Aula 3

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CEDERJ – CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
 
Curso: Engenharia da Produção Disciplina: Engenharia Econômica 
Coordenadora da disciplina: Prof.ª Glaudiane Lilian de Almeida 
 
Aula 3 – Equivalência de Taxas 
 
Meta 
 
Introduzir os conceitos básicos de equivalência de taxas, além de sua aplicação. 
 
Objetivos 
 
1. Compreender os conceitos de equivalência de taxas de juros simples e taxas de juros 
compostos. 
2. Identificar taxas de juros equivalentes. 
3. Calcular taxa de juros, montante, tempo de aplicação do capital e principal em 
situações nas quais se apresentem informações distintas quanto a prazos das 
operações e períodos das taxas de juros. 
 
Pré-requisitos: Antes de começar essa aula separe calculadora científica, régua, lápis e 
borracha, pois esse material será útil não só nesta, mas em todas as aulas dessa 
disciplina. Reflita ainda sobre os conceitos apresentados na aula anterior, pois esses 
são fundamentais para o entendimento dos conceitos da aula de hoje. Caso haja 
dúvidas, releia o material, refaça os exercícios e procure a tutoria. 
 
1. Introdução 
Prezado aluno, na última aula entendemos os conceitos taxas de juros simples e 
compostos, além de aprendermos a aplicá-los em situações que envolvem operações 
de crédito. Como você deve se lembrar (se não se lembra vamos consultar o material, 
pois é hora de uma revisão!), trabalhamos sempre com taxas de juros e operações com 
o mesmo prazo, como por exemplo, taxas de juros mensais com operações mensais; 
taxas de juros anuais com operações anuais, taxas trimestrais e operações 
trimestrais... 
Vamos relembrar: 
 
Exemplo 2.1: Qual será o juro pago por Maria ao tomar emprestado um valor de 
$1.000,00, a uma taxa de 3% ao mês para pagamento ao final do prazo de 4 meses. 
 
Exemplo 2.3: João adquiriu um empréstimo de $10.000,00, pelo prazo de 5 meses. 
Nessa operação será cobrada uma taxa de juros de 3% ao mês. Qual será o valor de 
juros pago por João nessa operação? 
 
Atividade d: Marina fez um empréstimo em que deverá pagar, ao final de 3 meses, 
juros de $4.000,00. Sabendo que a taxa de juros incidente sobre a operação é de 5% 
ao mês, calcule o valor principal, ou seja, o valor recebido por Marina no momento do 
empréstimo. 
 
 A adoção de taxas de juros com períodos iguais aos prazos das operações 
propostas foi para facilitar o entendimento dos conceitos apresentados, entretanto, 
nas operações de crédito realizadas no dia a dia nem sempre as taxas de juros estão 
apresentadas dessa forma. Observe a figura a seguir. 
 
 
Figura 1 – Taxa de juros de 1,9% ao mês para comprar uma televisão. A taxa de juros é 
mensal, mas a operação tem um período maior. Mas e ao final da operação, qual será 
a taxa efetivamente paga pela consumidora? É o que ela se pergunta e o que também 
deverá influenciar sua decisão de compra. 
 
 A análise das taxas de juros é uma das importantes etapas da decisão de 
comprar ou não comprar, investir ou não investir, emprestar ou não emprestar... 
Vamos acompanhar o próximo boxe ... 
 
Boxe 3.1 
Vamos pensar mais um pouco? 
 
Prezado aluno, conforme temos discutido desde o início de nossas aulas, devemos 
conhecer as taxas de juros e as operações da matemática financeira para que 
possamos realizar operações de compras, empréstimos, financiamentos, 
investimentos e outras operações da maneira mais eficiente e otimizando o uso dos 
nossos recursos financeiros. A matemática ao pé do ouvido, um recurso desenvolvido 
pelo Ministério da Educação (MEC) apresenta, de maneira clara e atraente, situações 
cotidianas nas quais precisamos usar nosso conhecimento para que possamos 
economizar e aplicar da melhor maneira possível nossos recursos. Não deixe de 
acessar e ouvir os capítulos propostos, você vai gostar... 
 
 
 
Disponível em: 
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/exp
erimentos/Compras/explorando.html 
 
Nessa aula, cabe-nos entender o conceito de equivalência de taxas de juros, que 
irá nos ajudar a trabalhar com as taxas de juros simples e compostas em situações que 
elas não sejam apresentadas para o mesmo período de tempo das operações 
financeiras. Poderemos, a partir de agora, responder às questões como a apresentada 
na figura 1 e muitas outras. 
 
Antes de apresentar os conceitos, vamos recordar e fixar: 
 
Taxa Anual = a.a. (1 ano equivale a 12 meses, 2 semestres, 4 trimestres, 3 
quadrimestres, 360 dias) 
Taxa Semestral = a.s. (1 semestre equivale a ½ ano, 6 meses, 2 trimestres, 180 
dias) 
Taxa Quadrimestral = a.q. (1 quadrimestre equivale a 1/3 ano, 4 meses, 120 dias) 
Taxa Trimestral = a. t. (1 trimestre equivale a ¼ ano, 3 meses, 90 dias) 
Taxa Bimestral = a.b. (1 bimestre equivale a 1/6 ano, 2 meses, 60 dias) 
Taxa mensal = a.m. (1 mês equivale a 1/12 ano, 30 dias) 
 
2. Taxas de Juros Equivalentes 
 
Duas taxas de juros são consideradas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
valor principal em um mesmo período de tempo, geram o mesmo montante. Nos 
exemplos apresentados anteriormente vimos que os prazos das operações são os 
mesmos das taxas de juros. Mas e se não fossem? 
 
E se o Exemplo 2.1 (Qual será o juro pago por Maria ao tomar emprestado um valor de 
$1.000,00, a uma taxa de 3% ao mês para pagamento ao final do prazo de 4 meses?), 
fosse assim: Qual será o juro pago por Maria ao tomar emprestado um valor de 
$1.000,00, a uma taxa de 3% ao mês para pagamento ao final do prazo de 4 anos? 
 
Teríamos que resolver um problema que apresenta taxa de juros mensal e período 
anual. Não poderíamos simplesmente aplicar as fórmulas que já aprendemos. Nesse 
caso, precisaríamos encontrar a taxa de juros anual que fosse equivalente à taxa de 
juros mensal de 3%. 
Como poderíamos proceder? Sabemos que os cálculos para operações com taxas de 
juros simples diferem daqueles para operações com taxas de juros compostos. O 
cálculo da equivalência das taxas também difere em ambos os casos. Vamos, nas 
seções seguintes, trabalhar com a equivalência de taxas para juros simples e, 
posteriormente, para juros compostos. 
 
A. Taxas de Juros Equivalentes – Juros Simples 
 
Como vimos na aula anterior, as taxas de juros simples incidem sempre sobre o 
valor principal (ou valor atual ou valor presente) da operação. Portanto, se queremos 
encontrar, por exemplo, uma taxa de juros anual equivalente a uma taxa de juros 
mensal, devemos multiplicar a taxa mensal por 12, pois a cada mês o valor do juro será 
sempre igual ao valor da taxa de juros multiplicado pelo valor principal. 
Vejamos um exemplo: 
 
Exemplo A.1: Mariana tomou emprestado $1.000,00 e pagará daqui a 1 ano. Sabendo 
que a taxa de juros contratada por ela foi de 3,5% ao mês, calcule o montante da 
operação, ou seja, o valor total pago por Mariana. Considere juros simples na 
operação. 
 
Primeiramente, para resolvermos o problema, devemos observar que a taxa de juros 
incidente sobre a operação é de 3,5% ao mês e que o período é de um ano. Para 
aplicar a fórmula que permite o cálculo do montante no caso dos juros simples (será 
que você se lembra qual é essa fórmula?) S = P (1+ i x n) 
 
Vamos precisar encontrar a taxa de juros anual que seja equivalente à 3,5% ao mês. 
Vamos utilizar uma tabela para facilitar nosso entendimento: 
N Cálculo dos juros 
(P x i) 
Montante ao final de cada 
mês 
1 1.000 x 0,035 = 35,00 1.035,00 
2 1.000 x 0,035= 35,00 1.070,00 
3 1.000 x 0,035= 35,00 1.105,00 
4 1.000 x 0,035= 35,00 1.140,00 
5 1.000 x 0,035= 35,00 1.175,00 
6 1.000 x 0,035= 35,001.210,00 
7 1.000 x 0,035= 35,00 1.245,00 
8 1.000 x 0,035= 35,00 1.280,00 
9 1.000 x 0,035= 35,00 1.315,00 
10 1.000 x 0,035= 35,00 1.350,00 
11 1.000 x 0,035= 35,00 1.385,00 
12 1.000 x 0,035= 35,00 1.420,00 
 
Ou 
S = P (1 + i x n) 
S = 1.000,00 (1 + 0,035 x 12) 
S = 1.000,00 (1,42) 
S = 1.420,00 
 
Observe bem que, na tabela, 12 meses com taxa de juros mensal de 0,035 nos leva a 
um montante de 1.420,00. Como podemos ver, a taxa de juros do período de um ano é 
igual à taxa de juros mensal de 3,5% multiplicado por 12 meses. A fórmula também 
nos diz isso: S = P (1 + i x n). 
 Dessa forma, calculando a taxa de juros anual equivalente a 3,5% ao mês 
teremos: taxa mensal multiplicado por 12 meses: 3,5 x 12 = 42% 
 Vamos ver se a taxa de juros anual de 42 % pode ser considerada equivalente a 
taxa de juros de 3,5% ao mês. 
S = P (1 + i x n) 
S = 1.000,00 (1 + 0,42 x 1) 
S = 1.000,00 (1,42) 
S = 1.420,00 
 
 Como podemos ver, a taxa de Juros anual de 42% é equivalente a taxa de juros 
mensal de 3,5%. 
 
Atividades 
Atividade 1 – Atende os objetivos 1, 2 e 3. 
 
a) Explique quando duas taxas de juros podem ser consideradas equivalentes. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
Resposta comentada: 
 
Duas taxas de juros são consideradas equivalentes quando, aplicadas a um 
mesmo capital por um mesmo período de tempo geram um mesmo montante. 
 
b) Calcule a taxa de juros mensal equivalente a taxa de juros anual de 18,5%. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
Resposta Comentada: 
A taxa de juros anual de 18,5% deve ser dividida pelo número de meses do ano, ou 
seja, 12. A taxa de juros mensal é, portanto, 1,54%. Para confirmarmos, vamos ver se 
temos o mesmo montante, aplicando o mesmo capital em um mesmo prazo às taxas 
de juros de 18,5% e 1,54%. Vamos supor um capital de 2.000,00 aplicado por um ano. 
 
Taxa de juros anual 
S = P (1+ i x n) 
S = 2.000 (1 + 0,185 x 1) 
S = 2.000 (1,185) 
S= $ 2.370,00 
 
Taxa de juros mensal 
S = P (1+ i x n) 
S = 2.000 (1 + 0,0154 x 12) 
S = 2.000 (1,1848) 
S= 2.369,60 aproximando temos $2.370,00. 
 
Como podemos observar, os montantes são iguais para a taxa de juros mensal e para a 
taxa de juros anual, quando considerados o mesmo valor principal e o mesmo período 
(1 ano e 12 meses). 
 O cálculo que acabamos de estudar é feito no regime de juros simples que, 
conforme já discutimos, não é usualmente adotado nas operações financeiras. Na 
próxima seção trataremos da equivalência de juros na capitalização composta. 
 
B. Taxas de Juros Equivalentes – juros compostos 
Conforme já falamos, duas taxas de juros são consideradas equivalentes quando, 
aplicadas a um mesmo valor principal em um mesmo período de tempo, geram o 
mesmo montante. No caso dos juros compostos podemos, através da fórmula S = P 
(1+i)n, resolver problemas que envolvam taxas de juros com periodicidade diferentes 
dos prazos das operações financeiras. 
Vamos supor a seguinte situação: Exemplo B.1: Joana tomou um empréstimo que 
deverá pagar em um ano a uma taxa de juros de 5% ao mês. Calcule a taxa de juros 
anual equivalente à taxa de juros mensal cobrada na operação. 
Para resolver o problema devemos encontrar a taxa anual que seja equivalente a 
uma taxa mensal: 
1 + ia = (1+im)12 
 
 
As duas devem ser equivalentes para que possam gerar o mesmo montante (S) a 
partir de um mesmo principal (P). 
No exemplo dado, precisamos encontrar a taxa anual equivalente a taxa mensal 
de 5%. 
(1+ia) = (1+im)12 
1 + ia= (1+0,05)12 
1 + ia = (1,05)12 
ia= 1,7958 – 1 
ia= 0,7958 ou 79,6% a.a. 
 
Segundo os cálculos, a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros mensal de 
5% é de 79,8%. Vamos agora, já que sabemos o conceito de taxa equivalente, conferir 
nosso resultado. Devemos calcular o montante para os dois casos para saber se 
teremos o mesmo montante. Vamos considerar um valor principal de $1.000,00. 
Taxa de juros 
mensal 
Taxa de juros 
anual 
Caso da taxa de juros mensal de 5%. 
S = P (1 + i)n 
S = 1.000 (1 + 0,05)12 
S = 1.000 (1,05)12 
S = 1.795,80. 
O montante para um valor principal de $1.000,00, aplicado à taxa de juros de 5% 
ao mês será de $1.795,86. 
 
Caso da taxa de juros anual de 79,58%. 
S = P (1 + i)n 
S = 1.000 (1 + 0,7958)1 
S = 1.000 (1,7958) 
S = 1.795,80. 
 
O montante para um valor principal de $1.000,00, aplicado à taxa de juros de 
79,58% ao ano será de $1.795,86. 
 
Como podemos observar, as diferentes taxas de juros aplicadas ao mesmo 
principal pelo mesmo período de tempo, geraram montantes iguais sendo, portanto, 
equivalentes. 
O mesmo raciocínio adotado na resolução do exercício anterior pode servir para 
resolver outros problemas que envolvam a equivalência da taxa de juros. 
Exemplo B.2: Encontrar a taxa de juros diária equivalente a uma taxa de juros anual de 
23%. 
id= (1+ia)1/360 -1 
id=(1,23)0,0028-1 
id= 1,0006 – 1 
id = 0,0006 ou 0,06% a.d. 
A taxa de juros diária equivalente a uma taxa de juros anual de 23% é de 0,06%. 
 
Seguindo esse raciocínio o autor Sobrinho (2000) apresenta uma fórmula que 
ajuda, de maneira simplificada, a fazer cálculos que envolvam a taxa de juros 
equivalentes. 
 
iq= (1 + it) q/t – 1 
onde: 
iq = taxa de juros para o prazo que eu quero 
it = taxa de juros para o prazo que eu tenho 
q = prazo que eu quero 
t = prazo que eu tenho 
 
Agora, vamos fazer algumas atividades para aplicar a fórmula apresentada e 
facilitar o entendimento e a fixação dos conceitos apresentados. 
 
Atividades 
Atividade 2 – Atinge o objetivo 3. 
1) Calcule a taxa de juros trimestral equivalente à taxa de juros mensal de 5,5%. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta comentada: 
Podemos encontrar a taxa de juros trimestral a partir da aplicação da fórmula: 
iq= (1 + it) q/t – 1. Segundo os dados do problema sabemos que a i que eu quero é a 
trimestral e a que eu tenho é a mensal. Sendo assim, q = 3 e t = 1. E it = 5,5% a. m. 
iq = (1 + 0,055)3/1 - 1 
iq = (1,055)3 -1 
iq = 1,1742 – 1 
iq = 0,1742 
iq = 17,42% a. t. 
 
A taxa de juros trimestral equivalente a taxa de juros de 5,5% a.m. é de 17,42%. 
Caso queira conferir seu resultado, aplique esses dois valores de taxas de juros sobre 
um valor principal de $1.000,00, por exemplo, e veja se obtém resultados iguais para o 
montante. 
 
2) Calcule a taxa de juros diária equivalente à taxa de juros bimestral de 12,3%. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta comentada: 
Podemos encontrar a taxa de juros trimestral a partir da aplicação da fórmula: 
iq= (1 + it) q/t – 1. Segundo os dados do problema sabemos que a i que eu quero é a 
diária e a que eu tenho é a bimestral. Sendo assim, q = 1 e t = 60. E it = 12,3% a. b. 
iq = (1 + 0,123)1/60 - 1 
iq = (1,123) 1/60 -1 
iq = 1,0019 – 1 
iq = 0,0019 
iq = 0,19 % a. d. 
 
A taxa de juros diária equivalente a taxa de juros bimestral de 12,3% é de 17,42%. 
Caso queira conferir seu resultado, aplique esses dois valores de taxas de juros sobre 
um valor principal de $1.000,00, por exemplo, e veja se obtém resultados iguais para o 
montante. 
 
3) Calcule a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros semestral de 7,85%. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta comentada: 
Podemos encontrar a taxa de juros anual a partir da aplicação da fórmula: 
iq= (1 + it) q/t – 1. Segundo os dados do problema sabemos que a i que eu quero é a 
anual e a que eu tenho é a semestral.Sendo assim, q = 2 e t = 1. E it = 7,85% a. s. 
iq = (1 + 0,0785)2/1 - 1 
iq = (1,0785) 2 -1 
iq = 1,1632 – 1 
iq = 0,1632 
iq = 16,32 % a.a. 
 
A taxa de juros anual equivalente a taxa de juros semestral de 7,85% é de 16,32%. 
Caso queira conferir seu resultado, aplique esses dois valores de taxas de juros sobre 
um valor principal de $1.000,00, por exemplo, e veja se obtém resultados iguais para o 
montante. 
 
4) Calcule a taxa de juros mensal equivalente à taxa de juros anual de 38,5%. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta comentada: 
Podemos encontrar a taxa de juros mensal a partir da aplicação da fórmula: 
iq= (1 + it) q/t – 1. Segundo os dados do problema sabemos que a i que eu quero é a 
mensal e a que eu tenho é a anual. Sendo assim, q = 1 e t = 12. E it = 38,5% a. a. 
iq = (1 + 0,385)1/12 - 1 
iq = (1,385) 1/12 -1 
iq = 1,0275 – 1 
iq = 0,0275 
iq = 2,75 % a. m. 
 
A taxa de juros diária equivalente a taxa de juros bimestral de 12,3% é de 17,42%. 
Caso queira conferir seu resultado, aplique esses dois valores de taxas de juros sobre 
um valor principal de $1.000,00, por exemplo, e veja se obtém resultados iguais para o 
montante. 
 
 Você pode utilizar uma ferramenta disponibilizada pelo Banco Central do Brasil 
para facilitar seus cálculos. Trata-se da Calculadora do Cidadão. Acompanhe no 
próximo Box. 
 
Boxe 3.2 
O Banco Central do Brasil disponibiliza, através de seu site, uma calculadora que 
permite o cálculo de valor principal, valor futuro, taxa de juros e prazos de operações 
financeiras diversas que tomem como base os juros compostos. Trata-se da 
calculadora do cidadão. Você pode acessar o link 
https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/calcularValorFuturoCapital.do e 
utilizar a calculadora para fazer cálculos que envolvam juros compostos, como os 
apresentados na aula anterior e nesta aula também. Você vai ver que os cálculos 
realizados na calculadora permitem que se chegue aos mesmos resultados que vocês 
chegaram a partir dos cálculos feitos a partir das fórmulas apresentadas. Vai ser bom 
para você conferir seus resultados e explorar o material disponibilizado pelo Banco 
Central do Brasil. 
 
 
Conclusão 
 Prezado aluno, conhecemos hoje o conceito de equivalência de taxas de juros, 
que vem a ser um conceito complementar aos demais já apresentados na disciplina. 
Ele nos mostra que, as taxas de juros que efetivamente incidem sobre as operações de 
crédito podem diferir daquelas apresentadas aos consumidores. 
 
Resumo 
 
Duas taxas de juros são consideradas equivalentes quando, aplicadas a um 
mesmo valor principal em um mesmo período de tempo, geram o mesmo montante. 
Sabemos que os cálculos para operações com taxas de juros simples diferem daqueles 
para operações com taxas de juros compostos. O cálculo da equivalência das taxas 
também difere em ambos os casos. 
Como vimos na aula anterior, as taxas de juros simples incidem sempre sobre o 
valor principal (ou valor atual ou valor presente) da operação. Portanto, se queremos 
encontrar, por exemplo, uma taxa de juros anual equivalente a uma taxa de juros 
mensal, devemos multiplicar a taxa mensal por 12, pois a cada mês o valor do juro será 
sempre igual ao valor da taxa de juros multiplicado pelo valor principal. 
No caso dos juros compostos podemos, através da fórmula S = P (1+i)n, resolver 
problemas que envolvam taxas de juros com periodicidade diferentes dos prazos das 
operações financeiras. O autor Sobrinho (2000) apresenta uma fórmula que ajuda, de 
maneira simplificada, a fazer cálculos que envolvam a taxa de juros equivalentes. 
 
iq= (1 + it) q/t – 1 
onde: 
iq = taxa de juros para o prazo que eu quero 
it = taxa de juros para o prazo que eu tenho 
q = prazo que eu quero 
t = prazo que eu tenho 
 
Espero que você tenha entendido os conceitos apresentados nessas três primeiras 
aulas da disciplina, pois eles serão fundamentais para o entendimento das próximas 
aulas. Fechamos aqui uma primeira parte de conceitos que embasarão nossos 
próximos passos! Bom estudo e sucesso! 
 
 
 
3. Referências Bibliográficas: 
Sobrinho, J. D. V. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2000.