RETAS NO ESPAÇO

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GEOMETRIA
Cristiane da Silva
Introdução ao estudo 
da reta no espaço
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir a reta no espaço R3.
 � Descrever as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida da 
reta no espaço R3.
 � Determinar a equação da reta a partir de dois pontos dados.
Introdução
Neste texto, você vai aprender como definir a reta, além de reconhecer 
as diversas formas de equações da reta no espaço R3.
Definindo a reta no espaço R3
Antes de definir a reta no espaço R3, precisamos recordar alguns pontos, 
como o conceito de vetor e sua representação. Conforme Steinbruch e Win-
terle (2006), uma reta é orientada quando se fixa nela um sentido, que pode 
ser positivo ou negativo. Essa reta é denominada eixo. Já um seguimento 
orientado é caracterizado por dois pontos, sendo um a origem, e o outro, 
a extremidade.
Na Figura 1, I e II representam uma reta orientada positiva e negativa, 
respectivamente; III demonstra um seguimento orientado.
Figura 1. (I) Reta orientada positiva, (II) reta orientada negativa e (III) segmento orientado.
Para definir grandezas vetoriais, é necessário conhecer seu módulo, que 
é um número com sua unidade correspondente, como também sua direção 
e sentido. Winterle (2014) traz um exemplo prático e detalhado de grandeza 
vetorial que dá a noção de vetor:
Considere um avião com velocidade constante de 400 km/h que se desloca 
para o nordeste sob um ângulo de 40º (a saber: na navegação aérea, as direções 
são dadas pelo ângulo, considerando a partir do Norte em sentido horário). 
A grandeza velocidade está representada por um segmento orientado (uma 
seta), e seu módulo é dado pelo comprimento do segmento (neste caso, 4 cm, 
e cada 1 cm corresponde a 100km/h), com a direção e o sentido definidos pelo 
ângulo de 40º. O sentido está indicado por uma seta na extremidade superior 
do segmento, como mostra a Figura 2.
Figura 2. Entendendo a noção de grandeza vetorial.
Fonte: Winterle (2014).
Introdução ao estudo da reta no espaço26
Se pensarmos em um ângulo de 220º (40º + 180º), por exemplo, a direção 
continuaria a mesma, mas o sentido seria oposto. Portanto, um vetor é repre-
sentado por um segmento orientado. Na Figura 3, temos a representação de 
um vetor:
Figura 3. Vetor determinado pelo segmento orientado AB.
Fonte: Winterle (2014).
Na Figura 3, tem-se , ou seja, o vetor é determinado pelo seg-
mento orientado AB. Cabe destacar que qualquer outro segmento de mesmo 
comprimento, direção e sentido de AB representa o mesmo vetor , portanto 
cada ponto do espaço pode ser considerado origem de um segmento orientado 
(WINTERLE, 2014).
Cabe destacar que, em alguns livros, você poderá encontrar uma notação 
um pouco diferente para representar o vetor, a saber: , ou seja, o 
v aparecerá em negrito para representar o vetor.
Agora, pense em um vetor no espaço: como poderíamos representá-lo?
No espaço, qualquer conjunto de três vetores é uma base canônica que pode 
ser expressa por e que representa o sistema cartesiano ortogonal. Na 
Figura 4, temos Oxyz, em que o ponto O é a origem; Ox representa o eixo 
das abscissas; Oy, o eixo das ordenadas; e Oz, o chamado eixo das cotas. Os 
vetores estão associados a cada eixo, respectivamente indicando cada 
um dos planos coordenados, e as setas da figura indicam o sentido de cada 
eixo, chamado de eixo coordenado (WINTERLE, 2014).
27Introdução ao estudo da reta no espaço
Figura 4. Vetores no espaço.
Fonte: Winterle (2014).
Para ficar mais claro, você pode acompanhar o exemplo de um ponto e de um vetor 
no espaço na Figura 5. 
Figura 5. Ponto e vetor no espaço.
Fonte: Winterle (2014).
Introdução ao estudo da reta no espaço28
Note que a Figura 5 (a) apresenta um ponto P (x, y, z) no espaço, e a 
Figura 5 (b), o vetor , que é a diagonal do paralelepípedo. Aqui podemos 
entender melhor a representação da reta no espaço, supondo que ela passe por 
um ponto que tenha direção do vetor .
Equações da reta no espaço R3
A reta possui algumas formas de representação. A seguir, você irá estudar 
as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida da reta no espaço R3.
Equação vetorial
Seja r uma reta que passa pelo ponto A (x, y, z) e um vetor não nulo . 
Existe apenas uma reta r que passa por A e que possui direção do vetor . 
Além disso, um ponto P (x, y, z) pertence a reta r se, e somente se, o vetor 
é paralelo a . Assim, podemos escrever para algum número real t. 
Veja algumas possíveis representações:
As equações 1, 2 e 3 são denominadas: equação vetorial de r. O vetor 
diretor da reta r é , e t é o parâmetro. Veja a representação gráfica dessa 
equação vetorial. Para isso, acompanhe a figura a seguir:
29Introdução ao estudo da reta no espaço
Figura 6. Representação da reta no espaço.
Fonte: Winterle (2014).
Para você ver um exemplo de solução de problema envolvendo a equação vetorial 
da reta, acompanhe a seguinte situação:
Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A (1, –1, 4) e tem a 
direção do vetor . Sendo P (x, y, z) um ponto genérico da reta, tem-se 
, ou seja, . Quando t varia de , P 
descreve a reta r. Se, por exemplo, , teremos:
Portanto, é um ponto da reta r. Cabe destacar que, a cada ponto, 
corresponde a um número real t.
Equação paramétrica 
A equação paramétrica vem da equação vetorial da reta, ou seja, considerando 
nosso exemplo anterior, sendo P (x, y, z) e A (x1, y1, z1) um ponto genérico e 
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um ponto dado e sendo um vetor de mesma direção da 
reta r, teremos:
As Equações 4, 5 e 6 podem ser representadas da seguinte maneira:
A Equação 7 é denominada equação paramétrica da reta.
Agora veja um exemplo de solução de problema envolvendo a equação paramétrica 
da reta:
A equação paramétrica da reta r, que passa pelo ponto A (3, –1, 2) e é paralela ao vetor
, é:
Para obter um ponto dessa reta, atribuímos a t um valor particular. Por exemplo, 
para t = 2, teremos:
Ou seja, P = (–3, –5, 4) é um ponto da reta r. 
Fonte: Steinbruch e Winterle (2006).
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Equação simétrica 
A equação simétrica da reta r pode ser representada a partir das equações 
paramétricas:
Isolando t: 
As equações acima são denominadas equações simétricas da reta.
Equação reduzida
Steinbruch e Winterle (2006) utilizam um exemplo genérico para explicar 
as equações reduzidas da reta. Vamos considerar as equações simétricas 
estudadas anteriormente, a saber:
A ideia é isolar as variáveis y e z expressando-as em função de x:
Introdução ao estudo da reta no espaço32
 Fazendo Fazendo
Essas são as equações reduzidas da reta.
A equação da reta a partir de dois pontos
Agora vamos tratar da equação da reta a partir de dois pontos. Steinbruch 
e Winterle (2006) dizem que a reta definida pelos pontos A (x1, y1, z1) e B 
(x2, y2, z2) é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem direção do vetor 
.
33Introdução ao estudo da reta no espaço
Veja alguns exemplos:
1. Escreva as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A (3,–1,–2) e 
B (1,2,4).
Escolhendo o ponto A e o vetor , temos:
Fonte: Winterle (2014).
2. O ponto P (m, 1, n) pertence a uma reta que passa por A (3,–1,4) e B (4,–3,–1). 
Determine P.
Escolhendo o ponto A e o vetor , temos:
Fonte: Élid (2012).
3. Determine as equações paramétrica, simétrica e reduzida da reta que passa por 
A (1,–2,–3) e B (3,1,–4) e que tem como vetor .
Paramétrica
Simétrica
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Reduzida
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ÉLID, M. A reta e o plano: exercícios resolvidos: aulas 05 e 06. [S.l.]: Universidade Aberta 
do Brasil, [2012]. Disponível em: <https://pt.slideshare.net/cursoraizes/exercicios-
-resolvidos-aulas05e06>. Acesso em: 20 set. 2017.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2006.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo:Pearson Education do 
Brasil, 2014.
Leitura recomendada
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção 
Schaum).
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