 3a 
 
129. (FATEC) Se cos x = 3 / 4, calcular cos (4x) 
 
130. Determinar o conjunto solução, com 0 < x < 
360º da equação cos 2x + 4 cos x + 3 = 0. 
 
131. (PUC) Calcular: 
E = sen (-x) + sen (π + x) – sen (π/2 – x) + cos x 
 
132. (MACK) A expressão y = sen(123º + a) – sen 
(57º - a). 
 
133. (F. CARLOS CHAGAS) Calcular: 
E = sen (150º + a) + sen (150º - a) 
 
134. (POLI) Calcular y = sen 105º - cos 75º 
 
135. (FUVEST) Calcular o valor de y = ( sen 
22º30’+ cos 22º30’)2. 
 
136. Calcular cos (1920º + 3690º). 
 
137. (MACK) Se tg x = m e tg 2x = 3m (m > 0), 
determinar o ãngulo x. 
 
138. (FUVEST) O valor aproximado da tangente do 
ângulo de 22º30’ é: 
 a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00 
 
 
 
GABARITO 
 
01. E 02. sen x = 5/13 cos x = 12/13 tg x = 5/12 
03. 40√3m 04. C 05. 2√3 e 2 06. 6km 
07. A 08. 200/9 09. C 
10. 15 11. C 12. 20(3 - √3)/3 
13. 10√3/3 14. R(1-senα)/senα 15. E 
16. C 17. 37m2 18. A 
19. π/15 20. 6,02º 21. 82,5º 
22. 130º 23. 5π/18 24. 22,5º 
25. C 26. 300º, 660º, 1020º, 1380º 
27. 1,57m 28. 10cm 29. 10√2 
30. √57 31. B 32. 6√3 
33. C 34. B 35. B 
36. C 37. B 38. B 
39. D 40. 2√2milhas 41. B 
42. C 43. A 44. D 
45. A 46. C 47. 2/3 
48. D 49. C 50. A 
51. A 52. A 53. A 
54. E 55. 3 56. 3°, 1° e 4° 
57. F, V, F, V, V 58. V, F, F, F, V, F, F 
59. 5/2 60. -1/12 61. -√15/4 
62. 3 + 3√2 63. 2√10/7 64. -17√10/30 
65.-√3/4 66. -2 67. C 
68. C 69. C 70. C 
71. {120°, 240°} 72. C 
73. feito em aula 74. C 
75. a) {30°, 150°} b) {210°, 330°} c) {45°, 135°} 
76. √3/2 77. C 78. (6 - 7√3)8 
79. feito em aula 80. 0 ≤ m ≤ 2/3 
81. B 82. π/2 83. 





 −+=
α
α
α
α
sensen
S
1cos
,
1cos 
84. 1 85. C 86. 1 
87. (2√3 – 3)/3 88. 2 89. C 
90. √3/2 91. -2√2/3 
92. a) 30° b) ±30º + n360°, n ∈ Z 
93. feito em aula 94. 60º 
95. a) {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π, n ∈ Z} 
b) {x ∈ R/ x = 5π/6 + n2π ou x = 7π/6 + n2π, n ∈ Z} c) 
{x ∈ R/ x = π/2, n ∈ Z} d) {x ∈ R/ x = ± π/4 + nπ, n ∈ 
Z} e) {x ∈ R/ x = π/3 + nπ, n ∈ Z} 
96. 15 97. A 98. D 
99. a 100. – t 101. D 
102.B 103. gráfico 104. gráfico 
105. gráfico 106. gráfico 107. gráfico 
108. A 109. C 110. a) (√2+√6)/4 b)-√ 3 
111. 2√2/3 112. 8√5/9 113. (√3 - 2√2)/6 
114. tg(a+b) = -1 e tg(a – b) = -3/7 
115. E 116. {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 
+ n2π, n ∈ Z} 117. E 118. 1 + sen2x 
119. √6/2 120. B 121. a) {x ∈ R/ π/6 ≤ x ≤ 
5π/6} b) {x ∈ R/ 3π/4 ≤ x ≤ 2π ou 0 ≤ x ≤ π/4} c) {x ∈ 
R/ π/6 < x < 11π/6} d) {x ∈ R/ 0 ≤ x < π/4 ou π/2 < x < 
5π/4 ou 3π/2 < x ≤ 2π} 122. {x ∈ R/ π/2 < x < 
π} 123. a) x = 30° ou 210° ≤ x < 270° 
b) x ≠ 90° e x ≠ 270° 124. 24/25 
125. sen(2x) = -8√33/49 e cos(2x) = 17/49 
126. π 127. C 128. demonstração 
129. -37/32 130. 180° 131. - 2senx 
132. 0 133. cosa 134. (√2-√6)/2 
135. (2+√2)2 136. - √3/2 137. 30° + n360°, n ∈ Z 
138. B