Modelos Matemáticos

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Modelagem e Análise de 
Sistemas Dinâmicos - CCE0267
Florêncio Mendes Oliveira Filho
Docente
Alguns Modelos Matemáticos:
Corpo em queda livre [1] Sistema Massa Mola [7]
Pendulo Simples [2] Corda Giratória [8]
Circuito em Série [3] Lei de resfriamento de Newton [9]
Cabo suspenso [4] Drenagem através de um orifício [10]
Deflexão de Vigas [5] Equações Logísticas [12]
Capitalização Contínua [6] 
Fonte: Equações Diferenciais, terceira edição
Autores: Dennis G. Zill
Michael R. Cullen
Editora: Pearson
Curiosidade
W. K. Heisenberg - Prêmio Nobel em Física 
1932 / Principio da Incerteza;
J. H. Poincaré (1854 -1912) / Revitalizou 
o modelo de se lidar com equações não –
lineares ;
“ ... Foi o primeiro a vislumbrar a 
existência de caos no problema de dois 
corpos, ...;”
Sistema Caótico - “ Simulação de 
compotadores ( atrator, estabilidade, 
bifurcação e caos);
Rayleigh-Bénard - Processo 
responsável pela correntes nos oceanos, 
pela circulação global da atmosfera e pela 
migração dos continentes devido ao 
movimento do manto terrestre. 
Literatura
Alguns Modelos Matemáticos:
Em ciências, ENGENHARIA, economia e até psicologia, frequentemente desejamos descrever ou 
modelar o comportamento de alguns sistemas ou fenômenos em termos matemáticos:
 identificar as variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema, ...
 um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema, ...
[1] Corpo em queda livre 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
= −𝑔 , 0 < 𝑡 < 𝑡1
[2] Sistema Massa - Mola 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −𝑘𝑥 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= − 𝜔 2𝑥
𝜔 2 = 
𝑘
𝑚
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝜔 2𝑥 = 0 
2º Lei de Newton ( F = m.a ) lei de Hooke ( F=-kx) 
Alguns Modelos Matemáticos
Circuito em série: De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a diferença de potencial E(t) em um circuito fechado é igual à
soma das voltagens no circuito. A figura 1 mostra os símbolos e as fórmulas para as respectivas voltagens (queda de tensão)
através de um indutor, um capacitor e um resistor. A corrente em circuito, após a chave ser fechada, é denotado por i(t); a
carga em um capacitor no instante t é denotado por q(t). As letras L, C e R são constantes conhecidas como indutância,
capacitância e resistência, respectivamente .
Condições iniciais: q(0) e q’(0) representam a carga no capacitor e a corrente no circuito, respectivamente, no
tempo t = 0. Ainda , a diferença de força eletromotriz, ou fem. Uma fem, bem como a carga em um capacitor,
causa a corrente no circuito.
Figura 1
Ferramentas: Matemática
• ... ?????
• Funções ( afim, quadrática, exponencial, logarítmica, trigonométrica);
• Equações ( determinar o grau, resolução );
• Números Complexos ( Identificar sua forma [ z = a + bi], plano cartesiano, 
forma trigonométrica e polar ). 
• EDO 
• EDP
• Aplicação:
Ajuste dos dados, melhor representação, identificação da representação 
complexa.
Simulação:
• Resolva a EDO:
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2𝑦, 𝑥 0 = 1
a) Numericamente;
b) Construa o gráfico;
c) Simule usando um gráfico dinâmico usando um software da sua 
preferencia. 
d) Dica : Geogebra, Winplot, Scilab, ...
Rotina: Geogebra
1 - Abrir o geogebra;
2 - Seletor,
2.1 - Inserir o texto;
3 – Digitar EDO,
3.1 - Fórmula Lates;
4 – “ Canto direito da tela”,
4.1 – Função Matemática - “Todos os comandos” – “ Resuelve
EDO ;
5 – Trabalhar com o primeiro parâmetro.