Roteiro de Estudos - A reta no espaço ✨ GA

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ROTEIRO DE
ESTUDOS 
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by êmepe ✨
RETA DADA POR UM PONTO ERETA DADA POR UM PONTO ERETA DADA POR UM PONTO E
UM VETOR DIRETORUM VETOR DIRETORUM VETOR DIRETOR
✨ imagine que exista um ponto A, e um vetor não-nulo [v],
existe então uma reta que passa pelo ponto A e tem as
características/direção do vetor [v]
✨assim, o esse vetor é chamado de vetor diretor, já que
decide a direção da reta
✨por isso para saber se um ponto P pertence a reta precisa
existir um parâmetro λ tal que o vetor que é montado a
partir dos pontos AP, é igual ao vetor diretor multiplicado
pelo parâmetro:
FORMAS DE EQUACIONAR A MESMAFORMAS DE EQUACIONAR A MESMAFORMAS DE EQUACIONAR A MESMA
RETA DA RETA RRETA DA RETA RRETA DA RETA R
✨ A partir dessa equação para descobrir se o ponto faz parte da
reta é possível montar vários tipos de equações da reta:
SUBSTITUINDO AS COORDENADAS DE P , A E V
EQUAÇÃO VETORIAL (COMPACTA) DA RETA R
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA R
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA R
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA R
 OBSERVAÇÕES:OBSERVAÇÕES:
✨ Qual quer vetor que não-nulo que possa ser descrito como: k*
[v], sendo k um valor real, também é um vetor diretor da reta
✨ Existem infinitas formas de representar a mesma reta, já que
a reta é um conjunto infinito de pontos.
RETA DEFINIDA POR DOISRETA DEFINIDA POR DOISRETA DEFINIDA POR DOIS
PONTOSPONTOSPONTOS
✨ imagine que exista um ponto A e um ponto B, vai existir
então uma reta que passa por esses dois pontos (a menor
distância entre dois pontos é uma semirreta)
✨ assim o vetor diretor será AB 
EXEMPLO 1:
Seja r a reta que passa pelos pontos A = (1 , 0 , 1) e B = (3 , −2 , 3)
vetor diretor : v = AB = B - A = (2 , -2 , 2)
equação vetorial →
 r : (x , y , z) = (1 , 0 , 1) + λ(2 , -2 , 2)
como verif icar se um ponto P = (−9 , 10 , −9) pertence à reta :
-9 = 1 + (2) λ → λ = -5
10 = 0 + (-2)λ → λ = -5
-9 = 1 + (2) λ → λ = -5 
como todos os valores λ foram iguais , signif ica que
esse ponto existe na reta r .
EXEMPLO 2:
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DEEQUAÇÃO PARAMÉTRICA DEEQUAÇÃO PARAMÉTRICA DE
UM SEGMENTO DE RETAUM SEGMENTO DE RETAUM SEGMENTO DE RETA
✨ Considere o segmento de reta que passa pelos pontos A e
B, para saber se algum ponto pertence ao segmento basta
utilizar a equação da reta, mas com a limitação de que λ
será do conjunto [0,1]
EQUAÇÕES REDUZIDAS DAEQUAÇÕES REDUZIDAS DAEQUAÇÕES REDUZIDAS DA
RETARETARETA
✨ A partir das equações simétricas (aquela lá que iguala λ
e forma umas frações) , é possível escrever a equação da
reta de uma forma mais reduzida, isolando duas variáveis
como y e z: 
 RETAS PARALELAS AOS EIXOSRETAS PARALELAS AOS EIXOSRETAS PARALELAS AOS EIXOS
COORDENADOS E AOS PLANOSCOORDENADOS E AOS PLANOSCOORDENADOS E AOS PLANOS
COORDENADOSCOORDENADOSCOORDENADOS
✨ Na equação da reta, se algum dos componentes do vetor
diretor(a, b, c) for nulo, significa que essa reta será
paralela ao plano coordenado das componentes não nulas 
(se a for = 0, então a reta seria paralela ao plano yOz)
caso 1: a=0 caso 2: a=0 , b=0
ÂNGULO ENTRE DUAS RETASÂNGULO ENTRE DUAS RETASÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
✨o ângulo entre duas retas pode ser definido como: o
menor ângulo entre os vetores diretores, sendo assim é a
mesma conta se fossem só vetores: