APRESENTACAO DA AULA 6

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Aula 6: Prática de representação da reta 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 6: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Conteúdo desta aula 
EQUAÇÃO VETORIAL 
 DA RETA 
1 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
DA RETA 
2 
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS 
DA RETA 
3 
EQUAÇÕES REDUZIDAS 
DA RETA 
4 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 6: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
Em forma de coordenadas temos o vetor 𝐴𝑃 = 𝑡𝑣 
 
 
Resumo – EQUAÇÕES EM R3 
t = (x – x1)/a 
t = (y – y1)/b 
t = (z – z1)/c 
(x – x1) = (y – y1) = (z – z1) 
 a b c 
Eqs. Simétricas 
(x – x1, y – y1, z –z1) = (ta , tb, tc) 
Equivalente ao sistema de equações paramétricas 
x = x1 + ta 
y = y1 + tb 
z = z1 + tc 
 
, onde m = 
𝒃
𝒂
 e n= 𝒃
𝒂
𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 , todos conhecidos. 
, onde p= 
𝒄
𝒂
 e q= 𝒄
𝒂
𝒙𝟏 + 𝒛𝟏 , todos conhecidos. 
Y=mx+n 
Z=px+q 
Eqs. reduzidas em x 
 Eq. Vetorial 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 6: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
 
O que significa uma reta paralela ao eixo x? 
 
 
 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados. 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 6: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
O que significa uma reta paralela ao eixo x? 
Significa que: 
• y e z possuem valores constantes (cy e cz) 
• a reta é paralela a 𝑖 = (1, 0, 0) 
• todos os pontos da reta serão do tipo (x, cy, cz) 
 
 
 
 
x 
y 
z 
o 
i 
cy 
cz 
 
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑐𝑦
𝑧 = 𝑐𝑧
 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados. 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 6: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
 
O que significa uma reta paralela ao eixo y? 
 
 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados. 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 6: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
O que significa uma reta paralela ao eixo y? 
Significa que: 
• x e z possuem valores constantes (cx e cz) 
• a reta é paralela a 𝑗 = (0, 1, 0) 
• todos os pontos da reta serão do tipo (cx, y, cz) 
 
 
 
 
x 
y 
z 
o j 
cx 
cz 
 
𝑥 = 𝑐𝑥
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 𝑐𝑧
 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados. 
 
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AULA 6: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
 
O que significa uma reta paralela ao eixo z? 
 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados. 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 6: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados 
 
O que significa uma reta paralela ao eixo z? 
Significa que: 
• x e y possuem valores constantes (cx e cy) 
• a reta é paralela a 𝑘 = (0, 0, 1) 
• todos os pontos da reta serão do tipo (cx, cy, z) 
x 
y 
z 
o 
k 
cy 
cx 
𝑥 = 𝑐𝑥
𝑦 = 𝑐𝑦
𝑧 = 𝑡
 
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Formas de representação da reta 
Para facilitar o raciocínio, vamos imaginar um triângulo ABC e a 
mediana relativa ao lado BC, criando o ponto M. 
 
Como o objetivo do exercício é montar a eq. Da reta que passa por 
A e M, podemos começar descobrindo as coordenadas de M. 
 
Como a mediana divide o lado BC ao meio, M é o ponto médio 
entre B e C, ou seja, 
 
M = ((2,-1,-6) + (-4, 5, 2))/2 = (-2, 4, -4)/2 = (-1, 2, -2) 
 
B A 
C 
M 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
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Formas de representação da reta 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-1,2,-2) 
 
1) Eqs. Vetorial 
precisamos de um ponto da reta e de um vetor. 
o ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) 
o vetor pode ser 𝐴𝑀 ou 𝑀𝐴. Escolhido 𝐴𝑀. 
 𝐴𝑀 = M-A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0) 
P = A + t v 
 
 (x, y, z) = (1, 0, -2) + t (-2, -2, 0) 
B A 
C 
M 
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Formas de representação da reta 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
B A 
C 
M 
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-1,2,-2) 
 
2) Eqs. Paramétricas 
precisamos de um ponto da reta e de um vetor. 
o ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) 
o vetor pode ser 𝐴𝑀 ou 𝑀𝐴. Escolhido 𝐴𝑀. 
 𝐴𝑀 = M-A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0) 
x = 1-2t 
y = 2t 
z = -2 
 
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Formas de representação da reta 
𝑥 − 1
−2
= 
𝑦 − 0
2
 
B A 
C 
M 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-1,2,-2) 
 
3) Eqs. Reduzidas em x 
precisamos de um ponto da reta e de um vetor. 
o ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) 
o vetor pode ser 𝐴𝑀 ou 𝑀𝐴. Escolhido 𝐴𝑀. 
 𝐴𝑀 = M-A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0) 
com z constante = -2, pois c=0 
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Formas de representação da reta 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-1,2,-2) 
 
3) Eqs. Reduzidas em x 
precisamos de um ponto da reta e de um vetor. 
o ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) 
o vetor pode ser 𝐴𝑀 ou 𝑀𝐴. Escolhido 𝐴𝑀. 
 𝐴𝑀 = M-A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0) 
m = 2/-2 = -1 
n = (2/-2) . 1 + 0 = -1 
y = -x – 1 
P = 0/-2 = 0 
q = (0/-2) . 1 -2 = -2 
z = -2 
B A 
C 
M 
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Formas de representação da reta 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
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Formas de representação da reta 
Para especificarmos a reta r3, precisaremos de um ponto da reta e de um vetor que estabelece a sua direção. 
 
Analisando o problema, o ponto de r3 será a interseção de r1 com r2 e o vetor será obtido pelos pontos A e B, 
já que r3 é paralela à reta que passa por A e B. 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
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Formas de representação da reta 
O ponto de interseção de duas retas é o único ponto que pertence ao mesmo tempo a r1 e a r2, ou 
sela precisamos conhecer o ponto que atenda às duas equações (r1 e r2). 
 
Então precisamos substituir os valores de uma na outra e acharmos o ponto que atenda às 2 
equações. 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
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Formas de representação da reta 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
Substituindo r2 em r1: 
(6 + 3𝑡) − 5
3
= 
(1 − 2𝑡) + 1
2
= 
−𝑡 + 1
1
 
(3𝑡 + 1)
3
= 
(2 − 2𝑡)
2
= 
−𝑡 + 1
1
 
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Formas de representação da reta 
(6 + 3𝑡) − 5
3
= 
(1 − 2𝑡) + 1
2
= 
−𝑡 + 1
1
 Substituindo r2 em r1: 
3𝑡 + 1
3
= 
2 − 2𝑡
2
= 
−𝑡 + 1
1
 
Se existir um valor de t que atenda, encontramos o ponto de interseção. 
Do contrário as retas são paralelas e não existe interseção. 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
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Formas de representação da reta 
Vamos analisar a 1ª igualdade: 
3𝑡 + 1
3
= 
2 − 2𝑡
2
 
6t+2 = 6 – 6t 
12t = 4 
t = 1/3 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
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Formas de representação da reta 
Vamos verificar o ponto de interseção aplicando t=1/3 em r2: 
𝑥 = 6 + 3/3 
𝑦 = 1 - 2/3 
𝑧 = 1/3 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
𝑥 = 7 
𝑦 = 1/3 
𝑧 = 1/3 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
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Formas de representação da reta 
Vamos verificar o ponto de interseção aplicando t=1/3 em r2: 
Agora vamos verificar se o ponto encontrado também pertence a r1: 
7 − 5
3
= 
1/3 + 1
2
= 
−1/3 + 1
1
 
2
3
= 
4/3
2
= 
2/3
1
 
2
3
= 
2
3
= 
2
3
 ok! 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
𝑥 = 6 + 3/3 
𝑦 = 1 - 2/3 
𝑧 = 1/3 
𝑥 = 7 
𝑦 = 1/3 
𝑧 = 1/3 
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Formas de representação da reta 
Agora vamos especificar a direção de r3, que é definida pelo vetor 𝐴𝐵 = B-A = (1,4,5)-(0,1,2) 
 
𝑨𝑩= (1, 3, 3) 
C(7, 1/3, 1/3) 𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
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Formas de representação da reta 
Agora só resta escrever as equações simétricas da reta r3: 
 
C(7, 1/3, 1/3) 
 
𝐴𝐵= (1, 3, 3) 
𝑟1:
𝑥 − 5
3
=
𝑦 + 1
2
=
−𝑧 + 1
1
 𝑟2 
 𝑥 = 6 = 3𝑡 
 𝑦 = 1 − 2𝑡
 𝑧 = 𝑡
 
𝑥 − 𝑥1
𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑏
=
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
𝑥 − 7
1
=
𝑦 − 1/3
3
=
𝑧 − 1/3
3
 
𝑥 − 7
1
=
3𝑦 − 1
9
=
3𝑧 − 1
9
 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas a seguir. 
 
 
Assuntos da próxima aula: 
1. Representação do plano.