calculo_numerico UCB

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CÁLCULO NUMÉRICO
 
 GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Cálculo Numérico / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 
2009. - 52 p.: il.
ISBN 978-85-7880-051-2
1. Ensino a Distância. 2. Título.
CDD – 371.39
Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
 
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-
ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando 
oportunidade para melhoria de seu desempenho profi ssional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es-
peram retribuir a sua escolha, reafi rmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma 
estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-
cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Autoestudo 
O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos defi nidos e 
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam 
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-
plementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
 Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o 
conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com 
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que 
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros 
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Autoestudo 
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja 
 disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite 
 interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento
 da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 09
Contextualização da disciplina .................................................................................................................... 11
UNIDADE I 
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
1.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 13
1.2 - Representação de números .................................................................................................................. 13
 
UNIDADE II
ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS
2.1 - Introdução ............................................................................................................................................ 20
2.2 - Fase I: isolamento das raízes ............................................................................................................... 21
2.3 - Fase II: refi namento ............................................................................................................................ 23
 
UNIDADE III
INTERPOLAÇÃO
3.1 - Teorema fundamental da interpolação polinomial .............................................................................. 31
3.2 - Método de Lagrange ........................................................................................................................... 32
3.3 - A tabela de diferenças divididas: método de Newton ......................................................................... 34
UNIDADE IV
INTEGRAÇÃO 
4.1 - Regra do trapézio ................................................................................................................................. 38
4.2 - Regra de Simpson ............................................................................................................................... 40
 
Glossário ...................................................................................................................................................... 45
Gabarito ........................................................................................................................................................ 46
Referências bibliográfi cas ............................................................................................................................ 52
9Quadro-síntese do conteúdo 
programático
UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS
I. NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
1.1 – Introdução
1.2 – Representação de números
• Desenvolver uma atitude crítica sobre os resultados 
numéricos de um problema matemático. Estudar os 
vários tipos de erros, suas causas e o modo como se 
propagam ao longo das suas operações de cálculo. 
II. ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS
2.1 – Introdução
2.2 – Fase I: isolamento das raízes
2.3 – Fase II: refi namento
• Saber quando aplicar, como utilizar e como imple-
mentar diversos métodos numéricos apropriados para 
achar as raízes de equações algébricas e transcenden-
tes. 
III. INTERPOLAÇÃO
3.1 – Teorema fundamental da interpolação polino-
mial
3.2 – Método de Lagrange
3.3 – A tabela de diferenças divididas: método de 
Newton
• Estudar os métodos que permitem construir um 
novo conjunto de dados a partir de um conjunto dis-
creto de dados pontuais conhecidos. O aluno deverá 
fazer a reconstituição (aproximada) de uma função 
apenas conhecendo algumas das suas abcissas e res-
pectivas ordenadas (imagens). 
IV. INTEGRAÇÃO 
4.1 – Regra do trapézio
4.2 – Regra de Simpson
 • Compreender os métodos do trapézio e Simpson 
como ferramentas que visam à aproximação de uma 
integral defi nida. Saber calcular uma integral defi ni-
da usando os métodos do trapézio e Simpson.
11Contextualização da Disciplina
Para esta disciplina você vai precisar de uma boa máquina de calcular. O cálculo numérico vai colocar você 
diante de contas bastante trabalhosas para fazer sem máquina de calcular. Enquanto estiver estudando em casa 
você pode utilizar a máquina disponível no computador, mas, para a qualquer avaliação presencial, traga sua 
máquina de mão.
Nos dois primeiros capítulos estudaremos como conduzir os cálculos com números decimais, com a limitação 
das máquinas de calcular e com os erros advindos de operações. Desenvolveremos processos para determina-
ção de raízes de equações para as quais não dispomos de “fórmulas”, como dispomos da fórmula de Báskara 
para resolver uma equação de 2º grau.
Nos dois últimos capítulos estudaremos a interpolação e a integração numérica. O primeiro assunto versa 
sobre a determinação da equação de uma curva que passe por pontos que são conhecidos. Esse estudo será 
importante no desenvolvimento do segundo, que trata sobre o cálculo da área sob uma curva, assunto do cál-
culo integral que é dado sob o conceito de integral defi nida. Quando não conhecemos a expressão analíticada 
primitiva da função que se quer integrar, usamos métodos que são explicados pelo cálculo numérico.
Esperamos que essa disciplina contribua para a sua formação trazendo a possibilidade de um novo olhar sobre 
assuntos que você estuda em outras disciplinas do curso. 
Bom estudo para você!
13UNIDADE I
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROSNOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
1.11.1– Introdução
A maioria dos problemas na matemática surge da necessidade de resolver problemas da vida real, isto porque 
tais problemas podem ser descritos através do uso de modelos matemáticos. Assim:
PROBLEMA ⇒ MODELO MATEMÁTICO ⇒ SOLUÇÃO
Não é raro acontecer que os resultados fi nais estejam distantes do que se esperaria obter, ainda que todas as 
fases de resolução tenham sido realizadas corretamente.
Os resultados obtidos dependem também:
• da precisão dos dados de entrada;
• da forma como estes dados são representados no computador;
• das operações numéricas efetuadas.
1.21.2 – Representação de Números
Exemplo 1.
Calcule a área de uma circunferência de raio 100m. Para π igual a:
a) 3,14 área = 31400m2
b) 3,1416 área = 31416m2
c) 3,141592654 área = 31415,92654m2
- Como justifi car as diferenças entre os resultados?
- É possível obter “exatamente” esta área?
Exemplo 2.
Efetuar os somatórios seguintes em uma calculadora e em um computador.
, para xi = 0,5 e para xi = 0,11.
Resultados obtidos:
i) para xi = 0,5:
 na calculadora: S = 15000
 no computador: S = 15000
i) para xi = 0,11:
 na calculadora: S = 3300
 no computador: S = 3299,99691 (operando em base 2)
Como justifi car a diferença entre os resultados obtidos pela calculadora e pelo computador para xi = 0,11?
Os erros ocorridos nos dois problemas dependem da representação dos números na máquina utilizada. A re-
presentação de um número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo 
de dígitos usados na sua representação.
14
O número π, por exemplo, não pode ser representado através de um número fi nito de dígitos decimais. No 
exemplo 1, foi escrito como 3,14; 3,1416 e 3,141592654, respectivamente nos casos (a), (b) e (c). Em cada um 
deles foi obtido um resultado diferente, e o erro neste caso depende exclusivamente da aproximação escolhida 
para π. Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca será obtida exatamente, uma vez que π é um nú-
mero irracional.
Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário 
1) Represente os números que estão na base 2 na base 10:
a) (11101)2 = 1x2
4 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29
b) (10111)2 = 1x2
4 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23
c) (10001)2 = 1x2
4 + 0x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17
d) (0,1101)2 = 1x2
-1 + 1x2-2 + 0x2-3+ 1x2-4 = 1/2 + 1/4 + 0 + 1/16 = 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 0,8125
e) (10,001)2 = 1x2
1 + 0x20 + 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 2 + 0 + 0 + 0 + 1/8 = 2 + 0,125 = 2,125
2) Represente os números que estão na base 10 na base 2.
a) 20
b) 33
c) 0,8125
0,8125 x 2 = 1,625
0,625 x 2 = 1,25 (0,8125)10 = (0,1101)2
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1,0
d) 5,125
Calculando a parte inteira, temos:
Calculando a parte decimal, temos:
0,125 x 2 = 0,250
0,250 x 2 = 0,5 (0,125)10 = (0,001)2
0,5 x 2 = 1,0
15
Escrevendo as duas partes juntas, temos:
(5,125)10 = (101,001)2
e) 0,11 = (0,000111000010100011110101110000101000111101...)2
0,11 x 2 = 0,22
0,22 x 2 = 0,44
0,44 x 2 = 0,88
0,88 x 2 = 1,76
0,76 x 2 = 1,52 
0,52 x 2 = 1,04 
0,04 x 2 = 0,08
0,08 x 2 = 0,16
0,16 x 2 = 0,32
0,32 x 2 = 0,64
0,64 x 2 = 1,28
0,28 x 2 = 0,56
0,56 x 2 = 1,12
0,12 x 2 = 0,24 
0,24 x 2 = 0,48 
0,48 x 2 = 0,96
0,96 x 2 = 1,92
0,92 x 2 = 1,84
0,84 x 2 = 1,68
0,68 x 2 = 1,36 
0,36 x 2 = 0,72
0,72 x 2 = 1,44 
0,44 x 2 = 0,88
0,88 x 2 = 1,76
0,76 x 2 = 1,52 
0,52 x 2 = 1,04
0,04 x 2 = 0,08
0,08 x 2 = 0,16
0,16 x 2 = 0,32 período - 01110000101000111101
Podemos ver que o número (0,11)10 não tem representação binária fi nita. Um computador que operar no siste-
ma binário irá armazenar uma aproximação para (0,11)10, uma vez que possui uma quantidade fi xa de posições 
para guardar os dígitos da mantissa de um número, e esta aproximação será usada para realizar os cálculos. Não 
se pode, portanto, esperar um resultado exato.
Podemos agora entender melhor por que o resultado da operação:
 não é obtido exatamente num computador quando opera em base 2.
Aritmética de Ponto Flutuante
Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado aritmética de ponto fl utu-
ante. Neste sistema, o número x será representado na forma:
 O modo usual de representar um sistema F de ponto fl utuante é:
 , onde:
• β é a base em que a máquina opera;
• t é o número de dígitos da mantissa;
; j = 1, 2,..., t; 
Começa a repetir
16
• e é o expoente no intervalo [m, M];
• são números inteiros.
Exemplo:
Sistema de ponto fl utuante da:
a) HP25: F(10, 9, -98,100)
b) Texas SR50: F(10,10,-98,100)
c) Texas SR52: F(10,12,-98,100)
d) HP41C: F(10,10,-98,100)
Considere, por exemplo, uma máquina que opera no sistema: F(10, 3, -5, 5).
Os números serão representados da seguinte forma neste sistema:
 
EXEMPLOS:
Considerando a máquina com sistema acima:
1) Qual o menor número representado nesta máquina?
menor número = 0,100 x 10-5 
2) Qual o maior número representado nesta máquina?
maior número = 0,999 x 105
3) Caso tenha um número x = 0,245 x 10-7, como posso representá-lo nesta máquina?
Neste caso teremos x < menor número do sistema, logo este número x não poderá se representado no sistema 
F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a máquina acusa a ocorrência de underfl ow.
4) Caso tenha um número x = 0,875 x 109, como posso representá-lo nesta máquina?
Neste caso teremos x > maior número do sistema, logo este número x não poderá se representado no sistema 
F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a máquina acusa a ocorrência de overfl ow.
Arredondamento
Essa “aproximação” de um número real para um número de ponto fl utuante pode ser feita de diversas manei-
ras.
Tipos de arredondamentos
Os mais conhecidos são:
• arredondamento para cima ou por excesso;
• arredondamento para baixo ou por falta;
• arredondamento para o número de máquina mais próximo ou simétrico.
Exemplo 1: Seja a representação numa máquina com 4 dígitos na mantissa.
x = 0,333 333
y = 0,348 436
z = 0,666 666
 
17
Temos então:
Exemplo 2: Se w = 0,12345, então:
Durante nossos trabalhos utilizaremos o arredondamento simétrico (ou para o número de máquina mais pró-
ximo).
Assim, em linhas gerais, para arredondar um número para o número de máquina mais próximo, na base 10, 
devemos apenas observar o primeiro dígito a ser descartado. Se este dígito é menor que 5, deixamos os dígitos 
inalterados; e se é maior ou igual a 5, devemos somar 1 ao último dígito que restou.
Truncamento 
Simplesmente é desprezada uma parte escolhida da mantissa e o cálculo é feito com o número que fi cou.
Exemplo: π = 3,14159265... truncamento de π com 4 casas decimais: π = 3,1415.
Tipos de Erros 
• Erros inerentes – ocorrem geralmente na fase de criação ou simplifi cação de um modelo matemático, ou 
ainda em medidas em geral.
• Erros de discretização, ou de aproximação, ou de truncamento – são os erros cometidos quando se substitui 
qualquer processo infi nito por um processo fi nito ou discreto. 
• Erros de arredondamento – surgem quando trabalhamos com máquinas digitais para representar os números 
reais.
A diferença entre o valor aproximado e o valor exato de um número pode ser medida pelo erro absoluto 
ou pelo erro relativo.
Sejam:
EA – erro absoluto
ER – erro relativo
VE ou x - valor exato
VA ou x - valor aproximado
Erro Absoluto: e Erro Relativo: 
EXEMPLOS:
1) Digamosque x = 0,003 e que = 0,002, então:
, analisando a resposta podemos considerar um erro pequeno.
, analisando o erro relativo podemos ver que este erro é grande em 
relação aos valores utilizados para cálculo.
2) Digamos que x = 10100 e x = 10000. Então:
18 , neste caso teremos um erro relativamente pequeno.
Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante
Exemplo 1) Dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102, obtenha x + y.
A adição aritmética de ponto fl utuante requer o alinhamento dos pontos decimais dos dois números. Para 
isto, a mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada para direita. Este deslocamento deve ser um 
número de casas decimais igual à diferença entre os dois expoentes.
Alinhando os pontos decimais dos valores acima, temos:
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104
Então:
x + y = (0,937 +0,001272) x 104 = 0,938272 x 104 
Este é o resultado exato desta operação. Suponhamos que esta operação seja efetuada num sistema de aritmé-
tica de ponto fl utuante de 4 dígitos na mantissa e na base 10.
Teríamos:
i) no arredondamento: x + y = 0,9383 x 104
ii) no truncamento: x + y = 0,9382 x 104
Exemplo 2) No mesmo sistema anterior, obtenha xy.
xy = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102) = (0,937 x 0,1272) x 106 = 0,1191864 x 106
Então, xy = 0,1192 x 106 no arredondamento e xy = 0,1191 x 106 no truncamento.
Exercícios 
1. Converta os seguintes números decimais x = 48, y = 1001 e z = 3,125 para sua forma binária.
2. Converta os seguintes números binários para sua forma decimal.
a = (101010)2 
b = (111000)2 c = (0,001)2 d = (10,0101)2
3. Qual o antecessor e o sucessor dos seguintes números binários?
a = (100)2 
b = (101001000)2 c = (11111)2 d = (100001)2
4. Considere o sistema F(10; 4; 4; 4).
a) Qual o intervalo para s nesse caso?
b) Represente nesse sistema os seguintes números: x1 = – 234,123; x2 = 0,0064395; x3 = 9,998; x4 = 765432,1 
e x5 = – 0,00000034 
5. Considerando o mesmo sistema do exercício 04, represente os números: x1 = 0,785, x2 = 5,5 e x3 = 0,025, 
dados na base 10.
19
6. Seja um sistema de aritmética de ponto fl utuante de quatro dígitos e base decimal. Dados os números 
x = 0,7237 x104, y = 0,2145 x 10-3 e z = 0,2585 x 101, efetue as seguintes operações, supondo que x, y e z estão 
exatamente representados utilizando o arredondamento simétrico.
a) x + y + z
b) x – y – z
c) (xy)/z
d)x(y/z)
7. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é defi nido por: base decimal, o número 
de dígitos da mantissa é 4, o menor expoente é –5 e o maior, 5.
a) Qual o menor e o maior número em módulo (valor absoluto) representados nesta máquina?
b) Como serão representados os números 73758 e 0,000034343, se for usado o arredondamento simétrico? E 
se for usado o truncamento?
8. Faça as operações abaixo, supondo que as mesmas sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos 
signifi cativos e considerando que x1 = 0,3491 . 104 e x2 = 0,2345 . 10
-1, estabeleça o resultado em cada um dos 
cálculos a seguir e indique qual é o resultado correto.
a) (x2 + x1) – x1
b) x2 + (x1 – x1)
9. Escreva os números que se seguem em linguagem científi ca, no padrão internacional.
a) 51.321 
b) 128.217,33 
c) 0 0.00123 
d) 0.07 
e) 5.945
10. Arredonde simetricamente, com precisão de 2 algarismos decimais exatos, dando sua resposta em lingua-
gem científi ca, no padrão internacional.
a) 11,5749 
b) 2.220,0732 
c) 0,0845 
d) 0,0245 + 1,888 
e) 0,654 x 0,018
11. Dois resultados, x = 3,248 e y = 4,151, foram arredondados simetricamente de modo a ostentarem apenas 
três dígitos signifi cativos. Calcule, com precisão de 6 dígitos decimais, o valor de:
a) 
b) Eax e Eay
c) Erx e Ery
d) Epx e Epy
e
20 UNIDADE II
ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAISZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS
2.12.1 - Introdução
Um problema particularmente importante na Matemática é o de se encontrar um valor para a variável livre x, 
dado um valor de y, tal que f(x) = y.
Classificação das Funções Reais
Seja f(x) = y. Aos valores reais que tornam y = 0 denominaremos de zero da função f(x) ou raízes da equação 
f(x) = 0. Isto é, um número real ξ (ksi) é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se, e somente 
se, f(ξ) = 0. 
Estudaremos nesta unidade métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares e, embora os valores 
de x que anulem f(x) possam ser reais ou complexos, estaremos interessados somente nos zeros reais de f(x).
Grafi camente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo 
.
O procedimento básico dos métodos numéricos para resolver equações polinomiais consiste essencialmente 
em obter uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refi nar essa aproximação através de um processo 
iterativo (ou seja repetitivo). Por isso, os métodos constam de duas fases:
FASE I: LOCALIZAÇÃO ou ISOLAMENTO das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a 
raiz.
FASE II: REFINAMENTO, que consiste, escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado na fase I, 
em melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefi xada.
21
2.22.2 – Fase I: Isolamento das Raízes
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfi ca da função f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II 
depende fortemente da precisão desta análise.
A técnica de localização a ser usada baseia-se, em primeiro lugar, no seguinte fato a respeito de funções po-
linomiais:
Se uma função polinomial real f(x) é contínua num intervalo [a, b] e assume um valor positivo quando x = a, 
e um valor negativo quando x = b, o produto de f(a).f(b) será um valor negativo (f(a).f(b) < 0) e isso nos leva 
a concluir que a curva intercepta o eixo das abscissas neste intervalo. Então existirá pelo menos um número ξ 
entre a e b tal que f(ξ) = 0.
Sob essas hipóteses, se sua derivada f’(x) existir e preservar sinal em (a, b), então este intervalo contém um 
único zero de f(x).
Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x 
e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada no intervalo em que f(x) mudou de sinal.
Exemplo 1.
f(x) = x3 – 9x + 3
Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:
Podemos concluir que:
Como f(x) é um polinômio de grau 3, podemos afi rmar que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, 
localizamos todas as raízes de f(x) = 0.
Exemplo 2.
22
Analisando a tabela, vemos que f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2].
Analisando o sinal de f ’(x):
 
Assim podemos concluir que f(x) admite um único zero em todo seu domínio de defi nição e este zero está no 
intervalo [1, 2].
A análise gráfi ca da função f(x) ou da equação f(x) = 0 é fundamental para se obter boas aproximações para 
a raiz.
Apresentaremos um processo para se localizar a raiz de uma equação, chamado de APROXIMAÇÃO GRÁ-
FICA.
Aproximação Gráfi ca: a partir da equação f(x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráfi -
cos das funções g(x) e h(x) no mesmo plano cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas se intercep-
tam. Neste caso teremos f(ξ) = 0 ⇔ g(ξ) = h(ξ).
Exemplo 1. Seja 
Da equação , podemos obter a equação equivalente . Neste caso, temos e 
. Após isso, esboçamos os gráfi cos das duas funções no mesmo eixo cartesiano.
Assim, podemos localizar as três raízes da equação nos intervalos abaixo: ξ1 ∈ [-4, -3] ξ2 ∈ [0, 1] e ξ3 ∈ [2, 
3]
Exemplo 2. Seja 
23A partir de f(x) podemos obter e . 
Analisando a tabela podemos observar que g(x) cresce, mas até x = 1 ainda é menor que h(x), que decresce. 
Para x = 2, g(x) > h(x), pois g(2) = e h(2) = 0,6767. Podemos concluir com isso que ascurvas se intercep-
tam no intervalo [1, 2].
2.32.3 – Fase II: Refinamento
Estudaremos métodos numéricos de refi namento de raiz. Para isso usaremos métodos iterativos.
Critério de Parada 
Admitindo que nossa busca é por uma raiz aproximada com precisão ε (epsilon), adotaremos critério de pa-
rada para nossos cálculos:
i) < ε ou
ii) < ε 
Como efetuarmos o teste (i) se não conhecemos ξ?
Uma forma de verifi carmos isso é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao se conseguir um 
intervalo [a, b] tal que: e .
24
Métodos Iterativos
1 – MÉTODO DA BISSECÇÃO
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0. É certo que existe pelo menos uma raiz ξ ∈ 
[a,b] que satisfaz a equação f(x) = 0.
Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se seu ponto médio x1, de modo que se tem: [a,b] = [a,x1] U 
[x1,b].
Se f(x1) = 0, então ξ = x1. Caso contrário, a raiz estará num dos subintervalos onde a função tem sinais opostos 
nos extremos. 
Isto é, ξ ∈ [a,x1], se f(a).f(x1) < 0 ou ξ ∈ [x1,b], se f(x1).f(b) < 0.
O novo intervalo que contém ξ é dividido ao meio e obtém-se x2. O processo iterativo se repete até que se 
tenha obtido um valor aproximado para ξ, que nos satisfaça (critério de parada).
EXEMPLOS:
1) Calcule a raiz real da equação x2 + ln x=0, com tolerância máxima de ε < 10-2 .
Solução 
Adotaremos para o Intervalo (I) = [0,5;1,0], e .
25
Obs.: Na segunda iteração o sinal de f(x1) muda de sinal em relação a f(x2), isto nos mostra que f(x1).f(x2)<0, 
logo a raiz está contida no intervalo [0,625;0,75] e não no intervalo [0,5; 0,625]. Com esse tipo de análise, 
decidimos a partir de qual intervalo continuaremos a fazer nossos cálculos. 
2) Calcule a raiz real da equação xlog(x) –1 que tem zero em [2,3], para um erro menor do que 0,001
( ).
Não há a necessidade de localizarmos a raiz da equação xlog(x) –1= 0 pelo método da aproximação gráfi ca, 
pois a própria atividade nos dá o intervalo onde se localiza a raiz. Com isso, vamos direto para o método da 
bissecção para refi nar o valor da raiz para o erro estipulado.
Para temos (I) = [2;3], e 
Portanto , com .
Apresentamos abaixo a aproximação gráfi ca, caso precisássemos localizar a raiz.
26
Gráfi co de 
Exercícios
1. Localize as raízes reais das equações pelo processo da aproximação gráfi ca.
a) x2 + ln x = 0
b) x3 – 8x + 15 = 0
c) x log x –1 = 0
2. Encontre os intervalos de confi namentos, com amplitude igual a 0,5 para as funções:
a) para os zeros da função f(x) = ex + x2 – 2 
b) para as raízes da equação x3 – 9x + 3 = 0
3. Explique porque nós podemos afi rmar, analisando somente o intervalo [-3, 1], que existe raiz real da equa-
ção x2 –3 = 0, neste intervalo. Podemos afi rmar também que existe apenas uma raiz neste intervalo? Justifi que 
sua resposta.
4. Dada a função f(x) = 3x log x – 2 , analise esta função, sua derivada e o gráfi co abaixo. Fundamentado 
neste estudo, responda: 
a) Pode existir mais de uma raiz real para a equação 3xlog (x) – 2? Justifi que.
b) Podemos afi rmar que no intervalo [2,3] existe somente uma raiz real, vemos isso bem analisando o gráfi co. 
Qual teoria discutida em sala nos sustenta esta afi rmação quando não temos um gráfi co pra analisar? 
27
5. Obtenha a estimativa de raiz da equação x + ex − 2 = 0 a partir de 5 iterações do Método da Bissecção.
 6. Determine a partir de quatro iterações do Método da Bissecção a raiz da equação cos x − xex = 0 , situada 
no intervalo [0,1].
2 – MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (M.I.L.) 
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, f(x) = 0, é possível transformar 
tal equação em uma equação equivalente x = F(x) e, a partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequên-
cia {xi} de aproximações para ξ (zero de f(x)) pela relação xi+1 = F(xi), uma vez que F(x) é tal que F(ξ) = ξ se, 
e somente se, f(ξ) = 0.
Iniciamos o Método de Iteração Linear reescrevendo a função f(x) como, f(x) = F(x) – x. Essa forma de escre-
ver f(x) é bastante útil, pois no ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, onde f(x) = 0 teremos que: f(x) = 
F(x) – x = 0, o que equivale a determinar x tal que F(x) = x.
Portanto procuraremos o valor de x que ao ser substituído em F(x) retorna o próprio valor de x. Dizemos que 
este valor é o ponto fi xo de F(x).
Para encontrarmos esse valor de ξ, vamos utilizar um processo iterativo, onde começamos a calcular o valor 
de F(x) com um valor inicial de x0, e recalculamos repetidamente o valor de F(x) sempre usando o resultado 
de uma dada iteração.
Ou seja: xi+1 = F(xi), onde i é a ordem da iteração (i = 0, 1, 2, 3, 4, ...). A função F(x) é chamada de função de 
iteração. A seguir ilustramos o processo.
Obs.: Dada uma equação do tipo f(x) = 0, há para tal equação mais de uma função de iteração F(x), no entan-
to, nem todas convergem para ξ. Omitiremos aqui o estudo dessa convergência, mas aconselhamos que você 
pesquise sobre o assunto. 
Exemplo:
Seja f(x) = x2 – x – 2.
Então: f(x) = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x2 – 2 = x 
Fazendo F(x) = x2 – 2, temos uma função tal que F(x) = x.
Então, podemos admitir F(x) = x2 – 2 como uma função de iteração.
Portanto: xi+1 = F(xi) = xi
2 – 2 
X0= 0 ⇒ x1 = 02 – 2 = -2
x1 = -2 ⇒ x2 = (-2)2 – 2 = 2
x2 = 2 ⇒ x3 = (2)2 – 2 = 2. ⇒ Encontramos x = 2 tal que F(2) = 2
Naturalmente, para essa função não é necessário lançar mão de qualquer método do calculo numérico. Basta-
ria resolver a equação x2 – x – 2 = 0 usando Báskara.
28
Convergência
Observe o comportamento das iterações representadas a seguir quando usamos o método de Iteração Linear.
Repita o que fi zemos no exemplo inicial e você vai perceber que nem todas permitem construir uma sequência 
que convirja para a raiz. Não discutiremos aqui sobre convergência, no entanto, listamos a seguir, o teorema 
que trata do assunto:
Sendo ξ uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em ξ e f(x) uma função de iteração para
f(x) = 0. Se
i. g(x) e g’(x) são contínuas em I
ii. |g’(x)| ≤ M < 1, x ∈ I e
iii. x1 ∈ I 
Então a sequência {xk}gerada pelo processo iterativo xi+1 = F(xi) convergirá para ξ. 
3 – MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (M.N.R.)
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma apro-
ximação de tal raiz a partir da interseção da tangente a uma curva em um ponto x0 com o eixo das abscissas.
Admitamos um xi próximo de ξ e tracemos uma reta tangente à curva pelo ponto (xi, f(xi)). Consideremos xi+1 
o ponto onde essa tangente corta o eixo Ox e seja α o ângulo de inclinação dessa tangente.
Então teremos 
Mas tg α é a derivada de f no ponto xi. Ou seja, tg α = f´(xi).
Então 
Portanto, 
Fazendo , temos xi+1 = F(xi), como a função de iteração que gera uma sequência {xi} que 
converge para ξ rapidamente. 
29
Obs.: O método de Newton Raphson apresenta, em relação ao Método de Iteração Linear, a vantagem de gerar 
um sequência com maior possibilidade de convergência e mais rapidamente.
Exemplo: 
Suponha que desejamos encontrar uma aproximação da raiz quadrada de 3. Isto é, queremos x = . 
Mas: x = ⇒ x2 = 3 ⇒ x2 – 3 = 0
Admitindo f(x) = x2 – 3, queremos calcular x tal que f(x) = 0.
Mas f´(x) = 2x.
Então a função de iteração por Newton Raphson é 
Ou seja, 
Encontraremos x tão próximo de ξ quanto f(x) estiver próximo de zero. Observe que na tabela encontramos 
x = = 1,732142 com uma aproximação ε = 0,00032 < 10-4.
Exercícios 
1. Investigue se convergem as funções de iteração F(x), para o método de Iteração Linear. 
Repete-se o processo até
que o valor x atenda às
condições de parada.
30
2. Localize grafi camente e dê intervalos de amplitude 0.5 que contenha as raízes das equações:
a) ln(x) + 2x = 0
b) ex – sen(x) = 0
c) ln(x) – 2x = – 2d) 2 cos(x) – = 0
e) 3 ln(x) – = 2
f) (5 – x) ex = 1
3. Utilize o Método da Bissecção e aproxime a menor raiz em módulo com erro relativo menor que 10-1 para 
as equações a) e b) do exercício anterior.
4. Utilize o Método Iterativo Linear e aproxime a menor raiz em módulo com erro relativo menor que 10-2 
para as equações c) e d) do exercício anterior.
5. Utilize o Método de Newton-Raphson e aproxime a menor raiz em módulo com erro relativo menor que 
10-3 para as equações (e) e (f) do exercício anterior.
6. Calcule, utilizando o método de Newton Raphson, as seguintes raízes, com tolerância de 0,001:
a) 
b) 
c) 
7. Dada a função f(x) = ex – 4x2.
a) Isole as raízes da função f(x).
b) Tomando xo = 0,6 e ε = 0,01 ou 4 iterações, aplique o M.I.L. para encontrar uma aproximação para a raiz 
positiva, usando a função de iteração F(x) = ln(4x2).
c) Tomando xo = 0,6 e ε = 0,01 ou 4 iterações, use o método de Newton Raphson.
31UNIDADE III
INTERPOLAÇÃOINTERPOLAÇÃO
O problema da interpolação consiste basicamente em encontrar uma função que seja a expressão lógica de 
determinados pontos. Conhecendo-se alguns pontos (x1, y1), (x2, y2).....(xn, yn) e desconhecendo a função analí-
tica a qual pertençam, a Interpolação possibilita que calculemos o valor numérico intermediário da função num 
ponto não tabelado, com certo grau de erro.
Embora não conheçamos a função que contém esses pontos, podemos substituí-la por outra função que é uma 
aproximação deduzida a partir dos dados tabelados. 
Diante da possibilidade de termos uma função cuja forma analítica é muito complicada, os métodos de inter-
polação ainda permitem que procuremos uma outra função que seja uma aproximação da função dada, cujo 
manuseio seja bem mais simples. A função mais usual é a função polinomial por ser de mais fácil operação 
com derivação e integração. 
Observe pelo gráfi co que para àqueles pontos da tabela que pertencem à função f, teremos f(x) = g(x), onde 
g(x) é a função substituta. Esses pontos são conhecidos como pontos de amarração.
Para (n+1) pontos, existe um e somente um polinômio de grau não superior a n.
3.1 3.1 - Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial
Se uma função f(x) é contínua num determinado intervalo, então esta função poderá ser substituída no interior 
deste intervalo por um polinômio de grau não superior a “n”, conforme a seguinte expressão:
Dados n+1 pontos, se desejamos determinar a função polinomial de grau n, podemos construir um sistema de 
n equações, substituindo cada um dos pontos em .
4 pontos (polinômio de 3º grau)2 pontos (polinômio de 1º grau) 3 pontos (polinômio de 2º grau)
Erro
32
Isso signifi ca que: dados dois pontos (x0, y0) e (x1, y1), podemos obter a função polinomial de 1º grau, de-
fi nida por através de um sistema de duas equações a duas incógnitas; que dados três pontos 
(x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2), o polinômio interpolador será a função quadrática (função polinomial do 2º grau) 
.
Nesses dois casos específi cos, tanto na interpolação linear, quanto na quadrática, estas funções podem ser 
obtidas ao resolvermos, respectivamente, os sistemas de equações:
a) Na interpolação linear
b) Na quadrática
Embora possamos resolver um sistema por escalonamento, sobretudo os de 1º e 2º graus, que não apresentam 
difi culdades, no cálculo numérico encontramos métodos, como o de Newton e o de Lagrange, que nos permi-
tem encontrar um polinômio interpolador de grau n de maneira menos trabalhosa que resolver o sistema pelos 
processos que aprendemos no Ensino Médio. 
3.23.2 - Método de Lagrange
O método de Lagrange admite para os n+1 pontos, n polinômios pi(x) que passem, cada um deles, pelo ponto 
de abscissa xi e possuam para “zeros” os n -1 outros xj onde j ≠ i. 
Admitir-se-á que o polinômio interpolador Pn(x) seja a combinação linear destes polinômios. Observemos 
que para cada ponto Pi de coordenadas (xi,yi) tem-se yi = Pn(xi) = pi(xi) já que pj(xi) = 0 para j ≠ i. Ou seja, a 
imagem de xi para o polinômio Pn(x) é a imagem de xi obtida pela função pi(x) já que para todas as outras a 
imagem é zero. 
Assim, seja a função polinomial Pn(x) a função substituta de f(x):
onde a1 e a0 são suas incógnitas.
cujas incógnitas são a2, a1 e a0. 
33
34
3.33.3 - A Tabela de Diferenças Divididas: Método de 
Newton
Seja f(x) em sua forma tabelada, os valores x0, x1, x2, ..., xn da variável independente {f(x0), f(x1), f(x2), ..., 
f(xn)}, chamar-se-ão Diferença Dividida as expressões:
Resumindo teremos como a interpolação entre interva-
los não equidistantes.
35
Nos dois métodos apresentados, que usam para aproximação uma função polinomial, o erro associado será 
igual a .
Exemplo:
Determine o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,2), (1,11), (3,71) e (5,227).
Aplicação/Exemplo:
Utilizando os valores de seno, dados pela tabela abaixo é possível determinar a função quadrática que se 
aproxima de , trabalhando com três casas decimais.
Portanto, chamando o polinômio que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn de Pn(x), este será obtido por:
36
Podemos usar qualquer um dos métodos para construir a função polinomial P2 (x) = a2x
2 +a1x +a0: escalona-
mento, Lagrange ou Newton. Experimente fazer por cada um deles como exercício.
A função quadrática obtida será .
A seguir o gráfi co mostra quão próximos são os gráfi cos das funções e 
no intervalo [0, π/4]. Podemos usar essa função polinomial para determinar o valor aproximado que qualquer 
x compreendido entre 0 e π/4 produzirá na função .
Exercícios 
1. Calcule f(3,5), usando a forma de Lagrange do polinômio interpolante para os pontos a seguir: f(1)=0, 
f(3)=6, f(4)=24 e f(5)=60.
2. Utilize os dados da tabela para resolver os itens abaixo:
Habitantes de Belo Horizonte
37
a) Calcule o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1965, usando interpolação linear.
b) Calcule o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1965, usando interpolação quadrática 
e os três primeiros pontos da tabela.
3. Dada a função f(x) = 10x4 +2x +1, determine P2(0,15), por interpolação quadrática, usando os valores de 
f(0,1), f(0,2) e f(0,3), e por interpolação linear os pontos f(0,1), f(0,2).
4. Calcule, de forma aproximada, o seno de , interpolando a função seno nos pontos x = 0, , π. Verifi que 
qual foi o erro da aproximação.
5. Dada a tabela de valores de f(x) a seguir, determine o valor de M, sabendo que as diferenças de 4a ordem 
são nulas.
6. A tabela a seguir mostra a distância d, em metros, que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão 
em t segundos. Encontre a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter sido disparada, usando todos os 
dados da tabela.
38 UNIDADE IV
INTEGRAÇÃOINTEGRAÇÃO
Se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a,b] e sua primitiva F(x) é conhecida, a integral defi nida dessa 
função nesse intervalo é dada por:
Para calcular a integral defi nida pelo teorema fundamental do cálculo é necessário conhecermos sua integral 
indefi nida, mas existem funções para as quais não existe um método conhecido para determinar sua primitiva. 
No entanto, se f é um função contínua no intervalo [a,b], a integral defi nida existe e será um número único. 
Usaremos métodos do cálculo numérico para obter um valor aproximado desse número.
Vale lembrar que isso implica em determinar uma aproximação da área compreendida entre os eixo Ox, as 
retas x = a e x = b e a curva defi nida por f(x).
Dois métodos se destacam entre as possibilidades de obter uma boa aproximação dessa integral: o método do 
Trapézio e o de Simpson.
4.14.1 – Regra do Trapézio
Para aproximar a área da região compreendida como a integral defi nida, usaremos a área de um trapézio. Isto 
é, a área da região compreendida entre os eixo Ox, as retas x = a e x = b e a curvadefi nida por f(x), é substitu-
ída pela área do trapézio defi nido pelo eixo Ox, as retas x = a e x = b e o segmento que liga os pontos (a,f(a)) 
e (b,f(b)). 
39Se considerarmos, no entanto, o intervalo [a,b] dividido em n subintervalos de amplitude , isso nos 
dá n +1 pontos tais que:
 x0 = a, x1 = a + Δx, x2 = a + 2Δx, x3 = a + 3Δx, ... xn-1 = a + (n-1)Δx e xn = b.
Então:
onde é a área da região limitada pelo eixo Ox, pelas retas x = xi e x = xi+1 e o segmento defi nido pelos 
pontos Pi e Pi+1. 
Como a área do trapézio pode ser obtida pela expressão , cada uma das aproximações pode ser 
expressa por:
Logo:
Ou ainda:
Pode-se perceber intuitivamente que quanto maior é o valor de n mais exata será a aproximação. Consideran-
do-se apenas o erro intrínseco do processo, prova-se que , a ≤ ε ≤ b.
Exemplo: Calcule pela regra dos trapézios, dividindo o intervalo em 6 subintervalos, e depois, analiticamen-
te, e comparar os resultados de:
40
a) Pela Regra dos Trapézios:
onde 
Mas , então:
Logo 
b) Pelo cálculo da integral: 
4.24.2 – Regra de Simpson 
Uma melhor aproximação para a integral defi nida é obtida pela Regra de Simpson ou Regra da Parábola. 
Enquanto na Regra do Trapézio os pontos são ligados por segmentos de reta, nessa nova regra os pontos são 
ligados por segmentos de parábolas. Isto é, dados os pontos P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2), a área defi nida pela 
integral será aproximada para a área da região compreendida pelo eixo Ox, pelas retas x = x0 e x = 
x2 e pelo segmento da parábola que passa pelos pontos P0, P1 e P2.
41
Sejam P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2) três pontos não-colineares que possuam suas abscissas tais que 
x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h. Se y = Ax
2 + Bx + C é a equação da parábola que contém esses três pontos, então:
Portanto, se f uma função contínua no intervalo fechado [a,b], podemos considerar uma partição de 2n subin-
tervalos de amplitude , cada um deles, para obtermos n segmentos de parábolas
A soma das áreas sob as parábolas nos intervalos [x0,x2] , [x2,x4], ..., e [x2n-2,x2n] será a aproximação da integral 
defi nida no intervalo [a,b] pela Regra de Simpson. 
Esta soma pode ser expressa por:
Então, 
Portanto:
Exemplo: Calculemos agora pela regra de Simpson, dividindo o intervalo em 6 subintervalos a mesma inte-
gral defi nida do exemplo que usamos anteriormente:
Inicialmente calculamos 
Obtemos, portanto, os 2n + 1 pontos x0, x1, x2, x3..., x2n-1 e x2n, cujas respectivas imagens estão calculadas na 
tabela abaixo.
42
Calcularemos 
Então: 
Portanto, pela Regra de Simpson encontramos I = 0,182320233333...
Observemos que encontramos uma aproximação melhor do que a que encontramos com a Re-
gra do Trapézio (I = 0,182348), já que o cálculo da integral pelo cálculo de sua primitiva dá 
Exercícios 
1. Calcule , pelos métodos do Trapézio e de Simpson, usando 4 e 6 subintervalos, e compare os 
resultados.
2. Calcular , pelo método de Simpson, com um erro menor que 10-3?
3. Calcule ln(5) com uma precisão de 5 casas decimais, sabendo que, , pelo método de Simp-
son.
4. A quantidade de calor empregada para esquentar um objeto é proporcional à integral da temperatura (T) em 
função do tempo (t). Supondo a constante de proporcionalidade K=1, ache a quantidade de calor utilizada para 
esquentar o objeto cujas temperaturas são representadas na tabela:
435. Considerando que = 0,45970. Mostre que o resultado de calcular esta integral, de forma 
aproximada, pelo método de Simpson, admitindo h = 0,5, é surpreendentemente próximo desse valor.
6. A integral é muito importante para a estatística matemática. Ela é chamada uma Integral de proba-
bilidade e não pode ser calculada exatamente em termos de funções elementares. Use a regra do trapézio com 
n = 6 para encontrar um valor aproximado e expressar o resultado com três casas decimais.
7. Use a regra de Simpson para aproximar o valor de com 2n =4. Dê o resultado com 4 casas deci-
mais.
44
Se você:
1) concluiu o estudo deste guia;
2) participou dos encontros;
3) fez contato com seu tutor;
4) realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as 
avaliações.
Parabéns!
45
Glossário
Algoritmo: regra + número = regra envolvendo números.
Interpolação: um método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto 
de dados pontuais conhecidos.
Iterar = Iterare: repetir, tornar a fazer.
Mantissa: parte decimal de um numeral; parte depois da vírgula.
Número binário: número que possui numeral escrito na base 2.
Ponto fl utuante: é um formato de representação digital de números reais, que é usada nos computadores. O 
número é dividido numa mantissa (M) e um expoente (E). O valor representado é obtido pelo produto: M • 2.
Produtório: produto, resultado da multiplicação de uma seqüência de fatores. Na matemática usamos a letra 
pi para representar o produtório pela letra pi ( Π ).
Somatório: soma. Na matemática o somatório é representado pela letra grega sigma maiúsculo (Σ).
Truncamento: erro de arredondamento quando simplesmente ignoramos os dígitos restantes a partir de uma 
determinada casa decimal.
46
Gabarito
Unidade I
47
Unidade II - Bissecção
48
Unidade II – Newton Raphson e Método de Iteração Linear 
49
50
51
Unidade III 
Unidade IV
1. Trapézio com 4 subintervalos: 4,69507591687512109.
 Simpson com 6 subintervalos: 4,67079422663377371. 
2. Simpson com 4 subintervalos: 1,00013454701700521.
3. Simpson com n = 1,61311.
4. 585
5. Usando Simpson com n = 2, tem-se 0,45986. Uma diferença de 0,00016, de 0,45970.
6. Simpson com 6 subintervalos: 0,881.
7. Simpson com 4 subintervalos: 0,6933.
52
Referências Bibliográficas 
BARROSO, L.C.; Araújo, M.M. Araújo; CAMPOS, F. Ferreira; CARVALHO, M.L. Bunte de; Maia, M.L. 
Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1993. 
CLÁUDIO, D. M. & MARINS, J.M. Cálculo Numérico Computacional. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1994. 
HUMES; MELO; YOSHIDA; MARTINS. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1984. 
LINHARES, O.D. Cálculo Numérico B. Apostila publicada pelo Departamento de Ciências de Computação e 
Estatística do ICMSC, 1969.
RUGGIERO, M. A. Gomes & LÓPES, V.L. Rocha. Cálculo Numérico. Aspectos Teóricos e computacionais. 
2 ed. São Paulo: Makron Books, 1996. 
ZAMBONI, L. & outros. Cálculo Numérico para Universitários. São Paulo: Páginas e Letras, 2002.