Séries de Pagamentos Variáveis

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CEDERJ – CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Curso: Engenharia da Produção Disciplina: Engenharia Econômica 
 
Aula 6 – Séries de Pagamentos Variáveis – Pagamentos Antecipados e 
Postecipados – Aplicação das fórmulas 
 
 
Meta 
 
Aplicar e consolidar os conceitos de séries de pagamentos iguais ou variáveis 
para pagamentos antecipados e postecipados. 
 
Objetivos 
1. Fixar conceitos que envolvam séries de pagamentos 
2. Representar graficamente um fluxo de caixa contendo tais operações 
3. Resolver problemas que envolvam série de pagamentos iguais ou 
variáveis 
 
Pré-requisitos: Antes de começar essa aula separe calculadora científica, 
régua, lápis e borracha, pois esse material será útil não só nesta, mas em 
todas as aulas dessa disciplina. 
 
 
1. Introdução 
 
Prezados alunos, com a aula de hoje concluiremos uma parte importante 
da disciplina, que é a que nos dará base para trabalharmos com as 
ferramentas da Engenharia Econômica. É fundamental que vocês tenham 
entendido e exercitado os conceitos trabalhados até aqui pois, como podem 
perceber, o entendimento de cada aula depende do aprendizado obtido nas 
aulas anteriores. E isso vai ser assim até a última aula da disciplina. 
Nesta aula serão apresentadas situações em que precisamos aplicar os 
conceitos de séries de pagamentosmais complexas que as vistas 
anteriormente, sejam pagamentos antecipados ou postecipados. Serão 
incluídas também situações em que deveremos calcular taxas de juros 
equivalentes para concluirmos a resolução do problema. 
Vamos trabalhar com as fórmulas já apresentadas em aulas anteriores. 
Para resolver os problemas vocês deverão entender o que se pede e, se 
tiverem exercitado bem as fórmulas e entendido os conceitos, conseguirão 
enxergar a melhor maneira de resolvê-los. Vamos lá! 
2. Problemas 
2.1 Fórmulas 
Para começarmos vamos relembrar as fórmulas aplicadas para a obtenção 
do valor presente, montante e parcelas quando os pagamentos são iguais e 
postecipados (aula 4). 
S = montante 
R = parcela ou prestação 
P = valor presente 
 
Encontrar: Fórmula Tabelado 
S dado R S = R x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
𝒊
 S = R x FAC(i%,n) 
R dado S R = S x 
𝒊
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
 R = S x FFC (i%,n) 
P dado R P = R x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏 𝒙 𝒊
, P = R x FVA (i%,n) 
R dado P R = P x 
(𝟏+𝒊)𝒏 𝒙 𝒊
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
 R = P x FRC (i%,n) 
 
Relembrando as fórmulas aplicadas para pagamentos iguais e antecipados 
(aula 5): 
 
 
Encontrar: Fórmula Tabelado 
S dado R S = R x (1+i) x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
𝒊
 S = R x (1+i) x FAC(i%,n) 
R dado S R = S x [1/ (1+i)] x 
𝒊
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
, R = S x [1/ (1+i)] x FFC (i%,n) 
P dado R P = R x (1 + i) x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏 𝒙 𝒊
 P = R x (1 + i) x FVA (i%, n) 
R dado P R = P X [1/(1+i)] x 
(𝟏+𝒊)𝒏 𝒙 𝒊
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
, R = P X [1/(1+i)] x FRC (i%, n) 
 
Relembrando as fórmulas para o cálculo de montante e valor presente no caso 
de pagamento único (aula 2). 
S = P(1+ i)n 
P = S x 1/ (1+i)n 
Relembrando a fórmula usada para calcularmos a equivalência da taxa de juros 
(aula 3): 
iq= (1 + it) q/t – 1 
onde: 
iq = taxa de juros para o prazo que eu quero 
it = taxa de juros para o prazo que eu tenho 
q = prazo que eu quero 
t = prazo que eu tenho 
 
 
 
 
 
 
 
Não se esqueçam que podemos consultas as tabelas 
financeiras para facilitar nossos cálculos!!! 
 
Vamos pensar um pouco? 
Antes de apresentar os casos, vamos pensar qual é a função do crédito na 
sociedade? Falamos muito do crédito como meio para adiantarmos nosso 
consumo e de nossa família, para quitar dívidas, ... mas o crédito tem um papel 
fundamental na manutenção da capacidade produtiva da economia, pois 
financia investimentos das empresas que produzem, geram demanda para 
outros setores e empregos ocupados pelos cidadãos. Pode ser direcionado 
para criar capacidade produtiva ou para modernizar a existente, permitindo a 
otimização dos processos produtivos que se tornam “ecológicos”, por 
reduzirem a utilização de matéria-prima e a emissão de poluentes. E isso é 
apenas uma parte do que o crédito pode realizar. E você, consegue visualizar 
em que o crédito pode contribuir para o crescimento econômico e o 
desenvolvimento de uma sociedade? Pense nisso! 
2.2 Alguns casos 
Nesta seção serão apresentados exemplos que envolvem séries de 
pagamentos iguais ou distintos, consecutivos ou não consecutivos, mas que, 
com as fórmulas que aprendemos e o entendimento do fluxo de caixa da 
operação conseguiremos fazer os cálculos necessários: 
2.2.1 Calcule qual o montante, ao final de 5 meses, de uma série de 5 
pagamentos mensais, consecutivos e postecipados, dos seguintes valores: 
$520,00; $480,00; $320,00; $620,00; $790,00. Considere a taxa de juros 
mensal de 3%. 
Resposta: 
Primeiramente vamos elaborar o fluxo de caixa para o problema. 
 
Agora que entendemos o que se pede, vamos aos cálculos. 
Esse problema apresenta 5 pagamentos variáveis e, portanto, deveremos 
aplicar a fórmula para pagamento único para cada pagamento da série e 
depois somarmos todos os 5 montantes calculados (St = S1 + S2 + S3 + S4 + S5): 
S = P(1+ i)n 
S1 = 520,00 (1,03)5 
S1 = 520,00 (1,1593) 
S1 = 602,82 
S2 = 480,00 (1,03)4 
S2 = 480,00 (1,1255)4 
S2 = 540,24 
S3 = 320,00 (1,03)3 
S3 = 320,00 (1,0928) 
S3 = 349,67 
S4 = 620,00 (1,03)2 
S4 = 620,00 (1,0609) 
S4 = 657,76 
S5 = 790,00 (1,03)1 
S5 = 790,00 (1,03) 
S5 = 813,70 
St = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 
St = 602,82 + 540,24 + 348,80 + 657,76 + 813,70 = 2.964,19. 
O montante calculado para a série de pagamentos apresentada é de $ 
2.964,19. 
 
2.2.2 Qual será, ao final de 18 meses, o montante de uma operação que 
consiste no depósito de 6 parcelas bimestrais, iguais e antecipadas de 
2.000,00. Considere a taxa de juros bimestral de 3,5%. 
Resposta Comentada: 
Para entender o que o problema pede vamos elaborar o fluxo de caixa. 
 
 
A partir do fluxo de caixa podemos entender que os depósitos bimestrais 
ocorrerão do mês zero ao mês 5, totalizando 6 depósitos. Depois disso, não 
temos mais depósitos, mas sobre o valor já depositado ainda incide juros. 
Para resolver o problema teremos que calcular dois montantes. Um que 
seria o S1, serviria para encontrarmos o resultado das aplicações até o mês 6 
para pagamentos antecipados, como temos feito até aqui. 
Mas o que há de novo nesse problema? 
É que nos problemas anteriores o prazo terminava ao final dos 
depósitos, o que não ocorre nesse problema, já que são 6 depósitos 
bimestrais, mas a operação se encerra em 9 bimestres. Sendo assim, o 
dinheiro continua rendendo até o 9º bimestre. 
S1= R x (1+i) x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
𝒊
 e S2 = S1 x (1+i)n 
 
S1= R x (1+i) x 
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
 
S1 = 2.000 x 1,035 x 6,55 
S1 = 13.558,81 
 
S2 = S1 x (1+i)n 
S2 = 13.558,81x 1,1087 
S2 = 15.032,90 
 O montante da operação é de $ 15.032,90. 
 Como podemos observar, a resolução do problema envolveu o 
conhecimento que já tínhamos, só precisamos entender de que maneira os 
utilizar diante dessa situação. Esse problema mostra a importância de se 
entender e registrar o fluxo de caixa das operações. 
2.2.3 Calcule um montante de uma série de 8 pagamentos mensais e 
consecutivos, sendo os 5 primeiros iguais a 1.000,00 e os 3 últimos iguais a 
1.200,00. Considere a taxa de juros de 2% ao mês. Considere pagamentos 
antecipados. 
Podemos resolver de algumas formas, entre elas: 
a) Considerar o montante como o somatório do montante de 5 
aplicações de R$1.000 (S1)+ o montante de S1 até o último mês da 
operação (como no exemplo anterior) + o montante das aplicações de 
R$1.200,00. Ou 
b) Considerar uma série de pagamentos iguais R = 1.000,00 com 8 
parcelas e uma série com 3 pagamentos iguais de 200,00. Seriam 
dois montantes, um para cada série. O resultado seria a soma dos 
dois. 
Vamos optar pela segunda alternativa: 
 
Primeiramente vamos elaborar o fluxo de caixa para o problema. 
 
Como optamos pela alternativa b, devemos calcular o S1: 
R = 1.000,00 
n = 8 
i = 2% a.m. 
 
S1= R x (1+i) x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
𝒊
 
S1 = 1.000 x 1,02 x 8,58297 
S1 = 8.754,63 
 
Para calcular S2: 
R = 200,00 
i = 2% a.m. 
n = 4 
 
S2 = 200,00 x 1,02 x 4,1216 
S2 = 840,80 
 
St = S1 + S2 = 8.754,63 + 840,80 
S = 9.595,44 
2.2.4 Calcule o valor principal de uma série de 10 pagamentos 
bimestrais alternados, dispostos da seguinte forma: meses 1,3,5,7 e 9 
pagamentos de 1.000,00; meses 2,4,6,8 e 10 pagamentos de 3.000,00. 
Considere uma taxa mensal de juros de 2%. 
Primeiramente, vamos fazer o fluxo de caixa do problema. 
 
 
 
 A partir do fluxo de caixa podemos entender o problema. Podemos 
dividir a série em duas: 
a) Uma série de pagamentos mensais de 1.000,00, do mês 1 ao mês 10. 
b) Uma série bimestral de 2.000,00 nos meses pares: 2,4,6,8,10. 
 
P=? 
i = 2% a.m. 
R = 1.000,00 
A primeira série (a) deve ser calculada considerando-se taxa de juros mensal e 
n=10 meses. 
Sendo: 
P1 = R x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏 𝒙 𝒊
, 
P1 = 1.000,00 x 
(𝟏+𝟎,𝟎𝟐)𝟏𝟎 −𝟏
(𝟏+𝟎,𝟎𝟐)𝟏𝟎 𝒙 𝟎,𝟎𝟐
 
P1 = 1.000,00 x 0,219/0,0244 
P1 = 8.975,41 
Para calcularmos o valor principal da segunda série de pagamentos (b), vamos 
aos dados: 
R = 2.000,00 
i = 2% a.m. 
P= ? 
A taxa de juros dada pelo problema é mensal e a série para a qual devemos 
calcular o valor principal é bimestral. Precisamos, então, calcular a taxa de 
juros bimestral equivalente à taxa mensal de 2%. Para isso, devemos aplicar a 
fórmula: 
iq= (1 + it) q/t – 1 
onde: 
it = 2% 
q = 2 
t = 1 
 
ib= (1 + 0,02) 2/1 – 1 
ib = 0,04 
 
Agora que temos a taxa de juros bimestral, podemos calcular P. 
P2 = R x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏 𝒙 𝒊
 
P2 = R x 
(𝟏+𝟎,𝟎𝟒)𝟓 −𝟏
(𝟏+𝟎,𝟎𝟒)𝟓𝒙 𝟎,𝟎𝟒
 
P2 = 2.000,00 x 0,2167/0,0487 
P2 = 8.899,38 
Somando-se o valor principal da série (a) com o valor principal da série (b), 
temos o valor principal do problema apresentado. 
 
Pt = P1 + P2 
Pt = 8.975,41 + 8.899,38 
Pt = 17.874,79 
 
O valor principal da série de pagamentos apresentada é de $ 17.874,79. 
 Agora que já vimos alguns casos, vamos fazer algumas atividades para 
exercitar. 
Início Atividade 
Atividade 1 – Atende os objetivos 1,2 e 3. 
1.1 Um empréstimo será pago em 12 parcelas mensais, consecutivas e 
postecipadas. As seis primeiras parcelas no valor de $300,00 e as 
seis últimas parcelas no valor de $ 450,00. Elabore o fluxo de caixa 
para o problema e calcule o montante da operação para uma taxa de 
juros de 3,5% a.m. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta Comentada: 
 
Fluxo de caixa para o problema: 
 
 
 
 
Depois de calculado o fluxo de caixa, conseguimos visualizar melhor o 
problema apresentado. Podemos dividir a série de pagamentos em duas 
séries: a) uma série de pagamentos iguais, mensal e consecutivos de 
$300,00, pelos 12 meses; b) uma série de 6 pagamentos iguais, 
mensais e consecutivos de $150,00, iniciados no mês 7. 
Para encontrarmos o montante da operação devemos calcular os 
montantes para cada uma das séries. 
a) Sendo 
i = 3,5% 
R = $300,00 
n = 12 
S1 = R x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
𝒊
 
S1 = 300,00 x 
(𝟏+𝟎,𝟎𝟑𝟓)𝟏𝟐 −𝟏
𝟎,𝟎𝟑𝟓
 
S1 = 300,00 x 14,612 
S1 = 4.380,59 
b) Sendo: 
i = 3,5% 
R = 150,00 
n = 6 (a partir do mês 7) 
S2 = R x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
𝒊
 
S2 = 150,00 x 
(𝟏+𝟎,𝟎𝟑𝟓)𝟔 −𝟏
𝟎,𝟎𝟑𝟓
 
S2= 150,00 X 6,55 
S2 = 982,52 
ST = S1 + S2 
ST = 4.380,59 + 982,52 
ST = 
O montante da operação é de $ 5.363,11. 
 
1.2 Joana fez um empréstimo nas seguintes condições: o pagamento 
deverá ser feito em 6 prestações iguais, mensais e consecutivas de $890,00 
sendo a primeira paga 120 dias após a realização do empréstimo; a taxa de 
juros incidente na operação é de 4,0%. Elabore o fluxo de caixa para o 
problema e calcule de quanto foi o empréstimo tomado por Joana. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta Comentada: 
Fluxo de caixa para o problema. 
 
 
 
 
O fluxo de caixa nos mostra que as parcelas começarão a ser pagas a 
partir do mês 4, sendo pagas até o mês 9. O que se pede no problema é que 
se calcule o valor principal, que será o valor tomado por Joana na operação. 
Primeiro vamos calcular o valor principal para as prestações pagas. 
P= ? 
i = 4% a.m. 
n = 6 
 
P = 890,00 x 
(𝟏+𝟎,𝟎𝟒)𝟔 −𝟏
(𝟏+𝟎,𝟎𝟒)𝟔 𝒙 𝟎,𝟎𝟒
 
P = 890,00 x 5,2434 
P = 4.666,62 
O valor principal no momento (0) do nosso fluxo de caixa (mês 3) é de 
$4.666,62. Agora precisamos calcular o valor presente para o momento zero da 
operação, o que poderá ser feito a partir da aplicação da fórmula para o cálculo 
para pagamento único: P = S x 1/ (1+i)n . 
Onde: S = valor principal no mês 3 = 4.666,62 
 i = 4% a.m. 
 n= 3 
P = 4.666,62 x 1/ (1+0,04)3 
P = 4.666,62 x 0,889 
P = 4.148,62 
O valor do empréstimo tomado por Joana foi de $4.148,62. 
1.3 Calcule o montante para a seguinte operação: 
• 9 depósitos iguais, bimestrais, consecutivos e postecipados no 
valor de 700,00. 
• Resgate 3 bimestres após o último depósito. 
• Taxa de juros: 3,5% a.m. 
Resposta: 
 
 
Resposta Comentada: 
Fluxo de caixa para a operação: 
 
 
 Ao observarmos o fluxo de caixa percebemos que devemos calcular o 
montante da operação até o mês 9 (S1), aplicando a fórmula para cálculo de 
montante de séries de pagamentos iguais e postecipados. Esse montante 
ainda ficará aplicado até o mês 12 sendo, portanto, o valor presente de uma 
série de pagamento único para a qual deveremos calcular o montante (S2). 
 Antes dos cálculos, devemos observar a taxa de juros, que no problema 
é dada ao mês. Como na operação os depósitos são bimestrais, devemos 
primeiramente calcular a taxa de juros bimestral equivalente à 3,5% a.m. 
iq= (1 + it) q/t – 1 
onde: 
it = 3,5% 
q = 2 
t = 1 
 
ib= (1 + 0,035) 2/1 – 1 
ib= 0,0712 ou 7,12% 
 
Agora, podemos calcular o S1. 
 
S1= R x 
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
𝒊
 
S1= 700,00 x 
(𝟏+𝟎,𝟎𝟕𝟏𝟐)𝟗 −𝟏
𝟎,𝟎𝟕𝟏𝟐
 
S1= 700,00 x 12,0379 
S1 = 8.426,54 
O montante da série de pagamentos iguais de $700,00 é de $ 8.426,54. Esse 
valor será o valor principal da série em que calcularemos o S2. 
S2 = P(1+ i)n 
S2 = 8.426,54 (1+0,0712)3 
S2 = 8.426,54 (1,2292) 
S2 = 10.357,64 
Fim das atividades 
Início Box 
Box 6.1 – Cuidado com as dívidas!!!! 
Já falamos muito sobre juros e sabemos que em muitos casos as pessoas 
precisam pagá-los para tomar empréstimos para quitar dívidas. Já vimos 
também que, dependendo das taxas de juros o custo de se utilizar recursos de 
terceiros é muito elevado. Vamos dar uma olhada em algumas origens das 
dívidas apresentadas pelo Banco Central do Brasil. Vale a pena ficarmos 
atentos para evitarmos o endividamento e a tomada de empréstimos que 
poderão tornar nosso orçamento doméstico deficitário. 
Origem das dívidas: 
 
 
Fonte: Banco Central do Brasil. Caderno Educação Financeira. Gestão de 
FinançasPessoais. Disponível em 
http://www.bcb.gov.br/pre/pef/port/caderno_cidadania_financeira.pdf 
Fim do Box 
3. Conclusão 
Nesta aula descobrimos que, a partir da aplicação das fórmulas que já 
foram apresentadas, conseguimos trabalhar com diversas séries de 
pagamentos, basta apenas entender aquilo que se pede nos problemas. 
Bom estudo! Não deixe acumular conteúdo ou dúvidas para a próxima 
aula!