Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos

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Modelagem e Análise de 
Sistemas Dinâmicos – Aula II
Florêncio Filho
Unidade 1 - Conceitos fundamentais
1.1. Terminologia e classificação de sistemas
SISTEMA :
(1) Agregação ou montagem de coisas, combinadas pelo homem ou pela
natureza de modo a formar um todo unificado.
(2) Grupo de itens interdependente ou interagindo regularmente,
formando um todo unificado.
(3) Combinação de componentes que agem em conjunto para
desempenhar uma função que se torna impossível na ausência de qualquer
das partes.
Simulação Computacional
A simulação computacional de sistemas, ou simplesmente simulação,
consiste na utilização de determinadas técnicas matemáticas, empregadas
em computadores digitais, as quais permitem imitar o funcionamento de,
praticamente, qualquer tipo de operação ou processo (sistemas) do mundo
real.
"Simulação implica na modelagem de um processo ou sistema, de tal
forma que o modelo imite as respostas do sistema real numa sucessão de
eventos que ocorrem ao longo do tempo, Schriber [1974].
"Simulação é o processo de projetar um modelo de um sistema real e
conduzir experimentos com este modelo com o propósito de entender seu
comportamento e/ou avaliar estratégias para sua operação", Pegden
[1991].
Modelo : Circuito RCL
(1) http://ensinoadistancia.pro.br/ead/Eletroma
gnetismo/CircuitoRLC/CircuitoRLC.html
(2) www.geogebra.org
Modelo Computacional
“...É UM PROGRAMA DE COMPUTADOR CUJAS VARIÁVEIS
APRESENTAM O MESMO COMPORTAMENTO DINÂMICO E
ESTOCÁSTICO DO SISTEMA REAL QUE REPRESENTA . ...” [MACLEOD-88]
“...CONSISTE EM EMPREGAR FORMALIZAÇÕES EM COMPUTADORES,
TAIS COMO EXPRESSÕES MATEMÁTICAS OU ESPECIFICAÇÕES MAIS
OU MENOS FORMALIZADAS, COM O PROPÓSITO DE IMITAR UM
PROCESSO OU OPERAÇÃO DO MUNDO REAL. ...”
https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelagem_computacional
“... MODELAGEM COMPUTACIONAL É UMA ÁREA DE CONHECIMENTO
MULTIDISCIPLINAR QUE TRATA DA APLICAÇÃO DE MODELOS
MATEMÁTICOS E TÉCNICAS DA COMPUTAÇÃO À ANÁLISE,
COMPREENSÃO E ESTUDO DA FENOMENOLOGIA DE PROBLEMAS
COMPLEXOS EM ÁREAS TÃO ABRANGENTES QUANTO AS
ENGENHARIAS, CIÊNCIAS EXATAS, BIOLÓGICAS, HUMANAS,
ECONOMIA E CIÊNCIAS ...”
Eysenck, Michael W.: "Cognitive Psychology: A Student's Handbook", páginas 15 e
16. Psychology Press, 1990 ISBN 0-86377-154-8.
Sistema x Modelo
SISTEMA
input Output
u(t) Modelo y(t) 
Variáveis de 
entrada
Variáveis de 
saída
Y(t) = f(u(t))
Classificação de Sistemas
Sistemas em Tempo Contínuo;
Sistemas em Tempo Discreto;
Variante ou Invariante no tempo;
Estáticos ou Dinâmicos;
Determinísticos ou Estocásticos;
Tempo real ou simulado;
Discreto ou Contínuo.
Classificação de Sistemas
Sistemas em Tempo Contínuo: Sistemas cujas entradas e 
saídas são sinais em tempo contínuo. 
y(t) = T{x(t)}
Sistemas em Tempo Discreto: Sistemas cujas entradas e 
saídas são sinais discretos no tempo.
y[n] = T{x[n]}
Obs. :
Na maior parte do curso, trataremos de sistemas contínuos no tempo, a 
menos que explicitamente seja especificado o contrário.
Variante x Invariante no tempo
 Bastante importante para estudos relacionados a engenharia 
elétrica, principalmente mas áreas de “ PROCESSAMENTO 
DE SINAIS e SISTEMAS de CONTROLE ”.
 Variante / Invariante “sinais” Variáveis 
(reais ou discretas) mudam de valor com o 
tempo.
 Relevância: sistema de comunicação e teoria da 
informação.
 A invariância no tempo implica simplesmente que a definição 
das operações não pode mudar ao longo do tempo. As 
expressões das funções equivalentes dos blocos só podem 
depender das variáveis de entrada, e nunca do tempo.
OBS.
A linearidade dos sistemas implica que todas operações utilizadas no
processamento dos sinais de entrada serão lineares. Ou seja, qualquer
sistema linear pode ser decomposto nos seguintes blocos de
processamento:
Soma de dois sinais;
Multiplicação de um sinal por um valor constante;
Derivação de um sinal (variável) em relação ao tempo;
Integração de um sinal (variável) em relação ao tempo;
Deslocamento no tempo (atrasar ou adiantar o sinal por uma 
diferença de tempo constante).
Destaque:
Princípio da Superposição
O que diz o principio?
“Este princípio diz que a saída de um sinal formado pela combinação
linear de diferentes sinais, é igual à mesma combinação aplicada aos
sinais de saída gerados por cada sinal original separadamente. Ou seja,
suponha a existência de dois sinais x(t) e y(t). Cada um desses sinais, se
aplicados individualmente a um certo sistema H, criam as saídas x’(t) e
y’(t). Se a entrada do sistema for a combinação linear: a.x(t) + b.y(t), a
saída será a a.x’(t) + b.y’(t).
Por consequência o Teorema da convolação:
“ Mais detalhes nas aulas futuras”
Variante x Invariante no tempo
Os sistemas lineares e invariantes no tempo (SLITs) gozam das propriedades
de linearidade e de invariância no tempo.
Têm vantagens importantes:
• é uma classe muito geral que permite construir boas aproximações do
comportamento de muitos sistemas físicos;
• podem ser estudados analiticamente usando ferramentas poderosas, em
particular, a transformada de Fourier;
• ficam totalmente caracterizados pela resposta do sistema a um impulso.
A resposta ao impulso, h, obtém-se aplicando um impulso unitário à entrada do
sistema e observando a saída.
A resposta ao impulso, h, obtém-se aplicando um impulso unitário à entrada do
sistema e observando a saída.
A resposta ao impulso caracteriza
completamente o SLIT.
Outra forma: Sistemas Invariantes no Tempo
O sistema é chamadado de invariante no tempo (IT) se um atraso ou avanço de 
tempo na entrada provoca deslocamento idêntico na saída.
“Implica que “:
T{x(t)} = y(t) ⇒ T{x(t – τ)} = y(t – τ)
Caso Contrário, o sistema é dito VARIANTE NO TEMPO.
Sistemas Invariantes e Variantes no Tempo: Um sistema é classificado de
invariante no tempo quando os seus parâmetros físicos (massa, resistência,
etc.) não variam com o passar do tempo. Isso quer dizer que a sua saída
(“output”) independe do instante em que a entrada (“input”) é aplicada.
Do modo contrário, um sistema é dito variante no tempo quando um de
seus parâmetros físicos sofrer alteração com o passar do tempo.
Dinâmicos X Estáticos
Um sistema é dito dinâmico se os valores das saídas dependem de valores 
passados das entradas;
Para este sistema os valores das saídas DEPENDEM de valores das 
entradas.
Sistema Massa-mola: 
Entrada ( Peso, dados da mola, ...)
Saída ( Nova posição) (depende dedados do passado)
Precisa da memória do sistema!
“O quanto a mola anda não é igual em cada tempo”
U(t)
Variáveis de 
entrada
MODELO
F(U(t) )
Variáveis de 
saída
Determinístico X Estocástico
Determinístico: Resultado do sistema é determinado em função dos dados 
de entrada.
if idade > 21
then printt ( “ pode tirar carteira”)
else printt (“ não podes”).
Estocástico: Resultado do sistema não depende somente dos dados de 
entrada, mas também de outros fatores, normalmente aleatórios. Isto requer 
um modelo probabilístico.
 O sistema que descreve o comportamento de uma plateia em um teatro.
 Reação das pessoas em situação de emergência
 .
“ ... Este modelo probabilístico tenta descrever o comportamento 
aleatório das entidades. ...” 
Tempo Real X Tempo Simulado
Tempo Real: A escala de tempo é a real, isto é os eventos ocorrem e são
tratados na mesma escala de tempo correspondente ao sistema real.
Simuladores de jogos ou para treinamento se enquadram nesta categoria.
Nestes sistemas um operador humano interage com o simulador em tempo
real.
Tempo Simulado: Um ano do tempo de simulação pode decorrer em
poucos segundos de processamento.
São utilizadospara análises de desempenho em que o interesse é pelas
medidas de desempenho.