Aulas 5 - 8 e 9 - 12_FG_2013_01

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10/05/2013 
1 
Mecânica Mewtoniana: 
Trabalho e Energia 
Profª. Ana Rodrigues 
anarodrigues@unirio.br 
 
Física Geral 
Aulas 5 – 8 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
CENTRO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS E DA SAÚDE 
INSTITUTO DE BIOCIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS NATURAIS 
Maio/2013 
• Propriedade associada ao Estado de Movimento 
de um corpo  ENERGIA CINÉTICA (EC) 
 
• Propriedade associada à Configuração de um 
ou mais corpos  ENERGIA POTENCIAL (EP) 
 
TRABALHO  Produz mudanças na EC de um 
corpo.!!! 
Estes dois conceitos permitem observar a Mecânica Newtoniana 
de um novo “ângulo” e podem ser aplicados mesmo quando as 
Leis de Newton não são válidas !! 
Trabalho e energia 
2 
10/05/2013 
2 
Trabalho (W) 
Mas de forma geral temos que a Força 
aplicada a um corpo gera um trabalho 
(realizado pela F) 
Quando se aplica uma F horizontal a um corpo, o mesmo sofre um 
deslocamento Δx, assim você realiza um TRABALHO (W) dado por: 
3 
F

x


xFW


xF

F

y 
x 
φ 
yF

cosxFxFW  
F

x


φ 
O W é o resultado de um Produto Escalar logo é uma grandeza 
ESCALAR e sua unidade é JOULE [ J ] 
Exercício: 
1 – Um engradado de 15 kg é arrastado com v cte por d = 5,7 m sobre uma 
rampa s/atrito até h = 2,5 m acima do ponto de partida. 
a) Calcule (módulo, direção e sentido) da F que o cabo deve exercer? 
b) Qual o W sobre o engradado feito por F? 
c) Se levantarmos o engradado até à mesma altura h usando uma rampa 
c/ outra inclinação, qual o W executado por F? 
d) Qual o W necessário para levantar verticalmente o engradado até h? 
e) O W realizado pela força Peso nos itens b), c) e d)? 
 
Trabalho 
4 
F

y


t = 0 s 
F

x


t = 1 s 
F

y


t = 2 s 
0W 0W 0W
R.: a) F ~ [65 i] N ; 
b) c) e d) WF = 368 J 
R.: a) WF = -368 J 
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• Força Elástica (Lei de Hooke) 
 
 
 
 
 
Como avaliar o Trabalho de uma Força Variável? 
 
Trabalho realizado por Força variável: 
Ex. Lei de Hooke 
Resumindo: 
Esta F é do tipo RESTAURADORA !!! 
5 
xkF
xelas

.
Cte. Elástica da mola 
(medida da rigidez da mola) 
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f
i
f
i
f
i
x
x
n
x
x
n
x
x
n
n
x
n
a
dxxaxF
dxaxxf
axxf
|
1
)(
)(
)(
1






Trabalho realizado por Força variável: 
Integral 
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4 
7 
2
2
1
.
kxW
xelas
F 







x x
F
x
x
F
x
x
x
k
xdxkW
xdxkW
xdxFW
xdxFdW
elas
f
i
elas
f
i
0
0
2 |
2
)(
)(
.
.



Trabalho realizado por Força variável: 
Ex. Lei de Hooke 
Exercícios: 
1)Qual o W realizado por 
 
ao mover uma partícula de 
(2 m, 3m) para (3 m, 0m)? 
 
 
  ),(;ˆ4ˆ)3()( mmNjixxF 

R.: W = - 4,5 J ~ -5 J 
• Energia Cinética (EC) 
Sempre que realizamos um W sobre um corpo é porque uma F foi 
aplicada ao corpo alterando o seu estado de movimento. Mas o que pode 
relacionar o movimento do corpo com o W que foi executado é a Ec. 
 
Energia Cinética (EC) e Teorema 
Trabalho-Energia 
8 
2
2
1
mvEC 
NUNCA pode ser NEGATIVA !!! [kg m/s] = [Joule ou J] 
• Teorema Trabalho-Energia Cinética 
Se uma única F realiza W sobre um corpo variando sua v temos: 
 
Já que o W mede essa variação de Ec 
 
CCC EEEW if 
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Teorema Trabalho-Energia: 
demostração 
9 
CCC
if
v
v
v
v
v
v
x
x
x
x
x
x
final
inicial
EEEW
vmvmvmvdvmW
mvdvvdx
dx
dv
mdx
dt
dv
mW
v
dx
dv
dt
dx
dx
dv
dt
dv
cadeiadagra
maFsedxxFdWW
if
i
f
f
i
f
i
f
i
f
i
f
i








222
2
1
2
1
|
2
1
Re
)(
Para várias F 
CT EW 
2 – É aplicada uma a um bloco ligado à extremidade livre de uma mola, 
distendendo-a de 12 mm em relação ao seu estado relaxado. 
a) Qual o valor da k ? 
b) Qual o módulo, direção e sentido da força exercida pela mola sobre o bloco, quando ela 
é distendida de 17 mm? 
c) Qual o W realizado pela mola sobre o bloco, quando ela é distendida de 17 mm? 
d) A mola, agora com essa distensão, volta lentamente ao estado relaxado e depois é 
comprimida de 12 mm. Qual o W realizado pela mola durante este deslocamento? 
3 – Um elevador com m = 500 kg está descendo com vi = 4,0 m/s, quando o sistema sofre 
uma pane e começa a cair com uma a = g/5. 
a) Se o elevador cai por uma distância de 12m, qual o W realizado sobre o elevador pelo seu 
peso? 
b) Durante a queda, qual o W executado sobre o elevador pela tração exercida pelo cabo? 
c) Qual o W total realizado sobre o elevador durante a queda de 12 m? 
d)Qual a Ec do elevador ao final da queda de 12 m? 
e) Calcule a vf do elevador ao final desta queda de 12 m. 
 
Exercícios 
R.: a) k = 408 N/m, b) Fel = - 6,9 ȋ N, c) W = -0,0059 J = -59 mJ, d) W = 30 mJ 
y

x

NixF ˆ9,4)( 

R.: a) WP ~ 6 x10
4 J, b) T = 3920 ĵ N, WT ~ 5x10
4 J, c) WTot ~ 1x10
4 J, d) EC ~ 2x10
4 J , e) v ~ 8 m/s 
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Mecânica Mewtoniana: 
Trabalho e Energia (parte II) 
Profª. Ana Rodrigues 
anarodrigues@unirio.br 
 
Física Geral 
Aula 9 – 12 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
CENTRO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS E DA SAÚDE 
INSTITUTO DE BIOCIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS NATURAIS 
Maio/2013 
• Na maior parte das vezes estamos interessados na 
rapidez com que um W é feito e no W capaz de ser 
realizado. 
• Esta rapidez é chamada de Potência 
Potência 
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t
W
PPméd

.
)cos(. FvvF
dt
xd
F
dt
xdF
dt
dW
PPins 





[P] = [J] / [s] = [ Watt ou W ] 
 
1 kW-h = 103 W.3600s = 3,6 x 106 J = 3,6 MJ 
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• Energia Potencial (EP) 
Associada à configuração de um ou mais corpos. Pode assumir várias 
“formas”, dependendo da F aplicada ao corpo. 
Pode ser: 
GRAVITACIONAL = associado ao estado de separação entre dois ou 
mais corpos que se atraem por uma Fg . 
ELÁSTICA = associado ao estado de compressão ou distensão de um 
objeto elástico. 
• Energia Mecânica (E) 
 E = EC + EP 
 
Conservação de Energia 
13 
TP
PT
PC
TC
WE
EseEWE
EEE
WE




0
Por definição temos: 
Conservação de Energia 
14 
TP WE 
mgyE
kxE
mgoukxxFdxxFE
dWdE
gP
elasP
x
P
fin
ini
TP






.
2
.
0
2
1
)(;)(
Sistema massa mola 
Sistema partícula Terra 
22
2
1
2
1
mvkxE 
2
2
1
mvmgyE 
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• Força conservativa (as perdas de E são reversíveis) 
– Quando a ΔEP = 0 em um circuito fechado (ciclo) ou seja W = 0 
– Quando o W realizado por uma força sobre uma partícula 
(provocando seu deslocamento) não depende da trajetória 
seguida. 
Força elástica, Peso,... 
• Força Não-conservativa (há perdas de E que não são reversíveis) 
Forças de atrito,... 
• Curva da EP 
 
 15 
Conservação de Energia: Forças 
conservativas e Não-conservativas 
dx
xdE
xF
dxxFWxE
P
P
)(
)(
)()(


• Em um Sistema ISOLADO, a E pode ser 
transformada de uma forma em outra, mas a ET 
do Sistema é SEMPRE constante !!!! 
 
 
• Para Sistemas Não-isolados sujeitos a FExternas 
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Conservação de Energia 
0int  outrasCP EEEE
externasFCP
WEEE  int
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4 – Uma carga de tijolos com m = 420 kg deve ser levantada por um guindaste 
até h = 120 m, com v cte., em 5,0 min. Qual a P miníma do motor desse 
guindaste? 
5 – Um motor de 8 hp (1 hp = 745,7 W), faz com que um barco viaje a 22 nós 
(=40 km/h = 11 m/s). Quanto vale a F do motor ? 
6 – Um bloco de 4 kg está pendurado por uma corda leve, que passa por uma 
roldana sem atrito e de massa desprezível. Esse bloco está conectado a 
outro bloco de 6 kg em repouso sobre uma mesa onde µc = 0,2. O bloco de 
6 kg é empurrado contra a mola, comprimimdo-a de 30 cm. Se a mola tem k 
= 180 N/m, calcule a v dos blocos após o bloco de 6 kg ter sido 
abandonado e o bloco de 4 kg ter caído de 40 cm. 
 
 
Exercícios 
R.: P ~ 2 kW 
y

x

Ep.elas. Ep.g EC 
Final 
Inicial 
Diferença 
2
2
1
ikx
2
2
1
ikx
sgm  2
sgm  2
  221
2
1
fvmm 
  221
2
1
fvmm 
0
0 0
R.: F ~ 5 kN 
R.: vf ~ 2 m/s